This document provides an outline for a course on general physics. It includes sections on vector calculus, kinematics, dynamics, energy considerations, dynamics of particle systems, rotational dynamics, and field concepts. The document was written by Ignacio Martín Bragado and contains over 60 subsections on various topics in physics.
Entre las novedades introducidas por el Código Aduanero (Ley 22415 y Normas complementarias), quizás la más importante es el articulado referido a la determinación del Valor Imponible de Exportación; es decir la base sobre la que el exportador calcula el pago de los derechos de exportación.
Anna Lucia Alfaro Dardón, Harvard MPA/ID. The international successful Case Study of Banco de Desarrollo Rural S.A. in Guatemala - a mixed capital bank with a multicultural and multisectoral governance structure, and one of the largest and most profitable banks in the Central American region.
INCAE Business Review, 2010.
Anna Lucía Alfaro Dardón
Dr. Ivan Alfaro
Dr. Luis Noel Alfaro Gramajo
11. Cap¶³tulo 1
Distribuci¶on de este
documento
Este libro ha sido escrito ¶³ntegramente por Ignacio Mart¶³n Bragado y todo su
material es original, incluyendo los gr¶a¯cos que contiene, excepto los iconos de am-pliaci
¶on, recuerda, nota, problema y resoluci¶on que han sido tomados del proyecto
GNOME (distribuido con licencia GPL) y modi¯cados. Ha sido compuesto utilizan-do
LATEXsobre un ordenador AMD K6 utilizando un sistema operativo GNU/Linux.
Se permite la reproducci¶on de los contenidos de este libro siempre y cuando
quede absolutamente expl¶³cita la procedencia de este documento y su autor y se
conserve esta leyenda.
No se permite la modi¯caci¶on de ning¶un t¶opico de este libro. Si desea reali-zar
alguna correcci¶on h¶agalo poni¶endose en contacto con el autor en la direcci¶on
imartin@ele.uva.es
La direcci¶on web original de este material es:
http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html
11
13. Cap¶³tulo 2
Introducci¶on
Este esquema pretende ser una peque~na gu¶³a para resolver los problemas de
f¶³sica evitando las confusiones m¶as usuales. No obstante no existe un sistema que
resuelva los problemas de f¶³sica, sino que, cada uno, presenta una faceta que hemos
de descubrir haciendo uso de nuestra raz¶on.
Este esquema no pretende ser un chuletario de los distintos tipos de problemas y
como solucionarlos, sino s¶olo una iniciaci¶on b¶asica en el arte de resolver" problemas
de f¶³sica.
El planteamiento de las ecuaciones que intervienen en los procesos f¶³sicos es, a
nivel general, algo complicado, puesto que son muchos los fen¶omenos que pueden
presentarse. En esta gu¶³a iremos desgajando los distintos procesos que pueden darse
y las ecuaciones involucradas.
La creaci¶on de este esquema ha sido un proceso complicado. Inicialmente cons-tituy
¶o unos breves apuntes que se impart¶³an para un curso del (extinto o en v¶³as
de extinci¶on) COU, pero se fueron a~nadiendo cosas y mezclando parte de los con-tenidos
b¶asicos de dicho curso con algunas consideraciones de ¶³ndole m¶as pr¶actica
fruto de la experiencia en el aula.
Actualmente el nivel de este libro hace que pueda ser utilizado para la asigna-tura
de F¶³sica de 1o de las carreras de ciencias. Para 2o de Bachillerato quiz¶as su
nivel exceda un poco en algunos temas y no contenga otros. En cualquier caso la
concepci¶on ¯nal de este libro es como Curso de f¶³sica general" y no como un libro
de texto de ning¶un curso espec¶³¯co de Facultad ni Instituto.
2.1. Signos empleados
¦ Cuando aparezca alg¶un comentario de inter¶es, si bien no sea importante Nota
para el desarrollo del tema, se tratar¶a de esta manera.
± Las partes del desarrollo que excedan un poco los objetivos de este libro,
pero no por ello dejen de ser interesantes o importantes aparecera¶n de esta Ampliacio¶n
manera.
. Aquellos p¶arrafos que sean muy importantes o que sea conveniente
Recuerda
recordar, ya que pueden constituir alg¶un dato esencial o un resumen de
todo lo dicho se indicar¶an de esta forma.
P El enunciado de algunos problemas que sean posteriormente re- Problema
sueltos.
13
14. CAP¶ITULO 2. INTRODUCCI¶ON
R La resoluci¶on del problema con los c¶alculos y explicaciones perti-nentes.
Resolucio¶n
14 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
15. Cap¶³tulo 3
Esquema
Para plantear un problema de f¶³sica se pueden seguir los siguientes pasos:
Hacer un dibujo explicativo. Esto supone haber le¶³do antes bien el enunciado
comprendiendo exactamente qu¶e datos se ofrecen y qu¶e resultados se piden.
Elegir un sistema de coordenadas adecuado, que ser¶a aquel que nos facilite
la posterior resoluci¶on del problema. Hay que ser coherente con el sistema de
coordenadas que se elija, re¯riendo posteriormente a ¶el todas las cantidades
con sus correspondientes signos.
La elecci¶on de un sistema de coordenadas no siempre es ¶unica, pero en cual-quier
caso hay que hacer una que otorgue sencillez al problema, por coincidir,
generalmente, con alg¶un punto particular que pueda dar posteriormente m¶as
simplicidad al planteamiento o a los c¶alculos.
Comprobar las fuerzas que intervienen en el problema. Suelen ser siempre
menos de las que parecen. Sobre todo no hay que olvidar la fuerza de gravedad,
de rozamiento, posibles tensiones, fuerzas el¶asticas1 as¶³ como sus reacciones.
Considerar las proyecciones sobre los ejes. Una vez comprobadas las fuerzas
que intervienen en el problema habr¶a que proyectarlas sobre los ejes del sis-tema
de coordenadas, para poder as¶³ darlas un tratamiento vectorial. Esta
proyecci¶on es m¶as sencilla de lo que suele parecer. Basta recordar las relacio-nes
sin ® y cos ®.
Plantear las ecuaciones para cada eje. Pueden ser ecuaciones din¶amicas del
tipo
P
F = ma o cinem¶aticas. Hay que ser conscientes de que la ¶unica f¶ormu-la"
que se suele emplear es
P ~F = m~a, pero que, como ¶esta es una ecuaci¶on
vectorial, se descompone en tantas ecuaciones como dimensiones tenga el mo-vimiento,
o lo que es lo mismo, en tantas proyecciones como ejes tenga nuestro
sistema de coordenadas elegido.
Como en pasos anteriores ya hemos considerado las fuerzas que intervienen
y sus proyecciones este paso no debe ser sino un recuento cuidadoso de las
fuerzas que aparecen en un determinado eje o direcci¶on lig¶andolas con la
ecuaci¶on correspondiente.
Este paso es estudiado m¶as ampliamente en los cap¶³tulos siguientes.
Relacionar las ecuaciones planteadas con los datos que tenemos y los que que-remos
saber. Es decir, encontrar el sistema matem¶atico que nos lograr¶a en-contrar
la soluci¶on.
1Cuando hay muelles.
15
16. CAP¶ITULO 3. ESQUEMA
Resolver los sistemas matem¶aticos involucrados. ¶Este es un mero ejercicio
matem¶atico en el cual buscaremos la soluci¶on al problema.
Interpretar la soluci¶on. La interpretaci¶on de la soluci¶on consiste en mostrarse
cr¶³ticos hacia los resultados logrados, plante¶andose si estos son coherentes con
la intuici¶on, con lo que esper¶abamos que saliera, si responden bien al criterio
de signos y sistema de coordenadas elegido, si tienen un orden de magnitud2
apropiado y est¶an en las unidades oportunas, as¶³ como todo lo que nos parezca
oportuno indagar en nuestra propia soluci¶on.
En caso de que el resultado parezca correcto" lo cual, lamentablemente, no
quiere decir que lo sea, podremos dar por concluido el problema. En caso
contrario es conveniente volver a repasar todo el ejercicio, o la parte de la cual
nos mostremos insegura, para ver si detectamos alguna inconsistencia.
2Es decir, si no son demasiado grandes o peque~nos.
16 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
17. Cap¶³tulo 4
Introducci¶on al c¶alculo
vectorial
4.1. Magnitudes escalares y vectoriales
Llamamos magnitud escalar, o simplemente escalar, a toda magnitud que puede
expresarse simplemente con un ¶unico n¶umero. Por ejemplo, el peso o la altura de
una persona es una magnitud escalar.
Se denomina magnitud vectorial o vector a aquella medida para la cual nece-sitamos
dar algo m¶as que un s¶olo n¶umero". Por ejemplo, para saber la velocidad
del viento adem¶as de su intensidad, es decir, tantos kil¶ometros por hora, se requiere
conocer su direcci¶on y sentido, y as¶³ saber si viene del norte hacia el sur, etc. . . Este
tipo de magnitudes se denominan vectores.
4.1.1. Representaci¶on matem¶atica
Matem¶aticamente un escalar se representa con un ¶unico n¶umero1 y un vector
con una serie de coordenadas, tantas como dimensiones tenga el espacio en el que
se representa.
As¶³ un vector ~v se representa como
~v = (vx; vy; vz) = vx^{ + vy^| + vz^k;
siendo vx, vy y vz las componentes del vector, es decir, sus proyecciones sobre los
ejes x,y y z. A su vez ^{, ^| y ^k son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes
x,y y z respectivamente.
4.2. Operaciones vectoriales unarias
Se llama m¶odulo de un vector a lo que ¶este mide". Se calcula como
j~vj = v =
q
v2x
y + v2
z : (4.1)
+ v2
Proyecci¶on de un vector sobre un eje es la sombra" de dicho vector sobre el eje
si la luz que proyecta dicha sombra" cayera justo perpendicularmente. As¶³ las
proyecciones de un vector ~v sobre los ejes x,y y z ser¶an vx, vy y vz respectivamente.
1Que normalmente pertenece al cuerpo de los n¶umeros reales
17
18. CAP¶ITULO 4. INTRODUCCI¶ON AL C¶ALCULO VECTORIAL
El inverso de un vector es dicho vector con sus proyecciones cambiadas de signo. La
suma de un vector y su inverso da siempre el vector nulo.
¡~v = (¡vx;¡vy;¡vz):
Vector nulo es aquel vector cuyo m¶odulo es cero. Este vector es especial, pues carece
de direcci¶on y sentido.
~0 = (0; 0; 0):
Vector unitario de otro dado ~v es aqu¶el que, teniendo la misma direcci¶on y sentido
que el que se da, presenta un m¶odulo igual a 1, se representa como ^v. As¶³
^v =
~v
j~vj
:
4.2.1. Operaciones unarias diferenciales
Para derivar un vector ~v respecto a un par¶ametro t se deriva componente a
componente.
d
dt
~v = (
d
dt
vx;
d
dt
vy;
d
dt
vz):
Para integrar un vector ~v respecto a un par¶ametro t se integra componente a
componente. Z
~v dt = (
Z
vx dt;
Z
vy dt;
Z
vz dt):
4.3. Operaciones vectoriales binarias
Las operaciones binarias necesitan dos vectores para poder operar sobre ellos.
