Reed-Solomon code adalah teknik encoding yang menambahkan redundansi data untuk mendeteksi dan memperbaiki kesalahan pada bit transmisi. Teknik ini bekerja dengan mengubah data menjadi simbol-simbol dalam suatu field Galois, lalu menambahkan simbol-simbol parity untuk membentuk codeword. Proses decoding melibatkan penghitungan sindrom dan lokasi serta nilai kesalahan untuk memperbaiki codeword yang diterima.

1. REED SOLOMON CODE
Anditya Arifianto
213110008

2. INTRODUCTION TO INFORMATION CODING
Video
Digital Error
Suara Bit 0 menjadi 1
Text Bit 0 dan 1 Bit 1 menjadi 0
Gambar
teknik encoding informasi: teknik yang mengorganisir bit 0
dan 1 sehingga kesalahan yang mungkin terjadi dapat
dideteksi dan diperbaiki

3. REED SOLOMON CODE
 Oleh Irving Reed dan Gustave Solomon pada tahun
1960
 Bekerja dengan menambahkan informasi tambahan
(redundansi data) di dalam data asli
 Systematic linear block code
 Nonbinary ciclic code
 Banyak digunakan untuk coding Compact Disc

4. ARCHITECTURE
 Notasi : RS(n,k)
 k : jumlah simbol data
 n : panjang simbol codeword
 2t : panjang simbol parity
 Tiap simbol dikodekan sebanyak m-bit, maka
panjang codeword yang dapat dibentuk adalah
n = 2m-1

5. ARCHITECTURE
 Kemampuan RS-Code
 Deteksi dan koreksi hingga sebanyak t error
 2t = n-k  t = (n-k)/2 simbol error
 Misal
 m = 8 bit
 n = 255, k = 223 simbol
 2t = n-k = 32, t = 16

6. GALOIS FIELD
 Bilangan prima p  GF(p), p elemen
 GF(p) pm elemen  extension field
of GF(p)
 GF(pm), m = bilangan bulat positif > 0
 Reed-Solomon Code : GF(2m)
 {0,a0,a1,a2,…,a2m+2}

7. PRIMITIVE POLYNOMIAL
 Mendefinisikan finite field GF(2m)
 Polinom f(x) berderajad m yang tidak bisa
direduksi dikatakan primitif jika untuk
bilangan positif terkecil n yang membagi
habis f(x) terhadap xn+1 adalah n = 2m-1
 1 + x + x4
 1 + x + x2 + x3 + x4
 m= 4, n = 2m-1 = 15  x15+1

8. LIST OF PRIMITIVE POLYNOMIALS

9. THE EXTENSION FIELD GF(23)
m = 3  GF(23) = GF(8)
 f(X) = 1 + X + X3 = 0
 Xa
 f(a) = 0
 1 + a + a3 = 0
 a3 = -1-a  a3 = 1+ a
4 3
 a = a.a = a.(1+a) = a+a ,
2
 a5 = a.a4 = a.(a+a2) = a2+a3 = 1+a+a2
6 5 2 2 3
 a = a.a = a.(1+a+a ) = a+a +a = 1+a
2
7 6 2 3
 a = a.a = a.(1+a ) = a+a = 1 = a
0
 GF(23) = {0,a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6}

10. THE EXTENSION FIELD GF(23)
X0 X1 X2
0 0 0 0
a0 1 0 0
a1 0 1 0
a2 0 0 1
a3 1 1 0
a4 0 1 1
a5 1 1 1
a6 1 0 1
a7 1 0 0

11. THE EXTENSION FIELD GF(23)
 a+a = a-a = 0, a.a = a

12. RSC ENCODING : GENERATOR
 RS(n,k)
 n = 2m-1 dan k = n-2t = 2m-1-2t,
 (n,k) = (2m-1,2m-1-2t)
 g(X) = (X - a)(X – a2) … (X – a2t)
 RS(7,3)  n=7,k=3, n-k=4

13. RSC ENCODING : QUOTIENT - PARITY
 Polinon quotient q(x), polinom parity p(x) polinom
pesan (message) m(x)
 Secara sistematik
 Geser ke kanan m(x) sebanyak n-k hingga ke sisi
paling kanan kodeword, lalu tambahkan p(x) untuk
mengisi sisi paling kiri dari codeword
 Xn-k.m(X) = q(X).g(X) + p(X)
 p(X) = Xn-k.m(X) mod g(X)
 Polinom Codeword
 U(X) = p(X) + Xn-k.m(X)

14. RSC ENCODING : EXAMPLE
 RS(7,3), GF(23)
 Pesan = 010110111  a1 a3 a5
 m(X) = a1 + a3X + a5X2
 Xn-k = X4
Xn-km(X) = a1X4 + a3X5 + a5x6
g(X) = a3 + a1X + a0X2 + a3X3 + X4
 p(X) = Xn-k.m(X) mod g(X)
 p(X) = a0 + a2X + a4X2 + a6X3
 Codeword
U(X) = a0 + a2X + a4X2 + a6X3 + a1X4 + a3X5 + a5X6

