apunte de álgebra

Índice
Página
I FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 4
1. Números 4
1.1. Ley de signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Adición y sustracción . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Multiplicación y división . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Propiedades de los números reales . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5. Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Álgebra 12
2.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1. Binomio al cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2. Suma por su diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.3. Binomio con término común . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.4. Diferencia de cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.5. Suma de cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.6. Binomio al cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4. Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1. Factor común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2. Diferencia de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.3. Suma de cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) ÍNDICE
2.4.4. Diferencia de cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.5. Cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.6. Trinomio ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Fracciones algebraicas 20
3.2. Suma y resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4. Ecuaciones lineal y cuadrática 26
4.2. Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.1. Ecuación de primer grado . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.2. Ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
II EXPONENCIAL Y LOGARITMO 31
5. Ecuaciones exponenciales 31
5.2. Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6. Logaritmo 34
6.2. Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.3. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.5. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7. Ecuaciones logarı́tmicas 37
7.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.3. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
III TRIGONOMETRÍA 40
8. Ángulos 40
8.2. Medidas de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.2.1. Sistema sexagesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.2.2. Sistema radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.2.3. Equivalencia de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.4. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9. Razones trigonométricas 42
9.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.3. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10. Funciones trigonométricas 44
10.2. Gráficas de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . 45
10.2.1. Gráfica de sen(mx) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10.2.2. Gráfica de cos(mx) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10.2.3. Gráfica de tan(mx) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
11. Identidades trigonométricas 50
11.1. Identidades fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.2. Demostración de identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
11.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
12. Ecuaciones trigonométricas 54
2

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) ÍNDICE
12.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
12.3. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
13. Problemas de aplicación 56
13.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
IV NÚMEROS COMPLEJOS 58
14. Aritmética compleja 58
14.2. Aritmética compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
14.2.1. Adición de números complejos . . . . . . . . . . . . 59
14.2.2. Producto de números complejos . . . . . . . . . . . 59
14.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
14.4. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
15. Potencias y raı́ces 64
15.1. Forma trigonométrica o polar . . . . . . . . . . . . . . . . 64
15.2. Multiplicación y división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
15.3. Potencias y raı́ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
15.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
V POLINOMIOS 68
16. Raı́ces de un polinomio 68
17. Propiedades de las raı́ces 69
17.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
17.2. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
VI FRACCIONES PARCIALES 74
18. Conceptos básicos 74
19. Tipos de descomposición 75
19.1. Primer caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
19.2. Segundo caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
19.3. Tercer caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
19.4. Cuarto caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
19.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
19.6. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 1 NÚMEROS
CAPÍTULO I
FUNDAMENTOS DE
ÁLGEBRA
En el presente capı́tulo repasaremos los conceptos y herramientas necesa-
rias para abordar de forma exitosa el estudio del álgebra. Este capı́tulo fue
construido con la colaboración del académico Luis Viza Garcı́a.
SECCIÓN 1
Números
1.1. Ley de signos
1.1.1. Adición y sustracción
Para sumar dos números con signos iguales, se suma el valor numérico
y se antepone el signo común.
Para sumar dos números con signos distintos, se resta el valor nuérico
menor del mayor y se antepone el signo del número con mayor valor
absoluto.
4

Ejemplos 1
(1) 3 + 8 = +11 = 11
(2) −3 − 8 = −(3 + 8) = −11
(3) −8 + 2 = −(8 − 2) = −6
1.1.2. Multiplicación y división
Para multiplicar dos números o dividir un número entre otro (con divisor
distinto de cero), se multiplica o divide el valor numérico y se antepone
el signo (+) si los dos números tienen el mismo signo, y (−) si tienen
signos diferentes.
Ejemplos 2
(1) −3 · −6 = +18 = 18
(2) 2 · −4 = −8
(3) −4 : 2 = −2
(4) 4 : −2 = −2
1.2. Propiedades de los números reales
En esta subsección presentaremos las propiedades aritméticas de los núme-
ros reales, recordando que este conjunto se denota por R y es la unión del
conjunto de los números racionales (Q) e irracionales (I).
Propiedades 1
Para todos a, b, c ∈ R se cumple que:
(1) Conmutatividad de la suma:
a + b = b + a
(2) Conmutatividad de la multiplicación:
ab = ba
(3) Asociatividad de la suma:
(a + b) + c = a + (b + c)
(4) Asociatividad de la multiplicación:
(ab)c = a(bc)
(5) Distributividad:
a(b + c) = ab + ac
(6) Elemento neutro aditivo:
a + 0 = 0 + a = a
(7) Elemento neutro multiplicativo:
a · 1 = 1 · a = a
(8) Elemento inverso aditivo:
a + (−a) = 0
(9) Elemento inverso multiplicativo:
a(a−1
) = 1, con a 6= 0
5

1.3. Fracciones
1.3.1. Conceptos básicos
Definición 1 : Fracción y sus elementos
Se definen los siguientes conceptos:
(1) Una fracción es un número, que se obtiene de dividir un entero
en partes iguales.
(2) Una fracción se representa matemáticamente por números que
están escritos uno sobre otro y están separados por una lı́nea
recta horizontal denominada raya fraccionaria.
(3) Una fracción está formada por dos términos, numerador y
denominador. El numerador es el número que está sobre la
raya fraccionaria y el denominador es el que está bajo la raya
fraccionaria.
(4) El numerador es el número de partes que se considera de la
unidad o total.
(5) El denominador es el número de partes iguales en que se ha
dividido la unidad o total.
1.3.2. Operatoria
Si a, b, c, d ∈ R con b y c no nulos, entonces
(1) Suma:
a
b
+
c
d
=
ad + bc
bd
(2) Resta:
a
b
−
c
d
=
ad − bc
bd
(3) Multiplicación:
a
b
·
c
d
=
ac
bd
(4) División:
a
b
:
c
d
=
ad
bc
Ejemplos 3 Realicemos las siguientes operaciones:
(1) Si queremos sumar o restar fracciones de igual denominador, como
3
5
con
4
5
, mantenemos el denominador y sumamos o restamos los numeradores.
Es decir,
(a) Opción 1: Suma.
3
5
+
4
5
=
3 + 4
5
=
8
5
(b) Opción 2: Resta.
3
5
−
4
5
=
3 − 4
5
= −
1
5
(2) En caso de querer sumar o restar fracciones de distinto denominador,
como
3
8
con
7
12
, calculamos el mı́nimo común múltiplo, en este caso 24.
Es decir,
(a) Opción 1: Suma.
3
8
+
7
12
=
9 + 14
24
=
23
24
6

(b) Opción 2: Resta.
3
8
−
7
12
=
9 − 14
24
= −
5
24
(3) En caso de querer multiplicar o dividir dos fracciones, el proceso es el
mismo sin importar si los denominadores son iguales o distintos.
Es decir,
(a) Opción 1: Multiplicación.
3
8
·
7
12
=
21
96
=
7
32
(b) Opción 2: División.
3
5
:
4
5
=
3 · 5
5 · 4
=
3
4
Propiedades 2 : Fundamental de las proporciones
Si a, b, c, d ∈ R con b y c no nulos, entonces
a
b
=
c
d
si y sólo si ad = cb.
Ejemplos 4 Observemos que
2
5
=
4
10
si y sólo si 2 · 10 = 4 · 5.
1.4. Potencias
Sea x un número real y n un número natural, la expresión xn
simboliza el
producto de x por sı́ mismo n veces.
Es decir,
xn
= x · x · x · · · x
| {z }
n−veces
Definición 2 : Potencia y sus elementos
La expresión xn
se denomina genéricamente potencia y se lee ”x
elevado a n”o simplemente ”x a la n”. x recibe el nombre de base,
mientras que n es exponente.
Ejemplos 5
(1) 53
= 5 · 5 · 5 = 125
(2) (−6)4
= −6 · −6 · −6 · −6 = 1.296
(3)

3
2
3
=
3
2
·
3
2
·
3
2
=
27
8
A continuación resumimos las propiedades que rigen a las potencias.
7

Propiedades 3
Para a, b ∈ R y m, n ∈ N , tenemos que:
(1) a0
= 1, con a 6= 0
(2) a1
= a
(3) am
· an
= am+n
(4)
am
an
= am−n
, con a 6= 0
(5) (a · b)n
= an
· bn
(6) (am
)n
= amn
(7) a−m
=
1
am
, con a 6= 0
(8)
a
b
m
=
am
bm
, con b 6= 0
Observación 1 Es importante señalar que:
(1) 00
no está definida.
(2) El cuadrado de todo número real es mayor o igual que cero, es decir,
x2
≥ 0, para todo x ∈ R.
(3) Si x ≥ 0, entonces
(−x)n
=

xn
, si n es par
−xn
, si n es impar
1.5. Radicales
Definición 3 : Raı́z
Sea x un número y n natural mayor que 1. La raı́z enésima de x,
simbolizada por n
√
x, representa el valor y tal que al ser elevado a n
da como resultado el número x. Es decir,
n
√
x = y ⇔ x = yn
.
Definición 4 : Índice y subradical
De la expresión n
√
x, n recibe el nombre deı́nidce del radical, mientras
que x es subradical.
Observación 2 Es importante señalar que n
√
x es un número real si y sólo
si:
(1) x ≥ 0, si n es par.
(2) x ∈ R, si n es impar.
A partir de las leyes de las potencias, se obtienen las siguientes propiedades
de los radicales:
Propiedades 4
(1) ( n
√
x)
n
= x, si x ≥ 0.
(2) ( n
√
x)
n
= x, si x 0 y n es impar.
(3) ( n
√
x)
n
= |x|, si x 0 y n es par.
Veamos algunos ejemplos que nos permitan comprender de mejor manera
estas propiedades.
8

Ejemplos 6 Estudiemos una situación para cada propiedad:
(1) Supongamos que necesitamos calcular 7
√
6
7
, como 6 ≥ 0 podemos
aplicar la primera propiedad. Es decir,

7
√
6
7
= 6.
(2) Si queremos calcular 7
√
−6
7
, podemos utilizar la segunda propiedad,
ya que n = 7 y x = −6. Es decir,
7
√
−6
7
= −6.
(3) Sin embargo, es necesario ser más cuidadosos en el caso que necesitemos
calcular 4
√
−6
4
. Un error frecuente es considerar
4
√
−6
4
= −6,
lo cual no es correcto. En este caso el subradical es negativo y el ı́ndice de
la raı́z es par, por lo que debemos aplicar la tercera propiedad expuesta
anteriormente. Es decir,
4
√
−6
4
= | − 6| = 6.
De igual forma, tenemos que:
8
√
−2
8
= | − 2| = 2, 10
√
−30
10
= | − 30| = 30, etc.
Propiedades 5
Para a, b ∈ R y m, n ∈ Z, considerando las propiedades ya expuestas,
se tiene que:
(1) n
√
a · b = n
√
a · n
√
b
(2) n
r
a
b
=
n
√
a
n
√
b
, con b 6= 0
(3) m
p
n
√
a = mn
√
a
(4) a
m
n = n
√
am = ( n
√
a)m
1.6. Ejercicios
Reducir las siguientes expresiones
(1) −9 − [5 − (8 − 11) − 4 − (−5 + 2)]
(2) 4 − {−5 − 9 − [−(−5 · −4 + 6 : −3) − 9(−20 : −4) + 7] − 3} + 6 : −3
(3) −

7
3
− 4

+ 4

5
6
+
7
2

(4)
17
4
−
1
2
−

−
5
6
+ 1

(5) −
7
4
·
4
14
· −3
1
7
+ 2
(6)
8
25
:
4
5
−
3
4
:
9
12
(7)
1
2
:

1
4
+
1
2

−

4
3
− 1

7
3
− 2

9

(8) 3 · 6 −
4
5
·
3
2
·
2
5
·
50
2
1
2
+
1
4
+
1 +
1
2
·
1
1
4
6 −
46
1 + 22
(9) 13 :

3 : (0, 2 − 0, 1)
2, 5 · (0, 8 + 1, 2)
+
(34, 06 − 33, 81) · 4
6, 84 : (28, 57 − 25, 15)

+
2
3
:
2
21
(10)
r
5 −
q
3 −
p
64 − 12
√
25
(11)
r
√
16 +
q
1 + 8
p
13 − 4
√
9
(12) 2−2
+ 42
− 5
(13) 3−1
− (−3)2
+ 1
(14) 1−1
+ 120
− 12
− 1
(15)

2
3
− 1
2
− 3
(16) 1 − 2

2 −
1
2

+ 4

3 −
1
2

+ 2
(17) 3 −

1 −
1
4
−2
+ 1
(18)
2
3
−
4
5
+
1
20
+ 2
(19)
1
3

1
4
−
1
5

− 2

1 −
4
5

− 1
(20)

1 −
7
5
−2
+

3 −
20
3
2
(21)

2 +
3
2
−
6
5
2
−
3
4

6 −
7
2

(22)
3
4
−
3
5
+
3
7
(23) 8
2
3
−

1
2
−
7
5
2
− 1
(24)
7
3
(4 − 22
)
2
−
5
4

4 −
1
3
2
(25) 30
− 3−1
+ 32
− 3−2
+ 33
(26)

5
3
−3
+
7
8
·
16
49
+
5
4
(3 − 5−2
)
(27)
√
4 −
√
9
2
− 4
√
16 −
√
25
−2
(28) 3 −
√
36
2
−

1
4
− 2
2
(29) −
7
3

4 − 40
−
5
7

− 3
√
9 −
r
49
81
!
+ 1
(30) −5 − [−5 − 4 − (−5 + 2)]
(31) −

7
3
− 9

+ 3

5
4
+
7
10

(32)
13
4
−
1
2
−

−
7
12
+ 2

(33) 2

3 +
1
4

− 3

2 +
1
6

(34) 4 −

6
1
3
−
2
5

(35) −
1
2
+ 3

7 −
1
3

−

2
3
− 1

10

(36) 1 −

1
3
·
9
2
−
1
36
·
24
5

(37) −
7
4
·
4
14
· −3
1
13
+ 4
(38)
4
15
:
2
5
−
3
4
:
7
9
(39)
1
2
:

1
4
+
1
3

−

5
3
− 1

7
2
− 2

(40) −

5
1
5
·
25
13
+ 1

+
3
5
: 9
(41)

3
4
+
1
2

: −

5
3
+
1
6

(42)

