Ecuaciones diferenciales

´ ´
METODOS CLASICOS
´
DE RESOLUCION DE
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS

Juan Luis Varona Malumbres
Profesor del Departamento de Matem´ticas y Computaci´n
a o
de la Universidad de La Rioja

´ ´
METODOS CLASICOS
´
DE RESOLUCION DE
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS

UNIVERSIDAD DE LA RIOJA

VARONA MALUMBRES, Juan Luis
M´todos cl´sicos de resoluciń de ecuaciones diferenciales
e a o
ordinarias / Juan Luis Varona. -- Logro~o : Servicio de
n
Publicaciones, Universidad de La Rioja, 1996.
XI-51 p.; 24 cm.
ISBN 84-88713-32-0
1. Ecuaciones diferenciales. I. Universidad de La Rioja.
Servicio de Publicaciones, ed. II. T´tulo
ı
517.91

Mathematics Subject Classification (1991): 34-01

c Juan Luis Varona
Edita: Universidad de La Rioja
Realiza: Servicio de Publicaciones
Logroõ, 1996
n
ISBN: 84-88713-32-0
Dep´sito Legal: LR-76-1996
o

Composiciń: TEX, realizada por el autor
o
Impresiń: Gr´ficas Ochoa, S.A.
o a

Reimpresiń (con pequeãs correcciones): 1999, 2007 y 2009
o n
URL del autor: http://www.unirioja.es/cu/jvarona/hola.html
http://www.unirioja.es/cu/jvarona/welcome.html

Impreso en Espaã
n Printed in Spain

´
PROLOGO

Este texto tuvo su origen en unos apuntes sobre Ecuaciones Diferenciales para los
alumnos de la Licenciatura de Matem´ticas, aunque, a lo largo de estos ultimos aõs,
a ´ n
hemos observado que, adem´s, resultaban utiles para otras carreras, en particular para
a ´
las enseãnzas de Ingenier´ Tćnicas de la Universidad de La Rioja. Visto que estos
n ıas e
apuntes pod´ ser aprovechados por diversas personas con diferentes objetivos, y puesto
ıan
que pod´ tener un p´blico no demasiado restringido, nos decidimos a darles vida en
ıan u
forma de libro.
Los m´todos cl´sicos para resolver ecuaciones diferenciales son importantes pero
e a
dif´
ıciles de recordar. Por eso nos planteamos escribir algo —en principio, los apuntes
antes mencionados— dedicado a ellos con exclusividad, donde se pudiesen encontrar los
m´todos fćilmente. De aqu´ que este libro no contiene nada de muchos de los aspectos
e a ı
fundamentales de la teor´ de ecuaciones diferenciales: existencia y unicidad de soluciones,
ıa
sistemas de ecuaciones, integraciń por desarrollos en serie, estabilidad, . . . , por citar s´lo
o o
unos pocos. Es claro que, matem´ticamente hablando, no puede plantearse un estudio serio
a
de las ecuaciones diferenciales sin abordar esos temas, pero no es ´ste el objetivo del libro.
e
Los temas que aqu´ se tratan pueden explicarse a estudiantes de diversas carreras tal como
ı
aparecen desarrollados. En cambio, el estudio de la existencia y unicidad de soluciones,
por ejemplo, requiere necesariamente un tratamiento distinto, ya sea m´s prćtico o m´s
a a a
te´rico, dependiendo del tipo de personas al que est´ destinado.
o e
El libro consta fundamentalmente de tres partes, de acuerdo a una primera clasificaciń
o
general de la ecuaciones que se estudian: ecuaciones expl´ıcitas de primer orden, ecuaciones
en las que la derivada aparece impl´ ıcitamente, y ecuaciones en las que se puede reducir
el orden. Cada una de estas partes abarca diversos tipos de ecuaciones, que aparecen en
lo que hemos denominado ((Apartados)), y que hemos numerado consecutivamente desde 1
hasta 13. Entre estos n´meros aparecen a veces algunos denotados con ((prima)), como 4′ .
u
Alguien malintencionado pod´ pensar que tan extraã notaciń respond´ simplemente
ıa n o ıa
a dejadez del autor, para no tener que renumerar los apartados tras haber redactado
el libro en desorden. No es ´ste el caso (al menos en estas notas). El uso de ((primas))
e
es intencionado, y quiere significar que un tipo se reduce al anterior mediante algń u
mecanismo en forma de cambio de variable. Por otra parte, todos los m´todos de resoluciń
e o
se basan, en esencia, en aplicar transformaciones diversas hasta llegar a una ecuaciń de
o
variables separadas, cuya resoluciń requiere s´lo calcular integrales. As´ pues, no ten´
o o ı ıa
′
sentido utilizar la denominaciń 1 (o sucesivas) para algń tipo concreto de ecuaciń,
o u o
puesto que lo mismo pod´ haberse aplicado a la mayor´ Varios de los tipos que se
ıa ıa.

v

vi M´todos cl´sicos de resoluciń de E. D. O.
e a o

estudian se subdividen a su vez en subtipos. En todo caso, siempre se analizan los procesos
que hay que seguir para llegar a la resoluciń, a veces por diferentes caminos.
o
Un resumen de los m´todos que se emplean, para recordarlos de un vistazo, es lo
e
que aparece en lo que hemos denominado ((Recetas)). Estos esquemas permiten clasificar
fćilmente las ecuaciones estudiadas y tener una r´pida indicaciń de c´mo abordar
a a o o
su resoluciń. As´ mismo, con cada tipo de ecuaciones se muestra un ejemplo t´
o ı ıpico
completamente resuelto.
En el libro aparece una pequeã bibliograf´ con libros exclusivamente en castellano. Al
n ıa
contrario que en muchos otros temas de matem´ticas, existen, en nuestro idioma, bastantes
a
textos dedicados a las ecuaciones diferenciales, as´ que s´lo hemos incluido unos pocos. (La
ı o
abundancia de libros en castellano sobre ecuaciones diferenciales se debe, en opiniń del
o
autor, al inter´s del tema en disciplinas no estrictamente matem´ticas. Realmente, en los
e a
temas m´s puntuales y de investigaciń, esta abundancia ya no puede considerarse cierta.)
a o
Entre las obras citadas, no hemos considerado necesario indicar cu´les son te´ricas y cu´les
a o a
se dedican fundamentalmente a la resoluciń de problemas, ya que nos ha parecido que sus
o
t´
ıtulos son bastante descriptivos.
Acaba el libro con un apńdice dedicado a los m´todos de resoluciń de integrales
e e o
inmediatas o c´lculo de primitivas. Tal como ya hemos mencionado anteriormente, todas
a
la ecuaciones que aqu´ estudiamos se intentan reducir a ecuaciones en variables separadas
ı
cuya soluciń se expresa por medio de integrales. As´ pues, tal recordatorio puede resultar
o ı
claramente de inter´s en el tema que estamos tratando.
e
Queremos dejar constancia de que los nombres que aparecen en el ´ ındice no se
corresponden exactamente con los t´ ıtulos que hemos ido dando a los diferentes apartados.
La no coincidencia no se debe a descuido, sino que ha sido pensada conscientemente para
que, cuando alguien se encuentra ante una ecuaciń que debe resolver, el ´
o ındice le permita
una r´pida identificaciń del tipo que se trata, y dńde se puede localizar dentro del texto.
a o o
Deseamos as´ mismo justificar la falta de un ´
ı ındice terminol´gico o tabla de contenidos,
o
que quiz´s alguien pueda echar en falta. La ventaja que tienen tales tipos de ´
a ındices es
que permiten buscar palabras clave clasificadas alfab´ticamente, al contrario que en un
e
´
ındice general en el que, obviamente, los apartados aparecen consecutivamente segń el u
orden en el que se abordan dentro del libro, y en el que muchos t´rminos suficientemente
e
descriptivos pueden no estar reflejados o ser dif´
ıciles de localizar. Es opiniń del autor que
o
casi cualquier libro de estudio o consulta deber´ llevar un ´
ıa ındice de nombres, as´ que no
ı
podemos resistirnos a explicar su ausencia.
Hay que tener presente que ´ste es un libro pequeõ en extensiń, dedicado a un tema
e n o
bastante puntual, con un ´ ındice detallado, y cuyo prop´sito es permitir que, cuando nos
o
encontramos ante una ecuaciń diferencial, podamos fćilmente distinguir su tipo para
o a
proceder a resolverla. As´ pues, no parec´ demasiado importante algo parecido a un ´
ı ıa ındice
de nombres, ya que lo que interesa al lector es saber identificar el tipo de una ecuaciń a la
o
vista de su aspecto, no de su nombre, que es fćil que quien consulta el libro no conozca.
a
Queremos tambiń mencionar la dificultad de elaborar un ´
e ındice de nombre suficientemente
completo; esto es as´ puesto que, aunque muchos de los tipos de ecuaciones que aqu´ se
ı ı
estudian s´ que tienen un nombre que los describe, esto no es as´ en todos los casos, sino
ı ı

