Este documento presenta un libro sobre métodos clásicos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. El libro contiene tres partes principales que cubren diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y cómo reducir el orden de ecuaciones. Cada tipo se explica con un ejemplo resuelto. El documento también incluye un prólogo, índice y apéndice sobre cálculo de primitivas.
Este documento presenta tres capítulos sobre la solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias. El Capítulo 1 introduce conceptos básicos sobre sucesiones y series numéricas. El Capítulo 2 explica cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en puntos no singulares mediante desarrollos en serie de potencias. El Capítulo 3 aborda la solución de ecuaciones diferenciales en puntos singulares regulares de manera más compleja. Finalmente, el Capítulo 4 aplica los métodos anteriores a funciones especiales conocidas
Este documento presenta una tesis sobre el teorema de Darboux. En la introducción, se explica brevemente la topología y las variedades diferenciables. Luego, la tesis se divide en tres partes: 1) estudia propiedades de variedades diferenciables y formas diferenciales, 2) introduce estructuras simplécticas y subvariedades lagrangianas, y 3) demuestra versiones del teorema de Moser y luego el teorema de Darboux, el cual establece que variedades simplécticas son indistinguibles localmente. El objetivo es entender
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias wolanski noemianiguac1
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica que una ecuación diferencial ordinaria describe la trayectoria de una partícula moviéndose en un campo de velocidades. Proporciona ejemplos de cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden en una y más variables, y cómo los datos iniciales determinan una solución única. También introduce sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden que describen la dinámica de partículas bajo la acción de fuerzas.
Este documento presenta un resumen conciso de cómo se estudia la matemática. Explica que los textos matemáticos se estructuran en definiciones, teoremas, ejemplos y demostraciones. Los estudiantes deben leer atentamente las definiciones y verificarlos con ejemplos, y examinar con cuidado cada paso de las demostraciones de los teoremas. Finalmente, deben resolver los ejercicios aplicando heurísticas en lugar de sólo buscar las soluciones al final del libro.
Este documento presenta un libro sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. El libro contiene cinco capítulos que cubren la solución de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, así como aplicaciones en diversas áreas como física, ingeniería y biología. El prólogo describe la estructura y contenido del libro, el cual incluye ejemplos y ejercicios resueltos para apoyar la comprensión de los temas.
Recetas de ecuaciones diferenciales elementalesjcalguien
Este documento resume métodos clásicos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Describe métodos para ecuaciones explícitas como variables separadas, homogéneas y exactas. También cubre ecuaciones lineales, de Bernoulli, Riccati y aquellas donde la derivada aparece implícitamente como en las ecuaciones de Lagrange y Clairaut. El documento proporciona una visión general de los enfoques analíticos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Ecuaciones exactas por factor integrante,lineales,bernoulliLight
Este documento describe las ecuaciones diferenciales exactas y los métodos para resolverlas. Explica que una ecuación diferencial es exacta si su expresión de lado izquierdo es una diferencial exacta. Proporciona el criterio de que las derivadas parciales de M y N deben ser iguales para que sea exacta. También cubre los factores integrantes que pueden hacer que una ecuación no exacta sea exacta, y métodos como variables separables y variación de parámetros para resolver ecuaciones lineales y de Bernoulli.
La pandemia de COVID-19 ha tenido un impacto significativo en la economía mundial y las vidas de las personas. Muchos países han impuesto medidas de confinamiento que han cerrado negocios y escuelas, y han pedido a la gente que se quede en casa tanto como sea posible para frenar la propagación del virus. A medida que los países comienzan a reabrir gradualmente, los expertos advierten que es probable que se produzcan nuevos brotes a menos que se realicen pruebas generalizadas y se implementen sistemas de rastreo de contactos para identificar rá
Este documento presenta tres capítulos sobre la solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias. El Capítulo 1 introduce conceptos básicos sobre sucesiones y series numéricas. El Capítulo 2 explica cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en puntos no singulares mediante desarrollos en serie de potencias. El Capítulo 3 aborda la solución de ecuaciones diferenciales en puntos singulares regulares de manera más compleja. Finalmente, el Capítulo 4 aplica los métodos anteriores a funciones especiales conocidas
Este documento presenta una tesis sobre el teorema de Darboux. En la introducción, se explica brevemente la topología y las variedades diferenciables. Luego, la tesis se divide en tres partes: 1) estudia propiedades de variedades diferenciables y formas diferenciales, 2) introduce estructuras simplécticas y subvariedades lagrangianas, y 3) demuestra versiones del teorema de Moser y luego el teorema de Darboux, el cual establece que variedades simplécticas son indistinguibles localmente. El objetivo es entender
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias wolanski noemianiguac1
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica que una ecuación diferencial ordinaria describe la trayectoria de una partícula moviéndose en un campo de velocidades. Proporciona ejemplos de cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden en una y más variables, y cómo los datos iniciales determinan una solución única. También introduce sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden que describen la dinámica de partículas bajo la acción de fuerzas.
Este documento presenta un resumen conciso de cómo se estudia la matemática. Explica que los textos matemáticos se estructuran en definiciones, teoremas, ejemplos y demostraciones. Los estudiantes deben leer atentamente las definiciones y verificarlos con ejemplos, y examinar con cuidado cada paso de las demostraciones de los teoremas. Finalmente, deben resolver los ejercicios aplicando heurísticas en lugar de sólo buscar las soluciones al final del libro.
Este documento presenta un libro sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. El libro contiene cinco capítulos que cubren la solución de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, así como aplicaciones en diversas áreas como física, ingeniería y biología. El prólogo describe la estructura y contenido del libro, el cual incluye ejemplos y ejercicios resueltos para apoyar la comprensión de los temas.
Recetas de ecuaciones diferenciales elementalesjcalguien
Este documento resume métodos clásicos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Describe métodos para ecuaciones explícitas como variables separadas, homogéneas y exactas. También cubre ecuaciones lineales, de Bernoulli, Riccati y aquellas donde la derivada aparece implícitamente como en las ecuaciones de Lagrange y Clairaut. El documento proporciona una visión general de los enfoques analíticos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Ecuaciones exactas por factor integrante,lineales,bernoulliLight
Este documento describe las ecuaciones diferenciales exactas y los métodos para resolverlas. Explica que una ecuación diferencial es exacta si su expresión de lado izquierdo es una diferencial exacta. Proporciona el criterio de que las derivadas parciales de M y N deben ser iguales para que sea exacta. También cubre los factores integrantes que pueden hacer que una ecuación no exacta sea exacta, y métodos como variables separables y variación de parámetros para resolver ecuaciones lineales y de Bernoulli.
La pandemia de COVID-19 ha tenido un impacto significativo en la economía mundial y las vidas de las personas. Muchos países han impuesto medidas de confinamiento que han cerrado negocios y escuelas, y han pedido a la gente que se quede en casa tanto como sea posible para frenar la propagación del virus. A medida que los países comienzan a reabrir gradualmente, los expertos advierten que es probable que se produzcan nuevos brotes a menos que se realicen pruebas generalizadas y se implementen sistemas de rastreo de contactos para identificar rá
Este documento presenta un libro sobre autómatas y lenguajes formales. Explica que el libro está dirigido a estudiantes de ingeniería y maestría, cubriendo los temas de una manera accesible y con énfasis en la aplicación práctica. También describe la estructura del libro, que comienza con lenguajes regulares y autómatas finitos, luego cubre lenguajes libres de contexto y autómatas de pila, y finalmente máquinas de Turing.
Este documento presenta un libro sobre autómatas y lenguajes formales. Explica que el libro está dirigido a estudiantes de ingeniería y maestría, cubriendo los temas de una manera accesible y con énfasis en la aplicación práctica. También describe la estructura del libro, que comienza con lenguajes regulares y autómatas finitos, luego cubre lenguajes libres de contexto y autómatas de pila, y finalmente máquinas de Turing.
Este documento presenta un libro sobre autómatas y lenguajes formales. Explica que el libro está dirigido a estudiantes de ingeniería y ofrece una introducción accesible a estos temas con énfasis en su aplicación práctica. También describe la estructura del libro, que comienza con lenguajes regulares y autómatas finitos antes de cubrir otros tipos de lenguajes y máquinas más poderosas.
Este documento describe una investigación sobre estrategias didácticas para enseñar operaciones con polinomios en octavo grado. Presenta el marco teórico sobre polinomios e incluye objetivos como proponer estrategias innovadoras y examinar las más efectivas para mejorar el aprendizaje de los estudiantes. El autor desarrollará estrategias en dos sesiones de noventa minutos cada una para conceptos y aplicación práctica, y evaluará los resultados para integrar los métodos más exitosos.
El documento describe los números racionales y las fracciones. Explica que los números racionales pueden expresarse como el cociente de dos números enteros y pueden escribirse en forma decimal o fraccionaria. También describe varios significados de las fracciones como parte-todo, reparto, medida y razón, y los desafíos de enseñar las fracciones.
Este documento presenta una perspectiva fenomenológica sobre el concepto de fracciones. Explora los diferentes significados que pueden atribuirse a las fracciones, incluyendo la fracción como expresión de la relación entre parte y todo, como operador, y como razón para comparar cantidades. También discute algunas de las dificultades comunes que los estudiantes enfrentan al aprender sobre fracciones y sugiere formas de abordarlas didácticamente.
Para aclarar dudas acerca de las derivadas...James Smith
Este documento presenta conceptos clave sobre derivadas que a menudo se omiten en libros de texto, como las reglas de especificación y generalización universal. También explica la diferencia entre incógnitas y variables en una relación funcional. Luego, desarrolla dos fórmulas para derivadas, incluyendo detalles y justificaciones que generalmente se omiten. Finalmente, describe por qué el cálculo moderno usa límites y demostraciones ε-δ al desarrollar fórmulas para derivadas.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales, destacando que son herramientas matemáticas ampliamente utilizadas para modelar fenómenos en diversas áreas como la física, química y biología. Incluye algunos ejemplos sencillos que motivan el estudio de estas ecuaciones, como predecir el crecimiento de la población de un país o medir el impacto de la publicidad. Finalmente, señala que en el libro se enfocará en el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Este documento presenta un libro sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Incluye métodos de solución como separación de variables, factores integrables, método de la variable auxiliar y series de potencias. Contiene aplicaciones a problemas de crecimiento poblacional, circuitos eléctricos y movimiento vibratorio. El libro está dirigido a estudiantes de ingeniería para que obtengan un nivel satisfactorio en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Ecuaciones Difefenciales Tecnicas de solucion y Aplicaciones Becerril-Elizarr...Cristian Camacho Estrada
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales, destacando que son herramientas matemáticas ampliamente utilizadas para modelar fenómenos en diversas áreas como la física, química y biología. Incluye algunos ejemplos sencillos que motivan el estudio de estas ecuaciones, como predecir el crecimiento de la población de un país o medir el impacto de la publicidad. Finalmente, señala que en el libro se enfocará en el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales y los modelos matemáticos. Explica que las ecuaciones diferenciales surgen de leyes físicas que relacionan razones de cambio entre variables. Incluye ejemplos de aplicaciones en física, biología, ingeniería y ciencias sociales. Finalmente, propone algunos problemas motivadores sobre predicción de población, impacto de publicidad y curvas de persecución que involucran ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta técnicas de solución y aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. En el primer capítulo se ilustran diversas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en áreas como la física, biología, ingeniería y economía. Los capítulos 2, 3 y 4 se enfocan en resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden usando diferentes métodos. El último capítulo contiene aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con coeficientes constantes.
Este documento presenta técnicas de solución y aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. En el primer capítulo se ilustran diversas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en áreas como la física, biología, ingeniería y economía. Los capítulos 2, 3 y 4 se enfocan en resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden usando diferentes métodos. El último capítulo contiene aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con coeficientes constantes.