12
5
·
125
36
−
11
121
:
1
4
−1
(43) 6
1
3
:
9
2
−

2 :
2
5
−2
+ 1
(44)
√
121 − 3
√
−512 − 12
2
−

3
2
−2
(45)
r
1
4
: −
5
3
2
+ 1 − 3
r
1
8
!−1
(46)
8 · 4
1
4
− 11
1
5
: 9
1
3
−

−2
1
3

:
5
3
14 : 2
2
9
+ 8
2
5
· 1
2
7
1.7. Respuestas
(1) −16
(2) −37
(3) 19
(4)
43
12
(5)
25
7
(6) −
3
5
(7)
5
9
(8) −5
(9) 9
(10) 2
(11)
√
7
(12)
45
4
(13) −
23
3
(14) 0
(15) −
26
9
(16) 10
(17)
20
9
(18)
23
12
(19) −
83
60
(20)
709
36
(21)
683
200
(22)
81
140
(23)
2.057
300
(24) −
605
36
(25)
329
9
(26)
7.353
1.750
(27) −3
(28)
95
16
(29) −11
(30) 1
(31)
751
60
(32)
4
3
(33) 0
(34) −
29
15
(35)
119
6
(36) −
11
30
(37)
72
13
(38) −
25
84
(39) −
1
7
(40) −
164
15
(41) −
15
22
(42)
33
263
(43)
1598
675
(44)
437
9
(45) −
47
12
(46) 2
11

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 2 ÁLGEBRA
SECCIÓN 2
Álgebra
2.1. Conceptos básicos
El Álgebra es una rama de la Matemática que utiliza números, letras y signos
para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas.
Definición 5 : Variable, potencia y coeficiente
(1) Una variable es una letra que representa un número cualquiera.
(2) Una potencia es el producto repetido de una misma variable
o conjunto de variables y se expresa mediante un exponente
aplicado sobre la variable que sirve de base.
(3) Un coeficiente es un número que señala las veces que se ha suma-
do repetidamente una misma variable o un conjunto de variables.
Ejemplos 7 Observemos que
xy · xy · xy = (xy)3
= x3
y3
,
mientras que
xy + xy + xy = 3xy.
2.2. Expresiones algebraicas
Definición 6 : Término algebraico
Un término algebraico es un término compuesto por una cantidad
numérica y otra literal, que representa un objeto de la vida cotidiana,
que tiene las siguientes caracterı́sticas:
coeficiente numérico
factor literal
signo
grado
Ejemplos 8 De los siguientes términos algebraicos:
(1) −3x5
coeficiente numérico:
−3
factor literal: x5
signo: negativo
grado: 5
(2)
2xrt2
3
coeficiente numérico:
2
3
factor literal: xrt2
signo: positivo
grado: 4
Definición 7 : Grado de un término algebraico
El grado de un término algebraico es la suma de los exponentes del
factor literal.
Ejemplos 9 Del término algebraico 7x2
y4
vemos que el grado es
6 = 2 + 4.
12

Definición 8 : Expresión algebraica
Una expresión algebraica es la unión de dos o más términos alge-
braicos y representa el vı́nculo de objetos o una situación cotidiana en
donde se involucan más de una variable.
Ejemplos 10 De las siguientes expresiones algebraicas, vemos que:
(1) 4x2
+2x3
y+7z está compuesta por tres términos algebraicos, estos son:
4x2
, 2x3
y y 7z.
(2) 3w7
f −
3
4
d5
está compuesta por dos términos algebraicos, estos son:
3
4
d5
y
3
4
d5
.
Definición 9 : Grado de una expresión algebraica
El grado de una expresión algebraica es el grado mayor de los
distintos términos algebraicos de la expresión.
Ejemplos 11 Observamos de la expresión algebraica 5xy −3x3
+5axy3
que
el grado del primer término es 2, el segundo es 3 y el tercero es 5.
Por lo tanto, el grado de la expresión es 5.
Definición 10 : Términos semejantes
Los términos semejantes son aquellos que tienen el mismo factor
literal y representan objetos del mismo conjunto.
Ejemplos 12 De los siguientes pares de términos algebraicos, vemos que:
(1) 6x3
y
3
4
x3
son semejantes.
(2) 6xy2
y x2
y no son semejantes.
La siguiente definición nos va a permitir clasificar las expresiones algebraicas.
Definición 11 : Clasificación de polinomios
Un monomio es una expresión algebraica que consta de un único
término algebraico. La suma o resta de dos monomios (no semejantes)
origina un binomio, la de tres un trinomio. Mientras que las de dos o
más términos es un multinomio y polinomio si los factores literales
tienen sólo exponentes enteros positivos.
Ejemplos 13 Clasifiquemos las siguientes expresiones:
(1) 3xy − x2
z es un binomio.
(2) 4x − 5y + 2 es un trinomio.
(3)
4
ab
es un monomio.
(4) Las expresiones del apartado (1) y (2) son polinomios, no ası́ la expresión
del apartado (3).
2.3. Productos notables
Son ecuaciones que permiten simplificar el cálculo de productos algebraicos.
Algunos de los productos notables más usuales son:
2.3.1. Binomio al cuadrado
(x + y)2
= x2
+ 2xy + y2
,
(x − y)2
= x2
− 2xy + y2
13

Ejemplos 14
(1)
(x + 4)2
= x2
+ 2 · 4 · x + 42
= x2
+ 8x + 14
(2)
(3a + 5b)2
= (3a)2
+ 2 · 3a · 5b + (5b)2
= 9a2
+ 30ab + 25b2
(3)
3a2
− 7
2
= 3a2
2
− 2 · 3a2
· 7 + 72
= 9a4
− 6a2
+ 49
2.3.2. Suma por su diferencia
(x + y)(x − y) = x2
− y2
2.3.3. Binomio con término común
(ax + b)(cx + d) = acx2
+ (ad + bc)x + bd,
(x + a)(x + b) = x2
+ (a + b)x + (ab)
2.3.4. Diferencia de cubos
(x − y)(x2
+ xy + y2
) = x3
− y3
2.3.5. Suma de cubos
(x + y)(x2
− xy + y2
) = x3
+ y3
2.3.6. Binomio al cubo
(x + y)3
= x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
,
(x − y)3
= x3
− 3x2
y + 3xy2
− y3
2.4. Factorización
Definición 12 : Factorización
Factorización es una técnica que consiste en la descomposición de
una expresión algebraica en forma producto.
Se separan en 3 grupos:
2.4.1. Factor común
Esta factorización se obtiene como consecuencia directa de la ley de distri-
butividad de los números reales.
Recordemos que dicha ley, afirma que para todos a, b, c ∈ R se tiene que
a(b + c) = ab + ac.
De la expresión algebraica ab + ac, el factor común es a.
Por lo que, la factorización por factor común es:
ab + ac = a(b + c).
14

Ejemplos 15
(1) El factor común presente en la expresión 5x + 6x2
es x, luego
5x + 6x2
= x(5 + 6x).
(2) En el caso de querer factorizar la expresión 4ax − 3a2
x + ax2
, notamos
que tanto a como x son factores comunes, por lo tanto
4ax − 3a2
x + ax2
= a(4x − 3ax + x2
)
= ax(4 − 3a + x).
(3) Un ejemplo bastante interesante es el siguiente
a2
x + a2
y − 2bx − 2by.
Como podemos observar no hay un factor común para los 4 términos
que componen la expresión algebraica, sin embargo a2
es el factor común
para una parte de la expresión, mientras que −2b es factor común para
la otra. Es decir,
a2
x + a2
y − 2bx − 2by = a2
(x + y) − 2b(x + y).
De donde podemos observar que x + y también es un factor común.
Por lo tanto,
a2
x + a2
y − 2bx − 2by = a2
(x + y) − 2b(x + y)
= (a2
− 2b)(x + y).
Este tipo de factorización se denomina factor común por agrupación
de términos o factor común compuesto.
En las próximas tres subsecciones estudiaremos las factorizaciones más co-
munes para binomios.
2.4.2. Diferencia de cuadrados
En la subsección 2.3.2 estudiamos el producto notable suma por su diferencia,
el cual afirma que
(a + b)(a − b) = a2
− b2
.
La expresión algebraica a2
− b2
se denomina diferencia de cuadrados, la
cual podemos factorizar de la forma
a2
− b2
= (a + b)(a − b).
Ejemplos 16
(1) Notemos que x2
− 4 puede ser expresado como x2
− 22
, lo cual es
efectivamente una diferencia de cuadrados y por ende
x2
− 4 = x2
− 22
= (x − 2)(x + 2).
(2) De igual forma, la expresión algebraica
9x4
− 16y2
puede ser reescrita como
3x2
2
− (4y)2
.
Por lo tanto, podemos factorizarla de la siguiente forma:
9x4
− 16y2
= 3x2
2
− (4y)2
= 3x2
+ 4y

3x2
− 4y

.
(3) La expresión x2
− 5 puede ser algo engañosa, porque probablemente
no se aprecia de inmediato la diferencia de cuadrados. Sin embargo,
observemos que
x2
− 5 = x2
−
√
52
=

x −
√
5

x +
√
5

.
15

(4) Finalmente, la expresión a4
x − 4x también pareciera ser no factorizable
como diferencia de cuadrados. Pero probemos factorizando primero por
x, es decir,
a4
x − 4x = x a4
− 4

.
Ahora es más sencillo reconocer la diferencia de cuadrados,
a4
− 4 = a2
2
− 22
= a2
+ 2

a2
− 2

.
Por otro lado, a2
−2 también es una diferencia de cuadrados al considerar
2 =
√
22
.
Por lo tanto, el proceso completo de factorización es:
a4
x − 4x = x a4
− 4

= x a2
+ 2

a2
− 2

= x a2
+ 2

a +
√
2

a −
√
2

Observación 3 De los ejemplos anteriores podemos concluir lo siguiente:
Del ejemplo (3): no es necesario que los cuadrados sean perfectos para poder
utilizar la diferencia de cuadrados.
Del ejemplo (4): podemos utilizar varias factorizaciones para reescribir una
expresión algebraica.
2.4.3. Suma de cubos
De la subsección 2.3.5 sabemos que
(a + b)(a2
− ab + b2
) = a3
+ b3
,
por lo tanto si queremos factorizar la expresión algebraica a3
+b3
, denominada
suma de cubos, entonces
a3
+ b3
= (a + b)(a2
− ab + b2
).
Ejemplos 17
(1) Al momento de factorizar x3
+ 8, es necesario reconocer primeramente
los cubos, es decir,
x3
+ 8 = x3
+ 23
.
Luego, la factorización es
x3
+ 8 = x3
+ 23
= (x + 2)(x2
− 2x + 22
)
= (x + 2)(x2
− 2x + 4).
(2) De igual forma que en el ejemplo anterior, para factorizar x6
+ 1 lo
reescribimos como suma de cubos, es decir,
x6
+ 1 = x2
3
+ 13
.
Por lo tanto,
x6
+ 1 = x2
3
+ 13
= x2
+ 1

x2
2
− 1x2
+ 12

= x2
+ 1

x4
− x2
+ 1

.
(3) Factoricemos ahora la expresión 8x3
+ 2, como ya sabemos lo primero
es reescribirla como suma de cubos, es decir
8x3
+ 2 = 8x3
+
3
√
23
.
Luego,
8x3
+ 2 = (2x)3
+
3
√
23
=

2x +
3
√
2

(2x)2
−
3
√
2(2x) +
3
√
22

=

2x +
3
√
2

4x2
− 2
3
√
2x +
3
√
4

.
16

2.4.4. Diferencia de cubos
En la subsección 2.3.4 estudiamos el producto notable diferencia de cubos,
el que nos indicaba que
(a − b)(a2
+ ab + b2
) = a3
− b3
.
Lo cual implica que la expresión algebraica a3
− b3
puede ser expresada por
a3
− b3
= (a − b)(a2
+ ab + b2
).
2.4.5. Cuadrado perfecto
Recordemos que
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
y (a − b)2
= a2
− 2ab + b2
.
Por lo tanto, la factorización de los trinomios de la forma
a2
+ 2ab + b2
y a2
− 2ab + b2
,
son respectivamente
(a + b)2
y (a − b)2
.
2.4.6. Trinomio ordenado
Al efectuar el producto entre los binomios (x + a) y (x + b), obtenemos que
(x + a)(x + b) = x2
+ ax + bx + ab
= x2
+ (a + b)x + ab.
Por lo tanto,
x2
+ (a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
2.5. Ejercicios
I. Reducir las siguientes expresiones:
(1)
√
3 + a
√
3 − a

(2) (
√
a + b +
√
b)(
√
a + b −
√
b)
(3)

z3
−
z
4

(6 − z) + (z − 1)3
− z4
(4) 1 +
√
2
2
−
√
3 − 4
2
−
√
3

1 −
3
√
3

(5) 2 (a − b)3
− 4a(a − b)(a + b) + 6(3a − b)3
(6) x (3x2
− 2x + 8)
(7) −3x2
(x − 7) + x
(8)
x
2
(2 − 4x + 4x2
)
(9) 3x2

x3
6
−
2x
5
+ 7

(10) a2
b (4 − ab + b2
)
(11) (a + b) (a2
− ab + 7b − 4)
(12) (x − 2) (4x + 5) − x
(13) (2x − 5) (x2
+ x + 1)
(14) (x − 1) (4x + 2) + x (2 − x)
(15) x (x + 1) − 3x (x + 4) + 2x (5 − x)
(16) (3x − 1) (4 − x) − x (3x + 2) − 6x
(17) (x2
− x − 1) (6x + 7) − 5 (x − 1) (4x + 2) + 1
(18) (4a − b) (3ab − a) − (1 + a − b) (2 + a − b)
17

(19) (2y − 1) (y + 7) − 2 (3y − 4) (y + 2) + y2
(20) (1 − 2x + 3x2
) (1 + x + x2
) − x2
(4 − x + x2
)
(21) (13 − 2x) (13 + 2x)
(22) (2 − 6x) (2 + 6x)
(23) (x2
− 4) (x2
+ 4)
(24) (x + x2
)
2
(25) (2a + b2
) (2a − b2
)
(26) (2a − 3b)2
(27) (x − y) (x + y)
(28) (x + 3)2
+ (7 − x) (7 + x)
(29) (2 − x)2
+ (4 + x)2
− 3
(30) (4 + 3x) (4 − 3x) − (4 − 3x)2
+ 4
(31) (x − 2)2
− (x + 2)2
+ x (x + 1)
(32) (4x − 3) (7 + x) − (x + 3)2
+ 5
(33) (x − 3)2
(x + 1) − (x − 1)2
− 3
(34)

x −
1
2
2
+ 4x − (x − 4) (7x + 2)
(35) (3x − 6) (4x + 6) − x (x − 1)2
+
3
4
(36) (4a − 3b)2
+ (a + 4b) (2a − b) + a (a + b)
(37) (4y − 3) (6 − 7y) − (y − 2)2
+ y
(38) (y − 4x)2
+ (7y + x) (13x + y) − (x − y)
(39)

x
2
−
3
4
2
− (x − 1) (x + 1) − x (4x + 7)
(40) (4x2
− 4x)
2
− (4x2
− 7x) (x2
− 1) + x2
II. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
(1) x2
− 4x + 4
(2) x2
+ 24x + 144
(3) x2
− 16
(4) 2x3
+ 4x2
+ 2x
(5) x2
+ 4x − 5
(6) x2
+ 11x + 24
(7) x3
+ 5x2
− 35x
(8) x2
−
1
4
(9) x2
− 7
(10) 4x2
− 3
(11) x2
+ 2x +
3
4
(12) x2
+
11
28
x +
1
28
(13) x2
+
5
2
x +
3
2
(14) x3
+
8
15
x2
+
1
15
x
(15) 4x3
+ 4x2
+
8
9
x
(16) −x3
− 3x2
−
5
4
x
(17) 2x3
+
7
6
x2
+
1
6
x
(18) 1 − x2
(19) −x2
− x + 12
(20) 7x4
+
28
5
x3
+
21
25
x2
2.6. Respuestas
I.
(1) 3 − a2
(2) a
(3) −2z4
+ 7z3
−
11
4
z2
+
3
2
z − 1
(4) 2
√
2 + 7
√
3 − 13
(5) 160a3
− 168a2
b + 64ab2
− 8b3
18