Pr´logo
o vii

que muchas veces las catalogamos unicamente por su aspecto. Por esta razń, adem´s,
´ o a
muchos de los t´
ıtulos de los apartados son meramente descriptivos, clasificando el tipo de
ecuaciń mediante una f´rmula. De todas formas, si alguien desea buscar una ecuaciń
o o o
por su nombre, no es complicado localizarla en el ´
ındice ya que ´ste es, necesariamente,
e
pequeõ.
n
Tampoco se ha incluido un ´ ındice de ((recetas)), pues siempre aparecen, como mucho,
un par de p´ginas despu´s de cada tipo, luego resultan fćiles de localizar a trav´s del
a e a e
´
ındice. Lo mismo puede decirse de los ejercicios, que invariablemente estń colocados tras
a
la explicaciń te´rica del m´todo.
o o e
Aunque el libro ha sido suficientemente repasado, y ha sido ya utilizado como apuntes
fotocopiados durante varios aõs, la experiencia nos muestra la prćtica imposibilidad de
n a
evitar que se deslice alguna errata. En este aspecto, es de destacar que todas ellas son
debidas al autor y no a ningń proceso posterior en imprenta, puesto que el libro ha sido
u
editado directamente a partir de las p´ginas ya impresas suministradas por el autor. En
a
su confecciń se ha utilizado TEX, a cuyo creador, Donald Knuth, deseo hacer constar mi
o
gratitud por permitir a la comunidad matem´tica (y cient´
a ıfica en general) la utilizaciń
o
de tan potente y util herramienta destinada a elaborar textos de gran calidad tipogr´fica.
´ a
L´stima que, ań, no est´ lo suficientemente adaptado para escribir en lengua no inglesa.
a u e
As´ mismo, quiero agradecer a mis compa˜eros del Departamento de Matem´ticas
ı n a
y Computaciń de la Universidad de La Rioja sus sugerencias y correcciones sobre las
o
versiones preliminares de este libro. En particular, a Jos´ Luis Ansorena, Jos´ Manuel
e e
Guti´rrez y V´
e ıctor Lanchares, cuyas cr´
ıticas han permitido, sin duda, mejorar el texto.
Tambiń mi reconocimiento a Jos´ Javier Guadalupe, de quien aprend´ mis primeras
e e ı
nociones sobre ecuaciones diferenciales hace aõs, cuando estudiaba en el entonces Colegio
n
Universitario de La Rioja, semilla de nuestra actual Universidad; de sus apuntes dictados
en clase surgieron parte de estas notas, que se han ido completando durante varios aõs.
n
Por ultimo, a mi mujer, Mar´ Jos´ Ram´
´ ıa e ırez, que ha soportado mi ausencia durante las
m´ltiples horas que he dedicado a escribir este libro; como ahora —s´bado a las ocho de
u a
la maãna—, que duerme en la habitaciń de al lado mientras yo doy los ultimos (¡ojal´!)
n o ´ a
retoques al texto.

Juan Luis Varona
Dpto. de Matem´ticas y Computaciń
a o
Universidad de La Rioja
jvarona@unirioja.es

Logroõ, febrero de 1996
n

´
INDICE

´
PROLOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

´
INDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

GENERALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

ECUACIONES EXPL´
ICITAS DE PRIMER ORDEN y ′ = f (x, y) . . . . 5
1. Variables separadas g(x) = h(y)y ′ . . . . . . . . . . . 5
2. Ecuaciń de la forma y ′ = f (ax + by)
o . . . . . . . . . . 7
y
3. Homogńeas y ′ = f
e x . . . . . . . . . . . . . . . 7
a1 x+b1 y+c1
3′ . Reducibles a homogńeas y ′ = f
e ax+by+c . . . . . . . . 9
3′ .1. Caso ((rectas que se cortan)) . . . . . . . . . . . 9
3′ .2. Caso ((rectas paralelas)) . . . . . . . . . . . . 9
y
3′′ . Homogńeas impl´
e ıcitas F x
, y′ =0 . . . . . . . . . . . 11
3′′′ . Ecuaciń y ′ = f (x, y) con f (λx, λα y) = λα−1 f (x, y) .
o . . . . . 12
4. Ecuaciones exactas P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 con Py = Qx . . . 14
4′ . Reducibles a exactas: Factores integrantes . . . . . . . . . 16
4′ .1. Factor integrante de la forma µ(x) . . . . . . . . . 16
4′ .2. Factor integrante de la forma µ(y) . . . . . . . . . 16
4′ .3. Otras expresiones restrictivas para µ(x, y) . . . . . . . 16
5. Ecuaciones lineales de primer orden y ′ + a(x)y = b(x) . . . . . 17
5′ . Ecuaciń de Bernoulli y ′ + a(x)y + b(x)y α = 0
o . . . . . . . 21
5′′ . Ecuaciń de Riccati y ′ + a(x)y + b(x)y 2 = c(x)
o . . . . . . . 22
6. Sustituciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

ix

x M´todos cl´sicos de resoluciń de E. D. O.
e a o

ECUACIONES EN LAS QUE LA DERIVADA APARECE IMPLÍCITAMENTE
′
F (x, y, y ) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7. F algebraica en y ′ de grado n . . . . . . . . . . . . . 25
Obtenciń de la envolvente de una familia de curvas .
o . . . . . 26
8. Ecuaciń de la forma y = f (x, y ′ )
o . . . . . . . . . . . 27
8.1. Ecuaciń y = f (y ′ ) .
o . . . . . . . . . . . . . 27
8.2. Ecuaciń de Lagrange y + xϕ(y ′ ) + ψ(y ′ ) = 0 .
o . . . . . 28
8.3. Ecuaciń de Clairaut y − xy ′ + ψ(y ′ ) = 0
o . . . . . . . 28
9. Ecuaciń de la forma x = f (y, y ′ )
o . . . . . . . . . . . 32
10. Ecuaciń de la forma F (y, y ′ ) = 0
o . . . . . . . . . . . 33

ECUACIONES DIFERENCIALES EN LAS QUE SE PUEDE REDUCIR EL
ORDEN F (x, y, y ′, . . . , y (n) ) = 0 . . . . . . . . . . . . . . 35
11. Ecuaciń de la forma F (x, y (k) , . . . , y (n) ) = 0
o . . . . . . . . 35
11′ . Ecuaciones lineales de orden superior . . . . . . . . . . 36
12. Ecuaciń de la forma F (y, y ′ , . . . , y (n) ) = 0 .
o . . . . . . . . 40
12′ . Ecuaciń F (x, y, y ′, . . . , y (n) ) = 0 con F (λx, λm u0 , λm−1 u1 , . . . , λm−n un ) =
o
λα F (x, u0 , u1 , . . . , un ) . . . . . . . . . . . . . . . 42
13. Ecuaciń F (x, y, y ′, . . . , y (n) ) = 0 con F (x, λu0 , λu1 , . . . , λun ) =
o
λα F (x, u0 , u1 , . . . , un ) . . . . . . . . . . . . . . . 44

Pequeã bibliograf´ en castellano
n ıa . . . . . . . . . . . . . 47
´
APENDICE: M´todos b´sicos para calcular integrales indefinidas
e a . . . 49

GENERALIDADES

Desde los primeros pasos en el c´lculo diferencial, de todos es conocido que, dada una
a
dy
funciń y = f (x), su derivada dx = f ′ (x) es tambiń una funciń que se puede encontrar
o e o
−x3 dy 3
mediante ciertas reglas. Por ejemplo, si y = e , entonces dx = −3x2 e−x o, lo que es
dy
lo mismo, dx = −3x2 y. El problema al que nos enfrentamos ahora no es el de calcular
derivadas de funciones; m´s bien, el problema consiste en: si se da una ecuaciń como
a o
dy
dx = −3x2 y, hallar de alguna manera una funciń y = f (x) que satisfaga dicha ecuaciń.
o o
En una palabra, se desea resolver ecuaciones diferenciales.
dy
La forma de ecuaciń diferencial m´s sencilla que puede pensarse es dx = f (x).
o a
Resolverla consiste en encontrar una funciń cuya derivada sea f (x), es decir, encontrar
o
las primitivas (integrales indefinidas) de f (x). Por tanto, podemos decir que los m´todos
e
de resoluciń de ecuaciones diferenciales constituyen una generalizaciń del c´lculo de
o o a
primitivas.

Definiciń 1. Llamamos ecuaciń diferencial (E. D.) a una ecuaciń que relaciona
o o o
una funciń (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y
o
sus derivadas. Si la ecuaciń contiene derivadas respecto a una sola variable independiente
o
entonces se dice que es una ecuaciń diferencial ordinaria (E. D. O.); y si contiene las
o
derivadas parciales respecto a dos o m´s variables independientes se llama ecuaciń en
a o
derivadas parciales (E. D. P.).

Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias son

dy
− 4y = 2, (x + 2y) dx − 3y dy = 0 (1)
dx
y
3
d2 y dy
−4 + 3y = 0; (2)
dx2 dx
mientras que
∂u ∂u
x +y =u (3)
∂x ∂y
y
∂ 3u ∂2u ∂u
3
= 2 −4 (4)
∂x ∂t ∂t
son ecuaciones en derivadas parciales.

1

2 M´todos cl´sicos de resoluciń de E. D. O.
e a o

Otro tipo de ecuaciones que pueden estudiarse son las ecuaciones diferenciales de
retraso (o retardo), como es el caso de

u′ (t) = 7 − 2u(t − 3).

Estń caracterizadas por la presencia de un desplazamiento t − t0 en el argumento de la
a
funciń inc´gnita u(t). En general, son m´s dif´
o o a ıciles de manejar que las E. D. sin retraso.
No nos ocuparemos aqu´ de ellas.
ı

Definiciń 2. Se llama orden de la ecuaciń diferencial al orden de la derivada o derivada
o o
parcial m´s alta que aparece en la ecuaciń.
a o

As´ por ejemplo, las ecuaciones (1) y (3) son de orden 1, (2) es de orden 2 y (4) de
ı,
orden 3.
En lo que sigue nos preocuparemos s´lo de ecuaciones diferenciales ordinarias y, como
o
no habr´ lugar a confusiń, las denominaremos simplemente E. D. Por lo general, salvo
a o
que el contexto nos indique otra notaciń (o ´sta provenga de los cambios de variable que
o e
efectuemos), utilizaremos x para denotar la variable independiente e y para la variable
dependiente.

Definiciń 3. Decimos que una ecuaciń diferencial (de orden n) est´ expresada en forma
o o a
ıcita cuando tiene la forma
impl´

F (x, y, y ′, . . . , y (n) ) = 0

siendo F una funciń F : Ω ⊂ Rn+2 −→ R con Ω un subconjunto (generalmente abierto)
o
de Rn+2 . Y decimos que est´ expresada en forma expl´
a ıcita cuando tenemos

y (n) = f (x, y, y ′, . . . , y (n−1) )

con f : D ⊂ Rn+1 −→ R una funciń definida en un subconjunto D (generalmente abierto)
o
n+1
de R .

Una clase importante de E. D., bien estudiada y con buenas propiedades, es la
siguiente:

Definiciń 4. Se dice que una ecuaciń diferencial es lineal si tiene la forma
o o

dn y dn−1 y dy
an (x) + an−1 (x) n−1 + · · · + a1 (x) + a0 (x)y = g(x);
dxn dx dx

y se llama lineal homogńea si, adem´s, g(x) = 0. Dada una ecuaciń lineal, su
e a o
correspondiente ecuaciń lineal homogńea en la que se ha hecho g(x) = 0 se denomina
o e
lineal homogńea asociada. Una ecuaciń que no es lineal se dice no lineal.
e o

Nuestro objetivo es resolver ecuaciones diferenciales, esto es, encontrar sus soluciones.

Generalidades 3

Definiciń 5. Decimos que una funciń y = ϕ(x) definida en un intervalo I (es decir,
o o
ϕ: I ⊂ R −→ R) es soluciń de una ecuaciń diferencial en el intervalo si, sustituida en
o o
dicha ecuaciń, la reduce a una identidad. (En otras palabras, si satisface la E. D.) Una
o
E. D. se dice resoluble (o integrable) por cuadraturas si su soluciń es expresable
o
mediante integrales.

En general, la soluciń de una ecuaciń diferencial de orden n depender´ de n
o o a
par´metros. Pero incluso de esta forma pueden no obtenerse todas las soluciones de una
a
E. D. Por ejemplo, cuando tenemos una familia uniparam´trica de soluciones de una E. D.,
e
una sencilla interpretaciń geom´trica nos muestra que tambiń la envolvente de la familia
o e e
de curvas (si existe) es soluciń de la E. D.
o
A continuaciń, nos dedicaremos a explicar los diversos m´todos cl´sicos de resoluciń
o e a o
de E. D. No haremos hincapi´ en el intervalo de definiciń de las soluciones, ni efectuaremos
e o
un estudio detallado de la rigurosidad de los m´todos empleados que, en esencia, descansan
e
siempre en la regla de la cadena y los teoremas de la funciń inversa y de la funciń
o o
impl´ıcita. No nos detendremos nunca en comprobar las hip´tesis de estos teoremas, sino
o
que supondremos en todo momento que las funciones que aparecen en los m´todos descritos
e
son lo suficientemente ((buenas)), o estń lo suficientemente restringidas en su dominio, para
a
que siempre se satisfagan las hip´tesis necesarias. Tampoco nos preocuparemos en exceso
o
de saber si hemos obtenido todas las soluciones; a este respecto, en algunos casos nos
interesaremos por las soluciones singulares de una E. D., como puede ser la envolvente de
una familia de soluciones.
Nos apresuramos a seãlar que las f´rmulas generales que aparecen como soluciń
n o o
de diversos tipos de ecuaciones no deben memorizarse; m´s bien, el procedimiento debe
a
desarrollarse completo cada vez. Para ello bastar´ recordar unos cuantos puntos esenciales
a
que destacamos en las cajas de texto que hemos denominado ((recetas)).
Por ultimo, comentar que, en los ejemplos que nos aparecerń, el lector puede
´ a
entretenerse en representar gr´ficamente las soluciones de las E. D. planteadas, al menos
a
en los casos m´s sencillos o efectuando un simple bosquejo de su apariencia. No pensemos
a
en esto como una p´rdida de tiempo, pues ayuda a comprender la naturaleza del problema
e
y de sus soluciones.

ECUACIONES EXPL´
ICITAS DE
PRIMER ORDEN

Son las que tienen la forma
y ′ = f (x, y).

APARTADO 1.

Variables separadas.
Si tenemos la E. D.
g(x) = h(y)y ′ ,
formalmente, podemos poner g(x) dx = h(y) dy; si suponemos que G es una primitiva de
g y H una de h, tendremos G′ (x) dx = H ′ (y) dy e, integrando, G(x) = H(y) + C, que es
la soluciń general de la ecuaciń.
o o
Expliquemos con un poco m´s de rigor por qu´ funciona el m´todo: Sea y = ϕ(x)
a e e
una soluciń de la E. D., es decir, ϕ(x) debe cumplir g(x) = h(ϕ(x))ϕ′ (x). Pero H es
o
una primitiva de h, as´ que, por la regla de la cadena, g(x) = h(ϕ(x))ϕ′ (x) = (H ◦ ϕ)′ (x).
ı
Integrando, G(x) = (H ◦ϕ)(x)+C (lo que antes hemos expresado como G(x) = H(y)+C),
de donde ϕ(x) = H −1 (G(x) − C).
En los pasos anteriores, est´ justificado emplear la regla de la cadena cuando ϕ y H
a
son derivables, lo cual es cierto sin m´s que suponer que h sea continua. Y finalmente, para
a
poder despejar ϕ mediante el uso de H −1 bastar´ con exigir adem´s que h no se anulara
ıa a
en el intervalo de definiciń, con lo cual, como H ′ = h = 0, H es creciente o decreciente
o
luego existe H −1 (en otras palabras, como la derivada de H no se anula, el teorema de la
funciń inversa nos asegura que existe H −1 ).
o
Las ecuaciones en variables separadas son las m´s sencillas de integrar y, a la vez,
a
las m´s importantes, ya que cualquier otro m´todo de resoluciń se basa esencialmente en
a e o
aplicar diversos trucos para llegar a una ecuaciń en variables separadas. En ellas hemos
o
visto, con todo rigor, qu´ hip´tesis hay que imponer para que el m´todo que conduce
e o e
a la soluciń est´ correctamente empleado, y c´mo se justifica el funcionamiento del
o e o
proceso. A partir de ahora no incidiremos m´s en estos detalles que, aunque importantes,
a
sobrecargar´ la explicaciń. El lector puede detenerse mentalmente a pensar en ellos,
ıan o
justificando adecuadamente los pasos que se efectén.
u

5

e a o

o dy
En cualquier caso, conviene recordar que la expresiń dx es simplemente una util ´
notaciń para designar la derivada de y respecto de x, no un cociente de dy dividido
o
por dx; ni dy ni dx tienen entidad en s´ mismas. Esta notaciń se emplea, no porque
ı o
s´ ni para introducir confusiń, sino que, al contrario, se usa porque es consecuente con
ı o
los enunciados de varios importantes resultados. Ya hemos visto c´mo resulta adecuada
o
dy
a la hora de recordar c´mo resolver ecuaciones en variables separadas g(x) = h(y) dx ,
o
dy
descomponiendo g(x) dx = h(x) dy (como si dx fuese realmente una fracciń) e integrando
o
ambos lados de la expresiń anterior. Pero no s´lo aqu´ se pone de manifiesto la utilidad
o o ı
de esta notaciń. Por ejemplo, el teorema de la funciń inversa prueba (con las hip´tesis
o o o
adecuadas) que, cuando y es una funciń de x, si se despeja x como funciń de y se cumple
o o
dx 1 1
x′ (y) = = = ′ ,
dy dy/dx y (x)
es decir, se produce un comportamiento similar a si estuvi´ramos operando con fracciones.
e
An´logamente, si tenemos que z es una funciń de y y, a su vez, y una funciń de x, la
a o o
regla de la cadena establece que la derivada de la funciń compuesta z(x) es
o
dz dz dy
= ,
dx dy dx
que es como si simplific´ramos dy en los supuestos cocientes de la derecha. Esto permite
a
dy
usar las notaciones del tipo dx y su comportamiento como si fuesen fracciones como regla
nemotćnica de los resultados anteriores.
e

RECETA 1. Variables separadas.
Son de la forma
g(x) = h(y)y ′ .
dy
Formalmente, se separa g(x) = h(y) dx en g(x) dx = h(y) dy y se
integra.

