1. 539pág.
5.1 Matrices y operaciones
a) Verdadero b) Falso
2. Dada la ecuación matricial
4
3
5
4
8
4
7
-38
-1
X = , hallar X.
3. a) Determine la matriz A2x2 = (aij), para la cual aij = i + j - 2.
b) Sea B =
0
0
0
-2
. ¿Es B una matriz diagonal?
c) Sea C = A + B. ¿Es C una matriz identidad?
d) Sea la matriz D3x2 = (dij), para la cual dij = 2i + 3j - 4, encuentre:
(i) DA
(ii) DB
(iii) DC
4. Determine la matriz A3x4 = (aij) , para la cual: aij =
i + j ; i ≠ j
0 ; i = j.
1. Si A y B son dos matrices cuadradas cualesquiera, entonces:
CAPÍTULO CINCO5 Ejercicios propuestos
(A + B)2
= A2
+ B2
+ 2AB
5. Sea f (x, y) = x + y; x, y ∈M3x3. Sea A =
3
2
1
2
1
1
4
-1
4
, determine:
a) f (A, AT
) b) f (AT
, A-1
) c) f (A-1
, AA-1
) d) f (A-1
, A-1
AT
)
6. Considere las siguientes matrices:
a) Hallar la matriz B - 2C.
b) Si F 2
= 9I, donde I es la matriz identidad de 2 x 2, demostrar que n=0.
c) Hallar BCT
.
d) Hallar CT
B.
B =
5
2
0
-3
-6
-1
C =
4
-3
-6
7
-1
2
F =
n 3
-n3

2. 540pág.
8. Sean las matrices A =
4 0 0
0
0
1 0
0 -1
y B =
1 1 1
0
0
1 -1
0 1
.
a) Calcule A3
- 3B2
+ 10I.
b) Verifique que (AB)T
= BT
AT
.
c) Si A =
1 -1 0
1
0
0 1
0 1
y B =
2 -1 0
0
1
1 1
1 0
, verifique que (AB)-1
= B -1
A -1
.
9. Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si y solo si A -1
= AT
.
Sea A =
0
1
0
sen(β)
0
cos(β)
0
cos(β)
-sen(β)
. Demuestre que A es ortogonal.
10. Las matrices A, B y X están dadas por:
A =
3
-5
1
6
, B =
4 8
0 -3
, X =
a b
c d
, donde a, b, c, d ∈ .
Suponiendo que: AX + X = B, encuentre los valores de a, b, c y d.
11. Sea A =
1 0
10
0
0
; B =
1 0
0
1
1
0
; C =
1 0
0
0
1
0
. Demostrar que:
Si AB = AC, no necesariamente B = C.
7. Encuentre la matriz “X ” en las siguientes ecuaciones matriciales:
12. Sea M =
a 2
2 -1
, donde a es elemento de los números enteros.
(i) Exprese M 2
en función de a.
(ii) Si M 2
es igual a
5
-4
-4
5
, encontrar el valor de a.
a)
1 2 3
4
0
1 4
-1 -2
X =
0 0
0
0
1
1
b)
0 -2 2
1
-2
3 3
1 3
X =
3 6
6
0
12
0
c) X
1 2 3
3
4
2 4
3 1
=
6
0
9
1
8
6
d) X
3 2
-1-2
=
2
-1
-1
1

3. 541pág.
13. A =
3
4
2
3
; B = (5 1 0 -3); C =
2
1
0
-4
3 1
0 -1
; D =
10 15 -5
11 10 10
. Halle:
a) AD b) AT
CT
c) CD d) CT
BT
14. Dadas las matrices A =
1
5
2
3
y B =
2
3
1
0 6
1 , compruebe que (BA)T
= AT
BT
.
15. Encontrar todas las matrices diagonales de orden dos que coinciden con
su inversa.
16. Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que A2
= 2A + I, donde I es
la matriz identidad. Demuestre que A tiene inversa y obtenerla en función
de A.
17. Dada la matriz B =
1 + m
0
0
1 - m
, encuentre los valores de m, tales que
B2
= 2B + I, y para estos valores halle la inversa de B.
5.2 Determinantes
20. Dadas las matrices: A =
1 2
01
4
3
-1
-8 0 ; B =
0 2
11
2
0
0
4
1 ; C =
0 2
24
1
3
8
4
-4
Determinar:
a) A-1
b) AB-1
c) det (AB - 2CT
)
d) det (A) + det (B) - det (C)
e) B-1
C-1
19. Hallar los valores de x elemento de los reales para que la matriz A sea
singular.
18. Se dice que dos matrices cuadradas A y B de orden n x n son semejantes,
si existe una matriz inversible P, tal que B = P -1
AP. Determine si son
semejante las matrices:
A =
1
0
2
1
y B =
1
0
0
-1
A =
2
1
|x - 2|

