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03 fracciones parciales
1.
Integración por Fracciones Parciales Rolando
Vilca Pacco Semana 3 . 𝑰𝑳 𝑨 𝑻 𝒆 𝑷(𝒙) 𝒂 𝟏 + 𝒃 𝟏 𝒂 𝟐 +𝒃 𝟐 . . . +(𝒂 𝒏 + 𝒃 𝒏) 𝒅𝒙 = 𝑨 𝒂 𝟏 + 𝒃 𝟏 + 𝑩 𝒂 𝟐 +𝒃 𝟐 . . . + 𝑲 𝒏 𝒂 𝒏 + 𝒃 𝒏 𝒅𝒙
2.
Técnicas de Integración:
Integración por Fracciones Parciales Consideremos la siguiente operación: 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 + 5 + 1 𝑥 + 1 = 𝑥 + 1 2 + (𝑥 + 5)1 (𝑥 + 5)(𝑥 + 1) = 2𝑥 + 2 + 𝑥 + 5 (𝑥 + 5)(𝑥 + 1) = 3𝑥 + 7 (𝑥 + 5)(𝑥 + 1) . ? 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 = 3𝑥 + 7 𝑥2 + 6𝑥 + 5 ? = 2 𝑥 + 5 + 1 𝑥 + 1 . 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
3.
Fracciones parciales 𝑃(𝑥) 𝑎1 +
𝑏1 𝑎2 +𝑏2 . . . +(𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛) 𝑑𝑥 = Para funciones racionales propias Para funciones racionales propias Consiste en descomponer a la fracción polinómica como una suma de fracciones 𝐸𝑗𝑚. 2𝑥 + 1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) 𝑑𝑥 𝐴 𝑎1 + 𝑏1 + 𝐵 𝑎2 +𝑏2 . . . + 𝐾 𝑛 𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 𝑑𝑥
4.
Casos que se
presentan 2𝑥 + 1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) 𝑑𝑥 𝑥2 + 2𝑥 + 4 (𝑥 − 1)3 𝑑𝑥 6𝑥 − 1 𝑥3(2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 𝑥 + 3 𝑥2(𝑥2 + 9) 4𝑥 (𝑥2+1)(𝑥2 + 2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 𝑥3 − 2𝑥 𝑥2 + 3𝑥 + 2 𝑑𝑥
5.
Caso 1: Factores
lineales distintos 𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒 2𝑥 + 1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) 𝑑𝑥 2𝑥 + 1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = 𝐴 𝑥 − 1 + 𝐵 𝑥 + 3 2𝑥 + 1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = 𝑥 + 3 𝐴 + (𝑥 − 1)𝐵 (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) 2𝑥 + 1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = 𝐴𝑥 + 3𝐴 + 𝐵𝑥 − 𝐵 (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) 2𝑥 + 1 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 3𝐴 − 𝐵 2𝑥 + 1 = 𝐴 + 𝐵 𝑥 + 3𝐴 − 𝐵 2 = 𝐴 + 𝐵 1 = 3𝐴 − 𝐵 3 = 4𝐴 𝐴 = 3/4 𝐵 = 5/4 2𝑥 + 1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = 𝐴 𝑥 − 1 + 𝐵 𝑥 + 3 2𝑥 + 1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = 3/4 𝑥 − 1 + 5/4 𝑥 + 3 2𝑥 + 1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = 3/4 𝑥 − 1 + 5/4 𝑥 + 3 3/4 𝑥 − 1 + 5/4 𝑥 + 3 = 3 4 𝑙𝑛 𝑥 − 1 + 5 4 𝑙𝑛 𝑥 + 3 + 𝐶 𝑰 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝑰
6.
