Nivelacion fisica 2016

Curso de Nivelación - Física
CURSO DE NIVELACIÓN
FÍSICA
Dra. Claudia Carletti
Ing. Daniel Chiaradía
Prof. Zulma Padín

Contenido
CINEMATICA DEL CUERPO PUNTUAL....................................................................................................... 1
Cuerpo puntual ............................................................................................................................................... 1
Movimiento a lo largo de una línea............................................................................................................. 1
Movimiento rectilíneo uniforme ...............................................................................................................10
Movimiento rectilíneo uniformemente variado .....................................................................................14
Aceleración media: definición general para movimiento rectilíneo ..................................................15
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado ...................................................................................17
Gráficos de Posición, Velocidad y Aceleración en Función del Tiempo........................................... 23
Curva representativa de la aceleración en función del tiempo ........................................................ 24
Curva de velocidad en función del tiempo............................................................................................. 24
Posición en función del tiempo................................................................................................................. 25
CASO 1: Movimiento rectilíneo uniforme con velocidad positiva ................................................ 27
CASO 2: Movimiento rectilíneo uniforme con velocidad negativa .............................................. 28
CASO 3: Movimiento rectilíneo uniformemente variado con aceleración positiva y con
velocidad inicial nula.............................................................................................................................. 29
velocidad inicial positiva........................................................................................................................ 30
velocidad inicial negativa.......................................................................................................................31
CASO 6: Movimiento rectilíneo uniformemente variado con aceleración negativa y con
velocidad inicial nula.............................................................................................................................. 32
CASO 7: movimiento rectilíneo uniformemente variado con aceleración negativa y con
velocidad inicial positiva ....................................................................................................................... 33
CASO 8: Movimiento rectilíneo uniformemente variado con aceleración negativa y con
velocidad inicial negativa...................................................................................................................... 34
Método de las áreas ..................................................................................................................................35
Estudio de la caída de los cuerpos puntuales....................................................................................... 39
ESTÁTICA....................................................................................................................................................... 47
Aplicación de Trigonometría.................................................................................................................... 47
Magnitudes Escalares y Vectoriales ...................................................................................................... 49
Propiedades y operaciones con vectores.............................................................................................. 54
Propiedades de los vectores................................................................................................................ 54

Resta de vectores – método gráfico .............................................................................................. 58
Producto de un vector por un escalar ............................................................................................... 58
Noción de Fuerza ........................................................................................................................................61
Interacciones y Fuerzas........................................................................................................................... 62
¿Cerca o Lejos? .......................................................................................................................................... 62
La Fuerza es un Vector............................................................................................................................. 63
Las Unidades de Fuerza............................................................................................................................ 65
Suma de Fuerzas........................................................................................................................................ 66
¿Podemos conocer la “historia” de la Resultante? .............................................................................. 69
Tipos de Fuerza.......................................................................................................................................... 72
Fuerza Gravitacional ............................................................................................................................. 72
El Peso ...................................................................................................................................................... 73
La Normal ................................................................................................................................................ 74
Fuerzas de Rozamiento ........................................................................................................................ 75
Las Fuerzas Elásticas ........................................................................................................................... 75
Diagrama de Cuerpo Libre ................................................................................................................... 76
Cuerpos en reposo.................................................................................................................................. 78
DINÁMICA...................................................................................................................................................... 80
Leyes de Newton.........................................................................................................................................81
Primera Ley de Newton. Principio de Inercia ...................................................................................... 84
Segunda Ley de Newton Principio de Masa .......................................................................................... 85
Tercera Ley de Newton. Principio de Acción y Reacción................................................................... 86
Unidades....................................................................................................................................................... 88
Interacciones Fundamentales ..................................................................................................................91
Fuerzas de Contacto y a Distancia......................................................................................................... 92
Fuerzas de Rozamiento (Estático y Dinámico) .................................................................................... 92

1
CINEMATICA DEL CUERPO PUNTUAL
Es importante que, antes de comenzar a estudiar Física, nos pongamos de acuerdo
en la importancia de hablar un mismo idioma. No utilizar la palabra justa nos lleva a no
disponer del concepto justo, y por ende a no tener las ideas claras. Esto implica que los
términos que introduciremos en lo sucesivo deberán incorporarse a nuestro vocabulario
y sostenerlos evitando la introducción de terminología alternativa.
Cabe en este punto introducir un concepto de partida:
Cuerpo puntual
“Un cuerpo se dice puntual cuando su volumen es despreciable1
frente al volumen
del medio que lo rodea.”
Esta definición nos permite tratar a un satélite de comunicaciones que orbita la
Tierra como a un cuerpo puntual, aun cuando su volumen es claramente no despreciable
si lo observamos dentro del laboratorio donde fue construido.
Sin embargo no siempre requerimos que un cuerpo sea de volumen despreciable
para estudiarlo como puntual. Un cuerpo podrá asumirse como puntual cuando al
simplificarlo como un punto en el espacio donde está reunida toda su masa, no se esté
afectando, en comparación con el caso real, la Física bajo estudio. En función de nuestro
interés inmediato, la “Física bajo estudio” consistirá en lograr modelar y predecir el
movimiento de un cuerpo en función del tiempo.
Movimiento a lo largo de una línea
Vamos a definir “movimiento”, es decir, ¿de qué hablamos cuando hablamos del
movimiento de un objeto?... lo primero que se nos ocurre a la hora de definirlo es:
Esto es correcto, sin embargo esta definición nos lleva a la necesidad de
especificar el significado de otro concepto muy importante en física. “la posición”:
definir “posición” tiene sus inconvenientes.
1
Despreciable: que se puede despreciar... en física este término se utiliza para indicar que la
cosa (el sujeto) a la que se refiere es tan pequeña que se pude considerar nula. Si decimos que el
volumen de un cuerpo es despreciable, queremos decir que el volumen de dicho cuerpo es muy
pequeño, prácticamente nulo, en comparación a las dimensiones del medio que lo rodea.
“movimiento es el cambio de posición del objeto”.

2
Analicemos la siguiente situación: los profesores de matemática y de lengua están
hablando de los alumnos ingresantes del curso 3roB mientras estos forman una sola fila
y el de matemática quiere hacer referencia a uno de los alumnos para que el profesor de
lengua lo pueda identificar (ninguno de los dos recuerda aún los nombres de los alumnos).
¿Cómo haría uno, en el lugar del profesor de matemática, para referenciar al alumno en
cuestión? ¿Qué información deberíamos proporcionar al profesor de lengua?.
La única forma para que nuestras indicaciones no sean ambiguas es que hayamos
dado un punto de partida claro para que el profesor de lengua pueda interpretar nuestros
datos (ej: El cuarto alumno de adelante hacia atrás).
Dado que nuestro interés se enfoca en estudiar el movimiento de cuerpos, y en
forma análoga a lo expuesto en el ejemplo anterior, debemos definir un punto de partida.
El lugar del espacio que designemos como punto de partida o posición cero, es lo
que llamaremos “posición de referencia”. La posición del alumno estará determinada por
la distancia del mismo al punto de partida, a lo largo de una dirección determinada
En el ejemplo anterior, se definió la posición de un objeto sobre una línea, la fila
que formaban los alumnos. Para definir la posición en un plano, en general se necesitan
dos coordenadas, por lo tanto decimos que nuestro espacio es bidimensional. A
continuación vamos a definir la posición a lo largo de un camino. En este caso muy
particular nuestro espacio se reduce a una única dimensión, la única dirección posible es
la del camino. Aun cuando el camino pueda ser recto o curvo, y para nosotros todo
ocurrirá a lo largo del mismo, de ahora en más solo vamos a considerar camino rectos. En
Física, se utilizan modelos, por lo cual primero se analizan, estudian y resuelven las
situaciones más sencillas para luego, cuando éstas estén perfectamente comprendidas,
pasar a situaciones más complejas. De este modo se van agregando dificultades a los
modelos como si fueran los escalones que permitirán alcanzar la cima paso a paso. Luego,
“La posición de un objeto a lo largo de un camino previamente establecido, respecto
de un punto de referencia fijo, queda determinada por:
a) su distancia a dicho punto
b) por el sentido de recorrido desde el punto de referencia”
La posición tiene unidades de longitud. En el sistema internacional (SI), la unidad
de medida es el metro [m] o sus múltiplos y submúltiplos [Km, cm, mm, etc.].
Esto quiere decir que conocido el camino por el cual puede moverse el objeto,

3
deberemos especificar a qué distancia se encuentra de un dado punto de referencia y en
qué sentido tomaremos esa distancia.
Ejemplo 1
Supongamos que Juan se encuentra en la Avenida Alem en Bahía Blanca y además
sabemos que está a 300 metros del edificio de la UNS. Podríamos entonces usar la UNS
como punto fijo de referencia. Aún no sabemos dónde se encuentra, ya que puede estar
300 m hacia la izquierda de la UNS, en el plano de la figura, hacia el Parque de Mayo o
300m hacia la derecha (hacia el Teatro Municipal). Deberemos especificar en qué
sentido debemos desplazarnos respecto de la UNS para hallarlo.
Veamos cómo escribir esto matemáticamente. Definimos un eje siempre paralelo
al camino: eje “x”, un punto de referencia: origen ( x = 0 ) en nuestro caso la UNS, y un
sentido: positivo hacia el teatro y negativo hacia el parque. Planteada de esta forma,
la posición es x = −300 m Bien, ya nos estamos expresando matemáticamente.
Ahora supongamos que Juan camina hacia la derecha y que luego de un tiempo pasa
por el Club Universitario, a 100m de la UNS. Decimos que Juan se desplazó. Definimos
el desplazamiento de la siguiente forma:
Δx: Se dice “delta equis”
Δ: Es una letra griega con la que indicamos un intervalo. Este intervalo (o rango)
está dado por la diferencia entre dos valores de la variable que acompaña al símbolo.
Si inicialmente Juan se encuentra en la posición x0 = −300m y luego de un dado
tiempo, pasa por la entrada al Club Universitario, es decir se encuentra En la posición x =
Desplazamiento neto: Es la diferencia entre la posición final (x) del móvil y la
posición inicial del mismo (x0) y matemáticamente se expresa de la siguiente forma
desplazamiento=Δx = x −x0

4
+100 m el desplazamiento, Δx, de Juan es
Δx = x − x0 = (100 −(−300))m = +400 m
El desplazamiento se define en un dado intervalo de tiempo, Δt (Δt:"delta t")
Llamamos posición inicial a la posición considerada “de partida”, y decimos que esto
ocurre en un instante t0 .
Llamamos posición final a la posición considerada “de llegada”, punto por el que pasa
el móvil un intervalo Δt posterior, es decir en un instante t = (t0 + Δt).
t0: Instante en el que se inicia el movimiento o bien instante a partir del cual
comenzaré a describir el movimiento del móvil.
t: Instante final, éste No indica necesariamente el instante en el que cesa el
movimiento. t es un instante particular durante el movimiento del móvil, un instante en
el cual estamos interesados
por alguna razón. En el ejemplo, t representa el momento en el que Juan pasa por
el Club.
Δt representa el intervalo de tiempo transcurrido entre dos instantes Δt = (t −t0).
Como vemos la posición del móvil cambia con el tiempo, por lo cual podemos definirla como
función del tiempox (t) . La función posición puede ser muy compleja, y describe cómo
se mueve el móvil a lo largo del camino. Si conocemos la posición del móvil en todo
instante, decimos que el movimiento del mismo es completamente conocido.
Por ejemplo:
A las 3 de la tarde Juan se encontraba frente a la fuente de la UNS, demoró 20
minutos en llegar al teatro. Luego caminó hacia el parque, pasó nuevamente frente a la
fuente de Lola Mora (la fuente de la UNS) y a las 4 de la tarde frente al parque, a 300
metros de la fuente de la UNS.
Posición inicial: x(15hs) = 0

5
Nuestro instante inicial es t0= 15 hs
Posición final: x (16hs) = −300m
Nuestro instante final es t = 16 hs
Intervalo de tiempo Δt =t −t0 = 16hs −15hs
Desplazamiento neto = posición final – posición inicial:
Δx = x (16hs) − x (15hs) = −300m− 0 = −300m
Notemos que el desplazamiento neto indica la posición final respecto del punto de
partida (posición inicial) y no considera la ida y vuelta al teatro.
Es decir, si el tiempo transcurrido desde el instante inicial al final es grande, el
desplazamiento no necesariamente representa el movimiento del móvil. En el ejemplo
anterior el desplazamiento no informa acerca de todo el camino o distancia recorrida.
La “distancia total recorrida” es simplemente una longitud, y la identificaremos con
la letra “D mayúscula”. Como es una distancia, las unidades que usaremos para expresarlas
son las unidades de longitud, es decir, Km, m, cm, mm, pie, pulgada, etc.
En el ejemplo anterior, y considerando que el teatro está a 13 cuadras de la UNS,
vamos a suponer 100 m por cuadras para simplificar, es decir 1300 m, aunque la distancia
real es otra, la distancia total recorrida es:
D = 1300 m + 1300 m +300 m = 2900 m
Retomemos la definición de movimiento. Dijimos que el movimiento implica un cambio
de posición del objeto bajo estudio. Sin embargo, según el ejemplo anterior, no es lo
Distancia total recorrida: Es la longitud de la trayectoria (camino) medida desde el
punto considerado de partida (punto por el que pasa el móvil en un instante t), y el
punto considerado de llegada (punto por el que pasa el móvil un cierto tiempo
después).