4. 542pág.
24) Si
8
-6-7
-2
= a
1
1-1
0
+ b
1
11
0
+ c
-2
32
1
, determine a + b + c.
21. Determinar el valor de k para que la matriz AB sea triangular superior,
donde:
23. Para las siguientes matrices:
a) Hallar el determinante de A y B.
b) Hallar AB y BA. ¿Son iguales? Que podría decir acerca de AB.
c) Hallar CD y DC. ¿Son iguales? Notar que C y D no son nulas.
25. Sabiendo que: A =
3
4-3
-2
e I =
1
10
0
, la suma de los valores de λ para
los cuales (A - λI) es una matriz singular, es:
a) 6 b) 1 c) 7 d) 5 e) -5
26. El valor de:
log2 (8)
log3 (81)
-42log2 (1
2)
-13
log2 (4) -1
es:
a) 2 b) -1 c) 1 d) -2 e) -7
Encuentre los valores de x, tales que las matrices dadas no sean inversibles.
22. Para las siguientes matrices, considere Re = .
-1 0 -2
-3 -2k2
2
-
k -k 3A =
k3
3
- k5-kB =
-2k 3-1
-2 -10 1
a) 1
x
x 1
-1
b)
ex
e2x
e3x
e-2x
c)
1
ex
0
ex
- e2x
0
0
0
0
d)
sen (x)
- cos (x)
cos (x)
sen (x)
A =
0
10
1
; B =
1
00
1
; C =
1 0
0
1
0
0
; D =
0 0
11
0
0

5. 543pág.
27. Sean A =
5 -2
7 1 , B =
6 7
5 -2 y C =
-5 0
-8 7
. Sabiendo que XA + B = C,
el det(X) es:
a) 14 b) -14 c) 19 d) -10 e) 0
28. Si Re = y p(x):
4
2
3
1
+
8x
-1
2
x
-
4 1
-2 x
= 0, entonces la suma de los
elementos de Ap(x) es:
a)
1
2
b)
3
4
c)
7
8
d)
5
7
e)
2
3
29. Dadas las matrices A y B, tales que:
sen (�
2)
cos (2�)
- cos (�)
sen (�
2)
cos (�
3)
cos (�
3)
sec (�
3)
sen (�)
sen (2�)
A = ,
log (1)
log2 (1
4)
log3 (9)
log2 (1
4)
log3 (9)
ln(e)
0
0
ln(e)
B = .
El det (AT
+ 1
2
B)es:
a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2
30. Sean las matrices A =
m h g
f e d
c b a
y B =
a
d - 3a
2g
b c
e - 3b f - 3c
2h 2m
, tal que
det(A) = 10, es verdad que:
a) det (B) = -5
b) det (B) = -20
c) det (A) det (B) = 25
d)
det(A)
det(B)
=
1
2
31. Si el determinante de la matriz A =
a b c
d e f
g h i
es n, encuentre el
determinante de las siguientes matrices:
B = 2h
4e
6b
6d
3g
9a
2f
i
3c
; C = b
e
h
a + c
g + i
d + f
c + b
i + h
f + e

6. 544pág.
32. Sea x ∈ , encuentre Ap(x) si p(x):
x + 2
x x x
1
1
1
x + 2
1
1
1
x + 2
1
1
1
x
= 0 .
33. Considere la función: f (x) =
x
b
-1
0
x
0
-2a
-1 x
0
0
3ba
0
0
-1
.
Sabiendo que: f (0) = -3 y f (1) = f (-1), determine a y b.
34. Una de las siguientes proposiciones es falsa, identifíquela:
35. Sean A =
5
1
0
3
, B =
2
0
1
4
. Encuentre:
a) det(A)
b) det(B)
c) AB
d) BA
e) Verificar que det(AB) = det(A) det(B); det(BA) = det(B) det(A).
36. Hallar α ∈ , de modo que det(A) = 1, para A =
cos(α)
1
sen(α)
cos(α)
.
37. Demostrar que:
a b + c1
b1 a + c
c1 a + b
= 0.
a) ∀a, b, c, d, k ∈ ;
ka b
kc d
= k a b
c d
b) ∀a, b, c, d ∈ ;
a b
c d
= d c
b a
c) ∀a, b, c, d, k ∈ ;
k2
a
k2
c
kb
kd
= k3 a b
c d
d) ∀a, b, c, d ∈ ;
a b
c d
= a c
b d
e) ∀a, b, c, d, k ∈ ;
ka
kc
kb
kd
= k a b
c d