Las m¶as conocidas son:
4.3.1. Equivalencia
Dos vectores son iguales si sus coordenadas son iguales. Es decir
~a =~b ) ax = bx; ay = by; az = bz:
4.3.2. Suma y resta
La suma de varios vectores tambi¶en se denomina resultante de dichos vectores.
Para sumar un vector ~a a otro ~b se suma componente a componente, es decir
~a +~b = (ax + bx; ay + by; az + bz):
Para restar un vector ~a de otro ~b se suma el inverso del vector ~b, es decir:
~a ¡~b = (ax ¡ bx; ay ¡ by; az ¡ bz):
La resta de dos vectores iguales son es el vector cero.
~a ¡~a = ~0:
18 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
19. CAP¶ITULO 4. INTRODUCCI¶ON AL C¶ALCULO VECTORIAL
4.3.3. Producto escalar
El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar, como indica
su nombre. Para multiplicar as¶³ escalarmente un vector ~a por otro ~b se opera
~a ¢~b = j~ajj~bj cos(µ): (4.2)
Siendo µ el ¶angulo que forman los vectores ~a y ~b entre ellos.
El producto escalar de dos vectores, dadas sus componentes, se puede realizar
tambi¶en sabiendo que
~a ¢~b = axbx + ayby + azbz: (4.3)
Observando las relaciones que marcan (4.2) y (4.3) y teniendo presenta adem¶as
la relaci¶on del m¶odulo de un vector expuesta en (4.1) se pueden deducir las siguientes
propiedades del producto escalar:
Es nulo si alguno de los dos vectores es el vector nulo.
Es nulo si los dos vectores son perpendiculares.
Para proyectar un vector ~a sobre un eje marcado por un vector ~b basta con
realizar la operaci¶on
proy~b(~a) =
~a ¢~b
j~bj
:
Dados dos vectores se puede calcular el ¶angulo que forma entre ellos usando
la relaci¶on
cos(µ) =
~a ¢~b
j~ajj~bj
=
q axbx + ayby + azbz
a2
y + a2z
x + a2
q
b2
y + b2z
x + b2
:
4.3.4. Producto vectorial
Introducci¶on
El producto vectorial, representado como ~a £ ~b o bien como ~a ^ ~b, tiene las
siguientes propiedades:
Es perpendicular tanto a ~a como a ~b. Es decir,
³
~a ^~b
´
?~a y
³
~a ^~b
´
?~b.
Su m¶odulo es ab sin ®, siendo ® el ¶angulo que forman entre ellos. Tambi¶en, ¯¯ ¯~a ^~b
¯¯¯
= ab sin ®.
Su sentido est¶a dado por la regla del sacacorchos, entendiendo que hay que
mover el sacacorchos" desde el primer vector al segundo.
C¶alculo de las componentes de ~a ^~b
Demostraremos en 4.3.4, quiz¶as no muy rigurosamente, pero si ganando a cambio
mucho en simplicidad, como se puede llegar a este resultado. En cualquier caso, para
hallar cuales son las componentes del vector producto vectorial basta con saber que
si ~a = ax^{ + ay^| + az^k y ~b = bx^{ + by^| + bz^k, entonces:
~a ^~b =
¯¯¯¯¯¯
^{ ^| ^k
ax ay az
bx by bz
¯¯¯¯¯¯
= (aybz ¡ azby)^{+
(azbx ¡ axbz)^|+
(axby ¡ aybx)^k
(4.4)
F¶³sica General. http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 19
20. CAP¶ITULO 4. INTRODUCCI¶ON AL C¶ALCULO VECTORIAL
Expresi¶on anal¶³tica del producto vectorial
± Tomando ~a ^~b = ~c Ampliacio¶n henos exigido que tanto ~a?~c como que ~b?~c. Es decir
axcx + aycy + azcz = 0
bxcx + bycy + bzcz = 0
: (4.5)
Adem¶as parece l¶ogico suponer que este nuevo vector deber¶a ser indepen-diente"
del sistema de coordenadas que elijamos, con lo cual vamos a tomar
uno en el que el vector ~a coincida con el eje y y el ~b se encuentre contenido en
el plano xy, formando entre ellos un ¶angulo µ.
Despejando cx en una de las ecuaciones (4.5) tenemos que
cx =
¡aycy ¡ azcz
ax
(4.6)
y, sustituyendo en la otra se consigue que
cy =
¡bzczax + bxaycy + bxazcz
byax
: (4.7)
Operando un poco en la expresi¶on (4.7) de tal forma que podamos expresar
cz en funci¶on de cy tendremos que
cz =
cy (byax ¡ bxay)
bxaz ¡ bzax
(4.8)
y ahora no queda m¶as que ver el signi¯cado de esta expresi¶on para lograr el
resultado ¯nal.
De las relaciones (4.5) tenemos que ~c debe ser perpendicular tanto a ~a
como a ~b y, por tanto, en el caso concreto que hemos elegido, ~c debe estar
en el eje z, es decir, ~c = ¸^k. Ahora bien, precisamente por esta misma raz¶on
cy = 0 y, seg¶un la relaci¶on (4.8) cz deber¶³a ser tambi¶en cero, cosa que no tiene
sentido. Una posible soluci¶on ser¶³a hacer ver que la relaci¶on no es v¶alida porque
estamos dividiendo por cero, y, ya que cy tambi¶en es cero, igualar ambos
t¶erminos. As¶³ tendr¶³amos cy = bxaz ¡ bzax y podr¶³amos simpli¯car cy con el
denominador2. Una vez extra¶³do cy se tendr¶³a tambi¶en que cz = byax ¡ bxay,
y s¶olo quedar¶³a hallar cx usando nuevamente las ecuaciones (4.5). Quedar¶³a,
no en s¶³ demostrado, pero si razonado, el por qu¶e de expresar el producto
vectorial de la manera rese~nada en (4.4).
C¶alculo de ¶areas con el producto vectorial
Antes de nada: >c¶omo es posible qu¶e el producto vectorial, que da como resultado
un vector, sea reutilizable para calcular un ¶area?. Responder a esta pregunta es
sencillo si, para ello, tenemos en cuenta el m¶odulo del producto vectorial, que ser¶a un
escalar.
Sabemos ya que j~a ^ ~bj = ab sin Á donde Á representa el ¶angulo formado por
ambos vectores. Esto puede verse en la ¯gura 4.1. Tambi¶en nos damos cuenta que
b sin Á puede interpretarse como la altura" del tri¶angulo formado por ~a, ~b y la
uni¶on de sus dos extremos. Con lo que resulta que j~a ^~bj resulta ser la base a por
la altura b sin Á, y por tanto
j~a ^~bj
2
= Atria
donde Atria es el ¶area del tri¶angulo anteriormente dicho.
2Teniendo presente que esta simpli¯caci¶on est¶a muy tomada por los pelos... ya que se trata de
0
0 .
20 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
21. CAP¶ITULO 4. INTRODUCCI¶ON AL C¶ALCULO VECTORIAL
a
b
b sin
b cos
f
f
f
Figura 4.1: El ¶angulo entre dos vectores y sus proyecciones.
4.3.5. Producto mixto
A veces se de¯ne el producto mixto entre tres vectores ~a, ~b y ~c como
~a ¢ (~b ^ ~c): (4.9)
Este producto, cuyo resultado puede verse que va a ser un escalar, se puede calcular
tambi¶en como el determinante de la matriz 3 ¤ 3 que se forma con las componentes
de los vectores, es decir
¯¯¯¯¯¯
ax ay az
bx by bz
cx cy cz
¯¯¯¯¯¯
= axbxcx + cxaybz + azbxcy ¡ azbycx ¡ aybxcz ¡ axbzcy:
Una de las utilidades del producto mixto es que da el volumen de un parale-lep
¶³pedo formado con las aristas de los vectores ~a, ~b y ~c, ya que si manejamos un
poco (4.9) tenemos que:
~a ¢ (~b ^ ~c) =
= aj~b ^ ~cj cos Á
= abc sin à cos Á:
donde bc sin à no es sino el ¶area de la base del paralelogramo (ver secci¶on 4.3.4) y
a cos Á resulta ser la altura de dicho paralelep¶³pedo. El ¶area de la base por la altura
nos da el volumen de este tipo de cuerpos geom¶etricos.
± Ser¶³a un buen ejercicio para el lector intentar demostrar m¶as rigurosa- Ampliaci¶on
mente estas ¶ultimas a¯rmaciones
F¶³sica General. http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 21
23. Cap¶³tulo 5
Cinem¶atica
5.1. Introducci¶on
Cinem¶atica es la parte de la f¶³sica que estudia el movimiento de los cuerpos,
aunque sin interesarse por las causas que originan dicho movimiento. Un estudio de
las causas que lo originan es lo que se conoce como din¶amica.
Las magnitudes que de¯ne la cinem¶atica son principalmente tres, la posici¶on, la
velocidad y la aceleraci¶on.
Posici¶on es el lugar en que se encuentra el m¶ovil en un cierto instante de tiempo t.
Suele representarse con el vector de posici¶on ~r. Dada la dependencia de este
vector con el tiempo, es decir, si nos dan ~r(t), tenemos toda la informaci¶on
necesaria para los c¶alculos cinem¶aticos.
Velocidad es la variaci¶on de la posici¶on con el tiempo. Nos indica si el m¶ovil se
mueve, es decir, si var¶³a su posici¶on a medida que var¶³a el tiempo. La velocidad
en f¶³sica se corresponde al concepto intuitivo y cotidiano de velocidad.
Aceleraci¶on indica cu¶anto var¶³a la velocidad al ir pasando el tiempo. El concepto
de aceleraci¶on no es tan claro como el de velocidad, ya que la intervenci¶on
de un criterio de signos puede hacer que interpretemos err¶oneamente cu¶ando
un cuerpo se acelera (a > 0) o cu¶ando se decelera" (a < 0). Por ejemplo,
cuando lanzamos una piedra al aire y ¶esta cae es f¶acil ver que, seg¶un sube
la piedra, su aceleraci¶on es negativa, pero no es tan sencillo constatar que
cuando cae su aceleraci¶on sigue siendo negativa porque realmente su veloci-dad
est¶a disminuyendo, ya que hemos de considerar tambi¶en el signo de esta
velocidad.
5.2. Velocidad
Se de¯ne velocidad media como
v~m =
¢~r
¢t
tomando los incrementos entre los instantes inicial y ¯nal que se precisen.
No obstante, aunque la velocidad media es una magnitud ¶util, hay que destacar
que en su c¶alculo se deja mucha informaci¶on sin precisar. As¶³, aunque sepamos que
la velocidad media de un m¶ovil desde un instante 1 a otro 2 ha sido tantos" metros
por segundo, no sabremos si los ha hecho de forma constante, o si ha ido muy lento
al principio y r¶apido al ¯nal o si. . . por eso se de¯ne una magnitud que exprese
23
24. CAP¶ITULO 5. CINEM¶ATICA
la velocidad instant¶anea, es decir, la velocidad en cierto y determinado instante
y que pueda calcularse como una velocidad media donde los intervalos sean tan
peque~nos que pueda decirse exactamente a qu¶e velocidad se desplazaba el m¶ovil en
cada instante. Es f¶acil darse cuenta de que esta de¯nici¶on se logra tomando como
velocidad instant¶anea:
~v = l¶³m
¢t!0
¢~r
¢t
y por tanto, coincide con la de¯nici¶on de derivada respecto al tiempo. As¶³ pues se
de¯ne ¯nalmente
~v =
d
dt
~r:
De esta de¯nici¶on se obtienen algunas consecuencias:
La direcci¶on de ~v va a ser siempre tangente a la trayectoria.
