Лекц 4

1. Лекцийн сэдэв:
Тодорхой интеграл, бодох аргууд

2. Тодорхойлолт: 𝑦 = 𝑓(𝑥) нь [𝑎, 𝑏] завсарт тасралтгүй,
𝑓(𝑥) ≥ 0 функц байг.
Дээрээсээ 𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн график,
доороосоо 𝑂𝑥 тэнхлэг,
хоёр хажуу талаараа 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 шулуунуудаар хүрээлэгдсэн
дүрсийг муруй шугаман трапец гэнэ.

3. Дээрээсээ 𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн график,
доороосоо 𝑂𝑥 тэнхлэг,
зүүн талаараа 𝑥 = 𝑎, баруун талаараа 𝑥 = 𝑏 шулуунуудаар
хүрээлэгдсэн муруй шугаман трапецын талбайг олох аргыг авч
үзье.

4. • Эхлээд [𝑎, 𝑏] хэрчмийг 𝑛 тэнцүү хэсэгт 𝑎 = 𝑎0 < 𝑎1 < ⋯ < 𝑎𝑛 = 𝑏 хуваах
𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 цэгүүдийг авъя.
• 𝑎𝑘−1, 𝑎𝑘 тус бүрээс 𝑥𝑘 цэг сонгон 𝑓(𝑥𝑘) өндөр, Δ𝑥 өргөнтэй тэгш өнцөгт
байгуулъя.
• Энэ тэгш өнцөгтийн талбай 𝑓(𝑥𝑘) ∙ Δ𝑥 болох учир 𝑘 = 1–ээс 𝑘 = 𝑛 хүртэлх
нийлбэр
𝑓 𝑥1 Δ𝑥 + 𝑓 𝑥2 Δ𝑥 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 Δ𝑥 =
𝑘=1
𝑛
𝑓(𝑥𝑘)Δ𝑥
болно.
• Хуваалтын өргөн Δ𝑥 -ийг хязгааргүй
багасгавал тэгш өнцөгтүүдийн талбайн
нийлбэр нь олох гэж буй талбайн
хэмжээтэй тэнцэнэ.
𝑆 = lim
𝑛→0
𝑘=1
𝑛
𝑓(𝑥𝑘)Δ𝑥 (∗)

5. • [𝑎, 𝑏] завсрыг хуваах арга болон завсрууд дээрх 𝑥𝑘 цэгийн
сонголтоос хамаарахгүйгээр (*) хязгаар оршин байвал 𝑓(𝑥)
функцийг [𝑎, 𝑏] завсар дээр интегралчлагдах функц гэнэ. Энэ
тохиолдолд (*) хязгаарыг 𝑓(𝑥) функцын 𝑥 = 𝑎–аас 𝑥 = 𝑏
завсраар авсан тодорхой интеграл гэнэ.
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑛→0
𝑘=1
𝑛
𝑓(𝑥𝑘)Δ𝑥

6. Тодорхойлолт:
[𝑎, 𝑏] завсар дээр тодорхойлогдсон сөрөг биш 𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн график
ба доороосоо 𝑂𝑥 тэнхлэг, хоёр хажуу талаараа 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 шулуунуудаар
хүрээлэгдсэн муруй шугаман трапецын талбайг 𝑓(𝑥) функцийн [𝑎, 𝑏]
завсраар авсан тодорхой интеграл гэж нэрлэн
𝒂
𝒃
𝒇(𝒙)𝒅𝒙
гэж тэмдэглэдэг.
• Энд ∫ тэмдгийг интегралын тэмдэг гэж нэрлэнэ.
• Тодорхой интегралын утгыг олохдоо 𝑓(𝑥) функцийг 𝑥 = 𝑎–аас 𝑥 = 𝑏
завсраар интегралчлах гэх ба
• 𝑎, 𝑏–г харгалзан интегралын дээд, доод хил гэж нэрлэдэг ба
• 𝑥 хувьсагчийг интегралчлах хувьсагч,
• 𝑓(𝑥) функцийг интеграл доорх функц гэнэ.

