El documento describe los procedimientos para reducir términos semejantes en álgebra. Explica cómo sumar términos semejantes del mismo signo y cómo calcular la diferencia entre términos semejantes de distinto signo. También cubre cómo reducir polinomios con más de dos términos semejantes con signos distintos mediante la suma y diferencia de los términos. El documento contiene ejemplos resueltos de cada tipo de reducción.
2024 State of Marketing Report – by HubspotMarius Sescu
https://www.hubspot.com/state-of-marketing
· Scaling relationships and proving ROI
· Social media is the place for search, sales, and service
· Authentic influencer partnerships fuel brand growth
· The strongest connections happen via call, click, chat, and camera.
· Time saved with AI leads to more creative work
· Seeking: A single source of truth
· TLDR; Get on social, try AI, and align your systems.
· More human marketing, powered by robots
ChatGPT is a revolutionary addition to the world since its introduction in 2022. A big shift in the sector of information gathering and processing happened because of this chatbot. What is the story of ChatGPT? How is the bot responding to prompts and generating contents? Swipe through these slides prepared by Expeed Software, a web development company regarding the development and technical intricacies of ChatGPT!
Product Design Trends in 2024 | Teenage EngineeringsPixeldarts
The realm of product design is a constantly changing environment where technology and style intersect. Every year introduces fresh challenges and exciting trends that mold the future of this captivating art form. In this piece, we delve into the significant trends set to influence the look and functionality of product design in the year 2024.
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthThinkNow
Mental health has been in the news quite a bit lately. Dozens of U.S. states are currently suing Meta for contributing to the youth mental health crisis by inserting addictive features into their products, while the U.S. Surgeon General is touring the nation to bring awareness to the growing epidemic of loneliness and isolation. The country has endured periods of low national morale, such as in the 1970s when high inflation and the energy crisis worsened public sentiment following the Vietnam War. The current mood, however, feels different. Gallup recently reported that national mental health is at an all-time low, with few bright spots to lift spirits.
To better understand how Americans are feeling and their attitudes towards mental health in general, ThinkNow conducted a nationally representative quantitative survey of 1,500 respondents and found some interesting differences among ethnic, age and gender groups.
Technology
For example, 52% agree that technology and social media have a negative impact on mental health, but when broken out by race, 61% of Whites felt technology had a negative effect, and only 48% of Hispanics thought it did.
While technology has helped us keep in touch with friends and family in faraway places, it appears to have degraded our ability to connect in person. Staying connected online is a double-edged sword since the same news feed that brings us pictures of the grandkids and fluffy kittens also feeds us news about the wars in Israel and Ukraine, the dysfunction in Washington, the latest mass shooting and the climate crisis.
Hispanics may have a built-in defense against the isolation technology breeds, owing to their large, multigenerational households, strong social support systems, and tendency to use social media to stay connected with relatives abroad.
Age and Gender
When asked how individuals rate their mental health, men rate it higher than women by 11 percentage points, and Baby Boomers rank it highest at 83%, saying it’s good or excellent vs. 57% of Gen Z saying the same.
Gen Z spends the most amount of time on social media, so the notion that social media negatively affects mental health appears to be correlated. Unfortunately, Gen Z is also the generation that’s least comfortable discussing mental health concerns with healthcare professionals. Only 40% of them state they’re comfortable discussing their issues with a professional compared to 60% of Millennials and 65% of Boomers.
Race Affects Attitudes
As seen in previous research conducted by ThinkNow, Asian Americans lag other groups when it comes to awareness of mental health issues. Twenty-four percent of Asian Americans believe that having a mental health issue is a sign of weakness compared to the 16% average for all groups. Asians are also considerably less likely to be aware of mental health services in their communities (42% vs. 55%) and most likely to seek out information on social media (51% vs. 35%).
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfmarketingartwork
This article is all about what AI trends will emerge in the field of creative operations in 2024. All the marketers and brand builders should be aware of these trends for their further use and save themselves some time!
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How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthThinkNow
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To better understand how Americans are feeling and their attitudes towards mental health in general, ThinkNow conducted a nationally representative quantitative survey of 1,500 respondents and found some interesting differences among ethnic, age and gender groups.
Technology
For example, 52% agree that technology and social media have a negative impact on mental health, but when broken out by race, 61% of Whites felt technology had a negative effect, and only 48% of Hispanics thought it did.
