1. Nueva Metodología para Determinar los Grupos de Conexión de Transformadores
Transformadores
METODOLOGÍA
GENERALIZADA PARA
DETERMINAR LOS GRUPOS DE
CONEXIÓN
Las reglas de formación de los
voltajes inducidos en los
devanados del transformador
son básicas para la metodología
desarrollada.
PALABRAS CLAVES
Transformador trifásico, grupos
de conexión, puesta en paralelo.
ABSTRACT
In this paper, a generalized
methodology for determining the
connection group of three-phase
transformers is shown. This is
done from the physical
connection of the windings. The
developed methodology is also
RESUMEN useful to determine the
• Eduardo Marlés Sáenz. connection of the windings
M.Sc. En este artículo se presenta una during the implementation stage
Profesor Auxiliar metodología generalizada para la of the designs. The methodology
Universidad del Valle, determinación del grupo de was verified with the 26
Cali, Colombia. conexión de transformadores normalized connection types and
trifásicos de dos devanados. with other proposed cases in this
Esto se logra a partir de la paper. The rules of the induced
conexión física de los voltages formation in the
devanados. La metodología windings are basic to the
developed methodology.
Grupo de Investigación desarrollada también es útil para
GRALTA. determinar el conexionado de las
www.gralta.univalle.edu.co bobinas durante la etapa de KEYWORDS:
implementación de los diseños.
La metodología se verificó con Three-phase transformer, groups
los 26 tipos de conexiones of connection, putting in parallel.
normalizados, y con otros casos
propuestos en este documento.
1

2. 1. INTRODUCCIÓN -Según la metodología del índice horario
(metodología del reloj, ver figura 1), i puede tomar
Por razones económicas o técnicas es necesario los valores: 0/12, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11
alimentar una carga con dos o más (conexiones con i = 3, 9 no se hacen).
transformadores operando en paralelo, para lo
cual se verifica que los transformadores sean del 0/12 wt
11 1
mismo grupo de conexión -. También es necesario
determinar, el tipo de conexión en los casos 10 A.T 2
cuando no se dispone de los datos en la placa
9 B.T
característica del transformador en reparación, 3
mantenimiento ó en situaciones en donde hay que
8 4
lograr la implementación de las adecuadas
protecciones eléctricas diferenciales, con el 7 5
6
requerimiento de bancos trifásicos de
transformadores de medida para la compensación
por desplazamiento de fase [4]. Figura 1 Ubicación de los índices de los tipos de
transformador bajo la metodología del reloj.
Para determinar el grupo de conexión de los
transformadores trifásicos, actualmente las normas -Los subíndices impares se obtienen cuando
que plantean los procedimientos correspondientes, aparece una sola conexión en estrella en alguno
hacen uso del método del diagrama fasorial y la de los dos lados del transformador, estas
verificación de relaciones establecidas entre los conexiones son: Yd, Dy, Yz. En los demás casos
valores de voltaje medidos −. Los métodos el índice resulta par.
propuestos por estas normas no presentan
ninguna verificación para los grupos de conexión - La conexión en Z de los devanados se utilizan
III y IV, ni tampoco justifican el porqué de las para el secundario, donde las fases constan de
conexiones de los tipos actualmente normalizados. dos semifases de N2/2 espiras.
Esta nueva metodología podrá ser usada tanto -El índice (ángulo de desplazamiento) se obtiene
para labores académicas como en la fabricación midiendo el barrido angular en el sentido de las
de los devanados de transformadores trifásicos manecillas del reloj entre vectores de f.e.m de
fase, desde el vector de una fase de A.T. hasta el
vector de la misma fase de B.T. que en la
2. GRUPOS DE CONEXIÓN DE metodología éste último se considera está en
TRANSFORMADORES TRIFASICOS atraso, como se muestra en la figura 1
Los grupos de conexión constituyen 26 tipos
posibles, para transformadores trifásicos de dos 3. METODOLOGIA PARA LA CONSTRUCCIÓN
devanados por fase. Todas las bobinas de cada DEL TIPO DE CONEXIÓN
lado del transformador trifásico (B.T. o A.T.)
pueden ser conectadas en y (estrella), d (delta) o A continuación se definen algunas reglas y
en z (conexión z). consideraciones que caracterizan la formación de
los voltajes para cada uno de los grupos de
La norma UNE-EN 60076-1:1998 establece los conexión, en los devanados primario y secundario.
posibles tipos de conexión para cada grupo.
