1. Cálculo ll
Contenido del curso
Martin Eduardo Gonzalez Miranda
Matricula: 131430
Profesor: Carlos López Ruvalcaba

2. 2
Integrales de Monomios Algebraicos
2. ∫ −𝑥3
𝑑𝑥 = − ∫ 𝑥3
𝑑𝑥 =
−𝑥4
4
+ 𝑐
4. ∫ 5𝑥𝑑𝑥 =
5𝑥2
2
+ 𝑐
6. ∫ 7𝑥2
𝑑𝑥 =
7𝑥3
3
+ 𝑐
8. ∫ −5𝑥4
𝑑𝑥 =
−5𝑥5
5
= −𝑥5
+ 𝑐
10. ∫
3𝑋2
2
=
3
2
∫ 𝑥2
𝑑𝑥 =
3
2
∗
𝑥3
3
=
𝑥3
2
+ 𝑐
12. ∫– 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
−𝑎𝑥2
2
+ 𝑐
14. ∫
4𝑎𝑥3
𝑐
𝑑𝑥 =
4𝑎
𝑐
∫ 𝑥3
𝑑𝑥 =
4𝑎
𝑐
∗
𝑥4
4
=
𝑎𝑥4
𝑐
+ 𝑐
16. ∫ 𝑥−2
𝑑𝑥 =
𝑥−1
−1
+ 𝑐 =
−1
𝑥
+ 𝑐
18. ∫ −4𝑥−2
𝑑𝑥 = −4 ∫ 𝑥−2
𝑑𝑥 = −4 ∗
1
𝑥
+ 𝑐 =
−4
𝑥
+ 𝑐

3. 3
20. ∫
−4𝑥−3
3
𝑑𝑥 =
−4
3
∫ 𝑥−3
𝑑𝑥 =
−4
3
∗
1
𝑥2
=
−4
3𝑥2
+ 𝑐
22. ∫ 2𝑥
3
2 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥
3
2 𝑑𝑥 =
4𝑥
5
2
5
+ 𝑐
24. ∫
1
2
𝑡
1
2 𝑑𝑡 =
𝑡
3
2
3
+ 𝑐
26. ∫ 3 √ 𝑥𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥
1
2 𝑑𝑥 = 2𝑥
3
2 + 𝑐
28. ∫ −
√𝑥23
2
𝑑𝑥 = ∫ −
𝑥
2
3
2
𝑑𝑥 = −
3𝑥
5
2
10
30. ∫
𝑑𝑥
𝑥2
= ∫ 𝑥−2
𝑑𝑥 =
𝑥−1
−1
+ 𝑐 = −
1
𝑥
+ 𝑐
32. ∫
2𝑑𝑥
𝑥2
= ∫ 2𝑥−2
= 2 ∫ 𝑥−2
= −
2
𝑥
+ 𝑐
34. ∫
3𝑏𝑑𝑡
𝑡4
= ∫ 3𝑏𝑡−4
𝑑𝑡 = 3𝑏 ∫ 𝑡−4
𝑑𝑡 = −
9𝑏
𝑡3
+ 𝑐
36. ∫
𝑑𝑢
𝑢
1
2
= ∫ 𝑢−
1
2 𝑑𝑢 = 2𝑢
1
2 + 𝑐
38. 2 ∫
3𝑎𝑑𝑦
√ 𝑦
= 2(3𝑎) ∫ 𝑦−
1
2 𝑑𝑦 = 12𝑎𝑦
1
2 + 𝑐

4. 4
40. ∫ −
𝑑𝑢
3√ 𝑢
= −
1
3
∫ 𝑢−
1
2 𝑑𝑢 =
2
3
𝑢
1
2 + 𝑐
Integrales que conducen a la función logaritmo natural
1. ∫
2
𝑥
𝑑𝑥 = 2 ∫
𝑑𝑥
𝑥
= 2 ln|𝑥| + 𝑐 = ln|𝑥2| + 𝑐
2. ∫ −
𝑑𝑥
𝑥
= − ln|𝑥| + 𝑐 = ln|𝑥−1| + 𝑐
3. ∫
2𝑑𝑥
3𝑥
=
2
3
∫
𝑑𝑥
𝑥
=
2
3
ln|𝑥| + 𝑐
4. 3 ∫
𝑑𝑥
5𝑥
=
3
5
∫
𝑑𝑥
𝑥
=
3
5
ln|𝑥| + 𝑐
5. ∫
𝑎𝑑𝑥
𝑥
= 𝑎 ln|𝑥| + 𝑐 = ln|𝑥 𝑎| + 𝑐
6. −
2
3
∫
6𝑑𝑥
𝑥
= −4 ∫
𝑑𝑥
𝑥
= −4 ln|𝑥| + 𝑐
7. ∫
𝑏2 𝑑𝑥
𝑥
= 𝑏2
∫
𝑑𝑥
𝑥
= 𝑏2
ln|𝑥| + 𝑐
8. ∫
4𝑑𝑟
𝑟
= 4 ∫
𝑑𝑟
𝑟
= 4 ln|𝑟| + 𝑐