While technology has helped us keep in touch with friends and family in faraway places, it appears to have degraded our ability to connect in person. Staying connected online is a double-edged sword since the same news feed that brings us pictures of the grandkids and fluffy kittens also feeds us news about the wars in Israel and Ukraine, the dysfunction in Washington, the latest mass shooting and the climate crisis.
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Age and Gender
When asked how individuals rate their mental health, men rate it higher than women by 11 percentage points, and Baby Boomers rank it highest at 83%, saying it’s good or excellent vs. 57% of Gen Z saying the same.
Gen Z spends the most amount of time on social media, so the notion that social media negatively affects mental health appears to be correlated. Unfortunately, Gen Z is also the generation that’s least comfortable discussing mental health concerns with healthcare professionals. Only 40% of them state they’re comfortable discussing their issues with a professional compared to 60% of Millennials and 65% of Boomers.
Race Affects Attitudes
As seen in previous research conducted by ThinkNow, Asian Americans lag other groups when it comes to awareness of mental health issues. Twenty-four percent of Asian Americans believe that having a mental health issue is a sign of weakness compared to the 16% average for all groups. Asians are also considerably less likely to be aware of mental health services in their communities (42% vs. 55%) and most likely to seek out information on social media (51% vs. 35%).
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A report by thenetworkone and Kurio.
The contributing experts and agencies are (in an alphabetical order): Sylwia Rytel, Social Media Supervisor, 180heartbeats + JUNG v MATT (PL), Sharlene Jenner, Vice President - Director of Engagement Strategy, Abelson Taylor (USA), Alex Casanovas, Digital Director, Atrevia (ES), Dora Beilin, Senior Social Strategist, Barrett Hoffher (USA), Min Seo, Campaign Director, Brand New Agency (KR), Deshé M. Gully, Associate Strategist, Day One Agency (USA), Francesca Trevisan, Strategist, Different (IT), Trevor Crossman, CX and Digital Transformation Director; Olivia Hussey, Strategic Planner; Simi Srinarula, Social Media Manager, The Hallway (AUS), James Hebbert, Managing Director, Hylink (CN / UK), Mundy Álvarez, Planning Director; Pedro Rojas, Social Media Manager; Pancho González, CCO, Inbrax (CH), Oana Oprea, Head of Digital Planning, Jam Session Agency (RO), Amy Bottrill, Social Account Director, Launch (UK), Gaby Arriaga, Founder, Leonardo1452 (MX), Shantesh S Row, Creative Director, Liwa (UAE), Rajesh Mehta, Chief Strategy Officer; Dhruv Gaur, Digital Planning Lead; Leonie Mergulhao, Account Supervisor - Social Media & PR, Medulla (IN), Aurelija Plioplytė, Head of Digital & Social, Not Perfect (LI), Daiana Khaidargaliyeva, Account Manager, Osaka Labs (UK / USA), Stefanie Söhnchen, Vice President Digital, PIABO Communications (DE), Elisabeth Winiartati, Managing Consultant, Head of Global Integrated Communications; Lydia Aprina, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Nita Prabowo, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Okhi, Web Developer, PNTR Group (ID), Kei Obusan, Insights Director; Daffi Ranandi, Insights Manager, Radarr (SG), Gautam Reghunath, Co-founder & CEO, Talented (IN), Donagh Humphreys, Head of Social and Digital Innovation, THINKHOUSE (IRE), Sarah Yim, Strategy Director, Zulu Alpha Kilo (CA).
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Search Engine Journal
The search marketing landscape is evolving rapidly with new technologies, and professionals, like you, rely on innovative paid search strategies to meet changing demands.
It’s important that you’re ready to implement new strategies in 2024.
Check this out and learn the top trends in paid search advertising that are expected to gain traction, so you can drive higher ROI more efficiently in 2024.
You’ll learn:
- The latest trends in AI and automation, and what this means for an evolving paid search ecosystem.
- New developments in privacy and data regulation.
- Emerging ad formats that are expected to make an impact next year.
Watch Sreekant Lanka from iQuanti and Irina Klein from OneMain Financial as they dive into the future of paid search and explore the trends, strategies, and technologies that will shape the search marketing landscape.
If you’re looking to assess your paid search strategy and design an industry-aligned plan for 2024, then this webinar is for you.