7. 545pág.
39. El valor del determinante
sen (x) cos (x) sen (x)
cos (x) - sen (x)
1 + cos (x) + sen (x)
- sen (x)
cos (x)
cos (x)
sen (x)
es:
40. Demostrar que:
1 sen (a) cos (a)
1 sen (b) cos (b)
1 sen (c) cos (c)
= sen (b - c) + sen (c - a) + sen (a - b) .
43. Demostrar:
x2
y2
z2
x
y
z
1
1
1
= (y - z) (x - y) (x - z).
41. Factorizar las siguientes expresiones de x:
42. Hallar Ap(x). Considere Re = [0, �] y el predicado:
38. Usando las propiedades de los determinantes, demuestre las igualdades
siguientes, si se tiene que:
a b c
d e f
g h i
= 3.
a)
a
d
2g
b c
f
2i
e
2h
= 6 b)
c
f
b
e
i h
-a
-d
-g
= 3 c)
a - 4c b c
fe
ih
d - 4f
g - 4i
= 3
a) 1
b) -1
c) 1 + cos(x)
d) sen2
(x) + sen (x) + cos (x)
e) cos2
(x) - sen (x)
a) x + 4
x
x + 14
2x + 1
b)
-1 91
x + 1
x + 2
x 2
x + 1 x - 1
c)
-2 21
x
4x -4
3 6
p(x):
2 sen2
(2x) 2 cos (x)
3 sen (x) 1
= -1

8. 546pág.
44. Si se conoce que
x y z
5 0 3
1 1 1
= 1, encuentre el valor de
x
2x + 5
y z
2y 3 + 2z
1 + z1 + y1 + x
.
45. Si
a11
a23a22a21
a12 a13
a33a32a31
= 5, hallar el valor de 6a22
-2a32
2a12
-a31
3a21
a11
3a23
-a33
a13
.
5.3 Sistemas de ecuaciones lineales
47. Considere el sistema de ecuaciones:
a) Demuestre que el sistema no tiene solución única.
b) Halle el valor de k para que el sistema sea consistente.
c) Halle la solución general del sistema para el valor de k obtenido.
46. El determinante
a1
d1 + d2c1
b1 + b2
es equivalente a:
48. Considere la matriz: A =
0 2
-11
2
3
0
1
1 .
a) Calcule la inversa de A.
b) Calcule la inversa de AT
y la de A-1
.
c) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
a1
c1
b1
d1
+
a1
c1
b2
d2
b)
a1
c1
b1
d1
+
b1
d1
b2
d2
c)
c1
a1
d1 + d2
b1 + b2
d)
1
1
a1 + b1 + b2
c1 + d1 + d2
e)
a1
c1
b1
c1
-
a1
b2
c1
d2
x + 2y + z = k
2x + y + 4z = 6; donde k es una constante real.
x - 4y + 5z = 9
AT
y
z
x
= 0
1
4
A-1
y
z
x
= 3
-4
2

9. 547pág.
49. Encuentre dos matrices, A y B, de orden 3 x 3 con coeficientes reales,
tales que satisfagan las dos igualdades siguientes:
3A + 2B =
83
427
-2 2
-3
-3 y A - B =
10
212
-1 -3
0
-2 .
51. Considere la matriz
1 2 1
t
-1
t0
-1 t
.
a) Hallar los valores de t para que esta matriz no sea inversible.
b) Calcule su inversa para el valor o valores de t, tales que el determinante
de la matriz es 1.
52. Considere la matriz: A =
1 2 1
0
λ
1λ
-1 1
.
a) Halle los valores de λ para los que la matriz A no tiene inversa.
b) Tomando λ=1, resuelva el siguiente sistema escrito en forma
matricial:
a) Calcule los valores de α y β, sabiendo que el par ordenado P(2, -1)
satisface la primera ecuación y el par ordenado Q(2, 0) satisface la
segunda.
b) Si sustituimos estos valores de α y β calculados, ¿el sistema tiene
solución única? ¿Por qué?
50. Considere el sistema de ecuaciones:
1
β
α
1
x1
x2
=
1 - β
α
.
53. Resolver el sistema de ecuaciones matriciales:
A x2
x3
x1
= 0
0
0
3X - 2Y =
7
16
3
4
; X + 3Y =
6
-2 27
12

