Este documento presenta un resumen de un libro de texto sobre álgebra lineal. Introduce los conceptos básicos de campos, incluyendo números naturales, enteros, racionales y reales. Luego define espacios vectoriales y transformaciones lineales, y explica cómo clasificarlos y operar con ellos. Finalmente, cubre temas avanzados como anillos con división, espacios afines y el caso de dimensión infinita. El objetivo general es desarrollar el álgebra lineal sobre campos arbitrarios con énfasis en los reales y complejos

1. ´
Algebra Lineal
Jorge Luis Arocha
versi´ n compilada el
o
31 de enero de 2012

2. Jorge Luis Arocha P´ rez
e
Instituto de Matem´ ticas
a
Universidad Nacional Aut´ noma de M´ xico
o e
M´ xico D.F. 04510
e
BibTeX:
@textbook{ArochaLA
AUTHOR = {Arocha, Jorge L.}
TITLE = {’Algebra Lineal}
YEAR = {2011}
NOTE = {Available at combinatoria.matem.unam.mx}
}
Mathematics Subject Classification 2000: 00–01, 12–01, 15–01
c
°2011 Jorge Luis Arocha P´ rez
e
Permitida la reproducci´ n para uso individual y no comercial.
o
Todos los dem´ s derechos est´ n reservados.
a a

3. Introducci´ n
o
ı a ´
Este libro lo escrib´ como texto b´ sico para el curso de “Algebra Lineal” para estudiantes
de Licenciatura que he impartido por muchos a˜ os en la Facultad de Ciencias de la Univer­
n
sidad Nacional Aut´ noma de M´ xico.
o e
´
Se presupone que los estudiantes hayan cursado ya las materias de “Algebra superior” y
“Geometr´a Anal´tica” o sea tengan ciertos conocimientos sobre matrices, vectores, polino­
ı ı
mios, n´ meros complejos, etc.
u
´ ´
El objetivo es desarrollar el algebra lineal sobre campos arbitrarios pero se hace enfasis
en los reales, los complejos y los residuos m´ dulo un n´ mero primo. Despu´ s de una intro­
o u e
ducci´ n corta a la teor´a de campos se estudian los espacios vectoriales, las transformaciones
o ı
lineales, los determinantes y finalmente los teoremas de descomposici´ n de operadores.
o
Por ahora, este libro no contiene pr´ cticamente nada de transformaciones bilineales, pro­
a
ductos escalares, espacios duales, ortogonalidad, tensores etc. En mis planes est´ escribir
a
una segunda parte o aumentar este libro con cap´tulos sobre estos temas.
ı
El material que comprende este libro es demasiado para un semestre y usualmente yo
imparto en un semestre de los cap´tulos I—IV aquellas secciones que no est´ n marcadas
ı a
como avanzadas. Un segundo semestre podr´a comenzar con las secciones de polinomios so­
ı
bre campos, continuar con la descomposici´ n de operadores lineales y terminar con aquellos
o
temas que ya se˜ al´ , faltan aqu´. Otras secciones las escrib´ porque me parecieron un buen
n e ı ı
material de lectura complementaria para los alumnos curiosos.
Este libro es inusualmente colorido y visualmente agresivo. La raz´ n de esto es que
o
cuando estaba en el papel de alumno yo prefer´a estudiar por las libretas de notas de mis
ı
compa˜ eras de clase. Se me hac´a muy f´ cil memorizar la imagen completa de una p´ gina
n ı a a
llena de rayas, ores, corazones etc. y dentro de todo esto, las matem´ ticas. La idea es que
a
cada p´ gina luzca visualmente diferente. He tratado dentro de lo posible, lograr esto.
a
Los caracteres de matem´ ticas est´ n en un color diferente. El texto y las secciones avan­
a a
zadas est´ n marcados con un birrete. Uso unos lentes para marcar aquello que el lector no
a
debe dejar pasar. Errores comunas que cometen los que no est´ n familiarizados con el mate­
a
rial est´ n marcados con calaveras. Los teoremas est´ n resaltados visualmente, etc.
a a
Se incluyen m´ s de un centenar de ejercicios. Los ejercicios m´ s notables consisten en
a a
material adicional que un estudiante de matem´ ticas o f´sica debe conocer tarde o temprano.
a ı
Las soluciones de los ejercicios no rutinarios se dan al final del libro.
He compilado un glosario de t´ rminos que es a la vez un ´ndice del libro y un diccionario
e ı
de los conceptos introducidos y/o usados.
Finalmente, incluyo una gu´a de estudio. De esta gu´a yo escojo las preguntas para los
ı ı
ex´ menes. Esto representa una ventaja enorme para los estudiantes ya que una de las dificul­
a
tades m´ s importantes de ser estudiante es comprender que es lo que se espera de ellos.
a
Jorge Arocha
M´ xico D.F. Diciembre de 2010
e

4. IV

5. Cap´tulo 1 Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 1
1.1 Operaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Conmutatividad (3). Asociatividad (3). Elementos neutros (4). Elementos inversos (5).
´
Distributividad (5). El algebra “abstracta”(5).
1.2 N´ meros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 6
Naturales (6). Enteros (6). Grupos (7). Anillos (7). Racionales (8). Reales (8). Com­
plejos (9).
1.3 Morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Morfismos de grupos (10). Morfismos de anillos (11). Isomorfismos (12). Composi­
ci´ n de morfismos (13).
o
1.4 Campos de restos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
El anillo de los enteros m´ dulo n (14). Dominios de integridad (15). El campo de los
o
enteros m´ dulo p (15).
o
1.5 Campos primos. Caracter´stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 16
Campos primos (17). Caracter´stica (18).
ı
1.6 Aritm´ tica de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 19
M´ ltiplos y exponentes enteros (19). Asociatividad general (19). Distributividad gene­
u
ral (20). F´ rmula multinomial (20). La expansi´ n de ΠΣαij (21).
o o
*1.7 Anillos con divisi´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 22
Quaterniones (22). Caso finito (24).
Cap´tulo 2 Espacios vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 25
2.1 El plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Definici´ n y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 26
El espacio de n­adas Kn (27). El espacio de polinomios K [x] (28). El espacio de
sucesiones K (28). El espacio de series K [[x]] (28). El espacio de funciones KN
(29). El espacio de N­adas KN (29). El espacio de N­adas con soporte finito K{N }
(30). Subcampos (30). El espacio de N­adas de vectores EN (30). El espacio de NM­
matrices KN M (31). El espacio de tensores (32).
2.3 Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Uni´ n e intersecci´ n de subespacios (33). Combinaciones lineales (33). Cerradura li­
o o
neal (34).
2.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Conjuntos generadores (36). Conjuntos linealmente independientes (36). Bases (38).
Dimensi´ n (39). Bases can´ nicas (41).
o o
2.5 Clasificaci´ n de espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 42
Isomorfismos lineales (42). Coordinatizaci´ n (44). Clasificaci´ n (44). Campos de Ga­
o o
lois (45). Como pensar en espacios vectoriales (45).
2.6 Suma de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6. VI Contenido
Subespacios de Rn (46). Suma de conjuntos y subespacios (47). La igualdad modular
(47). Suma directa (49). Isomorfismo can´ nico entre la suma y la suma directa. (49).
o
Subespacios complementarios (50). Espacios vectoriales versus conjuntos (51).
2.7 Espacios cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Subespacios afines (52). El espacio cociente (53). El isomorfismo con los complemen­
tarios (54).
*2.8 El espacio af´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 55
La regla del paralelogramo (56). Cerradura af´n (56). Generadores e independencia
ı
(57). Bases afines (57).
*2.9 El caso de dimensi´ n infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 59
El Lema de Zorn (59). Existencia de bases (59). Cardinales (60). Equicardinalidad de
las bases (60).
Cap´tulo 3 Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 63
3.1 Definici´ n y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 63
Imagenes de subespacios (63). Homotecias (64). Inmersiones (65). Proyecciones (65).
3.2 Operaciones entre transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
El espacio vectorial de las transformaciones lineales (67). Composici´ n de transfor­
o
´
maciones lineales (67). El algebra de operadores lineales (68). El grupo general lineal
(69).
3.3 Extensiones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Extensiones y restricciones (70). El isomorfismo entre F N
y Mor (E, F) (71). Un cri­
terio de isomorfismo (71).
3.4 Coordinatizaci´ n de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 72
El producto escalar can´ nico (73). El producto de matrices (74). Productos de matri­
o
ces y vectores (74). La transformaci´ n lineal de una matriz (75). La matriz de una
o
transformaci´ n lineal (75). Composici´ n de TLs y producto de matrices (76). Matrices
o o
inversas (77).
3.5 Cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Cambios de base en un espacio vectorial (78). Cambios de base en el espacio de trans­
formaciones lineales (79). Cambios de base en el espacio de operadores lineales (80).
La transformaci´ n lineal tanspuesta (80).
o
3.6 El nucleo y la imagen de una transformaci´ n lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 82
Definiciones (82). Transformaciones lineales con nucleo trivial (82). Descomposici´ no
de transformaciones lineales (83). La descomposici´ n de la transpuesta (84). Un crite­
o
rio de isomorfismo (84). Descomposici´ n can´ nica de transformaciones lineales (85).
o o
*3.7 Trasformaciones semilineales y coalineaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Trasformaciones semilineales reales (86). Propiedades de las transformaciones semili­
neales (87). Automorfismos semilineales. (87). Coalineaciones (88). Estructura de las
coalineaciones (89).
Cap´tulo 4 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 93
4.1 Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
El grupo sim´ trico (93). Ciclos (94). El grupo alternante (95). El signo de una permu­
e
taci´ n (96).
o
4.2 Propiedades b´ sicas de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 96