El m¶odulo de ~v puede calcularse, adem¶as de operando sobre el vector ~v, sa-biendo
que
j~vj =
d
dt
s(t)
siendo s(t) la distancia que el m¶ovil ha recorrido sobre la trayectoria1.
5.3. Aceleraci¶on
Aceleraci¶on es la variaci¶on de la velocidad en la unidad de tiempo. Se puede
de¯nir una aceleraci¶on media entre dos instantes, inicial y ¯nal, como
~am =
~vf ¡~vi
tf ¡ ti
y, de manera an¶aloga a la velocidad, puede de¯nirse una aceleraci¶on instant¶anea
llevando estos instantes inicial y ¯nal muy cerca uno del otro, hasta tener as¶³ que
la aceleraci¶on instant¶anea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo
~a =
d
dt
~v(t):
5.4. Componentes intr¶³nsecas de la aceleraci¶on
Tomando el vector velocidad como un m¶odulo por un vector unitarios, es decir,
como
~v = j~vj^v
y derivando se tiene que, utilizando la regla del producto para las derivadas (ap¶endi-ce
C),
d
dt j~vj)^v
| {z }
tangencial
~a = (
+j~vj
d
dt
^v
| {z }
normal
:
De estas dos componentes la primera se denomina aceleraci¶on tangencial porque,
como se desprende de su propia de¯nici¶on, su direcci¶on es la del vector unitario ^v y
es por tanto, tangente a la trayectoria. La otra componente es la aceleraci¶on normal.
1Intuitivamente, para un autom¶ovil ~r ser¶³an las coordenadas del coche vistas desde un sistema
de referencia elegido, y s(t) ser¶³a la distancia recorrida por el autom¶ovil que va marcando el
cuentakil¶ometros.
24 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
25. CAP¶ITULO 5. CINEM¶ATICA
De la aceleraci¶on tangencial diremos que su m¶odulo es
j~atj =
d
dt j~vj (5.1)
y su direcci¶on
^v =
~v
j~vj
:
Esta ~at se encarga de medir" la variaci¶on de la velocidad sin importarle su direcci¶on
ni sentido, sino solo su m¶odulo, es decir, su intensidad".
En cuanto a la aceleraci¶on normal, se puede demostrar que su m¶odulo es
j~anj = j~vj2
R
; (5.2)
siendo R el radio de curvatura de la trayectoria, y que su direcci¶on es siempre
perpendicular a la trayectoria y hacia el interior de la curva".
5.5. Clasi¯caci¶on de movimientos
Los movimientos se pueden clasi¯car seg¶un las componentes intr¶³nsecas de su
aceleraci¶on.
1. at = 0
a) an = 0. Movimiento rectil¶³neo a velocidad constante.
b) an = cte. Movimiento circular uniforme.
c) an6= cte. Movimiento circular acelerado.
2. an = 0
a) at = 0. Movimiento rectil¶³neo a velocidad constante.
b) at = cte. Movimiento rectil¶³neo uniformemente acelerado.
c) at6= cte. Movimiento rectil¶³neo acelerado.
3. an6= 0 y at6= 0. Movimiento curvil¶³neo.
5.6. Composici¶on de movimientos
Los problemas de composici¶on de movimientos tienen la di¯cultad de saber res-pecto
a que sistema estamos resolviendo y por tanto determinar siempre las magni-tudes
respecto al sistema apropiado, bien el especi¯cado por el problema, bien uno
elegido adecuadamente. Es com¶un en este tipo de problemas la presencia de m¶as de
un m¶ovil y hay que ser muy cuidadoso para identi¯car correctamente que m¶oviles
se mueven y respecto a qu¶e.
5.6.1. Translaci¶on pura
Sus relaciones, que pueden deducirse f¶acilmente de la suma vectorial y posterior
derivaci¶on respecto al tiempo, son:
~r = ~r0 +~r0
~v = ~v0 +~v0
~a = ~a0 +~a0
(5.3)
F¶³sica General. http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 25
26. CAP¶ITULO 5. CINEM¶ATICA
Piedra
que cae.
Coche que
avanza
r
r
r
c
p
cp
Figura 5.1: Relaci¶on vectorial entre unos y otros sistemas. El conductor ver¶a la
piedra que cae como ~rcp = ~rc ¡~rp.
En donde intervienen el sistema quieto" y el que se mueve", que es el pri-mado".
Las magnitudes con el sub¶³ndice 0 son las relativas entre los sistemas de
referencia.
Una estrategia que suele resultar bastante inteligible de plantear es la siguiente:
1. Plantear un sistema ¯jo, respecto al cual conocemos, al menos, c¶omo es el
movimiento de uno de los otros sistemas.
2. Dibujar entonces el vector de posici¶on que buscamos (generalmente el de un
sistema respecto al otro).
3. Relacionar estos vectores entre s¶³ como sumas unos de los otros.
Se ha dibujado esto en la ¯gura 5.1.
Una vez que conocemos el vector de posici¶on se puede extraer el resto de infor-maci
¶on derivando o realizando la operaci¶on matem¶atica necesaria.
5.6.2. Rotaci¶on pura
En este caso suponemos que un sistema gira respecto al otro con una velocidad
angular constante !, pero manteniendo el origen en com¶un.
La f¶ormula interesante es la que relaciona sus velocidades
~v = ~v0 + ~! £~r (5.4)
que presenta una di¯cultad un poco mayor de deducci¶on, y por eso no se expresa
aqu¶³.
Las magnitudes que aparecen en esta f¶ormula son ~v, que es la velocidad que el
m¶ovil presenta respeto al sistema ¯jo". ~v0, la velocidad del m¶ovil vista desde el
sistema que rota, y ! que es la velocidad angular con la cual el sistema m¶ovil rota
respecto al ¯jo", aunque siempre manteniendo en com¶un su origen de coordenadas.
Por ejemplo, si hubiera una mosca posada en el eje de un tocadiscos y girando
con ¶el a una cierta velocidad angular !, que observara a un mosquito avanzar
por el disco con una velocidad ~v0, vista desde el punto de vista de la mosca, que
est¶a rotando, en este caso:
~v Ser¶³a la velocidad del mosquito vista desde el eje del tocadiscos, pero el
observador ¯jo, es decir, sin girar.
~v0 es la velocidad con la cual la mosca, que gira, ve al mosquito desplazarse
por el disco.
26 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
27. CAP¶ITULO 5. CINEM¶ATICA
! es la velocidad angular del disco.
~r es el vector de posici¶on del mosquito, en el sistema ¯jo.
5.7. Resoluci¶on de problemas
5.7.1. Tiro parab¶olico
Se denomina tiro parab¶olico, en general, a aquellos movimientos que suceden de
forma bidimensional sobre la super¯cie de la tierra.
Para este tipo de m¶oviles el movimiento se descompone en sus componentes2 x
e y. El movimiento en x no sufre aceleraci¶on, y por tanto sus ecuaciones ser¶an
Eje x
½
x = x0 + v0xt
vx = v0x
(5.5)
pero en cambio en el eje y se deja sentir la fuerza de la gravedad, supuesta constante3
y por tanto sus ecuaciones ser¶an
Eje y
½
y = y0 + v0yt ¡ 1
2 gt2
vy = v0y ¡ gt
: (5.6)
Algunas preguntas t¶³picas del tiro parab¶olico son calcular el alcance y altura
m¶axima. Estas preguntas se pueden contestar sabiendo que la altura m¶axima se
alcanzar¶a cuando vy = 0. De esta condici¶on se extrae el tiempo que tarda en alcanzar
la altura m¶axima y sustituyendo en la ecuaci¶on de las y se obtiene la altura m¶axima.
El alcance m¶aximo se puede calcular razonando que, para cuando esto suceda, el
m¶ovil volver¶a estar al nivel del suelo y por tanto y = 0, sustituyendo se obtiene t
y, sustituyendo ¶este en las x el resultado. Otras cantidades se pueden conseguir de
manera similar.
¦ x0 e y0 ser¶an las coordenadas donde el m¶ovil se encuentra en el instante Nota
t = 0, inicio del movimiento, y vx0 y vy0 la velocidad con la que se mueve
en ese instante. Si nos han indicado que el m¶ovil se mov¶³a con una velocidad
v formando un ¶angulo ® con la horizontal se puede ver muy f¶acilmente que,
entonces, vx0 = v cos ® y vy0 = v sin ®.
A su vez el signi¯cado de las variables x e y es el siguiente: ¶estas nos
indican a que distancia horizontal (x) y altura (y) se encuentra el m¶ovil en cada
instante de tiempo t, considerando que estamos tomando como origen para
medir estas distancias horizontales y alturas desde el sistema de coordenadas
respecto al cual estemos tomando todos los dem¶as datos.
± Se podr¶³a hacer un estudio m¶as complejo incluyendo el rozamiento del Ampliaci¶on
aire. Para esto habr¶a que modi¯car las ecuaciones x e y a las nuevas ecuaciones
deducidas en el ap¶endice B.
5.7.2. Componentes intr¶³nsecas
P Sea un m¶ovil cuyo vector de posici¶on es Problema
~r = (7 ¡ 3t)^{ + (5t ¡ 5t2)^| + 8^k (m):
Calcular su velocidad, aceleraci¶on y componentes intr¶³nsecas de ¶esta,
as¶³ como el radio de la trayectoria para t = 0;5s.
F¶³sica General. http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 27
28. CAP¶ITULO 5. CINEM¶ATICA
R Derivo para encontrar ~v y ~a. Una primera vez Resoluci¶on
~v =
d
dt
~r = ¡3^{ + (5 ¡ 10t)^|
m
s
y una segunda vez
~a =
d
dt
~v = ¡10^|
m
s2 :
Ahora calculo el m¶odulo de la velocidad:
j~vj =
p
9 + (5 ¡ 10t)2 =
p
m
34 ¡ 100t + 100t2s
que, derivado respecto al tiempo nos dar¶a el m¶odulo de ~at.
j~atj =
d
dt
p
34 ¡ 100t + 100t2 =
100t ¡ 50
p34 ¡ 100t + 100t2
m
s2
y multiplicando por el unitario de ~v, que es
^v = ¡3^{ + (5 ¡ 10t)^|
p34 ¡ 100t + 100t2
nos da el vector ~at
~at =
100t ¡ 50
34 ¡ 100t + 100t2 (¡3^{ + (5 ¡ 10t)^|):
m
s2
Por ultimo ¶podemos calcular ~an como ~a ¡ ~at. Haciendo las oportunas
sustituciones tendremos que para t = 0;5s, ~v = ¡3^{m
, ~a = ¡10^|m
s s2 ,
~at = ~0m
s2 con lo cual ~an = ¡3^|m
s2 y de esta forma, podremos despejar el
radio de la trayectoria, que ser¶a
R =
v2
an
= 3m:
5.7.3. C¶alculo de trayectorias
Problema P Dado el vector de posicio¶n de un mo¶vil
~r = 15t^{ + (200 ¡ 5t2)^|;
calcule la ecuaci¶on de su trayectoria.
