1. C´mo se estudia la Matem´tica
o
a
Octavio Alberto Agust´ Aquino
ın
Universidad de la Ca˜ada
n
21 de junio de 2012
Resumen
Se presenta de modo conciso la estructura de los textos matem´ticos
a
y c´mo se estudian, desde una perspectiva personal.
o
1.
Introducci´n
o
La Matem´tica ocupa un lugar especial dentro de las disciplinas cient´
a
ıficas porque, adem´s de las aplicaciones que tiene para resolver problemas
a
reales, los que la cultivan le demandan una firmeza extraordinaria. En
palabras de Isaac Asimov [1]:
En la mayor´ de las ramas de la ciencia, su proceso haıa
cia el progreso es tanto de correcci´n como de extensi´n. [...]
o
o
S´lo en la Matem´tica no hay correcciones significativas —
o
a
solamente extensi´n. Una vez que los griegos desarrollaron el
o
m´todo deductivo, fue correcto lo que hicieron, correcto para
e
siempre. La obra de Euclides es incompleta y su trabajo ha
sido enormemente extendido, pero no ha tenido que corregirse.
Sus teoremas son, cada uno de ellos, v´lidos hasta hoy.
a
Siendo as´ es de esperarse que los matem´ticos que se aproximan a un
ı,
a
texto con el fin de asimilar material nuevo tampoco procedan como los
dem´s cient´
a
ıficos. En consecuencia, no es com´n que elaboren res´menes,
u
u
cuadros sin´pticos, mapas mentales o acudan a otros artificios tradicioo
nales1 durante su aprendizaje. Una raz´n es que, aunque tales t´cnicas
o
e
1
Aunque, por supuesto, no niego que esto pueda resultar de utilidad para algunos estudiantes. Pero es sugerente que los libros de Matem´tica contienen pocos de estos recursos.
a
1

2. ayudan a retener y organizar la informaci´n, no est´n pensados para crio
a
ticarla de manera vehemente ni para sacar conclusiones no triviales de la
misma.
2.
Un ejemplo caracter´
ıstico
¿Cu´l ser´ entonces el m´todo empleado por los matem´ticos para
a
ıa
e
a
aprender? Con el fin de exponerlo, cuando menos desde mi punto de vista,
a continuaci´n presento un mini-texto est´ndar de Matem´tica.
o
a
a
La teor´ de n´meros estudia las propiedades de los n´meros enteıa
u
u
ros: . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .. A pesar de parecer muy sencillos,
estos n´meros tienen propiedades misteriosas. Tanto, que algunas
u
permanecen sin ser demostradas. Una clase especial de n´meros,
u
que a continuaci´n definiremos, ha fascinado a los matem´ticos
o
a
durante milenios.
Definici´n 1. Un n´mero n > 1 se dice primo si sus unicos
o
u
´
divisores son el 1 y ´l mismo, y compuesto en caso contrario.
e
Ejemplo 1. Los n´meros 2, 3, 5 son primos, mientras que 4, 8, 333
u
son compuestos.
Teorema 1 (Euclides). Hay una infinidad de n´meros primos.
u
Demostraci´n. Supongamos que hubiera una cantidad finita de
o
n´meros primos, digamos P1 , . . . , Pn . Entonces el n´mero Q =
u
u
P1 P2 · · · Pn + 1 es mayor que 1 y no es divisible entre cualquiera de
ellos, porque deja un residuo de 1 en la divisi´n. Pero todo n´mero
o
u
n > 1 es divisible entre alg´n n´mero primo, as´ que alguno de los
u u
ı
divisores de Q es un primo distinto de P1 , . . . , Pn . En consecuencia,
toda lista finita de primos siempre es incompleta, luego hay una
infinidad de n´meros primos.
u
Ejercicio 1. Demuestre, como se afirma en la demostraci´n ano
terior, que todo n´mero n > 1 es divisible entre alg´n n´mero
u
u
u
primo.