7. Contenido VII
Definici´ n de los determinantes (97). Determinantes de matrices peque˜ as (97). El de­
o n
terminante de la identidad (98). Matrices con filas nulas (99). El determinante de la
transpuesta (99). Matrices con filas iguales (99). Permutaciones de columnas y renglo­
nes (100). El determinante del producto (100). Matrices de permutaciones (101).
4.3 Expansi´ n de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 102
Cambios de ´ndices (102). Complementos algebraicos (104). La expansi´ n de un de­
ı o
terminante por sus renglones (104). La expansi´ n de Laplace en forma gr´ fica (105).
o a
Multinearidad de los determinantes (106). La inversa de una matriz (107). El determi­
nante de un operador lineal (109).
*4.4 La expansi´ n generalizada de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 109
Matrices diagonales y triangulares por bloques (110). La expansi´ n generalizada de
o
Laplace en forma gr´ fica (111).
a
4.5 El rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Matrices no singulares (113). Espacios de columnas y renglones (113). Lema de au­
mento de matrices no singulares (114). Bases de una matriz (114).
4.6 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Regla de Cramer (116). Existencia de soluciones (117). Eliminaci´ n de ecuaciones
o
dependientes (118). El nucleo y la imagen de una matriz (119). Bases del subespacio
af´n de soluciones (119).
ı
4.7 M´ todo de eliminaci´ n de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e o 120
Transformaciones elementales (120). Ejemplo (121). El caso general (121). Soluci´ n
o
de ecuaciones matriciales, matriz inversa (122).
Soluciones de ejercicios selectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Gu´a de estudio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 147

8. VIII
El algebra es la oferta hecha por el Diablo a los matem´ ticos.
´ a
El Diablo dice:
“Yo te dar´ a ti esta poderosa maquinaria
e
que responder´ cualquier pregunta que tu quieras.
a
Todo lo que se necesita que tu hagas es entregarme tu alma:
dame la geometr´a y tendr´ s esta maravillosa m´ quina”
ı a a
... el da˜ o a nuestra alma est´ ah´,
n a ı
porque cuando usted pasa a hacer c´ lculos algebraicos,
a
esencialmente usted deja de pensar ...
Sir Michael Atiyah

9. Capítulo primero
Campos
´
l objeto del algebra lineal es el estudio de los espacios vectoriales. Estos espacios son
estructuras algebraicas cuyos objetos son de dos tipos los vectores y los escalares.
Las operaciones definidas en los espacios vectoriales son la suma y resta de vectores,
la suma resta multiplicaci´ n y divisi´ n de escalares y la multiplicaci´ n de escalares por
o o o
vectores. La mayor´a de los temas estudiados en este libro no dependen del conjunto de
ı
escalares y el lector puede casi siempre considerar que los escalares son los reales R y que
el espacio vectorial es el espacio “geom´ trico” com´ n Rn .
e u
Sin embargo, como esta teor´a no depende (al menos en gran parte) del conjunto de
ı
escalares (y teniendo en cuenta diferentes aplicaciones a otras areas de las matem´ ticas y
a
las ciencias naturales) es conveniente elevar un paso el nivel de abstracci´ n y pensar que el
o
conjunto de escalares es un campo arbitrario K .
El primer objetivo de este cap´tulo es dar al lector un conocimiento b´ sico de lo que es
ı a
un campo. Esto se pretende lograr por tres medios: dando la definici´ n formal, estudiando
o
ı
algunas propiedades (como la caracter´stica) de los mismos, viendo que las reglas usuales de
manipulaci´ n de f´ rmulas en un campo no se diferencian esencialmente de las f´ rmulas en
o o o
los reales y sobre todo, dando los ejemplos fundamentales de campos.
Posteriormente, estudiaremos las principales propiedades de los polinomios con coefi­
cientes en un campo. En particular, los teoremas de descomposici´ n en factores de polino­
o
mios complejos y reales ser´ n fundamentales para, en un cap´tulo posterior, desarrollar la
a ı
descomposici´ n de Jord´ n de operadores lineales.
o a
1.1 Operaciones binarias
Sea A un conjunto. Una operaci´ n binaria es una funci´ n del producto cartesiano A×A
o o
en A. O sea, es una regla mediante la cual a cualesquiera dos elementos de A se le hace
corresponder un tercer elemento de A. Demos algunos ejemplos sencillos:

10. 2 Cap´tulo 1. Campos
ı
1) a + b suma 5) ab exponenciaci´ n
o
2) a − b resta 6) loga b logaritmo
3) ab producto 7) mcd (a, b) m´ x com´ n divisor
a u
4) a
b
divisi´ n
o 8) mcm (a, b) m´n com´ n m´ ltiplo
ı u u
Lo primero que observamos de los ejemplos anteriores es que no hemos definido en cual
conjunto est´ definida la operaci´ n. Esto no es correcto formalmente, as´ por ejemplo la
a o ı
divisi´ n es una operaci´ n que no est´ definida en el conjunto de los n´ meros enteros. Sin
o o a u
embargo el lector podr´ f´ cilmente encontrar los conjuntos en los cuales estos ejemplos son
a a
operaciones binarias.
Ejercicio 1 ¿En cuales conjuntos las operaciones 1­8 est´ n correctamente definidas? [125]
a
Ejercicio 2 ¿Que es una operaci´ n unaria? De ejemplos. [125]
o
Ejercicio 3 Dados tres n´ meros reales a, b, c definamos A (a, b, c) como el area del tri´ n­
u a
gulo con lados a, b y c. ¿Es esta una operaci´ n ternaria en R? [125]
o
Lo segundo que debemos de observar, es la variedad de notaciones usadas para represen­
tar las operaciones binarias. Sobre todo, son complicadas las notaciones de la operaciones
4­6. Lo que tienen en com´ n, es que no nos alcanza una l´nea de s´mbolos para escribirlas.
u ı ı
Necesitamos subir y/o bajar adem´ s de movernos de derecha a izquierda. O sea, necesitamos
a
dos dimensiones para escribirlas.
Quiz´ sea m´ s ilustrativo, poner un ejemplo m´ s complejo
a a a
de notaci´ n dos dimensional. La integral en el recuadro a la π/4 ¡
o R ¢
derecha est´ bien definida para cualesquiera valores reales a, b 0
a a sin x + b sin x dx
2
y por lo tanto es una operaci´ n binaria definida en R.
o
M´ s sencillos son los ejemplos de notaciones lineales 1­3,7­8. En realidad, para las no­
a
taciones lineales solo hay tres posibilidades:
◦ (a, b) notaci´ n prefija o funcional
o
a◦b notaci´ n operacional
o
(a, b) ◦ notaci´ n sufija
o
Las operaciones 1­3 est´ n en notaci´ n operacional y las operaciones 7­8 est´ n en nota­
a o a
o o ´
ci´ n prejija. La notaci´ n sufija es util sobre todo en la programaci´ n de compiladores para
o
lenguajes de computadoras (tales como pascal o C++) ya que frecuentemente lo m´ s f´ cil
a a
es decirle a una computadora “toma el n´ mero a” , “toma el n´ mero b” ,“s´ malos” y no
u u u
hacerlo de otra manera.
Ejercicio 4 La notaci´ n sufija para a (b + c) /2 es bc + a × 2÷ . ¿Cual ser´ la notaci´ n
o a o
sufija para la expresi´ n (a + b) (x + y)? [125]
o