(6) 3x3
− 2x2
+ 8x
(7) −3x3
+ 21x2
+ x
(8) 2x3
− 2x2
+ x
(9)
1
2
x5
−
6
5
x3
+ 21x2
(10) 4a2
b − a3
b2
+ a2
b3
(11) a3
− ab2
+ 7ab − 4a + 7b2
− 4b
(12) 4x2
− 4x − 10
(13) 2x3
− 3x2
− 3x − 5
(14) 3x2
− 2
(15) −4x2
− x
(16) −6x2
+ 5x − 4
(17) 6x3
− 19x2
− 3x + 4
(18) 12a2
b − 5a2
− 3ab2
+ 3ab − 3a − b2
+ 3b − 2
(19) −3y2
+ 9y + 9
(20) 2x4
+ 2x3
− 2x2
− x + 1
(21) 169 − 4x2
(22) 4 − 36x2
(23) x4
− 16
(24) x4
+ 2x3
+ x2
(25) 4a2
− b4
(26) 4a2
− 12ab + 9b2
(27) x2
− y2
(28) 6x + 58
(29) 2x2
+ 4x + 17
(30) −18x2
+ 24x + 4
(31) x2
− 7x
(32) 3x2
+ 19x − 25
(33) x3
− 6x2
+ 5x + 5
(34) −6x2
+ 29x +
33
4
(35) −x3
+ 14x2
− 7x −
141
4
(36) 19a2
− 16ab + 5b2
(37) −29y2
+ 50y − 22
(38) 29x2
+ 84xy − x + 8y2
+ y
(39) −
19
4
x2
−
31
4
x +
25
16
(40) 12x4
− 25x3
+ 21x2
− 7x
II.
(1) (x − 2)2
(2) (x + 12)2
(3) (x + 4)(x − 4)
(4) 2x(x + 1)2
(5) (x + 5)(x − 1)
(6) (x + 8)(x + 3)
(7) x(x − 2)(x + 7)
(8)

x +
1
2

x −
1
2

19

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 3 FRACCIONES ALGEBRAICAS
(9) (x +
√
7)(x −
√
7)
(10) 2x +
√
3

2x −
√
3

(11)

x +
3
2

x +
1
2

(12)

x +
1
7

x +
1
4

(13) (x + 1)

x +
3
2

(14) x

x +
1
3

x +
1
5

(15) 4x

x +
2
3

x +
1
3

(16) −x

x +
5
2

x +
1
2

(17) 2x

x +
1
4

x +
1
3

(18) (1 − x)(1 + x)
(19) (3 − x)(4 + x)
(20) 7x2

x +
1
5

x +
3
5

SECCIÓN 3
Fracciones algebraicas
Definición 13 : Fracción algebraica
Una fracción algebraica o expresión algebraica racional es el cuo-
ciente de dos polinomios de la forma
p(x)
q(x)
, donde q(x) 6= 0.
Las fracciones algebraicas tienen las mismas propiedades que los números
racionales. Además, como el denominador de una fracción debe ser distinto de
cero, entonces para que una fracción algebraica esté definida y tenga sentido,
es necesario restringir los valor de las variables que anulan del denominador.
Ejemplos 18
(1)
3 − x
x
es una fracción algebraica y para que esté definida es preciso que
x 6= 0.
(2) Para que la fracción algebraica
1
1 − x
esté definida, x 6= 1.
(3) Si queremos determinar los valores reales de x para los cuales la expresión
x − 1
x2 + 9x + 14
está definida, tendremos que determinar los valores de x tal que
x2
+ 9x + 14 = 0.
20

Para esto, observemos que:
x2
+ 9x + 14 = 0
⇒ (x + 7)(x + 2) = 0
⇒ x1 = −7 y x2 = −2.
Por lo tanto, x 6= −7 y x 6= −2.
(4) Finalmente, si necesitamos determinar los valores reales de x que permi-
ten que la expresión
1 − x
x + a
tenga sentido, basta con resolver x + a = 0.
Es decir, x 6= −a.
Definición 14 : Mı́nima expresión
Una fracción algebraica está en su mı́nima expresión, si el numerador
y denominador no tienen factores comunes distintos de 1 y −1.
Ejemplos 19
(1)
x − 2
3x
está en su mı́nima expresión, porque ni 3 ni x son factores de
x − 2.
(2) La fracción
3x − 6
6x2
no está en su mı́nima expresión, porque
3x − 6
6x2
=
3(x − 2)
3(2x2)
=
✁
3(x − 2)
✁
3(2x2)
=
x − 2
2x2
, con x 6= 0.
(3) De igual manera,
x2
+ 5x − 14
x2 + 4x − 21
tampoco está en su mı́nima expresión.
Veamos porqué:
x2
+ 5x − 14
x2 + 4x − 21
(factorizamos)
=
(x − 2)(x + 7)
(x − 3)(x + 7)
, con x 6= −7 y x 6= 3
=
(x − 2)✘✘✘✘
(x + 7)
(x − 3)✘✘✘✘
(x + 7)
(simplificamos)
=
x − 2
x − 3
.
3.2. Suma y resta
Para sumar o restar dos o más fracciones algebraicas, vamos a proceder de
igual forma como lo hacı́amos para sumar o restar fracciones reales, utilizando
el mı́nimo común múltiplo.
Ejemplos 20
(1) Calculemos
x + 1
2
−
x − 3
4
, sabemos que el mı́nimo común múltiplo es
4.
Por lo tanto,
x + 1
2
−
x − 3
4
=
2(x + 1) − (x − 3)
4
=
2x + 2 − x + 3
4
=
x + 5
4
.
21

(2) En el caso de que calculemos
1
x + 2
−
4
x − 5
, el mı́nimo común múltiplo
es (x + 2)(x − 5). Por lo tanto,
1
x + 2
−
4
x − 5
(restamos las fracciones)
=
x − 5 − 4(x + 2)
(x + 2)(x − 5)
(reducimos la expresión)
=
x − 5 − 4x − 8
(x + 2)(x − 5)
=
−3x − 13
(x + 2)(x − 5)
(reescribimos el denominador)
=
−3x − 13
x2 − 3x − 10
.
(3) Finalmente, se nos puede presentar el caso en que tengamos que sumar
o restar fracciones algebraicas cuyos denominadores tienen factores en
común. Analicemos la suma:
3 − x
x + 1
+
x + 2
x2 + x
(factorizamos (x2
+ x))
=
3 − x
x + 1
+
x + 2
x(x + 1)
(el m.c.m- es x(x + 1))
=
x(3 − x) + x + 2
x(x + 1)
(reducimos la expresión)
=
3x − x2
+ x + 2
x(x + 1)
=
−x2
+ 4x + 2
x(x + 1)
(reescribimos el denominador)
=
−x2
+ 4x + 2
x2 + x
.
3.3. Ejercicios
I. Si a = 2, b = 3 y c = −1, calcular el valor de:
(1) a + 5b − 3c
(2)
5b + c
3a2 + a
(3)
1
b − c
+
a
4b − c
(4)
√
2a − b2
1 − c2
+
1
a
II. Determinar los valores reales de x que indeterminan a las siguientes
fracciones:
(1)
x + 2
3
(2)
3 − x
x + 1
(3)
1 + x
1 − x
(4)
x + 7
8 − 2x
(5)
4
x2 + 4
(6)
2x + 7
x2 − 1
(7)
7x
x2 + cx
(8)
x − b
x + b
(9)
4 − x
(x − 1)(x + 1)(x + 2)
(10)
1
(2x + 3)(x − 4)(x2 + 1)
(11)
x + 1
(x − 1)2(3x − 6)2
(12)
3 − a
(x + a)2(3x − b)x
III. Determinar los valores reales de x que anulan a las siguientes fracciones:
(1)
x + 2
3
(2)
3 − x
x2 + 4
(3)
1 + 3x
1 − x
(4)
4x − 7
8 − 2x
22

(5)
4
x2 + 4
(6)
2x + 7
x2 − 1
(7)
7x − c
x2 + cx
(8)
x − b
x + b
(9)
(4 − x)(x − 2)
(x − 1)(x + 1)(x + 2)
(10)
1
(2x + 3)(x − 4)(x2 + 1)
IV. Simplificar las siguientes expresiones hasta obtener una expresión irreduc-
tible, indicando los valores para los cuales la simplificación sea posible:
(1)
4x
6a
(2)
x + 2
x2 − 4
(3)
4ab
16a2b
(4)
ab3
c2
a2bc3
(5)
(x + 1)(x − 4)
(x + 2)(x − 4)
(6)
x2
+ 5x + 4
x2 + 3x − 4
(7)
x2
− 2x − 15
x2 + 2x − 15
(8)
3x
5y
(9)
x4
− 1
x6 − 1
(10)
ax(a − b)
bx(a + b)
(11)
mx − my
nx − ny
(12)
18pq − 9q2
4p2 − 2pq
(13)
m2
+ 6m + 9
m2 + 5m + 6
(14)
n2
− 11n + 28
n2 − 5n − 14
(15)
x3
− 6x2
− 40x
x4 + 8x3 + 16x2
(16)
ab − ay − bx + xy
ab − ay + bx − xy
(17)
ab − 5b − 3a + 15
a2 − 25
(18)
x4
− 1
x3 − x
(19)
ab + 3a − 2b − 6
(a2 − 4)(b2 − 9)
(20)
(b2
− 4c2
)(a2
− b2
)
b2 + ab + 2ac + 2bc
V. Calcular:
(1)
1
x
−
2
x
(2)
1
x
+
1
x − 1
(3)
3
x + 2
−
1
x − 2
(4)
1
x
+
1
x2
(5)
x − 1
x2
+
4
x
(6)
1
x − 1
+
2
x + 1
−
1
x2 − 1
(7)
1
x
−
2
x + 1
+
5x − 1
x2 + x
(8)
2
x2 + x
−
2
x
+
4
x + 1
(9)
x − 1
x + 1
−
x + 2
x − 2
+
3
x
(10)
x − 1
x − 2
−
x + 2
x + 1
+
2
x
(11)
1
x2 + 2x − 15
+
1
x2 + 8x + 15
(12)
1
x2 − 8x + 15
+
2
x2 + x − 12
(13)
x
x3 + x2
−
3
x2 + 2x + 1
+
2 − x
x2 − 1
(14)
1 − x2
x2 − 4x + 3
+
x
x2 − 5x + 6
−
2 − x
x
23

(15)
x
2
−
5x − 1
2x − 1
+
1 − x
x + 2
(16)
1 −
1
1 − x
3 +
2
x
(17)
1 −
x − 1
x + 1
1 −
x
x + 2
(18)
1
x − 1
+
2
x + 1
x
3
−
3
x
(19)
2
x −
2
x +
2
x
(20) x +
1
x +
1
x −
1
x
3.4. Respuestas
I.
(1) 20
(2) 1
(3)
21
52
(4) indeterminado.
II.
(1) nunca.
(2) x = −1
(3) x = 1
(4) x = 4
(5) nunca.
(6) x = −1 y x = 1
(7) x = 0 y x = −c
(8) x = −b
(9) x = 1, x = −1 y x = −2
(10) x = −
3
2
y x = 4
(11) x = 1 y x = 2
(12) x = −a, x =
b
3
y x = 0
III.
(1) x = −2
(2) x = 3
(3) x = −
1
3
(4) x =
7
4
(5) nunca.
(6) x = −
7
2
(7) x =
c
7
(8) x = b
(9) x = 4 y x = 2
(10) nunca.
IV.
(1)
2x
3a
(2)
1
x − 2
, con x 6= −2
(3)
1
4a
, con a 6= 0 y b 6= 0
(4)
b2
ac
, con a 6= 0, b 6= 0 y c 6= 0
(5)
x + 1
x + 2
, con x 6= 4
(6)
x + 1
x − 1
, con x 6= −4
(7) está en su mı́nima expresión.
(8) está en su mı́nima expresión.
(9)
x2
+ 1
x4 + x2 + 1
, con x 6= 1 y x 6= −1
(10)
a(a − b)
b(a + b)
, con x 6= 0
(11)
m
n
, con x 6= y
24

(12)
9q
2p
, con q 6= 2p
(13)
m + 3
m + 2
, con m 6= −3
(14)
n − 4
n + 2
, con n 6= 7
(15)
x − 10
x2 + 4x
, con x 6= 0 y x 6= −4
(16)
a − x
a + x
, con b 6= y
(17)
b − 3
a + 5
, con a 6= 5
(18)
x2
+ 1
x
, con x 6= 1 y x 6= −1
(19)
1
(a + 2)(b − 3)
, con a 6= 2 y b 6= −3
(20) (b − 2c)(a − b), con a 6= b y b 6= −2c
V.
(1) −
1
x
(2)
2x − 1
x2 − x
(3)
2x − 8
x2 − 4
(4)
x + 1
x2
(5)
5x − 1
x2
(6)
2x − 1
x2 − 1
(7)
4
x + 1
(8)
2
x + 1
(9) −
3x2
+ 3x + 6
x3 − x2 − 2x
(10)
2x2
+ x − 4
x3 − x2 − 2x
(11)
2x
x3 + 5x2 − 9x − 45
(12)
3x − 6
x3 − 4x2 − 17x + 60
(13) −
x3
+ x2
− 5x + 1
x4 + x3 − x2 − x
(14) −
5x2
− 18x + 12
x3 − 5x2 + 6x
(15)
2x3
− 11x2
− 14x + 2
4x2 + 6x − 4
(16)
x2
3x2 − x − 2
(17)
x + 2
x + 1
(18)
9x3
− 3x
x4 − 10x2 + 9
(19)
2x2
+ 4
x3
(20)
x4
+ x2
− 1
x3
25