3.1 Consideraciones sobre la formación e
interpretación de los voltajes inducidos en
2.1 Nomenclatura para la notación de los los devanados ( f.e.m )
grupo de conexión
-El voltaje de fase en N1 espiras, es la magnitud
-Un transformador con nomenclatura Ydi, posee el del valor de la fuerza electromotriz primaria (f.e.m)
devanado de alta tensión (A.T.) conectado en autoinducida por la excitación únicamente de la
estrella y el devanado de baja tensión (B.T.) propia fase, con el sentido que se muestra en la
conectado en delta con un desfase de i x 30° figura 3(a). Proporcional al voltaje primario VAX se
eléctricos entre los vectores de fase de f.e.m ′
induce un voltaje secundario VAX .
primaria y secundaria.

3. -Se asume para cada fase que si los devanados
(a) A
f.e.m eAX de A.T. y B.T. están ubicados en una misma
autoinducida Voltaje
sobre N de fase pierna, con igual polaridad, para un - flujo máximo
VAX = |eAX |
espiras se induce la f.e.m de fase de alta tensión y en
X
baja tensión la f.e.m de fase . con orientación que
núcleo
Voltaje de línea VAB =|eAB |
se muestra en la figura 3(a).
(b)
A B
N 3.3 Reglas para implementar la metodología en
espiras
la construcción de cada tipo de conexión
X
Y
núcleo núcleo - Hacer coincidir el diagrama del reloj con el
diagrama fasorial, quedando ambos superpuestos.
Figura 2 Conceptualización de los voltajes de fase y de -Iniciar el diagrama fasorial pintando el vector de
línea en relación con las f.e.m autoinducidas.
A.T. de la fase bajo estudio en la posición 0/12.
Por ejemplo para la fase A, secuencia ABC, la
-El voltaje de línea (sobre NAX espiras de una fase)
f.e.m A-X está a 0° eléctricos, los vectores para
es el valor de la f.e.m resultante debido a los
las demás fases se dibujan respetando la
amperes - vueltas de dos fases, y se determina de
secuencia. Figura 4(a).
la diferencia fasorial de las dos f.e.m de fase que
están aplicadas a los extremos de las NAX espiras
-Asumir que los vectores de las tensiones de línea
como se muestra en la figura 2(b). Proporcional al
rotan en el sentido de giro en wt si para una
voltaje primario VAB se induce un voltaje secuencia definida constituyen un triángulo
′
secundario VAB . equilátero sobre los vectores de las f.e.m de fase,
cerrando en contra del giro de las manecillas del
reloj y tienen la secuencia de las f.e.m de fase,
3.2 Consideraciones para la presentación figura 4(b). En caso contrario rotan en contra del
esquemática de los devanados sentido de giro en wt como se muestra en la
figura 5(b).
-Los principios de los terminales de las bobinas de
alta tensión se rotulan con las letras mayúsculas (a)
A
(b)
A
wt wt
A,B,C ó U,V,W y los finales con X, Y, Z. Figura VCA VAB
3(a). Y Z Y Z
-De manera normalizada, independientemente del X X
C B C VBC B
tipo de conexionado del transformador, los
terminal de
A
conexionados del primario toman la alimentación salida
c 1x30°
de la red por los principios de bobina A, B, C ó U, (c)
y
az a
V, W. x
vector
auxiliar de
salida
-Los principios de los terminales de las bobinas de x
baja tensión se rotulan con las letras minúsculas bx
a,b,c ó u,v,w y los finales con x, y, z..
Figura 4. Sentido de giro y cierre de tensiones de línea
(a) A B C (b) (a)y(b) En el lado primario (A.T) (c) En el lado
secundario (B.T).