5. 5
Emplear diferenciales y la grafica de f para aproximar a) f (1.9) y b)
f (2.04).
21.-
23.-
04.0
)04.0(1
04.104.01
)2()04.2(
)1.0(
)1.0(1
9.01.01
)2()9.1(








dy
dy
dyff
dy
dy
dyff
1
12
02
)0,1(),1,2(
)('
)04.2(
)9.1(





m
ndxdxxfdy
f
f
2
1
02
21
)1,2()2,0(
)04.2(
)9.1(





m
mdxdy
y
f
f
98.002.01
02.0)04.0(
2
1
)2()04.2(
05.0
)1.0(
2
1
05.15.01)9.1(
)2()9.1(







dy
dyff
dy
dy
f
dyff

6. 6
27.-Area. Se encuentra que la medición del lado de un cuadrado es
igual a 12 pulgadas, con un posible error de 64
1 de pulgada. Usar
diferenciales para aproximar el posible error propagado en el calculo
del area del cuadrado.
29.- Area. Se mide el radio del extremo de un tronco y se encuentra que
es igual a 14 pulgadas, con un posible error de de pulgada. Utilizar
diferenciales para aproximar el posible error propagado en el calculo
del area del extremo del tronco.
errorindv
inindxxdv
indx
xv




3
22
3
75.6
))
64
1
)(12((33
64
1
errordv
ininxdxdv
indx



375.0
)
64
1
)(12(22
64
1
errorinininxdxda
indx
xa



2
2
99.21)
4
1)(14(22
4
1



7. 7
31.- Area. La medición del lado de un cuadrado produce un valor igual
a 15 cm, con un posible error de 0.05 cm.
a) Aproximar el error porcentual en el calculo del area del
cuadrado.
b) Estimar el máximo error porcentual permisible en la medición
del lado si el error en el calculo del area no fue mayor de 2.5%
A)
%66.0100.
5.2
5.1
_
_15)05.0)(15(22
05.0
2




porcentualError
areaerrorininxdxdx
indx
xa
B)
Máximo error porcentual de lado= 1.25%
%25.1187.0
%10015
1875.0
30
625.5
_
625.5)_)(15(2
625.5)
100
%5.2
(25.2
100.
25.2
%5.2






ladoerror
ladoerror
error
error

8. 8
Integral de la potencia de una suma
2) ∫ (7x2 – 1)3/2 x dx = 1/2 ∫ (7x2 – 1)3/2 x dx= (1/2)(1/14) ∫(7x2 –
1)3 x dx=1/28 * (7x2 – 1)4/4 = 1/112 *(7x2 – 1)4 + c
4) ∫ x (2+x2) dx = ½ * (2 + x2)2 /2 = ¼ (2 + x2)2 + c
6) ∫(x3 + 2)3 x2 dx = 1/3 * ∫(x3 + 2)3 x2 dx = 1/3 * (x3 + 2)4 /4 = 1/12
* (x3 + 2)4 +c
8) ∫- (4-x)3 2 dx= 2 ∫ -(4-x)3 dx = 2 * (4-x)4/4 = ½ (4-x)4 + c
10) ∫ u √𝟑 − 𝟐𝒖 𝟐 du = ∫u * (3- 2u2)1/2 du = -1/4∫ u * (3- 2u2)1/2 du =
-1/4 * (3-2u2)3/2 / 3/2 = -1/6 √(3 − 2𝑢2)3 + c
12) ∫3x dx/ (x2 + 3)2 = ∫ 3x dx * (x2 + 3)-2 = 3/2 ∫ x dx * (x2 + 3)-2 =
3/2 * (x2 + 3)-1/-1 =-3/2 * 1/(x2 + 3) + c
14) ∫ 2x2 dx / √𝒂 + 𝒃𝒙 𝟑 = ∫ 2x2 dx * (a + bx3)-1/2 = 2/3b * (a + bx3)1/2/
½ = 4/3b * √𝑎 + 𝑏𝑥3 + c
16) ∫ dv / √ 𝟏 −
𝒗
𝟐
= ∫ dv * (1-v/2)-1/2 = -2 ∫ dv * (1-v/2)-1/2 = -2 * (1-
v/2)1/2/ ½ = -4 * √1 −
𝑣
2
+ c