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 4 ECUACIONES LINEAL Y CUADRÁTICA
SECCIÓN 4
Ecuaciones lineal y cuadrática
Definición 15 : Ecuación y sus caracterı́sticas
(1) Una ecuación es una igualdad en la cual al menos una de las
expresiones es algebraica.
(2) Las variables o incógnitas son las letras que aparecen en una
ecuación.
(3) El grado de una ecuación viene dado por el mayor exponente
de la incógnita.
(4) Solucionar una ecuación es determinar los valores de las incógni-
tas que transformen la ecuación en una identidad.
(5) Dos ecuaciones son equivalentes, si tienen las mismas soluciones.
Ejemplos 21
(1) Las igualdades
3x + y = 6 y
1
x
+ 7 = 6x
son ecuaciones, la primera tiene incógnitas x e y, mientras que la incógni-
ta de la segunda ecuación es x.
(2) La ecuación
3x4
− 4x + 5 = 3
es de grado 4 y su incógnita es x.
(3) La solución de la ecuación
4x − 1 = 3
es x = 1, porque
4(1) − 1 = 3.
Mientras que
x2
− 2x − 14 = 1
tiene dos soluciones, x = −3 y x = 5, por que
(−3)2
− 2(−3) − 14 = 1
y
(5)2
− 2(5) − 14 = 1.
(4) Como x = 1 es solución de
2x − 1 = 1 y 2x − 3 = −1,
entonces ambas ecuación son equivalentes.
En la siguiente subsección analizaremos el procedimiento para resolver ecua-
ciones de primer y segundo grado.
4.2. Resolución
Para resolver ecuaciones vamos a realizar operaciones aritméticas para cons-
truir ecuaciones equivalentes. Para esto sólo podemos aplicar las siguientes
propiedades.
Primera propiedad: Sumar una misma expresión a las dos partes de la
igualdad.
Segunda propiedad: Multiplicar por un número diferente de cero las dos
partes de la igualdad.
26

4.2.1. Ecuación de primer grado
Definición 16 : Ecuación de primer grado
Una ecuación de primer grado es una ecuación que involucra sola-
mente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
Esta ecuación tiene la estructura
ax + b = 0, con a, b ∈ R y a 6= 0.
Ejemplos 22
(1) La ecuación
4x − 3 = 9,
es de primer grado. Para resolverla sólo utilizaremos las propiedades
mencionadas anteriormente, es decir,
4x − 3 = 9 /+ 3 sumamos 3)
⇒ 4x = 12

·
1
4
(simplificamos por 4)
⇒ x = 3.
Por lo tanto, la solución de esta ecuación es x = 3.
(2) Para determinar el grado de la ecuación
x(x − 1) + 7 = (x + 2)2
,
vamos a reducirla. Es decir,
x(x − 1) + 7 = (x + 2)2
(realizamos los productos)
⇒ x2
− x + 7 = x2
+ 4x + 4

+ (−x2
) (restamos x2
⇒ −x + 7 = 4x + 4 ecuación de primer grado)
⇒ 7 − 4 = 4x + x
⇒ 3 = 5x
⇒
3
5
= x.
(3) La siguiente ecuación es un caso interesante
(x + 1)2
− 4 = x(x + 2).
Veamos porqué
(x + 1)2
− 4 = x(x + 2)
⇒ x2
+ 2x + 1 − 4 = x2
+ 2x
⇒ 2x − 3 = 2x
⇒ −3 = 0.
Lo cual no es verdadero, por lo tanto la ecuación no tiene solución.
4.2.2. Ecuación de segundo grado
Definición 17 : Ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una
ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable cuya
mayor potencia es 2.
Esta ecuación tiene la estructura
ax2
+ bx + x = 0, con a, b, c ∈ R y a 6= 0.
Veamos cómo resolver este tipo de ecuaciones.
Primer caso: Supongamos que c = 0, es decir, la ecuación a resolver es de
la forma
ax2
+ bx = 0.
Observemos que:
ax2
+ bx = 0
⇒ x(ax + b) = 0
⇒
x1 = 0
x2 = −
b
a
)
27

Ejemplos 23
(1) Determinemos las soluciones de
4x2
− 7x = 0,
en este caso a = 4 y b = −7.
Por lo tanto,
4x2
− 7x = 0
⇒ x(4x − 7) = 0
⇒
x1 = 0
x2 =
7
4
)
(2) En el caso de resolver la ecuación
x(5x − 6) = (3x − 5)2
+ 24x,
primero reducimos las expresiones y luego determinamos las soluciones.
Es decir,
x(5x − 6) + 25 = (3x + 5)2
⇒ 5x2
− 6x + 25 = 9x2
+ 30x + 25
⇒ 0 = 4x2
+ 36x
⇒ 0 = x(4x + 36)
⇒
x1 = 0
x2 = −9

Observación 4 En este tipo de ecuaciones, x = 0 es siempre una solución.
Segundo caso: Supongamos que b = 0, es decir, la ecuación a resolver es
de la forma
ax2
+ c = 0.
Observemos que:
ax2
+ c = 0
⇒ ax2
= −c
⇒ x2
= −
c
a
Observación 5 Este tipo de ecuaciones sólo tiene solución real si

−
c
a

es
positivo o cero. Además,
(1) −
c
a
= 0 si y sólo si c = 0.
(2) −
c
a
0 si y sólo si a y c tienen distinto signo.
Tercer caso: Supongamos que b 6= 0 y c 6= 0, es decir, la ecuación es de la
forma
ax2
+ bx + c = 0.
Tenemos dos formas para determinar las soluciones de una ecuación cuadráti-
ca, la primera es a través de una factorización y la segunda es utilizando la
fórmula de la ecuación de segundo grado, la cual afirma que las soluciones
son de la forma:
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
.
Ejemplos 24
(1) Para resolver la ecuación
x2
− x − 42 = 0,
basta con factorizar el trinomio ordenado.
Es decir,
x2
− x − 42 = 0
⇒ (x − 7)(x + 6) = 0
⇒
x1 = 7
x2 = −6

28

(2) Determinemos las soluciones de la ecuación
(x + 1)(x − 3) + 2 = −7(x + 1),
de la siguiente manera
(x + 1)(x − 3) + 2 = −7(x + 1)
⇒ x2
− 2x − 3 + 2 = −7x − 7
⇒ x2
− 2x − 1 = −7x − 7
⇒ x2
+ 5x + 6 = 0
⇒ (x + 3)(x + 2) = 0
⇒
x1 = −2
x2 = −3

(3) Analicemos la siguiente ecuación:
(x + 2)2
− (x + 1)(x − 1) = 3x(4x + 2) − 6
⇒ x2
+ 4x + 4 − (x2
− 1) = 12x2
+ 6x − 6
⇒ x2
+ 4x + 4 − x2
+ 1 = 12x2
+ 6x − 6
⇒ 4x + 5 = 12x2
+ 6x − 6
⇒ 0 = 12x2
+ 2x − 11
Esta última expresión no es trivial de factorizar, por lo que utilizaremos
la fórmula
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
.
En nuestro caso, a = 12, b = 2 y c = −11.
Luego,
x =
−2 ±
√
22 − 4 · 12 · −11
2 · 12
=
−2 ±
√
4 + 528
24
=
−2 ±
√
532
24
=
−2 ±
√
133 · 4
24
=
−2 ± 2
√
133
24
=
−1 ±
√
133
12
Por lo tanto, las soluciones son:
x1 =
−1 +
√
133
12
y x2 =
−1 −
√
133
12
(4) Analicemso ahora la ecuación
4x2
+ x + 15 = 0.
Vemos que a = 4, b = 1 y c = 15, luego
x =
−1 ±
√
12 − 4 · 4 · 15
2 · 4
=
−1 ±
√
1 − 240
8
Podemos observar que las soluciones no son reales.
29

4.3. Ejercicios
Encontrar el valor de x de las siguientes ecuaciones:
(1) 4x − 3 = 5x + 7
(2) 3(x + 3) = 7 − (5 − 2x)
(3) x − 3 − 2(6 − 2x) = 2(2x − 5)
(4)
x − 1
6
−
2x − 3
8
− 5 =
x + 10
4
(5)
5(2x − 3)
3
+ 5 −
2x − 5
4
=
3(5x − 2)
2
(6) 3

x −
3x − 1
4
−

1 − 2

x −
3 + x
5

= 5x − 2
(7)
8
3x − 3
−
2 + x
x − 1
=
5
2 − 2x
−
5
18
(8)
3 − 2x
1 − 2x
−
2x − 5
2x − 7
− 1 =
2(1 − 2x2
)
4x2 − 16x + 7
(9)
12x2
+ 30x − 21
16x2 − 9
=
3x − 7
3 − 4x
+
6x + 5
4x + 3
(10) 5x2
− 12x + 4 = 0
(11) x2
− 2(
√
3 + 1)x + 2
√
3 = 0
(12) (x − 3)2
+ (x + 4)2
− (x − 5)2
= 17x + 24
(13) (5 + x)2
− (2 − x)2
− (7 + x)(7 − x) = 11x + 30
4.4. Respuestas
(1) −10
(2) −7
(3) 5
(4) −
175
8
(5)
51
56
(6)
11
53
(7) 4
(8) −
7
8
(9) 3
(10)

2,
2
5

(11)
√
3 + 3,
√
3 − 1
(12) {8, −3}
(13)
(
−3 +
√
241
2
,
−3 −
√
241
2
)
30

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 5 ECUACIONES EXPONENCIALES
CAPÍTULO II
EXPONENCIAL Y
LOGARITMO
SECCIÓN 5
Ecuaciones exponenciales
Sabemos que 23
= 8, sin embargo si necesitáramos conocer el valor de x tal
que 2x
= 16 tendrı́amos que determinar la potencia de 2 tal que el resultado
sea 16. En este caso x = 4, por que 24
= 16. El objetivo principal de esta
sección es abordar los métodos de resolución a este tipo de ecuaciones.
Definición 18 : Ecuación exponencial
Una ecuación exponencial es una ecuación en la cual la incógnita
aparece en algún exponente.
Ejemplos 25 Las siguientes ecuaciones son exponenciales:
(1) 24x
= 32 (2) 3x
− 35x−2
= 6 (3) ex
= 12
5.2. Resolución
Resolvamos las siguientes ecuaciones exponenciales.
Ejemplos 26
(1) Comenzamso con la ecuación 43x−1
= 16.
Lo primero que haremos es dejar a mabos lados de la ecuación potencias
de igual base, es decir,
43x−1
= 16 ⇒ 43x−1
= 42
Luego, para que se cumpla dicha igualdad, ambos exponentes deben ser
iguales, es decir,
3x − 1 = 2 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1.
(2) En el caso que tengamos la ecuación 74x−1
= 1, necesitaremos recordar
que 1 = 70
. Por lo tanto,
74x−1
= 1 ⇒ 74x−1
= 70
Lo cual implica que
4x − 1 = 0 ⇒ 4x = 1 ⇒ x =
1
4
Verificando obtenemos que,
74x−1
= 74·1
4
−1
= 71−1
= 70
= 1.
(3) Resolvamos ahora la ecuación 271−x
=

1
3
4x+3
.
31

Expresando ambas potencias en base 3, obtenemos que
271−x
=

1
3
4x+3
⇒ 33
1−x
= 3−1
4x+3
⇒ (3)3−3x
= (3)−4x−3
Luego resolvemos
3 − 3x = −4x − 3
⇒ −3x + 4x = −3 − 3
⇒ x = −6
(4) En la siguiente ecuación 2x+1
+2x+1
= 32 primero reducimos los términos
semejantes del lado izquierdo, es decir
2x+1
+ 2x+1
= 32
⇒ 2 2x+1

= 32
⇒ 2x+2
= 25
⇒ x + 2 = 5
⇒ x = 3
(5) Dada la ecuación
4x
− 4 · 2x
= 2x
− 4
observemos que
4x
− 4 · 2x
= 2x
− 4
⇒ 22
x
− 4 · 2x
− 2x
+ 4 = 0
⇒ 22
x
− 5 · 2x
+ 4 = 0
⇒ (2x
)2
− 5 · 2x
+ 4 = 0
Realizamos un cambio de variable, considerando u = 2x
, luego
(2x
)2
− 5 · 2x
+ 4 = 0
⇒ u2
− 5u + 4 = 0
⇒ (u − 4)(u − 1) = 0
⇒
u1 = 4
u2 = 1

Por lo que tenemos dos opciones:
Primera opción:
u1 = 4 ⇒ 2x
= 22
⇒ x1 = 2
Segunda opción:
u1 = 1 ⇒ 2x
= 20
⇒ x2 = 0
(6) Resolvamos la ecuación
3x+1
− 3 −
4
3x
= 2 · 3x
Observemos que
3x+1
− 3 −
4
3x
= 2 · 3x
⇒ 3 · 3x
− 3 −
4
3x
− 2 · 3x
= 0
⇒ 3x
− 3 −
4
3x
= 0 /3x
⇒ (3x
)2
− 3 · 3x
− 4 = 0
Sea u = 3x
, luego
(3x
)2
− 3 · 3x
− 4 = 0
⇒ u2
− 3u − 4 = 0
⇒ (u − 4)(u + 1) = 0
32

Por lo que u1 = 4 y u2 = −1.
Descartamos la posibilidad que u = −1, porque no existe x real tal que
3x
= −1.
Por otro lado,
u1 = 4 ⇒ 3x
= 4 ⇒ log(3x
) = log(4)
⇒ x log(3) = log(4)
⇒ x =
log(4)
log(3)
(7) Resolvamos la ecuación
5x
− 3 −
21
5x
= 1
Veamos que
5x
− 3 −
21
5x
= 1
⇒ (5x
)2
− 3 · 5x
− 21 = 5x
⇒ (5x
)2
− 4 · 5x
− 21 = 0
Sea u = 5x
, entonces
(5x
)2
− 4 · 5x
− 21 = 0
⇒ u2
− 4u − 21 = 0
⇒ (u − 7)(u + 3) = 0
⇒
u1 = 7
u2 = −3

Descartamos la posibilidad que u = −3, mientras que si u = 7 entonces
x =
log(7)
log(5)
.
5.3. Ejercicios
Determinar las soluciones reales de las siguientes ecuaciones exponenciales:
(1) 24x−3
= 325−x
(2)

1
64
1−x
= 44x+1
(3) 34x−2
= 9−(x+1)
(4)
3x
q
3
p
3x
√
9 = 32x
(5) 22x
+ 22x−1
+ 22(x−1)
+ 22x−2
= 2.048
(6) 4ex
− 5e−x
+ ex
= 0
(7) 9x
− 6 · 3x
+ 81 = 0
(8) 1 + 9x
− 3x+1
= 3x−1
(9) 4x
+ 16 + 7 · 2x
= −16 − 5 · 2x
(10) 5x
= 6 − 51−x
(11) 3 · 3x
= 243
(12) 22x−1
= 0, 5x−1
(13) 7 ·
5
√
3432x =

1
49
3x−1
(14) 3x2−6x−7
= 1
(15) 121x
− 10 · 11x
= 11
(16)
2x
27
=
8
3x
(17) 3x
+
1
3x−1
= 4
(18) 4x+1
+ 2x+3
= 320
33