7. • Геометрийн үүднээс эерэг функцийн тодорхой интеграл нь
харгалзах муруй шугаман трапецийн талбайтай тэнцүү.
• ∫ интегралын тэмдэг нь sum (нийлбэр) гэсэн үгний эхний S үсгийн хувирсан хэлбэр юм.
• Интеграл (integral) гэдэг нь “бүгдийг нийлбэрчилсэн” гэсэн утгатай үг.
• Мужийг жижиг тэгш өнцөгтүүдэд хуваан хэсэг тус бүрийн талбайг олж тэдгээрийг
“бүгдийг нийлбэрчилж” дүрсийн талбайг олж байгаа нь тодорхой интеграл юм. Иймд
тодорхой интегралыг
Талбай = Өндөр(𝑓(𝑥)) × Өргөн(𝑑𝑥)-ийн нийт нийлбэр
гэж тайлбарлаж болно.

8. Жишээ нь: 𝑓(𝑥) = 0,5𝑥2 + 1 функц, 𝑂𝑥 тэнхлэг, 𝑥 = 3.19, 𝑥 = −2
шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг Geogebra програмаар
нарийвчлан тооцоолж гаргасан графикийг харууллаа.

9. Тодорхой интеграл бодох Ньютон-Лейбницийн томъёо
• Тодорхой биш ба тодорхой интегралын хоорондын холбоог
тогтоосон Ньютон-Лейбницийн томъёог дараах теоремоор
томъёолъё.
Теорем: Хэрэв [𝑎, 𝑏] хэрчим дээр тасралтгүй 𝑓(𝑥) функцийн эх
функц нь 𝐹(𝑥) бол
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥
𝑎
𝑏
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
Ньютон-Лейбницийн томъёо хүчинтэй байна.

10. Баталгаа: Теорем ёсоор Φ(𝑥) = ∫
𝑎
𝑥
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 нь [𝑎, 𝑏] хэрчим дээр 𝑓(𝑥)
функцийн эх функц болно. Иймд эх функцийн чанараар 𝐹(𝑥) ба Φ(𝑥)
функцууд тогтмол тоогоор ялгагдана. Өөрөөр хэлбэл,
∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ,
𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑥 + 𝐶, 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Энд 𝑥 = 𝑎 гэвэл ∫𝑎
𝑎
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑎 + 𝐶 = 𝐹 𝑎 − 𝐹 𝑎 = 0 буюу
𝐶 = −𝐹(𝑎) болно.
• ∫𝑎
𝑥
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎) тэнцэлд 𝑥 = 𝑏 гэж орлуулбал
∫𝑎
𝑏
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) болж
𝑎
𝑏
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝐹(𝑥)
𝑏
𝑎
томъёо батлагдлаа.

11. Жишээ: ∫1
3
𝑥4𝑑𝑥 интеграл бодоорой.
Бодолт: Интегралын доорх функц 𝑥4
-ийн эх функц
1
5
𝑥5
учир
1
5
𝑥5
′
= 𝑥4
. Иймд
1
3
𝑥4𝑑𝑥 =
1
5
𝑥5
1
3
=
1
5
35 −
1
5
15 =
242
5
.
Эх функц болон тодорхой биш интегралыг адил утгаар хэрэглэх
тохиолдол байдаг. Англиар
• эх функцийг antiderivative (уламжлалын урвуу үйлдэл),
• primitive function (анхны функц) гэж нэрлэдэг.

12. Тодорхой интегралын үндсэн чанарууд
[𝑎, 𝑏] хэрчим дээр интегралчлагдах 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) функцууд өгөгджээ.
• ∫𝑎
𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
• ∫𝑎
𝑏
𝑑𝑥 = 𝑏 − 𝑎
• ∫𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫𝑏
𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Шугаман чанар
• 𝛼, 𝛽 тогтмол тоонууд бол
• ∫𝑎
𝑏
𝛼𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝛼 ⋅ ∫𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
• ∫𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫𝑎
𝑏
𝑔(𝑥)𝑑𝑥

