O documento discute os fundamentos da mecânica quântica, incluindo a função de onda Ψ, a equação de Schrödinger e como ela descreve o comportamento das ondas de matéria. A equação é usada para calcular a energia quantizada de uma partícula confinada em um poço de potencial.

1. 1

2. Essa é a penúltima aula do curso...
Estudaremos nela algo realmente novo e
desafiador. Os trabalhos de Schrödinger
provocou uma revolução da mecânica
quântica e, na verdade, em toda a Física
e a Química. A teoria quântica proposto
por ele, brilhantemente expressa por uma
equação, hoje conhecida por equação de
Schrödinger, trouxe uma nova luz aos
problemas até então enfrentados pela
jovem física moderna. Hoje afirmamos
que a equação de Schrödinger é tão
fundamental para a mecânica quântica,
assim com F = m∙a é para a mecânica
clássica.
2

3.  Uma quantidade física muito importante na Mecânica
Quântica é a função de onda denominada por “Ψ” (letra grega:
psi).
 A toda partícula em movimento se associa um comprimento de
onda denominada onda de matéria, ou onda de De Broglie. O
comportamento destas ondas materiais são descritas pela função
de onda “Ψ”.
 A função “Ψ” contém uma informação detalhada do
comportamento das ondas materiais e as características físicas
do movimento no espaço-tempo de uma partícula.
 A função de onda para uma partícula que se move ao longo do
eixo x pode ser descrita assim:
3
( ) ( ) 





λ
π
==Ψ
x2
senAxksenAx

4. 4
 Considere o movimento de uma partícula de massa “m”
confinada numa caixa (poço) de paredes rígidas, de largura “L”.
 A função de onda que descreve o comportamento das ondas
materiais pode ser obtida por analogia com o caso mecânico
conhecido como ondas estacionárias produzidas por uma corda
de comprimento “L”, fixas em seus extremos.

5. 5
Disponívelem:https://def.fe.up.pt/fisica3/quantica1/index.html

6. 6
 O comprimento da onda (λ) da onda material está relacionada com o
comprimento da caixa (L) da seguinte forma:
n
L2
=λ
Sendo os comprimentos de onda permitidos dado por:
 Como a partícula se move no eixo x, então o comportamento das
ondas de matéria são descritas em função da onda Ψx, que tem a
seguinte forma:
( ) 




 π
=Ψ
L
xn
senAx
λ=
2
n
L
Sendo n = 1, 2, 3, ... chamado número quântico.

7. 7
 A quantidade de movimento da partícula (p = mv) pode ser calculada
com base na equação de De Broglie:
n
L2
h
p
n
L2
h
p
h
p
p
h
vm
h






=⇒=⇒
λ
=⇒==λ
Sendo n = 1, 2, 3,...
Observe que a quantidade de movimento de uma partícula é
quantizada e ela pode ser escrita em função da constante de
Planck h.

8. 8
 A energia de uma partícula em um poço de potencial é igual a
energia cinética (EK), pois sendo uma partícula livre, sua energia
potencial é nula.
 A equação clássica da energia cinética é dada por:
Que pode ser trabalhada:
2
K vm
2
1
E =
( )
m2
p
mv
m2
1
vm
2
1
E
2
22
K ===
Então:
2
2
2
K
2
K n
mL8
h
E
m2
n
L2
h
E








=⇒












=

9. 9
Sendo:
h = constante de Planck;
m = massa da partícula;
L = largura do poço de potencial;
n = 1, 2, 3,... o número quântico (Isto quer dizer que a
energia da partícula está quantizada!)
2
2
2
K n
mL8
h
E








=
 A energia de uma partícula em um poço de potencial é, então,
dada por:

10. 10
 O quadrado do módulo da função de onda |Ψ(x)|2
denomina-se
densidade de probabilidade.
 Esse significado foi introduzido pela primeira vez por Max
Born, em 1928, e estabelece uma relação entre a partícula e a
onda a ela associada. A densidade de probabilidade indica onde é
possível encontrar a partícula e não onde ela está.
 Por exemplo, dada uma função de onda:





 π
=Ψ
L
xn
senA)x(
A densidade de probabilidade é:
( ) 




 π
=Ψ
L
xn
senA 222
x

11. 11
 |Ψ(x)|2
é sempre positivo;
 Para n = 1 a probabilidade de encontrar a partícula é maior
nas proximidades do centro (x = L/2) que nos extremos;
 Nos extremos (x = 0 e x = L) é impossível encontrar a partícula,
pois |Ψ(x)|2
= 0
)x(Ψ
( )
2
xΨ
x = 0 x = 0x = L x = L
x
y
0