9. 9
18) ∫x2 + 4x – 10 dx / (x + 2)2 = ∫ x2 +4x -10 dx * (x+2)-2 = x +
14/(x+2) + c
20) ∫ √𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟐 dx = ∫ (x4-x2)1/2 dx = √(𝑥2 − 1)3 / 3 + c
Casos especiales
2) ∫ (4x2-1) 5x dx = 5/8 (4x2-1)2 / 2 = 5/16 (4x2-1)2 + c

10. 10
Integrales de las funciones exponenciales
2) ∫ 8x/2 * ½ dx = (8x/2 / ln8) + c
4) ∫ -3a5x * 5 dx = (-3a5x / lna) + c
6) ∫ bax^2 x dx = ½ *(bax^2 / lna) +c
8) ∫ 10x^2 + 1 x dx = ½ * (10x^2 + 1 / ln10) + c
10) ∫ dx / 74x = -¼ * 7-4x / ln7 = (-1 / (4*74x * ln7)) + c
12) ∫5e2t dt = ½ * 5e2t / lne = (5e2t / 2) + c
14) ∫ 5eay dy = 1/a * 5eay / lne = (5eay / a) + c
16) ∫𝒆√ 𝒙
/ √ 𝒙 dx = ∫𝑒√ 𝑥
* x-1/2 dx = 2 𝑒√ 𝑥
+ c
18) ∫𝒆√ 𝒙
dx = ∫ ex^1/2 dx = 2 * √ 𝑒 𝑥 + c
20) ∫ (𝟐√ 𝒙
*𝒆√ 𝒙
) dx / √ 𝒙 = (2 *( 2𝑒)√ 𝑥
) / (ln2 + lne) + c
22) ∫ (e2x + 3)2 dx = ∫e4x^2 + 6e2x + 9 dx = ¼ e4x + 3e2x + 9x + c

11. 11
24) ∫ (e(x/2) + 4) dx / ex = ∫ e(x/2) dx / ex + ∫ 4 dx / ex = (-2 / √ 𝑒 𝑥 ) – (4
/√ 𝑒 𝑥) + c

12. 12
Integrales en que intervienen la tangente, cotangente, secante y
cosecante
2) ∫tg x3 x2dx= 1/3 ln |sec x3| +c
4) ∫3 ctg 2x dx = 3/2 ln |sen 2x| + c
6) ∫ ctg √ 𝒙 dx / √ 𝒙 = 2 ln |sen √ 𝑥| + c
8) ∫sec (x2 /3) x dx = 3/2 ln |sec(x2/3) + tg (x2/3)| + c
10) ∫ ax sec ax dx = 1/ lna * ln |sec(ax) + tg(ax)| +c
12) ∫-2 csc (3-2x) dx = ln |csc(3-2x) - ctg(3-2x)| + c
14) ∫sec (x/2) –tg (x/2) dx =∫sec (x/2) dx - ∫tg(x/2) dx =
2 ln |sec(x/2) + tg(x/2)| - 2 ln |sec(x/2)| + c
2) ∫ sen 2x dx / (3 + cos 2x) = -1/2∫ sen 2x dx / (3 + cos 2x) =
-1/2 ln |3 + cos 2x|+ c
4) ∫ csc2 u du / (3-ctg u) = ln |3-ctg u| + c
2) ∫ b dt / ctg(a –bt) = -∫ tg(a- bt) b dt = -ln |sec(a – bt)| + c

13. 13
4) ∫ a dx / (√ 𝒙 𝒔𝒆𝒏 √ 𝒙) = 2a ∫ √ 𝑥 csc √ 𝑥 a dx = 2a ln |csc √ 𝑥 – ctg √ 𝑥|
+ c
6) ∫xex^2 dx/ ctg ex^2 = ½ ∫ tg ex^2 xex^2 dx = ½ ln |sec ex^2| + c