Con la información dada, podemos afirmar lo siguiente:
1. La función f es diferenciable en x=3. Esto significa que en este punto existe la derivada f'(3).
2. El valor de la derivada f'(3) es 0.6.
3. El hecho de que f'(3)=0.6 nos indica que cuando x está cerca de 3, f aumenta a una tasa de 0.6 unidades por cada unidad de aumento de x. En otras palabras, f es una función creciente en los valores de x cercanos a 3.
4. No podemos afirmar nada sobre los valores de f
Ecuaciones diferenciales técnicas de solución y aplicación Juan Zon
El documento presenta tres resúmenes en una oración cada uno:
1) El documento trata sobre ecuaciones diferenciales y sus técnicas de solución y aplicaciones.
2) Se presenta la biografía académica de José Ventura Becerril Espinosa, uno de los autores.
3) Se describe de manera general el contenido de cada uno de los cinco capítulos que conforman el libro.
El documento presenta los objetivos y contenidos de la primera prueba del segundo trimestre de 2013 para estudiantes de octavo año en las secciones 8-1, 8-2 y 8-3. Los temas incluyen criterios de congruencia y semejanza de triángulos, teoremas de Thales y la proporcionalidad, paralelas medias de triángulos, identificación de partes de pirámides y prismas, cantidades constantes y variables, expresiones algebraicas y determinación de valores numéricos. Los estudiantes deben aplicar estos conceptos
1. El documento habla sobre la probabilidad y cómo algunos problemas de probabilidad pueden parecer sencillos pero ocultan soluciones complejas. Explica un problema sobre canicas en una bolsa y cómo se puede resolver aplicando proporcionalidad.
2. También presenta otro problema sobre errores encontrados por dos secretarias al revisar un texto, el cual se puede resolver usando proporciones para estimar el número total de errores.
3. Finalmente, destaca que detrás de problemas aparentemente simples a veces se esconden aplicaciones interesantes de concept
Este documento describe las etapas del proceso de investigación siguiendo el ejemplo de un estudio realizado sobre la resolución de problemas aritméticos de comparación multiplicativa en niños de primaria. La investigación comenzó con la delimitación del tema y la formulación de objetivos e hipótesis. Luego, se realizó un marco teórico y metodológico, seleccionando una muestra representativa de alumnos y utilizando cuestionarios escritos y entrevistas para recoger datos cuantitativos y cualitativos. Finalmente,
Este documento describe las etapas del proceso de investigación a través de un ejemplo realizado por E. Castro sobre la resolución de problemas aritméticos. Describe las fases de planteamiento de la investigación, marco teórico, objetivos y formulación de hipótesis y metodología. El objetivo principal fue estudiar la comprensión de niños de 5o y 6o grado en problemas verbales de comparación multiplicativa y cómo variables como la cantidad desconocida y expresión lingüística afectan la dificultad y errores. La investigación utiliz
El documento describe las diferencias entre las matemáticas clásicas y discretas. Las matemáticas clásicas usan variables que son exactas, continuas o infinitas, mientras que las matemáticas discretas usan variables que son inexactas pero aproximadas, discretas y finitas, o aleatorias. El autor argumenta que la formación de un matemático no está completa si no conoce una muestra representativa de modelos de ambos tipos de matemáticas.
Este documento presenta un libro sobre autómatas y lenguajes formales. Explica que el libro está dirigido a estudiantes de ingeniería y maestría, cubriendo los temas de una manera accesible y con énfasis en la aplicación práctica. También describe la estructura del libro, que comienza con lenguajes regulares y autómatas finitos, luego cubre lenguajes libres de contexto y autómatas de pila, y finalmente máquinas de Turing.
Este documento presenta un libro sobre autómatas y lenguajes formales. Explica que el libro está dirigido a estudiantes de ingeniería y maestría, cubriendo los temas de una manera accesible y con énfasis en la aplicación práctica. También describe la estructura del libro, que comienza con lenguajes regulares y autómatas finitos, luego cubre lenguajes libres de contexto y autómatas de pila, y finalmente máquinas de Turing.
Este documento presenta un libro sobre autómatas y lenguajes formales. Explica que el libro está dirigido a estudiantes de ingeniería y ofrece una introducción accesible a estos temas con énfasis en su aplicación práctica. También describe la estructura del libro, que comienza con lenguajes regulares y autómatas finitos antes de cubrir otros tipos de lenguajes y máquinas más poderosas.
Este documento describe una investigación sobre estrategias didácticas para enseñar operaciones con polinomios en octavo grado. Presenta el marco teórico sobre polinomios e incluye objetivos como proponer estrategias innovadoras y examinar las más efectivas para mejorar el aprendizaje de los estudiantes. El autor desarrollará estrategias en dos sesiones de noventa minutos cada una para conceptos y aplicación práctica, y evaluará los resultados para integrar los métodos más exitosos.
El documento describe los números racionales y las fracciones. Explica que los números racionales pueden expresarse como el cociente de dos números enteros y pueden escribirse en forma decimal o fraccionaria. También describe varios significados de las fracciones como parte-todo, reparto, medida y razón, y los desafíos de enseñar las fracciones.
Este documento presenta una perspectiva fenomenológica sobre el concepto de fracciones. Explora los diferentes significados que pueden atribuirse a las fracciones, incluyendo la fracción como expresión de la relación entre parte y todo, como operador, y como razón para comparar cantidades. También discute algunas de las dificultades comunes que los estudiantes enfrentan al aprender sobre fracciones y sugiere formas de abordarlas didácticamente.
Para aclarar dudas acerca de las derivadas...James Smith
Este documento presenta conceptos clave sobre derivadas que a menudo se omiten en libros de texto, como las reglas de especificación y generalización universal. También explica la diferencia entre incógnitas y variables en una relación funcional. Luego, desarrolla dos fórmulas para derivadas, incluyendo detalles y justificaciones que generalmente se omiten. Finalmente, describe por qué el cálculo moderno usa límites y demostraciones ε-δ al desarrollar fórmulas para derivadas.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales, destacando que son herramientas matemáticas ampliamente utilizadas para modelar fenómenos en diversas áreas como la física, química y biología. Incluye algunos ejemplos sencillos que motivan el estudio de estas ecuaciones, como predecir el crecimiento de la población de un país o medir el impacto de la publicidad. Finalmente, señala que en el libro se enfocará en el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Este documento presenta un libro sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Incluye métodos de solución como separación de variables, factores integrables, método de la variable auxiliar y series de potencias. Contiene aplicaciones a problemas de crecimiento poblacional, circuitos eléctricos y movimiento vibratorio. El libro está dirigido a estudiantes de ingeniería para que obtengan un nivel satisfactorio en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Ecuaciones Difefenciales Tecnicas de solucion y Aplicaciones Becerril-Elizarr...Cristian Camacho Estrada
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales, destacando que son herramientas matemáticas ampliamente utilizadas para modelar fenómenos en diversas áreas como la física, química y biología. Incluye algunos ejemplos sencillos que motivan el estudio de estas ecuaciones, como predecir el crecimiento de la población de un país o medir el impacto de la publicidad. Finalmente, señala que en el libro se enfocará en el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales y los modelos matemáticos. Explica que las ecuaciones diferenciales surgen de leyes físicas que relacionan razones de cambio entre variables. Incluye ejemplos de aplicaciones en física, biología, ingeniería y ciencias sociales. Finalmente, propone algunos problemas motivadores sobre predicción de población, impacto de publicidad y curvas de persecución que involucran ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta técnicas de solución y aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. En el primer capítulo se ilustran diversas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en áreas como la física, biología, ingeniería y economía. Los capítulos 2, 3 y 4 se enfocan en resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden usando diferentes métodos. El último capítulo contiene aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con coeficientes constantes.
Este documento presenta técnicas de solución y aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. En el primer capítulo se ilustran diversas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en áreas como la física, biología, ingeniería y economía. Los capítulos 2, 3 y 4 se enfocan en resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden usando diferentes métodos. El último capítulo contiene aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con coeficientes constantes.
Con la información dada, podemos afirmar lo siguiente:
1. La función f es diferenciable en x=3. Esto significa que en este punto existe la derivada f'(3).
2. El valor de la derivada f'(3) es 0.6.
3. El hecho de que f'(3)=0.6 nos indica que cuando x está cerca de 3, f aumenta a una tasa de 0.6 unidades por cada unidad de aumento de x. En otras palabras, f es una función creciente en los valores de x cercanos a 3.
4. No podemos afirmar nada sobre los valores de f
Ecuaciones diferenciales técnicas de solución y aplicación Juan Zon
El documento presenta tres resúmenes en una oración cada uno:
1) El documento trata sobre ecuaciones diferenciales y sus técnicas de solución y aplicaciones.
2) Se presenta la biografía académica de José Ventura Becerril Espinosa, uno de los autores.
3) Se describe de manera general el contenido de cada uno de los cinco capítulos que conforman el libro.
El documento presenta los objetivos y contenidos de la primera prueba del segundo trimestre de 2013 para estudiantes de octavo año en las secciones 8-1, 8-2 y 8-3. Los temas incluyen criterios de congruencia y semejanza de triángulos, teoremas de Thales y la proporcionalidad, paralelas medias de triángulos, identificación de partes de pirámides y prismas, cantidades constantes y variables, expresiones algebraicas y determinación de valores numéricos. Los estudiantes deben aplicar estos conceptos
1. El documento habla sobre la probabilidad y cómo algunos problemas de probabilidad pueden parecer sencillos pero ocultan soluciones complejas. Explica un problema sobre canicas en una bolsa y cómo se puede resolver aplicando proporcionalidad.
2. También presenta otro problema sobre errores encontrados por dos secretarias al revisar un texto, el cual se puede resolver usando proporciones para estimar el número total de errores.
3. Finalmente, destaca que detrás de problemas aparentemente simples a veces se esconden aplicaciones interesantes de concept
Este documento describe las etapas del proceso de investigación siguiendo el ejemplo de un estudio realizado sobre la resolución de problemas aritméticos de comparación multiplicativa en niños de primaria. La investigación comenzó con la delimitación del tema y la formulación de objetivos e hipótesis. Luego, se realizó un marco teórico y metodológico, seleccionando una muestra representativa de alumnos y utilizando cuestionarios escritos y entrevistas para recoger datos cuantitativos y cualitativos. Finalmente,
Este documento describe las etapas del proceso de investigación a través de un ejemplo realizado por E. Castro sobre la resolución de problemas aritméticos. Describe las fases de planteamiento de la investigación, marco teórico, objetivos y formulación de hipótesis y metodología. El objetivo principal fue estudiar la comprensión de niños de 5o y 6o grado en problemas verbales de comparación multiplicativa y cómo variables como la cantidad desconocida y expresión lingüística afectan la dificultad y errores. La investigación utiliz
El documento describe las diferencias entre las matemáticas clásicas y discretas. Las matemáticas clásicas usan variables que son exactas, continuas o infinitas, mientras que las matemáticas discretas usan variables que son inexactas pero aproximadas, discretas y finitas, o aleatorias. El autor argumenta que la formación de un matemático no está completa si no conoce una muestra representativa de modelos de ambos tipos de matemáticas.
1. ´ ´
METODOS CLASICOS
´
DE RESOLUCION DE
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
2.
3. Juan Luis Varona Malumbres
Profesor del Departamento de Matem´ticas y Computaci´n
a o
de la Universidad de La Rioja
´ ´
METODOS CLASICOS
´
DE RESOLUCION DE
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
UNIVERSIDAD DE LA RIOJA
4. VARONA MALUMBRES, Juan Luis
M´todos cl´sicos de resoluci´n de ecuaciones diferenciales
e a o
ordinarias / Juan Luis Varona. -- Logro~o : Servicio de
n
Publicaciones, Universidad de La Rioja, 1996.
XI-51 p.; 24 cm.
