![1-) A=
13107
1185
2-) B=
13
12
1
2
3
3
2
3
1
2
1
3-) C=
17
10
5
2
4-) D=[ ]210 −−
5-) A=
−
−−
222
222
122
112
9-) a-)
−
−
=
42
11
At
b-) –A=
−−
41
21
10-) a = 3, b = 2 e x = 1
11-) a = 1 e b = 1
12-) x = 81 e y= 3±
13-) m = -2 n = 4 e p = -3
14-) a = 2, b = 1, x = 1 e y = 1
15-) a-) x = 8 e y = 5±
b-) x = 5
7
e y = 15
11
2ª PARTE
1-) Sendo A=
3
2
1
0
4
1
e B=
−124
103
, calcule:
a-) A + B b-) A – B c-) B – A
2-) Calcule x, y e z, tais que
=
−
− 04
z23
17
71
1yx
zx2
.
3-) Sendo A=( ) 2x3ija , onde ija =2i-j, e B=( ) 2x3ijb , com ijb = ,ji2
+ calcule:
a-) A – B b-) B – A c-) ( )t
BA +
4-) Verifique experimentalmente que, se A e B são matrizes do mesmo tipo, então ( ) ttt
BABA +=+ .
Sugestão: Considere A e B as matrizes encontradas no exercício 3.
5-) Sendo A=
20
02
e
=
30
03
B , determinar as matrizes X e Y, tais que: X + Y = A + B e 2X – Y = A
– B.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 1. EXERCÍCIOS MATRIZES 1ª PARTE 1-) Escreva a matriz A=( ) 3x2ija , onde ija =2i+3j 2-) Escreva a matriz B=( ) 3x3ijb , onde ijb = j i . 3-) Escreva a matriz C=( ) 1x4ijc , onde jic 2 ij += . 4-) Escreva a matriz D= ( ) 3x1ijd , onde ijd = i – j. 5-) Escreva a matriz A= ( ) 3x4ija , onde <− ≥ = jise,1 jise,2 aij 6-) Escreva a matriz A= ( ) 3x3ija , onde ≠ =+ = jise,0 jise,ji aij 7-) Escreva a matriz A= ( ) 3x2ija , onde <− ≥+ = jise,ji jise,ji2 aij 8-) Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal. Determine o traço de cada uma das matrizes A = −− −= 101 532 102 Be 34 21 . 9-) Dada a matriz A= −− 41 21 , determinar: a-) a transposta de A b-) a oposta de A 10-) Dadas as matrizes A= 3a 21 e = 3b 3x B , determinar a, b e x para que A= t B . 11-) Determinar os valores de a e b, tais que: + + = + + 3a 2b 3b 1a2 12-) Determine x e y na igualdade: = 5 9 4 5 y xlog 2 3 13-) Seja A=( ) 3x2ija , onde ija =i + j. Determine m, n e p em B= −− + 5p2m1n 43nm a fim de que tenhamos A=B. 14-) Determine a, b, x e y, tais que: . 11 23 yx2ba yxba = −− ++ 15-) Determine x e y, tais que: a-) . 64 5 3 x y xlog 2 2 = b-) . y2x51 05 71 0y3x2 + = + RESPOSTAS 6-) A= 600 040 002 7-) − −− = 165 213 A 8-) trA = 4 e trB = 4
- 2. 1-) A= 13107 1185 2-) B= 13 12 1 2 3 3 2 3 1 2 1 3-) C= 17 10 5 2 4-) D=[ ]210 −− 5-) A= − −− 222 222 122 112 9-) a-) − − = 42 11 At b-) –A= −− 41 21 10-) a = 3, b = 2 e x = 1 11-) a = 1 e b = 1 12-) x = 81 e y= 3± 13-) m = -2 n = 4 e p = -3 14-) a = 2, b = 1, x = 1 e y = 1 15-) a-) x = 8 e y = 5± b-) x = 5 7 e y = 15 11 2ª PARTE 1-) Sendo A= 3 2 1 0 4 1 e B= −124 103 , calcule: a-) A + B b-) A – B c-) B – A 2-) Calcule x, y e z, tais que = − − 04 z23 17 71 1yx zx2 . 3-) Sendo A=( ) 2x3ija , onde ija =2i-j, e B=( ) 2x3ijb , com ijb = ,ji2 + calcule: a-) A – B b-) B – A c-) ( )t BA + 4-) Verifique experimentalmente que, se A e B são matrizes do mesmo tipo, então ( ) ttt BABA +=+ . Sugestão: Considere A e B as matrizes encontradas no exercício 3. 5-) Sendo A= 20 02 e = 30 03 B , determinar as matrizes X e Y, tais que: X + Y = A + B e 2X – Y = A – B.
