1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS – MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS
1) Construa a matriz A= (aij)2x3 de modo que aij = 3i2 – j
− 2 se i > j

2 ) Determine a matriz B = (bij)3x3 tal que bij=  1 se i = j
 3 se i < j

3) Encontre a transposta da matriz A= (aij)3x2 tal que aij = j-2i
 i + j se i = j
4) Determine a matriz C= (cij)3x3 tal que: cij = 
− i − j se i ≠ j
5) Escreva a matriz A = (aij) nos seguintes casos:
a) A e uma matriz do tipo 3 x 4 com:
aij = -1 para i = 2j
aij = a para i ≠ 2j
b) A é uma matriz quadrada de 4a ordem com:
aij = 0 para i+j = 4
aij -1 para i+j ≠ 4
c) A é uma matriz quadrada de 3a ordem com aij = 2i +3j – 1
1 −2
1 2 −3
6) Dadas as matrizes A = e B= 3 0 determine A + 2Bt
4 5 0
4 −3
7) Determinar x e y sabendo que:
 x 2 − 1  9 − 1   x + y 2  4 x − y   0 x + 3y   0 8 
 =
a)    2x − y 0  b)  3 1  =  3 1  c)  2 5  =  2 y 2 + 1
      
 4 0           
 − 1 2 5 0 − 2 3
8) Considere as matrizes: A = 0 1 − 4  B = 1 4 − 5  , determine:
   
3 − 2 7 
  − 3 2 0
 
a) At + Bt b) (A+B)t c) Compare os resultados a) e b)
 2x − 5 0 0 
 
9) Determine x e y sabendo que A é uma matriz identidade  0 1 0 
 0 y+x 1
 
1 3  − 2 1  − 1 − 2
10) Dadas as matrizes A=   0 2  B =  0 − 3  e C=  − 3 0  encontre a matriz X tal que X + 2C = A +3B
    
     
1 −1
1 4 0
11) Dadas as matrizes: A= e B= − 1 1 , calcule:
1 −3 1
5 0
a) A . B b) B . A c) Compare os resultados a) e b) e justifique a resposta.
0 1  − 1 1
12) Se A = 
3  e B= 
  0 1  , verifique que (A .B) = B . A

t t t
 2  
1 1
13) Se A= 
−1  2
, calcule A -2A +3I
2
 1

2. 1 2  1 0   1 − 1
14) Dadas as matrizes: A=   3 4  , B =  2 3  e C =  0 1  , teste as propriedades:
    
     
a) A . (B+C) = AB + AC b) A.(B.C) = (A.B).C
 1 3 0
 − 5 8  
15) Determine a inversa da matriz A =   2 − 3  e da matriz B =  − 4 − 2 1 
   3 − 1 2
 
16) Resolva e classifique os sistemas:
 3x + 2 y + 3z = 0  − 2 x + y − 3z = 0  x + 2y − z = 1 3x − y = 5 − 2 z
   
a)  x+ y+z = 1 b)  x − y − 5 z = 2 c) 2 x − 3 y + 4 z = 2 d)  2 x + 3 y − 4 z = 2
− 2 x − 3 y + 3 z = − 5   3x − y + 3 z = 3 
 3x − 2 y − 2 z = − 3   y− z = x
3x − 4 y + kz = − 1

17) Determine o valor de k para que o sistema seja possível determinado  2 x − y − z = − 5
 x − 3y − z = − 6

 x + 2 y − mz = − 1

18) Determine os valores de m e k, de modo que seja possível e indeterminado o sistema:  3 x − y + z = 4
− 2 x + 4 y − 2 z = k

 px + y − z = 4

19) Qual o valor de p para que o sistema  x + py + z = 0 admita uma única solução.
 x− y = 2

x+ y−z = b

20) Determine os valores de a e b, de modo que o sistema seja impossível  x − y = 4
ax + y − z = 6

RESPOSTAS:
 1 3 3   2 − 3 − 4 a a a a
 2 1 0    t  −1 − 3 − 5    
1) A=  11 10 9  2) B=  − 2 1 3  3) A =  0 − 2 − 4  4) C=  − 3 4 − 5  5) a) A=  − 1 a a a 
  
   − 2 − 2 1    − 4 − 5 6 a a a a
     
 −1 −1 0 −1 
   4 7 10 
 −1 0 −1 −1     3 8 5 
b) A=   c) A=  6 9 12  6)  0 5 − 6  7) a) (x,y) = (3,2) ou (-3,-10) b) x=3 e y=1

0 −1 −1 −1  8 11 14   
   
 − 1 − 1 − 1 − 1
 
−1 1 0
 − 3 10   − 3 3
c) (2,2) ou (14,-2) 8) A +B = 0 5 0  = (A+B)t 9) x=3 e y=-3 10) X= 
t t 
 6 − 7  11) A.B=  9 − 4 
  
     
8 − 9 7 
 
 0 7 − 1
   0 − 3 1 0 
B.A=  0 − 7 1 A.B ≠ B.A (produto de matrizes não é comutativo) 12) (A .B)t=Bt.At= 
 1 5  13)  0 1
  
 5 20 0     
 
 6 7   5 1 -1  3 8  − 3 − 6 3 
14) a) A.(B+C)=AB+BC=   b) A.(B.C)=(AB).C 
 11 1 15) A =  2 5  e B =  11 2 − 1 /30
  
-1
 
14 13       10
 10 10 

16) a) Possível determinado b) Impossível c) Possível indeterminado d)Possível determinado
17) k ≠ -2 18) m=3/5 e k= -6 19) p ≠ -1 20) a=1 e b ≠ 6