f.e.m
eAX
X Y Z
X U u x -Los terminales de salida de los devanados
a b c Y V v y
Z z
secundarios en cada tipo, quedan definidos por el
W w
f.e.m rótulo superior del vector auxiliar de f.e.m de
eax = e` AX salida, el cual se obtiene pintando una línea
x y z vertical al lado derecho de la estrella de f.e.m
secundaria. El sentido de ésta f.e.m auxiliar (hacia
Figura 3. Posición relativa entre los devanados de A.T arriba o hacia abajo) se obtiene proyectando la
respecto a los devanados de B.T. (a) Esquema f.e.m de la fase estudiada, por ejemplo el vector
convencional. (b) Esquema normalizado. auxiliar de f.e.m de salida presentado en la figura

4. 4(c) corresponde a la proyección del vector de la esta clase pues no representan ni atraso ni
fase A, y su mayor potencial está definido por el de adelanto), los vectores de las tensiones de línea
la misma fase. de la delta se deben cerrar en el sentido de giro de
-La letra superior en el vector de f.e.m auxiliar wt como se muestra en la figura 6(a). Para otro
indica si el devanado secundario del tipo se debe cerrar en sentido contrario, como se
transformador tendrá sus terminales de salida por muestra en la figura 6(b). Los extremos de cada
principios ó finales de bobina. En la figura 4(c), el vector de línea se deben rotular, el uno con la letra
vector de f.e.m auxiliar indica que los principios de de la fase que le impone el mayor potencial y el
bobina son los terminales de salida a bornes, en el otro con la letra del menor potencial de la misma
secundario del transformador, tanto para la fase A fase. Al final el doble rotulo en cada extremo de la
como para las otras fases. delta indicará los terminales de las bobinas que
deben conectarse físicamente.
-Para determinar el sentido adecuado de cierre de
las deltas primarias se toma como indicadores de Para la delta: A B C
AZ
vectores en adelanto, respecto a la referencia 0° (a) wt
Es tipo 11 ó 5?. Sí.
(índice 0/12) así, los índices 11 ó 5 para índice VCA VAB Entoces la delta se
cierra en el sentido de
impar y 10 ó 4 incluyendo 0/12, 6, para índice par. Y Z
giro de wt (sentido de
X
Para determinar el sentido adecuado de cierre de Y
C BX
la red). X Y Z
las deltas secundarias se toma como indicadores VBC
Unir: AZ, BX, CY a b c
de vectores en atraso, respecto a la referencia 0° 11
(índice 0/12), los índices 1 ó 7(para índice impar), Inicialmente el
conexionado para el
2 ó 8 incluyendo 0/12, 6 (para índice par). 5 devanado secundario
no se tiene en cuenta.
x y z
AY wt A B C
(b) Para la delta:
3.4 Implementación de la metodología en la
VAC VBA Es tipo 11 ó 5?. No.
construcción de cada tipo de conexión Y Z Entonces
X
la delta se cierra en contra
X del sentido de giro de wt .
A continuación se indica cómo se deben conectar C
VCB Z
B ( sentido de la red). X Y Z
los devanados, de manera independiente en cada 11 Unir: AY, BZ, CX
a b c
lado del transformador, para lograr obtener el tipo
Inicialmente el
de conexión deseado. 5 conexionado para el
devanado secundario no
se tiene en cuenta.
• Cierre de las deltas primarias para tipos
x y z
impares
Si el transformador Dy es del tipo con índice 11 ó Figura 5. Conexionado del devanado primario y sentido
5, los vectores de las tensiones de línea de la delta de las tensiones de línea primarias. (a) Tipos 11 ó 5. (b)
se deben cerrar en el sentido de giro de wt como Tipos 1 ó 7.
se muestra en la figura 5(a). Para otro tipo se debe
cerrar en sentido contrario, como se muestra en la • Cierre de las deltas secundarias para tipos
figura 5(b). Los extremos de cada vector de línea impar
se deben rotular, el uno con la letra de la fase que
le impone el mayor potencial y el otro con la letra Si el transformador Yd es del tipo con índice 1 ó 7,
del menor potencial de la misma fase. Al final el los vectores de las tensiones de línea de la delta
doble rotulo en cada extremo de la delta indicará se deben cerrar en el sentido de giro hacia donde
los terminales de las bobinas que deben apunta el vector auxiliar de f.e.m de salida como
conectarse físicamente. Se debe observar que los se muestra en la figura 7(a). Para otro tipo se debe
finales de las bobinas de una fase quedan cerrar en sentido contrario, como se muestra en
conectados con los principios de las bobinas de la figura 7(b). Los extremos de cada vector de
otra fase. línea se deben rotular, el uno con la letra de la
fase que le impone el mayor potencial y el otro con
• Cierre de las deltas primarias para tipos la letra del menor potencial de la misma fase. Al
pares final el doble rotulo en cada extremo de la delta
indicará los terminales de las bobinas que deben
Si el transformador Dd ó Dz, es del tipo con índice conectarse físicamente.