Ejemplo 1. Resolver
dy
+ (sen x)y = 0.
dx
Despejando, dy = −(sen x) dx e, integrando, log y = cos x + C, es decir, y = ecos x+C .
y
Sin m´s que tomar K = eC encontramos las soluciones y = Kecos x . Fijarse que, en
a
principio, parece que K tiene que ser positiva; pero en realidad la integral de dy es log |y|,
y
lo que nos llevar´ a soluciones con valores negativos de K. Por ultimo, notar y = 0 (es
ıa ´
decir, tomar K = 0) tambiń es claramente una soluciń de la E. D., aunque no se obtiene
e o
con el m´todo seguido. As´ pues, la soluciń general de la E. D. es de la forma y = Kecos x
e ı o
con K ∈ R.

E. D. expl´
ıcitas de primer orden 7

APARTADO 2.

Ecuaciń de la forma y ′ = f (ax + by).
o
Si a = 0 o b = 0, la ecuaciń es separable. En otro caso, efectuemos el cambio de
o
′
funciń y(x) por z(x) dado por z = ax + by, de donde z ′ = a + by ′ y, por tanto, y ′ = z −a .
o b
′
Entonces, sustituyendo en la E. D. obtenemos z −a = f (z), es decir, z ′ = a + bf (z), que
b
es de variables separadas. La escribimos como

dz
dx = ,
a + bf (z)

con lo que, integrando, x = (a + bf (z))−1 dz = φ(z, C). As´ pues, las soluciones de la
ı
E. D. de partida serń
a
x = φ(ax + by, C),
de modo que hemos encontrado y como funciń de x expresada en forma impl´
o ıcita.

RECETA 2. Ecuaciń de la forma y ′ = f (ax + by).
o
El cambio de funciń y(x) por z(x) dado por z = ax + by la
o
transforma en una de variables separadas.

Ejemplo 2. Resolver
y ′ − ex ey = −1.

Tenemos y ′ + 1 = ex+y , con lo que si efectuamos el cambio de funciń dado por la
o
sustituciń z = x + y, la ecuaciń queda transformada en z ′ = ez , es decir, dx = e−z dz,
o o
ecuaciń en variables separadas cuya soluciń es x = −e−z + C. Volviendo a las variables
o o
−x−y
iniciales, C − x = e , de donde log(C − x) = −x − y, y por tanto la soluciń de la
o
E. D. de partida es y = − log(C − x) − x. (Observar que no nos hemos preocupado —ni lo
haremos de aqu´ en adelante— de poner m´dulos cuando al calcular una integral aparece
ı o
un logaritmo. El lector podr´ analizar estos casos con mucho m´s cuidado.)
ıa a

APARTADO 3.

Homogńeas.
e
Supongamos que tenemos la ecuaciń
o

y
y′ = f .
x

e a o
y
Para resolverla, hacemos el cambio de funciń y(x) por u(x) mediante u = x . As´ derivando
o ı,
′ ′ ′
y = ux tenemos y = u x + u, es decir, u x + u = f (u). Esta ecuaciń, que podemos poner
o
como u′ x = f (u) − u, es de variables separadas. Vamos a solucionarla:
du dx du x
• Si f (u) = u, podemos escribir f (u)−u
= x
e, integrando, f (u)−u
= log( C ).
du
Despejando x obtenemos x = Ceφ(u) con φ(u) = f (u)−u
. Por tanto, las curvas con
ecuaciones param´tricas
e
x = Ceφ(u)
y = Cueφ(u)

son soluciń de la ecuaciń diferencial para cada C ∈ R. (Esto constituye una familia
o o
de curvas homot´ticas: una curva se obtiene de otra mediante una homotecia, es decir,
e
multiplicando los valores de x e y por una constante.) A veces, es conveniente expresar
estas soluciones de otras formas. Siempre puede ponerse x = Ceφ(y/x) , soluciń dada
o
mediante una funciń impl´
o ıcita. Y, cuando en x = Ceφ(u) se logra despejar de alguna
forma u = H(x, C), la soluciń de la E. D. queda mucho m´s sencilla: y = xH(x, C).
o a
• Supongamos ahora que existe algń u0 tal que f (u0 ) = u0 . En este caso, es inmediato
u
y
comprobar que la recta y = u0 x es soluciń: y ′ = u0 = f (u0 ) = f ( x ), luego se satisface
o
la ecuaciń diferencial. Este tipo de soluciones que no se obtienen con el procedimiento
o
general suelen denominarse soluciones singulares.
Nota: En general, una funciń h(x, y) se dice homogńea de grado α si h(λx, λy) =
o e
λα h(x, y). Es inmediato comprobar que una E. D. de la forma

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0

con P (x, y) y Q(x, y) funciones homogńeas del mismo grado es, efectivamente, una
e
ecuaciń diferencial homogńea (despejar y ′ = dx = − Q(x,y) = − P (x,x(y/x)) y extraer
o e dy P (x,y)
Q(x,x(y/x))
λ = x de P y Q). De aqu´ proviene el nombre de este tipo de ecuaciones.
ı

RECETA 3. Homogńeas.
e
Son de la forma
y
y′ = f .
x
Se hace el cambio de funciń y(x) por u(x) mediante y = ux,
o
transformńdose as´ la E. D. en una de variables separadas.
a ı

Ejemplo 3. Resolver
2xy − y 2
y′ = .
x2

E. D. expl´
y y
Con el cambio y = ux podemos poner y ′ = 2 x − ( x )2 = 2u − u2 . Como y ′ = u′ x + u,
sustituyendo tenemos u′ x + u = 2u − u2 , es decir, xu′ = u − u2 .
Si u = u2 , podemos poner u−u2 = dx . Para integrar, descomponemos u−u2 = A + 1−u ,
du
x
1
u
B
x
lo que se satisface para A = B = 1. Entonces, integrando, log u − log(1 − u) = log C , es
u x y y/x x
decir, 1−u = C ; y sustituyendo u = x tenemos 1−y/x = C , de donde Cy = x(x − y). De
aqu´ es fćil despejar expl´
ı a ıcitamente y si as´ se desea.
ı
Por otra parte, a partir de u0 = 0 y u0 = 1 (para las cuales u = u2 ), se tienen las
soluciones singulares y = 0 e y = x.

APARTADO 3′ .

Reducibles a homogńeas.
e
Consideremos la ecuaciń
o

a1 x + b1 y + c1
y′ = f .
ax + by + c

Para resolverla, hay que distinguir dos casos:

3′ .1. Supongamos en primer lugar que las rectas ax + by + c = 0 y a1 x + b1 y + c1 = 0
se cortan en el punto (x0 , y0 ). As´ tendremos que ax + by + c = a(x − x0 ) + b(y − y0 ) y
ı,
a1 x + b1 y + c1 = a1 (x − x0 ) + b1 (y − y0 ). Hagamos ahora el cambio de variable y de funciń
o
X = x − x0 , Y = y − y0 , con lo cual

Y
a1 (x − x0 ) + b1 (y − y0 ) a 1 X + b1 Y a 1 + b1 X
Y ′ = y′ = f =f =f Y
,
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) aX + bY a + bX

es decir, hemos reducido la ecuaciń a una homogńea.
o e

3′ .2. En segundo lugar, supongamos que ax+by +c = 0 y a1 x+b1 y +c1 = 0 son rectas
paralelas, con lo cual podr´ ponerse (a1 , b1 ) = K(a, b) para algń K ∈ R. Efectuemos ahora
a u
′
el cambio de funciń z = ax + by. Derivando, z = a + by , o sea, y ′ = z −a . Si sustituimos
o ′ ′
b
en la E. D. original obtenemos

dz Kz + c1
= a + bf ,
dx z+c

que es de variables separadas.

e a o

RECETA 3′ . Reducibles a homogńeas.
e
Son de la forma

a1 x + b1 y + c1
y′ = f .
ax + by + c

3′ .1. Si las rectas ax + by + c = 0 y a1 x + b1 y + c1 = 0 se cortan
en (x0 , y0 ), se hace el cambio de variable y de funciń X = x − x0 ,
o
Y = y − y0 . La ecuaciń se reduce a una homogńea.
o e
3′ .2. Si ax +by +c = 0 y a1 x +b1 y +c1 = 0 son rectas paralelas, se
hace el cambio de funciń z = ax + by. La nueva ecuaciń que aparece
o o
es de variables separadas.