5 Public speaking tips from TED - Visualized summarySpeakerHub
From their humble beginnings in 1984, TED has grown into the world’s most powerful amplifier for speakers and thought-leaders to share their ideas. They have over 2,400 filmed talks (not including the 30,000+ TEDx videos) freely available online, and have hosted over 17,500 events around the world.
With over one billion views in a year, it’s no wonder that so many speakers are looking to TED for ideas on how to share their message more effectively.
The article “5 Public-Speaking Tips TED Gives Its Speakers”, by Carmine Gallo for Forbes, gives speakers five practical ways to connect with their audience, and effectively share their ideas on stage.
Whether you are gearing up to get on a TED stage yourself, or just want to master the skills that so many of their speakers possess, these tips and quotes from Chris Anderson, the TED Talks Curator, will encourage you to make the most impactful impression on your audience.
See the full article and more summaries like this on SpeakerHub here: https://speakerhub.com/blog/5-presentation-tips-ted-gives-its-speakers
See the original article on Forbes here:
http://www.forbes.com/forbes/welcome/?toURL=http://www.forbes.com/sites/carminegallo/2016/05/06/5-public-speaking-tips-ted-gives-its-speakers/&refURL=&referrer=#5c07a8221d9b
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
Everyone is in agreement that ChatGPT (and other generative AI tools) will shape the future of work. Yet there is little consensus on exactly how, when, and to what extent this technology will change our world.
Businesses that extract maximum value from ChatGPT will use it as a collaborative tool for everything from brainstorming to technical maintenance.
For individuals, now is the time to pinpoint the skills the future professional will need to thrive in the AI age.
Check out this presentation to understand what ChatGPT is, how it will shape the future of work, and how you can prepare to take advantage.
A brief introduction to DataScience with explaining of the concepts, algorithms, machine learning, supervised and unsupervised learning, clustering, statistics, data preprocessing, real-world applications etc.
It's part of a Data Science Corner Campaign where I will be discussing the fundamentals of DataScience, AIML, Statistics etc.
Time Management & Productivity - Best PracticesVit Horky
Here's my presentation on by proven best practices how to manage your work time effectively and how to improve your productivity. It includes practical tips and how to use tools such as Slack, Google Apps, Hubspot, Google Calendar, Gmail and others.
The six step guide to practical project managementMindGenius
The six step guide to practical project management
If you think managing projects is too difficult, think again.
We’ve stripped back project management processes to the
basics – to make it quicker and easier, without sacrificing
the vital ingredients for success.
“If you’re looking for some real-world guidance, then The Six Step Guide to Practical Project Management will help.”
Dr Andrew Makar, Tactical Project Management
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...Applitools
During this webinar, Anand Bagmar demonstrates how AI tools such as ChatGPT can be applied to various stages of the software development life cycle (SDLC) using an eCommerce application case study. Find the on-demand recording and more info at https://applitools.info/b59
Key takeaways:
• Learn how to use ChatGPT to add AI power to your testing and test automation
• Understand the limitations of the technology and where human expertise is crucial
• Gain insight into different AI-based tools
• Adopt AI-based tools to stay relevant and optimize work for developers and testers
* ChatGPT and OpenAI belong to OpenAI, L.L.C.
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
This session highlights best practices and lessons learned for U.S. Bike Route System designation, as well as how and why these routes should be integrated into bicycle planning at the local and regional level.
Presenters:
Presenter: Kevin Luecke Toole Design Group
Co-Presenter: Virginia Sullivan Adventure Cycling Association
Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...DevGAMM Conference
Has your project been caught in a storm of deadlines, clashing requirements, and the need to change course halfway through? If yes, then check out how the administration team navigated through all of this, relocating 160 people from 3 countries and opening 2 offices during the most turbulent time in the last 20 years. Belka Games’ Chief Administrative Officer, Katerina Rudko, will share universal approaches and life hacks that can help your project survive unstable periods when there seem to be too many tasks and a lack of time and people.
This presentation was designed to provide strategic recommendations for a brand in decline. The deck also incorporates a situational assessment, including a brand identity, positioning, architecture, and portfolio strategy for the Brand.
Presentation originally created for NYU Stern's Brand Strategy course. Design by Erica Santiago & Chris Alexander.