Resolucio¶n R Este tipo de problemas se resuelve en general despejando t en una
de las ecuaciones de x o de y y sustituyendo en la otra, encontrando
as¶³ x en funci¶on de y o al rev¶es. En este caso tenemos que
x = 15t ) t =
x
15
y sustituyendo en
y = 200 ¡ 5t2
tendremos
y = 200 ¡ 5
³ x
15
´2
) y = 200 ¡
1
45
x2:
2Vectores ^{ y ^|.
3Aproximaci¶on v¶alida siempre que el tiro discurra en la super¯cie terrestre o apreciablemente"
en la super¯cie terrestre.
28 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
29. Cap¶³tulo 6
Din¶amica
6.1. Introducci¶on
As¶³ como la cinem¶atica se encarga de la descripci¶on del movimiento de los cuer-pos,
aunque sin entrar en detalles de la causa que hace mover a ¶estos, la din¶amica
estudia precisamente por qu¶e se mueven los cuerpos, es decir, cu¶ales son las causas
que crean la variaci¶on de su estado de movimiento.
6.2. Leyes de Newton
6.2.1. Ley de la inercia
La ley de la inercia se podr¶³a enunciar como
. Todo cuerpo permanece en su estado actual de movimiento con Recuerda
velocidad uniforme o de reposo a menos que sobre ¶el act¶ue una fuerza
externa neta o no equilibrada.
donde la fuerza neta de la que hablamos antes ser¶³a la suma vectorial de todas las
fuerzas que puedan actuar separadamente sobre el cuerpo.
¦ ¶Esta es la raz¶on por la cual es tan peligroso para los astronautas en Nota
el espacio separarse de la nave sin un cord¶on que los una a ella, ya que si
chocan con algo y salen impulsados, como no act¶ua ninguna fuerza sobre
ellos, seguir¶an desplaz¶andose uniformemente y separ¶andose de la nave sin
posibilidad de volver a ella (a no ser que tengan un peque~no impulsor).
6.2.2. Segunda ley de Newton
Esta ley es la m¶as importante en cuanto nos permite establecer una relaci¶on
num¶erica entre las magnitudes fuerza" y aceleraci¶on". Se podr¶³a enunciar como
. La aceleraci¶on que toma un cuerpo es proporcional a la fuerza neta Recuerda
externa que se le aplica.
La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, con lo que num¶ericamente
esta expresi¶on se denota como
~F = m~a (6.1)
o, en componentes
Fi = mai; i = 1; 2; 3 (6.2)
29
30. CAP¶ITULO 6. DIN¶AMICA
donde ~F representa la resultante de todas las fuerzas externas al cuerpo, es decir,
la suma de dichas fuerzas. ~F =
P ~Fj ; j = 1; :::
Esta expresi¶on nos relaciona ~F, m y ~a de una forma un¶³voca. B¶asicamente nos
dice que el resultado que producen una serie de fuerzas sobre un cuerpo es que dicho
cuerpo se acelere en la misma direcci¶on y sentido que la suma de las fuerzas que le
son aplicadas y con una intensidad o m¶odulo que ser¶a la misma que la resultante
de las fuerzas dividida entre la masa del cuerpo.
Nota ¦ As¶³ pues un cuerpo experimenta una aceleracio¶n mientras esta¶ siendo
sometido a una fuerza resultante no nula. Si dicha fuerza cesa el cuerpo ad-quirir
¶³a un movimiento rectil¶³neo uniforme o se quedar¶³a quieto, seg¶un el caso.
6.2.3. Tercera ley de Newton
La tercera ley de Newton expresa una interesante propiedad de las fuerzas: ¶estas
siempre se van a presentar en parejas. Se puede enunciar como
Recuerda . Si un cuerpo A ejerce, por la causa que sea, una fuerza F sobre
otro B, este otro cuerpo B ejercer¶a sobre A una fuerza igual en m¶odulo
y direcci¶on, pero de sentido contrario.
Gracias a esta ley1 se pueden entender fen¶omenos como que, para saltar hacia
arriba <empujamos la Tierra con todas nuestras fuerzas hacia abajo!. Al hacer esto
la Tierra tambi¶en ejerce esta misma fuerza con nosotros, pero con sentido contrario
(es decir, hacia arriba) y como la masa de la Tierra es enorme en comparaci¶on
con la nuestra, el resultado es que nosotros salimos despedidos hacia arriba pero
la Tierra no se mueve apreciablemente. As¶³ tambi¶en si empujamos una super¯cie
puntiaguda con mucha fuerza, podemos clav¶arnosla, porque dicha super¯cie tambi¶en
estar¶a empujando nuestro dedo con la misma fuerza que nosotros a ella, y como la
super¯cie de la aguja es much¶³simo menor la presi¶on que esta hace sobre nuestro
dedo es muy grande.
Nota ¦ Entonces, si a toda fuerza que se ejerce se opone otra de sentido contrario
>no deber¶³an anularse las fuerzas y nada se podr¶³a mover?. No, porque las
fuerzas se ejercen en cuerpos diferentes. As¶³ en el ejemplo del salto, nosotros
empujamos a la Tierra y la Tierra a nosotros, pero estas fuerzas no se anulan
porque, como es evidente, nosotros y la Tierra somos cuerpos distintos.
6.3. Fuerzas especiales que aparecen en problemas
6.3.1. Normal
Por normal se entiende la fuerza con la que una super¯cie se opone a un cuerpo
que se le sit¶ua encima. Si no existiera esta fuerza el cuerpo se hundir¶³a" en la
super¯cie. ¶Esta es, por tanto, la fuerza de reacci¶on que, obediente al tercer principio
de Newton, la super¯cie opone al empuje que el cuerpo, por encontrarse encima,
hace sobre ella.
Esta fuerza es siempre normal a la super¯cie, es decir, perpendicular a ¶esta. Para
calcular su valor hay que ser bastante cuidadoso y hacer un balance de las fuerzas
en los ejes que tomemos, utilizando la normal para compensar las otras fuerzas de
la forma en que sea necesario.
Problema P Calcule la normal que una mesa ejerce sobre un cuerpo de 10kg si
el cuerpo est¶a en reposo.
1Tambi¶en llamada ley de acci¶on y reacci¶on
30 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
31. CAP¶ITULO 6. DIN¶AMICA
R Si el cuerpo est¶a en reposo signi¯ca que su aceleraci¶on total es Resoluci¶on
nula. Entonces aplicando la segunda ley de Newton a un eje vertical
tendremos que
0 = N ¡ P
donde hemos supuesto que la mesa est¶a perfectamente horizontal y por
tanto la normal tendr¶a s¶olo una componente en el eje y. As¶³ tendremos
que N = P y por tanto en este caso N = mg.
El c¶alculo de la normal en un caso donde haya un cuerpo desliz¶andose por una
rampa puede encontrarse en la secci¶on 6.6.
6.3.2. Rozamiento
Entre dos super¯cies
El rozamiento entre super¯cies se expresa como
Fr = ¹N;
siendo siempre de sentido opuesto al del movimiento. Este resultado no se puede
demostrar" porque se trata de un resultado emp¶³rico, es decir, fruto de la experi-mentaci
¶on.
El coe¯ciente de rozamiento ¹ es adimensional y expresa as¶³ la relaci¶on entre
la normal que el cuerpo ejerce, es decir, la fuerza con la que el cuerpo empuja la
super¯cie debajo de la cual se encuentra, y el rozamiento que va a sufrir por causa
de este empuje. Puede haber dos tipos de coe¯ciente de rozamiento. Un ¹ est¶atico,
que se aplica cuando el cuerpo est¶a quieto y que as¶³, utilizado en Fr = ¹N nos va a
ofrecer la fuerza m¶axima con la que el rozamiento se va a resistir a que se mueva un
cuerpo que est¶a quieto, y un ¹ din¶amico que, aplicado en la f¶ormula de rozamiento,
nos dice la fuerza que el rozamiento est¶a realizando contra un movimiento.
P Un cuerpo de 4kg est¶a deslizando por una super¯cie lisa con coe¯- Problema
ciente de rozamiento (din¶amico) ¹ = 0;25. Si sobre este cuerpo no act¶uan
m¶as fuerzas que el peso y dicha fuerza de rozamiento >con qu¶e acelera-ci
¶on se mueve el cuerpo?.
R Aplicando la ecuaci¶on de Newton al eje y del movimiento obtene- Resoluci¶on
mos que, en este eje, las fuerzas que aparecen son el peso y la normal y,
por tanto,
N ¡ P = may:
Como ay = 0 (un cuerpo sobre una super¯cie no va botando" sobre
ella, su altura, medida sobre la super¯cie, es siempre 0.) tendremos que
N = mg. Aplicando ahora Fx = max tenemos que la ¶unica fuerza en el
eje x es la de rozamiento, y por tanto
Fx = ¡Fr = ¡¹N = max ) ax = ¡¹g
de donde ax = ¡2;45m
s2 . El signo `-' se debe a que, como estamos su-poniendo
impl¶³citamente que el cuerpo avanza hacia el signo positivo
de las x, el rozamiento se opondr¶a al avance y tendr¶a, por tanto, signo
negativo.
F¶³sica General. http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 31
32. CAP¶ITULO 6. DIN¶AMICA
Con un °uido
± Rozamiento con un °uido2 se expresa con Ampliaci¶on
~Fr = ¡K~v
o bien
Fr = ¡Kv2
u otras potencias de v. Una aplicaci¶on algo compleja sobre la forma de utilizar
esta fuerza de rozamiento puede verse en el ap¶endice B. No es sencillo demos-trar
por qu¶e esta contribuci¶on nos aporta el rozamiento contra un °uido y,
en algunos casos, es por medio de la experimentaci¶on como se encuentra una
f¶ormula emp¶³rica m¶as precisa.
Tensi¶on
En problemas que intervienen cuerdas o poleas tensi¶on es la fuerza que liga unos
cuerpos y otros a trav¶es de la cuerda. La tensi¶on en cada extremo de una misma
cuerda es siempre igual pero de sentido contrario. Si esta tensi¶on supera un cierto
valor cr¶³tico la cuerda se romper¶³a.
6.4. El momento lineal
La ley de Newton, expresada como ~F = m~a puede ser utilizada tambi¶en para
demostrar otras relaciones interesantes, siempre que se manipule adecuadamente.
Por ejemplo, si de¯nimos una cantidad ~p a la que llamaremos cantidad de mo-vimiento,
podemos decir que una fuerza es la encargada de variar la cantidad de
movimiento sobre un cuerpo. De esta forma de¯namos ~p tal que
~F =
d
dt
~p:
La pregunta ser¶a ahora >tendr¶a ~p alguna expresi¶on conocida?. Supongamos que un
cuerpo con masa constante va a cierta velocidad ~v. Una fuerza sobre ¶el deber¶a produ-cirle
una aceleraci¶on y, por tanto variar su velocidad y su momento lineal. As¶³ pues
velocidad y momento lineal deben de ir relacionados de alguna forma. Efectiva-mente
tomando ~p = m~v nos damos cuenta de que d
dtm~v cuando m es constate es
m d
~v = m~a = F ~.
dtPor tanto hemos descubierto una nueva magnitud p ~que nos sera ¶de gran utilidad
para desarrollos sucesivos.