10 ó 4 (Los tipos 0/12, 6 deben ser incluidos en

5. • Cierre de las deltas secundarias para tipos vector de la f.e.m auxiliar indica que la salida es
par
(a)
a (salida) A B C
Si el transformador Dd ó Dz, es del tipo con índice cy
y
az
Inicialmente el
2 ó 8, los vectores de las tensiones de línea de la x z Vab conexionado para el
devanado primario no se
delta se deben cerrar en el sentido de giro hacia tiene en cuenta
donde apunta el vector auxiliar de f.e.m de salida b x x
X Y Z
como se muestra en la figura 8(a). Incluya en este Para la delta: a b c
caso los tipos 0/12, 6 porque sus índices no 1
Es tipo 1 ó 7?. Si.
representan ni atraso ni adelanto. Para otro tipo se Entonces la delta se cierra
7 en el sentido del vector
debe cerrar en sentido contrario, como se auxiliar de f.e.m.
muestra en la figura 8(b). Los extremos de cada Unir a-z, b-x, c-y.
(b) x y z
a y b z
a (salida)
vector de línea se deben rotular, el uno con la letra z Inicialmente el
A B C
y x
de la fase que le impone el mayor potencial y el conexionado para el
devanado primario no
se tiene en cuenta
c x
(a) A Z
Para la delta:
A B C x Para la delta: X Y Z
wt a b c
VCA VAB Es tipo 1 ó 7?. No.
Es tipo 10 ó 4(se 1
Entonces la delta se
Y Z incluyen 0/12,6)?. Sí.
cierra en el sentido
X
Entonces la delta se
contrario del vector
cierra en el sentido de wt 7
C Y X Y Z auxiliar de f.e.m.
VBC B X (sentido de la red).
Unir a-y, b-z, c-x. x y z
Unir: A-Z, B-X, C-Y a b c
0/12
Inicialmente el
10
conexionado para el
4 devanado secundario no Figura 7. Sentido de las tensiones de línea secundarias
6 se tiene en cuenta
y cierre de los conexionados. (a) Tipos 1 ó 7. (b) Tipos
Para la delta: x y z
11 ó 5.
(b) A Y A B C
wt Es tipo 10 ó 4(se
VAC VBA
incluyen 0/12,6)?. No. por principios de bobina, como se muestra en la
Entonces la delta se
Y Z cierra en contra del figura 9(b) ( para tipos normalizados 1, 11, 0/12).
X sentido de wt (sentido de
la red). X Y Z
En caso contrario se conectarán todos los
CX VCB B Z Unir: A-Y, B-Z, C-X
a b c
principios de bobina, como se muestra en la figura
0/12 Inicialmente el 9(c) (para los tipos normalizados 5, 6, 7).
10 conexionado para el
devanado secundario no
4
se tiene en cuenta
6 (a) (salida) A B C
cy a z a
x y z y Inicialmente el
x z conexionado para el
Vab devanado primario no se
tiene en cuenta
Figura 6. Sentido de las tensiones de línea primarias y
Para la delta:
cierre de los conexionados. (a) Tipos 10 ó 4, 0/12 ó 6. b x X Y Z
x Es tipo 2 ó 8? (incluye a b c
(b) Tipos 2 ó 8. 0/12
2 0/12, 6). Si. Entonces la
delta se cierra en el
8 sentido del vector
otro con la letra del menor potencial de la misma 6 auxiliar de f.e.m(salida).
fase. Al final el doble rotulo en cada extremo de la Unir a-z, b-x, c-y. x y z
delta indicará los terminales de las bobinas que (b)y
a A B C
(salida)
deben conectarse físicamente z
b z a
Inicialmente el
y x conexionado para el
Vab
• Conexionado de la Y primarias. devanado primario no
se tiene en cuenta
X Y Z
x Para la delta:
c x
Para cualquier tipo de conexionado que involucre a b c
0/12 Es tipo 2 ó 8? (incluye 0/
una Y primaria, ésta será obtenida conectando los 2 12, 6). No. Entonces la
delta se cierra en el
finales de bobina de todas las fases como se 8 sentido contrario del
6 vector auxiliar de f.e.m.
muestra en la figura 9(a). (salida). x y z
Unir a-y, b-z, c-x.