15. RSC ENCODING : EXAMPLE
 U(X) = a0 + a2X + a4X2 + a6X3 + a1X4 + a3X5 + a5X6
 U(X) = (100) + (001) X + (011)X2 + (101)X3 +
(010)X4 + (110)X5 + (111)X6
 Codeword : 100001011101010110111

16. RSC DECODING : ERROR - RECEIVED
 Error pattern
 Received pattern
 r(X) = U(X) + e(X)

17. RSC DECODING : ERROR - RECEIVED
 Codeword sent : 100001011101010110111
 Codeword received : 100001011100101110111
 r(X) = (100) + (001) X + (011)X2 + (100)X3 + (101)X4 +
(110)X5 + (111)X6
 r(X) = a0 + a2 X + a4X2 + a0X3 + a6X4 + a3X5 + a5X6

18. RSC DECODING : SYNDROME
 Parity check pada r(X) untuk memastikan r(X) valid
 r(X) valid  syndrome bernilai 0
 Terbentuk dari n-k simbol
 { Si }, i = 1..n-k
 Si  substitusi X dengan ai, i = 1…n-k

19. RSC DECODING : SYNDROME
 r(X) = a0 + a2 X + a4X2 + a0X3 + a6X4 + a3X5 + a5X6
 RS(7,3)  n = 7, k = 3
 { Si }, i = 1..n-k = 1..4
 S1 = r(a) = a0 + a3 + a6 + a3 + a10 + a8 + a11 = a3
 S2 = r(a2) = a0 + a4 + a8 + a6 + a14 + a13 + a17 = a5
 S3 = r(a3) = a0 + a5 + a10 + a9 + a18 + a18 + a23 = a6
 S4 = r(a4) = a0 + a6 + a12 + a12 + a22 + a23 + a29 = 0
 ∑Si ≠ 0  codeword mengandung error

20. RSC DECODING : ERROR PATTERN
 Misal terdapat sejumlah v error pada posisi
 Xj1 Xj2,…Xjv
 Maka polinom error :
 Bl = ajl , subtitusikan ai pada r(X) untuk i = 1..2t

21. RSC DECODING : ERROR LOCATOR
 Polinom Error Locator L(X) atau (X)
 L(X) = 1 + L1X + L2X2 + … + LvXv
 L(X) = (1+B1X) (1+B2X) … (1+BvX)
 Akar dari L(X) = 1/B1, 1/B2, … 1/Bv
 Kebalikan dari akar L(X) adalah nomor lokasi error
dari error pattern e(X), maka menggunakan teknik
autoregresif modeling kita dapatkan

22. RSC DECODING : ERROR LOCATOR
 Dari contoh
 Penyelesaian koefisien L1 dan L2
 Inv[A] = cofactor[A]/det[A]

23. RSC DECODING : ERROR LOCATOR
 Sehingga kita dapatkan polinom L(X)

24. RSC DECODING : ERROR LOCATOR
 Akar dari L(X) adalah posisi error pada r(X)
 cara paling brute force : coba subtitusi masing2 elemen
GF pada L(X), jika L(X) bernilai 0, maka elemen
tersebut adalah akar dari L(X)  lokasi error

25. RSC DECODING : ERROR LOCATOR
 Didapat akar L(X)
 1/B1 = a3  B1 = 1/a3  B1 = a4
 1/B2 = a4  B2 = 1/a4  B2 = a3

26. RSC DECODING : ERROR VALUE
 Subtitusi akar L(X) ke Syndrome manapun
 Sehingga bisa kita tuliskan matrix persamaan

27. RSC DECODING : ERROR VALUE
 Hitung e1 dan e2
 Sehingga kita dapat

28. RSC DECODING : ERROR CORRECTING
 Hitung
 Kemudian kita dapatkan

29. RSC DECODING : ERROR CORRECTING
 Sehingga untuk
 U(X) = (100) + (001) X + (011)X2 + (101)X3 + (010)X4 +
(110)X5 + (111)X6
 r(X) = (100) + (001) X + (011)X2 + (100)X3 + (101)X4 +
(110)X5 + (111)X6
 ê(X) = (000) + (000) X + (000)X2 + (001)X3 + (111)X4 +
(000)X5 + (000)X6
 Kita dapatkan
 Û(X) = (100) + (001) X + (011)X2 + (101)X3 + (010)X4 +
(110)X5 + (111)X6

30. RSC DECODING : DECODED SYMBOL
 Hasil corrected code
 Û(X) = (100) + (001) X + (011)X2 + (101)X3 + (010)X4 +
(110)X5 + (111)X6
 Karena symbol pesan mengkonstitusikan rightmost
k=3 simbol,
 maka pesan yang didekodekan =
 a1 a3 a5 = 010 110 111

31. TERIMA KASIH