Ejemplo 3′ .1. Resolver
−2x + 4y − 6
y′ = .
x+y−3

Las rectas −2x + 4y − 6 = 0 y x + y − 3 = 0 se cortan en el punto (x, y) = (1, 2), con
lo que efectuamos el cambio X = x − 1, Y = y − 2, Y ′ = y ′ . Sustituyendo, obtenemos la
ecuaciń homogńea
o e
−2X + 4Y −2 + 4Y /X
Y′ = = .
X +Y 1 + Y /X
Para resolverla, hacemos un nuevo cambio u = Y /X, de donde Y = uX, Y ′ = u′ X + u.
du
Tras sustituir, tenemos u′ X + u = −2+4u que, a la postre, podemos poner como −X dX =
1+u
u2 −3u+2
u+1 .
Tenemos ahora que distinguir cuńdo, y cuńdo no, se anula la expresiń u2 − 3u + 2.
a a o
2
Resolviendo u − 3u + 2 = 0, esto ocurre para u = 1 y u = 2.
Analicemos en primer lugar el caso u2 − 3u + 2 = 0. As´ podemos escribir
ı,

dX −(u + 1) du A B 2 3
= 2 = du + du = du − du
X u − 3u + 2 u−1 u−2 u−1 u−2

de donde, integrando, 2 log(u − 1) − 3 log(u − 2) = log(KX) y, consiguientemente,
(u−1)2 2 3
(u−2)3 = KX. Sustituyendo ahora u = Y /X llegamos fćilmente a (Y −X) = K(Y −2X) ;
a
y volviendo a las variables originales x e y obtenemos las soluciones (y−x−1)2 = K(y−2x)3
de la E. D. de partida.
Finalmente, con u0 = 1 y u0 = 2 tenemos, respectivamente, las soluciones Y = X e
Y = 2X que, sustituyendo X e Y por su valor, se traducen en y = x + 1 y y = 2x.

E. D. expl´

Ejemplo 3′ .2. Resolver
x−y−1
y′ = .
x−y−2

Efectuamos el cambio de funciń z = x − y, de donde z ′ = 1 − y ′ . Sustituyendo,
o
tenemos −z + 1 = z−2 , y consiguientemente − dx = z−1 − 1 = z−2 , que es la ecuaciń
′ z−1 dz
z−2
1
o
1 2
(z − 2) dz = −dx, cuyas variables estń separadas. Integrando, 2 (z − 2) = −x + K, y
a
finalmente, sustituyendo de nuevo z = x − y y denotando C = 2K, obtenemos que las
soluciones de la E. D. original son (x − y − 2)2 + 2x = C.

APARTADO 3′′ .

Homogńeas impl´
e ıcitas.

Sea la ecuaciń
o
y ′
F , y = 0.
x
Para resolverla, consideremos la curva F (α, β) = 0 y supongamos que hemos logrado
encontrar una representaciń param´trica de la curva dada por α = ϕ(t), β = ψ(t). Es
o e
decir, que se verifica F (ϕ(t), ψ(t)) = 0. Hagamos ahora el cambio de funciń y por t
o
y ′
mediante x = ϕ(t), teniendo en cuenta que y = ψ(t).
dt
Si derivamos y = xϕ(t) respecto de x tenemos y ′ = ϕ(t) + xϕ′ (t) dx , es decir,
dt
ψ(t) = ϕ(t) + xϕ′ (t) dx , o
dt
ψ(t) − ϕ(t) = xϕ′ (t)
dx
que, en principio, es una ecuaciń en variables separadas.
o
ϕ′ (t) dt dx
• Si ψ(t) = ϕ(t), podemos poner ψ(t)−ϕ(t) = x , cuya soluciń ser´ x = Ceφ(t) con
o a
ϕ′ (t) dt
φ(t) = ψ(t)−ϕ(t) . De aqu´ que la E. D. de partida tiene las soluciones
ı

x = Ceφ(t)
, C ∈ R.
y = Cϕ(t)eφ(t)

dt
• Si existe t0 tal que ψ(t0 ) = ϕ(t0 ), formalmente, podemos pensar 0 = xϕ′ (t) dx , luego
ϕ′ (t) = 0 y por tanto ϕ(t) = cte. = ϕ(t0 ), lo que nos llevar´ a la soluciń y = xϕ(t0 ). Esta
ıa o
recta es, efectivamente, una soluciń de la E. D., como podemos comprobar directamente:
o
y
F ( x , y ′ ) = F (ϕ(t0 ), ϕ(t0 )) = F (ϕ(t0 ), ψ(t0 )) = 0.

e a o

RECETA 3′′ . Homogńeas impl´
e ıcitas.
Son de la forma
y ′
F , y = 0.
x
Consideramos la curva F (α, β) = 0. Si encontramos una representaciń o
param´trica α = ϕ(t), β = ψ(t), F (ϕ(t), ψ(t)) = 0, se hace el cambio de
e
y
funciń y por t mediante x = ϕ(t), y ′ = ψ(t). As´ derivando y = xϕ(t)
o ı,
respecto de x, aparece una ecuaciń en variables separadas.
o

Ejemplo 3′′ . Resolver
x2 (y ′ )2 − (y 2 + x2 ) = 0.
y
Si ponemos la ecuaciń en la forma (y ′ )2 − ( x )2 = 1, podemos recordar que el coseno
o
y el seno hiperb´licos satisfacen la relaciń (ch t)2 − (sh t)2 = 1, lo que se adecá a nuestras
o o u
y
necesidades. As´ tomemos ahora x = sh t y y ′ = ch t. Si derivamos y = x sh t tenemos
ı,
y ′ = sh t + x ch t dx , o sea, ch t = sh t + x ch t dx . Despejando, dx = ch ch t t dt (notar que,
dt dt
x t−sh
en esta ecuaciń, el denominador no se anula nunca ya que ch t > sh t, luego no hay que
o
preocuparse de analizar por separado las ra´ de ch t − sh t = 0) e, integrando, x = Ceφ(t)
ıces
con
ch t et + e−t
φ(t) = dt = dt = 1 (1 + e2t ) dt = 1 t + 4 e2t .
2 2
1
ch t − sh t 2e −t

Entonces, la E. D. original tiene como soluciones las curvas
2t
x = Cet/2+e /4

2t
.
y = C(sh t)et/2+e /4

APARTADO 3′′′ .

Sea la ecuaciń y ′ = f (x, y)
o
con f tal que, para algń α fijo, verifica
u

f (λx, λα y) = λα−1 f (x, y).

N´tese en primer lugar que, cuando α = 0, sin m´s que tomar λ = x tenemos y ′ = f (x, y) =
o a
−1
x f (1, y), que es una ecuaciń en variables separadas; y, cuando α = 1, se puede poner
o
y y
y ′ = f (x, y) = f x, x = f 1, ,
x x
es decir, nos encontramos ante una E. D. homogńea. En otro caso, veamos c´mo el cambio
e o
de funciń y = z α transforma la ecuaciń en una homogńea:
o o e

E. D. expl´

Derivando, y ′ = αz α−1 z ′ y, sustituyendo en la E. D. original, αz α−1 z ′ = f (x, z α ), es
decir,
1 1 α−1 1 1 1 α α 1 x
z′ = f (x, z α ) = f x, z = f ,1
α z α z z α z
que, efectivamente, es una E. D. homogńea. e
L´gicamente, como, al hacer en la homogńea el cambio z = ux, ´sta se transforma en
o e e
una de variables separadas, si hubi´ramos efectuado desde el principio el cambio y = (ux)α ,
e
nuestra E. D. se hubiera convertido directamente en una de variables separadas.
Por ultimo comentar que, extrayendo λ = x, este tipo de ecuaciones puede ponerse
´
como
y y y
y ′ = f (x, y) = f x, xα α = xα−1 f 1, α = xα−1 h α .
x x x
Pero, al menos a simple vista, no parece m´s sencillo describir las ecuaciones que estamos
a
tratando como ((las que tienen la forma y ′ = xα−1 h(yx−α ))) en lugar de como lo hemos
hecho en este apartado.