• Conexionado de la Y secundaria.
Figura 8. Sentido de las tensiones de línea secundarias
Para cualquier tipo de transformador que involucre y cierre de los conexionados. (a) Tipos 2 ó 8, 0/12 ó 6.
una conexión del devanado secundario en Y, se (b) Tipos 10 ó 4.
unen los finales de bobina de todas las fases si el • Conexionado de las Z secundarias.

6. salida (a´, b´, c´ ). Finalmente los conductores de
Los conexionados en Z para los devanados salida al secundario se conectan desde (x, y, z).
secundarios se obtienen de la siguiente forma:
Se dibujan con líneas punteadas los vectores de (a)
A B C
las f.em resultantes (f.e.m virtuales indicadas con Yz5 A
A 1 (salida)
líneas punteadas en las figuras 10(a) y (b)) de -Vc c
x
acuerdo al tipo de conexionado. El índice del tipo
Va 5x30° f.e.m
de transformador es el que indica cuántos grados Y Z b Vb eAX X Y Z
hay de la f.e.m de fase de A.T.(f.em real por fase), X
-Vb Vc
x y z
a la f.e.m virtual resultante secundaria, por fase de C
B -Va a b c
a
B.T. de la z. La f.e.m virtual por fase es la a
resultante de la suma de las f.e.m de dos
x´ y´ z´
semifases de fases diferentes.
a´ b´ c´
f.e.m
A B C a b c x y z
-Va
x y z
a b c
(b)
Dz10 wt
A
AZ f.e.m
10x30° (salida) VAB
VAB Vb a A B C
x y z
a b
X Y Z VCA -Vc
Yy0/ 1 a
(salida)
a Yy6 (salida)
Y Z Va
A 2 c x
b -Vb
Y X -Va
C BX X Y Z
VBC
X
Vc
C B c b x 0/12 c x a b c
(a) (b) (c) a a 10
Donde
4
6 Va α V´AB x´ y´ z´
Figura 9. Posibles conexionado en estrella. (a) Del
a´ b´ c´
devanado primario (b) y (c) Del devanado secundario. Vc α V´CA f.e.m
Va α VAB´
-Vb α -V´BC
-Como se indicó en 3.3(e), con el vector auxiliar de x y z
salida se determina, para cada fase cuál es la
semifase y su terminal de devanado por donde
saldrán la f.e.m de cada fase, así en la figura 10(a) Figura 10. Formación de la f.e.m virtual de fase para la
conexión de los devanados Z. (a) En tipos Yz (b) En
el vector auxiliar indica que las semifases de salida
tipos Dz.
adecuadas corresponden a aquellas porciones de
devanado (semifases) que contienen los finales de
-El conexionado de las semifases en la z, (para un
bobina, mientras que en la figura 10(b) las
transformador Dz) queda determinado como sigue:
semifases adecuadas son aquellas que contienen
de la figura 10(b) y para la fase A, el vector de
los principios de bobina.
f.e.m virtual de fase es la suma vectorial de las
f.e.m. de semifases Va y -Vb. La primera, por ser
-El conexionado de las semifases en la z, (para un
de salida con los terminales de principio de bobina,
transformador Yz) queda determinado como sigue:
es el positivo de la f.e.m inducida proporcional a
de la figura 10(a) y para la fase A, el vector de
′
VAB y su vector está en la estrella de la z, a la
f.e.m virtual de fase es la suma vectorial de las
f.e.m. de semifases -Va y Vb. La primera, por ser salida, del mismo sentido y paralelo al vector VAB
de salida con los terminales de finales de bobina, que lo induce, como se indicó en 3.1. La segunda
′
es el negativo de la f.e.m inducida - VAX y su ′
f.e.m, - Vb α (-VBC ) completa la suma con un
vector está en la estrella de la z, a la salida, vector de sentido contrario al vector primario VBC
contrario y paralelo al vector VAX que lo induce, que lo induce, y el adecuado, para cerrar el
triángulo vectorial, es el mostrado en la figura
de acuerdo a 3.1. La segunda f.e.m, completa la
10(b). Por tanto se conectan entre sí, todos los
suma de las f.e.m con el vector del mismo sentido
principios de las segundas semifases (a´, b´, c´) y
al vector VBY que lo induce, y el adecuado es el
sus finales (x, y, z) con los finales de las semifase
mostrado en la figura 10(a). Por tanto se conectan
de salida (x´, y´, z´). Finalmente los conductores
entre sí, todos los finales de las primeras
de salida al secundario se conectan desde (a, b,
semifases (x´, y´, z´ ) y se conectan los principios
c).