12. 12
Para descrever o comportamento das ondas de matéria e as
características físicas de uma partícula no espaço e no tempo se requer
uma função de onda “Ψ(x)”. O problema de Schrödinger era desenvolver
uma regra que permitisse encontrar a função de onda Ψ(x), para cada
problema específico.
A regra para encontrar se expressa em forma de uma equação
diferencial, chamada Equação de Schorödinger, que para partículas que
se movem em uma direção, por exemplo no eixo x do sistema de
coordenadas, se escreve da seguinte forma:
( )
( ) 0EE
h
m8
x xP2
2
2
2
=Ψ−
π
+
∂
Ψ∂
Sendo:
m : massa da partícula;
EP : Energia potencial em função de x;
EK = p2
/2m : Energia cinética da partícula;
E = EK + EP : Energia total quantizada da partícula.

13. 13
 Ψ(x) é função de onda que determina a provável posição da partícula.
 É essa função que teremos que encontrar para cada problema
específico, e calcular a sua incógnita.
 É uma função contínua que depende da energia potencial e da energia
total e deve admitir as equações:
λ = h/p : Equação de onda de De Broglie;
E = hν : Equação da teoria quântica de Planck – Einstein;
E = p2
/2m + EP : Energia Total.

14. 14
 Uma partícula confinada a um poço de potencial tem EP = 0 e pode
mover-se livremente nessa região. Logo, sua energia total será:
m2
p
vm
2
1
E
2
2
K ==
k
2
h2
2
hh
p 





π
=





λ
π
π
=
λ
=
m8
kh
E 2
22
K
π
=
 Sendo que:
 Temos:

15. 15
 Aplicando essas equações na Equação de Schrödinger, obtemos:
 Substituindo a equação da energia:
 Ou ainda:
( ) 0E
h
m8
dx
d
K2
2
2
2
=Ψ
π
+
Ψ
0
m8
kh
h
m8
dx
d
2
22
2
2
2
2
=Ψ








π
π
+
Ψ
Ψ−=
Ψ 2
2
2
k
dx
d

16. 16
Como a partícula está oscilando em x = 0 e x = L , então a função de
onda que depende de “x”, ou seja de Ψ(x), deve ser tal que:
Se: x = 0  Ψ(x) = 0
Estas são as condições de contorno.
Se: x = L  Ψ(x) = 0
Por outro lado, deduz-se que a função de onda é tal que a segunda
derivada é igual à mesma função multiplicada por uma constante. A
função que cumpre com essa condição é:
( ) ( )xksenAx =Ψ
Que das condições de contorno teremos k = nπ/L , (n = 1, 2, 3, ...)

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Então, como base nas equações anteriores:
O que nos levará a:
n
L2
h
p 





= 2
2
2
K n
Lm8
h
E








=
( ) 




 π
=Ψ
L
xn
senAx
que são as mesmas equações deduzidas por meio do cálculo clássico.
Isso quer dizer que a equação de Schrödinger trabalha perfeitamente na
análise de movimento de uma partícula num poço de potencial.

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- CARUSO, Francisco e OGURI, Vitor. Física Moderna, Origens Clássicas e Fundamentos Quânticos. Rio de
Janeiro: Ed. Campus, 2006.
- MARTINS, Jader B. A História do Átomo, de Demócrito aos Quarks. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna,
2001
- EISBERG, Robert e RESNICK, Robert. Física Quântica – Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas. 18ª
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- HALLIDAY, David, RESNICK, Robert e WALKER, Jearl. Fundamentos de Física. Vol. 4, 9ª Ed. Rio de Janeiro: LTC
– Livros Técnicos e Científicos Editorial Ltda, 2012.
-INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES. Química, Análises de Principios y Aplicaciones. Tomo I. Lima:
Lumbreras Editores, 2011.
- RAMALHO, Francisco J., JUNIOR, Nicolau G. F. e SOARES, Paulo A. T. Fundamentos da Física. Vol 3, 9ª Ed. São
Paulo: Editora Moderna, 2008.
- SEGRÈ, Emilio. Dos Raios X aos Quarks – Físicos Modernos e Suas Descobertas. Brasília: Editora
Universidade de Brasília, 1987.
- TRANSNATIONAL COLLEGE OF LEX. What Is Quantum Mechanics? A Physics Adventure. Boston, 1996.