6
mismo que Juan recorra una cuadra en 2 minutos a que demore media hora en hacerlo.
Claramente éstos son movimientos distintos. Por lo tanto, a la definición dada le falta
algo... hay que agregar la idea de tiempo, a fin de tener una definición completa de
movimiento. Así, si juntamos ambas ideas, cambio de posición y tiempo transcurrido,
podríamos concluir que:
Consideremos el siguiente ejemplo: Juan parte desde su casa, al 300 de Alem,
aproximadamente a 900 m de la UNS, a las 7:30 hs, comienza a trotar hacia el parque. A
las 7:32, luego de recorrer 400 m, se detiene a charlar con un amigo, a las 7:45 retoma
su actividad y pasa trotando frente a la UNS a las 7:48. Recorre, 400 m, sobre Av Alem
hasta calle Florida y a las 7:52 pasa por la UNS de regreso a su casa. Al cabo de 3 min,
luego de recorrer 600 m, se detiene para hablar con un vecino, retomando el recorrido
luego 5 minutos. Llega a su casa a las 8:02 hs.
¿Cómo describirías el movimiento de Juan? ¿Qué magnitudes físicas usarías vos
para tal fin?
Como observarás el movimiento de Juan cambia durante el recorrido. Algunos
tramos los recorre con mayor rapidez que otros, e incluso hay intervalos durante los
cuales está detenido. Tratemos de visualizar con mayor claridad cómo es el movimiento
de Juan, hagamos un esquema del movimiento.
Lo primero que se nos ocurre para graficar los movimientos de Juan es trazar una
línea para representar sus posiciones, esto es la coordenada x. Debajo de esta
coordenada representaremos la trayectoria seguida indicando, para algunas posiciones,
“Un cuerpo se mueve cuando su posición cambia
con el tiempo”

7
la hora en que se encontraba allí. En el gráfico, las fechas indican el sentido del
movimiento. Para representar los momentos en los que se detuvo, se pusieron dos valores
horarios para la misma posición, uno por encima y por debajo de la línea de recorrido.
Este tipo de gráficos puede resultar confuso y poco práctico. Pensemos otra manera
de visualizar el problema.
Ejemplo 2
Supongamos un médico cardiólogo que realiza un electrocardiograma, para lo cual
utiliza un electrocardiógrafo. Este aparato reacciona ante los pulsos eléctricos del
corazón con un marcador que oscila en forma vertical. Si el marcador trabajara sobre un
papel quieto el resultado sería el siguiente:
Lo que queda en el papel es una mancha de tinta, por lo tanto está claro que con
esta información no se podría diagnosticar absolutamente nada.
Este inconveniente se soluciona si desplazamos el papel a medida que transcurre el
tiempo. Para que el análisis de las oscilaciones tenga sentido es imperativo que el papel
se mueva en forma constante en el tiempo. ¿Podría encontrar una justificación para esta
necesidad?¿Es importante el sentido en que se mueve el papel?
Quedaría algo así:
Grafiquemos el movimiento de Juan, Ejemplo 1, de la misma forma en que se grafica

8
un electrocardiograma. Nosotros no podemos hacer que el papel se mueva como en el caso
del electro cardiograma por lo tanto lo que haremos es dibujar la posición en un eje
vertical y a medida que cambia la posición de Juan2
moveremos nuestra mano en forma
constante hacia la derecha de manera tal que el eje horizontal representará el
transcurrir del tiempo.
Para simplificar nuestro análisis supondremos que en cada intervalo de tiempo
indicado Juan trota a un ritmo constante, luego el gráfico de posición en función del
tiempo queda así:
En el gráfico, la posición inicial, es decir, la posición de Juan en el momento en el
que se comienza a describir el movimiento, está indicada con un círculo rojo. Obsérvese
que el tiempo, representado en el eje horizontal (eje de las abscisas), se mide en
minutos y se cuenta a partir del instante t0= 0 min; el instante en el que Juan sale de la
casa, justo a las 7:30Hs. A partir de ese momento, cronómetro en mano, comenzamos a
medir el tiempo y a observar el movimiento del móvil.
Con círculos indicamos las posiciones de Juan enunciadas en el ejemplo. Ahora bien,
las posiciones de Juan en tiempos intermedios no las conocemos, por ejemplo, la posición
de Juan un minuto luego de iniciado el movimiento no es dato conocido, por lo tanto no
2
los cambios de posición son hacia arriba o hacia abajo por que los registramos en un eje
vertical.

9
puedo graficarla a menos que tenga información adicional. En el ejemplo planteado
contamos con dicha información, ya que nos aclaran que en cada tramo del movimiento
Juan trota a un ritmo constante, es decir que la distancia que cubre en cada minuto de
movimiento es la misma.
Según observamos en la gráfica, la posición de Juan en el intervalo que va desde los
2 a los 15 minutos (desde las 7:32 hasta las 7:45) no cambia, es decir, durante dicho
intervalo Juan está detenido, en todo ese tiempo se encuentra a 600 m de la UNS. Lo
mismo ocurre en el intervalo [25 min,30 min].

10
Movimiento rectilíneo uniforme
El concepto de movimiento nos permite acercarnos a una idea de lo que es la
velocidad. El cambio de posición es el desplazamiento; en nuestro caso de interés, el
movimiento a lo largo del camino solo tiene cambios de magnitud y sentido ya que la
trayectoria es una recta. Si medimos el desplazamiento por unidad de tiempo
transcurrido, es decir, si realizamos el cociente entre el desplazamiento realizado y el
tiempo, obtenemos una cantidad cuya magnitud depende del tiempo y cuyo sentido es el
del desplazamiento neto. A esta magnitud la llamamos velocidad media.
Cuando recorremos un camino, en general nuestra rapidez no siempre es la
misma, en ciertos intervalos caminamos más rápido y en otros, más lento. La velocidad
media de nuestro recorrido es la velocidad promediada durante todo
el intervalo Δt que duró la caminata.
Esta definición se puede expresar matemáticamente de la siguiente forma:
0
0
tt
xx
t
x
v






donde v es el vector velocidad media (o velocidad promediada en el tiempo) y la
raya colocada sobre el símbolo de velocidad es una notación estadística que significa
valor medio.
Tenemos que tener cuidado cuando hablamos de velocidad media, velocidad
promedio o velocidad promediada, ya que es usual que en el lenguaje cotidiano se mezclen
los significados de estos término y muchas veces se utilicen erróneamente. Veamos un
ejemplo que nos aclare que error no debemos cometer:
Velocidad Media: Es el cociente entre el
desplazamiento y el intervalo de tiempo
transcurrido en dicho desplazamiento
La dirección y el sentido de la velocidad media son la
dirección y el sentido del desplazamiento.

11
Una familia viaja a Monte Hermoso, distante 130 Km de Bahía Blanca. Los primeros
40 Km los recorre, a 80 Km/h, tardando media hora. Debido al tránsito, los siguientes
60 Km los recorre a una velocidad de 60 Km/h tardando una hora. Al llegar a la entrada
de Monte Hermoso deben detenerse, por un operativo policial, durante 20 minutos, luego
del cual siguen el viaje. Los últimos 30 Km los recorren a 60 Km/h, tardando 30 minutos.
La distancia total recorrida son 130 Km y el tiempo total empleado es de 2 horas y
20 minutos (2.3333 hs). Por lo tanto la velocidad media es:
hkm
h
km
v /7.55
333.2
130

Esto, no el lo mismo que “promediar” las velocidades. Si hiciéramos este
cálculo obtendríamos el siguiente resultado
hkm
hkmhkm
svelocidadedepromedio /70
2
/60/80



La velocidad media indica el valor de velocidad constante que en el intervalo de
tiempo Δt hubiera dado lugar a una distancia recorrida igual al desplazamiento. Lo
correcto para encontrar la velocidad media es hacer el promedio temporal de las
velocidades, también llamado velocidad promediada o velocidad promedio:
hkmpromvel
hkmhkmhkmhkm
promvel
/7.55..
min140
min30/60min20/0min60/60min30/80
..



Como se puede verificar, este valor es igual que el calculado anteriormente, lo
único que la forma de obtenerlo es distinta.
Es importante notar que la velocidad media será
positiva cuando el desplazamiento neto sea positivo y
negativa cuando el desplazamiento neto sea negativo,
tomados desde un sistema de referencia particular.

12
Continuemos desarrollando el ejemplo de la sección anterior, Ejemplo 1
Podemos ver que en el intervalo que en el intervalo (0 min, 2 min) el
desplazamiento es
mmmxxx 3009006000 
por lo tanto la velocidad media durante dicho intervalo es:
smm
mxx
v /5.2min/150
min2
300
min0min2
min)0(min)2(






Obsérvese el signo de la velocidad… ¿cuál es el significado físico de la velocidad
media negativa?
En el intervalo (2min ;15min) Juan está detenido, es decir, el desplazamiento es nulo,
por lo cual la velocidad promedio también es nula.
En el intervalo (15min ;18min) , va desde la posición xi= x (15min) = 600m hasta la
UNS xf = x =(18min) = 0m , por lo cual el desplazamiento es:
mmmx 6006000 
Siendo
min3min15min18 t
Luego la velocidad media es:
smm
m
v /333.3min/200
min3
600




El enunciado del problema afirma que Juan trota a un ritmo constante, por lo cual
podemos asegurar que la velocidad media se mantendrá constante en todo el intervalo
(15min; 20 min). Ahora bien, ¿Qué se puede afirmar acerca de la velocidad de Juan en el
intervalo (20 min; 25min)? El desplazamiento es 1000 m (positivos) en 5 min, luego la
velocidad media es:
min/200
min5
1000
m
m
v 