(a, b, c ) con los principios de las semifase de

7. 4. CONCLUSIONES [4] PROTECTIVE RELAYS. Application guide.
3ed. England: Gec Alsthom T&D. 1995. il:
Los ensayos planteados por las normas actuales 463p.
no establecen ninguna verificación para los grupos
de conexión III y IV, tampoco definen cómo se [5] IEEE STANDARD TEST CODE FOR LIQUID-
determinan las conexiones de grupos IMMERSED DISTRIBUTION, POWER, AND
normalizados de transformadores sin placa REGULATING TRANSFORMERS. 1999. New
característica o información disponible de su grupo York : IEEE, 1999 87p. : il. (IEEE C.57.12.90).
de conexión. La metodología planteada permite
determinar cuáles deben ser las conexiones [6] IEEE STANDARD TEST CODE FOR DRY-
adecuadas de las bobinas de un transformador TYPE DISTRIBUTION AND POWER
trifásico de dos devanados para obtener el tipo TRANSFORMERS. New York : IEEE, 2001
normalizado de conexión que previamente ha sido 82p. : il. (IEEE C.57.12.91)
definido en los casos donde por razones técnicas,
académicas, de mantenimiento ó diseño se [7] IEEE STANDARD TERMINAL MARKINGS
requiera. La metodología permite determinar el AND CONNECTIONS FOR DISTRIBUTION
tipo de conexión de un transformador trifásico sin AND POWER TRANSFORMERS. 2001 33p. :
placa o información de su tipo de conexión con la il. ( IEEE C.57.12.70)
condición de que se disponga de la información
visible de los conexionados de los devanados de [8] NORMA TÉCNICA COLOMBIANA.
cada lado del transformador, en tal caso la TRANSFORMADORES. RELACIÓN DE
metodología también permite verificar el tipo de TRANSFORMACIÓN VERIFICACIÓN DE LA
conexión para transformadores trifásicos con placa POLARIDAD Y RELACIÓN DE FASE. Santa
característica. Con la metodología propuesta se Fé de Bogotá: ICONTEC, 1999 12p. (NTC 471)
demostró porqué es válido intercambiar
estratégicamente los transformadores del grupo II [9] INTERNATIONAL ELECTROTECHNICAL
con los del grupo IV, cuando se hace necesario la COMMISSION. POWER TRANSFORMERS.
puesta en paralelo entre transformadores España : AENOR, 1998 48p.( UNE-EN 60076-
pertenecientes a estos dos grupos. La validación 1:1998)
de la metodología propuesta se logró aplicándose
con éxito con todos y cada uno de los 26 tipos
normalizados de conexión para transformadores AUTOR
trifásicos de dos devanados, tanto en la
determinación del tipo de conexión como en la Eduardo Marlés
determinación de la conexión adecuada de los Sáenz. Ingeniero
devanados para lograr el tipo de conexión Electricista.
requerido. Universidad del
Valle. 1997.
Magíster en
Sistemas de Generación de
5. BIBLIOGRAFÍA Energía Eléctrica. Universidad del
Valle. 2001.
[1] KOSTENKO, M. P. y PIOTROVSKI, L.M. Universidad del Valle. Profesor Auxiliar. Escuela
Máquinas eléctricas. 2ed. Moscú: MIR, de Ingeniería Eléctrica y Electrónica. GRALTA.
1979.Tomo I. 599p. 333 42 52 ext. 110. Cali – Valle –Colombia.
[2] IVANOV – SMOLENSKI, A.V. Máquinas Líneas de investigación
eléctricas, Moscú: MIR, 1984.Tomo I. 472p. Análisis Matemático Aplicado.
 Modelamiento de Campos Electromagnéticos.
[3] RAS, Enrique. Transformadores de potencia de  Análisis y Operación de Sistemas de Potencia.
medida y de protección. 7ed. Santa Fe de
Bogotá: Alfaomega.1998. 283p. E-mail: edmarles@univalle.edu.co