1. Biografía de Jacob (Jacques) Bernoulli Nació: el 27 de diciembre de 1654 en Basilea, Suiza Murió: el 16 de agosto de1El padre de Jacob Bernoulli, Nicolaus Bernoulli (1623-1708) heredó en Basilea el negocio de especias que había establecido su padre, primero en Amsterdam y después en la capital suiza705 en Basilea, Suiza

2. Biografía de Jacob (Jacques) Bernoulli La familia, de origen belga, eran refugiados que escaparon de los gobernantes españoles de Holanda. Felipe, Rey de España, había enviado al Duque de Alba a los Países Bajos en 1567 con un poderoso ejército para castigar a los opositores al gobierno español, reforzar su adhesión al catolicismo romano y para restablecer la autoridad del propio monarca.

3. Alba estableció el Tribunal de los Tumultos, una corte que condenó alrededor de 12000 personas, aunque la mayoría, como la familia Bernoulli, todos ellos protestantes, huyeron del país. Biografía de Jacob (Jacques) Bernoulli

4. Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otro situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli. ECUACIONES DE BERNOULI

5. Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma dy/dx + P (x) y= Q (x) yn donde y son funciones reales y continuas en un intervalo [a y b] donde n y es una constante real diferente de 0 y 1 y se conoce como ecuación de Bernoulli Observación:cuando n = 0 la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando n = 1 se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados. ECUACIONES DE BERNOULI

6. ECUACIONES DE BERNOULI Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene: Definiendo:

7. ECUACIONES DE BERNOULI lleva inmediatamente a las relaciones: Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:

8. ECUACIONES DE BERNOULI Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado: Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:

9. ECUACIONES DE BERNOULI Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión: