Una superficie es un objeto topológico bidimensional que localmente se parece al plano euclídeo. Formalmente, esto significa que alrededor de cada punto de una superficie hay una vecindad homeomorfa a un disco abierto del plano. Las superficies usuales son versiones curvadas del plano y se pueden definir por propiedades de curvatura o isometrías. Las superficies cerradas encierran un volumen en 3D, mientras que en más dimensiones no dividen el espacio de esa manera.

1. Para otros usos de este término, véase superficie (desambiguación).
Ilustración de una superficie curvada, inmersa en , orientable y con borde; sobre la que se
ha dibujado un conjunto de líneas coordenadas ortogonales.
Una superficie es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un
espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio
euclídeo bidimensional. Así alrededor de cada punto de una superficie esta se aproxima bien
por el plano tangente a la superficie en dicho punto.
Una definición tradicional de superficie que alude a términos intuitivos pero con la que resulta
fácil trabajar desde un punto de vista matemático fue la dada por Euclides:
Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura.
DIMENCIONES FORMALES:
Una superficie es una variedad bidimensional, es decir, un objeto topológico que localmente
"se parece" al plano euclídeo (técnicamente localmente homeomorfo al plano). Eso significa
que si tomamos un área muy pequeña de la superficie es parecida al plano euclídeo, al igual
que en medio de una llanura la superficie local de la tierra nos parece plana.
Más formalmente el homeomorfismo local entre una superficie y el plano euclídeo implica que
para cada punto de una superficie hay una vecindad de P (una pequeña región que la rodea)
que es homeomorfa a un disco abierto de . Esta propiedad de ser homeomorfa con el
plano permite construir un sistema de coordenadas local bidimensional en torno a cualquier
punto en la superficie. Se puede llamar al homeomorfismo local que va de la superficie a
como carta y al inverso (de este homeomorfismo)parametrización. No siempre es posible
parametrizar una superficie con un único homeomorfismo local.
Una superficie (topológica) con frontera es un espacio topológico de tipo Hausdorff en que
cada punto tiene una vecindad abierta V para la que existe un homeomorfismo φ con un
conjunto abierto del semiplano superior del plano euclídeo . El par ordenado (V, φ) se
llama carta (local) de coordenadas del punto [esta carta no es única porque para cada punto
existen de hecho muchas posibles elecciones de coordenadas].

2. PROPIEDADES Y TIPOS DE SUPERFICIE:
Las superficies usuales son versiones curvadas del plano, de hecho son localmente
homeomorfas a él. No es extraño por tanto que varios tipos de superficies interesantes en las
aplicaciones, se definan a partir de propiedades de curvatura respecto al plano euclídeo o en
términos de isometrías. Además otros conceptos topológicos interesantes como
la orientabilidad permiten expresar formalmente ciertas propiedades de las superficies.
SUPERFICIES CERRADAS:
Intuitivamente una superficie cerrada en el espacio tridimensional es cualquier superfice
que encierra un volumen, dividiendo a dicho espacio en una región "acotada" y una región
"no acotada". En 4 o más dimensiones también existen superficies cerradas pero la noción
intuitiva anterior no es válida, ya que las superficies cerradas en más dimensiones no
dividen al espacio de esta forma.
 Puede comprobarse que en tres dimensiones una superficie sin borde encierra un
volumen, como por ejemplo la esfera y el toro o "donut", estas superficies son
además superficies orientables. De hecho todas las superficies cerradas inmersas en
el espacio tridimensional son orientables, a diferencia de lo que ocurre en más
dimensiones.
 Otras superficies cerradas más exóticas son el plano proyectivo y la botella de
Klein (definible en 4 dimensiones).
 Un disco (en ), un cilindro de altura finita o la banda de Möbius son ejemplos de
superficies con frontera. Como la imagen de la derecha.