RECETA 3′′′ . Si la ecuaciń y ′ = f (x, y)
o
es tal que, para algń α = 0 fijo, f satisface
u

f (λx, λα y) = λα−1 f (x, y),

entonces el cambio de funciń y = z α transforma la ecuaciń en una
o o
homogńea. (Si α = 1, la E. D. ya es homogńea; y si f cumple la
e e
relaciń anterior con α = 0, la E. D. es de variables separadas.)
o

Ejemplo 3′′′ . Resolver √
′ 1y x
y = −3 2 .
2x y
Dada f (x, y) = 1 x−1 y − 3x1/2 y −2 , para intentar encontrar α tanteamos f (λx, λα y) =
2
1 −2 1
2 (λx)−1 (λα y) − 3(λx)1/2 (λα y) = 2 λα−1 x−1 y − 3λ1/2−2α x1/2 y −2 , y observamos que esto
es igual a λα−1
f (x, y) sin m´s que tomar α = 1 .
a 2
1 1
Entonces, si sustituimos y = z 1/2 en la E. D., tenemos 2 z −1/2 z ′ = 2 x−1 z 1/2 −
z z
3x1/2 z −1 , es decir, z ′ = x − 6( x )−1/2 , que es homogńea. Para resolverla, tomamos ahora
e
′
z = ux, con lo cual, sustituyendo, u x+u = u−6u −1/2
, o sea, u1/2 du = −6x−1 dx, ecuaciń
o
2 3/2 x 3/2
en variables separadas. Integrńdola, 3 u
a = −6 log( C ), luego x = C exp(−u /9).
Deshaciendo los cambios z = ux y y = ux encontramos que las soluciones de la E. D.
de partida son, expresadas como curvas en param´tricas, e
3/2
/9
x = Ce−u
3/2
.
y = C 1/2 u1/2 e−u /18

e a o

APARTADO 4.

Ecuaciones exactas.
Llamamos exacta a una ecuaciń diferencial
o

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,

P (x,y)
dy
es decir, y ′ = dx = − Q(x,y) , que cumple Py = Qx (con la notaciń Py = ∂P , Qx = ∂Q ).
o ∂y ∂x
Antes de explicar c´mo resolverlas, comentemos brevemente algo sobre ((expresiones
o
diferenciales)) (rigurosamente hablando, estamos tratando con 1-formas diferenciales w =
P dx + Q dy, aunque no entraremos en ello):
Supongamos de antemano en todo lo que sigue que P y Q son de clase C 1 (continuas
con derivadas parciales continuas) en su dominio de definiciń (un abierto de R2 ). Una
o
expresiń diferencial P (x, y) dx + Q(x, y) dy se dice que es una diferencial cerrada en una
o
regiń R del plano xy si se verifica Py (x, y) = Qx (x, y) para todo (x, y) ∈ R. Y se dice
o
exacta en R cuando existe alguna funciń F (x, y) tal que ∂F = P y ∂F = Q para todo
o ∂x ∂y
(x, y) ∈ R; en otras palabras, si la diferencial de F es dF = P dx + Q dy (F , que es
unica salvo constantes, se denomina funciń potencial). El teorema de Schwartz sobre
´ o
igualdad de derivadas cruzadas nos asegura que cualquier expresiń diferencial exacta
o
es cerrada. Lo contrario no es cierto en general, aunque s´ en una clase muy amplia
ı
2
de dominios de R : los simplemente conexos que, intuitivamente, son los que no tienen
agujeros. Demostrar este hecho no es excesivamente sencillo, pero tampoco es necesario
para lo que aqu´ pretendemos. En realidad, el lema de Poincar´ (que normalmente se
ı e
prueba en cualquier curso de c´lculo integral en varias variables) asegura que una expresiń
a o
cerrada es exacta siempre que el dominio sea estrellado, lo que significa que exista un
punto del dominio que se pueda unir a todos los dem´s mediante un segmento sin salirnos
a
del dominio; en particular, los conjuntos convexos son estrellados. Adem´s, esto asegura
a
que, dada cualquier expresiń cerrada, es exacta localmente, es decir, alrededor de cada
o
punto podemos restringir el dominio de tal forma que la expresiń sea exacta en ese nuevo
o
dominio. Por lo tanto, en lo que a nosotros concierne, podemos identificar los conceptos
de exacto y cerrado, ya que no nos estamos preocupando de dńde estń definidas las
o a
E. D. que tratamos de resolver ni en qu´ intervalo existen las soluciones. En realidad, en
e
ecuaciones diferenciales suele hablarse siempre de exacto ań refirińdose a que se satisface
u e
la igualdad Py = Qx .
Una E. D. exacta es una expresiń exacta igualada a cero. Veamos c´mo resolverlas:
o o
si tenemos P dx + Q dy = 0 exacta, como existe F tal que dF = P dx + Q dy, entonces la
ecuaciń podemos ponerla en la forma dF = 0 y, por tanto, su soluciń ser´ F (x, y) = C
o o a
(siendo C constante arbitraria). As´ pues, basta con que encontremos la funciń potencial
ı o
F . El procedimiento para hallarla que, segń veremos, funciona gracias a que Py = Qx , es
u
como sigue:
Buscamos F tal que ∂F = P ; as´ es posible encontrar F integrando P (x, y) respecto
∂x ı,
a x mientras se mantiene y constante, es decir, F (x, y) = P (x, y) dx + ϕ(y), donde la
funciń arbitraria ϕ(y) es la ((constante)) de integraciń. Derivando respecto de y obtenemos
o o

E. D. expl´

∂F
∂y = ∂y P (x, y) dx + ϕ′ (y). Por otra parte, si utilizamos ∂F = Q, de aqu´ resulta que
∂
∂y ı
′ ∂
ϕ (y) = Q(x, y) − ∂y P (x, y) dx; ´sta es realmente una expresiń independiente de x ya
e o
que

∂ ∂ ∂Q ∂ ∂ ∂Q ∂P
Q(x, y) − P (x, y) dx = − P (x, y) dx = − = 0.
∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y

Una vez conocida ϕ′ (y), integrando obtenemos ϕ(y) y, sustituyendo su valor, llegamos a
la funciń potencial F (x, y). As´ quedan halladas completamente las soluciones buscadas
o ı,
F (x, y) = C, expresadas en forma impl´ıcita.
(L´gicamente, para encontrar F podr´ haberse seguido el proceso anterior cambiando
o ıa
el orden en el que se usa P y Q, partiendo de ∂F = Q y posteriormente utilizando ∂F = P .
∂y ∂x
Asimismo, integrando estas dos expresiones e igualńdolas, muchas veces basta una simple
a
inspecciń para determinar F .)
o

RECETA 4. Ecuaciones exactas.
Son las de la forma

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,

dy P (x,y)
es decir, y ′ = dx = − Q(x,y) , que cumplen Py = Qx . Se busca una
funciń F (x, y) tal que dF = ω = P dx + Q dy, y la soluciń de la E. D.
o o
es F (x, y) = C (siendo C constante).

Ejemplo 4. Resolver
3y + ex + (3x + cos y)y ′ = 0.

Si ponemos la ecuaciń en la forma P dx + Q dy = 0 con P (x, y) = 3y + ex y
o
Q(x, y) = 3x + cos y, es claro que Py = Qx = 3, luego la E. D. es exacta. Calculemos
la funciń potencial F (que nos dar´ directamente las soluciones F (x, y) = C). Como
o a
Fx = 3y + ex , integrando respecto de x, F (x, y) = 3yx + ex + ϕ(y). Derivando respecto de
y e igualando a Q queda 3x + ϕ′ (y) = 3x + cos y, es decir, ϕ′ (y) = cos y, de donde basta
tomar ϕ(y) = sen y, y por tanto F (x, y) = 3yx + ex + sen y. As´ la soluciń de la E. D.
ı, o
x
viene dada, impl´ıcitamente, por 3yx + e + sen y = C. (N´tese que al integrar ϕ′ (y) = cos y
o
no hace falta poner la constante de integraciń ϕ(y) = sen y + C1 ya que, en ese caso, una
o
de las dos constantes de la soluciń 3yx + ex + sen y + C1 = C ser´ claramente superflua.)
o ıa

e a o

APARTADO 4′ .