13. Тодорхой интегралын үндсэн чанарууд
Аддитив чанар
• 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏 бодит тоонуудын хувьд ∫𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎
𝑐
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
• ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , 𝑓(𝑥) ≥ 0 бол ∫𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0
Монотон чанар
• ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) байвал ∫𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ ∫𝑎
𝑏
𝑔(𝑥)𝑑𝑥
• ∫𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , (𝑎 < 𝑏)
• 𝑚 = 𝑖𝑛𝑓(𝑓(𝑥)), 𝑀 = 𝑠𝑢𝑝(𝑓(𝑥)) бол
𝑚 𝑏 − 𝑎 ≤ ∫𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀 𝑏 − 𝑎 .

14. Тодорхой интегралыг бодох аргууд
Ньютон-Лейбницийн томъёо нь тодорхой интеграл бодоход тодорхой биш
интеграл бодох бүх аргыг хэрэглэх боломжийг олгож байна.
А. Тодорхой интегралыг бодох орлуулах арга
Теорем: [𝑎, 𝑏] хэрчим дээр тасралтгүй 𝑓(𝑥) функц,
[𝛼, 𝛽] хэрчимд тасралтгүй дифференциалчлагдах ба 𝜑 𝛼 = 𝑎, 𝜑(𝛽) = 𝑏
байх 𝑥 = 𝜑(𝑡) функц өгөгдсөн байг.
Тэгвэл тодорхой интегралд хувьсагч солих
𝑥′𝑑𝑥 = 𝜑′ 𝑡 𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝜑′ 𝑡 𝑑𝑡
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
α
β
𝑓 φ(𝑡) φ′(𝑡)𝑑𝑡 =
α
β
𝑓[φ(𝑡)]𝑑(φ(𝑡)) (1)
томъёо хүчинтэй байна.
Энэ томъёог тодорхой интегралыг бодох орлуулах арга гэнэ.

15. Жишээ: ∫0
1
1 − 𝑥2𝑑𝑥 интегралыг орлуулах аргаар бодъё.
Бодолт:
𝑥 = sin𝑡, sin𝑡 = 0 ⇒ 𝑡 = 0
𝑑𝑥 = cos 𝑡 𝑑𝑡, sin𝑡 = 1 ⇒ 𝑡 = π/2
орлуулга хийвэл
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
α
β
𝑓 φ(𝑡) φ′(𝑡)𝑑𝑡
0
1
1 − 𝑥2𝑑𝑥 =
0
π/2
1 − sin2𝑡 ⋅ cos𝑡𝑑𝑡 =
0
π/2
cos2𝑡𝑑𝑡 =
0
π/2
1 + cos2𝑡
2
𝑑𝑡
=
1
2
𝑡 +
sin2𝑡
2
π/2
0
=
π
4
.

16. Б. Үет, тэгш, сондгой функцийн тодорхой
интегралыг бодох
Үет, тэгш, сондгой функцийн тодорхой интегралыг бодохдоо дараах
теоремыг ашиглан бодолтыг хялбарчилж болно.
Теорем: 𝑓(𝑥) функц нь [−𝑎, 𝑎] дээр интегралчлагдах функц байг.
Тэгвэл
• А. 𝑓 𝑥 тэгш функц бол ∫−𝑎
𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫0
𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
• Б. 𝑓 𝑥 сондгой функц бол ∫−𝑎
𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 байна.
• В. Хэрэв 𝑓(𝑥) нь 𝑇 үед функц бөгөөд төгсгөлөг хэрчим бүр дээр
интегралчлагдах бол ∀𝑎 ∈ 𝑅 тооны хувьд
𝑎
𝑎+𝑇
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
0
𝑇
𝑓(𝑥)𝑑𝑥

17.  𝒚 = 𝒇(𝒙) тэгш функцийн график нь 𝑂𝑦 тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй байна.
Иймд 𝑦 = 𝑓(𝑥) тэгш функцийн график, 𝑂𝑥 тэнхлэг, 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = −𝑎 шулуунуудаар
хүрээлэгдсэн дүрсийн хувьд 𝑂𝑦 тэнхлэгийн хоёр талд орших хэсгүүдийн талбай
тэнцүү байна.
 𝒚 = 𝒇(𝒙) сондгой функцийн график нь координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй
байна. Иймд ∫
−𝑎
𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 интеграл нь 𝑂𝑦 тэнхлэгийн хоёр талд орших хэсгүүдийн
тодорхой интегралын нийлбэртэй тэнцүү ба 2 интегралын утга тэмдгээрээ ялгаатай
ба тодорхой интегралын нийлбэр тэг болно гэдгийг харуулна.