ISBN 84-88713-32-0
1. Ecuaciones diferenciales. I. Universidad de La Rioja.
Servicio de Publicaciones, ed. II. T´tulo
ı
517.91
Mathematics Subject Classification (1991): 34-01
c Juan Luis Varona
Edita: Universidad de La Rioja
Realiza: Servicio de Publicaciones
Logro˜o, 1996
n
ISBN: 84-88713-32-0
Dep´sito Legal: LR-76-1996
o
Composici´n: TEX, realizada por el autor
o
Impresi´n: Gr´ficas Ochoa, S.A.
o a
Reimpresi´n (con peque˜as correcciones): 1999, 2007 y 2009
o n
URL del autor: http://www.unirioja.es/cu/jvarona/hola.html
http://www.unirioja.es/cu/jvarona/welcome.html
Impreso en Espa˜a
n Printed in Spain
5. ´
PROLOGO
Este texto tuvo su origen en unos apuntes sobre Ecuaciones Diferenciales para los
alumnos de la Licenciatura de Matem´ticas, aunque, a lo largo de estos ultimos a˜os,
a ´ n
hemos observado que, adem´s, resultaban utiles para otras carreras, en particular para
a ´
las ense˜anzas de Ingenier´ T´cnicas de la Universidad de La Rioja. Visto que estos
n ıas e
apuntes pod´ ser aprovechados por diversas personas con diferentes objetivos, y puesto
ıan
que pod´ tener un p´blico no demasiado restringido, nos decidimos a darles vida en
ıan u
forma de libro.
Los m´todos cl´sicos para resolver ecuaciones diferenciales son importantes pero
e a
dif´
ıciles de recordar. Por eso nos planteamos escribir algo —en principio, los apuntes
antes mencionados— dedicado a ellos con exclusividad, donde se pudiesen encontrar los
m´todos f´cilmente. De aqu´ que este libro no contiene nada de muchos de los aspectos
e a ı
fundamentales de la teor´ de ecuaciones diferenciales: existencia y unicidad de soluciones,
ıa
sistemas de ecuaciones, integraci´n por desarrollos en serie, estabilidad, . . . , por citar s´lo
o o
unos pocos. Es claro que, matem´ticamente hablando, no puede plantearse un estudio serio
a
de las ecuaciones diferenciales sin abordar esos temas, pero no es ´ste el objetivo del libro.
e
Los temas que aqu´ se tratan pueden explicarse a estudiantes de diversas carreras tal como
ı
aparecen desarrollados. En cambio, el estudio de la existencia y unicidad de soluciones,
por ejemplo, requiere necesariamente un tratamiento distinto, ya sea m´s pr´ctico o m´s
a a a
te´rico, dependiendo del tipo de personas al que est´ destinado.
o e
El libro consta fundamentalmente de tres partes, de acuerdo a una primera clasificaci´n
o
general de la ecuaciones que se estudian: ecuaciones expl´ıcitas de primer orden, ecuaciones
en las que la derivada aparece impl´ ıcitamente, y ecuaciones en las que se puede reducir
el orden. Cada una de estas partes abarca diversos tipos de ecuaciones, que aparecen en
lo que hemos denominado ((Apartados)), y que hemos numerado consecutivamente desde 1
hasta 13. Entre estos n´meros aparecen a veces algunos denotados con ((prima)), como 4′ .
u
Alguien malintencionado pod´ pensar que tan extra˜a notaci´n respond´ simplemente
ıa n o ıa
a dejadez del autor, para no tener que renumerar los apartados tras haber redactado
el libro en desorden. No es ´ste el caso (al menos en estas notas). El uso de ((primas))
e
es intencionado, y quiere significar que un tipo se reduce al anterior mediante alg´n u
mecanismo en forma de cambio de variable. Por otra parte, todos los m´todos de resoluci´n
e o
se basan, en esencia, en aplicar transformaciones diversas hasta llegar a una ecuaci´n de
o
variables separadas, cuya resoluci´n requiere s´lo calcular integrales. As´ pues, no ten´
o o ı ıa
′
sentido utilizar la denominaci´n 1 (o sucesivas) para alg´n tipo concreto de ecuaci´n,
o u o
puesto que lo mismo pod´ haberse aplicado a la mayor´ Varios de los tipos que se
ıa ıa.
v
6. vi M´todos cl´sicos de resoluci´n de E. D. O.
e a o
estudian se subdividen a su vez en subtipos. En todo caso, siempre se analizan los procesos
que hay que seguir para llegar a la resoluci´n, a veces por diferentes caminos.
o
Un resumen de los m´todos que se emplean, para recordarlos de un vistazo, es lo
e
que aparece en lo que hemos denominado ((Recetas)). Estos esquemas permiten clasificar
f´cilmente las ecuaciones estudiadas y tener una r´pida indicaci´n de c´mo abordar
a a o o
su resoluci´n. As´ mismo, con cada tipo de ecuaciones se muestra un ejemplo t´
o ı ıpico
completamente resuelto.
En el libro aparece una peque˜a bibliograf´ con libros exclusivamente en castellano. Al
n ıa
contrario que en muchos otros temas de matem´ticas, existen, en nuestro idioma, bastantes
a
textos dedicados a las ecuaciones diferenciales, as´ que s´lo hemos incluido unos pocos. (La
ı o
abundancia de libros en castellano sobre ecuaciones diferenciales se debe, en opini´n del
o
autor, al inter´s del tema en disciplinas no estrictamente matem´ticas. Realmente, en los
e a
temas m´s puntuales y de investigaci´n, esta abundancia ya no puede considerarse cierta.)
a o
Entre las obras citadas, no hemos considerado necesario indicar cu´les son te´ricas y cu´les
a o a
se dedican fundamentalmente a la resoluci´n de problemas, ya que nos ha parecido que sus
o
t´
ıtulos son bastante descriptivos.
Acaba el libro con un ap´ndice dedicado a los m´todos de resoluci´n de integrales
e e o
inmediatas o c´lculo de primitivas. Tal como ya hemos mencionado anteriormente, todas
a
la ecuaciones que aqu´ estudiamos se intentan reducir a ecuaciones en variables separadas
ı
cuya soluci´n se expresa por medio de integrales. As´ pues, tal recordatorio puede resultar
o ı
claramente de inter´s en el tema que estamos tratando.
e
Queremos dejar constancia de que los nombres que aparecen en el ´ ındice no se
corresponden exactamente con los t´ ıtulos que hemos ido dando a los diferentes apartados.
La no coincidencia no se debe a descuido, sino que ha sido pensada conscientemente para
que, cuando alguien se encuentra ante una ecuaci´n que debe resolver, el ´
o ındice le permita
una r´pida identificaci´n del tipo que se trata, y d´nde se puede localizar dentro del texto.
a o o
Deseamos as´ mismo justificar la falta de un ´
ı ındice terminol´gico o tabla de contenidos,
o
que quiz´s alguien pueda echar en falta. La ventaja que tienen tales tipos de ´
a ındices es
que permiten buscar palabras clave clasificadas alfab´ticamente, al contrario que en un
e
´
ındice general en el que, obviamente, los apartados aparecen consecutivamente seg´n el u
orden en el que se abordan dentro del libro, y en el que muchos t´rminos suficientemente
e
descriptivos pueden no estar reflejados o ser dif´
ıciles de localizar. Es opini´n del autor que
o
casi cualquier libro de estudio o consulta deber´ llevar un ´
ıa ındice de nombres, as´ que no
ı
podemos resistirnos a explicar su ausencia.
Hay que tener presente que ´ste es un libro peque˜o en extensi´n, dedicado a un tema
e n o
bastante puntual, con un ´ ındice detallado, y cuyo prop´sito es permitir que, cuando nos
o
encontramos ante una ecuaci´n diferencial, podamos f´cilmente distinguir su tipo para
o a
proceder a resolverla. As´ pues, no parec´ demasiado importante algo parecido a un ´
ı ıa ındice
de nombres, ya que lo que interesa al lector es saber identificar el tipo de una ecuaci´n a la
o
vista de su aspecto, no de su nombre, que es f´cil que quien consulta el libro no conozca.
a
Queremos tambi´n mencionar la dificultad de elaborar un ´
e ındice de nombre suficientemente
completo; esto es as´ puesto que, aunque muchos de los tipos de ecuaciones que aqu´ se
ı ı
estudian s´ que tienen un nombre que los describe, esto no es as´ en todos los casos, sino
ı ı
7. Pr´logo
o vii
que muchas veces las catalogamos unicamente por su aspecto. Por esta raz´n, adem´s,
´ o a
muchos de los t´
ıtulos de los apartados son meramente descriptivos, clasificando el tipo de
ecuaci´n mediante una f´rmula. De todas formas, si alguien desea buscar una ecuaci´n
o o o
por su nombre, no es complicado localizarla en el ´
ındice ya que ´ste es, necesariamente,
e
peque˜o.
n
Tampoco se ha incluido un ´ ındice de ((recetas)), pues siempre aparecen, como mucho,
un par de p´ginas despu´s de cada tipo, luego resultan f´ciles de localizar a trav´s del
a e a e
´
ındice. Lo mismo puede decirse de los ejercicios, que invariablemente est´n colocados tras
a
la explicaci´n te´rica del m´todo.
o o e
Aunque el libro ha sido suficientemente repasado, y ha sido ya utilizado como apuntes
fotocopiados durante varios a˜os, la experiencia nos muestra la pr´ctica imposibilidad de
n a
evitar que se deslice alguna errata. En este aspecto, es de destacar que todas ellas son
debidas al autor y no a ning´n proceso posterior en imprenta, puesto que el libro ha sido
u
editado directamente a partir de las p´ginas ya impresas suministradas por el autor. En
a
su confecci´n se ha utilizado TEX, a cuyo creador, Donald Knuth, deseo hacer constar mi
o
gratitud por permitir a la comunidad matem´tica (y cient´
a ıfica en general) la utilizaci´n
o
de tan potente y util herramienta destinada a elaborar textos de gran calidad tipogr´fica.
´ a
L´stima que, a´n, no est´ lo suficientemente adaptado para escribir en lengua no inglesa.
a u e
As´ mismo, quiero agradecer a mis compa˜eros del Departamento de Matem´ticas
ı n a
y Computaci´n de la Universidad de La Rioja sus sugerencias y correcciones sobre las
o
versiones preliminares de este libro. En particular, a Jos´ Luis Ansorena, Jos´ Manuel
e e
Guti´rrez y V´
e ıctor Lanchares, cuyas cr´
ıticas han permitido, sin duda, mejorar el texto.
Tambi´n mi reconocimiento a Jos´ Javier Guadalupe, de quien aprend´ mis primeras
e e ı
nociones sobre ecuaciones diferenciales hace a˜os, cuando estudiaba en el entonces Colegio
n
Universitario de La Rioja, semilla de nuestra actual Universidad; de sus apuntes dictados
en clase surgieron parte de estas notas, que se han ido completando durante varios a˜os.
n
Por ultimo, a mi mujer, Mar´ Jos´ Ram´
´ ıa e ırez, que ha soportado mi ausencia durante las
m´ltiples horas que he dedicado a escribir este libro; como ahora —s´bado a las ocho de
u a
la ma˜ana—, que duerme en la habitaci´n de al lado mientras yo doy los ultimos (¡ojal´!)
n o ´ a
retoques al texto.
Juan Luis Varona
Dpto. de Matem´ticas y Computaci´n
a o
Universidad de La Rioja
jvarona@unirioja.es
Logro˜o, febrero de 1996
n
8.