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From their humble beginnings in 1984, TED has grown into the world’s most powerful amplifier for speakers and thought-leaders to share their ideas. They have over 2,400 filmed talks (not including the 30,000+ TEDx videos) freely available online, and have hosted over 17,500 events around the world.
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1. Ejercicios Resueltos del Algebra de Baldor.
Consultado en la siguiente dirección electrónica
http://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm
.
Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el
mismo exponente.
Reducción de dos términos semejantes del mismo signo
P r o c e d i m i e n t o
Para reducir términos semejantes con el mismo signo se suman los
coeficientes de todos los términos y se antepone al coeficiente total el
mismo signo que comparten, y a continuación se escribe la parte literal.
Reducir:
1. x + 2x.
S o l u c i ó n :
El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 1 y 2.
La parte literal igual en todos los términos es x.
1 + 2 = 3; → x + 2x = 3x.
2. 8a + 9a
S o l u c i ó n :
El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 8 y 9.
La parte literal igual en todos los términos es a.
8 + 9 = 17; → 8a + 9a = 17a.
3. 11b + 9b
S o l u c i ó n :
El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 11 y 9. La parte
literal igual en todos los términos es b.
11 + 9 = 20; → 11b + 9a = 20b.
4. ‐b ‐ 5b.
Solución:
El signo común a todos los términos es el ‐. Los coeficientes de los términos son 1 y 5.
La parte literal igual en todos los términos es b.
1 + 5 = 6; → ‐b ‐ 5b = ‐6b.
5. ‐8m ‐ m
Solución:
El signo común a todos los términos es el ‐. Los coeficientes de los términos son 8 y 1.
La parte literal igual en todos los términos es m.
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
Damasorojas8@galeon.com, damasorojas6@gmail.com, joeldama@yahoo.com
10. Reducción de dos términos semejantes de distinto signo
P r o c e d i m i e n t o
Para reducir dos términos semejantes de distinto signo, se halla la
diferencia entre los coeficientes de los términos, colocando antes de esta
diferencia el signo del coeficiente mayor (en valor absoluto) y a continuación
se escribe la parte literal.
Nota: dos términos semejantes con igual coeficiente y distinto signo se anulan.
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
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19.
Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos
Procedimiento
Para reducir un polinomio con más de dos términos semejantes y con signos
distintos, se procede así:
1) Se reducen a un solo término todos los positivos.
2) Se reducen a un solo término todos los negativos.
3) Se calcula la diferencia entre los coeficientes de los términos hallados en los dos
pasos anteriores.
4) El signo que precederá la diferencia hallada en el paso anterior será el que tenga
el coeficiente mayor en valor absoluto de los términos hallados en los pasos (1) y (2).
5) Por último, se escribe la parte literal.
R e d u c i r:
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
Damasorojas8@galeon.com, damasorojas6@gmail.com, joeldama@yahoo.com
23. Reducción de términos semejantes
Reducción de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases
P r o c e d i m i e n t o
1. Se agrupan los términos semejantes de cada clase en un mismo
paréntesis
2. Se reducen los términos semejantes
3. Se da la respuesta, ordenando el polinomio resultante
Nota: recordemos que los términos semejantes son aquellos que tienen las
mismas letras y afectadas por los mismos exponentes
Reducir los polinomios siguientes:
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24.
Productos notables
a) Cuadrado de la suma de dos cantidades
P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio
2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la
primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la
segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"
3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado
y se multiplica el exponente de cada letra por 2
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
Damasorojas8@galeon.com, damasorojas6@gmail.com, joeldama@yahoo.com
26.
b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio
2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el cuadrado de
la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la
segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"
3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado
y se multiplica el exponente de cada letra por 2
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
Damasorojas8@galeon.com, damasorojas6@gmail.com, joeldama@yahoo.com
27.
c) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
P r o c e d i m i e n t o
1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al
cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo"
2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado
y se multiplica el exponente de cada letra por 2.
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
Damasorojas8@galeon.com, damasorojas6@gmail.com, joeldama@yahoo.com
29.
d) Cubo de un binomio
P r o c e d i m i e n t o
1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o
la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el
paso 2, en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3:
2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera
cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el
triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la
segunda"
3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera
cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el
triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la
segunda"
4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado
y se multiplica el exponente de cada letra por 2.