Lo primero que debe hacerse es leer de manera r´pida el texto. Gea
neralmente al principio el autor da una breve introducci´n al tema, en el
o
que puede decir por qu´ le interesa o por qu´ puede interesarle al lector.
e
e
2

3. A veces tiene fines inspiracionales, otras veces tiene un tono admonitorio, y en otras tantas refleja la pasi´n que siente un matem´tico por su
o
a
especialidad.
A continuaci´n se estructura el texto en torno a secciones claramente
o
identificadas como “definiciones”, “teoremas”, “ejemplos”, etc´tera. Vae
rias de estas etiquetas no necesitan explicaci´n en cuanto a sus prop´sitos,
o
o
con la posible excepci´n de los teoremas.
o
Un teorema es, seg´n Jos´ Antonio de la Pe˜a [2], una verdad mau
e
n
tem´tica, si bien la palabra viene del griego theorein, que quiere decir
a
“algo a lo que hay que mirar”. En otras palabras, es un hecho que vale la pena resaltar porque nos dice algo particularmente interesante o
util, que no es inmediatamente obvio y que es posible deducir a partir
´
de algunos principios bien establecidos. Tales principios est´n contenidos
a
precisamente en las definiciones o en los lugares marcados como “axiomas”, “postulados” o “principios”.
Aunque, como dice Asimov, los teoremas una vez demostrados as´ queı
dan para la posteridad2 , en muchos casos los textos presentan alguna
demostraci´n. Esto es por dos razones principales:
o
1. Vencer al escepticismo del estudiante, que hace bien en oponer resistencia. A´n si un teorema aparece en un libro y ha sido sancionado
u
por venerables generaciones de matem´ticos, uno debe convencerse
a
por s´ mismo de la veracidad de las afirmaciones.
ı
2. Mostrar alguna t´cnica o estrategia de razonamiento matem´tico,
e
a
lo que le ayuda al estudiante en un futuro para a˜adir conocimiento
n
nuevo. En muchos casos las demostraciones ya existentes pueden ser
adaptadas para los nuevos problemas o inspirar su soluci´n.
o
Una vez hecha una lectura de exploraci´n, es recomendable leer con
o
cuidado las definiciones y contrastarlas con los ejemplos. Es decir, comprobar que el autor est´ en lo cierto al asegurarnos que un ejemplar
a
satisface o no las condiciones de la definici´n.
o
Por ejemplo: la primera definici´n del mini-texto comienza por afirmar
o
que un n´mero primo tiene dos divisores: al uno y a ´l mismo. Si nos
u
e
detenemos ah´ resultar´ que todos los n´meros son primos. Pero, m´s
ı,
ıa
u
a
adelante, menciona a los n´meros compuestos y en el ejemplo exhibe
u
ambos tipos de n´meros. Eso significa que, por alguna raz´n, no todos
u
o
2
O casi. Pero es rar´
ısimo que un teorema falso sobreviva mucho tiempo haci´ndose pae
sar por verdadero. Hay que diferenciar esto de las conjeturas, que son enunciados que los
matem´ticos barruntan que pueden ser verdaderos y que se vuelven teoremas hasta que son
a
demostrados.
3

4. los n´meros son primos. Efectivamente: la definici´n especifica que “sus
u
o
unicos divisores son el 1 y ´l mismo”, y es por eso que el 5 es primo
´
e
pero el 8 no. Haciendo la divisi´n de 5 entre 1, 2, 3, 4 y 5 vemos que es
o
exacta unicamente cuando el divisor es 1 o 5, mientras que no pasa lo
´
mismo con el 8. Puede suceder que un autor no proporcione ejemplos de
las definiciones, pero a´n as´ el estudiante debe tratar de construir los
u
ı
propios para mejorar su comprensi´n.
o
Comprendidas las definiciones y exploradas lo suficiente en los ejemplos, ya es posible estudiar los teoremas y sus demostraciones. Todos los
teoremas comienzan por indicar de alg´n modo sus hip´tesis o puntos
u
o
de partida, y terminan con sus conclusiones o puntos de llegada. Como
en cualquier viaje, es menester identificarlas tan claramente como sea
posible.