9. ´
INDICE
´
PROLOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
´
INDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
GENERALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
ECUACIONES EXPL´
ICITAS DE PRIMER ORDEN y ′ = f (x, y) . . . . 5
1. Variables separadas g(x) = h(y)y ′ . . . . . . . . . . . 5
2. Ecuaci´n de la forma y ′ = f (ax + by)
o . . . . . . . . . . 7
y
3. Homog´neas y ′ = f
e x . . . . . . . . . . . . . . . 7
a1 x+b1 y+c1
3′ . Reducibles a homog´neas y ′ = f
e ax+by+c . . . . . . . . 9
3′ .1. Caso ((rectas que se cortan)) . . . . . . . . . . . 9
3′ .2. Caso ((rectas paralelas)) . . . . . . . . . . . . 9
y
3′′ . Homog´neas impl´
e ıcitas F x
, y′ =0 . . . . . . . . . . . 11
3′′′ . Ecuaci´n y ′ = f (x, y) con f (λx, λα y) = λα−1 f (x, y) .
o . . . . . 12
4. Ecuaciones exactas P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 con Py = Qx . . . 14
4′ . Reducibles a exactas: Factores integrantes . . . . . . . . . 16
4′ .1. Factor integrante de la forma µ(x) . . . . . . . . . 16
4′ .2. Factor integrante de la forma µ(y) . . . . . . . . . 16
4′ .3. Otras expresiones restrictivas para µ(x, y) . . . . . . . 16
5. Ecuaciones lineales de primer orden y ′ + a(x)y = b(x) . . . . . 17
5′ . Ecuaci´n de Bernoulli y ′ + a(x)y + b(x)y α = 0
o . . . . . . . 21
5′′ . Ecuaci´n de Riccati y ′ + a(x)y + b(x)y 2 = c(x)
o . . . . . . . 22
6. Sustituciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
ix
10. x M´todos cl´sicos de resoluci´n de E. D. O.
e a o
ECUACIONES EN LAS QUE LA DERIVADA APARECE IMPL´ICITAMENTE
′
F (x, y, y ) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7. F algebraica en y ′ de grado n . . . . . . . . . . . . . 25
Obtenci´n de la envolvente de una familia de curvas .
o . . . . . 26
8. Ecuaci´n de la forma y = f (x, y ′ )
o . . . . . . . . . . . 27
8.1. Ecuaci´n y = f (y ′ ) .
o . . . . . . . . . . . . . 27
8.2. Ecuaci´n de Lagrange y + xϕ(y ′ ) + ψ(y ′ ) = 0 .
o . . . . . 28
8.3. Ecuaci´n de Clairaut y − xy ′ + ψ(y ′ ) = 0
o . . . . . . . 28
9. Ecuaci´n de la forma x = f (y, y ′ )
o . . . . . . . . . . . 32
10. Ecuaci´n de la forma F (y, y ′ ) = 0
o . . . . . . . . . . . 33
ECUACIONES DIFERENCIALES EN LAS QUE SE PUEDE REDUCIR EL
ORDEN F (x, y, y ′, . . . , y (n) ) = 0 . . . . . . . . . . . . . . 35
11. Ecuaci´n de la forma F (x, y (k) , . . . , y (n) ) = 0
o . . . . . . . . 35
11′ . Ecuaciones lineales de orden superior . . . . . . . . . . 36
12. Ecuaci´n de la forma F (y, y ′ , . . . , y (n) ) = 0 .
o . . . . . . . . 40
12′ . Ecuaci´n F (x, y, y ′, . . . , y (n) ) = 0 con F (λx, λm u0 , λm−1 u1 , . . . , λm−n un ) =
o
λα F (x, u0 , u1 , . . . , un ) . . . . . . . . . . . . . . . 42
13. Ecuaci´n F (x, y, y ′, . . . , y (n) ) = 0 con F (x, λu0 , λu1 , . . . , λun ) =
o
λα F (x, u0 , u1 , . . . , un ) . . . . . . . . . . . . . . . 44
Peque˜a bibliograf´ en castellano
n ıa . . . . . . . . . . . . . 47
´
APENDICE: M´todos b´sicos para calcular integrales indefinidas
e a . . . 49
11. GENERALIDADES
Desde los primeros pasos en el c´lculo diferencial, de todos es conocido que, dada una
a
dy
funci´n y = f (x), su derivada dx = f ′ (x) es tambi´n una funci´n que se puede encontrar
o e o
−x3 dy 3
mediante ciertas reglas. Por ejemplo, si y = e , entonces dx = −3x2 e−x o, lo que es
dy
lo mismo, dx = −3x2 y. El problema al que nos enfrentamos ahora no es el de calcular
derivadas de funciones; m´s bien, el problema consiste en: si se da una ecuaci´n como
a o
dy
dx = −3x2 y, hallar de alguna manera una funci´n y = f (x) que satisfaga dicha ecuaci´n.
o o
En una palabra, se desea resolver ecuaciones diferenciales.
dy
La forma de ecuaci´n diferencial m´s sencilla que puede pensarse es dx = f (x).
o a
Resolverla consiste en encontrar una funci´n cuya derivada sea f (x), es decir, encontrar
o
las primitivas (integrales indefinidas) de f (x). Por tanto, podemos decir que los m´todos
e
de resoluci´n de ecuaciones diferenciales constituyen una generalizaci´n del c´lculo de
o o a
primitivas.
Definici´n 1. Llamamos ecuaci´n diferencial (E. D.) a una ecuaci´n que relaciona
o o o
una funci´n (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y
o
sus derivadas. Si la ecuaci´n contiene derivadas respecto a una sola variable independiente
o
entonces se dice que es una ecuaci´n diferencial ordinaria (E. D. O.); y si contiene las
o
derivadas parciales respecto a dos o m´s variables independientes se llama ecuaci´n en
a o
derivadas parciales (E. D. P.).
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias son
dy
− 4y = 2, (x + 2y) dx − 3y dy = 0 (1)
dx
y
3
d2 y dy
−4 + 3y = 0; (2)
dx2 dx
mientras que
∂u ∂u
x +y =u (3)
∂x ∂y
y
∂ 3u ∂2u ∂u
3
= 2 −4 (4)
∂x ∂t ∂t
son ecuaciones en derivadas parciales.
1
12. 2 M´todos cl´sicos de resoluci´n de E. D. O.
e a o
Otro tipo de ecuaciones que pueden estudiarse son las ecuaciones diferenciales de
retraso (o retardo), como es el caso de
u′ (t) = 7 − 2u(t − 3).
Est´n caracterizadas por la presencia de un desplazamiento t − t0 en el argumento de la
a
funci´n inc´gnita u(t). En general, son m´s dif´
o o a ıciles de manejar que las E. D. sin retraso.
No nos ocuparemos aqu´ de ellas.
ı
Definici´n 2. Se llama orden de la ecuaci´n diferencial al orden de la derivada o derivada
o o
parcial m´s alta que aparece en la ecuaci´n.
a o
As´ por ejemplo, las ecuaciones (1) y (3) son de orden 1, (2) es de orden 2 y (4) de
ı,
orden 3.
En lo que sigue nos preocuparemos s´lo de ecuaciones diferenciales ordinarias y, como
o
no habr´ lugar a confusi´n, las denominaremos simplemente E. D. Por lo general, salvo
a o
que el contexto nos indique otra notaci´n (o ´sta provenga de los cambios de variable que
o e
efectuemos), utilizaremos x para denotar la variable independiente e y para la variable
dependiente.
Definici´n 3. Decimos que una ecuaci´n diferencial (de orden n) est´ expresada en forma
o o a
ıcita cuando tiene la forma
impl´
F (x, y, y ′, . . . , y (n) ) = 0
siendo F una funci´n F : Ω ⊂ Rn+2 −→ R con Ω un subconjunto (generalmente abierto)
o
de Rn+2 . Y decimos que est´ expresada en forma expl´
a ıcita cuando tenemos
y (n) = f (x, y, y ′, . . . , y (n−1) )
con f : D ⊂ Rn+1 −→ R una funci´n definida en un subconjunto D (generalmente abierto)
o
n+1
de R .
Una clase importante de E. D., bien estudiada y con buenas propiedades, es la
siguiente:
Definici´n 4. Se dice que una ecuaci´n diferencial es lineal si tiene la forma
o o
dn y dn−1 y dy
an (x) + an−1 (x) n−1 + · · · + a1 (x) + a0 (x)y = g(x);
dxn dx dx
y se llama lineal homog´nea si, adem´s, g(x) = 0. Dada una ecuaci´n lineal, su
e a o
correspondiente ecuaci´n lineal homog´nea en la que se ha hecho g(x) = 0 se denomina
o e
lineal homog´nea asociada. Una ecuaci´n que no es lineal se dice no lineal.
e o
Nuestro objetivo es resolver ecuaciones diferenciales, esto es, encontrar sus soluciones.
13. Generalidades 3
Definici´n 5. Decimos que una funci´n y = ϕ(x) definida en un intervalo I (es decir,
o o
ϕ: I ⊂ R −→ R) es soluci´n de una ecuaci´n diferencial en el intervalo si, sustituida en
o o
dicha ecuaci´n, la reduce a una identidad. (En otras palabras, si satisface la E. D.) Una
o
E. D. se dice resoluble (o integrable) por cuadraturas si su soluci´n es expresable
o
mediante integrales.
En general, la soluci´n de una ecuaci´n diferencial de orden n depender´ de n
o o a
par´metros. Pero incluso de esta forma pueden no obtenerse todas las soluciones de una
a
E. D. Por ejemplo, cuando tenemos una familia uniparam´trica de soluciones de una E. D.,
e
una sencilla interpretaci´n geom´trica nos muestra que tambi´n la envolvente de la familia
o e e
de curvas (si existe) es soluci´n de la E. D.
o
A continuaci´n, nos dedicaremos a explicar los diversos m´todos cl´sicos de resoluci´n
o e a o
de E. D. No haremos hincapi´ en el intervalo de definici´n de las soluciones, ni efectuaremos
e o
un estudio detallado de la rigurosidad de los m´todos empleados que, en esencia, descansan
e
siempre en la regla de la cadena y los teoremas de la funci´n inversa y de la funci´n
o o
impl´ıcita. No nos detendremos nunca en comprobar las hip´tesis de estos teoremas, sino
o
que supondremos en todo momento que las funciones que aparecen en los m´todos descritos
e
son lo suficientemente ((buenas)), o est´n lo suficientemente restringidas en su dominio, para
a
que siempre se satisfagan las hip´tesis necesarias. Tampoco nos preocuparemos en exceso
o
de saber si hemos obtenido todas las soluciones; a este respecto, en algunos casos nos
interesaremos por las soluciones singulares de una E. D., como puede ser la envolvente de
una familia de soluciones.
Nos apresuramos a se˜alar que las f´rmulas generales que aparecen como soluci´n
n o o
de diversos tipos de ecuaciones no deben memorizarse; m´s bien, el procedimiento debe
a
desarrollarse completo cada vez. Para ello bastar´ recordar unos cuantos puntos esenciales
a
que destacamos en las cajas de texto que hemos denominado ((recetas)).
Por ultimo, comentar que, en los ejemplos que nos aparecer´n, el lector puede
´ a
entretenerse en representar gr´ficamente las soluciones de las E. D. planteadas, al menos
a
en los casos m´s sencillos o efectuando un simple bosquejo de su apariencia. No pensemos
a
en esto como una p´rdida de tiempo, pues ayuda a comprender la naturaleza del problema
e
y de sus soluciones.
14.
15. ECUACIONES EXPL´
ICITAS DE
PRIMER ORDEN
Son las que tienen la forma
y ′ = f (x, y).
APARTADO 1.
Variables separadas.
Si tenemos la E. D.
g(x) = h(y)y ′ ,
formalmente, podemos poner g(x) dx = h(y) dy; si suponemos que G es una primitiva de
g y H una de h, tendremos G′ (x) dx = H ′ (y) dy e, integrando, G(x) = H(y) + C, que es
la soluci´n general de la ecuaci´n.
o o
Expliquemos con un poco m´s de rigor por qu´ funciona el m´todo: Sea y = ϕ(x)
a e e
una soluci´n de la E. D., es decir, ϕ(x) debe cumplir g(x) = h(ϕ(x))ϕ′ (x). Pero H es
o
una primitiva de h, as´ que, por la regla de la cadena, g(x) = h(ϕ(x))ϕ′ (x) = (H ◦ ϕ)′ (x).