14. 14
Integrales que conducen a las funciones trigonométricas
2) ∫ cos (x/2) dx = 2∫cos(x/2) dx = 2 sen(x/2) + c
4) ∫ cos (1- x2) x dx = -1/2∫cos (1-x2) x dx = -1/2 sen (1-x2) +c
6∫ ∫2/3 sen (a –x/2) dx = (2/3)*(-2) ∫sen (a –x/2) dx =4/3 cos (a-
x/2) +c
8) ∫ csc2 (1- √ 𝒙) dx / √ 𝒙 = 2∫ csc2 (1- √ 𝑥) dx / √ 𝑥 = 2 ctg (1 - √ 𝑥) + c
10) ∫ sec e-x tg e-x e-x dx = -Sec e-x + c
Caso especial
2) ∫2 dx / 1 – cos 2x =2 ∫ (dx/ (1-cos 2x)) * ((1+cos 2x) /(1+cos2x))
dx = 2 (1/2) ∫(1 + cos 2x)/(1-cosx)2 = ∫ (1+ cos 2x)/ sen22x =
∫csc22x + ∫ ctg 2x * csc 2x = -ctg 2x – csc 2x + c
4) ∫ 5 dx / (1 – sen 2x) = 5 ∫ dx / (1- sen2x) = 5(1/2) (∫
1+sen2x/(cos22x) ) =5/2 ∫ sec22x dx + 5/2 ∫tg2x * sec 2x dx = 5/2 tg
2x + 5/2 sec2x + c

15. 15

16. 16
Integrales de las formas ∫
𝒅𝒗
√ 𝒂 𝟐−𝒗 𝟐
, ∫
𝒅𝒗
√ 𝒂 𝟐+𝒗 𝟐
, ∫
𝒅𝒗
𝒗√ 𝒗 𝟐−𝒂 𝟐

 54
2
2
4
2
x
dx
 
 42
7 xa
xdx
c
ax
arcsen
x

72
1 2
 
 2
)3(4
3
x
dx
     



222
32
3
34
3
x
dx
x
dx
c
x
arcsen 

2
3
2
1
3
Casos Especiales:
Caso 1.-
     



222
12
3
423
3
x
dx
xx
dx   c
x
arcsen 

2
1
3
 
54
4
2
x
dx
 
 22
1 ua
bdu
 
 42
7 xa
xdx
 
 2
23 v
dv
 
19 2
yy
dy
 
 x
x
e
dxe
2
1
6.-
4.-
2.-
8.-
10.-
12.-
  

c
y
arc
yy
dy
1
3
sec
1
1
13
3
1
3
22 cyarc 3sec
 
 23 2
xx
dx
2.-
  































22
2
2
3
4
1
4
1
2
32
4
9
4
9
3 x
dx
x
dx
xx
dx








 













  c
x
arcsen
x
dx
2
1
2
3
2
3
2
1
22   cxarcsen 32
 
 2
23
3
xx
dx
4.-
 
 2
45
3
tt
dx
6.-
c
x
arctg 
5
2
5
2
 
 22
1 au
du
b  c
au
arctg
a
b
1
cauarctg
a
b
)(


 v
dv
23
2
2
1
c
v
arcsen 
3
2
2
1
carcsenex

14.-
      




 222
23
3
8845
3
45
3
tt
dx
tt
dx
tt
dx
c
t
arcsen 

3
2
3

17. 17
Caso 2.-
Caso 3.-
8.-
10.-
12.-
 
 2
352 xx
dx
 
 52xx
dx
 
 544 2
xx
dx
 


dx
x
x
2
9
23
 


dx
x
x
2
161
35
 


dx
x
x
254
2
2
2.-
4.-
6.-
    











4
5
34
9
5412
95412128
2
2
2
1
2
xx
dx
xx
dx
dxxxx
       




 222
5623
1
11513
1
11513 x
dx
xx
dx
xx
dx
c
x
arcsen 


7
56
3
1
     


 222
215112 x
dx
xx
dx
c
x
arctg 

2
1
2
1
   



  212
4
4
1
52244 22
x
dx
xx
dx
c
x
arctg 

2
12
4
1
      








2
2
1
2
22
9
392
99
3
2
x
dx
dxxx
x
dx
x
xdx
c
x
arcsenx 
3
293 2
       





 
2
2
1
2
22
161
5161
4
3
161161
5
3
x
dx
dxxx
x
dx
x
xdx
cxarcsenx 

 4
4
3
161
16
5 2
  c
x
arctgx 
5
2
5
1
254ln
8
1 2
 






 2548
1
525
1
254254 22222
x
xdx
x
dx
x
xdx
x
dx

18. 18
 
 
 
