RMT - Capitulo 04 - Torsión 2025 - I.pdf

Ingeniería
Mgtr. Ing. David Castañeda
04 TORSIÓN
Resistencia de materiales

Universidad de Piura | 2
ANÁLISIS DE ESFUERZOS DE UN EJE SOMETIDO A TORSIÓN
Torsión
Imágenes extraídas y adaptadas de Beer (2017)
En el tren de transmisión
automotriz que se
muestra, el eje transmite
potencia del motor hacia
las ruedas traseras.
En estructuras: https://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw

Torsión
Un generador recibe
potencia a un número
constante de revoluciones
por minuto desde una
turbina a través del eje AB
Diagrama de cuerpo libre del
eje AB en conjunto con los
pares de accionamiento y
reacción en el generador y la
turbina, respectivamente.

Torsión
Cuando un eje AB es sometido a un par torsor T, se desarrollarán fuerzas cortantes
perpendiculares a la dirección radial de su sección transversal.
Cortamos el eje con un plano
en un punto C cualquiera.
Observamos el DCL del
segmento BC y vemos que:
1)El DCL de BC es similar al de
AB, y
2) Las fuerzas internas en la
sección C son fuerzas
cortantes diferenciales
dF = τdA

Torsión
Cuando un eje es sometido a un par torsor se generarán 𝝉 en todos los
puntos de la sección
𝑑𝑇 = 𝜌. 𝑑𝐹
𝑇 = 𝜌. 𝑑𝐹
𝑇 = 𝜌. 𝜏. 𝑑𝐴

Torsión
Por otra parte, se sabe además que el esfuerzo cortante no puede existir en un único plano
porque no habría equilibrio en el elemento diferencial.
Esto implica que habrá otro esfuerzo cortante de la misma magnitud pero actuando en la
dirección longitudinal del elemento

Torsión
La forma de falla de ejes
a torsión depende de si
el material es dúctil o
frágil

DEFORMACIONES TORSIONALES DE UN EJE DE SECCIÓN CIRCULAR
Torsión
Imágenes extraídas y adaptadas de Hibbeler (2017)
Deformaciones en ejes de sección circular
Cuando un eje circular se somete a un par torsor T las secciones transversales del eje permanecerán planas y sin
distorsión:

Torsión
Deformaciones en ejes de sección no circular

Torsión
Para determinar las deformaciones torsionales,
tomaremos un eje de sección circular de radio c y longitud
L empotrado en un extremo y libre en el otro, y lo
sometemos a un torsor T.
En el estado deformado, se observa que las fibras
longitudinales cambian de orientación, y las secciones
transversales girarían en el sentido del torsor T aplicado,
exceptuando la sección del empotramiento
∅ es el ángulo de giro relativo entre los dos extremos del
elemento

Torsión
Asumiendo un eje de radio 𝜌 y tomando un elemento
diferencial, se observa que al aplicar el torsor, este
elemento diferencial que era un cuadrado ahora se
convierte en un rombo.
𝛾 es la deformación unitaria cortante que sufre el
elemento diferencial
Determinando el arco AA’, se tiene:
𝐴𝐴′ = 𝛾. 𝐿 = 𝜌. 𝜙
𝛾 =
𝜌. 𝜙
𝐿
Donde:
𝜙 = Ángulo de giro relativo entre los extremos
del eje (rad).
𝜌 = Radio arbitrario del eje.
𝐿 =Longitud del eje.
𝛾 =Deformación unitaria cortante (rad).

Torsión
𝛾 =
𝜌. 𝜙
𝐿
Se aprecia en esta fórmula, que 𝛾 es proporcional a la
distancia 𝜌 medida desde el centro de rotación del eje
Si 𝜌 = c, siendo c el radio del eje, se tendría la
deformación unitaria máxima 𝛾
𝛾 =
𝑐. 𝜙
𝐿
𝛾 =
𝜌
𝑐
. 𝛾

ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO
Torsión
Considerando que el par de torsión T aplicado en el eje, genera esfuerzos por debajo de la resistencia de
fluencia 𝜏 se puede plantear la ley de Hooke a cortante.
𝛾 =
𝜌
𝑐
. 𝛾
𝜏 = 𝐺. 𝛾
Usando:
𝐺. 𝛾 =
𝜌
𝑐
. 𝛾 . 𝐺
𝜏 =
𝜌
𝑐
. 𝜏
𝛾
• El 𝜏 varía linealmente con la distancia 𝜌
• Todos los puntos ubicados a una misma distancia 𝜌 tendrán
el mismo 𝜏
Importante! 𝜏
𝜏
𝜌
𝜌
𝜌
𝜏

Torsión
𝜏 =
𝜌
𝑐
. 𝜏
Sección sólida
Distribución lineal del 𝝉
Sección hueca
𝜏 =
𝑐
𝑐
. 𝜏
𝑐 : radio interior
𝑐 : radio exterior

Torsión
𝜏 =
𝜌
𝑐
. 𝜏
Relación entre esfuerzo cortante y Torsor
𝑇 = 𝜌. 𝑑𝐹 𝑇 = 𝜌. 𝜏. 𝑑𝐴 𝑇 = 𝜌.
𝜌
𝑐
. 𝜏 . 𝑑𝐴
𝑇 =
𝜏
𝑐
𝜌 . 𝑑𝐴 𝑇 =
𝜏
𝑐
. 𝐽
𝜏 =
𝑇. 𝑐
𝐽
𝜏 =
𝑇. 𝜌
𝐽
Cortante en
cualquier punto
Donde:
𝜏 = Esfuerzo cortante en un punto de la
sección ubicado a una distancia 𝜌
𝑇 = Torsor aplicado al eje.
𝜌 = Distancia del punto en donde se
calcula el 𝜏 , medida desde el centro de
rotación del eje
𝐽 = Momento polar de inercia de la
sección transversal del eje, respecto al
centro de rotación.
𝑐 = Radio de la sección transversal del eje.
Unidades:
S. Internacional:
𝜏: N/m2= Pa
𝑇: N.m
𝜌 𝑜 𝑐: m
𝐽: m4
S. Inglés:
𝜏: psi
𝑇: lb.in
𝜌 𝑜 𝑐: in
𝐽: in4
Momento polar
de inercia:
𝑱 =
𝝅
𝟐
. 𝒄𝟒
𝑱 =
𝝅
𝟐
. (𝒄𝟐
𝟒
− 𝒄𝟏
𝟒
)
Sección circular
sólida
Sección circular
hueca

Extraído de Beer et al. (2017)
Ejemplo 01
Un eje cilíndrico hueco de acero
mide 1.5 m de longitud y tiene
diámetros interior y exterior
iguales a 40 y 60 mm,
respectivamente.
a) ¿Cuál es el máximo par de
torsión que puede aplicarse al
eje si el esfuerzo cortante no
debe exceder 120 MPa?
b) ¿Cuál es el valor mínimo
correspondiente del esfuerzo
cortante en el eje?
Torsión

Extraído de Hibbeler (2017)
Ejemplo 01a
Un eje sólido y un tubo están hechos de un material que tiene un esfuerzo
cortante permisible de 75 MPa. Determine el par de torsión máximo que puede
aplicarse a cada sección transversal y demuestre el esfuerzo que actúa sobre un
elemento pequeño de material en el punto A del eje y en los puntos B y C del tubo.
Eje sólido Tubo
Torsión

Ejemplo 02
El eje BC es hueco y tiene diámetros
interior y exterior de 90 mm y 120 mm,
respectivamente.
Los ejes AB y CD son sólidos y de diámetro
d. Para la carga mostrada en la figura,
determine:
a) los esfuerzos cortantes máximo y
mínimo en el eje BC.
b) el diámetro d requerido en los ejes AB y
CD si los esfuerzos cortantes
permisibles en estos ejes son de 65
MPa.
Torsión

Extraído de Hibbeler. (2017)
Ejemplo 02a
El eje de 1.5 in de diámetro mostrado en la figura se sostiene mediante dos
cojinetes y está sometido a tres pares de torsión. Determine el esfuerzo cortante
desarrollado en los puntos A y B, que se encuentran sobre la sección a-a del eje.
A
B
Torsión

Ángulo de giro en el rango elástico
Torsión
Para deducir la fórmula del ángulo de giro 𝜙, tomaremos un eje de sección transversal variable a lo largo de
su longitud L, con un extremo empotrado y el otro libre. El material es asumido homogéneo e isotrópico, y se
comporta de manera elástica lineal cuando se aplican los pares de torsión.
Tomaremos un disco diferencial de espesor dx, localizado a una distancia x del extremo empotrado del eje.