Nota ¦ Una forma intuitiva de comprender el momento lineal es como una forma
de medir la di¯cultad de llevar una part¶³cula hasta el reposo. As¶³ es claro
que, cuanto m¶as masivo sea un cuerpo y m¶as velocidad tenga, tanto m¶as nos
costar¶a parar" el movimiento de dicho cuerpo.
6.4.1. Conservaci¶on del momento lineal
Cuando la resultante de las fuerzas externas sobre un sistema es nula, >qu¶e su-cede
con ~p?. Como la fuerza es la derivada del momento lineal respecto al tiempo,
obtenemos que, cuando la fuerza total es cero, esta cantidad que se deriva debe ser
constante y, por tanto, si ~F = ~0 esto supone ~p = cte. Hemos obtenido as¶³ que esta
magnitud tan interesante, el momento lineal, se conserva, es decir, no var¶³a, cuando
no aparecen fuerzas externas sobre un objeto. Por tanto podemos decir que
~pi = ~pf :
2Aire, agua, aceite...
32 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
33. CAP¶ITULO 6. DIN¶AMICA
mg sen a
x
y
mg cos a
a
N
mg
a
Figura 6.1: Descomposici¶on de las fuerzas en un plano inclinado.
La importancia de esta igualdad se podr¶a ver mejor cuando hablemos de los
sistemas de part¶³culas, concretamente en la secci¶on 8.3.3.
6.5. Conservaci¶on de la energ¶³a
Cuando en un problema intervienen sobre el sistema ¶unicamente fuerzas con-servativas3
se pude aplicar el teorema de conservaci¶on de la energ¶³a. Esto supone
que
Ei = Ef ;
siendo Ei y Ef las sumas de las energ¶³as potenciales m¶as la energ¶³a cin¶etica en los
momentos i y f4.
La explicaci¶on de esta igualdad tan interesante no se expresa aqu¶³ porque se
ver¶a m¶as concretamente en el cap¶³tulo 7.4.
6.6. Resoluci¶on de problemas
6.6.1. Planos inclinados
Es com¶un en los problemas la presencia de planos inclinados. En estos casos
habr¶a que tener en cuenta que, as¶³ como la gravedad siempre se presenta vertical, la
normal ser¶a perpendicular al plano inclinado, por lo que ning¶un sistema de coorde-nadas
ortogonal tendr¶a exactamente comprendidas las fuerzas en acci¶on en sus ejes.
Esta peque~na di¯cultad se soslaya de una manera simple, se proyectan las fuerzas
sobre los ejes que estemos utilizando.
Una buena elecci¶on suele ser tomar el eje y en la normal al plano inclinado, y el
eje x acorde con su super¯cie de deslizamiento. De esta forma la normal estar¶a to-talmente
comprendida en el eje y, y s¶olo habr¶a que considerar las proyecciones de
g usuales; g cos ® para la normal y g sin ® la componente de la gravedad que hace
desplazarse el veh¶³culo hacia abajo en el plano inclinado. Todo esto se puede ver en
la ¯gura 6.1.
P Un cuerpo desliza por una rampa inclinada 30o y con un coe¯ciente Problema
3B¶asicamente, siempre que no hay rozamiento.
4Llamados as¶³ por inicial y final.
F¶³sica General. http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 33
34. CAP¶ITULO 6. DIN¶AMICA
m m
1 2
m
1
a b
2
m
Figura 6.2: >Cu¶al ser¶a la aceleraci¶on de este sistema?
de rozamiento ¹ = 0;2. Calcular la aceleraci¶on con la que desciende
suponiendo que g = 9;8m
s2 .
Resolucio¶n R Tomemos para enfocar este problema el gra¶¯co representado en la
¯gura 6.1. Habremos de aplicar la ecuaci¶on de Newton
~F = m~a
para un sistema adecuado de ejes. Se van a tomar como ejes unos tales
que el eje x presente la misma inclinaci¶on que la rampa. De esta forma
planteando la ecuaci¶on primero para el eje y:
Fy = may
y como las fuerzas en el eje y son la normal (componente positiva) y la
proyecci¶on sobre este eje y del peso (componente negativa) tendremos
que
N ¡ mg cos 30 = ma:
Ahora hay que darse cuenta que, en el eje y el cuerpo no se acelera
porque, como en ning¶un momento se despega de la super¯cie, siempre
su y = y, por tanto, ay = 0. As¶³ que tenemos que N ¡ mg cos 30 = 0 ) N = mg cos 30.
Para el eje x tenemos dos fuerzas, la proyecci¶on sobre nuestro eje x
del peso y la fuerza de rozamiento. As¶³ pues
Fx = max ) mg sin 30 ¡ ¹N = max
y haciendo las oportunas sustituciones podemos despejar ax, que es la
aceleraci¶on del sistema.
ax = g sin 30 ¡ ¹g cos 30 ¼ 3;2
m
s2 :
Cuando aparecen varios cuerpos unidos por cuerdas hay que hacer este mismo
an¶alisis para cada cuerpo, incorporando como fuerza la tensi¶on que ejercen las cuer-das
y d¶andose cuenta de que ax ser¶a la misma para todos los cuerpos, puesto que
si se encuentran unidos por cuerdas su movimiento ser¶a solidario.
Problema P Encontrar la aceleracio¶n del sistema dibujado en la ¯gura 6.2.
34 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
35. CAP¶ITULO 6. DIN¶AMICA
R Tomemos primero el cuerpo 1 y analicemos las fuerzas que apare-
Resoluci¶on
cen sobre ¶el. Podemos, aprovechando el an¶alisis del problema anterior,
darnos cuenta de que un estudio de las fuerzas perpendiculares a la su-per
¯cie va a darnos s¶olo como resultado que N1 = m1g cos ®. As¶³ que
las fuerzas horizontales ser¶an, tomando como sentido positivo hacia la
derecha:
1. La tensi¶on, positiva.
2. La componente x del peso, de valor ¡m1g sin ®.
3. El rozamiento, que ser¶a ¡¹1N1 = ¡¹1m1g cos ®.
Para el cuerpo 2 se tendr¶an las fuerzas:
1. Tensi¶on, negativa para este cuerpo. ¡T
2. Componente x del peso: m2g sin ¯.
3. Rozamiento, ¡¹2N2 = ¡¹2m2g cos ¯.
Queda ahora plantear el sistema de ecuaciones que resolver¶a este proble-ma.
Antes hay que darse cuenta que la componente x de la aceleraci¶on
debe ser la misma para ambos cuerpos, ya que van solidarios gracias a
la cuerda. Llamaremos a esta componente de la aceleraci¶on simplemente
a.
T ¡ m1g sin ® ¡ ¹1m1g cos ® = m1a
¡T + m2g sin ¯ ¡ ¹2m2g cos ¯ = m2a
¾
:
Resolviendo este sistema (por ejemplo sumando las ecuaciones miembro
a miembro) se obtiene f¶acilmente que
a =
m2 sin ¯ ¡ ¹2m2 cos ¯ ¡ m1 sin ® ¡ ¹1m1 cos ®
m1 + m2
g:
6.6.2. Curvas
Cuando aparecen problemas de estabilidad en las curvas pueden ser de los tipos
explicados a continuaci¶on y cuya representaci¶on se ha pretendido en la ¯gura 6.3.
Curvas sin peraltar
En estos casos la fuerza de rozamiento es la que nos proporciona toda la com-ponente
normal que servir¶a para tomar la curva. Siempre que tengamos que ¶esta
es mayor que la aceleraci¶on normal el autom¶ovil ser¶a capaz de tomar la curva, es
decir, el caso l¶³mite se alcanza cuando
Fr = man = m
v2
R
.
Curvas peraltadas sin rozamiento
En estos casos se toma la proyecci¶on de la normal sobre la horizontal como
causante de la fuerza centr¶³peta. Este caso se puede ver en la ¯gura 6.3b y se tiene,
simplemente, que:
tan ® =
mv2
R
mg
=
v2
Rg
:
F¶³sica General. http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 35
36. CAP¶ITULO 6. DIN¶AMICA
mg
a)
F r
mg
b)
FI - 1313 - J
mg
F n
Ángulo
máximo
c)
N
a
Figura 6.3: Distintas situaciones ante una curva.
Curvas peraltadas con rozamiento
Este es un caso bastante m¶as complejo de analizar. Podr¶³a ser un buen ejercicio
para el lector intentar demostrar que, en este caso, la velocidad l¶³mite para tomar
la curva siendo g la aceleraci¶on de la gravedad, ¹ el coe¯ciente de rozamiento, ® el
¶angulo de inclinaci¶on de la curva y R el radio de la misma, es
v =
r
Rg
¹ + tan ®
1 ¡ ¹ tan ®
:
Vuelcos
En otras situaciones se pide que analicemos si vuelca o no un autom¶ovil. Se
considera que vuelca cuando la fuerza sobre el centro de masas supera el ¶angulo que
forma el centro de masas con alguno de los extremos donde se apoya el veh¶³culo.
Un dibujo puede verse en la ¯gura 6.3. (Este apartado necesita actualizaci¶on).
6.6.3. Casos l¶³mite
Es com¶un la existencia de problemas en los que se nos pregunta por un caso
l¶³mite, relacionado con cuando un m¶ovil se saldr¶a de un determinado recorrido,
o podr¶a dar una vuelta completa en un bucle, o similar. En estos casos hay que
tener en cuenta, simplemente, que un cuerpo permanecer¶a adherido a una super¯cie
mientras exista una cierta reacci¶on de la super¯cie al cuerpo, es decir, mientras la
normal no sea nula. Cuando la normal es nula estamos ante el caso l¶³mite.
Tambi¶en es muy conveniente recordar que, en la mayor¶³a de estos casos, los
cuerpos siguen una trayectoria circular. Pues bien, habr¶a que recordar que este
recorrido circular s¶olo es posible si existe una aceleraci¶on centr¶³peta del m¶odulo
adecuado a la velocidad y radio de la trayectoria, (ver (5.1) y (5.2)) con lo que
habr¶a que realizar la descomposici¶on oportuna de fuerzas para ver qu¶e parte es la
que suministra esta componente y, cuando las fuerzas exteriores no sean capaces de
suministrar esta aceleraci¶on normal, nos hallaremos con el caso l¶³mite y el cuerpo
se saldr¶³a de su trayectoria circular o, en de¯nitiva, dejar¶³a de hacerla.
Problema P Calcular la altura m¶³nima desde la que hay que dejar caer un
objeto para que logre dar la vuelta a un bucle entero, como el dibujado
en la ¯gura 6.4. Se desprecian todos los rozamientos que pudiere haber.
36 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
37. CAP¶ITULO 6. DIN¶AMICA
h
R
A
B
Figura 6.4: >Desde qu¶e altura podr¶a una masa realizar un bucle?.