Continuando con esta analog´ las demostraciones son como el caıa,
mino expl´
ıcito que hay que seguir para ir del punto de partida al punto
de llegada. Hay cabida, por supuesto, para las rutas panor´micas, las
a
autopistas y los caminos de terracer´
ıa.
Dependiendo del nivel del libro de texto, las demostraciones pueden
ser m´s o menos detalladas. Un estudiante de Matem´tica debe examinar
a
a
con sumo cuidado cada paso de las mismas; si detecta alg´n salto demau
siado grande para su comprensi´n, debe intentar suplir las etapas intero
medias del razonamiento. En caso de que le sea imposible, puede acudir
con su profesor con preguntas muy espec´
ıficas, que son m´s edificantes o
a
f´ciles de responder que el proverbial “no entend´ nada, expl´
a
ı
ıqueme desde
el principio”.
Por ultimo se pueden ensayar los ejercicios. Es com´n que los primeros
´
u
tengan por intenci´n construir m´s ejemplos para las definiciones o que
o
a
el estudiante las critique para afianzar su comprensi´n. Enseguida vienen
o
los que extienden algunos teoremas del texto o rellenan huecos de sus
demostraciones. Terminan con algunos ejercicios m´s intrincados o en los
a
que es cada vez menos evidente c´mo pueden resolverse a partir de las
o
definiciones y los teoremas ya conocidos.
3.
Heur´
ısticas
Hasta aqu´ todo bien respecto a la estructura y el modo de abordar un
ı
texto matem´tico pero, ¿c´mo resolver los ejercicios? Muchos textos de
a
o
nivel elemental traen las soluciones al final del libro, y eso acostumbra a
los estudiantes a pensar que las respuestas en la Matem´tica son unicas,
a
´
4

5. incontrovertibles y accesibles solamente para algunos iluminados.
Pero incluso si esto fuera cierto (que no lo es), es de capital importancia que los estudiantes busquen sus propios caminos para llegar a un
resultado. La mala noticia es que la resoluci´n de problemas (o ejercicios)
o
no es una tarea f´cil ni hay reglas consagradas en piedra para llevar a
a
cabo esta tarea. Lo mejor que se puede hacer es poner en pr´ctica las
a
heur´
ısticas, que son principios razonables que la experiencia ha mostrado
como eficaces para dicho fin.
No entraremos en detalles sobre el tema. Una buena referencia al
respecto son los libros de P´lya [4] o el de Zeitz [5]. Pero se puede dar
o
una peque˜a ilustraci´n con la demostraci´n del teorema y el ejercicio
n
o
o
del mini-texto presentado anteriormente.
Algo que pudiera extra˜ar a los principiantes es que muchas demosn
traciones empiezan negando la conclusi´n a la que se quiere llegar. En
o
el teorema cuya demostraci´n aparece en el mini-texto, se dice que la
o
definici´n de primo encierra dentro de s´ que hay una infinidad de ellos3 .
o
ı
Pero la demostraci´n comienza ¡negando esto ultimo! Entonces supone
o
´
que hay una cantidad finita de primos y termina viendo que la lista necesariamente omite a alguno de ellos. Siendo que no se puede admitir
al mismo tiempo que la dichosa lista de primos los tiene a todos y le
falta alguno, no puede ser verdad que hay una cantidad finita de primos.
En consecuencia, nos equivocamos al suponer que se pod´ terminar de
ıa
recabar tal lista y la verdad es que hay infinitos primos4 .
A esto se le llama “demostraci´n por contradicci´n” o reductio ab
o
o
absurdum, y una gran cantidad de razonamientos matem´ticos son de
a
este estilo. Hasta en la vida diaria es muy socorrida: “No puede ser como
t´ dices, porque si as´ fuera, entonces suceder´ esto y aquello otro. Pero,
u
ı
ıa
como no es el caso, est´s equivocado”.
a
Pasemos a examinar el ejercicio. Podemos observar de entrada que
todos los n´meros tienen al menos un divisor: a ellos mismos. Para un
u
n´mero mayor que 1, digamos el 1313, ¿tendr´ un divisor que sea el m´s
u
a
a
peque˜o posible pero mayor que 1? ¡Claro que s´ Un n´mero cualquiera
n
ı!