11. Secci´ n 1.1
o Operaciones binarias 3
Cualquier intento, de tratar de unificar las notaciones usadas en la comunicaci´ n entre
o
humanos, solo llevar´a a confusiones mucho peores. Sin embargo, tenemos la libertad de es­
ı
coger una notaci´ n unificada para las operaciones binarias abstractas que definamos. De una
o
vez, postularemos que siempre usaremos la notaci´ n operacional para definir operaciones
o
binarias abstractas.
Recalquemos que una operaci´ n “abstracta” no significa nada m´ s que es una operaci´ n
o a o
que puede ser una de muchas. Primero aprendemos lo que quiere decir 3 + 2. Despu´ s, e
tempranamente en el estudio de las matem´ ticas, la expresi´ n a+b significa que a un n´ mero
a o u
a (no se sabe cual) le sumamos un n´ mero b (tampoco se sabe cual). Ahora, la expresi´ n a+
u o
b significar´ que a un objeto a (n´ mero, polinomio, matriz , quien sabe que) le “sumamos”
a u
(no se sabe lo que quiere decir “suma”) un objeto b (del que tampoco se sabe mucho).
Conmutatividad
¿Es 3 + 2 igual a 2 + 3? Si. ¿Es 32 igual a 23 ? No. Una operaci´ n binaria
o
∀a, b ∈ A denotada por ◦ y definida en el conjunto A se dice que es conmutativa si
a◦b=b◦a se cumple la propiedad en el recuadro a la izquierda. Ser o no conmutativa
es la propiedad m´ s sencilla que diferencia las operaciones binarias.
a
Ejercicio 5 ¿Cuales de las operaciones 1­9 son conmutativas? [125]
Asociatividad
¿Que quiere decir 2 + 3 + 5? ¿Acaso debemos sumar 2 + 3 y al resultado sumarle 5? ¿No
ser´ que debemos sumar 2 al resultado de la suma 3 + 5? Claro, no hay ninguna diferencia
a
entre los dos procedimientos. Este hecho se expresa como (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) .
Una operaci´ n binaria denotada por ◦ y definida en el con­
o
junto A se dice que es asociativa si se cumple la propiedad en ∀a, b, c ∈ A
el recuadro de la derecha. a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c
Los estudiantes preuniversitarios se encuentran por primera
vez con la dificultad de una operaci´ n no asociativa en el caso de la operaci´ n de exponen­
o o
3
ciaci´ n. A esta temprana edad es muy necesario insistir que la expresi´ n 22 es ambigua
o o
¡ ¢3
porque 2(2 ) = 256 6= 64 = 22 .
3
Ejercicio 6 ¿Cuales de las operaciones 1­9 son asociativas? [125]
La asociatividad de una operaci´ n es una propiedad crucial. Sin esta propiedad, el manejo
o
algebraico de una operaci´ n se complica bastante.
o

12. 4 Cap´tulo 1. Campos
ı
Es m´ s, gracias a ella podemos introducir la notaci´ n de la operaci´ n “re­
a o o
petida”. Si tenemos 11 elementos a1 , a2 , . . . , a11 entonces, para denotar la suma P 11
a
a1 +a2 +· · ·+a11 podemos usar la notaci´ n (mucho m´ s c´ moda) que se muestra n=1 n
o a o
en el recuadro a la derecha. Esta notaci´ n no requiere de la conmutatividad de la
o
operaci´ n “suma” gracias a que los ´ndices tienen un orden y sabemos cual elemento debe ir
o ı
primero y cual despu´ s.
e
Si tenemos que la operaci´ n es no solamente asociativa sino tambi´ n conmutativa enton­
o e
ces podemos ser m´ s generosos con esta notaci´ n.
a o
P Supongamos que aρ , a` , a , a9 y a∇ son elementos de un conjunto con una suma
an asociativa y conmutativa. Entonces la suma de estos (¡no importa el orden!) la
n∈N
podemos denotar por la expresi´ n en el recuadro a la izquierda, donde N es el
o
conjunto de ´ndices {ρ, κ, `, ∇, 9}.
ı
Si la operaci´ n binaria definida no se llama “suma” sino “producto”,Q
o P entonces es usual,
en lugar de usar la letra griega (sigma may´ scula), usar la letra griega
u (pi may´ scula).
u
Podemos, en este caso, usar la primera o segunda notaci´ n dependendiendo de si nuestro
o
producto es conmutativo o no.
Elementos neutros
´
La suma de n´ meros naturales tiene un elemento especial y unico: el cero. Su propie­
u
dad definitoria es que cualquier n´ mero sumado con cero da el mismo n´ mero. La misma
u u
propiedad la tiene el uno con respecto al producto de n´ meros naturales.
u
Para una operaci´ n binaria denotada por ◦ y definida en el con­ ∀a ∈ A
o
junto A se dice que e ∈ A es un elemento neutro si este cumple la a ◦ e = e ◦ a = a
propiedad en el recuadro.
Una operaci´ n binaria no puede tener m´ s de un elemento neutro. Efectivamente, sean
o a
e y e0 elementos neutros. Por ser e neutro, tenemos e ◦ e0 = e0 . Por ser e0 neutro, tenemos
e ◦ e0 = e. De estas dos igualdades obtenemos e = e0 .
Ejercicio 7 ¿Cuales de las operaciones 1­9 tienen neutro? [125]
Los elementos neutros juegan un papel importante en las notaciones para operaciones
repetidas. Supongamos que tenemos un producto asociativo y conmutativo. Sean adem´ s Na
Q Q Q y M dos conjuntos finitos de ´ndices disjuntos. Naturalmen­
ı
ai • ai = ai te, de la definici´ n se sigue la propiedad del recuadro a la
o
i∈N i∈M i∈N∪M
izquierda.
Pero ¿que pasa si alguno de los conjuntos de ´ndices (digamos M) es vac´o? Si queremos
ı ı
que esta propiedad se conserve entonces observamos que
Y Y Y Y
ai • ai = ai = ai
i∈N i∈ i∈N∪ i∈N
Q
por lo que necesariamente i∈ ai tiene que ser el elemento neutro de nuestra operaci´ n (si
o
no hay neutro entonces estamos en problemas).

13. Secci´ n 1.1
o Operaciones binarias 5
Es por esto, como el lector seguramente ya sabe, que la suma vac´a de n´ meros es igual
ı u
a cero y el producto vac´o de n´ meros es igual a uno.
ı u
Elementos inversos
u ´
Para cada n´ mero entero a hay un unico n´ mero −a tal que sumado con a da cero. Ge­
u
neralizemos esta propiedad a operaciones binarias arbitrarias. Sea ◦ una operaci´ n binaria en
o
el conjunto A con elemento neutro. Se dice que a ∈ A tiene elemento
a ◦ b = b ◦ a = e inverso b si se cumple la propiedad en el recuadro a la izquierda.
´
Para cualquier operaci´ n binaria asociativa el elemento inverso de otro es unico. Efecti­
o
vamente si b y c son inversos de a entonces b = b◦e = b◦(a ◦ c) = (b ◦ a)◦c = e◦c = c
o sea que b y c tienen que ser el mismo.
Ejercicio 8 Describa los inversos en las operaciones 1­9. [126]
Distributividad
Frecuentemente nos encontramos con conjuntos en los cuales hay m´ s de una operaci´ n
a o
binaria definida. El ejemplo m´ s sencillo son los naturales en los que sabemos sumar y sabe­
a
mos multiplicar. Estas dos operaciones est´ n relacionadas con la propiedad de que podemos
a
sacar factor com´ n o sea ax + ay = a (x + y).
u
Sean ◦ y ¦ dos operaciones binarias definidas en el ∀a, b, c ∈ A
conjunto A. Se dice que la operaci´ n ¦ es distributiva a ¦ (b ◦ c) = (a ¦ b) ◦ (a ¦ c)
o
respecto a la operaci´ n ◦ si se cumple la propiedad en el (b ◦ c) ¦ a = (b ¦ a) ◦ (c ¦ a)
o
recuadro.
Que ¦ sea distributiva respecto a ◦ no es lo mismo que ◦ sea distributiva respecto a
¦. Por ejemplo, en los naturales el producto es distributivo con respecto a la suma:
a (b + c) = (ab) + (ac) y sin embargo, la suma de naturales no es distributiva
respecto al producto: a + (bc) = (a + b) (a + c).
6
Ejercicio 9 De un ejemplo de dos operaciones binarias tales que ambas son distributivas
una con respecto a la otra. [126]
´
El algebra “abstracta”
Filos´ ficamente, el concepto de “abstracci´ n” es la propiedad, que tiene el pensamiento
o o
humano, de que podemos fijarnos solamente en ciertas propiedades “esenciales” de un objeto
o fen´ meno, y olvidarnos de las restantes.
o
La abstracci´ n es imprescindible para el lenguaje. El concepto “silla” nos permite reco­
o
nocer una silla, independientemente si esta es de madera, de hierro, pl´ stica, grande, c´ moda,
a o