Reducibles a exactas: Factores integrantes.
Si tenemos una ecuaciń P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 que no es exacta, una idea para
o
intentar resolverla ser´ tratar de encontrar alguna funciń µ(x, y) no idńticamente nula
ıa o e
tal que
µ(x, y)P (x, y) dx + µ(x, y)Q(x, y) dy = 0
sea exacta. Como esta ecuaciń es equivalente a la de partida, sus soluciones y las de
o
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 serń las mismas.
a
Desgraciadamente, no hay ningń procedimiento general que permita encontrar
u
factores integrantes. Sin embargo, s´ que es posible hacerlo, y de manera sencilla, en dos
ı
casos:

4′ .1. Existencia de factor integrante de la forma µ(x). Queremos que µ(x)P (x, y) dx+
µ(x)Q(x, y) dy = 0 sea exacta, esto es,

∂ ∂
(µ(x)P (x, y)) = (µ(x)Q(x, y)).
∂y ∂x

Derivando, µ(x)Py (x, y) = µ′ (x)Q(x, y) + µ(x)Qx (x, y), o sea, µ(x)(Py (x, y) − Qx (x, y)) =
µ′ (x)Q(x, y). Para que esto tenga sentido,

µ′ (x) Py (x, y) − Qx (x, y)
=
µ(x) Q(x, y)

tiene que resultar ser una funciń que dependa exclusivamente de x, que denotamos h(x).
o
Cuando ´ste es el caso, es claro que la funciń µ que satisface la relaciń anterior es
e o o

µ(x) = exp h(x) dx ,

con lo cual hemos encontrado el factor integrante buscado.

4′ .2. Existencia de factor integrante de la forma µ(y). Repitiendo el proceso anterior
∂ ∂
buscamos ∂y (µ(y)P (x, y)) = ∂x (µ(y)Q(x, y)), es decir, µ′ (y)P + µ(y)Py = µ(y)Qx , y por
′
Q −P
tanto µ (y) = xP y , que tiene que ser funciń s´lo de y, que denotamos h(y). En estas
µ(y) o o
condiciones, el factor integrante es µ(y) = exp( h(y) dy).

4′ .3. Aparte de los casos anteriormente tratados, para algunos tipos de problemas se
puede intentar encontrar factores integrantes imponiendo a µ(x, y) condiciones restrictivas
de muy diverso tipo. Por ejemplo, exigiendo que sea de la forma µ(x, y) = xα y β con α
y β constantes a determinar, que sea µ(x + y), o µ(xy), etc. Para estudiar estos casos,
∂ ∂
lo que hay que hacer siempre es igualar ∂y (µP ) = ∂x (µQ) e intentar resolver la nueva
ecuaciń que aparece, teniendo en cuenta, sobre todo, si tiene sentido. Por ser generalmente
o
procedimientos bastante particulares, no comentaremos aqu´ nada m´s sobre ellos.
ı a

E. D. expl´

RECETA 4′ . Reducibles a exactas: Factores integrantes.
Si P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 no es exacta, podemos intentar
encontrar µ(x, y) tal que

µ(x, y)P (x, y) dx + µ(x, y)Q(x, y) dy = 0

sea exacta.
4′ .1. Existencia de factor integrante de la forma µ(x). Ocurre
P −Q
cuando y Q x = h(x), tomńdose µ(x) = exp( h(x) dx).
a
′
4 .2. Existencia de factor integrante de la forma µ(y). Ocurre
Q −P
cuando xP y = h(y), tomńdose µ(y) = exp( h(y) dy).
a
4′ .3. Otras expresiones restrictivas para µ(x, y).

Ejemplo 4′ . Resolver
(2x2 + y) dx + (x2 y − x) dy = 0.
En este caso, P (x, y) = 2x2 + y y Q(x, y) = x2 y − x. Esta ecuaciń no es exacta ya
o
que Py = 1 y Qx = 2xy − 1. Para intentar encontrar un factor integrante se calcula
Py − Q x 1 − (2xy − 1) 2(1 − xy) −2
= 2y − x
= = .
Q x −x(1 − xy) x
Ya que se obtiene una expresiń que depende s´lo de x, podemos asegurar que existe
o o
un factor integrante dado por la f´rmula µ(x) = exp( −2 dx) = x−2 . Entonces, si
o x
multiplicamos la E. D. por µ(x) = x−2 se obtiene la ecuaciń exacta (2 + yx−2 ) dx + (y −
o
x−1 ) dy = 0. Por el m´todo usual, encontramos que la funciń F tal que Fx = 2 + yx−2 y
e o
−1 −1 1 2
Fy = y − x es F (x, y) = 2x − yx + 2 y . Por tanto, la soluciń de la E. D. exacta, y
o
−1 1 2
tambiń de la de partida, resulta ser 2x − yx + 2 y = C.
e

APARTADO 5.
Ecuaciones lineales de primer orden.
Dada la ecuaciń
o
y ′ + a(x)y = b(x),
vamos a explicar c´mo resolverla por tres m´todos distintos:
o e
(i) Encontrar un factor integrante de la forma µ(x). Para ello, si la ponemos en la
forma (a(x)y − b(x)) dx + dy = 0 y denotamos P (x, y) = a(x)y − b(x) y Q(x, y) = 1, se
P −Q
tiene y Q x = a(x). Por tanto, segń hemos visto anteriormente, la E. D. tiene el factor
u
integrante µ(x) = exp( a(x) dx). As´ multiplicando por µ(x), la ecuaciń
ı, o

exp a(x) dx (a(x)y − b(x)) dx + exp a(x) dx dy = 0

e a o

tiene que ser exacta. Ahora, bastar´ encontrar la funciń potencial F con lo que la ecuaciń
a o o
anterior podr´ ponerse dF = 0 y su soluciń ser´ F (x, y) = C. Busquemos F :
a o a
Como Fy = exp( a(x) dx), tendremos F = y exp( a(x) dx) + ϕ(x). Por otra parte,
derivando esta F respecto de x y usando que Fx = exp( a(x) dx)(a(x)y − b(x)) llegamos
a
Fx = y exp a(x) dx a(x) + ϕ′ (x) = exp a(x) dx (a(x)y − b(x)),

de donde −b(x) exp( a(x) dx) = ϕ′ (x). Integrando, ϕ(x) = − b(x) exp( a(x) dx) dx,
luego F = y exp( a(x) dx) − b(x) exp( a(x) dx) dx y la soluciń de la ecuaciń exacta
o o
(y de la lineal de partida) es, expresada en forma impl´
ıcita,

y exp a(x) dx − b(x) exp a(x) dx dx = C.

Sin m´s que despejar y, tenemos que la soluciń de la ecuaciń lineal resulta ser
a o o

y = exp − a(x) dx b(x) exp a(x) dx dx + C .

(ii) Un segundo m´todo de resoluciń se basa en resolver previamente la ecuaciń
e o o
′
lineal homogńea asociada y + a(x)y = 0. Esta ecuaciń es de variables separadas, pues
e o
puede ponerse dy = −a(x) dx; su soluciń es y = C exp(− a(x) dx).
y
o
Apliquemos ahora el m´todo de variaciń de las constantes, esto es, consideremos
e o

y = C(x) exp − a(x) dx

y vamos a ver c´mo debe ser C(x) para que se verifique y ′ + a(x)y = b(x). Derivando,
o
′ ′
y = C (x) exp(− a(x) dx) − C(x)a(x) exp(− a(x) dx) y, sustituyendo en la ecuaciń o
lineal,
C ′ (x) exp − a(x) dx − C(x)a(x) exp − a(x) dx

+ a(x)C(x) exp − a(x) dx = b(x).

Dos de los sumandos anteriores se cancelan, de donde C ′ (x) = b(x) exp( a(x) dx) e,
integrando,
C(x) = b(x) exp a(x) dx + C.

As´ hemos llegado a la misma expresiń para las soluciones que la que encontramos por
ı, o
el m´todo anterior.
e

E. D. expl´

(iii) El tercer procedimiento de resoluciń parte de suponer que hemos encontrado,
o
de alguna forma, una soluciń particular yp (x) de la E. D. lineal. Entonces, la soluciń
o o
general de la lineal es yp m´s la soluciń general de la lineal homogńea asociada, es decir,
a o e

y = yp + C exp − a(x) dx

es soluciń para todo C ∈ R. La justificaciń de este hecho es sencilla. En efecto, basta
o o
comprobar que, si yp es soluciń de y ′ + a(x)y = b(x) y y lo es de y ′ + a(x)y = 0, entonces
o
y + yp es soluciń de y ′ + a(x)y = b(x), lo cual es claramente cierto:
o

(y + yp )′ + a(x)(y + yp ) = (y ′ + a(x)y) + (yp + a(x)yp ) = 0 + b(x) = b(x).
′

(iv) El ultimo m´todo de resoluciń de ecuaciones lineales que describimos consiste
´ e o
en efectuar una descomposiciń y(x) = u(x)v(x) adecuada. Tomando y de esa forma, si
o
derivamos, y ′ = u′ v +uv ′ , con lo cual, al sustituir en la ecuaciń, u′ v +uv ′ +a(x)uv = b(x).
o
Sacando u factor comń, podemos escribir la expresiń anterior como u′ v +(v ′ +a(x)v)u =
u o
b(x). Vamos ahora a elegir v de tal forma que se anule el coeficiente de u, es decir,
´
que satisfaga v ′ + a(x)v = 0. Esta es una E. D. en variables separadas; resolvińdola, e
′
v
v = −a(x), con lo cual basta tomar log v = − a(x) dx, es decir,

v(x) = exp − a(x) dx .