13
¿Cuál es la velocidad media en todo el trayecto de vuelta? Bien, el desplazamiento
neto durante el regreso es
mmmxregreso 1300)400(900 
y Juan tarda 12 min en recorrerlo, luego la velocidad media es:
min/33.108
min12
1300
m
m
v 
¿Por qué se redujo tan fuertemente el valor de la velocidad media respecto del
valor calculado en el intervalo (15min; 25min)? ¿Es este valor fiel a lo que ocurre
realmente durante el trayecto de vuelta?
Por lo antes dicho, concluimos que la velocidad media no respeta al movimiento real.
Un ejemplo que aclara esta idea es el siguiente: Juan sale todas las mañanas de su casa a
trotar, realiza un recorrido tal que al cabo de un tiempo regresa al punto de partida.
Como vuelve a su casa el desplazamiento total es nulo, luego, de acuerdo a la definición
de velocidad media, ésta resulta ser nula para ese intervalo de tiempo, aunque está claro
que la distancia recorrida no fue nula, por lo tanto hubo un movimiento.
Claramente vemos que la velocidad media no es una magnitud que me permita
describir el movimiento real si los intervalos Δt son grandes. En realidad nos
aproximamos al movimiento real cuando dividimos el movimiento en intervalos más
pequeños. De esta forma, la dirección y sentido de cada desplazamiento se asemeja cada
vez más al camino. Si hacemos que los intervalos Δt sean lo suficientemente pequeños,
con cada desplazamiento podremos seguir la curva del camino real.
A fin de determinar matemáticamente lo que significa un intervalo temporal lo
suficientemente pequeño, vamos a utilizar una abstracción matemática, diremos que el
tiempo que duró el movimiento se divide en infinitos intervalos muy pequeños Δt ≅ 0 y
que los desplazamientos en dichos intervalos son muy pequeños o “infinitesimales”.
A qué duración de tiempo podemos considerar casi nula, depende del intervalo
temporal con la que la comparamos. Por ejemplo, si se trata de un viaje desde Bahía a
Monte Hermoso, el cual dura aproximadamente 1:30Hs, un intervalo de 1 minutos se puede
considerar prácticamente nulo. Es decir podemos describir muy bien el movimiento si lo
dividimos en intervalos de 1min. En cambio, si estamos interesados en describir el
movimiento de un mosca, dado que el movimiento de la mosca está sujeto a muchos
cambios, a fin de describir adecuadamente su movimiento deberemos subdividirlos en
intervalos muchos más pequeños, tal vez en intervalos de 1 segundo o menos.

14
Movimiento rectilíneo uniformemente variado
Aceleración
Un cambio de velocidad implica una aceleración
En esta imagen el conductor
comienza el movimiento. Está detenido
con velocidad cero y acelera para
comenzar a moverse.
Ahora frena hasta detenerse,
disminuye su velocidad hasta que esta
se anula. Este también es un
movimiento acelerado.

15
Como se vio en los ejemplos anteriores la velocidad puede, ser nula, mantenerse
constante, tener cambios de dirección y no de magnitud, tener cambios de magnitud y no
de dirección, o cambios en la dirección y en la magnitud. Todo cambio en la velocidad lo
vamos a asociar a nueva cantidad física que llamaremos aceleración.
Su magnitud puede ser nula, constante en el tiempo o variable en el tiempo; en este
curso solo analizaremos los dos primeros casos.
Además en esta primera parte solo consideraremos los cambios de magnitud en la
aceleración y no los cambios de dirección, que se verán en etapas posteriores cuando se
analice por ejemplo un movimiento de tipo circular, como un caso particular del
movimiento curvilíneo.
Aceleración media: definición general para movimiento rectilíneo
Tal como lo dijimos anteriormente la aceleración está asociada a todo cambio de
velocidad en el tiempo. Obsérvese que llamaremos aceleración al aumento del módulo de
la velocidad como así también a su disminución.
Así si un dado móvil en un instante t0 se mueve con una velocidad instantánea v0 y
en un instante t0 + Δt posterior se mueve con una velocidad instantánea v decimos que
el móvil estuvo sometido a una aceleración media dada por el cociente entre el cambio de
velocidad sobre el tiempo que le llevó al móvil realizar dicho cambio:
t
v
tt
vv
a






0
0
Aplicando la definición de aceleración podemos deducir que las unidades de
aceleración serán:
[Unidad de aceleración]=[Unidad de Velocidad/Unidad de tiempo]:
Si la velocidad la medimos en m/s, y al tiempo en segundos, luego la
aceleración tendrá unidad de m/s2
. Puede ser que estemos midiendo la velocidad en Km/h
y al tiempo relacionado en minutos; por ejemplo, podemos decir que un móvil pasó del
reposo (es decir, de estar detenido) a tener una velocidad de 90 km/h en medio minuto.
En este caso, la unidad de tiempo deberá expresarse bien en horas o en minutos.
Si queremos expresar la aceleración en km/min2
obtenemos

16
2
min
3
min5.0
min60
90
min5.0
/90 km
km
hkm
t
v
a 



Si en cambio quisiéramos expresar la aceleración en km/h2
obtenemos
2
10800
60
5.0
/90
min5.0
/90
h
km
h
hkmhkm
t
v
a 



Los resultados demuestran que si los cambios de velocidad tienen lugar en tiempos
pequeños, del orden de los segundos o minutos es mucho más práctico y claro, para
entender que está sucediendo, expresar la aceleración con estas unidades de tiempo y no
en horas.
Si deseáramos expresar el resultado del ejemplo anterior en m/s2
, obtendríamos
como resultado
2
8333.0
60
5.0
3600
90000
min5.0
/90
s
m
s
s
m
hkm
t
v
a 



Todos estos resultados corresponden a la misma aceleración.
Cuando la aceleración es constante en el tiempo (en magnitud y dirección) decimos
que el móvil tiene un movimiento rectilíneo uniformemente variado. En este caso la
velocidad varía en forma constante con el tiempo.
Ejemplo 3
Analizaremos el movimiento de dos móviles, un auto y un camión, que se
desplazan en un camino rectilíneo. El auto aumenta su velocidad desde 50 Km/h a 65
Km/h en 5 s, en tanto que el camión, que inicialmente estaba en reposo, alcanza en dicho
intervalo de tiempo una rapidez de 15 Km/h.
¿Podría indicar cuál de los vehículos tiene mayor aceleración en dicho intervalo y

17
cuál es la aceleración de cada uno?
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Consideremos ahora un caso particular de movimiento acelerado. De ahora en más
vamos a suponer que el móvil se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea y que su
aceleración puede ser o bien nula o constante. Si en particular la aceleración es nula, el
movimiento se denomina de tipo Rectilineo Uniforme.
Si la aceleración del móvil es constante y no nula, es decir, si el cambio de
velocidad es constante en el tiempo, decimos que se trata de un Movimiento Rectilíneo
Uniformemente Variado.
Ejemplo 4.
Una pelota rueda hacia abajo por una rampa inclinada. Se mide la velocidad de la
pelota en distintos instantes, obteniéndose la siguiente tabla devalores:
Tiempo
[s]
Velocidad
[m/s]0 0,0
2 7,0
3 10,5
4 14,0
Grafique velocidad vs tiempo y calcule la aceleración media en los intervalos (0s
,2s), (2s,3s), (3s,4s),y (0s, 4s ).
Tomemos un cierto intervalo de tiempo 0ttt  . Recordemos que la aceleración
media es un vector que representa la variación del vector velocidad en un cierto
intervalo de tiempo
0
00 )()(
tt
tvttv
a


 (1)
Como nos estamos moviendo sobre una recta, la dirección de las velocidades es

18
siempre la misma. Por lo tanto, las velocidades solo estarán caracterizadas por el signo
(positivo o negativo) y su magnitud.
Es importante notar que la aceleración será positiva cuando Δv sea positiva y
será negativa en caso contrario. Un ejemplo sería:
hkmhsv
hkmhsv
/18)01:16(
/36)00:16(


La aceleración media sería
2
/1080
60
1
/36/18
min1
/36/18
hkm
h
hkmhkmhkmhkm
a 




Lo cual indica que el móvil se está frenando y la aceleración es negativa. Si en
cambio la situación hubiera sido la siguiente,
hkmhsv
hkmhsv
/18)01:16(
/36)00:16(


Entonces la aceleración media sería
2
/1080
60
1
/36/18
min1
)/36(/18
hkm
h
hkmhkmhkmhkm
a 




lo cual indicaría que el móvil está frenando pero con una aceleración positiva.
Esto nos lleva a un punto importante y es el de notar que no debe asociarse el
término cotidiano “frenar” o “acelerar” con el signo de v. Dichos términos deben
asociarse con el hecho que la rapidez (la magnitud de la velocidad) disminuya o aumente.
En otras palabras, en ambos casos el móvil disminuye su velocidad, por lo tanto se está
frenando. En el primer caso con una aceleración negativa y en el segundo con una
aceleración positiva, esto nos lleva a una conclusión general:

19
3
3
Obsérvese que suele confundirse la palabra aceleración en el lenguaje cotidiano con respecto al uso que le damos en
física; siempre que hay variación de velocidad hay aceleración distinta de cero. Pero acercándonos al uso cotidiano
del lenguaje, aceptamos llamar “frenado” a la disminución de la rapidez y “acelerado” al aumento de la misma. Sin embargo
no se debe perder de vista que el significado de la palabra está asociado a la oración en la cual está incluida

20
Ahora utilizaremos estos conceptos a fin de obtener ecuaciones simples, aplicables a
todos los casos en los que el movimiento sea uniformemente variado:
De esta forma tendremos que de la expresión (1) :
0
0
tt
vv
a



Podemos despejar una expresión para v(t)
)( 00 ttavv  (2)
Esta expresión representa una recta en función del tiempo de pendiente “a” y
término independiente “v0-at0”.
Continuando con el Ejemplo 3
a) Determine la ecuación de velocidad en función del tiempo para cada
vehículo, suponiendo que ambos se mueven en la misma dirección y sentido manteniendo
constante sus aceleraciones
b) Calcule la velocidad de cada móvil a los 3s.
Recordemos que anteriormente habíamos definido a la velocidad media como
0
0
tt
xx
v


 (3)
Ahora, para este caso en que la aceleración es constante, la velocidad media es
igual al promedio entre la velocidad final y la velocidad inicial en el intervalo
considerado:
2
0vv
v

 (4)
Esta expresión es válida para cualquier instante de tiempo, pero solo para el caso
en que la aceleración sea constante.
Igualando las ecuaciones (3) y (4) obtenemos:

21
0
00
2 tt
xxvv




de donde
 0
0
0
22
tt
vv
xx 





 (5)
Figura: Representación gráfica de la rapidez de un móvil en función del tiempo. vm es la
rapidez media entre las velocidades v0 y v, en el intervalo de tiempo [t0,t]
Ahora podemos reemplazar en la ecuación (5) la expresión de la velocidad por la
expresión obtenida para la aceleración en la ecuación (2)
)(
22
)(
0
000
0 tt
vttav
xx 









De donde se obtiene la siguiente expresión para x(t):
2
0000 )(
2
1
)( ttattvxx  (6)
Es importante notar que estas dos expresiones, v(t) y x(t), permiten calcular la
velocidad y la posición de un cuerpo que está sometido a una aceleración constante y
son de carácter general. Es decir que de ahora en más, cada movimiento particular se
caracterizará a través de los parámetros a, x0, v0 y t0. Como resultado, el problema se
torna algebraico, teniendo que despejar una o dos cantidades incógnitas a partir de las

22
dos ecuaciones disponibles.
Puede verse que mientras v(t) representa una recta en función del tiempo de
pendiente igual a la aceleración a, x(t) representa un polinomio de grado 2 que ,
usualmente conocido como parábola.
Si no recordamos qué es una pendiente, aclaremos que nos da información sobre
la inclinación de la curva (es el valor de la tangente del ángulo que forma la recta
tangente a la curva con el eje horizontal). Si es positiva va hacia arriba, si es negativa
va hacia abajo.
Tarea: Un automóvil reduce uniformemente su velocidad, desde 30 m/s hasta 15
m/s, en una distancia de 120 m.
a) ¿Cuál es su aceleración de frenado?,
b) ¿qué distancia recorrerá hasta detenerse si su aceleración se mantiene
constante?