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 6 LOGARITMO
5.4. Respuestas
(1)
28
9
(2) −4
(3) 0
(4)
1
3
(5) 5
(6) 0
(7) No tiene solución en R
(8) {−1, 1}
(9) No tiene solución en R
(10) {0, 1}
(11) 4
(12)
2
3
(13)
5
36
(14) {−1, 7}
(15) 1
(16) 3
(17) {0, 1}
(18) 3
SECCIÓN 6
Logaritmo
Definición 19 : Logaritmo y sus elementos
El logaritmo de un número positivo, en una base positiva diferente
de la unidad, es el exponente real al cual se debe de elevar dicha base
para obtener el número dado.
Es decir,
loga(b) = c si y sólo si ac
= b,
a recibe el nombre de base del logaritmo, mientras que b es el argu-
mento.
Ejemplos 27
(1) log2(32) = 5 −→ 25
= 32
Se lee: El logaritmo de 32 en base 2 es 5, porque 5 es el exponente al
que se le debe elevar la base 2 para obtener 32.
(2) log3(81) = 4 −→ 34
= 81
(3) log5(125) = 3 −→ 53
= 125
34

6.2. Propiedades de los logaritmos
En esta subsección enunciaremos las propiedades de los logaritmos más uti-
lizadas y demostraremos algunas de ellas.
Propiedades 6
Para todos a, b, c ∈ R, para los cuales los argumentos de los logaritmos
son positivos, se cumple que:
(1) Logaritmo de un producto:
logc(ab) = logc(a) + logc(b).
(2) Logaritmo de una división:
logc
a
b

= logc(a) − logc(b).
(3) Logaritmo de una potencia:
logc (an
) = n logc(a).
(4) Logaritmo con argumento y base iguales
logc(c) = 1.
(5) logcm (cn
) =
n
m
; (c 0 ∧ c 6= 1).
(6) logbm (an
) =
n
m
logb(a).
(7) Logaritmo de 1:
logc(1) = 0.
(8) logb(a) =
1
loga(b)
.
(9) logb(a) =
logc(a)
logc(b)
.
(10) alogb(c)
= clogb(a)
; (a 0 ∧ c 0).
(11) logc
a
b

= − logc

b
a

.
(12) log10(a) = log a.
Veamos la demostración de algunas de estas propiedades.
Demostración. Si consideramos
m = logc(a)
n = logc(b)

⇒
a = cm
b = cn

.
Por lo tanto,
ab = cm
cn
= cm+n
⇒ logc(ab) = m + n = logc(a) + logc(b)
y
a
b
=
cm
cn
= cm−n
⇒ logc
a
b

= m − n = logc(a) − logc(b)
Por lo que quedan demostradas las dos primeras propiedades.
35

Luego para demostrar la tercera propiedad, aplicamos la primera propiedad
obteniendo que
logc (an
) = logc (a · a . . . a)
| {z }
n− veces
= logc(a) + logc(a) + . . . + logc(a)
| {z }
n− veces
= n logc(a)
En la siguiente definición se introduce el concepto de logaritmo natural.
Definición 20 : Logaritmo natural
El logaritmo natural de a, denotado por ln(a), es simplemente un
logaritmo en base e.
Es decir,
ln(a) = loge(a).
El logaritmo natural hereda las mismas propiedades de los logaritmos.
6.3. Operatoria
En el siguiente ejemplo, aplicaremos algunas de las propiedades vistas en el
apartado anterior.
Ejemplos 28 Calculemos
log2(8) − log3(9) + log(1.000)
Podemos expresar 8, 9 y 1.000 en potencias iguales a la base del logatirmo.
Es decir
log2 23

− log3 32

+ log 103

= 3 − 2 + 3 = 4.
6.4. Ejercicios
Aplicando las propiedades de los logaritmos, desarrollar los siquientes proble-
mas.
(1) log4(64) + log8(512) − log2(8)
(2) log(0, 001) + log0,3(0, 0081)
(3) log

75
16

− 2 log

5
9

+ log

32
243

(4) log8(16) + log343(49
√
7) + log3(27 3
√
3)
(5) log√
3

1
9
0,5
(6) log 15
√
512(8 5
√
64) + log 15
√
216(6 5
√
36)
(7) log2

(0, 125)3 5
√
2

(8)
2 log√
2( 4
√
10) − log2(5)
1
2
+ log42 (4)
(9) log4
√
2(2 3
√
2) − log25(5 3
√
5)
(10)
4
r
7log5(15)
+ 32+log5(7)
7log5(3)
(11)
1
1 + loga(bc)
+
1
1 + logb(ac)
+
1
1 + logc(ab)
6.5. Respuestas
(1) 3
(2) 1
(3) log(2) (4)
11
2
(5) −2
(6) 14
36

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 7 ECUACIONES LOGARÍTMICAS
(7) −
44
5
(8)
1
2
(9) −
2
15
(10) 2
(11) 1
SECCIÓN 7
Ecuaciones logarı́tmicas
Definición 21 : Ecuación logarı́tmica
Una ecuación logarı́tmica es aquella ecuación en la que aparecen
logaritmos conteniendo incógnitas.
Sea la ecuación:
loga P = loga Q ⇒ P = Q
con P 0; Q 0 y a 0; a 6= 1.
Ejemplos 29 Resolvamos las siguientes ecuaciones logarı́tmicas:
(1) log6(x + 3) = 1 − log6(x − 2)
Observemos que
log6(x + 3) = 1 − log6(x − 2)
⇒ log6(x + 3) + log6(x − 2) = 1
⇒ log6(x + 3)(x − 2) = 1
⇒ (x + 3)(x − 2) = 6
⇒ x2
+ x − 6 = 6
⇒ x2
+ x − 12 = 0
⇒ (x + 4)(x − 3) = 0
⇒
x1 = −4
x2 = 3

Descartamos la posibilidad que x = −4, dado que los argumentos quedan
negativos. Mientras que, x = 3 se acepta.
37

(2) 1 − log13(x + 5) = log13(x − 7) Vemos que
1 − log13(x + 5) = log13(x − 7)
⇒ 1 = log13(x − 7) + log13(x + 5)
⇒ 13 = (x − 7)(x + 5)
⇒ 13 = x2
− 2x − 35
⇒ 0 = x2
− 2x − 48
⇒ 0 = (x − 8)(x + 6)
⇒
x1 = 8
x2 = −6

Descartamos la posibilidad que x = −6, por lo que la solución es x = 8.
(3) log2(x) − log2(3x + 10) = 3
Aplicando propiedades de logaritmos, obtenemos que
log2(x) − log2(3x + 10) = 3
⇒ log2

x
3x + 10

= 3
⇒
x
3x + 10
= 8
⇒ x = 24x + 80
⇒ x = −
80
23
Como este valor de x hace que los argumentos sean negativos, entonces
la ecuación original no tiene solución en R.
(5) log(3x + 2) − log(x − 4) = 1
Observemos que
log(3x + 2) − log(x − 4) = 1
⇒ log

3x + 2
x − 4

= 1
⇒
3x + 2
x − 4
= 10
⇒ 3x + 2 = 10x − 40
⇒ x = 6
Como x = 6 hace cada argumento sea positivo, entonces sı́ es solución
de la ecuación original.
7.2. Ejercicios
I. En la siguiente tabla, reemplazar el valor de x en la expresión logarı́tmica
e indicar si tiene sentido en R:
Valor de x Expresión logarı́tmica Tiene sentido en R
5 log30(x)
−3 log2(x + 6)
−2 log20(x)
2 log12(x − 4)
−7 log3(x2
+ 1)
−7 ln(1 − x)
1 log(x) − log(3 + x)
3 log(1 − x) + log(x)
II. En la siguiente tabla,:
(1) Determinar las soluciones de la ecuación.
(2) Reemplazar los valores de x en la expresión logarı́tmica.
38

(3) Indicar los valores de x, determinados en el apartado anterior, para
los cuales la expresión logarı́tmica tiene sentido en R
Ecuación Expresión logarı́tmica Valor de x que
tiene sentido
x − 5 = 0 log7(x + 3)
x2
− 4 = 0 log2(x)
x2
− 5x − 6 = 0 log5(x)
x2
− 1 = 0 log7(x − 4)
(x + 2)2
− 4 = 0 log3(x2
+ 1)
x(x + 3) − 3 = 0 ln(1 − x)
x2
+ x = 0 log(x) − log(3 + x)
x3
− x = 0 log(1 − x) + log(x)
III. Resolver las siguientes ecuaciones:
(1) log(7 − x) = log(x − 3)
(2) log2(x) − log2(x − 3) = 1
(3) log(3x + 2) = log(x − 4) + 1
(4) log(3x) + log(3x + 1) = 2 log(3x + 2)
(5) log(
√
x − 1) = log(x + 1) − log(
√
x + 4)
(6)
log(x3
+ 61)
log(x + 1)
= 3
(7) log2(9x−1
+ 7) = 2 + log2(3x−1
+ 1)
(8) loga(x) = y
(9)
1 + log(x2
)
log(x)
= 3
(10)
log3(x)
2
+ 3 log3(9) = 1
7.3. Respuestas
I.
Valor de x Expresión logarı́tmica Tiene sentido en R
5 log30(x) Sı́
−3 log2(x + 6) Sı́
−2 log20(x) No
2 log12(x − 4) No
−7 log3(x2
+ 1) Sı́
−7 ln(1 − x) Sı́
1 log(x) − log(3 + x) Sı́
3 log(1 − x) + log(x) No
II.
Ecuación Expresión logarı́tmica Valor de x que
tiene sentido
x − 5 = 0 log7(x + 3) 5
x2
− 4 = 0 log2(x) 2
x2
− 5x − 6 = 0 log5(x) 6
x2
− 1 = 0 log7(x − 4) Ninguno
(x + 2)2
− 4 = 0 log3(x2
+ 1) 0 y −4
x(x + 3) − 3 = 0 ln(1 − x)
−3 +
√
21
2
x2
+ x = 0 log(x) − log(3 + x) 1
x3
− x = 0 log(1 − x) + log(x) Ninguno
III.
(1) 5
(2) 6
(3) 6
(4) Sin solución en
R
(5) 5
(6) 4
(7) {1, 2}
(8) ay
(9) 10
(10) 3−10
39

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 8 ÁNGULOS
CAPÍTULO III
TRIGONOMETRÍA
SECCIÓN 8
Ángulos
Dentro del estudio de cualquier disciplina en matemática, las letras del alfa-
beto griego son bastante utilizadas y comúnmente denotan ángulos.
La siguiente tabla muestra las letras griegas y sus nombres:
Mayúscula Minúscula Nombre
A α alfa
B β beta
Γ γ gamma
∆ δ delta
E ǫ epsilon
Z ζ zeta
H η eta
Θ θ theta
I ι iota
K κ kappa
Mayúscula Minúscula Nombre
Λ λ lambda
M µ mu
N ν nu
Ξ ξ xi
O o omicron
Π π pi
P ρ rho
Σ σ sigma
T τ tau
Y υ ipsilon
Φ φ fi
X χ chi
Ψ ψ psi
Ω ω omega
Definición 22 : Ángulo y sus caracterı́sticas
(1) Un ángulo es una figura formada por dos rayos que tienen un
origen en común.
(2) El sentido horario es la misma dirección al movimiento de las
manecillas del reloj.
(3) El sentido antihorario es la dirección opuesta al movimiento de
las manecillas del reloj.
(4) Un ángulo es positivo si se mide en sentido antihorario, en caso
contrario el ángulo es negativo.
Observación 6 Por convención, los ángulos se miden desde el eje positivo
40

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 8 ÁNGULOS
de las abscisas en sentido antihorario.
8.2. Medidas de ángulos
Para medir ángulos podemos utilizar distintos sistemas de medición, los más
usuales son: sistema sexagesimal y sistema radial.
8.2.1. Sistema sexagesimal
En este sistema una vuelta completa equivale a 360 grados, denotado por
360◦
. Por lo tanto,
270◦
equivalen a
3
4
de vuelta.
180◦
equivalen a media vuelta.
90◦
equivalen a un cuarto de vuelta.
Ahora podemos definir los siguientes conceptos:
Definición 23 : Tipos de ángulos
Se definen los siguientes ángulos:
(1) Un ángulo agudo es aquel ángulo mide menos de 90◦
.
(2) Un ángulo recto es aquel ángulo que mide 90◦
.
(3) Un ángulo extendido es aquel ángulo que mide 180◦
.
(4) Un ángulo completo es aquel ángulo que mide 360◦
.
(5) Un grado sexagesimal, denotado por 1◦
, es la noventava parte
de un ángulo recto.
8.2.2. Sistema radial
Definición 24 : Radián
Un radián, denotado por 1 rad, es la medida de un ángulo cuyo arco
mide lo mismo que el radio con el que se ha trazado.
8.2.3. Equivalencia de sistemas
Observemos que un ángulo de 360◦
tiene por arco una circunferencia completa
de radio r y la longitud de dicho arco es el perı́metro de la circunferencia, es
decir P = 2πr.
Además, tenemos que en la circunferencia hay
P
r
ángulos de 1 rad.
Por lo tanto,
360◦
=
P
r
=
2πr
r
= 2π.
Es decir, 360◦
= 2π rad ó π rad = 180◦
.
8.3. Ejercicios
I Expresar los siguientes ángulos en grados sexagesimales:
(1) α =
3π
7
(2) β = −
4π
5
(3) γ = −
7π
2
(4) α =
10π
3
(5) β =
12π
5
(6) γ = −
π
6
(7) α =
9π
7
(8) β = −
42π
5
41

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 9 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
II Expresar los siguientes ángulos en radianes:
(1) α = −30◦
(2) β = −20, 5◦
(3) γ = 795◦
(4) α = −37, 5◦
(5) β = −700, 5◦
(6) γ = 4.000◦
(7) α = 123, 5◦
(8) β = 130, 25◦
8.4. Respuestas
I Expresar los siguientes ángulos en grados sexagesimales:
(1) 77, 14◦
(2) −144◦
(3) −630◦
(4) 600◦
(5) 432◦
(6) −30◦
(7) 231, 43◦
(8) −1.512◦
II Expresar los siguientes ángulos en radianes:
(1) −
π
6
(2) −0, 1138π
(3) 4, 417π
(4) −0, 2083π
(5) −3, 891π
(6) 22, 2π
(7) 0, 686π
(8) 0, 7236π
SECCIÓN 9
Razones trigonométricas
Definición 25 : Triángulo y triángulo rectángulo
(1) Un triángulo es un polı́gono de 3 lados.
(2) Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto.
El siguiente hecho nos va a ser de bastante utilidad en nuestro estudio de la
trigonometrı́a.
Propiedades 7 : Suma de los ángulos interiores de un
triángulo
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180◦
.
Considerando el triángulo rectángulo
presentamos la siguiente definición.
42