ı
Integrando, G(x) = (H ◦ϕ)(x)+C (lo que antes hemos expresado como G(x) = H(y)+C),
de donde ϕ(x) = H −1 (G(x) − C).
En los pasos anteriores, est´ justificado emplear la regla de la cadena cuando ϕ y H
a
son derivables, lo cual es cierto sin m´s que suponer que h sea continua. Y finalmente, para
a
poder despejar ϕ mediante el uso de H −1 bastar´ con exigir adem´s que h no se anulara
ıa a
en el intervalo de definici´n, con lo cual, como H ′ = h = 0, H es creciente o decreciente
o
luego existe H −1 (en otras palabras, como la derivada de H no se anula, el teorema de la
funci´n inversa nos asegura que existe H −1 ).
o
Las ecuaciones en variables separadas son las m´s sencillas de integrar y, a la vez,
a
las m´s importantes, ya que cualquier otro m´todo de resoluci´n se basa esencialmente en
a e o
aplicar diversos trucos para llegar a una ecuaci´n en variables separadas. En ellas hemos
o
visto, con todo rigor, qu´ hip´tesis hay que imponer para que el m´todo que conduce
e o e
a la soluci´n est´ correctamente empleado, y c´mo se justifica el funcionamiento del
o e o
proceso. A partir de ahora no incidiremos m´s en estos detalles que, aunque importantes,
a
sobrecargar´ la explicaci´n. El lector puede detenerse mentalmente a pensar en ellos,
ıan o
justificando adecuadamente los pasos que se efect´en.
u
5
16. 6 M´todos cl´sicos de resoluci´n de E. D. O.
e a o
o dy
En cualquier caso, conviene recordar que la expresi´n dx es simplemente una util ´
notaci´n para designar la derivada de y respecto de x, no un cociente de dy dividido
o
por dx; ni dy ni dx tienen entidad en s´ mismas. Esta notaci´n se emplea, no porque
ı o
s´ ni para introducir confusi´n, sino que, al contrario, se usa porque es consecuente con
ı o
los enunciados de varios importantes resultados. Ya hemos visto c´mo resulta adecuada
o
dy
a la hora de recordar c´mo resolver ecuaciones en variables separadas g(x) = h(y) dx ,
o
dy
descomponiendo g(x) dx = h(x) dy (como si dx fuese realmente una fracci´n) e integrando
o
ambos lados de la expresi´n anterior. Pero no s´lo aqu´ se pone de manifiesto la utilidad
o o ı
de esta notaci´n. Por ejemplo, el teorema de la funci´n inversa prueba (con las hip´tesis
o o o
adecuadas) que, cuando y es una funci´n de x, si se despeja x como funci´n de y se cumple
o o
dx 1 1
x′ (y) = = = ′ ,
dy dy/dx y (x)
es decir, se produce un comportamiento similar a si estuvi´ramos operando con fracciones.
e
An´logamente, si tenemos que z es una funci´n de y y, a su vez, y una funci´n de x, la
a o o
regla de la cadena establece que la derivada de la funci´n compuesta z(x) es
o
dz dz dy
= ,
dx dy dx
que es como si simplific´ramos dy en los supuestos cocientes de la derecha. Esto permite
a
dy
usar las notaciones del tipo dx y su comportamiento como si fuesen fracciones como regla
nemot´cnica de los resultados anteriores.
e
RECETA 1. Variables separadas.
Son de la forma
g(x) = h(y)y ′ .
dy
Formalmente, se separa g(x) = h(y) dx en g(x) dx = h(y) dy y se
integra.
Ejemplo 1. Resolver
dy
+ (sen x)y = 0.
dx
Despejando, dy = −(sen x) dx e, integrando, log y = cos x + C, es decir, y = ecos x+C .
y
Sin m´s que tomar K = eC encontramos las soluciones y = Kecos x . Fijarse que, en
a
principio, parece que K tiene que ser positiva; pero en realidad la integral de dy es log |y|,
y
lo que nos llevar´ a soluciones con valores negativos de K. Por ultimo, notar y = 0 (es
ıa ´
decir, tomar K = 0) tambi´n es claramente una soluci´n de la E. D., aunque no se obtiene
e o
con el m´todo seguido. As´ pues, la soluci´n general de la E. D. es de la forma y = Kecos x
e ı o
con K ∈ R.
17. E. D. expl´
ıcitas de primer orden 7
APARTADO 2.
Ecuaci´n de la forma y ′ = f (ax + by).
o
Si a = 0 o b = 0, la ecuaci´n es separable. En otro caso, efectuemos el cambio de
o
′
funci´n y(x) por z(x) dado por z = ax + by, de donde z ′ = a + by ′ y, por tanto, y ′ = z −a .
o b
′
Entonces, sustituyendo en la E. D. obtenemos z −a = f (z), es decir, z ′ = a + bf (z), que
b
es de variables separadas. La escribimos como
dz
dx = ,
a + bf (z)
con lo que, integrando, x = (a + bf (z))−1 dz = φ(z, C). As´ pues, las soluciones de la
ı
E. D. de partida ser´n
a
x = φ(ax + by, C),
de modo que hemos encontrado y como funci´n de x expresada en forma impl´
o ıcita.
RECETA 2. Ecuaci´n de la forma y ′ = f (ax + by).
o
El cambio de funci´n y(x) por z(x) dado por z = ax + by la
o
transforma en una de variables separadas.
Ejemplo 2. Resolver
y ′ − ex ey = −1.
Tenemos y ′ + 1 = ex+y , con lo que si efectuamos el cambio de funci´n dado por la
o
sustituci´n z = x + y, la ecuaci´n queda transformada en z ′ = ez , es decir, dx = e−z dz,
o o
ecuaci´n en variables separadas cuya soluci´n es x = −e−z + C. Volviendo a las variables
o o
−x−y
iniciales, C − x = e , de donde log(C − x) = −x − y, y por tanto la soluci´n de la
o
E. D. de partida es y = − log(C − x) − x. (Observar que no nos hemos preocupado —ni lo
haremos de aqu´ en adelante— de poner m´dulos cuando al calcular una integral aparece
ı o
un logaritmo. El lector podr´ analizar estos casos con mucho m´s cuidado.)
ıa a
APARTADO 3.
Homog´neas.
e
Supongamos que tenemos la ecuaci´n
o
y
y′ = f .
x
18. 8 M´todos cl´sicos de resoluci´n de E. D. O.
e a o
y
Para resolverla, hacemos el cambio de funci´n y(x) por u(x) mediante u = x . As´ derivando
o ı,
′ ′ ′
y = ux tenemos y = u x + u, es decir, u x + u = f (u). Esta ecuaci´n, que podemos poner
o
como u′ x = f (u) − u, es de variables separadas. Vamos a solucionarla:
du dx du x
• Si f (u) = u, podemos escribir f (u)−u
= x
e, integrando, f (u)−u
= log( C ).
du
Despejando x obtenemos x = Ceφ(u) con φ(u) = f (u)−u
. Por tanto, las curvas con
ecuaciones param´tricas
e
x = Ceφ(u)
y = Cueφ(u)
son soluci´n de la ecuaci´n diferencial para cada C ∈ R. (Esto constituye una familia
o o
de curvas homot´ticas: una curva se obtiene de otra mediante una homotecia, es decir,
e
multiplicando los valores de x e y por una constante.) A veces, es conveniente expresar
estas soluciones de otras formas. Siempre puede ponerse x = Ceφ(y/x) , soluci´n dada
o
mediante una funci´n impl´
o ıcita. Y, cuando en x = Ceφ(u) se logra despejar de alguna
forma u = H(x, C), la soluci´n de la E. D. queda mucho m´s sencilla: y = xH(x, C).
o a
• Supongamos ahora que existe alg´n u0 tal que f (u0 ) = u0 . En este caso, es inmediato
u
y
comprobar que la recta y = u0 x es soluci´n: y ′ = u0 = f (u0 ) = f ( x ), luego se satisface
o
la ecuaci´n diferencial. Este tipo de soluciones que no se obtienen con el procedimiento
o
general suelen denominarse soluciones singulares.
Nota: En general, una funci´n h(x, y) se dice homog´nea de grado α si h(λx, λy) =
o e
λα h(x, y). Es inmediato comprobar que una E. D. de la forma
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
con P (x, y) y Q(x, y) funciones homog´neas del mismo grado es, efectivamente, una
e
ecuaci´n diferencial homog´nea (despejar y ′ = dx = − Q(x,y) = − P (x,x(y/x)) y extraer
o e dy P (x,y)
Q(x,x(y/x))
λ = x de P y Q). De aqu´ proviene el nombre de este tipo de ecuaciones.
ı
RECETA 3. Homog´neas.
e
Son de la forma
y
y′ = f .
x
Se hace el cambio de funci´n y(x) por u(x) mediante y = ux,
o
transform´ndose as´ la E. D. en una de variables separadas.
a ı
Ejemplo 3. Resolver
2xy − y 2
y′ = .
x2
19. E. D. expl´
ıcitas de primer orden 9
y y
Con el cambio y = ux podemos poner y ′ = 2 x − ( x )2 = 2u − u2 . Como y ′ = u′ x + u,
sustituyendo tenemos u′ x + u = 2u − u2 , es decir, xu′ = u − u2 .
Si u = u2 , podemos poner u−u2 = dx . Para integrar, descomponemos u−u2 = A + 1−u ,
du
x
1
u
B
x
lo que se satisface para A = B = 1. Entonces, integrando, log u − log(1 − u) = log C , es
u x y y/x x
decir, 1−u = C ; y sustituyendo u = x tenemos 1−y/x = C , de donde Cy = x(x − y). De
aqu´ es f´cil despejar expl´
ı a ıcitamente y si as´ se desea.
ı
Por otra parte, a partir de u0 = 0 y u0 = 1 (para las cuales u = u2 ), se tienen las
soluciones singulares y = 0 e y = x.
APARTADO 3′ .
Reducibles a homog´neas.
e
Consideremos la ecuaci´n
o
a1 x + b1 y + c1
y′ = f .
ax + by + c
Para resolverla, hay que distinguir dos casos:
3′ .1. Supongamos en primer lugar que las rectas ax + by + c = 0 y a1 x + b1 y + c1 = 0
se cortan en el punto (x0 , y0 ). As´ tendremos que ax + by + c = a(x − x0 ) + b(y − y0 ) y
ı,
a1 x + b1 y + c1 = a1 (x − x0 ) + b1 (y − y0 ). Hagamos ahora el cambio de variable y de funci´n
o
X = x − x0 , Y = y − y0 , con lo cual
Y
a1 (x − x0 ) + b1 (y − y0 ) a 1 X + b1 Y a 1 + b1 X
Y ′ = y′ = f =f =f Y
,
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) aX + bY a + bX
es decir, hemos reducido la ecuaci´n a una homog´nea.
o e
3′ .2. En segundo lugar, supongamos que ax+by +c = 0 y a1 x+b1 y +c1 = 0 son rectas
paralelas, con lo cual podr´ ponerse (a1 , b1 ) = K(a, b) para alg´n K ∈ R. Efectuemos ahora
a u
′
el cambio de funci´n z = ax + by. Derivando, z = a + by , o sea, y ′ = z −a . Si sustituimos
o ′ ′
b
en la E. D. original obtenemos
dz Kz + c1
= a + bf ,
dx z+c
que es de variables separadas.
20. 10 M´todos cl´sicos de resoluci´n de E. D. O.
e a o
RECETA 3′ . Reducibles a homog´neas.
e
Son de la forma
a1 x + b1 y + c1
y′ = f .
ax + by + c
3′ .1. Si las rectas ax + by + c = 0 y a1 x + b1 y + c1 = 0 se cortan
en (x0 , y0 ), se hace el cambio de variable y de funci´n X = x − x0 ,
o
Y = y − y0 . La ecuaci´n se reduce a una homog´nea.
o e
3′ .2. Si ax +by +c = 0 y a1 x +b1 y +c1 = 0 son rectas paralelas, se
hace el cambio de funci´n z = ax + by. La nueva ecuaci´n que aparece
o o
es de variables separadas.