Resolucio¶n R Analizando las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo cuando ¶este
se encuentre en el punto B de la trayectoria, tenemos que, tomando
como sentido positivo hacia arriba, el peso ser¶a ¡mg, la normal en
este caso es hacia abajo porque la fuerza que realiza la super¯cie sobre
el cuerpo es siempre evitando que este atraviese" la super¯cie, y en
este caso atravesar" la super¯cie supondr¶³a empujarla en exceso hacia
arriba, con lo cual, tomando N como el m¶odulo de la normal, la normal
ser¶a ¡N. Por ¶ultimo el efecto de estas dos fuerzas ser¶a producir una
aceleraci¶on pero, como en este caso el objeto est¶a rotando, no ser¶a una
aceleraci¶on cualquiera sino una aceleraci¶on puramente normal y, por
tanto, de m¶odulo
a =
v2
R
y sentido tambi¶en hacia abajo (hacia el centro de la curva). De esta
manera tendremos que el an¶alisis de fuerzas en la parte m¶as alta del
bucle (punto B) es
¡mg ¡ N = ¡m
v2
R
:
>Qu¶e signi¯ca esta f¶ormula?. Lo que signi¯ca es que son el peso y la
normal, los que empujan" al cuerpo hacia abajo oblig¶andole a girar y
realizar una trayectoria circular. Ahora bien, si mentalmente" vamos
disminuyendo v en la f¶ormula, nos damos cuenta de que el t¶ermino de
la aceleraci¶on normal va siendo m¶as peque~no, y por tanto la fuerza
centr¶³peta tambi¶en. >C¶omo se logra esto?. Como el peso es constante
s¶olo se puede lograr disminuyendo la fuerza que ejerce la normal. Cuando
la fuerza centr¶³peta sea igual que el peso del cuerpo tendremos que en
este instante la normal es cero. >Y si es menor la fuerza centr¶³peta que
el peso?. Entonces deber¶³amos tener una normal positiva, es decir, que
empujara" hacia arriba. Pero esto es imposible, porque claramente se ve
que las super¯cies no absorben" los cuerpos, que es lo que supondr¶³a que
la normal tuviera signo contrario. Por lo tanto si mv2
R < mg el cuerpo no
puede rotar correctamente y caer¶³a sali¶endose del bucle. Intuitivamente
sucede que, como la fuerza centr¶³peta no necesita tanto peso, sobra
componente vertical" y, por tanto, el cuerpo cae.
As¶³ pues deducimos que la velocidad l¶³mite con la que debe llegar el
R = mg ) v = pgR.
cuerpo arriba es tal que mv2
F¶³sica General. http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 37
38. CAP¶ITULO 6. DIN¶AMICA
Por ¶ultimo, para relacionar esta velocidad con la altura utilizamos el
teorema de conservaci¶on de la energ¶³a, ya que no hay rozamientos. As¶³
EA
EA
c + p = 0 + mgh
EB
p = 1
c + EB
2mv2 + 2mgR
¾
) mgh =
1
2
m
³p
gR
´2
+ 2mgR
y con un simple c¶alculo se obtiene que
h =
5
2
R:
Aunque entender intuitivamente de donde sale este 1
2R m¶as de lo
que parece que se necesita para llegar al punto m¶as alto del bucle no
es sencillo, si puede intentarse pensando que, al llegar a la parte m¶as
alta del bucle se requiere un m¶³nimo de energ¶³a cin¶etica para seguir
desplaz¶andose hacia la derecha, pero la su¯ciente para que el cuerpo
siga girando. Este m¶³nimo lo proporciona esa altura extra.
38 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
39. Cap¶³tulo 7
Consideraciones energ¶eticas
7.1. Introducci¶on
Los conceptos de trabajo y energ¶³a son de gran importancia en f¶³sica, y tambi¶en
son muy utilizados en la vida cotidiana. No obstante el uso habitual de estos con-ceptos
en la vida diaria no siempre coincide con su idea f¶³sica, por lo que habr¶a que
tratar la intuici¶on con cierto cuidado cuando la apliquemos a las situaciones en las
que intervienen el trabajo y la energ¶³a.
7.2. Trabajo
Se de¯ne trabajo como
W =
Z
~F ¢ d~r: (7.1)
La unidad del trabajo es el Julio. Un Julio equivale a un Nm. Si la fuerza
aplicada es constante, entonces se puede decir que
W = ~F ¢ ~r = Fr cos ®; (7.2)
en donde ® es el ¶angulo que existe entre la l¶³nea de aplicaci¶on de la fuerza y el
desplazamiento del cuerpo.
¦ Se tiene as¶³ que una fuerza aplicada perpendicularmente a un despla- Nota
zamiento no produce trabajo. Por ejemplo, avanzar horizontalmente mientras
se sujeta una bolsa no produce trabajo, porque la fuerza aplicada es vertical
y, por tanto, perpendicular al desplazamiento. >C¶omo se puede entender esto
intuitivamente?. Realmente uno asocia la palabra trabajo con cansancio" y,
por tanto, parece que llevar una pesada bolsa deber¶³a producir trabajo f¶³sico,
porque cansa. Para entender esta situaci¶on podemos pensar que realmente no
es necesario sujetar personalmente la bolsa a cierta distancia del suelo, puesto
que esta misma acci¶on puede realizarla un soporte con ruedas, por lo que el
trabajo aut¶entico consiste en desplazar el objeto paralelamente a las fuerzas
que se oponen a ¶el, como podr¶³a ser en este caso el rozamiento del soporte con
el suelo.
P >Cu¶anto es el trabajo que produce la normal sobre un cuerpo que Problema
realiza un desplazamiento sobre una super¯cie cualesquiera?
R Ninguno, porque la fuerza normal siempre es perpendicular al
desplazamiento del cuerpo y por tanto, el trabajo (producido por la Resolucio¶n
normal) ser¶a nulo.
39
40. CAP¶ITULO 7. CONSIDERACIONES ENERG¶ETICAS
Ahora bien. >C¶omo podemos de¯nir el trabajo si la fuerza es variable, o si la
trayectoria es curva?. En ese caso suponemos v¶alida la de¯nici¶on de trabajo para
una trayectoria muy peque~na (in¯nit¶esima) y sumamos (integramos) a todos los
peque~nos trozos de trayectoria".
Es decir:
W2 ¡W1 =
Z 2
1
~F ¢ d~r (7.3)
Problema P Un nin~o arrastra un trineo durante 100 metros. Para hacerlo tira
de una cuerda con una fuerza de 80 Newton formando un ¶angulo con el
suelo de 30o. >Cu¶al es el trabajo producido?
Resolucio¶n R Utilizando la fo¶rmula (7.2) tenemos simplemente que:
W = 80 ¢ 100 cos 30 = 6928;20J
Recuerda . Las de¯niciones de trabajo son:
W =
Z
~Fd~r
W = ~F ¢ ~r = Fr cos ®
7.2.1. Trabajo conservativo
Trabajo conservativo es aquel producido por las fuerzas conservativas. Una fuer-za
es conservativa si el trabajo que realiza no depende del recorrido sino s¶olo de
los puntos inicial y ¯nal, es decir, independientemente del itinerario seguido. Si un
cuerpo se desplaza desde un punto A hasta otro B bajo la acci¶on de una fuerza con-servativa
el trabajo realizado por dicha fuerza ser¶a el mismo independientemente
del itinerario del cuerpo.
Estas fuerzas son muy importantes porque para ellas se puede de¯nir una mag-nitud
denominada energ¶³a potencial (ver 7.5.2). Ejemplos de fuerzas conservativas
son las fuerzas constantes (aquellas cuyo valor es el mismo para todos los puntos
del espacio) y centrales (las que presentan la forma funcional f(~r) = f(r)^r).
Recuerda . Trabajo conservativo es aqu¶el que so¶lo depende de los puntos inicial
y ¯nal de la trayectoria.
7.3. Potencia
La potencia se de¯ne como el trabajo realizado por unidad de tiempo, es decir
P =
dW
dt
(7.4)
donde, si el trabajo es constante, se puede expresar como
P =
W
t
; (7.5)
y si la fuerza es constante se puede decir que
P = ~F ¢ ~v: (7.6)
La unidad de la potencia es el Watt o Vatio. (W).
40 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
41. CAP¶ITULO 7. CONSIDERACIONES ENERG¶ETICAS
Recuerda . Potencia es el trabajo realizado por unidad de tiempo.
¦ La magnitud potencia puede servir para entender algunas situaciones de Nota
la vida cotidiana. Por ejemplo los motores de los coches (suponiendo que la
presi¶on que se ejerce sobre el acelerador es constante) desarrollan una potencia
que podemos considerar constante. Esto supone que, como se deduce de la
f¶ormula (7.6) la fuerza que puede desarrollar el motor multiplicada por la
velocidad es constante. >Qu¶e podemos explicar con esto?. Supongamos que
un autom¶ovil est¶a ascendiendo por un puerto, y por tanto su motor debe de
realizar una fuerza bastante considerable para contrarrestar la componente
del peso que tira de ¶el hacia atr¶as". El conductor se ve obligado a ir en una
marcha corta, lo cual signi¯ca que la relaci¶on entre la fuerza y la velocidad va
a ser de mucha fuerza frente a poca velocidad. El mismo conductor en cambio,
en un llano, puede ir en una marcha muy larga y a gran velocidad, porque
la fuerza que debe desarrollar el motor es poca, ¶unicamente para vencer los
rozamientos.
Si este conductor es adelantado por un coche de gran potencia ver¶a como,
efectivamente, si la potencia es mayor, el coche que le adelante puede desarro-llar
la misma fuerza que se necesita para ascender por el puerto, pero a una
velocidad mayor.
P Calcula la potencia que debe tener una bomba de agua para as- Problema
cender mil litros de agua por minuto a una altura de 10 metros.
R Primero calculemos el trabajo que debe realizar esta bomba para
ascender este agua. Usando la fo¶rmula para fuerzas constantes y notando Resolucio¶n
que la fuerza que debe realizar la bomba es paralela al desplazamiento
y de m¶odulo igual al peso del agua que ha de ascender tendremos que,
W = Fd = 1000 ¢ 9;8 ¢ 10 cos 0 = 9;8 ¢ 104J:
Aplicando ahora la ecuaci¶on de la potencia (7.5) tendremos que
P =
9;8 ¢ 104
60
= 1;6 ¢ 103W:
7.4. Energ¶³a
Se considera t¶acitamente la energ¶³a como la capacidad para hacer un trabajo, o
bien el trabajo acumulado" por un cuerpo.
El concepto de energ¶³a es uno de los m¶as fruct¶³feros de toda la f¶³sica, pero
tambi¶en es bastante abstracto, dada la gran diversidad de formas en las que aparece,
por ello iremos viendo algunas, aunque antes necesitaremos de¯nir unos conceptos
previos.
7.5. Conceptos previos
7.5.1. Energ¶³a cin¶etica
Energ¶³a cin¶etica es la que tiene un cuerpo por desplazarse a determinada velo-cidad.
Realmente resulta un poco sorprendente que un cuerpo, por el mero hecho
de moverse, tenga un tipo de energ¶³a, pero no tenemos m¶as que pensar que efecti-vamente,
en caso de un choque, por ejemplo, este cuerpo es capaz de producir un
trabajo (de deformaci¶on, o del tipo que sea) y por tanto, debe de tener una energ¶³a.