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 9 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Definición 26 : Elementos de un triángulo rectángulo
(1) El lado c recibe el nombre de hipotenusa, denotado por H, es el
lado más largo del triángulo.
(2) Los lados a y b reciben el nombre de catetos.
(3) Con respecto a α, a es el cateto adyacente, denotado por CA,
y b cateto opuesto, denotado por CO.
Existe una propiedad que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo y fue comprobada en el siglo V I a. C., y afirma lo siguiente:
Teorema 1 : de Pitágoras
El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.
Es decir,
c2
= a2
+ b2
.
Ahora, definiremos un conjunto de conceptos denominados razones trigo-
nométricas, para esto vamos a considerar un triángulo rectángulo y a uno de
sus ángulos agudos lo llamaremos α.
Definición 27 : Razones trigonométricas
(1) Las razones trigonométricas son las relaciones entre los lados
de un triángulo rectángulo.
(2) Las razones trigonométricas básicas son 3, seno, coseno y
tangente.
seno de α, denotado por sen(α), es el cuociente de la lon-
gitud del cateto opuesto y la de la hipotenusa.
Es decir,
sen(α) =
CO
H
=
b
c
.
coseno de α, denotado por cos(α), es el cuociente de la
longitud del cateto adyacente y la de la hipotenusa.
Es decir,
cos(α) =
CA
H
=
a
c
.
tangente de α, denotado por tan(α), es el cuociente de la
longitud del cateto opuesto y la del cateto adyacente.
Es decir,
tan(α) =
CO
CA
=
b
a
.
Observación 7 Como la longitud de los catetos no puede ser superior a la
longitud de la hipotenusa, entonces tanto seno como coseno no pueden ser
mayores a 1.
Propiedades 8 : Identidad trigonométrica de la tangente
Tenemos que tan(α) =
sen(α)
cos(α)
, para todo α tal que cos(α) 6= 0.
43

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 10 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
9.2. Ejercicios
Utilizando calculadora, indicar el valor de:
(1) cos(30◦
)
(2) sen

3
8
π

(3) tan
π
8

(4) cos−1
(0, 64)
(5) tan(45◦
)
(6) sen−1
(1, 1)
(7) π cos(π)
(8) 1 − tan

6
13
π

(9) sen(30◦
) − 2 cos(π)
(10) sen2

81π
2

+ cos2

81π
2

(11) cos(−20◦
)sen(40◦
) − 0, 2
(12) 1 − tan(π) + sen(32, 2◦
)
9.3. Respuestas
(1) 0, 5
(2) 0, 9238
(3) 0, 414
(4) 50, 2◦
(5) 1
(6) No existe
(7) −π
(8) −7, 235
(9) 2, 5
(10) 1
(11) 0, 104
(12) 0, 367
SECCIÓN 10
Funciones trigonométricas
Definición 28 : Función, imagen, preimagen y función
trigonométrca
(1) Sean A y B dos conjuntos no vacı́os. Una función de A en
B, denotado por f : A → B, es una relación de A a B en la
que para cada a ∈ A, existe un único elemento b ∈ B tal que
f (a) = b.
(2) Sea f : A → B una función, b es la imagen de a mediante
f o equivalentemente a es la preimagen de b mediante f, si
f (a) = b.
(3) Una función trigonométrica es una función establecida con el
fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos
los números reales y complejos.
44

10.2. Gráficas de funciones trigonométricas
Las siguientes son gráficas de algunas funciones trigonométricas:
Función f(x) = sen(x)
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
−π
2
−π
−3π
2
−2π
−5π
2
−3π
x
y
Función f(x) = cos(x)
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
−π
2
−π
−3π
2
−2π
−5π
2
−3π
x
y
Función f(x) = tan(x)
x
y
De las gráficas podemos observar que:
Propiedades 9
(1) −1 ≤ cos(x) ≤ 1 y −1 ≤ sen(x) ≤ 1 para todo x ∈ R.
Es decir,
Dom(sen(x)) = Dom(cos(x)) = R
y
Rec(sen(x)) = Rec(cos(x)) = [−1, 1].
(2) Dom(tan(x)) = R −
n
x ∈ R : x =
π
2
+ kπ, k ∈ R
o
y
Rec(tan(x)) = R.
45

10.2.1. Gráfica de sen(mx)
Recordemos que la gráfica de f(x) = sen(x) es:
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
−π
2
−π
−3π
2
−2π
−5π
2
−3π
x
y
Función f(x) = sen (2x)
x
y
Función f(x) = sen(3x)
x
y
Función f(x) = sen(4x)
x
y
46

Función f(x) = sen
x
2

x
y
Función f(x) = sen
x
3

x
y
10.2.2. Gráfica de cos(mx)
Recordemos que la gráfica de f(x) = cos(x) es:
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
−π
2
−π
−3π
2
−2π
−5π
2
−3π
x
y
Función f(x) = cos(2x)
x
y
47

x
y
x
y
Función f(x) = cos
x
2

x
y
Función f(x) = cos
x
3

x
y
48

10.2.3. Gráfica de tan(mx)
Recordemos que la gráfica de f(x) = tan(x) es:
x
y
Función f(x) = tan(2x)
x
y
Función f(x) = tan (3x)
x
y
Función f(x) = tan
x
2

x
y
49

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 11 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
x
3

x
y
x
4

x
y
SECCIÓN 11
Identidades trigonométricas
Definición 29 : Identidad trigonométrica
Una identidad trigonométrica es una igualdad de funciones trigo-
nométricas que es válida para todos los valores del ángulo en los que
están definidas las funciones.
11.1. Identidades fundamentales
Ya habı́amos planteado que:
(1) sen(α) =
1
cosec(α)
(2) cosec(α) =
1
sen(α)
(3) cos(α) =
1
sec(α)
(4) sec(α) =
1
cos(α)
(5) tan(α) =
sen(α)
cos(α)
(6) cotan(α) =
1
cotan(α)
=
cos(α)
sen(α)
El listado de igualdades presentado anteriormente se denominan identidades
trigonométricas fundamentales.
El siguiente resultado nos presenta algunas identidades trigonométricas que
serán de utilidad, dichas igualdades se denominan identidades pitagóricas.
50

Propiedades 10 : Identidades trigonométricas
Se cumple que:
(1) sen2
(α) + cos2
(α) = 1
(2) sec2
(α) = 1 + tan2
(α)
(3) cosec2
(α) = 1 + cotan2
(α)
Demostración.
(1) Para demostrar la primera igualdad, observemos que
sen2
(α) + cos2
(α) =

CO
H
2
+

CA
H
2
=
CO2
+ CA2
H2
=
H2
H2
= 1.
(2) Para demostrar que sec2
(α) = 1 + tan2
(α), vamos a reescribir la expre-
sión del lado derecho. Es decir,
1 + tan2
(α) = 1 + (tan(α))2
= 1 +

sen(α)
cos(α)
2
= 1 +
sen2
(α)
cos2(α)
=
cos2
(α) + sen2
(α)
cos2(α)
=
1
cos2(α)
= sec2
(α)
(3) De manera análoga, vemos que
1 + cotan2
(α) = 1 +
1
tan2
(α)
= 1 +
cos2
(α)
sen2(α)
=
sen2
(α) + cos2
(α)
sen2(α)
=
1
sen2(α)
= cotan2
(α).
11.2. Demostración de identidades
Para demostrar que una igualdad es una identidad trigonométrica, escogemos
la expresión de uno de los lados de la ecuación y la reescribimos, utilizando
las identidades conocidas. Se recomienda expresar en términos de senos y
cosenos. En el caso que observemos que una identidad no necesariamente se
cumple, podemos tomar un ángulo y sustituirlo en la identidad para verificar
el no cumplimiento de la misma, estos es lo que se denomina contraejemplo.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplos 30 Verifiquemos si se cumplen las siguientes identidades:
(1) 2 tan(α) sec(α) =
1
1 − sen(α)
−
1
1 + sen(α)
Desarrollemos la expresión del lado derecho,
1
1 − sen(α)
−
1
1 + sen(α)
=
1 + sen(α) − (1 − sen(α))
(1 − sen(α))(1 + sen(α))
51

=
1 + sen(α) − 1 + sen(α)
1 − sen2(α)
=
2sen(α)
cos2(α)
=2

sen(α)
cos(α)

1
cos(α)

=2 tan(α) sec(α)
Por lo tanto, la identidad sı́ se cumple.
(2)
cos(β)
1 − cos(β)
+
cos(β)
1 + cos(β)
= 2cotan(β)cosec(β)
Observemos que
cos(β)
1 − cos(β)
+
cos(β)
1 + cos(β)
=
cos(β)(1 + cos(β)) + cos(β)(1 − cos(β))
(1 − cos(β))(1 + cos(β))
=
cos(β) + cos2
(β) + cos(β) − cos2
(β)
1 − cos2(β)
=
2 cos(β)
sen2(β)
=2
cos(β)
sen(β)
1
sen(β)
=2cotan(β)cosec(β)
(3) tan(a) +
cos(a)
1 + sen(a)
= sec(a)
Desarrollemos la expresión del lado izquierdo, es decir
tan(a) +
cos(a)
1 + sen(a)
=
sen(a)
cos(a)
+
cos(a)
1 + sen(a)
=
sen(a)(1 + sen(a)) + cos(a) cos(a)
cos(a)(1 + sen(a))
=
sen(a) + sen2
(a) + cos2
(a)
cos(a)(1 + sen(a))
=
sen(a) + 1
cos(a)(1 + sen(a))
=
1
cos(a)
=sec(a)
(4) 1 + cos(β) =
1 + sen(β)
sen(β)
Desarrollemos la expresión del lado derecho, es decir
1 + sen(β)
sen(β)
=
1
sen(β)
+ 1 = cosec(β) + 1.
Podemos observar que no se cumple la igualdad, tomemos un ángulo
cualquiera para verificar que la identidad no se sumple.
Consideremos β = 90◦
, luego
1 + cos(90◦
) = 1 + 0 = 1,
mientras que
1 + sen(90◦
)
sen(90◦)
=
1 + 1
1
= 2.
Por lo tanto, la identidad no se cumple.
52

11.3. Ejercicios
Verificar si las siguietes identidades trigonométricas se cumplen:
(1) cotan(α) + sec(α) = cosec(α)
(2) sec2
(β) + cosec2
(β) =
1
sen2(β)cos2(β)
(3)
sen(γ) + cotan(γ)
tan(γ) + cosec(γ)
= cos(γ)
(4) (sec(α) − tan(α))2
=
1 − sen(α)
1 + sen(α)
(5) 1 + sen(β)tan(β) =
sen(β) + cotan(β)
cotan(β)
(6) (sen(γ) + cos(γ))2
+ (sen(γ) − cos(γ))2
= 2
(7) tan(α)sen(α) + cos(α) = sec(α)
(8)
cos(β)
1 − sen(β)
+
cos(β)
1 + cos(β)
= 2sec(β)
(9) sen4
(α) − cos4
(α) = sen2
(α) − cos2
(α)
(10) sen2
(x) − cos2
(x) =
sec2
(x) − tan2
(x)
cosec(x)
(11) 1 + 2sen(x)cos(x) = (sen(x) + cos(x))2
(12) tan(a) +
cos(a)
1 + sen(a)
= sec(a)
(13)
cosec(x)
cotan(x) + tan(x)
= cos(x)
(14) sec(α) + tan(α) =
cos(α)
1 − sen(α)
(15) sen(x) =
sen2
(x) − tan2
(x)
cosec(x)
(16)
sen(α)
cos(α) + 1
+
cos(α)
sec(α)
= 1
(17) 2tan(x) =
cos(x)
cosec(x)
+
cos(x)
sec(x) − 1
(18)
1
cosec2(α)
+
1
sec2(α)
= 1
53

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 12 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
SECCIÓN 12
Ecuaciones trigonométricas
Definición 30 : Ecuación trigonométrica
Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene la
incógnita en el ángulo de una o más razones trigonométricas.
Para resolver estas ecuaciones es conveniente escribir los ángulos o argumen-
tos en una misma expresión y reducir a una razón trigonométrica simple. La
solución es un ángulo y puede expresarse en grados o radianes.
Analicemos los siguientes ejemplos.
Ejemplos 31
(1) Sabemos que sen(0◦
) = 0 y sen(180◦
) = 0, luego si necesitamos resol-
ver la ecuación sen(x) = 0 podemos deducir que los valores de x son
0◦
y 180◦
, o equivalentemente 0 rad y π rad.
Más aún, la función sen(x) también se anula cuando
x = 2π rad, 3π rad, . . .
y cuando
x = −π rad, − 2π rad, − 3π rad, . . .
Por lo tanto, la solución de sen(x) = 0 no es única. Por el análisis que
acabamos de realizar, podemos conlcuir que
x = nπ rad, con n ∈ Z.
(2) En el caso que tengamos la ecuación sen(x) = 1, sabemos que
sen(90◦
) = sen(90◦
+ 360◦
) = sen(90◦
+ 720◦
) = . . .
= sen(90◦
+ 360◦
n) = 1.
Es decir, la solución de la ecuación es
x =
π
2
+ 2nπ

rad, con n ∈ Z.
(3) Al resolver la ecuación sen(x) = −1, observamos que
x = 270◦
, 270◦
+ 360◦
, 270◦
+ 720◦
, . . .
Por lo tanto, la solución es
x =

3π
2
+ 2nπ

rad, con n ∈ Z.
(4) Ahora podemos tratar de determinar las soluciones de la ecuación
sen2
(x) = 1. Para esto, observemos que
sen2
(x) = 1 ⇒ sen(x) = ±1.
Luego, de los dos ejemplos anteriores, deducimos que
x =









π
2
+ 2nπ

rad, con n ∈ Z

3π
2
+ 2nπ

rad, con n ∈ Z
(5) Determinemos los valores de x ∈ [0, 2π[ tal que
cos2
(x) −
1
4
= 0.
54

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 12 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Observemos que
cos2
(x) −
1
4
= 0 ⇒ cos2
(x) =
1
4
⇒ cos(x) = ±
1
2
Primera opción:
cos(x) = −
1
2
⇒ x = arc cos

−
1
2

⇒ x1 = 1200
=
2
3
π rad.
Pero coseno también es negativo en el tercer cuadrante, por lo tanto
x2 = 1800
+ 600
= 2400
=
4
3
π rad.
Segunda opción:
cos(x) =
1
2
⇒ x = arc cos

1
2

⇒ x3 = 600
=
1
3
π rad
Pero coseno también es positivo en el cuarto cuadrante, por lo tanto
x4 = 3600
− 600
= 3000
=
5
3
π rad.
12.2. Ejercicios
Dadas las siguientes ecuaciones trigonométricas, determinar las soluciones
generales y en [0◦
, 360◦
[:
(1) sen(α) = 0
(2) cos(β) = 1
(3) sen(α) = −1
(4) cos(β) = −1
(5) sen(α) =
2
5
(6) cos(3β) = −
7
8
(7) sen(3α) = −
7
8
(8) sen2
(α) =
1
4
(9) cos2

3β
2

=
1
16
(10) 5 cos2
(α) − 3 = 0
(11) sen2
(α) =
1
2
(12) sen2
(α) =
3
4
(13) cos3
(4β) = 8
(14) sen2
(4β) = 1
(15) cos(3α) = 1
(16) cos(β) = 0
12.3. Respuestas
Ejercicio Particular General
1 0◦
{360◦
n : n ∈ Z}
2 0◦
{360◦
n : n ∈ Z}
3 270◦
{270◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
4 180◦
{180◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
5
23, 57◦
{23, 57◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
156, 43◦
{156, 43◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
6
50, 3◦
{50, 3◦
+ 120◦
n : n ∈ Z}
69, 7◦
{69, 7◦
+ 120◦
n : n ∈ Z}
7
99, 67◦
{99, 67◦
+ 120◦
n : n ∈ Z}
80, 33◦
{80, 33◦
+ 120◦
n : n ∈ Z}
55