Torsión
Aislando un disco de espesor dx, se tendrá un par de torsión interno T(x). Este torsor generará una rotación
relativa de una de sus caras respecto a la otra igual a 𝑑𝜙.
Si tomamos un elemento del material que se encuentre a un radio 𝜌 arbitrario dentro del disco, este
experimentará una deformación cortante 𝛾. Podemos relacionar:
𝑑𝜙 = 𝛾.
𝑑𝑥
𝜌
Al estar en rango elástico, se cumple la ley de Hooke, 𝛾 = 𝜏/𝐺, y
podemos expresar el esfuerzo cortante como:
𝜏 =
𝑇(𝑥). 𝜌
𝐽(𝑥)
Por lo tanto, la deformación unitaria cortante: 𝛾 =
𝑇(𝑥). 𝜌
𝐽 𝑥 . 𝐺
Finalmente, podemos expresar el
ángulo de giro para el disco como:
𝑑𝜙 =
𝑇(𝑥)
𝐽 𝑥 . 𝐺
. 𝑑𝑥
Integrando en toda la longitud:
𝜙 =
𝑇(𝑥)
𝐽 𝑥 . 𝐺
. 𝑑𝑥

Torsión
𝜙 =
𝑇(𝑥)
𝐽 𝑥 . 𝐺
. 𝑑𝑥
Donde:
𝜙 = el ángulo de giro de un extremo del eje con respecto al otro extremo, medido en
radianes.
𝑇(𝑥) = el par de torsión interno en la posición arbitraria x, que se encuentra mediante el
método de las secciones y la ecuación de equilibrio de momentos aplicada alrededor de
la línea central del eje.
𝐽(𝑥) = el momento polar de inercia del eje expresado como una función de la posición x.
𝐺= el módulo de elasticidad cortante para el material.
Para un par de torsión y área de sección transversal constantes
𝜙 =
𝑇(𝑥)
𝐽 𝑥 . 𝐺
. 𝑑𝑥 𝜙 =
𝑇. 𝐿
𝐺. 𝐽
Si el eje está sujeto a diferentes torsores, o la sección transversal o el
módulo de cortadura cambia abruptamente de una región a otra, la
ecuación anterior puede ser aplicada a cada segmento del eje en donde
estos parámetros son constantes. En ese caso, el ángulo de giro se
calcula así:
𝜙 =
𝑇 . 𝐿
𝐺 . 𝐽
i = índice que designa los
diferentes segmentos del
eje.
n = Número de segmentos
del eje.

Ejemplo 03
Dos ejes sólidos de acero están conectados
por los engranajes que se muestran. El eje
CD está además fijo en D. Los ejes están
apoyados también en A, B y C pero
solamente tienen libre el giro axial.
Sabiendo que para cada eje G = 11,2 x 106
psi y que el esfuerzo cortante admisible es
igual a 8 ksi, determine:
(a) el máximo momento torsor To que
puede ser aplicado al sistema.
(b) el correspondiente giro absoluto del
punto A.
Torsión

Ejes estáticamente indeterminados
Torsión
Ejemplo 04
Un eje circular AB consiste en un cilindro de
acero de 10 in de largo y 7/8 in de
diámetro, en el que se ha perforado una
cavidad de 5 in de largo y 5/8 in de
diámetro desde el extremo B. El eje está
unido a soportes fijos en ambos extremos,
y un par de 90 lb · ft se aplica a la mitad.
Determine el par ejercido sobre el eje por
cada uno de los soportes.

Torsión
Ejemplo 04
El eje horizontal AD está sujeto a una
base fija en D y se le aplican los pares
mostrados. Un agujero de 44 mm de
diámetro se ha perforado en la porción
CD del eje. Si se sabe que el eje
completo está hecho de acero para el
que G = 77 GPa, determine el ángulo de
torsión en el extremo A.