23
Gráficos de Posición, Velocidad y Aceleración en Función del
Tiempo
Bien, estamos listos para visualizar un movimiento en forma gráfica: Imaginemos
que salimos de casa (que representaremos como un origen o sistema de referencia) y
caminamos a lo largo de un camino (que representamos como un eje vertical al que
llamamos “x”). Definimos un sentido positivo (cuando me dirijo hacia el kiosco) y un
sentido negativo (cuando me alejo del mismo).
Ahora viene la historia que vamos a representar en forma gráfica:
Salgo de mi casa rumbo al kiosco que está a 200 metros de distancia. Camino 100
metros y me encuentro una moneda en el suelo, me detengo a recogerla. Arranco
nuevamente, pero esta vez iré más rápido. Llego al kiosco y tardo medio minuto en hacer
mi compra. Vuelvo a casa, pero como estoy distraída me paso, de forma que me detengo
a 20 metros, retrocedo y vuelvo quedándome parada en la puerta. El gráfico será:
En este gráfico tengo disponible toda la información: tardé 1 minuto en recorrer
los primeros 100 metros, me detuve durante 2 segundos a 100 metros de mi casa para
recoger la moneda (observemos que durante esos 2 segundos mi posición no cambió),
luego caminé más rápido (esto se ve porque la curva se hace más empinada: recorro la
misma distancia en menos tiempo) etc. Comprobemos si hemos interpretado este gráfico
respondiendo a las siguientes preguntas:

24
¿Cuánto tiempo tardé en llegar al kiosco?
¿Cuánto tiempo estuve fuera de casa?
¿Cuánto tiempo demoré en desandar los 20 metros que me había pasado?
¿Cuál fue mi desplazamiento neto a los 3 minutos de haber salido de casa?, y 15
segundos después?
¿Cuál fue mi camino total recorrido?
Este gráfico no solamente es útil para mostrar el movimiento si no que es
imprescindible para tener los datos organizados y poder disponer de un método claro y
sistemático para resolver los problemas. Para lograrlo veremos la forma de la curva:
Curva representativa de la aceleración en función del tiempo
Nosotros trabajaremos siempre con aceleraciones constantes. Esta afirmación
implica que la magnitud, dirección y sentido de la aceleración no varían al transcurrir el
tiempo. Es importante que recordemos que la aceleración constituye la ley del
movimiento.
Curva de velocidad en función del tiempo
Dado que trabajamos con aceleración constante, tenemos que la velocidad varía
en forma uniforme al transcurrir el tiempo:
Recordemos que a =Δv/Δt por lo cual la curva que representa a la velocidad en
función del tiempo es la recta indicada en la ecuación (2). Notemos que el cociente entre
la variación de la velocidad y el tiempo da la pendiente de la recta velocidad en función
del tiempo.
Mostramos algunos ejemplos:
A fin de aclarar este principio analicemos el siguiente caso: Acelero al máximo un
automóvil durante un tiempo Δt . Es claro que si el automóvil estaba inicialmente
detenido, éste alcanzará, al cabo del intervalo Δt , una rapidez mucho menor a la que
alcanzaría, si al instante de aplicar la misma aceleración tuviera una rapidez inicial de 100
km/hora. Es decir que sometido a la misma ley de movimiento (misma aceleración), el móvil
alcanzará velocidades distintas dependiendo del valor de la velocidad inicial. Supongamos

25
que una motocicleta acelera a razón de 2m/s2
durante 5 segundos.
Realice un gráfico de la aceleración en función del tiempo
Realice un gráfico de la velocidad del móvil en función del tiempo suponiendo que
parte desde el reposo. ¿Cuál es la velocidad de la motocicleta al cabo de los 5 segundos?
Realice un gráfico de la velocidad del móvil en función del tiempo suponiendo que,
en el instante en que comienza a acelerar, la motocicleta avanza a razón de de 54 [Km/h]
(es decir tiene una rapidez inicial de 54 [Km/h]). ¿Cuál es la velocidad de la motocicleta
al cabo de los 5 segundos?
Ya lo único que nos falta es relacionar esto con la curva de:
Posición en función del tiempo
Nuevamente observamos que, para intervalos de tiempo muy pequeños, Δt 
0 , se cumple que v(t) = x/t, es decir que
En el enunciado anterior hay que poner atención cuando decimos en cada instante,
ya que en este caso la velocidad varía uniformemente en el tiempo, por lo que la pendiente
de la curva x-t cambiará instante a instante.
De acuerdo a la ecuación (6), la curva x-t es una parábola, es decir, la función
x tes cuadrática. Al graficar la curva deberemos fijarnos en el valor de la
velocidad, es decir, de la pendiente en cada instante, a fin de poder trazar la curva
posición en función del tiempo.
La posición del móvil sólo quedará determinada a partir de las condiciones iniciales:
únicamente sabiendo dónde estoy podré saber hasta dónde llego con la velocidad y
aceleración que tengo en ese instante. Es claro que a fin de determinar completamente
el movimiento es necesario conocer la aceleración (ley del movimiento), la velocidad inicial
y posición inicial.
el valor de la velocidad en cada instante me da
la pendiente de la curva x-t

26
A continuación mostraremos distintos casos posibles. En cada uno daremos valores
a la aceleración, a la velocidad inicial y a la posición inicial y representaremos sobre el
gráfico la ecuación que le corresponde dado que este último constituye un buen hábito
de trabajo.
ES IMPORTANTE NOTAR QUE NO ES NECESARIO (NI CONVENIENTE)
MEMORIZARSE LAS EXPRESIONES CORRESPONDIENTES A CADA CASO EN
PARTICULAR!. SE SUGIERE ANALIZAR COMO v(t) y x(t) SE ADAPTAN A FIN DE
REPRESENTAR LOS DISTINTOS MOVIMIENTOS BAJO ESTUDIO.

27
CASO 1: Movimiento rectilíneo uniforme con velocidad positiva
Consideremos el caso de un móvil que se mueve a lo
largo de una trayectoria recta con una rapidez
constante de 2 m
s en el sentido positivo
del eje x. El mismo parte desde el origen del
sistema de referencia, luego los datos que tenemos
del movimiento son los siguientes:








0
/2
0
0
0
x
smv
a
aplicando la ecuación (6) y reemplazando por los
valores dato se obtiene la siguiente expresión:
tvtxtx 2)( 0 

28
v0
CASO 2: Movimiento rectilíneo uniforme con velocidad negativa
Trayectoria
Eje X(-) x=0 Eje X(+)
Ahora consideremos el caso de un móvil que se
mueve a lo largo de una trayectoria recta con
una rapidez constante de 2m
s en el sentido
negativo
del eje x. Nuevamente, el mismo parte desde
el origen del sistema de referencia, luego los
datos que tenemos del movimiento son los
siguientes:








0
/2
0
0
0
x
smv
a
aplicando la ecuación (6) y reemplazando por
los valores dados como dato obtenemos el
siguiente resultado
tvtxtx 2)( 0 

29
CASO 3: Movimiento rectilíneo uniformemente variado con aceleración positiva y
con velocidad inicial nula
Trayectoria
Eje X(-) x=0 Eje X(+)

aplicando las ecuaciones (2) y (6) y reemplazando por los valores correspondientes:
22
00 3
2
1
6
tattvxx
tatvv o


Observemos que a medida que aumenta
su velocidad, el móvil recorre distancias
cada vez mayores en iguales intervalos
de tiempo.
Estos gráficos están realizados a escala,
por lo que si se calcula la pendiente de las
rectas tangentes a la curva x-t en
diferentes instantes, obtendremos el
valor de la velocidad del móvil en dichos
instantes.
Justamente, tracemos la tangente a la
curva x-t en el punto (3 [s],27 [m]). En el
gráfico esta recta está trazada en
verde y la pendiente es 27m / 1.5s
=18m/s.
Este es el valor de la velocidad a los 3s.
Observemos, que los valores de las
pendientes corresponden a los valores de
velocidad y que por lo tanto aumentan a
medida que aumenta la velocidad.

30
CASO 4: Movimiento rectilíneo uniformemente variado con aceleración positiva y
con velocidad inicial positiva
Consideremos el caso de un móvil que se mueve en el sentido positivo del eje x a
razón de 2 m/s en el instante que acelera en el sentido de la aceleración a razón de 6
m/s2








0
/2
/6
0
0
2
x
smv
sma

aplicando las ecuaciones (2) y (6) y
reemplazando por los valores
correspondientes:
22
00
0
32
2
1
62
ttattvxx
tatvv


Observemos en el gráfico x-t, que en el
instante inicial la curva comienza con una
pendiente positiva debido a que el
movimiento acelerado se inicia cuando la
velocidad es de 2 [m/s] (insistimos en que
el valor de la velocidad nos da la pendiente
de la curva posición-tiempo).

31
CASO 5: Movimiento rectilíneo uniformemente variado con aceleración positiva
y con velocidad inicial negativa










0
/2
/6
0
0
2
x
smv
sma
aplicando las ecuaciones de movimiento del
MRUV y reemplazando por los valores de
acuerdo a los datos de nuestro problema:
22
00
0
32
2
1
62
ttattvxx
tatvv


En este caso vemos que el móvil comienza su
movimiento hacia “atrás” (estos términos
siempre están referidos al sistema de
referencia) dado que la velocidad es negativa
en el instante inicial. A los 0,33 seg la
velocidad se hace cero, es decir que durante
ese primer período de tiempo el móvil se va
frenando, mientras que en los próximos 0,33
seg la velocidad se incrementa. De esto
sacamos una conclusión muy importante:
“cuando los signos de la velocidad y de la
aceleración son opuestos el movimiento se
frena (la rapidez disminuye); mientras que
cuando la velocidad y la aceleración tienen
el mismo sentido (ambos positivos o ambos
negativos) el movimiento se acelera (la
velocidad aumenta en magnitud)”.

32
CASO 6: Movimiento rectilíneo uniformemente variado con aceleración
negativa y con velocidad inicial nula
⎩⎪








0
0
/6
0
0
2
x
v
sma
aplicando las ecuaciones de movimiento
del MRUV y reemplazando por los valores
de acuerdo a los datos de nuestro
problema obtenemos los siguientes
resultados
22
00
0
3
2
1
6
tattvxx
tatvv


Dado que inicialmente el móvil está en
reposo el sentido del movimiento va a
estar definido por la aceleración, luego el
móvil se desplazará en sentido negativo
del eje x, con velocidades cada vez
mayores. La pendiente de la curva
posición- tiempo en el instante inicial es
cero (velocidad inicial nula). A medida
que transcurre el tiempo es negativa y
aumenta

33
CASO 7: movimiento rectilíneo uniformemente variado con aceleración
negativa y con velocidad inicial positiva










0
/2
/6
0
0
2
x
smv
sma
resultados
22
00
0
32
2
1
62
ttattvxx
tatvv


Nuevamente observamos el efecto de los
signos opuestos de la velocidad y la
aceleración en el frenado que se produce
durante los primeros 0,33 seg del
movimiento. Mientras que en el período a
partir del instante 0,33 segundo el móvil
aumenta la magnitud de su velocidad.
Inicialmente el móvil avanza en el sentido
positivo del eje x, con velocidades cada
vez más pequeña. A los 0,33 segundos su
velocidad se anula (instantáneamente)
cambiando la dirección del movimiento
debido a la aceleración.

34
CASO 8: Movimiento rectilíneo uniformemente variado con aceleración negativa y
con velocidad inicial negativa









0
/2
/6
0
0
2
x
smv
sma
resultados
22
00
0
32
2
1
62
ttattvxx
tatvv


Este movimiento es completamente
análogo al descrito en el caso 4, solo
cambia el sentido del movimiento.

