Este documento trata sobre derivadas parciales de primer y segundo orden. Explica cómo calcular derivadas parciales de funciones de varias variables, la matriz jacobiana, y define funciones de clase C1, C2 y Cr cuando sus derivadas parciales correspondientes son continuas. Contiene ejemplos para ilustrar los conceptos.

2. DERIVADAS PARCIALES Dada La derivada parcial de f respecto de x es la derivada de f como función de una sola variable x, dejando y constante. La derivada parcial de f respecto de y es la derivada de f como función de una sola variable y, dejando x constante .

3. Notaciones para las derivadas parciales: EJEMPLO :

4. INTERPRETACIÓN GRÁFICA: Recta verde de pendiente Recta rosada de pendiente

5. PARA FUNCIONES DE TRES VARIABLES : Se definen las tres derivadas parciales ó derivadas respecto de x, y ó z respectivamente dejando las otras dos variables constantes. PARA FUNCIONES DE q VARIABLES:

8. MATRIZ JACOBIANA. J f (a) es la matriz con s filas y q columnas, tal que en la fila i, columna j, tiene el término (a)

9. EJEMPLO. Hallar la matriz Jacobiana en el punto a = (1,1) de la función f siguiente:

10. EJEMPLO. Hallar la matriz Jacobiana en el punto (1,2) de

12. DERIVADAS PARCIALES SEGUNDAS: Se obtiene derivando parcialmente respecto a una variable x_i (dejando las demás fijas) y a lo que se obtiene derivándolo parcialmente respecto a otra o la misma variable x_j (dejando las demás fijas). Derivadas “iteradas”

13. EJEMPLO: Calcular las derivadas parciales primeras y segundas de f. Verificar que las derivadas iteradas son iguales entre sí.

14. DEFINICIÓN: si existen derivadas parciales primeras y son todas continuas. DEFINICIÓN: si existen derivadas parciales primeras y segundas y son todas continuas. DEFINICIÓN: si existen derivadas parciales hasta orden r y son todas continuas.

15. EJEMPLO: Encontrar si existe una función f(x,y) tal que :