Torsión
Ejemplo 05
Un eje de acero y un tubo de aluminio
están conectados a un soporte fijo y a un
disco rígido en la sección transversal. Si se
sabe que los esfuerzos iniciales son cero,
determine el máximo par T0 que puede
aplicarse al disco si los esfuerzos
permisibles son 120 MPa en el eje de acero
y 70 MPa en el tubo de aluminio. Use G =
77 Gpa para el acero y G = 27 GPa para el
aluminio.

Diseño de ejes de trasmisión
Torsión
Los ejes de sección circular se emplean para transmitir potencia de un mecanismo a otro.
Para diseñar un eje de transmisión, se deben evaluar:
- La potencia que transmitirá
- La velocidad de rotación a la que estará sometido el eje
La potencia es definida como el trabajo realizado por unidad de
tiempo. El trabajo realizado por la rotación de un eje es igual al
producto torsor aplicado por el ángulo de rotación.
Si en un instante de tiempo, dt un torsor T causa una rotación
d𝜃 en el eje, la potencia P sería igual a:
𝑃 = 𝑇.
𝑑𝜃
𝑑𝑡
Como: 𝜔 = , entonces: 𝑃 = 𝑇. 𝜔
Asimismo 𝜔 = 2𝜋𝑓, por lo tanto: 𝑃 = 2𝜋𝑓. 𝑇
𝜔: velocidad angular (rad/s)
f: Frecuencia de rotación (Hertz, Hz).
01 Hertz= 1
01 rpm= = 𝐻𝑧

Diseño de ejes de trasmisión
Torsión
𝑃 = 2𝜋𝑓. 𝑇
Unidades:
S. Internacional:
𝑓: Hz o rpm
𝑇: N.m
𝑃: Watt(W)=N.m/s
S. Inglés:
𝑓: Hz o rpm
𝑇: lb.ft
𝑃: ft.lb/s o hp
01 hp = 550 ft.lb/s
De la expresión de potencia, despejamos el torsor T y calculamos el esfuerzo cortante
máximo que se desarrollará en el eje de transmisión:
𝑃 = 2𝜋𝑓. 𝑇
𝑇 =
𝑃
2𝜋𝑓
Torsor actuante en el eje para
transmitir la potencia P.
𝜏 ≤ 𝜏
𝑇. 𝑐
𝐽
≤ 𝜏
𝐽
𝑐
≤
𝑇
𝜏 Se establece el mínimo valor de J/c que
debe tener la sección de un eje de
transmisión

Extraído de Hibbeler (2017)
Ejemplo 6
El eje sólido AB de acero que se muestra en la figura, se va a usar para transmitir 5
hp desde el motor M al cual se encuentra conectado. Si el eje gira a 𝜔 = 175 rpm y
el acero tiene un esfuerzo cortante permisible de 𝜏 = 14.5 ksi, determine el
diámetro requerido del eje, con precisión de 1/8 in.
Torsión

Concentración de esfuerzos
Torsión
𝜏 = 𝐾.
𝑇. 𝑐
𝐽
La fórmula de torsión máxima se dedujo para un eje de sección circular uniforme. Sin
embargo, en la práctica, los pares torsores comúnmente se aplican al eje mediante
acoplamiento de bridas, engranes conectados al eje o por medio de filetes
Calculado para
el eje de menor
diámetro
Factor de
concentración de
esfuerzo
Esfuerzo cortante máximo
por concentración de
esfuerzo

Concentración de esfuerzos
Torsión

Torsión de elementos con sección no circular
Torsión
En un elemento de sección no circular sometido a torsión, la distribución de esfuerzo
cortante es muy compleja porque la sección transversal se alabea

Torsión
En un elemento de sección no circular sometido a torsión, la distribución de esfuerzo
cortante es muy compleja porque la sección transversal se alabea

Torsión

Torsión
Extraído de Hibbeler et al. (2017)
Ejemplo 06
El eje de aluminio 6061-T6 (G=3.7x103 ksi)
mostrado en la figura tiene una sección
transversal con forma de triángulo
equilátero. Determine el mayor par de
torsión T que puede aplicarse sobre el
extremo del eje si el esfuerzo cortante
permisible es τperm = 8 ksi y el ángulo de
giro en su extremo está restringido a φperm
= 0.02 rad. ¿De qué tamaño puede ser el
par de torsión aplicado a un eje con
sección transversal circular hecho con la
misma cantidad de material?

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