Ejemplo 3′ .1. Resolver
−2x + 4y − 6
y′ = .
x+y−3
Las rectas −2x + 4y − 6 = 0 y x + y − 3 = 0 se cortan en el punto (x, y) = (1, 2), con
lo que efectuamos el cambio X = x − 1, Y = y − 2, Y ′ = y ′ . Sustituyendo, obtenemos la
ecuaci´n homog´nea
o e
−2X + 4Y −2 + 4Y /X
Y′ = = .
X +Y 1 + Y /X
Para resolverla, hacemos un nuevo cambio u = Y /X, de donde Y = uX, Y ′ = u′ X + u.
du
Tras sustituir, tenemos u′ X + u = −2+4u que, a la postre, podemos poner como −X dX =
1+u
u2 −3u+2
u+1 .
Tenemos ahora que distinguir cu´ndo, y cu´ndo no, se anula la expresi´n u2 − 3u + 2.
a a o
2
Resolviendo u − 3u + 2 = 0, esto ocurre para u = 1 y u = 2.
Analicemos en primer lugar el caso u2 − 3u + 2 = 0. As´ podemos escribir
ı,
dX −(u + 1) du A B 2 3
= 2 = du + du = du − du
X u − 3u + 2 u−1 u−2 u−1 u−2
de donde, integrando, 2 log(u − 1) − 3 log(u − 2) = log(KX) y, consiguientemente,
(u−1)2 2 3
(u−2)3 = KX. Sustituyendo ahora u = Y /X llegamos f´cilmente a (Y −X) = K(Y −2X) ;
a
y volviendo a las variables originales x e y obtenemos las soluciones (y−x−1)2 = K(y−2x)3
de la E. D. de partida.
Finalmente, con u0 = 1 y u0 = 2 tenemos, respectivamente, las soluciones Y = X e
Y = 2X que, sustituyendo X e Y por su valor, se traducen en y = x + 1 y y = 2x.
21. E. D. expl´
ıcitas de primer orden 11
Ejemplo 3′ .2. Resolver
x−y−1
y′ = .
x−y−2
Efectuamos el cambio de funci´n z = x − y, de donde z ′ = 1 − y ′ . Sustituyendo,
o
tenemos −z + 1 = z−2 , y consiguientemente − dx = z−1 − 1 = z−2 , que es la ecuaci´n
′ z−1 dz
z−2
1
o
1 2
(z − 2) dz = −dx, cuyas variables est´n separadas. Integrando, 2 (z − 2) = −x + K, y
a
finalmente, sustituyendo de nuevo z = x − y y denotando C = 2K, obtenemos que las
soluciones de la E. D. original son (x − y − 2)2 + 2x = C.
APARTADO 3′′ .
Homog´neas impl´
e ıcitas.
Sea la ecuaci´n
o
y ′
F , y = 0.
x
Para resolverla, consideremos la curva F (α, β) = 0 y supongamos que hemos logrado
encontrar una representaci´n param´trica de la curva dada por α = ϕ(t), β = ψ(t). Es
o e
decir, que se verifica F (ϕ(t), ψ(t)) = 0. Hagamos ahora el cambio de funci´n y por t
o
y ′
mediante x = ϕ(t), teniendo en cuenta que y = ψ(t).
dt
Si derivamos y = xϕ(t) respecto de x tenemos y ′ = ϕ(t) + xϕ′ (t) dx , es decir,
dt
ψ(t) = ϕ(t) + xϕ′ (t) dx , o
dt
ψ(t) − ϕ(t) = xϕ′ (t)
dx
que, en principio, es una ecuaci´n en variables separadas.
o
ϕ′ (t) dt dx
• Si ψ(t) = ϕ(t), podemos poner ψ(t)−ϕ(t) = x , cuya soluci´n ser´ x = Ceφ(t) con
o a
ϕ′ (t) dt
φ(t) = ψ(t)−ϕ(t) . De aqu´ que la E. D. de partida tiene las soluciones
ı
x = Ceφ(t)
, C ∈ R.
y = Cϕ(t)eφ(t)
dt
• Si existe t0 tal que ψ(t0 ) = ϕ(t0 ), formalmente, podemos pensar 0 = xϕ′ (t) dx , luego
ϕ′ (t) = 0 y por tanto ϕ(t) = cte. = ϕ(t0 ), lo que nos llevar´ a la soluci´n y = xϕ(t0 ). Esta
ıa o
recta es, efectivamente, una soluci´n de la E. D., como podemos comprobar directamente:
o
y
F ( x , y ′ ) = F (ϕ(t0 ), ϕ(t0 )) = F (ϕ(t0 ), ψ(t0 )) = 0.
22. 12 M´todos cl´sicos de resoluci´n de E. D. O.
e a o
RECETA 3′′ . Homog´neas impl´
e ıcitas.
Son de la forma
y ′
F , y = 0.
x
Consideramos la curva F (α, β) = 0. Si encontramos una representaci´n o
param´trica α = ϕ(t), β = ψ(t), F (ϕ(t), ψ(t)) = 0, se hace el cambio de
e
y
funci´n y por t mediante x = ϕ(t), y ′ = ψ(t). As´ derivando y = xϕ(t)
o ı,
respecto de x, aparece una ecuaci´n en variables separadas.
o
Ejemplo 3′′ . Resolver
x2 (y ′ )2 − (y 2 + x2 ) = 0.
y
Si ponemos la ecuaci´n en la forma (y ′ )2 − ( x )2 = 1, podemos recordar que el coseno
o
y el seno hiperb´licos satisfacen la relaci´n (ch t)2 − (sh t)2 = 1, lo que se adec´a a nuestras
o o u
y
necesidades. As´ tomemos ahora x = sh t y y ′ = ch t. Si derivamos y = x sh t tenemos
ı,
y ′ = sh t + x ch t dx , o sea, ch t = sh t + x ch t dx . Despejando, dx = ch ch t t dt (notar que,
dt dt
x t−sh
en esta ecuaci´n, el denominador no se anula nunca ya que ch t > sh t, luego no hay que
o
preocuparse de analizar por separado las ra´ de ch t − sh t = 0) e, integrando, x = Ceφ(t)
ıces
con
ch t et + e−t
φ(t) = dt = dt = 1 (1 + e2t ) dt = 1 t + 4 e2t .
2 2
1
ch t − sh t 2e −t
Entonces, la E. D. original tiene como soluciones las curvas
2t
x = Cet/2+e /4
2t
.
y = C(sh t)et/2+e /4
APARTADO 3′′′ .
Sea la ecuaci´n y ′ = f (x, y)
o
con f tal que, para alg´n α fijo, verifica
u
f (λx, λα y) = λα−1 f (x, y).
N´tese en primer lugar que, cuando α = 0, sin m´s que tomar λ = x tenemos y ′ = f (x, y) =
o a
−1
x f (1, y), que es una ecuaci´n en variables separadas; y, cuando α = 1, se puede poner
o
y y
y ′ = f (x, y) = f x, x = f 1, ,
x x
es decir, nos encontramos ante una E. D. homog´nea. En otro caso, veamos c´mo el cambio
e o
de funci´n y = z α transforma la ecuaci´n en una homog´nea:
o o e
23. E. D. expl´
ıcitas de primer orden 13
Derivando, y ′ = αz α−1 z ′ y, sustituyendo en la E. D. original, αz α−1 z ′ = f (x, z α ), es
decir,
1 1 α−1 1 1 1 α α 1 x
z′ = f (x, z α ) = f x, z = f ,1
α z α z z α z
que, efectivamente, es una E. D. homog´nea. e
L´gicamente, como, al hacer en la homog´nea el cambio z = ux, ´sta se transforma en
o e e
una de variables separadas, si hubi´ramos efectuado desde el principio el cambio y = (ux)α ,
e
nuestra E. D. se hubiera convertido directamente en una de variables separadas.
Por ultimo comentar que, extrayendo λ = x, este tipo de ecuaciones puede ponerse
´
como
y y y
y ′ = f (x, y) = f x, xα α = xα−1 f 1, α = xα−1 h α .
x x x
Pero, al menos a simple vista, no parece m´s sencillo describir las ecuaciones que estamos
a
tratando como ((las que tienen la forma y ′ = xα−1 h(yx−α ))) en lugar de como lo hemos
hecho en este apartado.
RECETA 3′′′ . Si la ecuaci´n y ′ = f (x, y)
o
es tal que, para alg´n α = 0 fijo, f satisface
u
f (λx, λα y) = λα−1 f (x, y),
entonces el cambio de funci´n y = z α transforma la ecuaci´n en una
o o
homog´nea. (Si α = 1, la E. D. ya es homog´nea; y si f cumple la
e e
relaci´n anterior con α = 0, la E. D. es de variables separadas.)
o
Ejemplo 3′′′ . Resolver √
′ 1y x
y = −3 2 .
2x y
Dada f (x, y) = 1 x−1 y − 3x1/2 y −2 , para intentar encontrar α tanteamos f (λx, λα y) =
2
1 −2 1
2 (λx)−1 (λα y) − 3(λx)1/2 (λα y) = 2 λα−1 x−1 y − 3λ1/2−2α x1/2 y −2 , y observamos que esto
es igual a λα−1
f (x, y) sin m´s que tomar α = 1 .
a 2
1 1
Entonces, si sustituimos y = z 1/2 en la E. D., tenemos 2 z −1/2 z ′ = 2 x−1 z 1/2 −
z z
3x1/2 z −1 , es decir, z ′ = x − 6( x )−1/2 , que es homog´nea. Para resolverla, tomamos ahora
e
′
z = ux, con lo cual, sustituyendo, u x+u = u−6u −1/2
, o sea, u1/2 du = −6x−1 dx, ecuaci´n
o
2 3/2 x 3/2
en variables separadas. Integr´ndola, 3 u
a = −6 log( C ), luego x = C exp(−u /9).
Deshaciendo los cambios z = ux y y = ux encontramos que las soluciones de la E. D.
de partida son, expresadas como curvas en param´tricas, e
3/2
/9
x = Ce−u
3/2
.
y = C 1/2 u1/2 e−u /18
24. 14 M´todos cl´sicos de resoluci´n de E. D. O.
e a o
APARTADO 4.
Ecuaciones exactas.
Llamamos exacta a una ecuaci´n diferencial
o
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,
P (x,y)
dy
es decir, y ′ = dx = − Q(x,y) , que cumple Py = Qx (con la notaci´n Py = ∂P , Qx = ∂Q ).
o ∂y ∂x
Antes de explicar c´mo resolverlas, comentemos brevemente algo sobre ((expresiones
o
diferenciales)) (rigurosamente hablando, estamos tratando con 1-formas diferenciales w =
P dx + Q dy, aunque no entraremos en ello):
Supongamos de antemano en todo lo que sigue que P y Q son de clase C 1 (continuas
con derivadas parciales continuas) en su dominio de definici´n (un abierto de R2 ). Una
o
expresi´n diferencial P (x, y) dx + Q(x, y) dy se dice que es una diferencial cerrada en una
o
regi´n R del plano xy si se verifica Py (x, y) = Qx (x, y) para todo (x, y) ∈ R. Y se dice
o
exacta en R cuando existe alguna funci´n F (x, y) tal que ∂F = P y ∂F = Q para todo
o ∂x ∂y
(x, y) ∈ R; en otras palabras, si la diferencial de F es dF = P dx + Q dy (F , que es
unica salvo constantes, se denomina funci´n potencial). El teorema de Schwartz sobre
´ o
igualdad de derivadas cruzadas nos asegura que cualquier expresi´n diferencial exacta
o
es cerrada. Lo contrario no es cierto en general, aunque s´ en una clase muy amplia
ı
2
de dominios de R : los simplemente conexos que, intuitivamente, son los que no tienen
agujeros. Demostrar este hecho no es excesivamente sencillo, pero tampoco es necesario
para lo que aqu´ pretendemos. En realidad, el lema de Poincar´ (que normalmente se
ı e
prueba en cualquier curso de c´lculo integral en varias variables) asegura que una expresi´n
a o
cerrada es exacta siempre que el dominio sea estrellado, lo que significa que exista un
punto del dominio que se pueda unir a todos los dem´s mediante un segmento sin salirnos
a
del dominio; en particular, los conjuntos convexos son estrellados. Adem´s, esto asegura
a
que, dada cualquier expresi´n cerrada, es exacta localmente, es decir, alrededor de cada
o
punto podemos restringir el dominio de tal forma que la expresi´n sea exacta en ese nuevo
o
dominio. Por lo tanto, en lo que a nosotros concierne, podemos identificar los conceptos
de exacto y cerrado, ya que no nos estamos preocupando de d´nde est´n definidas las
o a
E. D. que tratamos de resolver ni en qu´ intervalo existen las soluciones. En realidad, en
e
ecuaciones diferenciales suele hablarse siempre de exacto a´n refiri´ndose a que se satisface
u e
la igualdad Py = Qx .