10. 548pág.
54. Dado el sistema:
x - 3z = 1
2x - 6z = 3
y + z = 2
, entonces es verdad que:
a) El sistema es consistente.
b) El sistema tiene solución única.
c) El sistema tiene infinitas soluciones.
d) No se puede evaluar el determinante del sistema.
e) El determinante del sistema es igual a cero.
58. Encontrar el valor, o los valores, del parámetro α que hace que el sistema
0
1
1
-2 α
-α 1
1 0
y
x
z
= 2
1
3
sea inconsistente.
57. Dado el sistema de ecuaciones: x
m + y = 2mn
x - my = m2
n
, m, n ∈ ; m ≠ 0 entonces
es verdad que:
a) El sistema no tiene solución.
b) El sistema tiene infinitas soluciones.
c) El sistema tiene solución única.
d) El valor de x e y son iguales.
e) Sólo tiene solución trivial.
55. Calcule a y b para que los siguientes sistemas sean consistentes.
56. ¿Para qué valores de m es consistente el siguiente sistema?
(m + 2)x + y +2z = 0
x + my + z = 0
2x + 2y + 2z = 0
x + ay + z = -1
y + 2z = 1
x + y - z = -a
a) 2x - y + z = 0
x - ay + bz = 0
ax - by - z = 0
b)

11. 549pág.
59. Supongamos que la matriz cuadrada A =
1
0
3
2
1
2
a
b
c
es inversible.
Demostrar que la solución del sistema: A x2
x3
x1
= 1
-1
1
verifica que x3 = 0.
60. Sean las matrices: A =
5
1 + λ
3
-2
y B = 2
-2
+ t
4
1
. Encuentre los
valores de λ y t para que A = B.
61. Resuelva los siguientes sistemas:
62. Encuentre el valor de a para que el siguiente sistema no tenga solución.
63. Si se conoce que (1, 1, 1, 1, 1) y (3, 3, 3, 3, 3) son soluciones de un sistema
de ecuaciones lineales con m ecuaciones y 5 incógnitas, determine el valor
de verdad de las siguientes proposiciones:
a) El sistema debe ser homogéneo.
b) (2, 2, 2, 2, 2) también es una solución del sistema.
c) m debe ser igual a 5.
d) La información dada es insuficiente para encontrar más soluciones.
e) No existe un sistema de ecuaciones lineales que satisfaga las condiciones
dadas.
x1 + 2x2 + x3 = 8
x2 + 3x3 + x4 = 15
4x1 + x3 + x4 = 11
x1 + x2 + 5x4 = 23
a)
x1 - x2 + x3 - x4 = - 2
x1 + 2x2 - 2x3 - x4 = - 5
2x1 + x2 - 3x3 + 2x4 = - 1
x1 + 2x2 + 3x3 - 6x4 = - 10
b)
6x1 - 5x2 + 7x3 + 8x4 = 3
3x1 + 11x2 + 2x3 + 4x4 = 6
3x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1
x1 + x2 + x3 = 0
c) d)
1 2
-13
2 -1
x
y
+ 2
1
-1
z =
3
-3
-2
x + 3y + 2z = 5
x + y + z = 2
2x + 3y + (a2
- 1) z = a + 1

