2. MAXIMALE UND MINIMALE STEIGUNG
Die Funktion f hat in 𝑥0 eine
maximale Steigung, wenn
f‘(x) in 𝒙 𝟎ein Maximum
hat,
denn f‘(x) gibt die Steigung
der Funktion f(x) an. hat.
Die Funktion f hat in 𝑥0 eine
minimale Steigung, wenn
f‘(x) in 𝒙 𝟎ein Minimum
hat,
denn f‘(x) gibt die Steigung
der Funktion f(x) an.
3. MAXIMALE UND MINIMALE STEIGUNG
f‘(x) hat in 𝑥0ein Maximum,
wenn
f‘‘(𝑥0) = 0
f‘‘‘(𝑥0) < 0
f‘(x) hat in 𝑥0ein Minimum,
wenn
f‘‘(𝑥0) = 0
f‘‘‘(𝑥0) > 0
4. MAXIMALE UND MINIMALE STEIGUNG
Die Funktion f hat in 𝑥0 eine
maximale Steigung, wenn
f‘‘(𝑥0) = 0
f‘‘‘(𝑥0) < 0
Die Funktion f hat in 𝑥0 eine
minimale Steigung, wenn
f‘‘(𝑥0) = 0
f‘‘‘(𝑥0) > 0
5. ZUSAMMENFASSUNG DER KRITERIEN FÜR MINIMALE UND
MAXIMALE STEIGUNG (AUCH WENDEPUNKTE GENANNT)
f‘‘(𝑥0) = 0
f‘‘‘(𝑥0) < 0 f‘‘‘(𝑥0) > 0
Wendepunkt mit Wendepunkt mit
maximaler Steigung minimaler Steigung
6. RECHENBEISPIEL
Berechnen Sie die Wendepunkte von f(x) = 2𝒙 𝟒+ 8x³ − 96x² + 36x + 72!
1. Schritt: Aufstellen der 1., 2. und 3. Ableitung:
f’(x) = 8x³ + 24x² −192x + 36
f’’(x) = 24x² + 48x – 192
f’’’(x) = 48x + 48
7. 2. SCHRITT
2. Schritt: Berechnung der Nullstellen von f‘‘(x):
f’’(x) = 24x² + 48x – 192 = 0
24x² + 48x – 192 = 0
x = −4 v x = 2 (p-q-Formel)
8. 3. SCHRITT
3. Schritt: Einsetzen der Nullstellen in die 3. Ableitung:
f’’(x) = 0 x = −4 v x = 2
f’’’(x) = 48x + 48
f‘‘‘(−4) = −144 < 0 => WP mit maximaler Steigung
f‘‘‘(2) = 48 > 0 => WP mit minimaler Steigung
4. Schritt: Berechnung der zugehörigen Funktionswerte:
f(−4) = −1608
f(2) = −144
9. ERGEBNIS
Die Funktion hat 2 Wendepunkte:
W1(−4/−1608) mit maximaler Steigung
W2 (2/−144) mit minimaler Steigung