Caso 2: Factores
lineales repetidos 𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒 𝑥2 + 2𝑥 + 4 (𝑥 + 1)3 𝑑𝑥 𝑥2 + 2𝑥 + 4 (𝑥 + 1)3 = 𝐴 𝑥 + 1 + 𝐵 (𝑥 + 1)2 + 𝐶 (𝑥 + 1)3 𝑥2 + 2𝑥 + 4 (𝑥 + 1)3 = 𝐴(𝑥 + 1)2+𝐵 𝑥 + 1 + 𝐶 (𝑥 + 1)3 𝑥2 + 2𝑥 + 4 = 𝐴(𝑥 + 1)2 +𝐵 𝑥 + 1 + 𝐶 𝐴 = 1 𝑥 = −1 −12 + 2(−1) + 4 = 𝐴(0)2+ 0 𝐵 + 𝐶 1 − 2 + 4 = 𝐶 𝐶 = 3 𝑥2 + 2𝑥 + 4 = 𝐴(𝑥2 + 2𝑥 + 1) + 𝑥 + 1 𝐵 + 𝐶 𝑥2 + 2𝑥 + 4 = 𝐴𝑥2 + 2𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵𝑥 + 𝐵 + 𝐶 𝑥2 + 2𝑥 + 4 = 𝐴𝑥2 + 2𝐴 + 𝐵 𝑥 + 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 2𝐴 + 𝐵 = 2 𝐵 = 0 ∴ 𝑥2 + 2𝑥 + 4 (𝑥 + 1)3 = 𝐴 𝑥 + 1 + 𝐵 (𝑥 + 1)2 + 𝐶 (𝑥 + 1)3 𝑥2 + 2𝑥 + 4 (𝑥 + 1)3 = 1 𝑥 + 1 + 0 (𝑥 + 1)2 + 3 (𝑥 + 1)3 . . 𝑥2 + 2𝑥 + 4 (𝑥 + 1)3 𝑑𝑥 = 1 𝑥 + 1 + 3 (𝑥 + 1)3 𝑑𝑥 = 1 𝑥 + 1 𝑑𝑥 + 3(𝑥 + 1)−3 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 + 1 − 3 2 (𝑥 + 1)−2+𝐶 𝑥2 + 2𝑥 + 4 (𝑥 + 1)3 𝑑𝑥 𝑥2 + 2𝑥 + 4 (𝑥 + 1)3 𝑑𝑥 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠: 𝐶 =? 𝐸𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎
7.
Caso 3 Factor
repetido y factor distinto 𝐷 = 16 𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒 6𝑥 − 1 𝑥3(2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 6𝑥 − 1 𝑥3(2𝑥 − 1) = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥2 + 𝐶 𝑥3 + 𝐷 (2𝑥 − 1) 6𝑥 − 1 𝑥3(2𝑥 − 1) = 𝐴𝑥2(2𝑥 − 1) 𝑥3(2𝑥 − 1) + 𝐵𝑥(2𝑥 − 1) 𝑥3(2𝑥 − 1) + 𝐶(2𝑥 − 1) 𝑥3(2𝑥 − 1) + 𝐷𝑥3 𝑥3(2𝑥 − 1) 6𝑥 − 1 𝑥3(2𝑥 − 1) = 𝐴𝑥2 2𝑥 − 1 + 𝐵𝑥 2𝑥 − 1 + 𝐶 2𝑥 − 1 + 𝐷𝑥3 𝑥3(2𝑥 − 1) 6𝑥 − 1 = 𝐴𝑥2 2𝑥 − 1 + 𝐵𝑥 2𝑥 − 1 + 𝐶 2𝑥 − 1 + 𝐷𝑥3 𝑥 = 1 2 3 − 1 = 𝐴𝑥2 0 + 𝐵𝑥 0 + 𝐶 0 + 𝐷 1 2 3 2 = 𝐷 8 𝑥 = 0−1 = 𝐴. 0 2𝑥 − 1 + 𝐵. 0 2𝑥 − 1 + 𝐶 2.0 − 1 + 𝐷. 0 −1 = −𝐶 𝐶 = 1 𝑃𝐶 𝑃𝐶
8.
6𝑥 − 1
= 𝐴𝑥2 2𝑥 − 1 + 𝐵𝑥 2𝑥 − 1 + 𝐶 2𝑥 − 1 + 𝐷𝑥3 𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒 6𝑥 − 1 𝑥3(2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 6𝑥 − 1 = 2𝐴𝑥3 − 𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥2 − 𝐵𝑥 + 2𝐶𝑥 − 𝐶 + 𝐷𝑥3 6𝑥 − 1 = 2𝐴 + 𝐷 𝑥3 + 2𝐵 − 𝐴 𝑥2 + 2𝐶 − 𝐵 𝑥 − 𝐶 6𝑥 − 1 = 𝑥3 2𝐴 + 𝐷 + 𝑥2 2𝐵 − 𝐴 + 𝑥(2𝐶 − 𝐵) − 𝐶 0 = 2𝐴 + 𝐷 𝐶 = 1 0 = 2𝐴 + 16 𝐴 = −8 0 = 2𝐵 − 𝐴 0 = 2𝐵 + 8 𝐵 = −4 𝐷 = 16 6𝑥 − 1 𝑥3(2𝑥 − 1) = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥2 + 𝐶 𝑥3 + 𝐷 (2𝑥 − 1) 6𝑥 − 1 𝑥3(2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = −8 𝑥 + −4 𝑥2 + 1 𝑥3 + 16 (2𝑥 − 1) . 𝑑𝑥 6𝑥 − 1 𝑥3(2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = −8 𝑥 𝑑𝑥 + −4𝑥−2 𝑑𝑥 + 𝑥−3 𝑑𝑥 + 2(8) (2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 6𝑥 − 1 𝑥3(2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = −8𝑙𝑛 𝑥 + 4𝑥−1 − 1 2 𝑥−2 + 8𝑙𝑛 2𝑥 − 1 + 𝐶
9.
Caso 4 Factor
lineal repetido y uno cuadrático distinto 𝐵 = 1 3 𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒 𝑥 + 3 𝑥4 + 9𝑥2 𝑑𝑥 𝑥 + 3 𝑥2(𝑥2 + 9) = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑥2 + 9 𝑥 = 0 9𝐴 = 1 𝐴 = 1/9 𝑥 + 3 𝑥2(𝑥2 + 9) = 𝐴𝑥 𝑥2 + 9 + 𝐵 𝑥2 + 9 + (𝐶𝑥 + 𝐷)𝑥2 𝑥2(𝑥2 + 9) 𝑥 + 3 = 𝐴𝑥 𝑥2 + 9 + 𝐵 𝑥2 + 9 + (𝐶𝑥 + 𝐷)𝑥2 3 = 𝐵 02 + 9 𝑥 + 3 = 𝐴𝑥3 + 9𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2 + 9𝐵 + (𝐶𝑥3 + 𝐷𝑥2 ) 𝑥 + 3 = 𝐴𝑥3 + 𝐶𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐷𝑥2 + 9𝐴𝑥 + 9𝐵 𝑥 + 3 = (𝐴 + 𝐶)𝑥3 + (𝐵 + 𝐷)𝑥2 + 9𝐴𝑥 + 9𝐵 𝐴 + 𝐶 = 0 𝐶 = −1/9 𝐵 + 𝐷 = 0 𝐷 = −1/3
10.
𝐵 = 1 3 𝐴 =
1/9 𝐶 = −1/9 𝐷 = −1/3 𝑥 + 3 𝑥4 + 9𝑥2 = 1 9𝑥 + 1 3𝑥2 + − 1 9 𝑥 − 1 3 𝑥2 + 9 𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒 𝑥 + 3 𝑥4 + 9𝑥2 𝑑𝑥 𝑥 + 3 𝑥4 + 9𝑥2 = 1 9𝑥 + 1 3𝑥2 − 1 9 𝑥 𝑥2 + 9 − 1 3 𝑥2 + 9 𝑥 + 3 𝑥4 + 9𝑥2 = 1 9𝑥 + 1 3𝑥2 − 1 9 𝑥 𝑥2 + 9 − 1 3 1 𝑥2 + 9 𝑥 + 3 𝑥4 + 9𝑥2 𝑑𝑥 = 1 9 1 𝑥 𝑑𝑥 + 1 3 𝑥−2 𝑑𝑥 − 1 9 𝑥 𝑥2 + 9 𝑑𝑥 − 1 3 1 𝑥2 + 9 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 + 3 𝑥4 + 9𝑥2 𝑑𝑥 = 1 9 1 𝑥 𝑑𝑥 + 1 3 𝑥−2 𝑑𝑥 − 1 9.2 2𝑥 𝑥2 + 9 𝑑𝑥 − 1 3. 1 𝑥2 + 32 𝑑𝑥 𝑥 + 3 𝑥4 + 9𝑥2 𝑑𝑥 = 1 9 𝑙𝑛 𝑥 − 1 3 𝑥−1 − 1 18 𝑙𝑛 𝑥2 + 9 − 1 9 𝑡𝑔−1 𝑥 3 + 𝐶
11.
Caso 5 Factores
cuadráticos Distintos 𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒 4𝑥 (𝑥2+1)(𝑥2 + 2𝑥 + 3) 𝑑𝑥
12.
Caso 5 El
integrando es una fracción impropia 𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒 𝑥3 − 2𝑥 𝑥2 + 3𝑥 + 2 𝑑𝑥
13.
Ejercicio en clase,
Integrar: 𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒 5𝑥2 − 𝑥 + 1 𝑥3 − 4𝑥 𝑑𝑥 𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒 9𝑥 − 8 (𝑥 − 3)(2𝑥 − 5) 𝑑𝑥 𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒 𝑥2 𝑥 − 1 3(𝑥2 + 4) 𝑑𝑥 𝑅𝑝𝑡. 19𝑙𝑛 𝑥 − 3 − 29 2 𝑙𝑛 2𝑥 − 5 + 𝐶 𝑅𝑝𝑡. 1 4 𝑙𝑛 𝑥 − 23 8 𝑙𝑛 𝑥 + 2 + 19 8 𝑙𝑛 𝑥 − 2 + 𝐶 𝑅𝑝𝑡. 16𝑥 − 11 50 𝑥 − 1 2 − 2 125 𝑙𝑛 𝑥2 + 4 + 4 125 𝑙𝑛 𝑥 − 1 − 22 125 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑔 𝑥 2 + 𝐶
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