35
Método de las áreas
Supongamos que un móvil que se desplaza a lo largo de una trayectoria rectilínea
y que su movimiento es como se muestra en la figura.
Supongamos que deseamos conocer el desplazamiento del móvil al cabo de los 15
[s]. Recordemos que de acuerdo a la definición de desplazamiento
Δx  xfinal
 xinicial
Δx  x15s x0s
Una forma de calcular el desplazamiento es determinar que posición tiene el
móvil a los 15[s] y que posición tenía en el instante inicial. La diferencia entre las
posiciones me da el desplazamiento en dicho intervalo. Para esto debo conocer la
expresión de la posición en función del tiempo. Sin embargo existe un método, que a
veces nos puede resultar más directo, para calcular el desplazamiento y lo llamamos
el método de las áreas.
En realidad el desplazamiento es igual al área limitada bajo de la curva velocidad
en función del tiempo (obs: observe que el área en la figura depende de la escala del
gráfico. El área a la que nos referimos tiene en cuenta el factor de escala
correspondiente).
Veamos que esto es realmente así. Para ello primero vamos a calcular el área
limitada bajo la curva (v,t). Éste área aparece sombrada en la figura y puede
considerarse como la suma de las áreas de dos rectángulos, uno de altura 10 y ancho
5 y otro de altura 7 y ancho 10.
mssmssmcurvalabajoárea 12010/75/10 



36
Ahora calculemos la posición en función del tiempo de acuerdo al método analítico
ejercitado en la sección anterior. El movimiento se divide en dos intervalos, a saber,
El intervalo (0s, 5s) donde la velocidad es de 10 m/s
y el intervalo (5s,15s) dónde la velocidad es de 7m/s
Sea x0 la posición del móvil en el instante inicial, la posición en función del
tiempo en el primer intervalo se puede expresar como:
mxsx
sttsmxtx
50)5(
5/10)(
01
01



A partir de los 5s el movimiento continúa con velocidad 7m/s, luego la posición en
función del tiempo a partir de dicho instante es,
mxsx
sssmmxsxsx
ststsmsxtx
f
120)15(
)515(/750)15()15(
5)5(/7)5()(
02
02
2




Luego, de acuerdo con la definición de desplazamiento,
mxsxx 120)15( 02 
Este resultado es igual al área calculada anteriormente.
Analicemos este método para el caso
más general que trataremos en este
curso, el correspondiente a un
movimiento con aceleración, a, constante.
Bajo estas condiciones la velocidad crece
uniformemente a partir de un valor de
velocidad inicial, al que denominaremos
v0 (ver figura)
La posición en función del tiempo para
este movimiento es:
2
00
2
1
)( attvxtx 

37
El desplazamiento en el intervalo de tiempo (0,t) es
2
0
0
2
1
)(
attvx
xtxx


cantidad que es igual al área bajo la curva (v,t). Si observamos la figura, el área
debajo de la curva es igual a la suma del área del triángulo superior y la del rectángulo
inferior
2
0
2
1
attvárea 
i)¿es fundamental conocer la posición inicial del móvil para determinar el
desplazamiento del mismo en un dado intervalo de tiempo?
ii) Consideremos dos intervalos de tiempo, Δta = t2-t1 y Δtb = t4 -
t3 , tales que , Δta y Δtb tienen igual longitud; (por ejemplos ambos pueden representar
intervalos de 2[s]) ¿esto implica que el desplazamiento del móvil en cada intervalo es
necesariamente el mismo? Justifique la respuesta debidamente y de un ejemplo que la
ratifique.
iii) Calcule el desplazamiento del móvil en el intervalo (3 s, 6 s) y en el intervalo
(6 s, 9s).
El método de las áreas también se puede
aplicar al cálculo de los cambios en velocidad.
Resulta que el cambio de velocidad que sufre
un móvil, que se desplaza en un camino
rectilíneo, en un intervalo de tiempo (tf ,ti ),
se puede determinar como el área limitada
bajo la curva (a,t) (aceleración versus tiempo)
en el intervalo (tf , ti )
Consideremos el caso planteado en la
figura. El área sombreada en la gráfica (a,t)
representa el cambio de velocidad del móvil
en el intervalo (1 s, 3 s)

38
Comprobemos que esto es efectivamente así. En el intervalo Δt = (1s,3s) el
cambio de velocidad es,
smsmsmsvsvv /12/6/18)1()3( 
El área limitada por la curva (a,t) en dicho intervalo es:
smsssmtaárea /12)13(/6 2

Como vemos por ambos métodos llegamos al mismo resultado
TAREA
A) Para el caso 3 planteado en la Parte 4 del módulo de cinemática calcule
por el método de las áreas el desplazamiento que sufre el móvil en:
i)el intervalo 0s,2s
ii) el intervalo 2s,3s
iii) el intervalo 3s,4s
iv) el intervalo 0s,4s

B) Para el mismo caso calcule el cambio en velocidad sufrido por el móvil en
los intervalos indicados en el inciso anterior.

39
Caída libre y tiro vertical
Estudio de la caída de los cuerpos puntuales
Si tomamos un objeto, lo levantamos en nuestra mano y lo soltamos (es decir lo
dejamos libre de contactos externos), vemos que éste cae, se precipita hacia el piso.
También podemos observar que a medida que cae la rapidez aumenta. Esta última
observación nos permite afirmar que el movimiento es acelerado.
Supongamos que tomamos un objeto y lo soltamos desde distintas alturas, por
ejemplo, primero lo soltamos desde 70 cm de altura, luego desde 140 cm y por último
desde 210 cm. Claramente y a simple vista veremos que la rapidez con la que llega al
piso es cada vez mayor, pero
¿cuál es la ley de movimiento? Es decir ¿Cómo es esa aceleración a la cual está
sometido el cuerpo?
Esas preguntas fueron abordadas por los Físicos del siglo XVII, en una época en
que el modelo Heliocéntrico iba ganando terreno de manera firme sobre el modelo
Geocéntrico del Universo. En particular, Galileo Galilei realizó estudios que permitieron
establecer que la aceleración de un cuerpo que cae libremente (aquí libremente también
implica “en un medio sin aire”, “en el vacío”) es constante y aún más importante, la
velocidad de un cuerpito que se precipita en el vacío es independiente de la masa/peso
del mismo.
Hoy día sabemos que los cuerpos caen debido a la interacción
gravitatoria con la Tierra, (aquí la palabra Tierra se refiere al
planeta). Cuando un objeto cae en las inmediaciones de la
superficie terrestre, libre de interacción con otros agentes
externos, como ser la fricción del aire, lo hace con aceleración
constante. Dado que esta aceleración se debe a la interacción
gravitatoria, universalmente se la representa con la letra “g” y su
valor en la superficie terrestre es:
aceleración de la gravedad = g = 9.81m/s2
Este valor específico se debe a la masa y radio de la Tierra. Si
al mismo cuerpo lo dejamos caer en la superficie lunar, veremos
que la aceleración que adquiere es menor. Así es, en la luna un
objeto cae con una aceleración seis veces menor que la terrestre,

40
6
g
gluna 
Este valor numérico es también debido a la masa de la Luna y a su radio. Analicemos
el siguiente caso: se suelta una partícula desde el reposo desde una altura h0. ¿Cómo es
el movimiento de dicha partícula? ¿Qué sabemos acerca del movimiento?
En primer lugar sabemos que si cae libremente, es decir, si despreciamos la acción
del aire, la aceleración de la partícula es g = 9.8 m/s2
. Sabemos que esta aceleración
está dirigida hacia abajo.
Conocemos las condiciones iniciales del movimiento ya que el enunciado dice “se
suelta desde el reposo” o sea con velocidad inicial cero. Además que se suelta “desde
una altura h0”, conocemos la posición inicial.
A fin de poder expresar los datos del enunciado en forma matemática debemos
definir el sistema de referencia respecto del cual representaremos la aceleración, la
velocidad y la posición de la partícula en el tiempo.
En este caso ubicaremos el origen del sistema de referencia en el piso (también
podrías ubicarlo en la posición inicial) y el sistema de ejes cartesianos será tal que el
“eje y” será positivo hacia arriba, tal como podés verlo en la figura:
Matemáticamente los datos del problema se pueden expresar como sigue:
00
0 0
hy
v
ga
y
y




41
Claramente vemos que todo el movimiento ocurre a lo
largo de una recta; la aceleración y la velocidad son
vectores paralelos al eje y. Por esta razón obviaremos
el análisis en la dirección horizontal.
Planteemos las ecuaciones de movimiento:
2
0
2
0000
00
2
1
)(
2
1
)()(
)()(
gthttattvyty
tgttavtv
yy
yyy


(6.1) (6.2)
Supongamos que quiero saber cuál es el tiempo de
vuelo de la partícula, o dicho de otra manera, cuánto
tarda en llegar al piso
Bien, esta información está en la ecuación y (t), ya
que relaciona la posición “y” de la partícula con el
tiempo “t”. Lo que deseo averiguar es, para que valor
de la variable t, la variable y se anula (cuando la
partícula llega al piso y  0)
Designaremos al tiempo de vuelo con el subíndice v
sobre la variable t (tv). Esto traducido al lenguaje
matemático quedaría de la siguiente forma
g
h
t
g
h
tgth
v
vv
0
022
0
2
2
0
2
1


Desde un punto de vista físico, la variable t, que
representa al tiempo, solo puede ser positiva. Por lo
tanto,
g
h
tv
02
 (6.3)

42
Calculemos la velocidad que tiene la partícula justo en el
instante en que llega al piso (justo antes de ser frenada por
el piso). Para determinar este valor, utilizo la ecuación (6.1)
0
0
2
2
)( gh
g
h
gtgtv vvy 
Supongamos que la partícula es un ladrillo que cae de un
edificio en construcción, algo muy común por estos días,
desde una altura de 4.9 m. Calculemos el tiempo de vuelo,
para h0=4.9m
s
sm
m
tv 1
/8.9
9.42
2



Es decir, un cuerpo, cualquiera sea su masa, que cae desde
una altura de
4.9m tarda tan solo un segundo en caer.
Veamos con que velocidad choca contra el piso, para realizar
este cálculo podemos usar la ecuación (6.1)
hkmsmssmtvv vyimpacto /3.35/8.91/8.9)( 2

El signo menos delante de la velocidad, está indicando que
el movimiento es hacia abajo, en dirección contraria a la que
definimos como positiva.
Tarea :
Un muchacho intergaláctico deja caer una roca desde una
altura de 2 m. El muchacho en cuestión es un habitante del
planeta Mongo. Si la roca tarda en caer 0.8 s.
a) Indique cuál de las siguientes afirmaciones es la
correcta, fundamentando debidamente la respuesta

43
• La gravedad en Mongo es mayor que la de la Tierra
• La gravedad en Mongo es menor que la de la Tierra
• La gravedad en Mongo es igual a la de la Tierra
b) Luego de haber respondido el inciso anterior, calcule el valor de la
aceleración de la gravedad Mongoniana.
El caso que describiremos a continuación suele llamárselo “tiro vertical”, pero en
realidad no es más que una caída con otras condiciones iniciales. Y ¿cuáles son esas
condiciones?, bueno, ahora en vez de soltar a la partícula desde lo alto, la tiramos hacia
arriba en dirección vertical (sin ángulo), de ahí lo de “tiro vertical”.
El caso podría exponerse de la siguiente forma:
Se tira hacia arriba un cuerpo con una velocidad inicial v0 . A fin de considerar el
caso más general posible, vamos a suponer que en el instante inicial el cuerpo se
encuentra en la posición y0 respecto del origen de nuestro sistema de referencia (ver
figura).
Como lo tiramos hacia arriba, nos puede interesar la altura máxima a la que llega.
Es claro que cuanto mayor sea la velocidad inicial, más alto va a llegar
¿Cómo sabemos que el cuerpo llegó a su altura máxima? por que ya no sube más.
En el punto de altura máxima la velocidad vertical de la pelota se anula (se detiene, ni
sube, ni baja).
Sin embargo, recordemos, la gravedad siempre está actuando. Esto equivale a
decir que, como el cuerpo está acelerada hacia abajo, al instante siguiente estará
“cayendo” y su velocidad aumentará en sentido negativo. El movimiento hacia abajo es
el que describimos anteriormente (partícula que cae bajo los efectos de la gravedad),
no obstante, lo fantástico de esto es que tanto el movimiento que realiza hacia arriba
como el que realiza hacia abajo, responden a ambos a la misma ley de movimiento, por lo
cual el mismo puede ser descrito por solo una ecuación para la posición en función del
tiempo y una sola ecuación para velocidad en función del tiempo.
Lo único que cambia son las condiciones iniciales, por lo cual si establecemos
correctamente la velocidad inicial de la partícula y la posición inicial de la misma, y las
reemplazamos en las ecuaciones para vy(t) e y(t) obtendremos las ecuaciones de
movimiento para el “tiro vertical”