14. 6 Cap´tulo 1. Campos
ı
con tres, cuatro o cinco patas etc. Casi cada palabra del espa˜ ol (y de cualquier idioma) re­
n
presenta un concepto abstracto, sea esta verbo, sustantivo o adjetivo.
La ciencia lleva este nivel de abtracci´ n a un nivel a´ n mayor. Parte de este conoci­
o u
miento cient´fico, pasa al conocimiento p´ blico. Baste recordar conceptos como: velocidad,
ı u
volumen, higiene, ADN, penicilina, electr´ n, metal, colesterol, tri´ ngulo, etc. Algunos de los
o a
mencionados, son muy antiguos, otros surgieron hace muy poco. Sin embargo, la mayor´a ı
de estos conocimientos queda solamente en manos de los especialistas en la materia.
Con las matem´ ticas pasa igual. No hace falta saber que la suma de naturales es una
a
operaci´ n binaria conmutativa para saber que 2 + 3 = 3 + 2. Sin embargo, el concepto de
o
“operaci´ n” y que estas operaciones pueden cumplir o no ciertas propiedades es relativa­
o
mente “nuevo”.
En la primera mitad del siglo XX, progresivamente, la comunidad matem´ tica se fu´ dan­
a e
do cuenta de las ventajas del pensamiento algebraico en el lenguaje de operaciones abstrac­
tas. Tanto fu´ el entusiasmo, que muchos, en un principio, le llamaron a esta forma de pensar
e
“Algebra moderna”. Otros a´ n m´ s entusiastas, m´ s fr´volos y con muchas ganas de vender
u a a ı
sus libros le llamaron “Matem´ tica moderna”. En la actualidad este lenguaje es parte in­
a
tr´nseca e indivisible del pensamiento en matem´ ticas y cualquier calificaci´ n de “moderna”
ı a o
suena muy tonta.
Otros, por otro lado, prefierieron referirse a esta forma de pensar como “Algebra abstrac­
o a u ´
ta”. Esto, en mi opini´ n, aunque m´ s moderado, tampoco tiene ning´ n sentido. Toda algebra
es abstracta, de hecho, todas las matem´ ticas son abstractas. Estoy convencido de que, el
a
tiempo se encargar´ de acabar con todos estos calificativos.
a
´
1.2 Numeros
En esta secci´ n repasaremos los principales tipos de n´ meros que el lector ya conoce:
o u
naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Esto nos dar´ la posibilidad de introducir
a
´
las definiciones m´ s b´ sicas del algebra: grupos, anillos y campos.
a a
Naturales
ab = a + {z + a = | + {z + b Hay una frase famosa que dice “Dios hizo los naturales
| ... } b ... } y el hombre todo lo dem´ s”. El conjunto de los n´ meros
a u
b veces a veces
naturales N = {0, 1, 2, ...} es el conjunto de los cardinales
de los conjuntos finitos. En N hay dos operaciones binarias bien definidas: la suma y el
producto. De hecho, el producto es una operaci´ n derivada de la suma y la suma solo se
o
puede definir en t´ rminos de conjuntos. Por ejemplo, a + b es el cardinal de la uni´ n de dos
e o
conjuntos finitos y disjuntos uno de cardinal a y otro de cardinal b.
Como la uni´ n de conjuntos es asociativa tambi´ n lo es la suma de naturales. De la
o e
definici´ n se obtiene que el producto de naturales tambi´ n es asociativo. Tanto la suma como
o e
el producto son conmutativos. La suma tiene elemento neutro 0 y el producto tiene elemento
neutro 1. El producto es distributivo respecto a la suma.

15. Secci´ n 1.2
o N´ meros
u 7
Enteros
Ning´ n elemento de N salvo el cero tiene inverso para
u
la suma. Para lograr la existencia de inversos inventamos los −b + a = c ⇔ a = b + c
n´ meros negativos Z− = {−1, −2, −3, ...} y en el conjunto −b + (−a) = − (a + b)
u
Z = N ∪ Z− de los n´ meros enteros definimos la suma como
u
la operaci´ n conmutativa definida por las propiedades en el
o
recuadro a la derecha.
Grupos
Nuevamente la suma de enteros es asociativa con neutro cero pero ahora, cada elemento
tiene inverso. O sea los enteros dan el primer ejemplo G1) la operaci´ n es asociativa
o
de grupo. A un conjunto no vac´o con una operaci´ n bi­ G2) tiene elemento neutro
ı o
naria se le llama grupo si se cumplen los tres axiomas G3) todo elemento tiene inverso
G1­G3. A los grupos cuya operaci´ n es
o
conmutativa se les llama abelianos en honor al matem´ tico noruego Niels
a
Henrik Abel (1802­1829). Abel fu´ el que resolvi´ el problema algebraico
e o
a ´
m´ s importante de su epoca. Demostr´ , que no existen f´ rmulas en radicales
o o
para resolver las ecuaciones polinomiales de grado 5 o mayor (a diferencia
de las ecuaciones de grado ≤ 4 para las cuales si hay f´ rmulas generales).
o
Al momento de encontrar esta demostraci´ n, el problema ya duraba varios
o
siglos sin resolverse. Abel muri´ a los 26 a˜ os a causa de una neumon´a.
o n ı
Anillos
La operaci´ n de producto de naturales se extiende f´ cilmente al
o a
a (−b) = − (ab)
conjunto de los enteros mediante las reglas en el recuadro. Nuevamente
(−a) b = − (ab)
el producto es asociativo,conmutativo y distributivo con respecto a la
(−a) (−b) = ab
suma. O sea los enteros tambi´ n dan el primer ejemplo de anillo.
e
Un conjunto A no vac´o con dos operaciones bi­
ı
A1) (A, +) es un grupo abeliano
narias + y • se le llama anillo si se cumplen los
A2) • es asociativa
axiomas en el recuadro a la izquierda. Si el anillo
A3) • es distributiva con respecto a +
es tal que la operaci´ n • es conmutativa entonces
o
A4) • tiene elemento neutro
se dice que tenemos un anillo conmutativo.
En un anillo al neutro para la suma se le llama cero y se denota por 0. Al neutro para el
producto se le llama uno y se denota por 1. Al inverso de un elemento con respecto a la suma
de un elemento se le llama su opuesto. Al inverso con respecto al producto de un elemento
se le llama inverso multiplicativo o simplemente inverso a secas.
Observemos que si a es un elemento de un anillo entonces a • 0 + a = a • (0 + 1) = a
y debido a la unicidad del 0 obtenemos que a • 0 = 0. De la misma manera vemos que
0 • a = 0. Si 1 = 0 entonces, a = 1 • a = 0 • a = 0 por lo que el anillo consta de un
solo elemento. Para descartar esta trivialidad supondremos siempre que 1 6= 0. De aqu´ se ı
desprende que 0 no puede tener inverso ya que 0 = a • 0 = 1 es una contradicci´ n.o

16. 8 Cap´tulo 1. Campos
ı
En cualquier anillo −a denota al opuesto de a y a−1 (si existe) denota al inverso de a.
Como 1 × 1 = 1 tenemos 1−1 = 1. Tambi´ n (−1)−1 = −1 ya que si a = −1 entonces
e
0 = a (a + 1) = aa + a por lo que aa = −a o sea, (−1) (−1) = 1. Luego, en todo anillo
1 y −1 tienen inversos. En Z ning´ n elemento salvo 1 y −1 tiene inverso.
u
Normalmente en la definici´ n de anillo no se pide el axioma A4. En este caso, a los anillos que
o
tienen elemento neutro para el producto se le llaman anillos unitarios. Un ejemplo de anillo no
unitario es el conjunto de todos los enteros pares. Con el objetivo de simplificar, para nosotros
todos los anillos son unitarios.
Racionales
Para lograr que cada elemento diferente de cero tenga inverso inventamos las fraccio­
nes y con ellas el conjunto de n´ meros racionales Q. Una fracci´ n es un par ordenado de
u o
a c n´ meros enteros denotado por a/b donde b 6= 0. Dos fraccio­
u
= ⇔ a • d = c • b nes son iguales cuando se cumple la igualdad en el recuadro.
b d
Los n´ meros racionales Q son las fracciones con la relaci´ n de
u o
igualdad as´ definida. Los enteros son parte de los racionales por cuanto podemos identificar
ı
cada n´ mero entero a ∈ Z con la fracci´ n a/1.
u o
La suma y el producto de n´ meros racionales se definen por
u
las igualdades en el recuadro. Nuevamente los racionales con la a + c = a • d + c • b
suma forman un grupo abeliano y otra vez el producto es aso­ b d b•d
ciativo, conmutativo, tiene elemento neutro y es distributivo con a c a•c
• =
respecto a la suma. La diferencia es que ahora todo elemento di­ b d b • d
ferente de cero tiene inverso multiplicativo. O sea los racionales
nos dan el primer ejemplo de campo.
Un conjunto K no vac´o con dos operaciones bi­
ı
C1) (K, +) es un grupo abeliano narias + y • se le llama campo si se cumplen los
C2) (K0, •) es un grupo abeliano tres axiomas C1­C3. En otras palabras un campo
C3) • es distributiva con respecto a + es un anillo conmutativo en la cual todo elemento
diferente de cero tiene inverso multiplicativo.
Ejercicio 10 Si ◦ es una operaci´ n en A entonces, en A2 est´ definida la operaci´ n por
o a o
coordenadas (x, y) ◦ (x0 , y0 ) = (x ◦ x0 , y ◦ y0 ). Pruebe que si (A, ◦) es un grupo entonces
¡ 2 ¢ ¡ ¢
A , ◦ es un grupo, si (A, +, •) es un anilloentonces, A2 , +, • es tambi´ n un anillo.
e
Ejercicio 11 Sea ¡(K, +, •)¢un campo. Como K es un anillo conmutativo entonces, por el
ejercicio anterior, K , +, • tambi´ n es un anillo conmutativo. ¿Ser´ K un campo? [126]
2
e 2
a
Reales