 
 
  








723
32
51212129
32
5129
32
222
x
dxx
xx
dxx
xx
dxx
 


dx
xx
x
5412
38
2
 































 2
2
2
2
2
3
1
2
9
1
2
32
9
4
5
4
9
4
9
3
2
9
x
dx
x
dx
xx
dx
  cxarcsen
xx









2
3
2
9
2
1
5412 2
1
2
2.-
 


dx
xx
x
5129
32
2
 


dx
xx
x
2
3
54
4.-
6.-
c
a
v
arctg
a
av
aav
dv
av
vdv
av
dvv







  
3
)ln(
1
3
3 22
222222
    cxarctgxx  235129ln
9
1 2
 
 
 
 
     
c
a
v
arcsenva
va
dv
dvvva
va
dv
va
vdv
va
dvv
x
dxx
xx
dxx















 
 

4
42
2
1
4
4
323
54
333
54
22
22
2
1
22
222222
22
c
x
arcsenxx 


3
32
34 2

19. 19
Integrales de las formas ∫
𝒅𝒗
𝒗 𝟐−𝒂 𝟐
, ∫
𝒅𝒗
𝒂 𝟐−𝒗 𝟐
2) ʃ x dx / 4x4 – 1 = 1/2 * ʃ x dx / 4x4 – 1=resultado 1/4√3 ln |(𝑥2
−
√3)/(𝑥2
+ √3)| + c
4) ʃ2x dx / (25-36x2) = 1/6 * ʃ2x dx / (25-36x2) = (1/6)*(1/10)
ln|(5+6x2)/(5-6x2) = resultado
1/60 * ln|5+6x2 / 5-6x2 | +c
6) ʃdx/3-2x2 = 1/√2 * ʃdx/3-2x2 =resultado √6/ 12 ln |(√3 - √2 𝑥)/
(√3 + √2 𝑥)| + c
8)
2 2 2 2
1 1 6
ln
2 5 (x 2 1) 5 1 ( 1) ( 6) 2(
6 1 6
ln
12
6
1 66) 1 6
1
dx dx dx x
x x x x x
a
v x
dv d
x
C
x
x
 
   
         
 

 

 

  
10) ʃ du / (9-6u-3u2) = -ʃ du/(3u2 + 6u-9) = ʃdu/-(3u2-6u+9) -9 +9 =-
ʃdu/(3u-3)*(u+3) =
resultado= 1/12 ln| (3+u)/(1-u)| + c
12 ʃ(2-3z) dz/ 9-16z2 = ¼ *ʃ2 dz/ (9-16z2) – ¼ *ʃ3z dz /(9-16z2) =
resultado =
1/12 ln| (3+4z)/(3-4z)| + c

20. 20
14)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2 2
( 3) ( 3) (x 3) 3
4 5 (x 4 4) 5 4 ( 2) 9
2
2
( 2) 1
int
1
#1 ln 4 5
4 5 2
4 5
2 4
1
int#2 3 3 (3)(
2
2
2
( 2) (3
5
) 2(3
x x dx vdv dv
dx dx dv
x x x x v a v a v a
v x
x v
vdv x dx
x x
v a x x
v x x
dv x
dv dx
v a x
v  
    
          
 
 

    
  
  
 
  

 
 
     
 
 
2
2 3 1 1
)ln ln
1 1 1
ln 4 5 ln
2 2 5
) 2 3 2 5
3
2
x x
C
x x
a
v x
x
dv dx
resu xl o Ct xd
x
a
  
 
  

 


   