12. 550pág.
64. Respecto al siguiente sistema de ecuaciones lineales
- x1 + x2 + 2x3 = 0
ax1 - x2 + x3 = 0
3x1 + 2x2 - x3 = 0
, a ∈ , es falso que:
a) El sistema siempre tiene solución.
b) El valor de a para que el sistema tenga sólo solución trivial debe ser
diferente de -2.
c) Para que el sistema tenga solución, a ∈ .
d) Si a = -2 , el sistema tiene infinitas soluciones.
e) El sistema dado es inconsistente.
65. Para qué valores de “m” es consistente el sistema:
5.4 Sistemas de ecuaciones no lineales
67. Resolver los siguientes sistemas. Considere x, y (0,2π) .
66. Hallar la solución de los siguientes sistemas:
- mx + y - z = 1
2mx + y - z = 0
- my + z = 2m
mx = 1
b)x + my + z = 0
(m - 2)x + y + 2z = 0
2x + 2y + 2z = 0
a) - x + y + mz = 0
(m - 1)x - 2y = 2
- y + 2z = m
c)
3y - x
= 9
3x + y
= 81
a)
22x+1
- 32y
= 23
2x
+ 3y
= 7
d)
log(x) + log(y) = 3
x + y = 110
g)
3y - x
= 3
3x
+ 3y
= 36
b)
3x - 2y
= 3
22x - y
= 32
e)
log2(x) - log2(y) = 1
log2(x - y) = 2
h)
2x + y
= 64
2x
+ 2y
= 20
c)
2x -1
2y +1
= 26
3x
9y
= 38
f)
y - 4x = 0
log(x) + log(y) = 4
i)
cos(x - y) = 1
sen(x) + sen(y) = 1
a)
sen(x + y) = 1
cos(x) tan(x) = 2
√3
b)
cos(x) cos(y) = 3
4
sen(x) sen(y) = 1
4c)
sen(x) + sen(y) = 3
2
x + y = 2�
3d)
x - y = �
6
sen(x) sen(y) = cos(x) cos(y)
e)
sen(x) + sen(y) = 3
2
sen(x) + cos(y) = 1
2f)

13. 551pág.
5.5 Sistemas de inecuaciones lineales
72. Para el siguiente sistema de desigualdades:
a) El punto de intersección entre 5x + 3y = 105 y 2x + 4y = 70.
b) La representación en un plano cartesiano de las condiciones del sistema.
c) La región factible.
2x + 4y ≤ 70
5x + 3y ≤ 105
x ≥ 0
y ≥ 0
, determine:
69. Un hombre y su hijo trabajando juntos pueden hacer una obra en 12 días.
Trabajando separadamente el hijo tardaría 7 días más que el padre en
hacer él solo la obra, ¿cuánto tiempo tardará cada uno trabajando por su
cuenta?
70. Dos resistencias conectadas en serie dan una resistencia total de 25
ohmios (Ω) y conectadas en paralelo dan una resistencia equivalente de
6 Ω. ¿Cuántos ohmios tiene cada resistencia separadamente? [Si r1 y r2
son los ohmios que tiene cada resistencia, R es la resistencia total cuando
se conectan en serie y r la resistencia equivalente cuando se conectan en
paralelo, se sabe que r1 + r2 = R y que 1
r1
+ 1
r2
= 1
r
].
71. Hallar la solución de los siguientes sistemas:
68. La demanda para los bienes producidos por una industria están dados
por la ecuación p2
+ x2
= 169, donde p es el precio y x es la cantidad
demandada. La oferta está dada por p = x + 7, el punto de intersección
de la demanda y oferta se lo conoce como punto de equilibrio, entonces
el precio de equilibrio es:
a) 5 b) 12 c) 22 d) 19 e) 17
x2
- 3xy - 2y2
= 8
3x2 - 2xy = 160
g)
x2
+ 2y2
= 11
2x2
- 3y2
= 15
a)
xy = 10
x2
+ y2
= 29
d)
5x2
- 7xy - 6y2
= 0
3x2
- 8xy + 4y2
= 0
f)
xy + 24 =
x3
y
xy - 6 =
y3
xe)
xy + y2
= - 4
x2
+ 3xy = - 8
c)
x + y = 1
x2
+ y2
= 25
b)