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
Damasorojas8@galeon.com, damasorojas6@gmail.com, joeldama@yahoo.com
31. e) Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b)
P r o c e d i m i e n t o
1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio
2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis
(igual en ambos)
3. El segundo término será el producto de la suma de los términos
independientes por el primer término común de los paréntesis
4. El tercer término será el producto de los términos inde pendientes
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
Damasorojas8@galeon.com, damasorojas6@gmail.com, joeldama@yahoo.com
34. e) Factor común
P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifica el factor común
2. Se divide cada término del polinomio por el factor común
3. Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, los
cocientes hallados en el paso anterior (cada uno precedido de su respectivo
signo)
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
Damasorojas8@galeon.com, damasorojas6@gmail.com, joeldama@yahoo.com
37.
f) Factor común por agrupación de términos
P r o c e d i m i e n t o
1. Se agrupan los términos convenientemente, utilizando paréntesis
2. Se saca factor común de cada uno de los paréntesis
3. Se realiza una segunda factorización (el factor común será, en este caso,
el paréntesis
Factorizar o descomponer en dos factores:
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38.
g) Trinomio cuadrado perfecto
Definición : Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el resultado del producto de dos
factores iguales.
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordena el trinomio
2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos
3. Se halla el doble producto de las raíces obtenidas en el paso anterior
4. Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo término del
trinomio y si el primero y tercer términos tienen igual signo, se trata de un
trinomio cuadrado perfecto y se Factorizar como tal.
5. Se escribe dentro de un paréntesis las raíces cuadradas del primer y
tercer término, separadas por el signo del segundo término, y el paréntesis
elevado al cuadrado.
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40.
h) Diferencia de cuadrados perfectos
P r o c e d i m i e n t o
1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo
2. Se abren dos paréntesis
3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia,
de las raíces halladas en el paso 1.
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42.
i) Diferencia de cuadrados perfectos (caso especial)
P r o c e d i m i e n t o
1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo
2. Se abren dos paréntesis
3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia,
de las raíces halladas en el paso 1.
4. Se reduce, si es el caso
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44.
j) Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados perfectos (combinación de estos dos
casos)
P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifica el trinomio cuadrado perfecto (o los ...)
2. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto
3. Se factoriza la diferencia de cuadrados resultante
4. Se reduce, si es el caso
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45.
k) Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordena el trinomio
2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos
3. Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior
4. Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo
término del trinomio
5. Se suma o resta, según el caso, la cantidad necesaria para crear el
segundo término del trinomio cuadrado perfecto
6. Se resta o se suma la misma cantidad que se sumo o resto en el paso
anterior, para que el valor de la expresión no se altere
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48. l) Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Factorizar una suma de dos cuadrados
P r o c e d i m i e n t o
1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos
2. Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior
3. Se suma y se resta el producto hallado en el paso anterior
4. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto así formado
5. Se factoriza la diferencia de cuadrados
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50.
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordena el trinomio
2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un
binomio
3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el
primer término de cada uno de los paréntesis
4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo
signo del trinomio
5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y
tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del
segundo paréntesis
6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al
coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al
tercer término del trinomio
7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea
igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea
igual al tercer término del trinomio
8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el
segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el
segundo término del segundo paréntesis
9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus
factores primos para facilitar la búsqueda de los números requeridos en los
pasos 7 y 8
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57.