17. Secci´ n 1.2
o N´ meros
u 9
Dicen que cuando Pit´ goras (Samos 569­475 A.C.) descubri´ que
a o
la longitud de la hipotenusa de un tri´ ngulo rect´ ngulo con cate­
a a
tos de longitud uno no es un n´ mero racional
u
√
qued´ horrorizado. A nosotros nos parece esto
o 2
una exageraci´ n. Sin embargo, si nos ponemos 1
o
en el lugar de Pit´ goras comprenderemos que
a
1
en aquel momento era inconcebible que existan
n´ meros que no sean cociente de dos enteros.
u √ p
2 6=
La pintura a la izquierda es un detalle del fres­ q
co de Rafael “La escuela de Atenas” en la cual
supuestamente, se muestra a Pit´ goras.
a
√
Sigamos a Pit´ goras y probemos que efectivamente 2 no es un racional. Para esto
a √
denotemos por kak2 el n´ mero de veces que el natural a se divide entre 2. Tenemos 2 =
° ° ° ° u
p
q
⇒ °2q2 °2 = °p2 °2 ⇒ 1 + 2 kqk2 = 2 kpk2 lo que es una contradicci´ n ya que un
o
n´ mero impar no puede ser igual a uno par.
u
√
Ejercicio 12 Sea n un n´ mero natural. Pruebe que n es un natural o no es racional. [126]
u
√
Ejercicio 13 Basandose en el anterior de otra prueba de que 2 no es racional. [126]
Esto motiva la construci´ n de los n´ meros reales R. La construci´ n de los reales es
o u o
un proceso complicado y se han descubierto muchas formas de formalizar esta construci´ n o
siendo la m´ s popular la de las cortaduras de Dedekind. Para nuestros prop´ sitos basta una
a o
definici´ n menos formal y m´ s intuitiva: un n´ mero real es simplemente un l´mite de ra­
o a u ı
cionales. Las propiedades de la suma y producto de racionales se traspasan f´ cilmente a los
a
reales usando las propiedades del l´mite de sucesiones. De esta manera obtenemos nuestro
ı
campo principal (R, +, •) . El campo de los reales se destaca porque es ordenado (siempre
podemos decidir si un n´ mero real es mayor, menor o igual a cero) y porque es cerrado (el
u
l´mite de reales si existe es un real). Por otro lado, no es un factor a despreciar el hecho de
ı
que el espacio en que vivimos es (o al menos nos parece que es) R3 .
Ejercicio 14 Pruebe que la longitud de un segmento de recta es un n´ mero real. [126]
u
Complejos
En 1546 Gerolamo Cardano public´ su libro “Ars Magna” en el cual di´ m´ todos (basa­
o o e
dos en parte en el trabajo de otros matem´ ticos) para el calculo de las raices de los polinomios
a
de grado 3 y 4. Estos m´ todos, a veces requer´an el extraer raices cuadradas de n´ meros ne­
e ı u
gativos, incluso cuando el resultado final era un n´ mero real. Rafael Bombelli estudi´ este
u o
asunto en detalle y es considerado como el descubridor de los n´ meros complejos.
u

18. 10 Cap´tulo 1. Campos
ı
Para lograr que todos los polinomios tengan raices inven­
√
tamos el imaginario i = −1 y definimos que un n´ mero (a + bi) + (a0 + b0 i) =
u
complejo es algo de la forma a + bi donde a, b ∈ R. La
(a + a0 ) + (b + b0 ) i
suma y el producto de complejos se definen por las f´ rmulas
o
en los recuadros a la derecha y abajo a la izquierda.
Las propiedades de la suma y el producto se desprenden in­
(a + bi) × (a + b i) =
0 0
mediatamente de sus definiciones y es f´ cil comprobar que
a
(C, +, •) es un anillo conmutativo. Para ver que es un cam­
(aa0 − bb0 ) + (ab0 + a0 b) i ¡ ¢−1
po, observamos que (a + bi)−1 = a2 + b2 (a − bi).
La principal propiedad que hace que para muchas cosas el campo C sea el m´ s simple es
a
que el (a diferencia de R) es algebraicamente cerrado, o sea que todo polinomio de grado
n > 0 con coeficientes en complejos tiene n raices complejas.
1.3 Morfismos
En esta secci´ n estudiaremos las funciones entre conjuntos con operaciones binarias.
o
Morfismos de grupos
Sean ◦ y • operaciones binarias definidas en los conjuntos A y B respectivamente. Una
funci´ n f : A → B se le llama morfismo si para cualesquiera a1 y a2 elementos de A se
o
cumple que f (a1 ◦ a2 ) = f (a1 ) • f (a2 ).
Todo morfismo conserva las propiedades fundamentales de las operaciones
binarias. M´ s precisamente, si f : (A, ◦) → (B, •) es un morfismo entonces,
a
1. • es una operaci´ n binaria dentro de la imagen de f.
o
2. Si ◦ es conmutativa entonces • es conmutativa en la imagen de f.
3. Si ◦ es asociativa entonces • es asociativa en la imagen de f.
4. Si e es neutro de ◦ entonces f (e) es neutro de • en la imagen de f.
5. Si a0 es inverso de a en A entonces f (a0 ) es inverso de f (a) en B.
Prueba. Sean b1 , b2 y b3 elementos cualesquiera en la imagen de f. Existen a1 , a2 y a3 en
A tales que f (ai ) = bi para i ∈ {1, 2, 3}. Como f es un morfismo, obtenemos la igualdad
b1 • b2 = f (a1 ) • f (a2 ) = f (a1 ◦ a2 ) (*)
que prueba la primera afirmaci´ n. Si ◦ es conmutativa entonces, usando (*) obtenemos
o
b1 • b2 = f (a1 ◦ a2 ) = f (a2 ◦ a1 ) = b2 • b1
por lo que • es tambi´ n conmutativa. Si ◦ es asociativa entonces, usando (*) obtenemos
e
(b1 • b2 ) • b3 = f (a1 ◦ a2 ) • f (a3 ) = f ((a1 ◦ a2 ) ◦ a3 ) =
= f (a1 ◦ (a2 ◦ a3 )) = f (a1 ) • f (a2 ◦ a3 ) = b1 • (b2 • b3 )

19. Secci´ n 1.3
o Morfismos 11
y por lo tanto • es asociativa en la imagen de f. Si e es neutro de la operaci´ n ◦ entonces,
o
b1 • f (e) = f (a1 ) • f (e) = f (a1 ◦ e) = f (a1 ) = b1
f (e) • b1 = f (e) • f (a1 ) = f (e ◦ a1 ) = f (a1 ) = b1
por lo que f (e) es el neutro de • en la imagen de f. Sea a0 el inverso de a en A entonces,
f (a) • f (a0 ) = f (a ◦ a0 ) = f (e)
f (a0 ) • f (a) = f (a0 ◦ a) = f (e)
de lo que concluimos que f (a0 ) es el inverso de f (a).
Ejercicio 15 Justifique todas las igualdades utilizadas en la prueba de 1.1.
´
¿Y porqu´ siempre dentro de la imagen de f y no en todo B? La respuesta es que lo unico
e
que sabemos de B est´ dado por el morfismo. Aquellos elementos de B que no tienen pre­
a
imagen no los podemos enlazar con los de A y por lo tanto no podemos decir nada de ellos.
De aqu´ en lo adelante a la imagen de cualquier funci´ n f (y en particular de un morfismo)
ı o
la denotaremos por Im f.
Si (A, ◦) es un grupo entonces (Im f, •) es un grupo.
Prueba. Por 1.1.1 • es una operaci´ n binaria en Im f. Por 1.1.3 esta operaci´ n es asociativa.
o o
Por 1.1.4 esta operaci´ n tiene elemento neutro. Por 1.1.5 cada elemento b = f (a) ∈ Im f
o
tiene su inverso f (a0 ) donde a0 es el inverso de a en A. Esto completa la prueba de todos los
axiomas de grupo.
Recordemos que si f : A → B es una funci´ n entonces al conjunto A se le llama dominio
o
de f y al conjunto B codominio de f. Si el dominio y el codominio de un morfismo son grupos
entonces se dice que este es un morfismo de grupos.
Ejercicio 16 Construya un morfismo inyectivo de (R, +) en (R, •). ¿Cual es su imagen?
Morfismos de anillos
¿Y que pasa con la distributividad? ¿Tambi´ n se conserva? El primer problema que te­
e
nemos que resolver es que en la distributividad est´ n involucradas dos operaciones. Sean
a
(A, +, •) y (B, +, •) dos conjuntos cada uno con dos operaciones binarias. Observese que
estas son cuatro operaciones distintas pero hemos usado estas notaciones porque el trabajar
con cuatro s´mbolos diferentes ya es demasiada confusi´ n.
ı o
Una funci´ n f : A → B se le llama morfismo si para cualesquiera a1 y a2 elementos de
o
A se cumple que f (a1 + a2 ) = f (a1 ) + f (a2 ) y f (a1 • a2 ) = f (a1 ) • f (a2 ). Recalquemos
que el “y” quiere decir que se tienen que cumplir las dos propiedades. O sea, si hay dos
operaciones entonces, se requiere que la funci´ n sea morfismo para cada una de ellas.
o

