Este documento presenta las reglas lógicas y de inferencia más importantes de la lógica proposicional, de predicados y de conjuntos. En la lógica proposicional se definen equivalencias lógicas, leyes de De Morgan, asociativas, conmutativas e idempotencia. En lógica de predicados se establecen equivalencias sobre cuantificadores universales y existenciales. Finalmente, en teoría de conjuntos se exponen leyes como de Morgan, asociativas, conmutativas, absorción, complemento y dominio

1. Equivalencias en L´gica
o Reglas de Inferencia
E0 ¬T ≡ F , ¬F ≡ T Equivalencia Base α→β
E1 ¬¬α ≡ α Ley de la doble negaci´n
o I1 α Modus Ponens
¬(α ∨ β) ≡ ¬α ∧ ¬β ∴β
E2 Leyes de De Morgan
α→β
¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β Ley del silogismo
α∨β ≡β∨α I2 β→γ
o Silogismo Hipot´tico
e
E3 Leyes conmutativas
∴α→γ
α∧β ≡β∧α
α ∨ (β ∨ γ) ≡ (α ∨ β) ∨ γ α→β
E4 Leyes asociativas I3 ¬β Modus Tollens
α ∧ (β ∧ γ) ≡ (α ∧ β) ∧ γ
∴ ¬α
α ∨ (β ∧ γ) ≡ (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)
E5 Leyes distributivas α
α ∧ (β ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)
I4 β Adici´n conjuntiva
o
α∨α≡α
E6 Leyes de idempotencia ∴α∧β
α∧α≡α
α∨β
α∨F≡α
E7 Leyes de identidad o de neutros I5 ¬α Silogismo disjuntivo
α∧T≡α
∴β
α ∨ ¬α ≡ T ¬α → F
E8 Leyes de inversas o de negaci´n
o
I6
α ∧ ¬α ≡ F ∴α
Regla de contradicci´n
o
α∨T≡T α∧β
E9 Leyes de dominaci´n
o
I7 Simplificaci´n conjuntiva
o
α∧F≡F ∴α
α ∨ (α ∧ β) ≡ α α
E10 Leyes de absorci´n
o I8 Adici´n disjuntiva
o
α ∧ (α ∨ β) ≡ α ∴α∨β
Equivalencias Sobre Condicional y Bicondicional α∧β
E11 α → β ≡ ¬α ∨ β Equivalencia implicaci´n
o
I9 α → (β → γ) Prueba condicional
E12 α → β ≡ ¬β → ¬α Contrapositiva
∴γ
E13 α ↔ β ≡ (α → β) ∧ (β → α) α→γ
I10 β→γ Prueba por casos
Equivalencias en L´gica de Predicados
o
∴ (α ∨ β) → γ
E14 ¬(∀x, F (x)) ≡ ∃x, ¬F (x) α→β
E15 ¬(∃x, F (x)) ≡ ∀x, ¬F (x) γ→δ
I11 Dilema constructivo
(Qx, F (x)) ∨ G ≡ Qx, (F (x) ∨ G) α∨γ
E16
(Qx, F (x)) ∧ G ≡ Qx, (F (x) ∧ G) ∴β∨δ
(∀x, F (x)) ∧ (∀x, G(x)) ≡ ∀x, (F (x) ∧ G(x)) α→β
E17
(∃x, F (x)) ∨ (∃x, G(x)) ≡ ∃x, (F (x) ∨ G(x)) γ→δ
I12 Dilema destructivo
(Q1 x, F (x)) ∧ (Q2 x, G(x)) ≡ Q1 x Q2 z, (F (x) ∧ G(z)) ¬β ∨ ¬δ
E18
(Q1 x, F (x)) ∨ (Q2 x, G(x)) ≡ Q1 x Q2 z, (F (x) ∨ G(z)) ∴ ¬α ∨ ¬γ
Leyes en Teor´ de Conjuntos
ıa α∨β
c c ¬α ∨ γ Lema 1
S1 (A ) = A Ley del doble complemento
∴β∨γ
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c
S2 Leyes de De Morgan α→β∨γ
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c
β→γ Lema 3
A∪B =B∪A ∴α→γ
S3 Leyes conmutativas
A∩B =B∩A
∀x, F (x)
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C I13 Instanciaci´n universal
o
S4 Leyes asociativas ∴ F (a)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
∃x, F (x)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) I14 Instanciaci´n existencial (a nueva)
o
S5 Leyes distributivas ∴ F (a)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
F (a)
A∪A=A I15 Cuantificaci´n existencial
o
S6 Leyes de idempotencia ∴ ∃x, F (x)
A∩A=A
F (a)
A∪∅=A I16 Generalizaci´n (a arbitraria)
o
S7 Leyes de identidad ∴ ∀x, F (x)
A∩U =A
A ∪ Ac = U Tablas de Verdad
S8 Leyes de complemento
A ∩ Ac = ∅ p q ¬p p∨q p q p∧q p→q p↔q
A∪U =U
S9 Leyes de dominaci´n
o
F F T F F F T T
A∩∅=∅
A ∪ (A ∩ B) = A F T T T T F T F
S10 Leyes de absorci´n
o
A ∩ (A ∪ C) = A
T F F T T F F F
S11 A − B = A ∩ Bc Ley de la dif. de conj.
T T F T F T T T