21. 21
Integrales de la forma ∫
𝒅𝒗
√ 𝒗 𝟐+𝒂 𝟐
𝒐 𝒃𝒊𝒆𝒏 ∫
𝒅𝒗
√ 𝒗 𝟐−𝒂 𝟐
2)∫
𝑑𝑥
√𝑥2+2𝑥+5
= ∫
𝑑𝑥
√(𝑥+1)2+4
= 𝑙𝑛|𝑥 + 1 + √(𝑥 + 1)2 + 22| + 𝑐 =
𝑙𝑛|𝑥 + 1 + √(𝑥2 + 2𝑥 + 5)| + 𝑐
V=x+1 a=2 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
4) ∫
(2y−1)dy
√2y2+4y+10
= ∫
(2y−1)dy
√2(y2+2y+5)
=
1
√2
∫
(2y−1)dy
√(y2+2y+1+4)
=
1
√2
∫
(2y−1)dy
√(y+1)2+22)
=
1
√2
∫
(2y−1)dy
√(y+1)2+22)
=
1
√2
∫
((tanθ−1)−1)2secθ2dθ
2secθ
=
1
√2
∫(4tanθ − 3)secθdθ =
4
√2
∫(tanθ)secθdθ −
3
√2
∫ secθdθ =
4
√2
secθ −
3
√2
ln|secθ + tanθ| + c =
2√2√(y2+2y+5)
2
−
3√2
2
ln |
√(y2+2y+5)
2
+
y+1
2
| + c
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑦+1
√(𝑦+1)2+22
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
2
√(𝑦+1)2+22
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑦+1
2
√(𝑦 + 1)2 + 22 = 2𝑠𝑒𝑐𝜃 2𝑠𝑒𝑐𝜃2
𝑑𝜃 = 𝑑𝑦
6) ∫
(2𝑥+1)𝑑𝑥
√3𝑥2−5
= ∫
(2𝑥+1)𝑑𝑥
√√3𝑥2−√5
2
= ∫
2𝑥𝑑𝑥
√√3𝑥2−√5
2
+ ∫
𝑑𝑥
√√3𝑥2−√5
2
=
1
3
√3𝑥2 − 5 +
1
√3
𝑙𝑛|√3𝑥 + √3𝑥2 − 5| + 𝑐

22. 22
Integrales de la forma∫ √𝒂 𝟐 + 𝒗 𝟐 𝒅𝒗 Ó ∫ √ 𝒗 𝟐 ± 𝒂 𝟐 𝒅𝒗
2) ∫ √𝟓 + 𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙 =
𝑥
2
√
5
3
− 𝑥2 +
5
6
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 [
𝑥
√
5
3
] + 𝑐
De la forma ∫ √𝒂 𝟐 − 𝒗 𝟐 𝒅𝒗 ; a= √
5
3
, v=x, dv=dx
4) ∫ √𝟑 − 𝟐𝒙 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 =
(𝑥+1)
2
√4 − (𝑥 + 1)2 + 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 [
(𝑥+1)
2
] + 𝑐
De la forma ∫ √ 𝒗 𝟐 ± 𝒂 𝟐 𝒅𝒗 ; a= 2, v= (x+1), dv=dx
6) ∫ √𝟒𝒙 𝟑 − 𝟒𝒙 + 𝟏𝟎 𝒅𝒙 =
(𝑥−
1
2
)
2
√(𝑥 −
1
2
)
2
+
9
4
+
9
8
ln |(𝑥 −
1
2
) +
√(𝑥 +
1
2
)
2
+
9
4
| + 𝑐
De la forma ∫ √ 𝒗 𝟐 ± 𝒂 𝟐 𝒅𝒗 ; a=
3
2
, v=(𝑥 −
1
2
), dv=dx