u
no tiene una infinidad de divisores, as´ que al compilar la lista con los que
ı
son distintos de 1 podemos ordenarla y se˜alar inequ´
n
ıvocamente al m´s
a
3
Es decir, la unica hip´tesis es la definici´n de n´mero primo, y la conclusi´n es que hay
´
o
o
u
o
una infinidad de n´meros primos.
u
4
Vale se˜alar que lo que demostr´ Euclides fue que siempre hay m´s primos que en cualn
o
a
quier conjunto finito dado de primos, y que su demostraci´n no utiliza la reducci´n al absurdo
o
o
como arma principal. Le agradezco a mi amigo Jos´ Hern´ndez Santiago el atraer mi atenci´n
e
a
o
hacia este punto y el art´
ıculo [3] al respecto.
5

6. peque˜o de ellos. Para el 1313 tal divisor m´
n
ınimo es el 13. Ese divisor
m´
ınimo tiene que ser primo. Si no lo fuera, tendr´ que ser divisible entre
ıa
alg´n n´mero distinto de ´l y de 1. Esto es imposible, porque ese “alg´n
u u
e
u
n´mero” tambi´n dividir´ al n´mero original y ser´ menor que nuestro
u
e
ıa
u
ıa
divisor m´
ınimo5 . Por lo tanto, el menor divisor (mayor que 1) de un
n´mero cualquiera tiene que ser primo.
u
La heur´
ıstica que apareci´ aqu´ se le suele llamar “buscar al elemento
o
ı
extremo”; es decir, el m´s peque˜o, el m´s grande, el m´s sencillo, el
a
n
a
a
m´s complicado, etc´tera. Ese elemento generalmente tiene propiedades
a
e
que ponen en claro el comportamiento de las definiciones o se les puede
aplicar m´s directamente los teoremas ya vistos.
a
4.
Conclusiones
Para terminar, podr´
ıamos afirmar que el proceso de aprendizaje de la
Matem´tica a partir de sus textos es hacer una vivisecci´n muy cuidadosa
a
o
de los mismos. Hay que separarlos en partes digeribles buscando entender
como se ensamblan entre s´ para despu´s rearmarlos y finalmente “senı,
e
tarnos sobre de ellos” para ver si aguantan o para encontrarles facetas
desconocidas.
La parte donde se practica con el material aprendido generalmente
son los ejercicios, problemas o las preguntas que nos surjan de la simple curiosidad a partir de la teor´ ya estudiada. Los mecanismos para
ıa
resolverlos se denominan heur´
ısticas, y solamente la pr´ctica ayuda a
a
perfeccionarlas y reconocer cu´ndo y c´mo debemos aplicarlas.
a
o
Vale agregar a estas conclusiones que el procedimiento bosquejado
para el estudio de la Matem´tica es marcadamente recursivo: en mua
chas ocasiones un texto largo est´ integrado de textos m´s peque˜os (los
a
a
n
cap´
ıtulos, por ejemplo) que a su vez se pueden descomponer en minitextos y as´ sucesivamente. El estudiante debe estar consciente de ello
ı
y organizar su mente del mismo modo, para que no pierda de vista los
conocimientos que ya adquiri´ y los pueda emplear en la construcci´n de
o
o
otros nuevos.
5
El reductio ab absurdum asoma aqu´ su cabeza otra vez ¿no se los dije?
ı
6

7. Referencias
[1] Boyer, Carl y Merzbach, Uta: A History of Mathematics, segunda
edici´n, Wiley, 1991.
o
´
[2] de la Pe˜a, Jos´ Antonio: Algebra en todas partes, Fondo de Cultura
n
e
Econ´mica, 1999.
o
[3] Hardy, Michael y Woodgold, Catherine: Prime simplicity, Math. Intelligencer, Vol. 31, No. 4, pp. 44-52, 2009.
[4] P´lya, George: How to solve it, segunda edici´n, Princeton University
o
o
Press, 1973.
[5] Zeitz, Paul: The Art and Craft of Problem Solving, segunda edici´n,
o
Wiley, 2007.
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