El documento presenta tres métodos para estimar la varianza del coeficiente de Gini a partir de una muestra con probabilidades desiguales. Demuestra que bajo ciertas condiciones, los estimadores de varianza obtenidos mediante los métodos de linealización de Taylor, Jackknife y grupos aleatorios dependientes son asintóticamente equivalentes. El autor explica que su estrategia consiste en demostrar la equivalencia entre el estimador de grupos aleatorios dependientes y el método Jackknife.

1. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA
´
UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza para
o o
el coeficiente de Gini con los m´todos Jackknife,
e
Linealizaci´n de Taylor y Los Grupos Aleatorios
o
Dependientes
Humberto Barrios
hbarriosus@gmail.com
August 23, 2009
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

2. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Resumen
El coeficiente de Gini (Gini, 1914) ha demostrado ser una
buena medida para cuantificar el grado de uniformidad o
equidad de una variable sobre los elementos de una poblaci´n.
o
En esta trabajo se muestran tres m´todos para estimar la
e
varianza del estimador del coeficiente de Gini, en un dise˜o de
n
muestro con probabilidades desiguales.
Tambi´n se muestra bajo ciertas condiciones que las varianzas
e
estimadas del coeficiente de Gini con los m´todos
e
Linealizaci´n de Taylor, Jackknife y Grupos Aleatorios
o
Dependientes son asint´ticamentes equivalentes.
o
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

3. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Resumen
El coeficiente de Gini (Gini, 1914) ha demostrado ser una
buena medida para cuantificar el grado de uniformidad o
equidad de una variable sobre los elementos de una poblaci´n.
o
En esta trabajo se muestran tres m´todos para estimar la
e
varianza del estimador del coeficiente de Gini, en un dise˜o de
n
muestro con probabilidades desiguales.
Tambi´n se muestra bajo ciertas condiciones que las varianzas
e
estimadas del coeficiente de Gini con los m´todos
e
Linealizaci´n de Taylor, Jackknife y Grupos Aleatorios
o
Dependientes son asint´ticamentes equivalentes.
o
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

4. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Resumen
El coeficiente de Gini (Gini, 1914) ha demostrado ser una
buena medida para cuantificar el grado de uniformidad o
equidad de una variable sobre los elementos de una poblaci´n.
o
En esta trabajo se muestran tres m´todos para estimar la
e
varianza del estimador del coeficiente de Gini, en un dise˜o de
n
muestro con probabilidades desiguales.
Tambi´n se muestra bajo ciertas condiciones que las varianzas
e
estimadas del coeficiente de Gini con los m´todos
e
Linealizaci´n de Taylor, Jackknife y Grupos Aleatorios
o
Dependientes son asint´ticamentes equivalentes.
o
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

5. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Metodolog´
ıa
En el art´ıculo de Berger Y. G. A Note on Asymptotic
Equivalence of Jackknife and Linearization Variance
Estimation for the Gini Coefficient. Journal of Official
Statistics, Vol. 24, No. 4, 2008, pp. 541-555.
Por lo tanto, mi estrategia consiste en demostrar que el estimador
de la varianza con el m´todo de los grupos aleatorios
e
dependientes es equivalente al m´todo Jackknife.
e
Consecuencia:
Grupos Aleatorios Dependientes (GAD) ⇐⇒ Jackknife
GAD ⇐⇒ Jackknife ⇐⇒ Linealizaci´n de Taylor
o
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

6. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Metodolog´
ıa
En el art´ıculo de Berger Y. G. A Note on Asymptotic
Equivalence of Jackknife and Linearization Variance
Estimation for the Gini Coefficient. Journal of Official
Statistics, Vol. 24, No. 4, 2008, pp. 541-555.
Por lo tanto, mi estrategia consiste en demostrar que el estimador
de la varianza con el m´todo de los grupos aleatorios
e
dependientes es equivalente al m´todo Jackknife.
e
Consecuencia:
Grupos Aleatorios Dependientes (GAD) ⇐⇒ Jackknife
GAD ⇐⇒ Jackknife ⇐⇒ Linealizaci´n de Taylor
o
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o o

7. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Metodolog´
ıa
En el art´ıculo de Berger Y. G. A Note on Asymptotic
Equivalence of Jackknife and Linearization Variance
Estimation for the Gini Coefficient. Journal of Official
Statistics, Vol. 24, No. 4, 2008, pp. 541-555.
Por lo tanto, mi estrategia consiste en demostrar que el estimador
de la varianza con el m´todo de los grupos aleatorios
e
dependientes es equivalente al m´todo Jackknife.
e
Consecuencia:
Grupos Aleatorios Dependientes (GAD) ⇐⇒ Jackknife
GAD ⇐⇒ Jackknife ⇐⇒ Linealizaci´n de Taylor
o
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

8. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Metodolog´
ıa
En el art´ıculo de Berger Y. G. A Note on Asymptotic
Equivalence of Jackknife and Linearization Variance
Estimation for the Gini Coefficient. Journal of Official
Statistics, Vol. 24, No. 4, 2008, pp. 541-555.
Por lo tanto, mi estrategia consiste en demostrar que el estimador
de la varianza con el m´todo de los grupos aleatorios
e
dependientes es equivalente al m´todo Jackknife.
e
Consecuencia:
Grupos Aleatorios Dependientes (GAD) ⇐⇒ Jackknife
GAD ⇐⇒ Jackknife ⇐⇒ Linealizaci´n de Taylor
o
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

9. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Metodolog´
ıa
En el art´ıculo de Berger Y. G. A Note on Asymptotic
Equivalence of Jackknife and Linearization Variance
Estimation for the Gini Coefficient. Journal of Official
Statistics, Vol. 24, No. 4, 2008, pp. 541-555.
Por lo tanto, mi estrategia consiste en demostrar que el estimador
de la varianza con el m´todo de los grupos aleatorios
e
dependientes es equivalente al m´todo Jackknife.
e
Consecuencia:
Grupos Aleatorios Dependientes (GAD) ⇐⇒ Jackknife
GAD ⇐⇒ Jackknife ⇐⇒ Linealizaci´n de Taylor
o
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

10. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Linealizaci´n de Taylor para estimar Varianza
o
Teorema (de Taylor)
Sea θ = f (t1 , . . . , tJ ) un par´metro en funci´n de J totales donde
a o
tj = U yjk , j = 1, . . . , J y t ˆjπ = s yjk /πjk es un estimador de
tj . Entonces
ˆ ˆ1 ˆJ
1 θ = f (t , . . . , t ) es un estimador de θ.
2 La aproximaci´n de Taylor de primer orden de θ es:
o ˆ
ˆ = θ + J aj (tjπ − tj ) con aj = ∂f | ˆ
θ ˆ
j=1 (t ,...,t )=(t ,...,t ) .
ˆ ˆ
∂ tjπ 1π Jπ 1 J
3 Un estimador de la varianza es dada por
ˆ ˆ πkl − πk πl uk ul
ˆ ˆ
V (θ) =
s
πkl πk πl
J
donde uk =
ˆ j=1 aj yjk .
ˆ
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

11. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Linealizaci´n de Taylor para estimar Varianza
o
Teorema (de Taylor)
Sea θ = f (t1 , . . . , tJ ) un par´metro en funci´n de J totales donde
a o
tj = U yjk , j = 1, . . . , J y t ˆjπ = s yjk /πjk es un estimador de
tj . Entonces
ˆ ˆ1 ˆJ
1 θ = f (t , . . . , t ) es un estimador de θ.
2 La aproximaci´n de Taylor de primer orden de θ es:
o ˆ
ˆ = θ + J aj (tjπ − tj ) con aj = ∂f | ˆ
θ ˆ
j=1 (t ,...,t )=(t ,...,t ) .
ˆ ˆ
∂ tjπ 1π Jπ 1 J
3 Un estimador de la varianza es dada por
ˆ ˆ πkl − πk πl uk ul
ˆ ˆ
V (θ) =
s
πkl πk πl
J
donde uk =
ˆ j=1 aj yjk .
ˆ
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

12. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Linealizaci´n de Taylor para estimar Varianza
o
Teorema (de Taylor)
Sea θ = f (t1 , . . . , tJ ) un par´metro en funci´n de J totales donde
a o
tj = U yjk , j = 1, . . . , J y t ˆjπ = s yjk /πjk es un estimador de
tj . Entonces
ˆ ˆ1 ˆJ
1 θ = f (t , . . . , t ) es un estimador de θ.
2 La aproximaci´n de Taylor de primer orden de θ es:
o ˆ
ˆ = θ + J aj (tjπ − tj ) con aj = ∂f | ˆ
θ ˆ
j=1 (t ,...,t )=(t ,...,t ) .
ˆ ˆ
∂ tjπ 1π Jπ 1 J
3 Un estimador de la varianza es dada por
ˆ ˆ πkl − πk πl uk ul
ˆ ˆ
V (θ) =
s
πkl πk πl
J
donde uk =
ˆ j=1 aj yjk .
ˆ
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

13. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Linealizaci´n de Taylor para estimar Varianza
o
Teorema (de Taylor)
Sea θ = f (t1 , . . . , tJ ) un par´metro en funci´n de J totales donde
a o
tj = U yjk , j = 1, . . . , J y t ˆjπ = s yjk /πjk es un estimador de
tj . Entonces
ˆ ˆ1 ˆJ
1 θ = f (t , . . . , t ) es un estimador de θ.
2 La aproximaci´n de Taylor de primer orden de θ es:
o ˆ
ˆ = θ + J aj (tjπ − tj ) con aj = ∂f | ˆ
θ ˆ
j=1 (t ,...,t )=(t ,...,t ) .
ˆ ˆ
∂ tjπ 1π Jπ 1 J
3 Un estimador de la varianza es dada por
ˆ ˆ πkl − πk πl uk ul
ˆ ˆ
V (θ) =
s
πkl πk πl
J
donde uk =
ˆ j=1 aj yjk .
ˆ
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

14. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Ejemplo
As´ por ejemplo, el estimador de primer orden de Taylor para el
ı,
ˆ
t
o ˆ ˆ ˆ
estimador de una raz´n, R = f (ty , tx ) = ty , en el punto (ty , tx ) es:
ˆ y
1 ˆ ty ˆ 1 ˆ 1 ˆ
R ∼ R + (ty − ty ) − 2 (tx − tx ) = R + (ty − ty ) − R(tx − tx )
ˆ=
tx tx tx tx
ˆ
por lo tanto un estimador para la varianza de R esta dada por
ˆ ˆ 1
V (R) = 2 [R2 V (tx ) + V (ty ) − 2RC(tx , ty )]
ˆ ˆ ˆ ˆ
tx
Si el dise˜o es un muestreo aleatorio simple sin reemplazo,
n
entonces las estimaciones de las varianzas y las covarianzas de los
totales son las ya conocidas.
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

15. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Coeficiente de Gini
Ejemplo
U = {1, · · · , j, · · · , N }, donde N es el n´mero de individuos en
u
esa poblaci´n. Sea yj el ingreso del individuo i. El coeficiente
o
poblaci´n finito de Gini se define (Glasser) por
o
1
γ= (2F (yj ) − 1)yj (1)
t
j∈U
donde t = i∈U yj y la funci´n de distribuci´n del ingreso
o o
1
F (y) = δ{yj ≤ y}
N
j∈U
donde
1, si yj ≤ y;
δ{yj ≤ y} =
0, en otro caso.
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

16. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Estimaci´n de la Varianza por Linealizaci´n
o o
Estimaci´n del coeficiente de Gini
o
1 ˆ yj
γ=
ˆ (2F (yj ) − 1)
ˆ
tπ πj
j∈s
Estimaci´n de la varianza del coeficiente de Gini
o
ˆ γ πkl − πk πl uk ul
ˆ ˆ
V (ˆ ) =
s
πkl πk πl
donde
ˆ 1 1
F (y) = δ{yj < y}
N πj
j∈s
y
1 ˆ
uj =
ˆ 2yj F (yj ) − (ˆ + 1)yj
γ
ˆ
t
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

17. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
M´todo la Navaja
e
Sea s una muestra de tama˜o n fijo extra´ de una poblaci´n U
n ıda o
de tama˜o N con un dise˜o p(.) sin reemplazo, se divide s en R
n n
ˆ
grupos aleatorios disjuntos. Se calcula θ(r) como un estimador de θ
a partir de la muestra s omitiendo el r-´simo grupo aleatorio sr .
e
El r-´simo seudovalor Jackknife de θ, se define
e
ˆ ˆ ˆ
θr = θ + (R − 1)θ(r) .
El estimador Jackknife de θ, se define
R
ˆ
θJK = 1 ˆ
θr
R
r=1
el estimador Jackknife de la varianza se define como
R
ˆ 1 ˆ ˆ
VJK1 = (θr − θJK )2 (2)
R(R − 1)
r=1
ˆ ˆ ˆ
otra manera de VJK2 es sustituir en 2 a θJK por θ.
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

18. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
M´todo la Navaja
e
Sea s una muestra de tama˜o n fijo extra´ de una poblaci´n U
n ıda o
de tama˜o N con un dise˜o p(.) sin reemplazo, se divide s en R
n n
ˆ
grupos aleatorios disjuntos. Se calcula θ(r) como un estimador de θ
a partir de la muestra s omitiendo el r-´simo grupo aleatorio sr .
e
El r-´simo seudovalor Jackknife de θ, se define
e
ˆ ˆ ˆ
θr = θ + (R − 1)θ(r) .
El estimador Jackknife de θ, se define
R
ˆ
θJK = 1 ˆ
θr
R
r=1
el estimador Jackknife de la varianza se define como
R
ˆ 1 ˆ ˆ
VJK1 = (θr − θJK )2 (2)
R(R − 1)
r=1
ˆ ˆ ˆ
otra manera de VJK2 es sustituir en 2 a θJK por θ.
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

19. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
M´todo de los Grupos Aleatorios Dependientes
e
Sea s una muestra de tama˜o n fijo extra´ de una poblaci´n U
n ıda o
de tama˜o N con un dise˜o p(.) sin reemplazo, se divide s en R
n n
ˆ
grupos aleatorios disjuntos. Se calcula θr como un estimador de θ
con el r-´simo grupo aleatorio sr .
e
El estimador de θ con los Grupos Aleatorios Dependientes, se
define
R
ˆ
θGAD = 1 ˆ
θr
R
r=1
el estimador GAD de la varianza se define como
R
ˆ 1 ˆ ˆ
VGAD = (θr − θGAD )2 (3)
R(R − 1)
r=1
ˆ ˆ ˆ
otra manera de VGAD es sustituir en 3 a θGAD por θ.
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

20. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
M´todo de los Grupos Aleatorios Dependientes
e
Sea s una muestra de tama˜o n fijo extra´ de una poblaci´n U
n ıda o
de tama˜o N con un dise˜o p(.) sin reemplazo, se divide s en R
n n
ˆ
grupos aleatorios disjuntos. Se calcula θr como un estimador de θ
con el r-´simo grupo aleatorio sr .
e
El estimador de θ con los Grupos Aleatorios Dependientes, se
define
R
ˆ
θGAD = 1 ˆ
θr
R
r=1
el estimador GAD de la varianza se define como
R
ˆ 1 ˆ ˆ
VGAD = (θr − θGAD )2 (3)
R(R − 1)
r=1
ˆ ˆ ˆ
otra manera de VGAD es sustituir en 3 a θGAD por θ.
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

21. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
En el caso del Estimador Horvitz-Thompson
Teorema
Sup´ngase una muestra s seleccionada con un dise˜o πpt de
o n
ˆ ˆ
tama˜o fijo n = mR. Sea θGAD y θGAD los estimadores obtenido
n
con R grupos aleatorios dependientes s1 , . . . , sr , . . . , sR de s,
como se defini´ anteriormente. Entonces
o
ˆ ˆ ˆ
θGAD = θJK = tπ (4)
ˆ ˆ ˆ ˆ
E(VGAD ) = E(VJK ) = E(V (tppt )) (5)
ˆ ˆ ˆ ˆ
B(VGAD ) = B(VJK ) = E(VGAD ) − V (tπ ) (6)
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

22. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
ˆ γ
Supuestos para estimar V (ˆ )
Estimaci´n del coeficiente de Gini
o
1 ˆ yj
γ=
ˆ (2F (yj ) − 1)
ˆπ
t j∈s πj
Estimaci´n del coeficiente de Gini con GAD
o
ˆ
tπ con la muestra original s.
ˆ
(2F (yj ) − 1) con la muestra original s.
ˆ yj
γr = t1 (2F (yj ) − 1) j∈sr
ˆ ˆπ πj con cada uno de los grupos
aleatorios sr , r = 1, . . . , R.
R
γGAD =
ˆ r=1 γr
ˆ
R
ˆ γ R
V (ˆGAD ) = (ˆr − γGAD )2
γ ˆ
R(R − 1)
r=1
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

23. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
ˆ γ
Supuestos para estimar V (ˆ )
Estimaci´n del coeficiente de Gini
o
1 ˆ yj
γ=
ˆ (2F (yj ) − 1)
ˆπ
t j∈s πj
Estimaci´n del coeficiente de Gini con GAD
o
ˆ
tπ con la muestra original s.
ˆ
(2F (yj ) − 1) con la muestra original s.
ˆ yj
γr = t1 (2F (yj ) − 1) j∈sr
ˆ ˆπ πj con cada uno de los grupos
aleatorios sr , r = 1, . . . , R.
R
γGAD =
ˆ r=1 γr
ˆ
R
ˆ γ R
V (ˆGAD ) = (ˆr − γGAD )2
γ ˆ
R(R − 1)
r=1
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

24. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
ˆ γ
Supuestos para estimar V (ˆ )
Estimaci´n del coeficiente de Gini
o
1 ˆ yj
γ=
ˆ (2F (yj ) − 1)
ˆπ
t j∈s πj
Estimaci´n del coeficiente de Gini con GAD
o
ˆ
tπ con la muestra original s.
ˆ
(2F (yj ) − 1) con la muestra original s.
ˆ yj
γr = t1 (2F (yj ) − 1) j∈sr
ˆ ˆπ πj con cada uno de los grupos
aleatorios sr , r = 1, . . . , R.
R
γGAD =
ˆ r=1 γr
ˆ
R
ˆ γ R
V (ˆGAD ) = (ˆr − γGAD )2
γ ˆ
R(R − 1)
r=1
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

25. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
ˆ γ
Supuestos para estimar V (ˆ )
Estimaci´n del coeficiente de Gini
o
1 ˆ yj
γ=
ˆ (2F (yj ) − 1)
ˆπ
t j∈s πj
Estimaci´n del coeficiente de Gini con GAD
o
ˆ
tπ con la muestra original s.
ˆ
(2F (yj ) − 1) con la muestra original s.
ˆ yj
γr = t1 (2F (yj ) − 1) j∈sr
ˆ ˆπ πj con cada uno de los grupos
aleatorios sr , r = 1, . . . , R.
R
γGAD =
ˆ r=1 γr
ˆ
R
ˆ γ R
V (ˆGAD ) = (ˆr − γGAD )2
γ ˆ
R(R − 1)
r=1
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

26. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
ˆ γ
Supuestos para estimar V (ˆ )
Estimaci´n del coeficiente de Gini
o
1 ˆ yj
γ=
ˆ (2F (yj ) − 1)
ˆπ
t j∈s πj
Estimaci´n del coeficiente de Gini con GAD
o
ˆ
tπ con la muestra original s.
ˆ
(2F (yj ) − 1) con la muestra original s.
ˆ yj
γr = t1 (2F (yj ) − 1) j∈sr
ˆ ˆπ πj con cada uno de los grupos
aleatorios sr , r = 1, . . . , R.
R
γGAD =
ˆ r=1 γr
ˆ
R
ˆ γ R
V (ˆGAD ) = (ˆr − γGAD )2
γ ˆ
R(R − 1)
r=1
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

27. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
ˆ γ
Supuestos para estimar V (ˆ )
Estimaci´n del coeficiente de Gini
o
1 ˆ yj
γ=
ˆ (2F (yj ) − 1)
ˆπ
t j∈s πj
Estimaci´n del coeficiente de Gini con GAD
o
ˆ
tπ con la muestra original s.
ˆ
(2F (yj ) − 1) con la muestra original s.
ˆ yj
γr = t1 (2F (yj ) − 1) j∈sr
ˆ ˆπ πj con cada uno de los grupos
aleatorios sr , r = 1, . . . , R.
R
γGAD =
ˆ r=1 γr
ˆ
R
ˆ γ R
V (ˆGAD ) = (ˆr − γGAD )2
γ ˆ
R(R − 1)
r=1
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

28. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Teorema
Como
ˆ γ ˆ γ
V (ˆGAD ) = V (ˆJK )
y
ˆ γ ˆ γ
V (ˆJK ) = V (ˆ )
Entonces
ˆ γ ˆ γ
V (ˆGAD ) = V (ˆ )
Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
o o

29. ´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Referencias bibliogr´ficas
a
1 Berger, Y. G. (2008), A Note on the Asymptotic Equivalence
of Jackknife and Linearization Variance Estimation for the
Gini Coefcient, Journal of Official Statistics, Vol. 24, No. 4,
pp. 541-555.
2 Lohr, S. (1999). Muestreo: Dise˜o y An´lisis, International
n a
Thomson Editores.
3 Pierre Duchesne. (2000). A Note on Jackknife Variance
Estimation for the General Regression Estimator, Journal of
Official Statistics, Vol. 16, No. 2, pp. 133-138.
4 Park M.(2006). Alternative Designs for Regression Estimation.
Journal of Official Statistics, Vol. 22, No. 3, pp. 541-563.
5 S¨rndal, C.-E., Swenson, B., and Wretman, J.H. (1992).
a
Model Assisted Survey Sampling. New York: Springer-Verlag.
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Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR Equivalencia asint´tica de la estimaci´n de la varianza
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