14. 552pág.
Entonces, uno de los siguientes sistemas de desigualdades lineales
representa la región sombreada, identifíquelo:
P≤80-Q
P≤Q
Q ≤20
a) P≤80-Q
P≥Q
Q ≥20
b) P≤80-Q
P≥Q
Q ≤20
c) P≤80 +Q
P≥Q
Q ≥20
d) P≤80+Q
P≤Q
Q ≥20
e)
73. Una máquina puede fabricar cajas de tornillos o cajas de pernos. Puede
funcionar durante un máximo de 80 horas semanales. Lleva una hora
en fabricar una caja. La máquina debe fabricar no menos de 20 cajas
de tornillos por semana. El número de cajas de pernos P no debe ser
menor que el número de cajas de tornillos Q. El punto T es (40, 40). Esta
información aparece en el diagrama adjunto.
P
T
Q
80
60
40
20
20 40 60 800
74. Para el gráfico adjunto, identificar el sistema que lo representa y encontrar
los vértices de la región sombreada.
y
6
x420-2-4
-2
-4
2
4

15. 553pág.
75. Resolver los sistemas de inecuaciones lineales siguientes, encontrando los
vértices de su región solución.
5.6 Sistemas de inecuaciones no lineales
76. La región del plano cartesiano que corresponde al conjunto solución del
sistema de desigualdades:
y ≥ | x |
x2
+ y2
≤ 9
y + x2
≥ 0
, es un subconjunto de los cuadrantes:
a) I y IV b) II y IV c) II y III d) I y III e) I y II
77. Graficar la región solución del sistema:
y ≥ x2
- 4x - 5
x - y ≥ 0
.
2x - y - 9 ≥ 0
2x + 3y ≥ - 3
2x - 5y + 5 ≥ 0
a) 2x - y - 9 ≥ 0
2x + 3y ≥ - 3
2x - 5y - 5 ≥ 0
b) 2x - y - 9 ≤ 0
2x + 3y ≥ - 3
2x - 5y - 5 ≥ 0
c)
2x - y - 9 ≥ 0
2x + 3y ≤ - 3
2x - 5y - 5 ≤ 0
d) 2x - y - 9 ≤ 0
2x + 3y ≤ - 3
2x - 5y - 5 ≤ 0
e)
6x + 8y ≤ 120
5x + 15y ≤ 150
x ≥ 0
y ≥ 0
a)
9x + 8y ≥ 0
x + 3y ≥ 50
x ≥ 0
y ≥ 0
b)
3x + 4y ≥ 60
x + 3y ≤ 12
2x + y ≤ 10
0 ≤ x ≤ 8
0 ≤ y ≤ 2
c)
2x + 3y ≥ 36
x + y ≥ 14
4x + y ≥ 16
x - 3y ≥ 0
d)
y ≤ x + 3
x + y ≥ 5
y + 2x ≤ 16
4y - x ≤ 22
e)
3y + x ≥ -1
y ≥ 0
x ≥ 0
x + y ≤ 10
2x + y ≥ 3
f)
x + y ≥ 2

16. 554pág.
a) En el I y II cuadrante del plano cartesiano.
b) En el II y III cuadrante del plano cartesiano.
c) Sólo en el II cuadrante del plano cartesiano.
d) Sólo en el I cuadrante del plano cartesiano.
e) En todos los cuadrantes del plano cartesiano.
81. Si Rex = Rey = y p(x, y) es la conjunción de los siguientes predicados
y ≥ x2
+ 1
x + y < 2
y - x > 2
, entonces Ap(x, y) tiene elementos:
80. Si p(x, y):
y ≥ x2
- 2x
y > 1 − | x - 1|
, x ∈ , y ∈ , entonces es verdad que:
79. En los siguientes ejercicios, haga la gráfica del conjunto solución de cada
sistema de desigualdades dado:
ex-3
≤ y
log2(x - 2) ≥ y
a)
2x-3
≤ y
log1
2
(x - 2) ≤ y
b)
ex-3
≥ y
log3(x - 2) ≥ y
c)
2x-3
≤ y
log1
2
(x - 2) ≥ y
d)
ex-3
≥ y
log1
2
(x - 2) ≥ y
e)
xy ≥ 4
y ≥ x2
+ 1
a) y + x > 0
y < log2 (x)
y < 4 - x2
b)
a) Ap(x, y) ⊆ {(x, y)/x ≥0, y ≥0}
b) (1, 3) ∉ Ap(x, y)
c) (1, 1) ∈ Ap(x, y)
d) Ap(x, y) ⊆ {(x, y)/x >0, y ∈ }
e) Ap(x, y) ⊆ {(x, y)/x ∈ , y >0}
78. La región sombreada en el plano cartesiano adjunto, representa el conjunto
solución del sistema de desigualdades dado por:
y
x
1.5
1
0.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5