- 3. 6-) Dadas as matrizes A= 10 32 , = 23 40 B e C= 180 1415 calcule: a-) 3.(A – B) + 3.(B – C) + 3.(C – A) b-) 2.(A - B) – 3.(B – C) – 3.C c-) a matriz X, tal que 3.(X – A) + 2.B = 4.(X – A + 2.C) 7-) Sendo A= 0 3 2 e B= − 2 0 1 , determine as matrizes X e Y, tais que 3X – Y = 2A – B e X + Y = A – B 8-) Determine a relação existente entre as matrizes A= 3 1 4 0 2 3 e B= − − − − − 3 4 2 1 0 3 . 9-) Sendo a matriz A= 320 y43 c32 simétrica, determine c e y. 10-) Sendo A=( ) 2x2ija , onde ija =2i-j, e B=( ) 2x2ijb , com ijb = ij − , determine X tal que 3A + 2X = 3B. 11-) Sendo A= − 23 12 e − − = 11 10 B , calcule as matrizes X e Y no sistema =+ =+ AY2X3 BY3X2 . 12-) Sendo A= − 112 010 321 e B=-2A, determine a matriz X, tal que B 2 1 A3X2 =− 13-) Dadas as matrizes A=( ) 4x6ija , tal que ija = i - j, B=( ) 5x4ijb , tal que com ijb = ij − e C = AB, determine o elemento 42c . 14-) Sendo A= 21 22 , calcule 2 2 I5A4A −+ . 15-) Determine a matriz X, tal que 16-) Dadas as matrizes A= − −− − = −− − −− 531 531 531 B, 431 541 532 3x3 e C= −− − −− 321 431 422 . Calcule: a-) A.B b-) B.A c-) A.C d-) C.A
- 4. 17-) (UFPA) A matriz A= ( ) 3x3ija é definida de tal modoque = ≠− = + jise,0 jise,)1( a ji ij . Então, A é igual a: a-) − −− − 011 101 110 b-) −− 101 011 001 c-) − − 011 101 110 d-) − − 100 010 001 e-) − −− 011 101 110 18-) (PUC-SP) Dadas as matrizes A= ( )ija e B= ( )ijb , quadradas de ordem 2, com j3i4bej4i3a ijij −−=+= , se C=A + B, então 2 C é igual a: a-) 10 01 b-) − − 10 01 c-) 01 10 d-) − − 01 10 e-) 11 11 ( )t AB.AA2X −=+ , sendo A= 10 12 e B= 01 21 . 19-) Verifique se B= 2x23 1 3 2 2 1 0 − é inversa de A= −34 02 20-) Determinar, se existir, 1 A− em cada caso: a-) A= 10 01 b-) A= −12 32 . 11 01 21-) Sendo A= 43 21 , calcule ( ) 11 A −− . 22-) As matrizes A, B e C são invertíveis e de mesma ordem 2. Sendo B. 2 1 IA =− e C.B = A, determine C e 1 C− . 23-) (MACK) A é uma matriz mxn e B é uma matriz mxp. A afirmação falsa é: a-) A + B existe se, e somente se, n = p b-) A= t A implica m = n ( t A = transposta de A) c-) A.B existe se, e somente se, n = p d-) A. t B existe se, e somente se, n = p e-) t A .B sempre existe
- 5. Respostas 1) a) 2 3 3 0 8 4 b) − − 4 1 1 0 0 2 c) − − 4 1 1 0 0 2 2) x=2, y=-9 e z=-7 3) a) − − − − − − 7 4 3 5 2 1 b) 7 4 3 5 2 1 c) 15 15 8 8 3 3 4) ------------- 5) X= 3 4 3 4 0 0 e Y= 3 11 3 11 0 0 6) a) 00 00 b) −− − 815 144 c) − −− 1396 101118 7) X= 1 2 4 9 e Y= −1 1 4 3 8) A= t B− 9) c=0 e y=2 10) X= −− − 36 2 3 2 3 11) X= − 5 4 5 11 5 1 5 6 e Y= −− −− 5 1 5 9 5 1 5 4 12) X= − 112 010 321 13) 2 14) 98 169 15) X= − −− 33 13 16) a) 000 000 000 b) 000 000 000 c) AC= A d) CA= C 17) alternativa a) 18) alternativa b) 19) Sim, B é inversa de A 20) a) 10 01 b) − 8 5 8 1 8 3 8 1 21) A inversa da inversa de uma matriz A é a própria matriz A. 22) C= 2 1 IC =− 23) Alternativa c)
- 6. Respostas 1) a) 2 3 3 0 8 4 b) − − 4 1 1 0 0 2 c) − − 4 1 1 0 0 2 2) x=2, y=-9 e z=-7 3) a) − − − − − − 7 4 3 5 2 1 b) 7 4 3 5 2 1 c) 15 15 8 8 3 3 4) ------------- 5) X= 3 4 3 4 0 0 e Y= 3 11 3 11 0 0 6) a) 00 00 b) −− − 815 144 c) − −− 1396 101118 7) X= 1 2 4 9 e Y= −1 1 4 3 8) A= t B− 9) c=0 e y=2 10) X= −− − 36 2 3 2 3 11) X= − 5 4 5 11 5 1 5 6 e Y= −− −− 5 1 5 9 5 1 5 4 12) X= − 112 010 321 13) 2 14) 98 169 15) X= − −− 33 13 16) a) 000 000 000 b) 000 000 000 c) AC= A d) CA= C 17) alternativa a) 18) alternativa b) 19) Sim, B é inversa de A 20) a) 10 01 b) − 8 5 8 1 8 3 8 1 21) A inversa da inversa de uma matriz A é a própria matriz A. 22) C= 2 1 IC =− 23) Alternativa c)