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 13 PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Ejercicio Particular General
30◦
{30◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
8
150◦
{150◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
210◦
{210◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
330◦
{330◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
9
50, 3◦
{50, 3◦
+ 240◦
n : n ∈ Z}
189, 7◦
{189, 7◦
+ 240◦
n : n ∈ Z}
156, 75◦
{156, 75◦
+ 240◦
n : n ∈ Z}
170, 3◦
{170, 3◦
+ 240◦
n : n ∈ Z}
10
39, 2◦
{39, 2◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
320, 8◦
{320, 8◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
140, 8◦
{140, 8◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
219, 2◦
{219, 2◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
45◦
{45◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
11
135◦
{135◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
315◦
{315◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
205◦
{205◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
60◦
{60◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
12
120◦
{120◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
300◦
{300◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
240◦
{240◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
13 No tiene solución
14
22, 5◦
{22, 5◦
+ 90◦
n : n ∈ Z}
67, 5◦
{67, 5◦
+ 90◦
n : n ∈ Z}
15 0◦
{120◦
n : n ∈ Z}
90◦
{90◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
16 270◦
{270◦
+ 360◦
n : n ∈ Z}
SECCIÓN 13
Problemas de aplicación
Ejemplos 32
(1) Una persona mira al punto más alto de un edificio que se encuentra en
frente con un ángulo de 300
con la horizontal. Al acercarse 30 metros,
el ángulo es de 600
. ¿Cuál es la altura del edificio?
De la situación se deduce el siguiente sistema de ecuaciones:
tan(300
) =
h
30 + x
tan(600
) =
h
x





De la segunda ecuación, obtenemos que
x =
h
tan(600)
= 0, 577h
Reemplazando en la primera, obtenemos que
tan(300
) =
h
30 + x
⇒ (30 + x) tan(300
) = h
⇒ (30 + 0, 577h) tan(300
) = h
⇒ 30 tan(300
) + 0, 577h tan(300
) = h
⇒ 17, 32 + 0, 33h = h
⇒ 17, 32 = 0, 67h
⇒ h = 25, 8
Por lo tanto, la altura del edificio es de 25,8 metros.
56

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 13 PROBLEMAS DE APLICACIÓN
(2) Una persona mira al punto más alto de un edificio que se encuentra en
frente con un ángulo de elevación de 250
con la horizontal. Al acercarse
63 metros, el ángulo de elevación es de 700
. ¿Cuál es la altura del edificio?
Del enunciado obtenemos la siguiente información:
Triángulo 1:
tan(25) =
y
63 + x
⇒ y = tan(25)(63 + x)
⇒ y = 0, 47(63 + x)
⇒ Y = 29, 61 + 0, 47x
Triángulo 2:
tan(70) =
y
x
⇒ y = x tan(70)
⇒ y = 2, 75x
Por lo tanto,
2, 75x = 29, 61 + 0, 47x
⇒ 2, 75x − 0, 47x = 29, 61
⇒ 2, 28x = 29, 61
⇒ x = 12, 98
Por lo que la altura del edificio es aproximadamente y = 2, 75x =
2, 75 · 12, 98 = 81, 42 metros.
13.1. Ejercicios
(1) Para determinar la altura de un poste, nos hemos alejado 10 metros de
su base y hemos medido el ángulo que forma la visual al punto más alto
con la horizontal, obteniendo un valor de 35◦
. ¿Cuánto mide el poste?
(2) Un árbol de 30 metros de alto proyecta una sombra de 60 metros. De-
termianr el ángulo de elevación del sol en ese momento.
(3) Un dron que está volando a 40 metros de altura, graba a un niño con
un ángulo de depresión de 20◦
. ¿A qué distancia del niño se halla?
(4) Cuando los rayos del sol forman un ángulo de 50◦
con el suelo, mientras
que la sombra de un mide 18 metros. ¿Cuál es su altura?
(5) ¿Cuál es el ángulo de inclinación que debe tener una cinta transportadora
de 30 metros, si queremos que eleve una carga hasta una altura de 20
metros?
(6) Al recorrer 4 kilómteors por una carretera, hemos ascendido 300 metros.
¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal?
(7) Una persona de 1,78 metros de estatura proyecta una sombra de 70
centı́metros, mientras que en ese mismo instante un árbol da una sombra
de 3 metros. Determinar:
(a) El ángulo que forman los rayos del sol con la horizontal.
(b) La altura del árbol.
(8) Dos edificios distan entre sı́ 200 metros. Desde un punto del suelo que
está ubicado entre ambos edificios, vemos que las visuales a los puntos
más altos de estos forman con la horizontal ángulos de 35◦
y 20◦
res-
pectivamente. ¿Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que miden
lo mismo?
57

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 14 ARITMÉTICA COMPLEJA
CAPÍTULO IV
NÚMEROS COMPLEJOS
SECCIÓN 14
Aritmética compleja
Sabemos que las solcuiones de la ecuación x2
− 1 = 0 son x = 1 y x =
−1. Una forma de determinar dichas soluciones es utilizando el hecho que
x2
− 1 = 0 es equivalente a x2
= 1, lo cual nos indica que el o los valores de
x son tal que su cuadrado es 1.
Sin embargo, si quisiéramos de terminar los valores de x tales que x2
+1 = 0,
tendrı́amos que preguntarnos sobre aquellos números que puede tomar x que
cumpla la condición x2
= −1. Podemos observar que no existe número real
que cumpla con la igualdad. Por lo tanto, necesitamos un conjunto numérico
que contenga este tipo de elementos. Tal conjunto es el denominado conjun-
to de números complejos, denotado por C y el número que cumple que su
cuadrado es −1 se denota por i.
Definición 31 : Número complejo y caracterı́sticas
(1) La unidad imaginaria i es un número tal que i2
= −1.
(2) Un número complejo z es de la forma a + bi, con a y b reales.
Esta forma de expresar un número complejo recibe el nombre de
forma binomial.
(3) El conjunto de los números complejos
C = {z = a + bi : a, b ∈ R} .
(4) Para todo número complejo z = a + bi.
(a) la parte real de z es Re(z) = a.
(b) la parte imaginaria de z es Im(z) = b.
(5) Un número complejo z = a + bi es:
(a) imaginario puro si Re(z) = 0.
(b) real si Im(z) = 0.
(6) Para todo número complejo z = a + bi el conjugado de z es
z = a − bi.
Ejemplos 33 De los siguientes números complejos se observa que:
(1) z = 1 + i
• Re(z) = 1
• Im(z) = 1
• z = 1 − i
(2) w = 3 − 2i
• Re(w) = 3
• Im(w) = −2
• w = 3 + 2i
58

(3) x = 13
• Re(x) = 13
• Im(x) = 0
• x = 13
(4) y =
4
3
i
• Re(y) = 0
• Im(y) =
4
3
• y = −
4
3
i
Observación 8 Del ejemplo (3) observamos que todo número real es un
número complejo. En efecto, todo número real x puede ser expresado de
la forma x + 0i ∈ C. Por lo tanto R ⊂ C.
14.2. Aritmética compleja
14.2.1. Adición de números complejos
Dados los números complejos en su forma binomial z1 = a+bi y z2 = c+di,
se define z1 + z2 como
z1 + z2 = a + bi + c + di = a + b + (c + d)i.
Es decir, la suma de números complejos sigue las normas comunes de
la aritmética, sumar parte real con parte real y parte imaginaria con parte
imaginaria.
Ejemplos 34
(1) Al sumar z1 = 4 − 3i con z2 = 3 − 9i, obtenemos que:
z1 + z2 = 4 − 3i + 3 − 9i = 7 − 12i.
(2) Al sumar w1 = 1 +
2
3
i con w2 = i, obtenemos que:
w1 + w2 = 1 +
2
3
i + i = 1 +
5
3
i.
Veamos algunas propiedades de la suma de números complejos.
Propiedades 11
Para todo z1, z2, z3 ∈ C se cumple que:
(1) Clausura:
z1 + z2 ∈ C.
(2) Conmutatividad:
z1 + z2 = z2 + z1.
(3) Asociatividad:
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) .
(4) Elemento Neutro Aditivo: Existe un único w ∈ C tal que
z + w = z para todo z ∈ C. En este caso, w = 0.
(5) Elemento Inverso Aditivo: Para todo z ∈ C existe w ∈ C tal
que z + w = 0. En este caso, w = −z.
14.2.2. Producto de números complejos
Observemos que si z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces
z1 · z2 = (a + bi)(c + di)
= ac + adi + bci + bd i2
|{z}
−1
= ac − bd + (ad + bc)i.
Es decir, z1 · z2 ∈ C.
59

Ejemplos 35 Calculemos z1 · z2 sabiendo que:
(1) z1 = 2 − 3i y z2 = 1 − 9i
z1 · z2 = (2 − 3i)(1 − 9i) = 2 − 18i − 3i + 27i2
= 2 − 21i − 27 = −25 − 21i.
(2) z1 = 1 +
2
3
i y z2 = i
z1 · z2 =

1 +
2
3
i

i = i +
2
3
i2
= −
2
3
+ i.
(3) Veamos lo que sucede si realizamos el producto de un número complejo
con su conjugado. Para esto consideremos z1 = 3−4i, luego z2 = 3+4i.
Por lo tanto,
z1 · z2 = (3 − 4i)(3 + 4i) ← suma por su diferencia
= 9 − 16i2
= 9 + 16 = 25.
Generalizando este ejemplo, vemos que si z = a + bi, entonces
z · z = (a + bi)(a − bi) = a2
− b2
i2
= a2
+ b2
.
Es decir, el producto de un número complejo con su conjugado
es un número real.
Una vez introducido el producto de números complejos, podemos verificar
que:
Propiedades 12
Para todo z1, z2, z3 ∈ C se cumple que:
(1) Clausura:
z1 · z2 ∈ C.
(2) Conmutatividad:
z1 · z2 = z2 · z1.
(3) Asociatividad:
(z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3) .
(4) Distributividad:
z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3.
(5) Elemento Neutro Multiplicativo: Existe un único w ∈ C tal
que
z · w = w · z = z
para todo z ∈ C. En este caso w = 1.
(6) Elemento Inverso Multiplicativo: Para todo z ∈ C−{0} existe
w ∈ C − {0} tal que
z · w = w · z = 1.
En este caso, denotamos por z−1
al inverso multiplicativo de z.
60

El siguiente teorema, nos indica cómo calcular el inverso multiplicativo de un
número complejo.
Teorema 2
Si z ∈ C − {0} es de la forma z = a + bi, entonces
z−1
=
a
a2 + b2
−
b
a2 + b2
i.
Demostración. Si z ∈ C − {0}, entonces z = a + bi 6= 0. Luego
z−1
=
1
a + bi
=
1
a + bi
·
a − bi
a − bi
=
a − bi
(a + bi)(a − bi)
=
a − bi
a2 − b2i2
=
a − bi
a2 + b2
=
1
a2 + b2
−
b
a2 + b2
i.
Del teorema anterior deducimos el siguiente resultado.
Corollary 3
Si z ∈ C − {0} es de la forma z = a + bi, entonces
z−1
=
z
z · z
.
Ejemplos 36
(1) Si z = 3 − 2i, entonces
z−1
=
1
3 − 2i
=
1
3 − 2i
·
3 + 2i
3 + 2i
=
3 + 2i
9 + 4
=
3 + 2i
13
=
3
13
+
2
13
i.
(2) Si z = 2 + i, entonces
z−1
=
1
2 + i
=
1
2 + i
·
2 + i
2 − i
=
2 − i
4 + 1
=
2 − i
5
=
2
5
−
1
5
i.
Algunas propiedades del conjugado de un número complejo, son las siguientes:
Propiedades 13
Si z, w ∈ C, entonces:
(1) Re(z) = Re(z).
(2) Im(z) = Im(z).
(3) z · z ∈ R.
(4) z + z = 2Im(z).
(6) (z) = z.
(7) z + w = z + w.
(8) z · w = z · w.
(9) z−1 = z−1
.
Ejemplos 37
(1) Expresemos de forma binomial el número complejo
2 − i
1 + i
−
(2 − i)2
3 − i
− i3
.
Para esto, utilizaremos el hecho que
i = i, i2
= −1, i3
= −i e i4
= i0
= 1
61

en nuestra expresión inicial, obtenemos que
2 − i
1 + i
−
(2 − i)2
3 − i
− i3
=
(2 − i)(3 − i) − (1 + i)(2 − i)2
− i3
(1 + i)(3 − i)
(1 + i)(3 − i)
=
(6 − 2i − 3i + i2
) − (1 + i)(4 − 4i + i2
) − i3
(3 − i + 3i − i2
)
3 − i + 3i − i2
=
(6 − 2i − 3i − 1) − (1 + i)(4 − 4i − 1) + i(3 − i + 3i + 1)
3 − i + 3i + 1
=
(5 − 5i) − (1 + i)(3 − 4i) + i(4 + 2i)
4 + 2i
=
5 − 5i − (3 − 4i + 3i − 4i2
) + 4i + 2i2
4 + 2i
=
5 − 5i − 3 + 4i − 3i − 4 + 4i − 2
4 + 2i
=
−4
4 + 2i
=
−4
(4 + 2i)
·
(4 − 2i)
(4 − 2i)
=
−16 + 8i
16 − 4i2
=
−16 + 8i
20
= −
4
5
+
2i
5
(2) Determinemos, utilizando las propiedades que ya hemos visto, la forma
binomial del número complejo
3
1 − 2i
+
i2
− i3
+ i4
2 − i
.
Observemos que
3
1 − 2i
+
i2
− i3
+ i4
2 − i
=
3
1 − 2i
+
−1 + i + 1
2 − i
=
3
1 − 2i
+
i
2 − i
=
3
1 − 2i
·
1 + 2i
1 + 2i
+
i
2 − i
·
2 + i
2 + i
=
3 + 6i
5
+
2i − 1
5
=
2
5
+
8
5
i
Por otro lado, podemos calcular el ángulo asociado a este número com-
plejo resultante.
α = arctan



8
5
2
5


 = arctan(4) ≈ 75, 9
Calculando el módulo, obtenemos que
|z| =
r
4
25
+
64
25
=
r
68
25
=
√
68
5
.
62

14.3. Ejercicios
I. Resolver:
(1) (3 − 4i) (4 + 2i)
(2) (3 − i)2
+ (3 + 5i)2
(3) (1 − i)2
(1 + i) − (6 − 7i)3
(4) (3 + i)2
+ (3 + i)3
− (3 − i)2
(5)

2 −
i
2
2
−

1
2
− i
2
(6)

3 +
2
3
i

1 −
3
2
i
2
−
37
36
(7)

