1. Bernoulli
Daniel Aguilera Muñoz

2. Bernoulli
• Los Bernoulli son una familia de matemáticos y físicos suizos
procedentes de la ciudad de Basilea, que irrumpió en el mundo
científico a finales del siglo XVII.
• El fundador de esta familia fue Jacob el viejo, nacido en Amberes
(Bélgica), un hugonote que se trasladó a Basilea en 1622 por
motivos de persecución religiosa. Se casó tres veces y sólo tuvo un
hijo, Nikolaus. Éste se casó y tuvo una docena, de los cuales
cuatro llegaron a edad adulta; dos de ellos se convirtieron en
matemáticos de primer orden: Jakob, nacido en 1654, y Johann,
nacido en 1667. Ambos estudiaron la teoría del cálculo infinitesimal
de Leibniz y desarrollaron aplicaciones de la misma.

3. Ecuación diferencial de Bernoulli
• Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob
Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan
por tener la forma:
• Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas.

4. Método de resolución
• Caso general
• Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se
divide la ecuación por yα se obtiene:
(1)
Definiendo:
• Lleva inmediatamente a las relaciones:

5. Método de resolución
• Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:
• (2)
• Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una
ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:
• Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se
tiene que:

6. Método de resolución
• Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial
pueden calcularse utilizando la expresión:
• (3)
• Con

7. Método de resolución
• Caso particular: α = 0
• En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial
lineal cuya solución viene dada por:
• (4)

8. Método de resolución
• Caso particular: α = 1
• En este caso la solución viene dada por:
• (5)