@tsujimotter が「数学カフェ」にて発表した資料です。 今回のテーマは「コサインが分かると正七角形が折れる！世界が広がる！」です。 第６回数学カフェ https://www.facebook.com/events/901891789877426/ tsujimotter のポートフォリオ http://tsujimotter.info

1. 日曜数学者 辻 順平 @tsujimotter
ウェブサイト http://tsujimotter.info/
折り紙と正多角形と三次方程式

2. 日曜数学者
ってなに？
2

3. 日曜数学者
休日に思いおもいの方法で
数学探究をする人のこと
今日はまさに日曜数学！
3

4. 辻の日曜数学活動
本業のプログラミングを活かしたやり方で、数学的対象を再表現する
その成果を面白おかしく語りまくる
3Dプリンタでゼータ関数を造形
（触れるゼータ関数）
高度な概念をブラウザゲーム化
（基本領域ゲーム）
4

5. 2015 年の実績（全１２件）
プログラマのための数学勉強会（第１回∼第３回） 日曜数学会（第１回，第２回）
第８回ニコニコ学会β
シンポジウム ノラヤサイエンスバー vol.2（仙台） 5

6. tsujimotter
のノートブック
辻が興味を持った
数学的なトピックについて
熱く語って語りまくるブログ
http://tsujimotter.hatenablog.com
6

7. 今回紹介するデモアプリは
すべて以下のページに置いてあります。
tsujimotter
のポートフォリオ
http://tsujimotter.info
7

8. 今日お話ししたいのは
折り紙と三次方程式
8

9. 折り紙との出会い
9

10. 雪の結晶に夢中
正六角形でつくる雪の結晶 10

11. 11

12. 月日は流れて・・・
tsujimotter
大学生の頃
12

13. 作図おもろい 13

14. 作図でできることざっくりと
14

15. 垂線
頂点
垂線
頂点
1 1
cos
が「四則演算」と「ルート」で表現できる（作図可能数）
対応する正多角形も作図できる
15

16. 11
1 +
p
5
4
cos
✓
2⇡
5
◆
=
16
1
6
+
3
q
7
2 (1 + 3
p
3)
6
+
3
q
7
2 (1 3
p
3)
6
cos
✓
2⇡
7
◆
=

17. 正七角形は作図不能！正五角形は作図可能
定木＆コンパスの場合
17
5 7

18. 垂線
頂点
「四則演算」と「ルート」だけで表現できる ⇔ 作図可能
正十七角形の場合
1
16
+
1
16
p
17 +
1
16
q
2(17
p
17) +
1
8
r
17 + 3
p
17
q
2(17
p
17) 2
q
2(17 +
p
17)cos
✓
2⇡
17
◆
=
18

19. やってみた
19

20. 作図支援ソフトウェア
Heptadecagon
『正十七角形を正確に描く、ただそれだけのために作られたソフトウェア』
実演動画：
https://www.youtube.com/watch?v=wyjn441NVPE
20

21. 折り紙の話に戻りましょう
21

22. 正七角形は作図不能！正五角形は作図可能
定木＆コンパスの場合
5 7
22

23. どちらも折ることが可能！！
折り紙の場合
5 7
23

24. 折り紙で折れる図形
定木＆コンパスで
作図できる図形
正七角形
正三角形，正五角形，
正十七角形，etc.
24

25. ダウンロードはこちらから
http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/07/07/234101 25

26. 正七角形が折れる仕組み
STEP 1: 折り紙公理
STEP 2: 放物線の接線が折れる
STEP 3: 三次方程式が解ける
26

27. 折り紙公理
折り紙によって可能な７つの基本操作
27

28. １ ２ ３
４ ５ ６ ７
与えられるもの
得られるもの
28

29. １ ２ ３
４ ５ ６ ７
与えられるもの
得られるもの
定木とコンパスによっても作図可能
29

30. １ ２ ３
４ ５ ６ ７
与えられるもの
得られるもの
定木とコンパスによって作図不能
30

31. 正七角形が折れる仕組み
STEP 1: 折り紙公理
STEP 2: 放物線の接線が折れる
STEP 3: 三次方程式が解ける
31

32. 「放物線の接線」
が折れる
ん、どうやって？
折り紙では
32

33. 折り紙で「放物線の接線」が折れる
点を直線に折り合わせるとき，放物線の接線が得られる
折り重ねる
放物線
接線
デモアプリ：
http://tsujimotter.info/origami/
33