18. Жишээ: ∫−2
2
1 − 𝑥 − 𝑥2 + 𝑥3 𝑑𝑥 интеграл бод.
Бодолт: Интегралын доорх илэрхийллийн
1, 𝑥2
нь тэгш,
𝑥, 𝑥3 нь сондгой функцууд учир тэгш, сондгой функцийн чанараар
−2
2
1 − 𝑥 − 𝑥2
+ 𝑥3
𝑑𝑥 =
−2
2
1𝑑𝑥 −
−2
2
𝑥 𝑑𝑥 −
−2
2
𝑥2
𝑑𝑥 +
−2
2
𝑥3
𝑑𝑥
= 2
0
2
1𝑑𝑥 − 2
0
2
𝑥2
𝑑𝑥 = 2 𝑥
0
2
− 2 ∙
1
3
𝑥3
0
2
= −
4
3
.

19. В. Тодорхой интегралыг бодох хэсэгчлэн интегралчлах арга
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) үржвэр функцээс уламжлал авбал
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) ′
= 𝑓′
𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′
(𝑥)
байна. Хоёр талаас нь 𝑥 = 𝑎 -аас 𝑥 = 𝑏 завсраар интеграл авбал
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) ′ 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑓′ 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥
болно. Энэ тэнцэтгэлийн зүүн гар тал
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) ′ 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)
𝑎
𝑏
учир
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)
𝑎
𝑏
−
𝑎
𝑏
𝑓′ 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
томъёо хүчинтэй. Үүнийг хэсэгчлэн интегралчлах арга гэнэ.

20. Теорем: Хэрэв 𝑎, 𝑏 хэрчим дээр дифференциалчлагдах 𝑢(𝑥), ν(𝑥)
функцууд өгөгдсөн байг. Тэгвэл
𝑎
𝑏
𝑢(𝑥)𝑑ν = 𝑢(𝑥) ∙ ν(𝑥)
𝑎
𝑏
−
𝑎
𝑏
ν(𝑥)𝑑𝑢
хэсэгчлэн интегралчлах томъёо хүчинтэй.
𝑎
𝑏
𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′
(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥) ∙ ν(𝑥)
𝑎
𝑏
−
𝑎
𝑏
ν(𝑥) ∙ 𝑢′
(𝑥)𝑑𝑥

21. Жишээ: ∫
1
𝑒
𝑥 ∙ ln𝑥 𝑑𝑥 интегралыг хэсэгчлэн интегралчлах аргаар бод.
Бодолт:
𝑢 = ln𝑥, 𝑢′
𝑑𝑢 = ln𝑥′
𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥, ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 =
𝑥2
2
орлуулга хийвэл
𝑎
𝑏
𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′
(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥) ∙ ν(𝑥)
𝑎
𝑏
−
𝑎
𝑏
ν(𝑥) ∙ 𝑢′
(𝑥)𝑑𝑥
1
𝑒
𝑥 ∙ ln𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
∙ ln𝑥
1
𝑒
−
1
𝑒
𝑥2
2
⋅
1
𝑥
𝑑𝑥 =
𝑒2
2
ln𝑒 −
1
2
⋅
𝑥2
2
1
𝑒
=
𝑒2
2
−
𝑒2
4
+
1
4
=
𝑒2 + 1
4
.