Con v(x) esa funciń, la ecuaciń queda ahora u′ v = b(x), de donde u′ = b(x)v −1 , es decir,
o o
u′ (x) = b(x) exp( a(x) dx). Integrando,

u(x) = b(x) exp a(x) dx dx + C.

Sin m´s que recomponer y = u(x)v(x), con este procedimiento de nuevo encontramos la
a
misma expresiń para las soluciones de la E. D. lineal de partida.
o
Para concluir, comentemos una vez m´s que no hace falta recordar la f´rmula que
a o
hemos obtenido para las soluciones de la ecuaciń lineal, sino que basta seguir en cada
o
problema alguno de los procesos descritos. Generalmente, en opiniń del que escribe, los
o
que suelen conducir a la soluciń por un procedimiento m´s corto suelen ser el segundo y
o a
el cuarto. El tercero tiene, sobre todo, gran importancia te´rica. Adem´s, merece la pena
o a
destacar que el segundo y el tercero tienen su paralelismo a la hora de resolver ecuaciones
lineales de orden superior (como veremos m´s adelante), mientras que los otros dos s´lo se
a o
aplican a las de primer orden.

Ejemplo 5. Resolver
2xy ′ − 3y = 4x2
por los cuatro m´todos descritos.
e

e a o

RECETA 5. Ecuaciones lineales de primer orden.
Son de la forma
y ′ + a(x)y = b(x).
Hay tres m´todos de resoluciń: (i) Encontrar un factor integrante
e o
de la forma µ(x). (ii) Resolver la ecuaciń lineal homogńea asociada
o e
′
y + a(x)y = 0 (que es de variables separadas), cuya soluciń es o
y = C exp(− a(x) dx), y usar el m´todo de variaciń de las constantes
e o
(esto es, cambiar C por C(x) en la expresiń anterior y sustituir
o
en la ecuaciń lineal). (iii) Encontrar de alguna forma una soluciń
o o
particular yp (x), con lo cual la soluciń general de la lineal es yp
o
m´s la soluciń general de la homogńea asociada. (iv) Descomponer
a o e
y(x) = u(x)v(x), sustituir en la lineal, e igualar a 0 el coeficiente de
u, resolviendo la ecuaciń que aparece (v ′ + a(x)v = 0, que es de
o
variables separadas); tras esto, queda una ecuaciń en u(x) de variables
o
separadas.
De cualquier modo se obtiene que la soluciń general de la E. D.
o
lineal es

y = exp − a(x) dx b(x) exp a(x) dx dx + C .

3 3
(i) Tenemos la ecuaciń lineal y ′ − 2x y = 2x, es decir, dy = ( 2x y + 2x) dx, que
o
es de la forma P dx + Q dy = 0 con P (x, y) = −3 y − 2x y Q(x, y) = 1. Como
2x
Py −Qx
Q
= −3/(2x)−0 = −3 , existe el factor integrante µ(x) = exp( −3 dx) = x−3/2 . As´ la
1 2x 2x
ı,
ecuaciń ( −3 x−5/2 y − 2x−1/2 ) dx + x−3/2 dy = 0 es exacta. La funciń potencial F debe
o 2 o
−3/2 −3/2 −3 −5/2
cumplir Fy = x , luego F = x y + ϕ(x). Por otra parte, Fx = 2 x y − 2x−1/2 =
−3 −5/2
2 x y + ϕ′ (x), de donde ϕ(x) = −2 x−1/2 dx = −4x1/2 . Por tanto, F (x, y) =
x−3/2 y − 4x1/2 , y la soluciń de la E. D. es x−3/2 y − 4x1/2 = C, o sea y = Cx3/2 + 4x2 ,
o
C ∈ R.
(ii) La lineal homogńea asociada es y ′ − 2x y = 0. Podemos ponerla como dy = 32x ,
e 3
y
dx

3
de variables separadas, cuya soluciń es log y = 2 log x + K, es decir, y = Cx3/2 .
o
Empleemos ahora el m´todo de variaciń de las constantes, para lo cual tomamos y =
e o
3/2 3/2 3
′
C(x)x . Derivando, y = C (x)x ′
+ 2 C(x)x1/2 y, sustituyendo en E. D. de partida,
3
2x(C ′ (x)x3/2 + 2 C(x)x1/2 ) − 3C(x)x3/2 = 4x2 , esto es, C ′ (x) = 2x−1/2 . Integrando,
C(x) = 4x1/2 + K1 luego la soluciń de la lineal es y = (4x1/2 + K1 )x3/2 . Si empleamos
o
de nuevo C para denotar la constante, y = Cx3/2 + 4x2 , la misma expresiń que hemos
o
encontrado en (i).
(iii) Primero, tratemos de hallar una soluciń particular de la ecuaciń lineal. Lo m´s
o o a

E. D. expl´

sencillo es intentar probar si existe alguna soluciń polin´mica. Esto s´lo ser´ posible
o o o ıa
con un polinomio de segundo grado, pues en otro caso no podr´ cancelarse nunca todos
ıan
los sumandos. Por tanto, vamos a tantear con polinomios de la forma y = ax2 + bx + c.
Derivando, y ′ = 2ax + b y, sustituyendo en la ecuaciń, 2x(2ax + b) − 3(ax2 + bx + c) = 4x2 .
o
Si igualamos los t´rminos del mismo grado encontramos que esto se cumple con a = 4,
e
b = c = 0. As´ pues, una soluciń particular de la lineal es y = 4x2 . Por otra parte,
ı o
y tal como ya hemos calculado en (ii), la soluciń general de la homogńea asociada
o e
es y = Cx3/2 . En definitiva, de nuevo tenemos que la soluciń general de la lineal es
o
y = Cx3/2 + 4x2 .
(iv) Para resolver la ecuaciń lineal, descomponemos y = u(x)v(x), de donde y ′ =
o
u′ v + uv ′ . Sustituyendo, 2x(u′ v + uv ′ ) − 3uv = 4x2 , es decir, 2xu′ v + (2xv ′ − 3v)u = 4x2 .
′
Si igualamos a 0 el coeficiente de u queda 2xv ′ − 3v = 0, o sea v = 2x ; integrando,
v
3
3
log v = 2 log x, luego v = x3/2 . Con esto, la ecuaciń queda 2xu′ x3/2 = 4x2 , es decir,
o
′ −1/2 1/2
u = 2x , cuya soluciń es u = 4x + C. Sin m´s que recomponer y = uv obtenemos
o a
1/2 3/2
y = (4x + C)x , la misma soluciń para la lineal que con los otros tres m´todos.
o e

APARTADO 5′ .

Ecuaciń de Bernoulli.
o
Consideremos
y ′ + a(x)y + b(x)y α = 0.
Es claro que, si α = 0, la E. D. anterior es lineal y, si α = 1, es de variables separadas. En
otro caso, veamos c´mo resolverla:
o
Efectuemos el cambio de funciń y 1−α = z, para el cual (1 − α)y −α y ′ = z ′ , es decir,
o
1 ′ z′ 1 ′ 1−α z′
y α y = 1−α . Sustituyendo en y α y + a(x)y + b(x) = 0 tenemos 1−α + a(x)z + b(x) = 0,
con lo que hemos transformado la ecuaciń de Bernoulli en la E. D. lineal z ′ +(1−α)a(x)z =
o
(α − 1)b(x).
Puede seguirse un segundo m´todo de resoluciń sin m´s que aplicar un procedimiento
e o a
an´logo al ultimo de los que hemos visto para ecuaciones lineales. Partimos de la
a ´
descoposiciń y(x) = u(x)v(x). Derivando, y ′ = u′ v + uv ′ y, sustituyendo en la E. D.,
o
u′ v +uv ′ +a(x)uv +b(x)uα v α = 0, que escribimos como u′ v +(v ′ +a(x)v)u +b(x)uα v α = 0.
Ahora, igualamos a 0 el coeficiente de u, con lo cual tenemos v ′ + a(x)v = 0, que es una
ecuaciń en v(x) de variables separadas; resolvińdola determinamos v(x). Con esta v,
o e
la ecuaciń de la que part´
o ıamos ha quedado u′ v + b(x)uα v α = 0, que es una ecuaciń o
en u(x) de variables separadas. Resolvińdola encontramos u(x), con lo que ya tenemos
e
completamente solucionada la ecuaciń de Bernoulli.
o

Ejemplo 5′ . Resolver
xy ′ + 2y + x5 y 3 ex = 0.
2
Puesta en la forma y ′ + x y + x4 y 3 ex = 0, es claro que la ecuaciń es de Bernoulli
o
con α = 3. Hacemos el cambio de funciń y −2 = z, para el cual z ′ = −2y −3 y ′ , es decir,
o

Ecuaciones diferenciales

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Destacado

Destacado (20)

Similar a Ecuaciones diferenciales

Similar a Ecuaciones diferenciales (20)

Último

Último (20)

Ecuaciones diferenciales