F¶³sica General. http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 41
42. CAP¶ITULO 7. CONSIDERACIONES ENERG¶ETICAS
Se puede demostrar la existencia de la energ¶³a cin¶etica de varias formas. Una
manera (que se deja como ejercicio al lector) es suponer que se est¶a aplicando una
fuerza constante sobre un cuerpo y que, por tanto, utilizando la ley de Newton
F = ma, tendremos un cuerpo sometido a una aceleraci¶on constante y, usando las
ecuaciones del movimiento, relacionar la cantidad trabajo, que ser¶a ma¢x con la
velocidad.
Otra forma es calcular el trabajo que desarrolla un cuerpo sometido a una cierta
fuerza paralela (para simpli¯car el c¶alculo) del tipo que sea. Utilizando (7.3) tenemos
que
W =
Z 2
1
F dx =
Z 2
1
madx
=
Z 2
1
m
dv
dt
dx =
Z 2
1
m
dx
dt
dv
=
Z 2
1
mv dv =
1
2
mv2
2 ¡
1
2
mv2
1:
Con lo cual se puede ver que el trabajo se acumula" en forma de energ¶³a cin¶etica
cuya f¶ormula es
Ec =
1
2
mv2 (7.7)
Recuerda . Energ¶³a cin¶etica es la energ¶³a que tiene un cuerpo por desplazarse
con cierta velocidad y su valor es
Ec =
1
2
mv2:
Nota ¦ En algunos libros de f¶³sica se denomina a la energ¶³a cin¶etica como T.
Es m¶as correcto expresarlo como
W2 ¡W1 =
1
2
mv2
2 ¡
1
2
mv2
1; (7.8)
¶este es el llamado teorema de las fuerzas vivas.
Para resolver un problema utilizando este teorema habr¶a que elegir unos instan-tes
1 y 2 y, calculando el trabajo y la energ¶³a en cada uno de estos instantes, el teo-rema
nos permitir¶a relacionar una de estas magnitudes con el resto. Generalmente
se busca una velocidad y se tiene el resto de datos. Hay que elegir convenientemente
los puntos 1 y 2 para obtener lo que deseamos y, adem¶as, intentar que el m¶aximo
n¶umero de estas magnitudes sea nulo, lo cual facilita el c¶alculo.
Problema P Se aplica una fuerza horizontal de 100N a un cuerpo de 2kg que
est¶a inicialmente en reposo. >A qu¶e velocidad se mover¶a al cabo de 20
metros?.
Resolucio¶n R Apliquemos el teorema de las fuerzas vivas (7.8) a este problema
y tendremos que
W = Ef
c ¡ Ei
c
siendo i y f los instantes inicial y ¯nal, respectivamente. Vemos que, en
este caso, Eic
es nula, porque el cuerpo parte del reposo, y que el trabajo
ser¶a, como la fuerza es paralela al desplazamiento, W = Fd = 100 ¢20 =
2000J. Tendremos entonces que
2000J =
1
2
mv2
42 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
43. CAP¶ITULO 7. CONSIDERACIONES ENERG¶ETICAS
y por tanto
v =
s
2
2000J
2kg
= 44;72
m
s
:
7.5.2. Potencial
La energ¶³a potencial es aquella relacionada con fuerzas conservativas. Se de¯ne
la energ¶³a potencial en un punto de tal forma que se cumpla
WAB = Ep(A) ¡ Ep(B) (7.9)
.
Igualmente, uni¯cando las de¯niciones (7.3) y (7.9) se puede decir que
W =
Z
~F ¢ d~s = ¡¢Ep (7.10)
es decir, el trabajo realizado por una fuerza conservativa equivale a la disminuci¶on
de la energ¶³a potencial, donde hemos llamado ¢Ep = Ep2 ¡ Ep1.
Es muy importante darse cuenta de la aparici¶on del signo ¡ en la f¶ormula (7.10),
consecuencia de la de¯nici¶on (7.9) anterior. Dicho signo aparece tambi¶en en las
ecuaciones (7.11), (7.12), (7.13), y (7.14).
¦ Otra notaci¶on para la energ¶³a potencial es, en vez de llamarla Ep, deno- Nota
minarla U.
¦ Intuitivamente la energ¶³a potencial es la que tiene un cuerpo por el mero
hecho de ocupar una determinada posicio¶n en el espacio. As¶³ por ejemplo, ve- Nota
remos m¶as adelante, concretamente en 7.5.2, que un cuerpo que se encuentre
a una cierta altura h sobre la super¯cie terrestre presenta, s¶olo por este hecho,
una energ¶³a potencial. Podemos entender esto d¶andonos cuenta de que, efecti-vamente,
un cuerpo, por el mero hecho de estar elevado respecto al suelo, tiene
energ¶³a, puesto que puede caer al suelo y, por tanto, desarrollar un trabajo
durante su ca¶³da.
Gravitatoria en la super¯cie terrestre
Aplicando la de¯nici¶on de potencial indicada en (7.10) tendremos que
Ep = ¡
Z y
0
m(¡g)ds = mgy (7.11)
Se tiene que
Ep = mgy
siendo y la altura sobre el suelo o el nivel 0. En la integral aparece (-g) ya que
el sentido de la fuerza de la gravedad es contrario al sentido en que se toman las
alturas.
. La energ¶³a potencial cuando el valor de g se puede tomar constante Recuerda
es
Ep = mgh:
F¶³sica General. http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 43
44. CAP¶ITULO 7. CONSIDERACIONES ENERG¶ETICAS
Gravitatoria general
Como se puede ver m¶as ampliamente en (11.1) todos los cuerpos se atraen entre
s¶³ con una fuerza que se rige por la ley de Newton de la gravitaci¶on universal, es
decir, que el m¶odulo de la fuerza de atracci¶on es
F = ¡G
Mm
r2 ;
en donde el signo ¡" nos informa de que el sentido siempre es de atracci¶on.
As¶³ pues para calcular la energ¶³a potencial que un cuerpo de masa m tiene por
estar a una distancia r de otro de masa M no habr¶a m¶as que calcular
Ep = ¡
Z
F dr = ¡
Z
¡G
Mm
r2 dr = ¡GMm
Z
¡
1
r2 dr = ¡G
Mm
r
: (7.12)
Recuerda . Energ¶³a potencial gravitatoria (en el caso general) es
Ep = ¡G
Mm
r
:
Nota ¦ Tanto en esta fo¶rmula como en la fo¶rmula (7.14) un ana¶lisis del signi¯-
cado estas expresiones y, m¶as concretamente, de la presencia de una r en el
denominador, nos indica que, para estas dos f¶ormulas, el origen de las energ¶³as
se toma en el in¯nito, es decir, que la energ¶³a potencial de un planeta (por
ejemplo) es nula, cuando este planeta est¶a totalmente aislado, es decir, in¯ni-tamente
alejado, del otro.
El¶astica
Para muelles y sistemas de fuerzas centrales que cumplan ~F = ¡k~r se tiene que,
(tomando una ¶unica dimensi¶on)
Ep = ¡
Z
Fdx = ¡
Z
¡kx dx =
1
2
Kx2 (7.13)
Recuerda . La energ¶³a potencial de un sistema que obedece a la ley de Hooke
es
Ep =
1
2
Kx2:
Electrost¶atica
Dadas dos part¶³culas con cargas q y Q, se comenta en el apartado 12.1 como el
m¶odulo de la fuerza de atracci¶on entre ambas cargas es
F = K
Qq
r2 ;
siendo r la distancia que existe entre ambas cargas. De esta forma se puede extraer
f¶acilmente que la energ¶³a potencial electrost¶atica ser¶a
Ep = ¡
Z
Fdr = ¡
Z
K
Qq
r2 dr = KQq
Z
¡dr
r2 = K
Qq
r
(7.14)
Recuerda . Energ¶³a potencial entre dos part¶³culas cargadas es
Ep = K
Qq
r
:
44 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
45. CAP¶ITULO 7. CONSIDERACIONES ENERG¶ETICAS
7.6. Conservaci¶on de la energ¶³a
Cuando en un sistema s¶olo aparecen fuerzas conservativas, se tiene entonces que
se cumple el siguiente teorema de conservaci¶on de la energ¶³a
Ep(A) + Ec(A) = Ep(B) + Ec(B) (7.15)
Siendo A y B dos momentos cualesquiera en la evoluci¶on de la part¶³cula, y Ep(A)
y Ep(B) la suma de todas las energ¶³as potenciales que tenga el cuerpo en los puntos
A y B.
Este teorema es muy ¶util para la resoluci¶on de ciertos aspectos de los problemas,
sobre todo los relacionados con la obtenci¶on de la velocidad en determinados instan-tes
en un sistema conservativo. Esto se debe a que, por ejemplo, en un movimiento
sin rozamientos de un cuerpo bajo el campo gravitatorio terrestre en super¯cie,
particularizando (7.15) tenemos
1
2
mv2
1 + mgy1 =
1
2
mv2
2 + mgy2
de donde podremos despejar f¶acilmente la velocidad en uno y otro instante seg¶un
los datos que conozcamos.
. El teorema de conservaci¶on de la energ¶³a dice que la energ¶³a total Recuerda
en todos los instantes es la misma, siendo la energ¶³a total la suma de las
energ¶³as cin¶eticas m¶as las potenciales.
P Un cuerpo desliza sin rozamiento por una pista de hielo. Si parte Problema
del reposo desde una altura de 7 metros sobre el suelo. >A qu¶e velocidad
estar¶a cuando se encuentre tan s¶olo a 1 metro sobre el suelo?
R Llamemos A al instante inicial, en que encuentra parado y a 7 Resoluci¶on
metros, y B al segundo instante, cuando viaja a una velocidad v y se
encuentra a tan s¶olo 1 metro. Tendremos entonces que
EA
p + EA
c = EB
p + EB
c
p = mg7, EB
p = mg1, como parte del reposo EA
c = 1
en donde EA
2mv2 = 0
porque vA = 0 y denominando vB a la velocidad cuando pasa por el
punto B tendremos que EB
c = 1
2mv2B
. Tendremos entonces que
mg7 = mg1 +
1
2
mv2B
) v =
p
2g(7 ¡ 1) ¼ 10;84
m
s
:
7.6.1. Rozamiento
En el caso de que exista rozamiento u otras p¶erdidas de energ¶³a no conserva-tivas
podremos a¶un seguir usando (7.15) siempre que tengamos la precauci¶on de
introducir esta energ¶³a perdida por rozamiento con el signo oportuno. Por ejemplo
si tenemos un problema en el cual aparece la energ¶³a potencial en la super¯cie te-rrestre
mgh y tambi¶en una fuerza de rozamiento podr¶³amos plantear la ecuaci¶on de
conservaci¶on de la energ¶³a entre los instantes 1 y 2 como
1
2
mv2
1 + mgy1 =
1
2
mv2
2 + mgy2 + E¤;
donde se ha representado por E¤ la energ¶³a que se ha perdido entre dichos instantes.
F¶³sica General. http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 45
46. CAP¶ITULO 7. CONSIDERACIONES ENERG¶ETICAS
A
B
h
a
m
m
v=0
v=?
g
Figura 7.1: A qu¶e velocidad llegar¶a al ¯nal?.