20. 12 Cap´tulo 1. Campos
ı
Si • es distributiva con + en A entonces,
• es distributiva con + en la imagen de f.
Prueba. Sean x, y, z ∈ A tales que f (x) = a, f (y) = b y f (z) = c. Tenemos
a • (b + c) = f (x) • (f (y) + f (z)) = f (x) • f (y + z) = f (x • (y + z)) =
= f (x • y + x • z) = f (x • y) + f (x • z) = f (x) • f (y) + f (x) • f (z) = a • b + a • c
y esto prueba la tesis.
Si el dominio y el codominio de un morfismo son anillos entonces se dice que este es un
morfismo de anillos. Si el dominio y el codominio de un morfismo son campos entonces se
dice que este es un morfismo de campos.
Ejercicio 17 Demuestre que si (A, +, •) es un anillo y f : A → B es un morfismo entonces,
(Im f, +, •) es un anillo. Demuestre que lo mismo ocurre para los campos.
Ejercicio 18 Pruebe que si f : A → B es un morfismo de anillos y A es un campo entonces
f es inyectivo. En particular todo morfismo de campos es inyectivo. [126]
Isomorfismos
A los morfismos biyectivos se les llama isomorfismos. Esto se aplica tanto para con­
juntos con una como tambi´ n con dos operaciones binarias. As´ que tenemos isomorfismos
e ı
de grupos, de anillos y de campos. Para cada isomorfismo f existe una funci´ n inversa f−1 .
o
¿Cuando ser´ f un morfismo? La respuesta es que siempre.
a −1
La inversa de un isomorfismo es un isomorfismo.
Prueba. Sea f : (A, ◦) → (B, •) un isomorfismo. Sean b1 , b2 cualesquiera elementos de B.
Denotemos a1 = f−1 (b1 ) y a2 = f−1 (b2 ). Tenemos
f−1 (b1 • b2 ) = f−1 (f (a1 ) • f (a2 )) = f−1 (f (a1 ◦ a2 )) = a1 ◦ a2 = f−1 (b1 ) ◦ f−1 (b2 )
que es lo que se requer´a demostrar. Si el isomorfismo involucra dos operaciones binarias
ı
entonces el mismo argumento aplicado a las dos operaciones, nos da la prueba de la tesis.
Ahora podemos aplicar 1.1 en los dos sentidos. Si f : (A, ◦) → (B, •) es un isomorfismo
entonces de que • es conmutativa implica que ◦ es conmutativa y en conclusi´ n ◦ es conmu­
o
tativa si y solo si • es conmutativa. Lo mismo ocurre con la asociatividad, con la existencia
de neutros e inversos y para el caso de dos operaciones con la distributividad. O sea que ◦
tiene ex´ ctamente las mismas propiedades de •.
a
Pero no solo son operaciones parecidas sino que son en cierto sentido la misma. Para
convencernos de esto supongamos que conocemos la operaci´ n ◦ y conocemos el isomorfis­
o

21. Secci´ n 1.3
o Morfismos 13
mo f pero no sabemos nada de la operaci´ n •. ¿Podremos calcular b1 • b2 ? La respuesta es
o ¡ ¢
si, lo podemos calcular por la identidad b1 • b2 = f f−1 (b1 ) ◦ f−1 (b2 ) . Rec´procamen­
ı
´
te, ◦ se define de forma unica por la operaci´ n • y el isomorfismo f mediante la identidad
o
a1 • a2 = f (f (a1 ) ◦ f (a2 )). En conclusion ambas operaciones se definen una a otra.
−1
Para que el lector comprenda mejor eso de que ◦ y
• son la misma operaci´ n veamos un ejemplo. Sea A el
o ◦ u v • 1 −1
conjunto de letras {u, v} y B el conjunto de los n´ meros
u u u v 1 1 −1
{1, −1}. Definamos las operaciones ◦ y • mediante las v v u −1 −1 1
tablas del recuadro a la derecha.
El lector debe observar que la segunda tabla es la tabla usual de multiplicaci´ n de enteros.
o
´
Adem´ s, para obtener la segunda tabla de la primera lo unico que necesitamos es cambiar ◦
a
por • , u por 1 y v por −1. Esto lo que quiere decir, es que la funci´ n u 7→ 1 , v 7→ −1 es
o
un isomorfismo de (A, ◦) en (B, •). El lector puede ver que ambas tablas son en esencia la
misma, solamente que las notaciones para los elementos y la operaci´ n est´ n cambiadas.
o a
Si para dos grupos (o anillos o campos) existe un isomorfismo entre ellos entonces se
dice que ellos son isomorfos. Etimol´ gicamente, la palabra “isomorfo” significa que “tie­
o
nen la misma forma”. En forma intuitiva, que ellos sean isomorfos quiere decir que los dos
son iguales con la salvedad de que podemos cambiar las notaciones de los elementos y las
operaciones.
Ciertos tipos de morfismos tienen nombres especiales. A los morfismos sobreyectivos se
les llama epimorfismos, a los injectivos se les llama monomorfismos. A los morfismos de
un conjunto en si mismo se les llama endomorfismos y a los endomorfismos biyectivos se
les llama automorfismos.
En otras ramas de las matem´ ticas tambi´ n se definen morfismos e isomorfismos. Sin embargo no
a e
siempre es suficiente la biyectividad para definir los isomorfismos. Por ejemplo, en topolog´a los
ı
morfismos son las funciones continuas. Pero la inversa de una biyecci´ n continua no siempre es
o
continua. Por esto, un isomorfismo de espacios topol´ gicos hay que definirlo como una biyecci´ n continua
o o
cuya inversa es continua.
Composici´ n de morfismos
o
Sean A, B y C tres conjuntos y f : A → B , g : B → C dos funciones. A la funci´ n o
g ◦ f : A → C definida por (g ◦ f) (a) = g (f (a)) se le llama la composici´ n de f con g. A
o
partir de ahora el s´mbolo ◦ solo lo utilizaremos para denotar la composici´ n de funciones.
ı o
Observese el orden en que escribimos las funciones ya que la composici´ n de funciones no
o
es conmutativa.
La composici´ n de funciones es asociativa.
o
Prueba. Sean f : A → B , g : B → C y h : C → D tres funciones. Por definici´ n de o
composici´ n para cualquier a ∈ A tenemos
o
(h ◦ (g ◦ f)) (a) = h ((g ◦ f) (a)) = h (g (f (a))) = (h ◦ g) (f (a)) = ((h ◦ g) ◦ f) (a)

22. 14 Cap´tulo 1. Campos
ı
que es lo que se quer´a probar
ı
Ahora, supongamos que en A, B y C hay definidas operaciones binarias. Entonces f, g y
g ◦ f pueden ser morfismos o no. Sin embargo, si f y g lo son entonces f ◦ g tambi´ n lo es.
e
Las composici´ nes de morfismos son morfismos.
o
Prueba. Denotemos las operaciones en A, B y C con el mismo s´mbolo •. Como f y g
ı
son morfismos tenemos (g ◦ f) (a • b) = g (f (a • b)) = g (f (a) • f (b)) = g (f (a)) •
g (f (b)) = (g ◦ f) (a) • (g ◦ f) (b) que es lo que se necesitaba probar.
Ejercicio 19 Pruebe que el conjunto de todos los automorfismos de un conjunto con una o
dos operaciones binarias es un grupo con respecto a la composici´ n de funciones.
o
1.4 Campos de restos
Hasta ahora los campos que conocemos son Q, R y C que se supone que ya son muy
conocidos por el lector. Es imprescindible, para dar una intuici´ n saludable de lo que es un
o
campo, introducir otros que no sean tan usuales. En esta secci´ n presentaremos ciertos cam­
o
pos que tienen un n´ mero finito de elementos. Para construirlos, usaremos las propiedades
u
de los morfismos de la secci´ n anterior.
o
El anillo de los enteros m´ dulo n
o
Sea n un n´ mero natural mayor que 1. Para un entero a la a ¢ b = (a + b) mod n
u
notaci´ n a mod n significa el resto de la divisi´ n de a entre n. a ¡ b = (ab) mod n
o o
O sea, el menor natural k tal que existe un entero t para los
cuales a = k + tn. Por definici´ n a mod n ∈ Zn = {0, 1, ..., n − 1} por lo que en Zn hay
o
naturalmente definidas dos operaci´ nes binarias como se muestra en el recuadro.
o
Ejercicio 20 Construya las tablas de sumar y multiplicar en Z2 , Z3 y Z4 .
(Zn , ¢, ¡) es un anillo conmutativo.
Prueba. Probemos que la funci´ n f : (Z, +, •) → (Zn , ¢, ¡) dada por f (a) = a mod n es
o
un morfismo de anillos. Observemos que por definici´ n a¢b = f (a + b) y a¡b = f (ab) .
o
Para cualesquiera x, y ∈ Z por definici´ n de f existen enteros p, q tales que x = f (x) +
o
qn, y = f (y) + pn y por lo tanto f (x) = f (y) si y solo si x − y es multiplo de n.