(2 − i) (4 + i)2
− (1 − 2i)32
− (4 − i)3
(8) Expresar i3
, i7
, i−7
, i23
como 1, −1, i, −i.
(9) Determinar los valores de x e y tal que
(1 + 2i) x + (3 − 5i) y = 1 − 3i.
(10) Determinar los valores de a e b tal que
(−1 + i) a + (1 + 2i) b = 1.
II. Determinar las soluciones en C de las siguientes ecuaciones:
(1) x2
+ x + 1 = 0
(2) x3
+ 9x2
− 10x = 0
(3) x4
− 1 = 0
(4) (x2
+ 1)(x2
+ x + 20) = 0
III. Expresar en forma binomial:
(1)

1 + i
1 − i
8
(2)
i4
+ i9
+ i16
2 − i5 + i10 + i15
(3)
i + i2
− i3
i3 − i2 − i
−
1
i
(4)
(1 − i)2
1 + i
+
3 − i
(2 − i)2
(5)

1 − (1 + i)2
(1 − i) (1 + i)
#2
(6)
(3 − 5i)2
(1 − i) (1 + 2i) (1 − 3i)
IV. Determinar una fórmula para cada una de las siguientes expresiones:
(1) in
(2) (1 + i)n
(3) (1 − i)n
(4) (1 + i)n
+ (1 − i)n
14.4. Respuestas
I.
(1) 20 − 10i
(2) −8 + 24i
(3) 668 + 411i
(4) 18 + 38i
(5)
9
2
− i
(6)
5
18
−
92
3
i
(7) 2348 − 51i
(8) i3
= −i, i7
= −i, i−7
= i, i23
= −i
(9) x = −
4
11
, y =
5
11
(10) a = −
2
3
, b =
1
3
II.
63

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 15 POTENCIAS Y RAÍCES
(1)
(√
3
2
i −
1
2
, −
√
3
2
i −
1
2
)
(2) {0, 1, −10}
(3) {−i, −1, i, 1}
(4)
(
−i, i, −
1
2
−
√
79
2
i, −
1
2
+
√
79
2
i
)
III.
(1) 1
(2) i
(3) −1 + i
(4) −
12
25
−
16
25
i
(5) −
3
4
− i
(6)
36
25
−
77
25
i
SECCIÓN 15
Potencias y raı́ces
15.1. Forma trigonométrica o polar
Definición 32 : Forma polar
Sea z = a + bi un número complejo distinto de cero, la expresión
z = |z| (cos (α) + isen (α))
es la representación en forma trigonométrica o forma polar del
número complejo z.
Observación 9 Si z = a + bi, tenemos que
(1) cos (α) =
a
|z|
.
(2) sen (α) =
b
|z|
.
(3) α = arctan

b
a

.
Grados 0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
180◦
270◦
360◦
Radianes 0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
3π
2
2π
sen 0
1
2
√
2
2
√
3
2
1 0 −1 0
cos 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0 −1 0 1
tan 0
√
3
3
1
√
3 ND 0 ND 0
64

15.2. Multiplicación y división
Propiedades 14
Dados dos números complejos en su forma trigonométrica
z = |z| (cos (α) + isen (α)) y w = |w| (cos (β) + isen (β)) .
Se cumple que:
(1) z · w = |z| |w| (cos (α + β) + isen (α + β)) .
(2)
z
w
=
|z|
|w|
(cos (α − β) + isen (α − β)) .
15.3. Potencias y raı́ces
Teorema 4 : Fórmula de Moivre - Potencia de un complejo
Sea z = a + bi y n natural, entonces
zn
= |z|n
(cos (nα) + isen (nα)) .
Ejemplos 38
(1) Sea z = −4 − 5i, calculemos z6
.
Tenemos que |z| =
√
41 y
arctan

−5
−4

= 51, 34
Pero como z está en el tercer cuadrante, entonces
α = 180 + 51, 34 = 231, 34
Por lo tanto,
z6
= |z|6
(cos(6α) + isen(6α))
=
√
41
6
(cos(6 · 231, 34) + isen(6 · 231, 34))
= 413
(cos(1.388, 04) + isen(1.388, 04))
≈ 42.469, 9 − 54.280, 9i
(2) Calculemos z8
para z = 3 − 4i.
Observemos que |z| =
√
9 + 16 = 5 y
α = arctan

b
a

= arctan

−
4
3

= −53, 130
.
Como z está en el cuarto cuadrante, entonces
α = 3600
− 53, 130
= 306, 870
.
Por lo tanto,
z8
= |z|8
(cos(8α) + isen(8α))
= 58
(cos(8 · 306, 870
) + isen(8 · 306, 870
))
= 390.625(cos(2.454, 960
) + isen(2.454, 960
))
= 390.625(0, 422 − 0, 907i)
= 164.843, 75 − 354.296, 88i
(3) Calculemos (3 − 5i)8
. Determinamos primeramente el ángulo asociado
al número complejos, es decir,
arctan

−5
3

≈ −59 ⇒ α = 360 − 59 = 301.
Luego,
|3 − 5i| =
√
9 + 25 =
√
34.
65

Por lo tanto,
(3 − 5i)8
=
√
34
8
(cos(8 · 301) + isen(8 · 301))
= 1.336.336(cos(2.408) + isen(2.408))
≈ −500.600, 3 − 1.239.029, 1i
Teorema 5 : Raı́z de un complejo
Sea z = a + bi y n natural, entonces
z
1
n = |z|
1
n

cos

α + 2kπ
n

+ isen

α + 2kπ
n

para k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
Ejemplos 39
(1) Sea z = 1 − 3i, calculemos 4
√
z.
Observemos que |z| =
√
1 + 9 =
√
10 y
α = arctan

−
3
1

= −71, 60
Como z está en el cuarto cuadrante, entonces
α = 3600
− 71, 60
= 288, 40
.
Por lo tanto,
4
√
z = 4
p
|z|

cos

α + 2kπ
4

+ isen

α + 2kπ
4

=
4
q
√
10

cos

288, 40
+ 3600
k
4

+ isen

288, 40
+ 3600
k
4

=
8
√
10(cos(72, 10
+ 900
k) + isen(72, 10
+ 900
k))
= 1, 33(cos(72, 10
+ 900
k) + isen(72, 10
+ 900
k))
Primera raı́z: k = 0
z1 = 1, 33(cos(72, 10
) + isen(72, 10
)) = 0, 41 + 1, 27i
Segunda raı́z: k = 1
z2 = 1, 33(cos(72, 10
+ 900
) + isen(72, 10
+ 900
))
= −1, 27 + 0, 41i
Tercera raı́z: k = 2
z3 = 1, 33(cos(72, 10
+ 1800
) + isen(72, 10
+ 1800
))
= −0, 41 − 1, 27i
Tercera raı́z: k = 3
z4 = 1, 33(cos(72, 10
+ 2700
) + isen(72, 10
+ 2700
))
= 1, 27 − 0, 41i
(2) Sea z = −4 − 5i, calculemos 4
√
z:
Sabemos que |z| =
√
41 y α = 231, 34. Por lo tanto
4
√
z =
4
q
√
41

cos

231, 34 + 360k
4

+ isen

231, 34 + 360k
4

;
z0 =
8
√
41

cos

231, 34
4

+ isen

231, 34
4

≈ 0, 85 + 1, 35i;
z1 =
8
√
41

cos

591, 34
4

+ isen

591, 34
4

≈ −1, 35 + 0, 85i;
z2 =
8
√
41

cos

951, 34
4

+ isen

951, 34
4

≈ −0, 85 − 1, 35i;
z3 =
8
√
41

cos

1311, 34
4

+ isen

1311, 34
4

≈ 1, 35 − 0, 85i
66

15.4. Ejercicios
I. Expresar en forma trigonométrica los siguientes números complejos:
(1) z = 1 + i
(2) z = (2, 7)
(3) z =
1
2
+
i
3
(4) z = −2 + 4i
(5) z = (−3, −1)
(6) z = 5 − i
(7) z =
√
2 − 5i
(8) z = (−1, −1)
(9) z = −
1
3
+
3i
7
(10) z =

2, −
1
4

II. Expresar en forma binomial los siguientes números complejos:
(1) w =
√
15 (cos (305◦
) + isen (305◦
))
(2) w = −6

cos
π
3

+ isen
π
3

(3) z = 3 (cos (0◦
) + isen (0◦
))
(4) z =
√
3 (cos (305◦
) + isen (305◦
))
III. Calcular:
(1) (1 − 2i)8
(2) (4 + i)6
(3) (4 − i)8
(4)
√
6 −
√
8i
20
(5) (−15 − 20i)30
(6) (1 + i)
1
3
(7) (2 − i)
1
6
(8) (−2 − i)
1
4
(9) 1 +
√
2i
1
8
(10)
1
4
−
√
3
4
! 1
10
(11) (1 + i)
1
6
(12) [(13 − i) (1 − i)]
1
5
(13)

1 +
i
3
− 5
8
(14) (−1 − 4i)− 1
4
(15) (13 − i)
1
4
IV. Resolver las siguientes ecuaciones:
(1) x4
= 1
(2) x7
= −9
(3) 5x8
= 10
(4) x4
= i
(5) z2
= 2i
(6) z2
= −3 − 4i
67

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 16 RAÍCES DE UN POLINOMIO
CAPÍTULO V
POLINOMIOS
SECCIÓN 16
Raı́ces de un polinomio
Definición 33 : Polinomios y sus caracterı́sticas
(1) Un polinomio de grado n tiene la forma
p (x) = anxn
+ an−1xn−1
+ ... + a1x + a0,
donde cada ai ∈ R y an 6= 0.
(2) Los ai son constantes denominadas coeficientes de p.
(3) El grado del polinomio p(x), denotado por gr(p), es el mayor
exponente de la variable x.
Ejemplos 40
(1) p(x) = 3x3
− 1 es un polinomio tal que gr(p) = 3.
(2) q(x) = −x5
− x7
+ x9
es un polinomio tal que gr(q) = 9.
(3) m(x) = 1 es un polinomio tal que gr(m) = 0.
Definición 34 : Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio p(x) para x = a, es el resultado
que se obtiene al sustituir x por un número a.
Ejemplos 41 Para el polinomio p(x) = 2x3
− 7x2
− 7x + 12, tenemos que
el valor numérico para:
(1) x = 1 es
p(1) = 2(1)3
− 7(1)2
− 7(1) + 12 = 0.
(2) x = 2 es
p(1) = 2(2)3
− 7(2)2
− 7(2) + 12 = −14.
(3) x = 1 + i es
p(1 + i) = 2(1 + i)3
− 7(1 + i)2
− 7(1 + i) + 12
= 2(−2 + 2i) − 7(2i) − 7(i + 1) + 12
= 1 − 17i.
(4) x = 0 es p(0) = 12.
Definición 35 : Cero de un polinomio
Un número α es un cero o raı́z de un polinomio p(x), si p(α) = 0.
Ejemplos 42 Observemos que:
(1) x = 1 es una raı́z de p(x) = 2x3
− 7x2
− 7x + 12, porque p(1) = 0.
(2) x = i y x = −i son raı́ces de q(x) = x2
+ 1, porque
q(i) = q(−i) = 0.
(3) x = 3 es una raı́z de m(x) = x2
− x − 6 por que m(3) = 0.
68

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 17 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Observemos que determinar los ceros del polinomio m(x) = x2
− x − 6 es
equivalente a calcular las soluciones de la ecuación x2
− x − 6 = 0. En este
caso
x2
− x − 6 = 0
⇒ (x − 3)(x + 2) = 0
⇒ x1 = 3 y x2 = −2.
Por lo tanto, las raı́ces de m(x) son 3 y −2. Además, nos da indicios para
formular los siguientes resultados (Teorema 6 y Propiedad 15).
SECCIÓN 17
Propiedades de las raı́ces
Teorema 6 : del factor
α es una raı́z del polinomio p(x) si y sólo si (x − α) es un factor de
p(x).
Propiedades 15
Sean los polinomios p(x), m(x) y q(x) tales que
gr(p) = n y gr(m) + gr(q) = n. Si p(x) = m(x)q(x), enton-
ces toda raı́z de m(x) y q(x) es también raı́z de p(x).
El siguiente teorema nos indica cómo determinar las raı́ces racionales, si exis-
ten, de un polinomio.
Teorema 7 : de las raı́ces racionales
Sea
p (x) = anxn
+ an−1xn−1
+ ... + a1x + a0
un polinomio tal que an y a0 son no nulos. Si la fracción irreducible
b
c
es un cero de p(x), entonces b es un divisor de a0 y c es un divisor de
an.
En otras palabras, para calcular las posibles raı́ces racionales de un polinomio
p(x) debemos considerar los divisores de an y de a0, denotados por Div(an)
y Div(a0), y determinar el conjunto
Div(a0)
Div(an)
.
69

ÁLGEBRA - CONTINUIDAD DE ESTUDIOS UNAP (ı́ndice:3) 17 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Ejemplos 43 Determinemos, si existen, las raı́ces racionales de los si-
guientes polinomios:
(1) p(x) = x4
+ 3x3
− 9x2
+ 3x − 10.
Como
Dv(a0) = Div(−10) = {±1, ±2, ±5, ±10}
y
Div(a4) = Div(1) = {±1},
entonces
Div(a0)
Div(a4)
=
Div(−10)
Div(1)
= {±1, ±2, ±5, ±10}.
Luego,
p(−1) = −24, p(1) = −12,
p(−2) = −60, p(2)=0 ,
p(-5)=0 , p(5) = 780,
p(−10) = 6.060 y p(10) = 12.120.
Lo cual implica que las únicas raı́ces racionales de p(x) son 2 y −5.
Además, por el teorema del factor, p(x) debe ser factorizado por (x−2)
y (x + 5).
En efecto, aplicando la regla de Ruffini a p(x) con (x − 2) obte-nemos
que
1 3 −9 3 −10
2 2 10 2 10
1 5 1 5 0
Es decir,
p(x) = x4
+ 3x3
− 9x2
+ 3x − 10
= (x − 2)(x3
+ 5x2
+ x + 5
| {z }
q(x)
).
Luego aplicamos Ruffini a q(x) = x3
+ 5x2
+ x + 5 con (x + 5),
1 5 1 5
−5 −5 0 −5
1 0 1 0
Es decir,
q(x) = x3
+ 5x2
+ x + 5 = (x + 5)(x2
+ 1).
Por lo tanto,
p(x) = (x − 2)(x + 5)(x2
+ 1).
(2) m(x) = 7x7
+ x + 14.
Como
Dv(a0) = Div(14) = {±1, ±2, ±7, ±14}
y
Div(a7) = Div(7) = {±1, ±7},
entonces
Div(a7)
Div(a0)
=
Div(7)
Div(14)
=

±1, ±
1
2
, ±
1
7
, ±
1
14
, ±7, ±
7
2
, ±2

.
Sin embargo, m(x) 6= 0 para cada uno de los números de este conjunto.
Lo cual implica que m(x) no tiene raı́ces racionales.
Teorema 8 : del resto
El resto de dividir el polonomio p(x) por (x − a) es igual al valor
numérico del polinomio para x = a, es decir p(a).
70

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