P r o c e d i m i e n t o
Para Factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma y se factoriza
1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a
2. Se escribe el trinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c)
3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio
4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer
término de cada uno de los paréntesis
5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio
6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos
del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo paréntesis
7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del
segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio
8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al
coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término
del trinomio
9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo
término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del
segundo paréntesis
10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos
para facilitar la búsqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8
11. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común
12. Se simplifica
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63. Factorizar una expresión que es el cubo de un binomio
P r o c e d i m i e n t o
El desarrollo del cubo de un binomio es:
En esta clase de ejercicios se nos da una expresión como el miembro derecho de las
identidades anteriores, es decir un cuadrinomio; y debemos constatar si se trata de un
cubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las expresiones
anteriores); para lo cual debemos proceder:
1. Se ordena el cuadrinomio en forma descendente o ascendente respecto a una letra
2. Se extrae la raíz cúbica del primero y cuarto términos del cuadrinomio
3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivo‐negativo‐
positivo‐negativo
4. Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del
cuarto término y se compara con el segundo término del cuadrinomio dado
5. Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del
cuarto término y se compara con el tercer término del cuadrinomio dado
6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del
desarrollo del cubo de un binomio y se factoriza como tal: dentro de un paréntesis se
escriben las raíces cúbicas del primero y cuarto términos del cuadrinomio y separadas
por el signo más o por el signo menos, según el caso; y se eleva al cubo el paréntesis
7. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se trata del
desarrollo del cubo de un binomio y no se puede factorizar como tal
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66. Suma o diferencia de cubos perfectos
P r o c e d i m i e n t o
1. Se abren dos paréntesis
2. En el primer paréntesis se escribe la suma o la diferencia, según el caso,
de las raíces cúbicas de los dos términos
3. En el segundo paréntesis se escribe el cuadrado de la primera raíz, menos
(si es una suma de cubos) o más (si es una diferencia de cubos) el producto
de la primera raíz por la segunda, mas el cuadrado de la segunda raíz
Descomponer en dos factores:
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68.
Casos especiales
P r o c e d i m i e n t o
1. Se abren dos paréntesis
2. En el primer paréntesis se escribe la suma o la diferencia, según el caso, de las
raíces cúbicas de los dos términos
3. En el segundo paréntesis se escribe el cuadrado de la primera raíz, menos (si es
una suma de cubos) o más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera
raíz por la segunda, mas el cuadrado de la segunda raíz
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69.
Combinación de casos de factores
Descomposición de una expresión algebraica en tres factores
P r o c e d i m i e n t o
1. Se saca el factor común
2. Se factoriza la expresión resultante, aplicando el método de factorización
requerido por la forma del polinomio (estudiados en los diez casos de
factorización: Ejercicios 89 a 110)
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70.
Descomponer en tres factores:
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71.
Descomposición de una expresión algebraica en cuatro factores
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72.
Descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación
Procedimiento
Recordemos que "un polinomio entero y racional en x, que se anula para x = a, es
divisible por x - a" (Corolario del Teorema del residuo)
1. Sacamos los divisores del término independiente
2. Hallamos el valor del polinomio, P(x), para cada uno de los divisores hallados en el
paso anterior
3. Tomamos como correcto el divisor, a, para el cual el polinomio se anula (da cero):
hemos hallado uno de los factores del polinomio; este factor es, x - a
4. Buscamos los coeficientes del otro factor por medio de la "División sintética"
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82. Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que
un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos
en el polinomio nos da cero.
Si un polinomio de, por ejemplo, cuarto grado , tiene cuatro raíces
enteras, , , , , se factoriza
Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini
Ejemplo: Factorizar 4 16 12
Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12.
O sea que se prueba con 1, ‐1, 2, ‐2, 3, ‐3, 4, ‐4, 6, ‐6, 12 y –12
Probemos con uno
Se copian los coeficientes del polinomio:
1 ‐4 ‐1 16 ‐12
Y se escribe en una segunda línea el número uno
1 ‐4 ‐1 16 ‐12
1
El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea
1 ‐4 ‐1 16 ‐12
1
1
Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en este caso también
uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del
–4
1 ‐4 ‐1 16 ‐12
1 1
1
Se suma –4+1=‐3
1 ‐4 ‐1 16 ‐12
1 1
1 ‐3
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83. Se multiplica –3 por 1=‐3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, ‐1
1 ‐4 ‐1 16 ‐12
1 1 ‐3
1 ‐3
Se suma –3‐1=‐4 y así sucesivamente
1 ‐4 ‐1 16 ‐12
1 1 ‐3 ‐4 12
1 ‐3 ‐4 12 0
Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y
que nos sirve para Factorizar.
Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12.
Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de
dividir el polinomio entre x‐1, y la última suma es el resto de dicha división.
Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea que
Dividendo=Divisor x Cociente + Resto
4 16 12 1 3 4 12
De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que
intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini.
Aplicando sucesivas veces esta regla queda:
1 ‐4 ‐1 16 ‐12
1 1 ‐3 ‐4 12
1 ‐3 ‐4 12 0
2 2 ‐2 ‐12
1 ‐1 ‐6 0
‐2 ‐2 6
1 ‐3 0
Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x‐3
La factorización final es: 4 16 12 1 2 2 3
Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se
puede factorizar dentro de los números reales.
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