23. Secci´ n 1.4
o Campos de restos 15
Tenemos que f (x) + f (y) = x + y − (q + p) n y por lo tanto (f (x) + f (y)) − (x + y)
es m´ ltiplo de n. Luego, f (x + y) = f (f (x) + f (y)) o lo que es lo mismo, f (x + y) =
u
f (x) ¢ f (y) y esto prueba que f es morfismo para la suma.
Por otro lado f (x) f (y) = (x − qn) (y − pn) = xy + (nqp − yq − xp) n y por lo
tanto (f (x) f (y)) − (xy) es m´ ltiplo de n. Luego, f (xy) = f (f (x) f (y)) o lo que es lo
u
mismo, f (xy) = f (x) ¡ f (y) y esto prueba que f es morfismo para el producto.
Como f es sobre, (Z, +, •) es anillo conmutativo y los morfismos preservan las propie­
dades de las operaciones, concluimos que (Zn , ¢, ¡) es tambi´ n un anillo conmutativo.
e
Hemos denotado la suma y el producto en Zn con los s´mbolos extra˜ os ¢ y
ı n
¡. El objetivo de esto fu´ el asegurarnos que en la demostraci´ n del resultado
e o
anterior el lector no se confundiera con la suma y el producto habitual de n´ me­
u
ros enteros. De ahora en lo adelante no haremos m´ s esto. La suma en Zn se denotar´ con el
a a
s´mbolo + y el producto, con la ausencia de s´mbolo alguno, o a lo m´ s, con un punto. Para
ı ı a
poder hacer esto es necesario que el lector comprenda (muchas veces solo del contexto) en
que sentido estamos utilizando estas notaciones. As´ por ejemplo, 2 + 3 = 5 si la suma es la
ı
habitual de enteros o es la de Z11 pero 2 + 3 = 1 si la suma es la de Z4 .
Dominios de integridad
Despu´ s de saber que (Zn , +, ·) es un anillo conmutativo, lo natural es preguntarnos si
e
´
este es un campo, ya que lo unico que le falta a un anillo conmutativo para ser campo, es la
existencia de inversos para el producto. Veamos por ejemplo el caso de Z6 . Aqu´ tenemos
ı
2·3 = 0. Que raro, el producto de dos n´ meros diferentes de cero es igual a cero. ¿Es posible
u
eso en un campo? Veremos que no.
Un anillo conmutativo se le llama dominio de integridad si el producto elementos dis­
tintos de cero es siempre diferente de cero. Sabemos que Z, Q, R y C son dominios de
integridad. Tambi´ n, ya vimos que Z6 no es dominio de integridad.
e
Todo campo es un dominio de integridad.
Prueba. Supongamos pq = 0 y p 6= 0 entonces multiplicando la primera igualdad por el
inverso multiplicativo de p obtenemos 0 = p−1 0 = p−1 pq = q. Luego, q = 0.
Luego, Z6 no es un campo. Este ejemplo se generaliza f´ cilmente. Sea n = pq una
a
descomposici´ n en factores no triviales (ambos diferentes a 1) de n. Sabemos que p y q
o
est´ n en Zn y que pq = n = 0 mod n. Luego, si n es un n´ mero compuesto (no primo)
a u
entonces, Zn no es un dominio de integridad y por lo tanto no es un campo.
El campo de los enteros m´ dulo p
o
Y ¿que pasa cuando p es primo?

24. 16 Cap´tulo 1. Campos
ı
Zp es un dominio de integridad.
Prueba. Sean x, y ∈ {1, . . . , p − 1} . Si xy = 0 en Zp entonces xy = 0 mod p. Luego, en Z
tenemos que xy = kp. Como p es primo entonces, p divide a x o y pero esto no puede ser
ya que ambos son menores que p.
Este resultado no es suficiente para probar que Zp es un campo ya que hay dominios de
integridad que no son campos (por ejemplo Z). Nos hace falta el siguiente resultado.
Todo dominio de integridad finito es un campo.
Prueba. Sea A un dominio de integridad finito. Para ver que A es un campo solo hay que
demostrar que todo elemento no nulo tiene inverso. Sea a un elemento arbitrario no nulo de
A. Denotemos por fa la funci´ n A 3 x 7→ ax ∈ A. Esta funci´ n es inyectiva ya que
o o
(ax = ay) ⇒ (a (x − y) = 0) ⇒ (x − y = 0) ⇒ x = y
Como fa es una funci´ n inyectiva de un conjunto finito en si mismo es tambi´ n sobreyectiva.
o e
Luego tiene que existir b tal que fa (b) = ab = 1. Como el producto es conmutativo, esto
demuestra que a tiene inverso.
Como Zp es finito, concluimos inmediatamente que Zp es un campo si y
solo si p es un n´ mero primo. Los campos Zp son los primeros ejemplos de
u
campos que tienen un n´ mero finito de elementos. A los campos finitos se
u
les lama campos de Galois en honor al matem´ tico franc´ s Evariste Galois
a e
(1811­1832). Al resolver el problema de encontrar cuales ecuaciones poli­
nomiales son solubles en radicales y cuales no, Galois de facto invent´ la
o
Teor´a de Grupos. Galois muri´ a los 20 a˜ os en un duelo provocado por
ı o n
asuntos amorosos y/o pol´ticos. El apellido Galois se pronuncia en espa˜ ol como “galu´ ”
ı n a
Ejercicio 21 Halle los inversos de los elementos no nulos de Z5 . [126]
Ejercicio 22 Demuestre que todo subgrupo finito con q elementos del grupo multiplicativo
de un campo es isomorfo a (Zq , +) . En particular, (Zp 0, •) es isomorfo a (Zp−1 , +). [127]
Ejercicio 23 Demuestre que Z2 con las operaciones (a, b) + (a0 , b0 ) = (a + a0 , b + b0 ) y
11
(a, b) (a0 , b0 ) = (aa0 + 7bb0 , ab0 + a0 b) es un campo de 121 elementos. [128]
1.5 Campos primos. Caracter´stica
ı
Sea K un campo. Un subcampo de K es sencillamente un subconjunto de K que es
campo para las mismas operaciones. Si L es un subcampo de K entonces ∀a, b ∈ L ∀c ∈
L{0} se tienen que cumplir las siguientes propiedades

25. Secci´ n 1.5
o Campos primos. Caracter´stica
ı 17
1. a + b ∈ L, −a ∈ L, (L es un subgrupo aditivo)
2. ab ∈ L, c−1 ∈ L, (L{0} es un subgrupo multiplicativo)
Rec´procamente, si se cumplen las propiedades 1 y 2 entonces, las operaciones de suma,
ı
opuesto, producto e inverso est´ n correctamente definidas dentro de L y el tiene que contener
a
a 0 y a 1. Como los axiomas de campo se cumplen dentro de todo K, con m´ s raz´ n se
a o
cumplen dentro de L. Esto indica que para comprobar si L es un subcampo basta comprobar
las propiedades 1 y 2. El ejemplo m´ s sencillo de esto es Q, que es subcampo R, que a su
a
vez es subcampo de C.
El concepto de subcampo incluye las operaciones. Si por un lado podemos consi­
derar a Zp = {0, 1, ..., p − 1} como subconjunto de Q, por el otro, Zp NO es un
subcampo de Q (ya que por ejemplo 2 (p − 1) = p − 2 en Zp lo que no es cierto
en Q). De la misma manera, ning´ n Zp es subcampo de Zq para p 6= q.
u
Campos primos
Todo campo es subcampo de si mismo. A los campos que no tienen ning´ n subcampo
u
distinto de si mismo se les llama campos primos. Los campos primos son los m´ s sencillos
a
y deduciremos cuales todos ellos.
Todo campo K contiene un unico subcampo primo
´
que est´ contenido en cualquier subcampo de K.
a
Prueba. La intersecci´ n de una colecci´ n arbitraria de subcampos de K es un subcampo.
o o
Para ver esto observamos que si a y b pertenecen a todos los subcampos de la colecci´ n o
entonces a + b tambi´ n. Por lo tanto, a + b est´ en la intersecci´ n de ellos. Lo mismo
e a o
ocurre para el producto, para los neutros y los inversos. En particular, si nos fijamos en la
intersecci´ n de todos los subcampos de K, vemos que esta es un subcampo que no contiene
o
subcampos y que est´ contenida en cualquier subcampo de K.
a
El campo Q de los n´ meros racionales es primo.
u
Prueba. Sea K un subcampo de Q. Tenemos 1 ∈ K y por lo tanto todas las sumas 1 + ... + 1
y sus opuestos aditivos tienen que estar en K. Luego, todos los enteros est´ n en K. Tambi´ n
a e
los inversos multiplicativos de los n´ meros enteros y sus productos tienen que estar todos en
u
K. Luego, todos los racionales est´ n en K.
a
Los campos Zp de los restos m´ dulo un n´ mero primo son campos primos.
o u
Prueba. Sea K un subcampo de Zp . Tenemos 1 ∈ K y por lo tanto todas las sumas 1+...+1