44
2
0000
00
)(
2
1
)()(
)()(
ttattvyty
ttavtv
yy
yyy


Para t0=0 y vinicial=v0
2
00
0
2
1
)(
)(
gttvyty
gtvtv yy


(6.4) (6.5)
Con estas ecuaciones podemos describir el movimiento completo que realiza un
cuerpo lanzado hacia arriba con velocidad vy0 y desde una altura inicial y0 respecto
del sistema de referencia utilizado.
Para calcular la altura máxima, debo averiguar primero en qué instante se anula la
velocidad. Recordemos que cuando la velocidad se anula, el cuerpo llega a la altura
máxima. Esa es la “condición” que debemos imponer a las ecuaciones de movimiento para
llegar al resultado deseado.
Indiquemos con ym la posición de altura máxima y con el subíndice “ym” al instante
en que la variable y toma dicho valor y tym   ym
g
v
t
tgvtv
ym
ymym
0
0 00)(


Ahora calculemos la posición del cuerpo en tym








g
v
yy
g
vg
g
v
vytyy
m
mm
2
2
)(
2
0
0
2
00
00
(6.6)
¿Cuánto tardará en llegar al piso, o cuál es el tiempo de vuelo?. Desde el punto de
vista matemático la pregunta es ¿para qué valor tv la variable y se anula?, es decir cuando
llega al piso y=0. Aplicando esta condición a (6.5) resulta

45
2
00
2
1
0 vv gttvy  (6.7)
la respuesta se obtendrá de la solución de esta ecuación cuadrática. Aquí la
incógnita es la variable tv. Las raíces de la ecuación (6.7) tienen la siguiente expresión
g
y
g
v
g
v
tv
0
2
00
2,1
2






 (6.8)
Matemáticamente, dos son los valores posibles de tv , sin embargo, en nuestro caso
solo uno de ellos tiene el sentido físico deseado, ya que el otro da un valor negativo o a lo
sumo nulo para tv
Ejemplo: Supongamos que el cuerpo es una pelotita que se lanza hacia arriba, con
la mano. Supongamos que llega a una altura máxima de 1.5 m respecto de la mano. ¿Con
qué velocidad fue lanzada la pelotita?, ¿Cuánto tardó en regresar a tu mano y con que
velocidad lo hizo?
Para resolver este problema no tenemos más que establecer correctamente un
sistema de referencia y los datos.
Dado que el cuerpo parte desde la mano y vuelve a ella, es lógico poner el origen
del sistema de referencia en este punto (en la mano). De este modo la posición inicial
es y0=0. La velocidad inicial no la conozco, pero se que la pelotita llega hasta los 1.5 m.
Aplicando la relación a la que llegamos en (6.6) podemos despejar el valor de nuestra
incógnita:
g
v
yym
2
2
0
0 
de donde podemos despejar el valor de velocidad inicial. Si bien, tal como en la
ecuación (6.7), se obtienen dos raíces para esta última ecuación (una positiva y una
negativa), nos quedaremos con la raíz positiva dado que el cuerpo se lanza hacia arriba:
smv /42.50 
Calculemos ahora el tiempo de vuelo tv. De la ecuación (6.8)
s
g
v
t
y
v 55.0
2 0


46
Tarea: Un hombre parado en la cornisa de un edificio lanza una bola verticalmente
hacia arriba con una velocidad de 1.3 m/s. La bola llega al suelo 4.25 s más tarde.
a) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por la bola?
b) ¿Qué altura tiene el edificio?
c) ¿Con que velocidad llegará la bola al suelo?

47
ESTÁTICA
Se ha visto hasta ahora, cómo el uso de la matemática ayuda a describir el
mundo de la física. En particular, la trigonometría, que es una rama de la matemática
que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos, va a ser
usada frecuentemente a lo largo del curso. A continuación se repasará algunos
conceptos básicos.
Aplicación de Trigonometría
Cualquier triángulo ABC, Figura 3 (a), arbitrario se puede dividir siempre en dos
triángulos rectángulos4
. Éstos, además de ser más fáciles de tratar, tienen
propiedades muy interesantes, las que describiremos a continuación.
Sea ABD, ver Figura 3 (b), un triángulo con D= 90º el ángulo recto y A y B los
ángulos agudos. Sean también a, b y d las longitudes de sus tres lados: a del lado
opuesto a A, b del lado opuesto a B, y d, el más largo, opuesto a D, denominado
hipotenusa.
Los tres ángulos internos de un triángulo suman 180º (esta ley se cumple para
todos los triángulos) y por consiguiente, en un triángulo con un ángulo recto y con
ángulos agudos A y B (Ver Figura 3) se tiene que
A + B + 90º = 180º
Pasando al término 90° restando al otro miembro de la ecuación, resulta:
A + B = 90º
Dado el valor de un ángulo A, el otro ángulo B se determina totalmente
4
Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (de 90º)

48
B =90° -A.
Llamamos a los lados del triángulo (a,b,d), observa que cada lado corresponde al
nombre de un ángulo enfrentado a él. El ángulo A no determina la longitud de ningún
lado, sino que únicamente fija la proporción entre los lados. Esa proporción tiene
nombre y existe una notación específica para escribirla:
a/d=sen A
selee“senodeA". ElsenAsedefinecomoelcocienteentreelladoopuestoal
ángulo A y la hipotenusa del triángulo rectángulo.
b/d=cosA
se lee "coseno de A". El cos A se define como el cociente entre el lado
adyacente al ángulo A y la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Por el Teorema de Pitágoras sabemos que a2
+b2
=d2
, por lo cual, despejando los
valores de a y b en las relaciones anteriores, deducimos la siguiente relación entre el
seno y el coseno de un dado ángulo A:
Es decir: sen 2
A + cos2
A = 1
Tanto sen A como cos A deberán ser números menores que 1, los lados
adyacente y opuesto de un triángulo rectángulo son siempre menores que la
hipotenusa.
Si conocemos la longitud de un lado y un ángulo de un triángulo rectángulo
podemos deducir la longitud de los otros lados.
Existen otras funciones trigonométricas como "tangente de A," escrita: tan A
= a/b = senA/cosA "cotangente de A," escrita: cotan A = b/a = cosA/senA
A 0° 30° 45° 60° 90°
sen A 0 1
2
√2
2
√3
2
1
cos A 1 √3
2
√2
2
1
2
0

49
Magnitudes Escalares y Vectoriales
¿Qué es una magnitud?.. En física llamamos magnitud a toda cantidad que es
susceptible de ser medida, por ejemplo, la “longitud”. La longitud de la mesa sobre la
que estudias es una cantidad que se puede medir con una regla. También son
magnitudes, por ejemplo, la temperatura, la presión, el peso, la fuerza, la velocidad.
En particular, denominamos magnitud escalar a aquella que está completamente
determinada por un número, el cual depende solamente del sistema de unidades
utilizado. Ejemplos de magnitudes escalares son la longitud, área, volumen, masa, la
temperatura, la presión, etc... La longitud del ancho de una hoja A4 (la hoja que
comúnmente utilizamos cuando sacamos fotocopias) directamente está determinado
por un número y la unidad correspondiente.
L1
L2
De acuerdo a la Figura 4, el ancho es L1=21.0 cm (centímetros) o L1=210 mm
(milímetros) o L1=8.268” (pulgadas). Las tres cantidades representan a la misma
magnitud, el ancho de la hoja A4.
No todas las magnitudes quedan determinadas simplemente dando un número y
una unidad de medida. Por ejemplo consideremos a la velocidad. Supongamos que
queremos expresar la velocidad del viento. No es suficiente con que el meteorólogo
diga que hay un viento que sopla a 20 Km/h (Kilómetros sobre hora), para que la
velocidad del viento quede completamente definida también se debe informar en qué
dirección y con qué sentido sopla. Por ejemplo, el meteorólogo puede decir la
velocidad de viento es de 20 Km/h del noroeste. Esta información sí es completa,
además de informarnos acerca de la intensidad del viento, nos informa la dirección y
el sentido en el que está soplando. Las magnitudes que para estar completamente
definidas necesitan estar expresadas a través de un número, una unidad y una
dirección y sentido en el espacio se llaman magnitudes vectoriales
Es decir, una magnitud vectorial está completamente definida cuando se
expresa a través de un número, un sistema de unidades y una dirección en el espacio.
Las magnitudes vectoriales se deben expresar con un vector.
Un vector es una entidad matemática que nos permite, ya sea en forma gráfica

50
o algebraica, otorgarle una dirección y un sentido en el espacio a una dada cantidad.
(De ahora en más la palabra “vector” formará parte de nuestro vocabulario, por lo
que es muy importante que tengas muy en claro el concepto que encierra esa palabra)
Un vector consta de módulo, dirección y sentido.
vector velocidad del viento
dirección del vector
origen del vector
módulo del vector
N
O E
S
extremo del vector indica el
sentido
Escala usada para representar
gráficamente al vector: 2 [cm]
El módulo representa el valor de la magnitud. En el ejemplo dado anteriormente,
el módulo del vector velocidad del viento es la intensidad del viento, en este caso 20
Km/h.
 La dirección de un vector es la dirección de la recta que lo contiene.
 El sentido indica hacia que extremo de la recta apunta el vector. Observar que no
es lo mismo recorrer una recta en un sentido que en el sentido opuesto.
Considera el siguiente ejemplo: Supongamos un jugador de fútbol a quien le toca
patear la pelota. La cancha está orientada de Norte a Sur, y el arco adversario está
en el extremo Sur, o sea que el arco del equipo del jugador está en el extremo Norte.
Ahora patea la pelota en dirección Norte-Sur. Esta dirección está dada por la recta
que une ambos arcos, sin embargo, se puede dirigir el pelotazo hacia el arco contrario,
es decir con sentido hacia el Sur, y meter un gol, o, lo que sería muy malo para su
equipo, con sentido hacia el Norte, y hacer un gol en contra!!! Este es un ejemplo de
lo importante que es darle a las cosas el sentido correcto, además de la dirección (no
es lo mismo se patee la pelota hacia el arco contrario que hacia tu propio arco).