34. 正七角形が折れる仕組み
STEP 1: 折り紙公理
STEP 2: 放物線が折れる
STEP 3: 三次方程式が解ける
34

35. 二次方程式の解の公式
二次方程式
の解 は，次の公式で表せるax2
+ bx + c = 0
x =
b ±
p
b2 4ac
2a
ax2
+ bx + c = 0
作図可能数を係数に持つ二次方程式を解くことができる
四則演算とルートによって表される
三次方程式のまえに・・・
35

36. 三次方程式が解ける
いったいどうやって？
折り紙では
36

37. こうやって解く
７
37

38. 「折り紙で三次方程式が解けること」
を証明しよう
38
高校数学の範囲で出来ます！

39. 座標を設定する
39

40. | 点 P と 点 A の距離 | ＝ | 点 P と 直線 LA の距離 |
q
(x - b)2 + (y - a)2 = (y - (-a))
∵距離の定義から
∵がんばって変形
4ay = (x - b)2
40

41. | 点 P と 点 B の距離 | ＝ | 点 P と 直線 LB の距離 |
∵距離の定義から
q
(x - (-d))2 + (y - (-c))2 = (x - d)
∵がんばって変形
-4dx = (y + c)2
41

42. -4dx = (y + c)2
4ay = (x - b)2
共通接線を持つ条件を使う
42

43. 4ay = (x - b)2
x = b + 2at
∵ よりy0
= t
y = at2
∵放物線の式に代入
4ay0
= 2(x - b)
∵ で微分4ay = (x - b)2
s = -at2
- bt
∵ に代入y = tx + s
43

44. -4dx = (y + c)2
∵ で微分4ay = (x - b)2
-4d = 2(y + c)y0
∵放物線の式に代入
x = -d/t2
∵ よりy0
= t
y = -c - 2d/t
∵ に代入y = tx + s
-s - c -
d
t
= 0
44

45. s = -at2
- bt
-s - c -
d
t
= 0
at2
+ bt - c -
d
t
= 0
∵ を消去s = -at2
- bt
∵両辺に をかけるs = -at2
- bt
at3
+ bt2
- ct - d = 0 完成！
45

46. 折り紙と三次方程式
２つの直線上に，２点を同時に折り重ねるとき，
その折り目によって得られる直線の「傾き」が三次方程式の解となる
折り重ねる
傾きが三次方程式の解
デモアプリあり
デモアプリ：
http://tsujimotter.info/origami/cubic.html
46
(b, a)
(-d, -c)

47. a = 1, b = 1, c = 2, d = 1 とおくと・・・
47

48. ✓ =
2⇡
7
cos ✓
t = 2 cos
✓
2⇡
7
◆
t3
+ t2
- 2t - 1 = 0
の解になるわけ
が
48

49. ✓ =
2⇡
7
cos ✓
1 + cos ✓ + cos 2✓ + cos 3✓ + cos 4✓ + cos 5✓ + cos 6✓ = 0
正七角形の対称性より
cos ✓ = cos 6✓
cos 2✓ = cos 5✓
cos 3✓ = cos 4✓
1 + 2 cos ✓ + 2 cos 2✓ + 2 cos 3✓ = 0
より∵
1 + 2 cos ✓ + 2(2 cos2
✓ - 1) + 2(4 cos3
✓ - 3 cos ✓) = 0
∵２倍角，３倍角の定理より
∵ とおくt = 2 cos ✓
t3
+ t2
- 2t - 1 = 0
∵がんばって計算する
(2 cos ✓)3
+ (2 cos ✓)2
- 2(2 cos ✓) - 1 = 0
49

50. 二次方程式の解となる数
三次方程式の解となる数
2 cos
✓
2⇡
7
◆
結論 正七角形は折り紙によって折ることが出来る
cos
✓
2⇡
5
◆
=
折り紙で折れる数 作図できる数
✓ =
2⇡
7
cos ✓
50

51. 第８の公理：「 n 重折り」
51
図：３重折りの例
西村保三「2重折り紙による2の5乗根の作図」日本折紙学会 (2012年8月) より引用
『 のとき，一般の n 次方程式を (n - 2) 重折りで解くことができる（リルの方法 1867年）』らしいn 3

52. 知らないことを知るのは楽しい
数学的知識は
新しいものの見方を提供してくれる
52

53. 参考文献
• ロベルト・ゲレトシュレーガー 著「折紙の数学」森北出
版（2002年）定価：2,800円
• 大野栄一 著「定木とコンパスで挑む数学」講談社
BLUE
BACKS（1993年）定価：780
円
• tsujimotter
のノートブック,
http://tsujimotter.hatenablog.com
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