26. 18 Cap´tulo 1. Campos
ı
est´ n en K. Como cualquier elemento de Zp es suma de unos obtenemos que Zp ⊆ K.
a
Teorema de Clasificaci´ n de Campos Primos
o
Los campos Zp y el campo Q son los unicos campos primos.
´
n veces
z }| {
Prueba. Sea un K campo primo. Para un n´ mero natural n denotemos por n = 1 + ... + 1
u
donde 1 es el neutro multiplicativo de K. Observese que 0 = 0. Obviamente, n es un ele­
mento del campo. Denotemos por P = {n ∈ K | n ∈ N} . Hay dos posibilidades excluyentes
1. La aplicaci´ n n 7→ n es una biyecci´ n de en N en P.
o o
2. Existen dos naturales distintos n y m tales que n = m.
En el primer caso K contiene a los naturales. Como K es un campo tambi´ n tiene que
e
contener a los opuestos de los naturales, o sea a los enteros. Por la misma raz´ n, K tiene
o
que contener a los inversos de los enteros con lo que se prueba que los racionales son un
subcampo de K. Como K es primo obtenemos que K = Q.
En el segundo caso, sea p el natural m´ s peque˜ o para el cual existe n < p tal que n = p.
a n
Tenemos n = p ⇒ p − n = p − n = 0. Si n > 0 entonces, p − n < p y adem´ s p − n = 0
a
lo que contradice la minimalidad de p. Luego, n = 0 y por lo tanto p = 0.
Sea ahora x > p. Como sabemos dividir los enteros con resto entonces, existen naturales
a, k tales que x = a + kp y a < p. De aqu´ ı
kp veces k veces
z }| { z }| {
x = a + kp = a + kp = a + 1 + ·{z· + 1 + · · · + 1 + ·{z· + 1 = a + 0 + · · · + 0 = a
| · } | · }
p veces p veces
lo que muestra que P es el anillo Zp de los restos m´ dulo p. Si p no es primo entonces, en
o
Zp ⊆ K hay dos elementos a, b no cero tales que ab = 0. Como en un campo esto no es
posible entonces, deducimos que p es primo. Luego, Zp es un subcampo de K. Como K es
primo obtenemos que K = Zp .
Caracter´stica
ı
Por el teorema anterior cualquier campo o contiene a Q o contiene a Zp . Se dice que un
campo es de caracter´stica 0 si este contiene a Q. Se dice que un campo es de caracter´stica
ı ı
p si este contiene a Zp . La caracter´stica de un campo es un n´ mero primo o es cero. La
ı u
propiedad fundamental de la caracter´stica de un campo es la siguiente:
ı
Si K es un campo de caracter´stica t
ı
entonces, ta = 0 para cualquier a ∈ K.
Prueba. Si t = 0 la afirmaci´ n es trivial. Si t es primo entonces, el campo contiene a Zt y
o
t veces
z }| {
tx = x + ... + x = 1x + ... + 1x = (t1) x

27. Secci´ n 1.6
o Aritm´ tica de campos
e 19
Como 1 ∈ Zt entonces tambi´ n t1 ∈ Zt . En Zt se tiene que t1 = 0. Luego tx = 0x = 0.
e
Ejercicio 24 ¿Contradice o no 1.15 que todo campo es un dominio de integridad? [128]
Ejercicio 25 ¿Es cierto o no que en todo campo (a = −a) ⇒ (a = 0)? [128]
1.6 Aritm´ tica de campos
e
Los campos se comportan en la mayor´a de las cosas importantes como los n´ meros
ı u
reales. Por m´ s que tratemos construir un campo raro pero muy raro (lo que es posible) no
a
lograremos que se dejen de cumplir todas las propiedades de la aritm´ tica las cuales nos
e
son familiares desde temprana edad. Pasemos a describir en toda su generalidad algunas
consecuencias simples y otras un poco m´ s complicadas de los axiomas de campo lo que nos
a
convencer´ de lo afirmado.
a
´
Multiplos y exponentes enteros
En todo campo para cualquier n´ mero entero n y cualquier elemento del campo a se
u
usan las siguientes notaciones
⎧ n veces ⎧ n veces
⎪ z }| {
⎨ a + a + ... + a si n > 0 ⎪ z }| {
⎨ aa...a si n > 0
n
na = si n = 0 a = si n = 0
⎪
⎩ 0 ⎪ 1
⎩
(−n) (−a) si n < 0 1
a− n
si n < 0
y se cumplen las propriedades usuales: (n + m) a = na + ma y an+m = an am .
Asociatividad general
Recordemos nuevamente el uso del s´mbolo de sumatoria Σ. Si A es un conjunto
ı
X
n
finito de elementos del campo entonces podemos escribir la expresi´ n en el re­
o
ai cuadro a la izquierda para expresar que queremos sumar todos los elementos del
i=1
conjunto A = {a1 , ..., an }.
o o ´
La asociatividad de la operaci´ n de suma nos dice que esta expresi´ n tiene sentido unico
ya que no es necesario explicitar las sumas hay que realizar primero y cuales despu´ s.
e
En realidad incluso esta notaci´ n es redundante, m´ s consisa es esta otra nota­ X
o a
ci´ n en el recuadro a la derecha que podemos usar gracias a la conmutatividad de
o a
la suma. O sea no importa si en la suma a1 est´ delante de a2 o al rev´ z. Solo es a∈A
a e
necesario especificar cual es el conjunto A de elementos que se est´ n sumando.
a
Como tenemos que el producto de elementos de un campo es tambi´ n e
Yn Y asociativo y conmutativo podemos usar las expresiones equivalentes de
ai = a la izquierda para denotar el producto de todos los elementos del conjunto
i=1 a∈A
A = {a1 , ..., an } .

28. 20 Cap´tulo 1. Campos
ı
Distributividad general
Mucho m´ s dif´cil es dar una forma general de la ley distributiva. Usando las leyes de
a ı
los campos obtenemos (a + b) (c + d) = a (c + d) + Ã !Ã !
b (c + d) = ac + ad + bc + bd y el lector podr´ con­
a X X XX
vencerse f´ cilmente haciendo el c´ lculo para conjuntos
a a a b = ab
peque˜ os A y B que en general se cumple la f´ rmula
n o a∈A b∈B a∈A b∈B
de la derecha.
M´ s general, para muchos factores tenemos
a
à !à ! à !
X X X XX X
a b ··· c = ... ab · · · c
a∈A b∈B c∈C a∈A b∈B c∈C
A esta igualdad la llamaremos forma general de la ley distributiva y tendremos muchas
ocaciones en que la usaremos.
F´ rmula multinomial
o
Aplicando la forma general de la ley distributiva al caso en que todos los conjuntos sean
iguales obtenemos la siguiente f´ rmula:
o
à !n
X X X
a = ... a1 · · · an (*)
a∈A a 1 ∈A a n ∈A
Esta f´ rmula aunque relativamente sencilla tiene un gran defecto. Por ejemplo, el pro­
o
ducto aabacccbba que pudiera aparecer como sumando a la derecha de la igualdad tiene
(gracias a la asociatividad y conmutatividad del producto) una manera mucho m´ s sencilla
a
de expresarse como a b c . Para arreglar este defecto, d´ mosle nombres a los elementos de
4 3 3
e
A y pongamos A = {x1 , ..., xm }. Ahora si n1 , ..., nm son naturales entonces, un monomio
P
xn1 · · · xnm aparece como sumando a la derecha en la f´ rmula (*) si y solo si Pni = n (ya
1 m o
que los sumandos en (*) son productos de n elementos de A). Supongamos que ni = n. Si
todos los ni son uno o cero entonces en (*) hay n! sumandos iguales al monomio xn 1 · · · xnm
1 m
(ya que podemos ordenarlos de ese n´ mero de maneras). Si digamos n7 es mayor que 1 en­
u
tonces tenemos que dividir por n7 ! ya que al permutar x7 ...x7 no obtenemos nuevos suman­
dos en (*). Lo mismo sucede con los otros ni . Como por definici´ n 0! = 1! = 1, finalmente
o
obtenemos la siguiente expresi´ n conocida como f´ rmula multinomial.
o o
à m !n
X X n!
xi = xn 1 · · · xnm
m
i=1
n1 !...nm ! 1
donde la suma a la derecha de la igualdad recorre todas las soluciones en n´ meros naturales
P u
de la ecuaci´ n
o ni = n. En el caso particular m = 2, haciendo el cambio de variable
n1 = k obtenemos