51
En el primer ejemplo planteado, la dirección y el sentido del vector velocidad
del viento están dados en la frase “del noroeste” (es decir el viento viene del
noroeste y se dirige hacia el sudeste)
Gráficamente un vector se simboliza por una flecha cuya longitud (en escala) es
el módulo del vector y cuya dirección y sentido representan la dirección y sentido de
mismo.
Anteriormente mencionamos que las direcciones en el espacio siempre están
definidas según un sistema coordenado bien definido. De ahora en más indicaremos
los vectores con una letra latina con una flecha encima (𝑎⃗⃗⃗ , 𝑏⃗⃗⃗ , 𝑢⃗⃗⃗ , 𝑤⃗⃗⃗⃗ …) o con letras en
negrita (a, b, u, w...).
Consideremos el vector a de la figura
Deseamos expresar de una forma sencilla y directa las propiedades de este
vector, es decir deseamos expresar en forma matemática su módulo, dirección y
sentido.
En general, utilizaremos el sistema de coordenadas cartesianas (x, y), a menos
que se indique lo contrario, para describir los vectores. Desde un punto de vista
gráfico, lo podemos representar de la siguiente forma:
Cómo dijimos anteriormente, el módulo del vector representa su magnitud, y es


52
la distancia desde el punto origen del vector hasta su extremo. Matemáticamente se
lo simboliza de la siguiente forma:
En el vector a, de la figura anterior, el origen del mismo coincide con el origen
del sistema de coordenadas, en tanto que el extremo tiene coordenadas (xa, ya)
y forma un ángulo  con la dirección x. Llamaremos proyección del vector a lo largo de
x e y a la “sombra” que el vector “proyecta” sobre cada eje. La proyección del vector
sobre el eje x, es la componente x del vector y la llamaremos ax; la proyección sobre
el eje y, será la componente y del vector y la llamaremos ay.
Decimos que a tiene componentes cartesianas ax en la dirección del eje x y ay
en la dirección del eje y. Algebraicamente esto se representa de la siguiente forma
a = (ax , ay)
Se puede observar de la Figura por trigonometría, que:
ax = |a| cos  y ay = |a| sen 
Ejemplo:
Si el vector de la Figura 7 representa la velocidad de un auto que se mueve al
50.0 km/h en una dirección que forma 60° con la dirección x, entonces:
|a| = 50.0 km/h
ax = 50.0 km/h . cos 60° = 25.0 km/h
ay = 50.0 km/h . sen 60° = 43.3 km/h
El vector se puede escribir como
a = (ax , ay) = (25.0 , 43.3 ) km/h
Cómo determinar el Módulo de un vector
Analicemos el vector de la figura. Consideremos al triángulo rectángulo OPA. La
longitud del vector a =OP coincide con la longitud de la hipotenusa del triángulo
rectángulo OPA, por lo cual, de nuevo, de acuerdo a lo que hemos visto de
trigonometría5
, el módulo del vector a es:
5
Si un triángulo tiene lados de longitud (a,b,c), con los lados (a,b) formando un ángulo de 90 grados ("ángulo recto"), tenemos
módulo de a = a = a

53
|a| = √ax
2 + ay
2
Ejemplo:
Si el vector de la Figura 7 representa la velocidad de un auto cuyas componentes
cartesianas son ax = 22.0 km/h y ay = 65.0 km/h entonces su módulo será
|a|=√[(22.0)
2
+(65.0)2](km/h)2=68.62 km/h
También es posible determinar su dirección calculando el ángulo que forma con
alguno de los ejes. Tomemos el caso del ángulo  que forma con el eje x. Por
trigonometría:
tg θ =
ay
ax
=
65.0 km/h
22.0 km/h
= 2.95
θ = arc tg (2.95) = 71.3 °
Esto significa que el vector tiene un módulo de 68. 62 km/h y forma un ángulo
de 71.3 ° con el eje x.
que a2
+b2
=c2

54
Propiedades y operaciones con vectores
Propiedades de los vectores
Dos vectores u y v son iguales si tienen igual módulo, dirección
y sentido. Esto es equivalente a decir que cada una de sus
componentes, según un dado sistema de ejes coordenados, son
iguales. Esto es:
Sea u=(ux , uy) y v= (vx , vy), decimos que u = v , si y solo si:
ux = vx y uy = vy
según el mismo sistema de ejes coordenados.
Los vectores de las figura son todos iguales. Esta propiedad de los vectores me
permite trasladarlos sobre el sistema de ejes coordenados sin que por ello se
modifiquen las propiedades de los mismos, a saber, el módulo, la dirección o el
sentido.
Operaciones entre vectores
Suma de Vectores
Sean a y b dos vectores tales que:
a  ax ,ay  y b  bx ,by 
donde: ax , ay y bx , by, son las componentes cartesianas de a y b
respectivamente.
El vector suma s = a + b
es el vector cuyas componentes cartesianas son iguales a la suma de las
componentes cartesianas de cada uno de los vectores que se suman6
:
sx  ax  bx
sy  ay  by
siendo
s  sx ,sy   ax  bx ,ay  by 
el vector resta r = a − b es el vector cuyas componentes cartesianas son
6
Recordar que se suman las x con las x y las y con las y

55
iguales a la resta de las componentes cartesianas de a y b 7
rx  ax  bx
ry  ay  by
siendo
r  rx ,ry   ax  bx ,ay  by 


Ejemplo: Consideremos la siguiente situación. Estás paseando por la ciudad,
primero caminás 3 cuadras (300 m) hacia el Este y luego doblás y caminás 2 cuadras
hacia el Norte.
a ¿Cuánto te desplazaste respecto de tu posición inicial?
b ¿En qué dirección te desplazaste en definitiva?
c ¿Qué distanciacaminaste?
Resolución:
Consideremos el mapa (sistema coordenado) de la Figura 11. Supón que
inicialmente te encontrabas en el punto O, caminaste 300 m hacia el Este, es decir
te desplazaste hasta P1. Ese desplazamiento lo indicamos con el vector d1. Desde allí
caminaste 200 m hacia el Norte, es decir P1 fuiste hasta P2, a este desplazamiento
lo indicamos con el vector d2.
Las componentes cartesianas de cada desplazamiento son:
primer desplazamiento → d1=(300 , 0) [m] (entre corchetes se indica la unidad
de medida)
segundo desplazamiento → d2=(0 , 200) [m]
El resultado de tu recorrido hubiera sido el mismo si directamente te hubieras
desplazado desde O hasta P2. Es decir desplazamiento total está representado por
el vector OP2 que es la suma de ambos desplazamientos, OP2 = dt = d1 +d2 (aquí dt
representa el vector desplazamiento total)
dt  (300 + 0 , 200 + 0 )[m]
dt  (300 , 200 [m]
7
Recordar que se suman las x con las x y las y con las y

56
 Observación: Debe concientizarse de que sumar los vectores a + b no
es lo mismo que sumar los escalares a +b. La suma de dos vectores es otro vector, es
decir, es una magnitud que tiene módulo, dirección y sentido, en tanto que la suma de
dos escalares es otro escalar.
Este es un buen momento para hablar de dos magnitudes que, aún cuando
conceptualmentesondiferentes,estánrelacionadas,ladistanciayeldesplazamiento.La
primera es escalar y la segunda, vectorial. Ambas se miden en [m], [Km], [pulgadas],
etc.. La distancia entre dos puntos se puede definir como la longitud del segmento
recto que une ambos puntos, ésta es luego, una magnitud escalar. En cambio el
concepto de desplazamiento está estrechamente relacionado con el concepto de
movimiento, y por lo tanto debe contener información de la dirección y el sentido del
movimiento además de la de distancia. Es decir, si se camina 300 m hacia el este y
luego 200 m hacia el Norte, tu desplazamiento total (neto) es hacia el noreste, es un
vector de módulo:
|d| = √(3002
+200
2
) [m]=360.56 m
Claramente esta magnitud es diferente de la suma de las distancias que
caminaste en cada tramo del camino. Las distancias son escalares y se suman como
los escalares, primero caminaste una distancia l1 = 300 m y luego otra l2 = 200 m . Es
decir en total caminaste 500 m. Para hacer este cálculo no necesito saber en qué
dirección y sentido caminaste, pero si no conociera estos datos, es decir, si lo único
que supiera fuera que caminaste 500 m, me sería imposible ubicar tu posición final
en el mapa, ya que existen infinitos caminos de 500 m de longitud, por lo cual tu
posición final podría ser cualquiera.
En cambio, sí podríamos saber cuál es tu posición final en un mapa si
conociéramos tu desplazamiento, en este caso, de 360.56 m hacia el noreste.
Métodos Gráficos para sumar y restar vectores
Para sumar dos vectores gráficamente se debe hacer coincidir el origen de uno

57
de ellos con el extremo del otro, siendo el vector suma el que tiene origen en el
primer vector y extremo en el extremo del último sumado.
Ejemplo: Considere los vectores a , b , c , d , y e que se muestran en la Figura
12(a).
La suma de estos vectores se representa por el vector s = a + b +c +d +e
en la Figura 12 (b)
Existe otro método gráfico para sumar vectores, que se denomina “Método del
Paralelogramo”. En este caso los vectores a sumar se ubican de modo tal que coincidan
sus orígenes. En la gráfica que sigue te mostramos como se hace. Supongamos que
deseamos sumar los vectores a y e
Propiedades de la suma de vectores
La suma es asociativa y conmutativa. Es decir, el vector resultante no depende
del orden en el que sumes los vectores.

58
Tarea:
i) Sumar los vectores b, c, d de la Figura 12(a) y comprobar que el vector
resultante no depende del orden en que sumes estos vectores.
ii) Usando el método del paralelogramo sumar c y d y al resultado de dicha suma
sumarle b.
iii) Usando el método del paralelogramo realizar la siguiente operación (d + b) y al
resultado de dicha suma sumar c. Comparar con el resultado obtenido en b).
¿Qué se puede concluir?
iv) Ahora, usando el método del paralelogramo, realizar la operación (c + b) y al
resultado le sumarle d .
Resta de vectores – método gráfico
Sean los vectores a y b. Restarle b a a , es decir calcular a − b , es equivalente
a sumarle a a el vector opuesto a b , o sea es equivalente a realizar la
siguiente operación:
a – b = a +(−b )
Luego los métodos gráficos explicados para la suma se aplican también a la
resta, solo que en caso de la resta se debe sumar el vector opuesto.
Tarea:
Supongamos que nos desplazamos 20 m hacia el Norte, y luego giramos y nos
desplazamos 20 m hacia el Sur.
 ¿Cuánto te desplazaste con respecto al punto de partida?
 ¿Cuánto caminaste en total?
Producto de un vector por un escalar
El producto de un vector por un escalar es otro vector con la misma dirección
del vector inicial, y de módulo igual al módulo del vector por el escalar. Ejemplo, si el
viento en un dado momento tiene una velocidad de 10Km/h en dirección hacia el Sur,
y luego el meteorólogo informa que se ha duplicado la intensidad del viento, con
esto solo quiere decir que el módulo del vector velocidad del viento (intensidad
del viento) se ha duplicado, |vvi|=2×10 Km/h=20 Km/h, pero la dirección del mismo sigue
siendo la inicial, hacia el Sur.
Si un vector a se lo multiplica por un escalar , el resultado es otro vector p = ×

59
a. El módulo de p es |p| = |× |a| , donde | es el valor absoluto del escalar  .
Si el escalar es positivo, ejemplo, 2, 3, 0.5, ¾, etc p tiene la misma dirección y
sentido que el vector a.
En cambio si el escalar es negativo (-1, -2, -0.5, -3/4) el vector resultante p
tiene igual dirección pero sentido opuesto a a.
Ejemplo:
Sea a = (6,−3) un vector cualquiera. Calcular el producto λ × a , donde λ es un
escalar que toma los siguietes valores: (a) λ =2, (b) λ =1/2, (c) λ =-1, (d) λ =-0.5, (e) λ
=-1/3.
Resolución:
Sea a = (6, −3) un vector, tenemos que calcular el producto λ × a, donde λ es un
escalar. Este producto dará como resultado otro vector, llamémosle a este vector b,
entonces b = λ × a .
a) en el caso (a) λ = 2 luego
b = 2 × (6, −3)
b = (2×6, 2×(−3))= (12, − 6)
b) en este caso λ =1/2 luego
b = 2 × (6, −3)
b = (2×6, 2×(−3))= (12, − 6)
c) en este caso λ =-1 luego
b = -1 × (6, −3)
b = (-1×6, -1×(−3))= (-6, 3)
El resultado de multiplicar un vector por -1 es el vector opuesto
d) en este caso λ =-0.5 luego
b = -0.5 × (6, −3)
b = (-0.5×6, -0.5×(−3))= (-3, 1.5)

60
e) en este caso λ =-1/3 luego
b = -1/3 × (6, −3)
b = (-1/3×6, -1/3×(−3))= (-2, 1)
Veamos estos resultados en forma gráfica: En el gráfico de la Figura 14 se
representaron los resultados de los casos (a) y (c). Proponemos que graficar los casos
que faltan.
Tarea:
Sean los vectores a = (3 , 5), b = (6 , -4) , c = (-4 , 3) .
a) Calcular el vector suma en forma analítica
b) Calcular el vector suma en forma gráfica.
c) Calcular el vector resultante de restar a – c en forma analítica
d) Calcular el vector resultante de restar a – c en forma gráfica
e) Dada la siguiente operación vectorial u = 2 a + ½ b – 3/2 c, calcular u

61
Noción de Fuerza
Llamamos “Fuerza” a cualquiera de las causas que producen alguna modificación en
el movimiento de un cuerpo o producen alguna deformación en él.