22. Санамж:
Дараах хэлбэрийн үржвэр функцийн
𝑝 𝑥 𝑒𝑥
𝑑𝑥, 𝑝 𝑥 cos𝑥𝑑𝑥, 𝑝(𝑥)sin𝑥𝑑𝑥
интегралууд 𝑝(𝑥) нь олон гишүүнт үед xэсэгчлэн интегралчлаx
аргаар бодогдоно.

23. Логарифм ба тригонометрийн урвуу функцийн тодорхой биш
интегралыг хэсэгчлэн интегралчлах арга ашиглан бодох тохиолдол
байдаг.
Санамж:
Интеграл доорх илэрхийлэл
• 𝐥𝐧𝒙, 𝐥𝐨𝐠 𝒙 , 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙, 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙, 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙,
• (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙)𝟐
, (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟐
, (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝟐
гэх мэтийн функцүүдийн аль нэгийг агуулсан бол хэсэгчлэн
интегралчлах томъёог хэрэглэхдээ уг функцийг 𝒖(𝒙)- ээр орлуулах
нь тохиромжтой.

24. Г. sin𝑛
𝑥 , cos𝑛
𝑥 функцийн тодорхой интегралыг
бодох арга
0
𝜋
2
sin𝑛
𝑥 𝑑𝑥 =
0
𝜋
2
cos𝑛
𝑥 𝑑𝑥
=
𝑛 − 1
𝑛
∙
𝑛 − 3
𝑛 − 2
∙ ⋯ ∙
1
2
∙
𝜋
2
, 𝑛 тэгш үед
𝑛 − 1
𝑛
∙
𝑛 − 3
𝑛 − 2
∙ ⋯ ∙
2
3
∙ 1, 𝑛 сондгой үед
томъёо биелнэ.

25. • ∫0
𝜋
2 sin𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫0
𝜋
2 cos𝑛 𝑥 𝑑𝑥 томъёо биелэхийг 𝑦 = sin𝑛 𝑥 , 𝑦 = cos𝑛 𝑥
функцүүдийн графикийн тэгш хэмийн чанараас шалгаж болно.
• 𝒏 тэгш бол зураг дээрх цэнхэр өнгөөр тэмдэглэсэн хэсэг,
• 𝒏 сондгой тоо бол саарал хэсгийн талбайтай харгалзан тэнцэнэ.

26. Жишээ: ∫0
𝜋
2 sin6 𝑥 𝑑𝑥 интеграл бод.
Бодолт: ∫0
𝜋
2 sin6 𝑥 𝑑𝑥 =
5
6
∙
3
4
∙
1
2
∙
𝜋
2
=
5𝜋
32
.
Жишээ: ∫
0
𝜋
2 cos7 𝑥 𝑑𝑥 интеграл бод.
Бодолт: ∫0
𝜋
2 cos7 𝑥 𝑑𝑥 =
6
7
∙
4
5
∙
2
3
∙ 1 =
16
35
.

27. • ∫0
𝜋
sin𝑛 𝑥 𝑑𝑥 тодорхой интегралыг бодох арга
𝑦 = sin 𝑥 функцийн график 𝑥 =
𝜋
2
шулууны хувьд тэгш хэмтэй учир
𝑦 = sin𝑛 𝑥 функцийн график мөн 𝑥 =
𝜋
2
шулууны хувьд тэгш хэмтэй.
Иймд
0
𝜋
sin𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 2
0
𝜋
2
sin𝑛 𝑥 𝑑𝑥
томъёо хүчинтэй.

28. Жишээ: ∫
0
𝜋
sin4 𝑥 𝑑𝑥 интеграл бод.
Бодолт:
∫0
𝜋
sin4 𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫0
𝜋
2 sin4 𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∙
3
4
∙
1
2
∙
𝜋
4
=
3𝜋
8
.

29. Анхаарал хандуулан, хичээлийн агуулгыг бүрэн судалсан оюутан
танд баярлалаа.
Оюутан та
• Хичээлийн агуулгыг дэвтэртээ товчлон тэмдэглэл хийж, тэмдэглэл
хийсэн хэсгээ зурган хэлбэрээр илгээгээрэй.
Зайн сургалтанд идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал
илэрхийлье.