Una E. D. exacta es una expresi´n exacta igualada a cero. Veamos c´mo resolverlas:
o o
si tenemos P dx + Q dy = 0 exacta, como existe F tal que dF = P dx + Q dy, entonces la
ecuaci´n podemos ponerla en la forma dF = 0 y, por tanto, su soluci´n ser´ F (x, y) = C
o o a
(siendo C constante arbitraria). As´ pues, basta con que encontremos la funci´n potencial
ı o
F . El procedimiento para hallarla que, seg´n veremos, funciona gracias a que Py = Qx , es
u
como sigue:
Buscamos F tal que ∂F = P ; as´ es posible encontrar F integrando P (x, y) respecto
∂x ı,
a x mientras se mantiene y constante, es decir, F (x, y) = P (x, y) dx + ϕ(y), donde la
funci´n arbitraria ϕ(y) es la ((constante)) de integraci´n. Derivando respecto de y obtenemos
o o
25. E. D. expl´
ıcitas de primer orden 15
∂F
∂y = ∂y P (x, y) dx + ϕ′ (y). Por otra parte, si utilizamos ∂F = Q, de aqu´ resulta que
∂
∂y ı
′ ∂
ϕ (y) = Q(x, y) − ∂y P (x, y) dx; ´sta es realmente una expresi´n independiente de x ya
e o
que
∂ ∂ ∂Q ∂ ∂ ∂Q ∂P
Q(x, y) − P (x, y) dx = − P (x, y) dx = − = 0.
∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
Una vez conocida ϕ′ (y), integrando obtenemos ϕ(y) y, sustituyendo su valor, llegamos a
la funci´n potencial F (x, y). As´ quedan halladas completamente las soluciones buscadas
o ı,
F (x, y) = C, expresadas en forma impl´ıcita.
(L´gicamente, para encontrar F podr´ haberse seguido el proceso anterior cambiando
o ıa
el orden en el que se usa P y Q, partiendo de ∂F = Q y posteriormente utilizando ∂F = P .
∂y ∂x
Asimismo, integrando estas dos expresiones e igual´ndolas, muchas veces basta una simple
a
inspecci´n para determinar F .)
o
RECETA 4. Ecuaciones exactas.
Son las de la forma
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,
dy P (x,y)
es decir, y ′ = dx = − Q(x,y) , que cumplen Py = Qx . Se busca una
funci´n F (x, y) tal que dF = ω = P dx + Q dy, y la soluci´n de la E. D.
o o
es F (x, y) = C (siendo C constante).
Ejemplo 4. Resolver
3y + ex + (3x + cos y)y ′ = 0.
Si ponemos la ecuaci´n en la forma P dx + Q dy = 0 con P (x, y) = 3y + ex y
o
Q(x, y) = 3x + cos y, es claro que Py = Qx = 3, luego la E. D. es exacta. Calculemos
la funci´n potencial F (que nos dar´ directamente las soluciones F (x, y) = C). Como
o a
Fx = 3y + ex , integrando respecto de x, F (x, y) = 3yx + ex + ϕ(y). Derivando respecto de
y e igualando a Q queda 3x + ϕ′ (y) = 3x + cos y, es decir, ϕ′ (y) = cos y, de donde basta
tomar ϕ(y) = sen y, y por tanto F (x, y) = 3yx + ex + sen y. As´ la soluci´n de la E. D.
ı, o
x
viene dada, impl´ıcitamente, por 3yx + e + sen y = C. (N´tese que al integrar ϕ′ (y) = cos y
o
no hace falta poner la constante de integraci´n ϕ(y) = sen y + C1 ya que, en ese caso, una
o
de las dos constantes de la soluci´n 3yx + ex + sen y + C1 = C ser´ claramente superflua.)
o ıa
26. 16 M´todos cl´sicos de resoluci´n de E. D. O.
e a o
APARTADO 4′ .
Reducibles a exactas: Factores integrantes.
Si tenemos una ecuaci´n P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 que no es exacta, una idea para
o
intentar resolverla ser´ tratar de encontrar alguna funci´n µ(x, y) no id´nticamente nula
ıa o e
tal que
µ(x, y)P (x, y) dx + µ(x, y)Q(x, y) dy = 0
sea exacta. Como esta ecuaci´n es equivalente a la de partida, sus soluciones y las de
o
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 ser´n las mismas.
a
Desgraciadamente, no hay ning´n procedimiento general que permita encontrar
u
factores integrantes. Sin embargo, s´ que es posible hacerlo, y de manera sencilla, en dos
ı
casos:
4′ .1. Existencia de factor integrante de la forma µ(x). Queremos que µ(x)P (x, y) dx+
µ(x)Q(x, y) dy = 0 sea exacta, esto es,
∂ ∂
(µ(x)P (x, y)) = (µ(x)Q(x, y)).
∂y ∂x
Derivando, µ(x)Py (x, y) = µ′ (x)Q(x, y) + µ(x)Qx (x, y), o sea, µ(x)(Py (x, y) − Qx (x, y)) =
µ′ (x)Q(x, y). Para que esto tenga sentido,
µ′ (x) Py (x, y) − Qx (x, y)
=
µ(x) Q(x, y)
tiene que resultar ser una funci´n que dependa exclusivamente de x, que denotamos h(x).
o
Cuando ´ste es el caso, es claro que la funci´n µ que satisface la relaci´n anterior es
e o o
µ(x) = exp h(x) dx ,
con lo cual hemos encontrado el factor integrante buscado.
4′ .2. Existencia de factor integrante de la forma µ(y). Repitiendo el proceso anterior
∂ ∂
buscamos ∂y (µ(y)P (x, y)) = ∂x (µ(y)Q(x, y)), es decir, µ′ (y)P + µ(y)Py = µ(y)Qx , y por
′
Q −P
tanto µ (y) = xP y , que tiene que ser funci´n s´lo de y, que denotamos h(y). En estas
µ(y) o o
condiciones, el factor integrante es µ(y) = exp( h(y) dy).
4′ .3. Aparte de los casos anteriormente tratados, para algunos tipos de problemas se
puede intentar encontrar factores integrantes imponiendo a µ(x, y) condiciones restrictivas
de muy diverso tipo. Por ejemplo, exigiendo que sea de la forma µ(x, y) = xα y β con α
y β constantes a determinar, que sea µ(x + y), o µ(xy), etc. Para estudiar estos casos,
∂ ∂
lo que hay que hacer siempre es igualar ∂y (µP ) = ∂x (µQ) e intentar resolver la nueva
ecuaci´n que aparece, teniendo en cuenta, sobre todo, si tiene sentido. Por ser generalmente
o
procedimientos bastante particulares, no comentaremos aqu´ nada m´s sobre ellos.
ı a
27. E. D. expl´
ıcitas de primer orden 17
RECETA 4′ . Reducibles a exactas: Factores integrantes.
Si P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 no es exacta, podemos intentar
encontrar µ(x, y) tal que
µ(x, y)P (x, y) dx + µ(x, y)Q(x, y) dy = 0
sea exacta.
4′ .1. Existencia de factor integrante de la forma µ(x). Ocurre
P −Q
cuando y Q x = h(x), tom´ndose µ(x) = exp( h(x) dx).
a
′
4 .2. Existencia de factor integrante de la forma µ(y). Ocurre
Q −P
cuando xP y = h(y), tom´ndose µ(y) = exp( h(y) dy).
a
4′ .3. Otras expresiones restrictivas para µ(x, y).
Ejemplo 4′ . Resolver
(2x2 + y) dx + (x2 y − x) dy = 0.
En este caso, P (x, y) = 2x2 + y y Q(x, y) = x2 y − x. Esta ecuaci´n no es exacta ya
o
que Py = 1 y Qx = 2xy − 1. Para intentar encontrar un factor integrante se calcula
Py − Q x 1 − (2xy − 1) 2(1 − xy) −2
= 2y − x
= = .
Q x −x(1 − xy) x
Ya que se obtiene una expresi´n que depende s´lo de x, podemos asegurar que existe
o o
un factor integrante dado por la f´rmula µ(x) = exp( −2 dx) = x−2 . Entonces, si
o x
multiplicamos la E. D. por µ(x) = x−2 se obtiene la ecuaci´n exacta (2 + yx−2 ) dx + (y −
o
x−1 ) dy = 0. Por el m´todo usual, encontramos que la funci´n F tal que Fx = 2 + yx−2 y
e o
−1 −1 1 2
Fy = y − x es F (x, y) = 2x − yx + 2 y . Por tanto, la soluci´n de la E. D. exacta, y
o
−1 1 2
tambi´n de la de partida, resulta ser 2x − yx + 2 y = C.
e
APARTADO 5.
Ecuaciones lineales de primer orden.
Dada la ecuaci´n
o
y ′ + a(x)y = b(x),
vamos a explicar c´mo resolverla por tres m´todos distintos:
o e
(i) Encontrar un factor integrante de la forma µ(x). Para ello, si la ponemos en la
forma (a(x)y − b(x)) dx + dy = 0 y denotamos P (x, y) = a(x)y − b(x) y Q(x, y) = 1, se
P −Q
tiene y Q x = a(x). Por tanto, seg´n hemos visto anteriormente, la E. D. tiene el factor
u
integrante µ(x) = exp( a(x) dx). As´ multiplicando por µ(x), la ecuaci´n
ı, o
exp a(x) dx (a(x)y − b(x)) dx + exp a(x) dx dy = 0
28. 18 M´todos cl´sicos de resoluci´n de E. D. O.
e a o
tiene que ser exacta. Ahora, bastar´ encontrar la funci´n potencial F con lo que la ecuaci´n
a o o
anterior podr´ ponerse dF = 0 y su soluci´n ser´ F (x, y) = C. Busquemos F :
a o a
Como Fy = exp( a(x) dx), tendremos F = y exp( a(x) dx) + ϕ(x). Por otra parte,
derivando esta F respecto de x y usando que Fx = exp( a(x) dx)(a(x)y − b(x)) llegamos
a
Fx = y exp a(x) dx a(x) + ϕ′ (x) = exp a(x) dx (a(x)y − b(x)),
de donde −b(x) exp( a(x) dx) = ϕ′ (x). Integrando, ϕ(x) = − b(x) exp( a(x) dx) dx,
luego F = y exp( a(x) dx) − b(x) exp( a(x) dx) dx y la soluci´n de la ecuaci´n exacta
o o
(y de la lineal de partida) es, expresada en forma impl´
ıcita,
y exp a(x) dx − b(x) exp a(x) dx dx = C.
Sin m´s que despejar y, tenemos que la soluci´n de la ecuaci´n lineal resulta ser
a o o
y = exp − a(x) dx b(x) exp a(x) dx dx + C .