. Cuando aparezcan trabajos procedentes de fuerzas no conservativas Recuerda
los puedes poner como
c + EA
p = EB
c + EB
p + E¤ (7.16)
EA
Donde E¤ es el trabajo no conservativo.
A su vez el trabajo de rozamiento puede calcularse teniendo presente que W =
Fd cos ® y que ® = 180o porque el rozamiento siempre se opone al desplazamiento.
De esta forma se tendr¶³a que W = ¡¹Ngs pero, como el t¶ermino E¤ se sit¶ua en el
miembro derecho de la ecuaci¶on (7.16) con valor positivo, simplemente
E¤ = ¹Ns;
donde N es la normal y s es el desplazamiento que ha realizado el cuerpo, es decir,
la distancia durante la cual ha experimentado el rozamiento.
Problema P Dejamos caer desde el reposo un cuerpo de masa m por una rampa
de ® grados de inclinaci¶on desde una altura h (ver ¯gura 7.1). Si la rampa
ofrece un coe¯ciente de rozamiento ¹. A qu¶e velocidad llegar¶a al suelo?
Resolucio¶n R Planteemos la ecuacio¶n de conservacio¶n de la energ¶³a expresada
en (7.16) y analicemos el valor de cada t¶ermino. Antes llamaremos A al
instante en el cual el cuerpo se encuentra a cierta altura h y B cuando
el cuerpo est¶a ya al nivel del suelo con una velocidad v. As¶³ tendremos
que
EA
p = mgh
EB
p = mg0 = 0
EA
c =
1
2
m02 = 0
EB
c =
1
2
mv2
E¤ = ¹Ns
Donde queda por precisar que s es el espacio total recorrido por el cuerpo
mientras bajaba por la rampa. Teniendo en cuenta que el espacio s es
46 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
47. CAP¶ITULO 7. CONSIDERACIONES ENERG¶ETICAS
la hipotenusa de un tri¶angulo rect¶angulo donde un ¶angulo mide ® y su
lado opuesto mide h, se tiene que s = h
sin ®.
Respecto a la normal N, como se ha visto ya en 6.6, su valor ser¶a N =
mg cos ® por lo que el valor de E¤ en funci¶on de par¶ametros conocidos
ser¶a
E¤ = ¹mg cos ®
h
sin ®
.
Por ¯n utilizando (7.16) tenemos que
mgh =
1
2
mv2 + ¹mg cos ®
h
sin ®
y despejando v se obtiene la soluci¶on, que es,
v =
p
2gh (1 ¡ ¹ tan ®¡1):
± Como consecuencia del problema anterior Para qu¶e relaci¶on entre ¹ y Ampliaci¶on
® el cuerpo no podr¶³a bajar por la rampa?.
7.7. Impulso
El impulso surge de integrar la fuerza respecto al tiempo.
~I =
Z
~Fdt: (7.17)
O lo que es lo mismo,
¢~p = ~p2 ¡ ~p1 = I2 ¡ I1 =
Z
~Fdt:
7.8. Gradiente
± Sabiendo que podemos expresar un incremento in¯nitesimal de energ¶³a Ampliaci¶on
potencial como
dEp = Ep(~r + d~r) ¡ Ep(~r) = ¡~F ¢ d~r = ¡(Fxdx + Fydy + Fzdz)
y que la regla de derivaci¶on de la cadena para varias dimensiones nos dice que
dEp =
@Ep
@x
dx +
@Ep
@y
dy +
@Ep
@z
dz
tenemos entonces una interesante relaci¶on1 que nos dice que
Fx = ¡
@Ep
@x
Fy = ¡
@Ep
@y
Fz = ¡
@Ep
@z
9=
;:
A ra¶³z de esto se puede de¯nir matem¶aticamente el gradiente de un escalar
como nabla por dicho escalar. Por nabla se de¯ne al vector2 ~r
= @
@x^{+ @
@y ^|+
@
@z
^k. La notaci¶on @f
@x supone derivar la funci¶on f respecto a la variable x y
considerar el resto de variables, (y, z, etc.) como si fueran constantes.
1Mucho m¶as explotada en libros de f¶³sica m¶as avanzados
2Pues realmente es un operador, ya que act¶ua como una derivaci¶on sobre los escalares o vectores
a los que se le aplica.
F¶³sica General. http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 47
48. CAP¶ITULO 7. CONSIDERACIONES ENERG¶ETICAS
Con esto podemos de¯nir el vector fuerza como
~F = ¡~r
Ep (7.18)
Las propiedades matem¶aticas del gradiente son muy interesantes, aunque
exceden ampliamente el nivel de este libro.
48 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
49. Cap¶³tulo 8
Din¶amica de un sistema de
part¶³culas
8.1. Conceptos y de¯niciones primarias
Sistema de part¶³culas es un conjunto de part¶³culas1 cuyas propiedades globales
queremos estudiar.
Fuerza exterior de un sistema de part¶³culas es aquella que viene de fuera del siste-ma.
Fuerza interior es la proveniente de las interacciones entre las propias part¶³culas
del sistema. Se pueden denotar como ~Fext y ~Fint.
8.2. Centro de masas
El centro de masas para un sistema de part¶³culas discreto es
~rcm =
m1~r1 + m2~r2 + :::
m1 + m2 + :::
=
PN
i=1mi~ri PN
i=1mi
: (8.1)
Cuando se tenga un sistema continuo el centro de masas vendr¶a de¯nido como
~rcm =
R
R~r dm
dm
o, expres¶andolo mejor en funci¶on de la densidad del sistema
~rcm =
R
½dm
mT
siendo mT la masa total del cuerpo continuo.
8.2.1. Teorema de Pappus
± Este teorema resulta muy ¶util para calcular el centro de masas de Ampliaci¶on
algunas ¯guras. El mecanismo de funcionamiento es como sigue: tomando
un ¶area cualquiera cerrada en un plano y generando un s¶olido rot¶andola en
el espacio de manera tal que cada punto siempre se mueva perpendicular al
plano del ¶area, tendremos como resultado que el s¶olido as¶³ generado tendr¶a un
volumen igual que el ¶area de esta secci¶on empleada por la distancia que se ha
desplazado el centro de masas.
1Supuestas puntuales.
49
50. CAP¶ITULO 8. DIN¶AMICA DE UN SISTEMA DE PART¶ICULAS
8.3. Din¶amica del centro de masas
8.3.1. Velocidad
Hallar la magnitud ~vcm es simplemente derivar la ecuaci¶on (8.1), con lo cual se
llega a
~vcm =
1
mT
XN
i=1
~pi
o, tambi¶en se tiene
mT ~rcm =
XN
i=1
~pi: (8.2)
8.3.2. Aceleraci¶on
Derivando dos veces
~Fext = mt~acm: (8.3)
Para llegar a este resultado ha hecho falta darse cuenta de que cada ~Fi = mi~ai
se puede descomponer en ~Fi = ~Fext
i + ~Fint
i donde ~Fint
i =
PN
j6=i
~Fij , siendo estas ~Fij
todas las fuerzas de interaccion ¶entre las part¶³culas o, mas ¶concretamente, la fuerza
que una part¶³cula j ejerce sobre la i. Posteriormente cuando Pse suman todas estas
fuerzas en la formula ¶general se tiene que el sumatorio
N
i
PN
j6=i
~Fij se anula ya
que, por el principio de acci¶on y reacci¶on, ~Fij = ¡~Fji.
8.3.3. Momento lineal
Se de¯ne el momento lineal de un sistema de part¶³culas como la suma de los
momentos de cada una de las part¶³culas que integran el sistema. Quiere decir esto
que el momento lineal de un sistema ser¶a
~p
XN
i=1
~pi:
Atendiendo a la f¶ormula (8.2) podemos ver claramente que
~p = mt~vcm:
A su vez, si la fuerza exterior ejercida sobre el sistema de part¶³culas es nula,
haciendo uso de (8.3) se ve f¶acilmente que ~p permanece constante, de donde podemos
enunciar la conservaci¶on del momento lineal total del sistema:
~Fext = 0 ) ~p = cte:
Recuerda . Si la fuerza neta externa que actu¶a sobre un sistema es nula, el
momento lineal de ¶este se conserva.
8.3.4. Energ¶³a
Generalizando el teorema de las fuerzas vivas a todo un sistema de part¶³culas se
puede demostrar que
WA!B
t = Ec(B) ¡ Ec(A)
50 (C) Ignacio Mart¶³n Bragado. imartin@ele.uva.es
51. CAP¶ITULO 8. DIN¶AMICA DE UN SISTEMA DE PART¶ICULAS
donde Ec =
PN
i=1 Ec;i. Cuando todas las fuerzas, tanto las internas como las exter-nas,
que aparecen en acci¶on en el sistema son conservativas podemos enunciar un
teorema general de conservaci¶on de la energ¶³a, que dir¶a
ET = Ec + Ep = cte:
Ahora bien, como ya hemos de¯nido una Ec total nos quedar¶a ver c¶omo de¯nir la
magnitud Ep. Intuitivamente se puede ver que deber¶a ser una suma de todas las
energ¶³as potenciales puestas en juego en el sistema, es decir, un t¶ermino donde se
considere la energ¶³a potencial que pueda tener cada part¶³cula por la aplicaci¶on de la
fuerza externa, y otro donde se sumen todos los pares de interacci¶on entre part¶³culas
del propio sistema, que tambi¶en contribuir¶a. Estas ideas se traducen en
Ep =
XN
i=1
Eext
p;i +
1
2
XN
i=1
Xn
j6=i
Eint
p;ij :
Energ¶³a mec¶anica interna
Relacionando la energ¶³a cin¶etica de un sistema de part¶³culas en un sistema de
referencia inercial usual con la que tiene en el sistema de referencia centro de masas
se llega a la ecuaci¶on
Ec = E0c
+
1
2
mtv2
cm
donde vemos que, adem¶as de la energ¶³a cin¶etica que tiene el sistema consider¶andole
como un ¶unico cuerpo situado en su centro de masas, aparece otra energ¶³a, que se
relaciona con c¶omo se mueven esas part¶³culas respecto al centro de masas.
c se puede expresar mucho m¶as f¶acil- Nota
¦ Posteriormente veremos que esa E0
mente cuando tenemos un sistema de masas continuo que esta rotando
. Cuando tanto las fuerzas externas como las internas que act¶uan
sobre un sistema de part¶³culas son conservativas, la energ¶³a total del Recuerda
sistema permanece constante.
8.4. Aplicaciones
8.4.1. Sistema de referencia del centro de masas
Consiste en situar el sistema de coordenadas justo con el origen en el centro
de masas. Tiene como ventaja que, si la resultante de todas las fuerzas exteriores
es nula, es decir si ~Fext = ~0, entonces en este nuevo sistema el centro de masas
permanece constante e igual a 0 (ya que est¶a situado en el origen de coordenadas)
y adem¶as, se trata de un sistema inercial.
Para pasar de un sistema a otro basta usar las ecuaciones (5.3) en este caso
particular y tendremos
~r0i
= ~ri ¡~rcm
~v0i
= ~vi ¡~vcm
habiendo primado en este caso las coordenadas que se ver¶³an desde el sistema centro
de masas.
F¶³sica General. http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 51