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Interacciones y Fuerzas
Cuando dos cuerpos ejercen fuerzas uno al otro se dice que están “interactuando”,
dicho de otra manera, las Fuerzas son la consecuencia de la interacción de dos cuerpos.
¿Cerca o Lejos?
¿Consideras que para que dos cuerpos se ejerzan mutuamente fuerzas, sí o sí8
tienen que estar “tocándose”?
Cuando decimos “tocándose” también estamos considerando el caso de un cuerpo
intermedio que toca a ambas …
La respuesta correcta es …¡¡ NO !!
Podemos dar muchos ejemplos de fuerzas que se ejercen estando los cuerpos lejos,
a estas, las llamamos Fuerzas “a distancia”. Como fuerzas a distancia, consideraremos:
 La atracción Gravitatoria
 Atracción y repulsión entre imanes
 ¿Conoces otra?
Algo interesante que podemos agregar al respecto es que este tipo de interacción
se ejerce incluso en el vacío, es decir “no es necesaria la presencia de un medio material
8
Muchas veces esta frase se expresa con mayor formalidad en el lenguaje académico diciendo: “Es condición necesaria
que …”

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para que se transmita.
Por otro lado están las fuerzas que SI necesitan de este contacto para la
interacción, es más ¡¡sin él no se ejercen!!
La Fuerza es un Vector
Tarea: “Experimentación”
Los elementos que necesitarás son: papel y lápiz, una silla (si es liviana, mejor…)
Aplicaremos, con nuestras manos, fuerzas de igual intensidad (lo mejor posible) en
distintos puntos (como te sugiere la imagen). En cada uno de los siguientes casos harás
un croquis de la situación y anotarás que ocurrió luego de la experiencia:
 Aplico una fuerza desde atrás sobre el respaldo del asiento
 Aplico una fuerza desde adelante sobre asiento
 Aplico una fuerza desde arriba en algún punto cercano al centro del asiento
 Aplico una fuerza desde abajo en algún punto cercano al centro del asiento
 ¿Qué ocurre con la silla en cada caso?
 ¿Cómo debería hacer para que las fuerzas sean iguales a las aplicadas si repito los
casos pero ahora en lugar de nuestras manos en forma directa atamos un hilo a la silla y
tiramos de este?
 ¿Cómo podemos asociar lo visto anteriormente sobre vectores, con lo que
observaste?
Las fuerzas son magnitudes vectoriales, ya que no basta con definir el valor con un
número y las unidades correspondientes. Así, como se observa en el caso de la silla del

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ejemplo anterior, una misma fuerza, según cómo se aplique, puede provocar efectos muy
diferentes. En el primer caso puede provocarle un movimiento hacia la derecha; en el
segundo, hacia la izquierda; en el tercero puede, incluso, llegar a levantarla, si es mayor
que el peso de la silla.
En la figura se indica en línea punteada las rectas a las que pertenecen las fuerzas.
Dicha recta indica la dirección de la fuerza. La flecha indica el sentido de la fuerza (hacia
donde se hace la fuerza).
En el ejemplo de la silla, la dirección sería la línea horizontal en los dos primeros
casos, y la línea vertical en el tercero y cuarto caso.
En el primer caso el sentido es la dirección horizontal hacia la derecha; en el
segundo, la misma dirección hacia la izquierda; en el tercero, la dirección vertical hacia
arriba y el cuarto la misma dirección hacia abajo.
Sin embargo, hay que tener en cuenta que en el lenguaje cotidiano dirección y
sentido son sinónimos pero la física tiene sus propios códigos y aquí estos dos términos
son muy distintos.
Ahora piense en el futbol (o cualquier otro deporte que practiquemos con pelota,
como por ejemplo tenis, voley, etc.)
Recta de acción
Recta de acción
DirecciónSentido
Módulo

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Cuando le “pegamos” a la pelota delicadamente hacemos menos fuerza que si le
pegamos con rabia, la intensidad de la fuerza varía, no es lo mismo pegarle con la cara
interna del pie que con la punta, pegarle “con comba” que derecho, levantarla que tirar “al
rastrón”, darle “efecto”, pararla “de pechito” … Es decir, ¡el módulo indica solamente la
intensidad de fuerza que se hace sin importar el sentido, ni la dirección, ni el punto de
aplicación que ella tenga!9
.
Tarea
Te proponemos ahora que pienses ejemplos de estos conceptos aplicados a las
fuerzas:
• Dirección de la Fuerza. (En la misma recta de acción; en rectas paralelas y no
paralelas)
• Punto de Aplicación. (Aplicadas en el mismo punto –concurrentes-, y en distintos
puntos de un mismo cuerpo)
• Sentido de la Fuerza. (En igual sentido y en sentido contrario)
Las Unidades de Fuerza10
En las ciencias experimentales, como la física, la “medida” constituye una operación
fundamental. Sus descripciones del mundo físico se refieren a magnitudes o propiedades
medibles. Las unidades, como cantidades de referencia a efectos de comparación, forman
9
¿Le prestaste atención a los ejemplos que te propusimos? Desde chico aplicaste la “física” cada vez que jugaste al fútbol,
o para decirlo de otra manera, la “física” está en todo lo que nos rodea, lo único que estamos haciendo ahora es
¡¡poniéndole “nombre” a las cosas que vos ya sabías!!, estamos “ordenando” los conocimientos y tratando de establecer un
método que nos permita comprender la naturaleza para luego poder predecir lo que ocurrirá en distintas situaciones.
Cuando comprendemos algo que se manifiesta de distinta forma manera (como las fuerzas) es como cuando viendo dos
manzanas distintas igual las reconocemos como “manzanas” y entendemos que son distintas a las “peras”. Y esto es algo
maravilloso.
10
La fuerza es una magnitud derivada, así que para definir formalmente la fuerza lo hacemos a partir de la masa y la
aceleración, como veremos en Dinámica, estas son magnitudes en las que intervienen la masa, la longitud y el tiempo. Este
hecho atiende a las evidencias que posee la física actual, expresado en el concepto de Fuerzas Fundamentales que verás
en los cursos de Física que harás a lo largo de tu carrera universitaria.

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parte de los resultados de las medidas. Algunos de estos parámetros de referencia
“fueron” elegidos, esto da lugar a que hayan varios acuerdos y por lo tanto varios sistemas
de unidades donde la unidad de fuerza tiene distinto valor, en los libros de texto
encontrarás que de acuerdo al adoptado por su país de origen, su autor privilegia utilizar
uno u otro. Algunos de ellos son:
 Sistema Internacional de Unidades (SI)
Newton (N)
 Sistema Técnico de Unidades
Kilogramo fuerza o Kilopondio (Kgf)
Gramo fuerza (gf)
 Sistema Cegesimal de Unidades
Dina
 Sistema Británico de Unidades
Libra fuerza (lbf)
Nosotros en nuestro curso vamos a utilizar el mas extendido que es el SI y por lo
tanto mediremos las fuerzas en Newton. Cómo en algunas de los textos que se utilizan en
secundaria usan el kilogramo fuerza también haremos referencia a esta unidad y su
conversión con el Newton.
Suma de Fuerzas
¿Y qué pasa cuando actúan varias Fuerzas sobre un Cuerpo?
La suma vectorial de todas las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo se
llama Resultante y ¡tiene un significado fantástico!
Cómo las fuerzas son vectores debemos sumarlas como tales. Básicamente diremos
que hay 2 maneras de calcular la resultante de un sistema de fuerzas: Una, es el método
gráfico y el otra es el método analítico. En el método gráfico uno calcula la resultante
haciendo un dibujo y midiendo con una regla sobre el dibujo. En el método analítico uno
calcula la resultante en forma teórica haciendo cuentas.
Empecemos con un ejemplo sencillo, primero veamos qué ocurre cuando tenemos el
caso de las fuerzas colineales: llevan ese nombre las fuerzas que poseen igual dirección
pero no necesariamente el mismo sentido, como por ejemplo una cinchada como se ve en
la figura
El efecto de Todas las fuerzas que actúan
sobre el cuerpo es el mismo que si solo actuara
la Resultante sobre el cuerpo

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Como, salvo que estés estudiando en grupo, es difícil que puedas experimentar la
cinchada y sacar conclusiones, te proponemos otra cosa, dejá sobre la mesa el lápiz (o
birome) con el que estás trabajando y con el dedo índice empújalo desde un extremo, vas
a ver que se mueve. Ahora empujalo utilizando ambos dedos índices de cada mano sobre
el mismo extremo. Cada dedo hace fuerza con igual dirección e igual sentido, resultando,
de ambos, una fuerza mayor que antes. De esa manera podemos indicar que: “las fuerzas
de igual sentido se suman”. Ahora coloca un dedo índice en cada extremo y hacé fuerza.
La fuerza resultante en este caso es menor que la hecha por cada dedo. Si comparamos
la dirección de cada fuerza, éstas siguen siendo las mismas, pero sus sentidos son
opuestos. De esa manera podemos indicar que: “las fuerzas de sentidos opuestos se
restan”. Esto es que lo que representan los diagramas de fuerza siguientes:
Aquí necesitamos volver a resaltar, para que nos quede sumamente claro, que en
física “los signos nos indican sentidos” en el sistema de referencia que hemos elegido.
Es costumbre elegir un sistema por todos acordado para hacer más fácil las
representaciones y entendernos mejor, así que en general las fuerzas que van a la
izquierda las consideraremos negativas y si van a la derecha, diremos que son positivas11
.
En nuestra vida cotidiana las fuerzas pueden ser colineales, paralelas, ó secantes (las que
se cortan en un punto).
11
Atención, la elección positiva o negativa de los sentidos es arbitraria, esta es la forma más común pero nada nos
impide elegir otra.

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Ejemplo
Cuando las fuerzas tienen distinta dirección utilizaremos el método del
Paralelogramo. Recordemos, ¿qué características tiene un paralelogramo? … Sus lados
opuestos son paralelos y de igual longitud. Por lo tanto para hallar la resultante se siguen
los pasos siguientes:
 Trazá las rectas paralelas a cada fuerza, por sus extremos (con líneas punteadas)
 Uní con una línea el punto de intersección de las paralelas y el punto de origen de
las fuerzas. (Esa es la resultante, no olvides que es una fuerza ¡por lo tanto un vector!)
 Calculá el valor de la resultante.
Cuando tenemos más de una fuerza para hallar la resultante generalizamos el
método anterior y lo llamamos “Poligonal”, y deriva del método anterior, es como si
aplicáramos el del paralelogramo muchas veces, pero es más fácil para trabajar con varias
fuerzas.
Si hay más de dos fuerzas se traza una fuerza detrás de la otra (ojo con la dirección
de cada una); cuando se dibujó la última fuerza se traza la resultante desde el punto de
origen de las fuerzas hasta el extremo de la última fuerza. En todo esto hay algo
fundamental que no dijimos y sin lo cual esto no tiene sentido: Es necesario utilizar la
misma escala.
Fuerza aplicada Fuerza neta

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