(ii) Un segundo m´todo de resoluci´n se basa en resolver previamente la ecuaci´n
e o o
′
lineal homog´nea asociada y + a(x)y = 0. Esta ecuaci´n es de variables separadas, pues
e o
puede ponerse dy = −a(x) dx; su soluci´n es y = C exp(− a(x) dx).
y
o
Apliquemos ahora el m´todo de variaci´n de las constantes, esto es, consideremos
e o
y = C(x) exp − a(x) dx
y vamos a ver c´mo debe ser C(x) para que se verifique y ′ + a(x)y = b(x). Derivando,
o
′ ′
y = C (x) exp(− a(x) dx) − C(x)a(x) exp(− a(x) dx) y, sustituyendo en la ecuaci´n o
lineal,
C ′ (x) exp − a(x) dx − C(x)a(x) exp − a(x) dx
+ a(x)C(x) exp − a(x) dx = b(x).
Dos de los sumandos anteriores se cancelan, de donde C ′ (x) = b(x) exp( a(x) dx) e,
integrando,
C(x) = b(x) exp a(x) dx + C.
As´ hemos llegado a la misma expresi´n para las soluciones que la que encontramos por
ı, o
el m´todo anterior.
e
29. E. D. expl´
ıcitas de primer orden 19
(iii) El tercer procedimiento de resoluci´n parte de suponer que hemos encontrado,
o
de alguna forma, una soluci´n particular yp (x) de la E. D. lineal. Entonces, la soluci´n
o o
general de la lineal es yp m´s la soluci´n general de la lineal homog´nea asociada, es decir,
a o e
y = yp + C exp − a(x) dx
es soluci´n para todo C ∈ R. La justificaci´n de este hecho es sencilla. En efecto, basta
o o
comprobar que, si yp es soluci´n de y ′ + a(x)y = b(x) y y lo es de y ′ + a(x)y = 0, entonces
o
y + yp es soluci´n de y ′ + a(x)y = b(x), lo cual es claramente cierto:
o
(y + yp )′ + a(x)(y + yp ) = (y ′ + a(x)y) + (yp + a(x)yp ) = 0 + b(x) = b(x).
′
(iv) El ultimo m´todo de resoluci´n de ecuaciones lineales que describimos consiste
´ e o
en efectuar una descomposici´n y(x) = u(x)v(x) adecuada. Tomando y de esa forma, si
o
derivamos, y ′ = u′ v +uv ′ , con lo cual, al sustituir en la ecuaci´n, u′ v +uv ′ +a(x)uv = b(x).
o
Sacando u factor com´n, podemos escribir la expresi´n anterior como u′ v +(v ′ +a(x)v)u =
u o
b(x). Vamos ahora a elegir v de tal forma que se anule el coeficiente de u, es decir,
´
que satisfaga v ′ + a(x)v = 0. Esta es una E. D. en variables separadas; resolvi´ndola, e
′
v
v = −a(x), con lo cual basta tomar log v = − a(x) dx, es decir,
v(x) = exp − a(x) dx .
Con v(x) esa funci´n, la ecuaci´n queda ahora u′ v = b(x), de donde u′ = b(x)v −1 , es decir,
o o
u′ (x) = b(x) exp( a(x) dx). Integrando,
u(x) = b(x) exp a(x) dx dx + C.
Sin m´s que recomponer y = u(x)v(x), con este procedimiento de nuevo encontramos la
a
misma expresi´n para las soluciones de la E. D. lineal de partida.
o
Para concluir, comentemos una vez m´s que no hace falta recordar la f´rmula que
a o
hemos obtenido para las soluciones de la ecuaci´n lineal, sino que basta seguir en cada
o
problema alguno de los procesos descritos. Generalmente, en opini´n del que escribe, los
o
que suelen conducir a la soluci´n por un procedimiento m´s corto suelen ser el segundo y
o a
el cuarto. El tercero tiene, sobre todo, gran importancia te´rica. Adem´s, merece la pena
o a
destacar que el segundo y el tercero tienen su paralelismo a la hora de resolver ecuaciones
lineales de orden superior (como veremos m´s adelante), mientras que los otros dos s´lo se
a o
aplican a las de primer orden.
Ejemplo 5. Resolver
2xy ′ − 3y = 4x2
por los cuatro m´todos descritos.
e
30. 20 M´todos cl´sicos de resoluci´n de E. D. O.
e a o
RECETA 5. Ecuaciones lineales de primer orden.
Son de la forma
y ′ + a(x)y = b(x).
Hay tres m´todos de resoluci´n: (i) Encontrar un factor integrante
e o
de la forma µ(x). (ii) Resolver la ecuaci´n lineal homog´nea asociada
o e
′
y + a(x)y = 0 (que es de variables separadas), cuya soluci´n es o
y = C exp(− a(x) dx), y usar el m´todo de variaci´n de las constantes
e o
(esto es, cambiar C por C(x) en la expresi´n anterior y sustituir
o
en la ecuaci´n lineal). (iii) Encontrar de alguna forma una soluci´n
o o
particular yp (x), con lo cual la soluci´n general de la lineal es yp
o
m´s la soluci´n general de la homog´nea asociada. (iv) Descomponer
a o e
y(x) = u(x)v(x), sustituir en la lineal, e igualar a 0 el coeficiente de
u, resolviendo la ecuaci´n que aparece (v ′ + a(x)v = 0, que es de
o
variables separadas); tras esto, queda una ecuaci´n en u(x) de variables
o
separadas.
De cualquier modo se obtiene que la soluci´n general de la E. D.
o
lineal es
y = exp − a(x) dx b(x) exp a(x) dx dx + C .
3 3
(i) Tenemos la ecuaci´n lineal y ′ − 2x y = 2x, es decir, dy = ( 2x y + 2x) dx, que
o
es de la forma P dx + Q dy = 0 con P (x, y) = −3 y − 2x y Q(x, y) = 1. Como
2x
Py −Qx
Q
= −3/(2x)−0 = −3 , existe el factor integrante µ(x) = exp( −3 dx) = x−3/2 . As´ la
1 2x 2x
ı,
ecuaci´n ( −3 x−5/2 y − 2x−1/2 ) dx + x−3/2 dy = 0 es exacta. La funci´n potencial F debe
o 2 o
−3/2 −3/2 −3 −5/2
cumplir Fy = x , luego F = x y + ϕ(x). Por otra parte, Fx = 2 x y − 2x−1/2 =
−3 −5/2
2 x y + ϕ′ (x), de donde ϕ(x) = −2 x−1/2 dx = −4x1/2 . Por tanto, F (x, y) =
x−3/2 y − 4x1/2 , y la soluci´n de la E. D. es x−3/2 y − 4x1/2 = C, o sea y = Cx3/2 + 4x2 ,
o
C ∈ R.
(ii) La lineal homog´nea asociada es y ′ − 2x y = 0. Podemos ponerla como dy = 32x ,
e 3
y
dx
3
de variables separadas, cuya soluci´n es log y = 2 log x + K, es decir, y = Cx3/2 .
o
Empleemos ahora el m´todo de variaci´n de las constantes, para lo cual tomamos y =
e o
3/2 3/2 3
′
C(x)x . Derivando, y = C (x)x ′
+ 2 C(x)x1/2 y, sustituyendo en E. D. de partida,
3
2x(C ′ (x)x3/2 + 2 C(x)x1/2 ) − 3C(x)x3/2 = 4x2 , esto es, C ′ (x) = 2x−1/2 . Integrando,
C(x) = 4x1/2 + K1 luego la soluci´n de la lineal es y = (4x1/2 + K1 )x3/2 . Si empleamos
o
de nuevo C para denotar la constante, y = Cx3/2 + 4x2 , la misma expresi´n que hemos
o
encontrado en (i).
(iii) Primero, tratemos de hallar una soluci´n particular de la ecuaci´n lineal. Lo m´s
o o a
31. E. D. expl´
ıcitas de primer orden 21
sencillo es intentar probar si existe alguna soluci´n polin´mica. Esto s´lo ser´ posible
o o o ıa
con un polinomio de segundo grado, pues en otro caso no podr´ cancelarse nunca todos
ıan
los sumandos. Por tanto, vamos a tantear con polinomios de la forma y = ax2 + bx + c.
Derivando, y ′ = 2ax + b y, sustituyendo en la ecuaci´n, 2x(2ax + b) − 3(ax2 + bx + c) = 4x2 .
o
Si igualamos los t´rminos del mismo grado encontramos que esto se cumple con a = 4,
e
b = c = 0. As´ pues, una soluci´n particular de la lineal es y = 4x2 . Por otra parte,
ı o
y tal como ya hemos calculado en (ii), la soluci´n general de la homog´nea asociada
o e
es y = Cx3/2 . En definitiva, de nuevo tenemos que la soluci´n general de la lineal es
o
y = Cx3/2 + 4x2 .
(iv) Para resolver la ecuaci´n lineal, descomponemos y = u(x)v(x), de donde y ′ =
o
u′ v + uv ′ . Sustituyendo, 2x(u′ v + uv ′ ) − 3uv = 4x2 , es decir, 2xu′ v + (2xv ′ − 3v)u = 4x2 .
′
Si igualamos a 0 el coeficiente de u queda 2xv ′ − 3v = 0, o sea v = 2x ; integrando,
v
3
3
log v = 2 log x, luego v = x3/2 . Con esto, la ecuaci´n queda 2xu′ x3/2 = 4x2 , es decir,
o
′ −1/2 1/2
u = 2x , cuya soluci´n es u = 4x + C. Sin m´s que recomponer y = uv obtenemos
o a
1/2 3/2
y = (4x + C)x , la misma soluci´n para la lineal que con los otros tres m´todos.
o e
APARTADO 5′ .
Ecuaci´n de Bernoulli.
o
Consideremos
y ′ + a(x)y + b(x)y α = 0.
Es claro que, si α = 0, la E. D. anterior es lineal y, si α = 1, es de variables separadas. En
otro caso, veamos c´mo resolverla:
o
Efectuemos el cambio de funci´n y 1−α = z, para el cual (1 − α)y −α y ′ = z ′ , es decir,
o
1 ′ z′ 1 ′ 1−α z′
y α y = 1−α . Sustituyendo en y α y + a(x)y + b(x) = 0 tenemos 1−α + a(x)z + b(x) = 0,
con lo que hemos transformado la ecuaci´n de Bernoulli en la E. D. lineal z ′ +(1−α)a(x)z =
o
(α − 1)b(x).
Puede seguirse un segundo m´todo de resoluci´n sin m´s que aplicar un procedimiento
e o a
an´logo al ultimo de los que hemos visto para ecuaciones lineales. Partimos de la
a ´
descoposici´n y(x) = u(x)v(x). Derivando, y ′ = u′ v + uv ′ y, sustituyendo en la E. D.,
o
u′ v +uv ′ +a(x)uv +b(x)uα v α = 0, que escribimos como u′ v +(v ′ +a(x)v)u +b(x)uα v α = 0.
Ahora, igualamos a 0 el coeficiente de u, con lo cual tenemos v ′ + a(x)v = 0, que es una
ecuaci´n en v(x) de variables separadas; resolvi´ndola determinamos v(x). Con esta v,
o e
la ecuaci´n de la que part´
o ıamos ha quedado u′ v + b(x)uα v α = 0, que es una ecuaci´n o
en u(x) de variables separadas. Resolvi´ndola encontramos u(x), con lo que ya tenemos
e
completamente solucionada la ecuaci´n de Bernoulli.
o
Ejemplo 5′ . Resolver
xy ′ + 2y + x5 y 3 ex = 0.
2
Puesta en la forma y ′ + x y + x4 y 3 ex = 0, es claro que la ecuaci´n es de Bernoulli
o
con α = 3. Hacemos el cambio de funci´n y −2 = z, para el cual z ′ = −2y −3 y ′ , es decir,
o