23. 23
Integral de las potencias del seno y/o coseno.
Primer caso.
2) ∫
1
2
𝑠𝑒𝑛3
4𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑛3
4𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
1
4
∫ 𝑠𝑒𝑛3
4𝑥 cos 4𝑥 4𝑑𝑥=
1
32
𝑠𝑒𝑛4
4𝑥 + 𝑐 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 4𝑑𝑥
4)∫ 𝑠𝑒𝑛5 5𝑥
3
𝑐𝑜𝑠
5𝑥
3
4𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑠𝑒𝑛5 5𝑥
3
𝑐𝑜𝑠
5𝑥
3
𝑑𝑥 =
4
3
5
∫ 𝑠𝑒𝑛5 5𝑥
3
𝑐𝑜𝑠
5𝑥
3
5
3
𝑑𝑥 = (
12
5
) (
1
6
) 𝑠𝑒𝑛6 5𝑥
3
=
2
5
𝑠𝑒𝑛6 5𝑥
3
+ 𝑐
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠
5𝑥
3
5
3
𝑑𝑥
6)∫
1
3
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑑𝑥 =
1
3
∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑑𝑥 =
−2
1
3
∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
(−𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
)
1
2
𝑑𝑥 = (−
2
3
) (
1
3
) 𝑐𝑜𝑠3 𝑥
2
=
−
2
9
𝑐𝑜𝑠3 𝑥
2
+ 𝑐 𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
∙
1
2
8)∫ 𝑐𝑜𝑠(2 − 𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2 − 𝑥) 𝑑𝑥 =
1
2
𝑐𝑜𝑠2(2 − 𝑥) + 𝑐
𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛(2 − 𝑥) − 1𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑛(2 − 𝑥) 𝑑𝑥
10)∫(−2 tg 3𝑥 + 𝑠𝑒𝑐2
5𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑑𝑥 = −2 ∫ 𝑡𝑔3𝑥 +
∫ 𝑠𝑒𝑐2
5𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
−2
3
∫ 𝑡𝑔3𝑥 ∙ 3𝑑𝑥 +
1
5
∫ 𝑠𝑒𝑐2
5𝑥 ∙ 5𝑑𝑥 −
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙ 2𝑑𝑥 =
2
3
ln|𝑐𝑜𝑠3𝑥| +
1
5
𝑡𝑔5𝑥 −
1
4
𝑠𝑒𝑛2
2𝑥 + 𝑐
𝑑𝑣 = 3𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 5𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙ 2𝑑𝑥
Segundo caso
2)∫ 𝑠𝑒𝑛3 𝑥
2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
2
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑑𝑥 = ∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
) 𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑑𝑥
=∫ 𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
∙
1
2
𝑑𝑥 −
2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
2
(−𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
)
1
2
𝑑𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠
𝑥
2
+
2
3
𝑐𝑜𝑠3 𝑥
2
+ 𝑐
𝑑𝑣 =
1
2
𝑑𝑥 𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
∙
1
2
𝑑𝑥

24. 24
4)∫ 𝑐𝑜𝑠3
5𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠2
5𝑥 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2
5𝑥)𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 =
∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛2
5𝑥𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 =
1
5
∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 ∙ 5𝑑𝑥 −
1
5
∫ 𝑠𝑒𝑛2
5𝑥 𝑐𝑜𝑠5𝑥 ∙
5𝑑𝑥 =
1
5
𝑠𝑒𝑛5𝑥 −
1
15
𝑠𝑒𝑛3
5𝑥 + 𝑐
𝑑𝑣 = 5𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠5𝑥 ∙ 5𝑑𝑥
6)∫ 𝑠𝑒𝑛2
𝑥𝑐𝑜𝑠3
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 (1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 𝑑𝑥 −
∫ 𝑠𝑒𝑛4
𝑥 𝑑𝑥 =
1
3
𝑠𝑒𝑛3
𝑥 −
1
5
𝑠𝑒𝑛5
𝑥 + 𝑐
8)∫ 𝑠𝑒𝑛3
3𝑥 𝑐𝑜𝑠5
3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2
3𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠5
3𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 −
𝑐𝑜𝑠2
3𝑥) 𝑐𝑜𝑠5
3𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑑𝑥 =
1
3
∫ 𝑐𝑜𝑠5
3𝑥 (−𝑠𝑒𝑛3𝑥)3 𝑑𝑥 −
1
3
∫ 𝑐𝑜𝑠7
3𝑥 (−𝑠𝑒𝑛3𝑥)3 𝑑𝑥 = −
1
18
𝑐𝑜𝑠6
3𝑥 +
1
24
𝑐𝑜𝑠8
3𝑥 + 𝑐
𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛3𝑥 ∙ 3𝑑𝑥 𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛3𝑥 ∙ 3𝑑𝑥
Tercer caso
2)∫ 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑑𝑥 = ∫
1
2
+
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑑𝑥 +
1
2
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 +
1
4
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐
𝑑𝑣 = 2𝑥 ∙ 2𝑑𝑥
4)∫ 𝑠𝑒𝑛4
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (
1
2
−
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝑥)
2
𝑑𝑥=∫ (
1
4
− 2
1
2
∙
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
1
4
𝑐𝑜𝑠2
2𝑥) 𝑑𝑥=
1
4
∫ 𝑑𝑥 −
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 +
1
4
∫ 𝑐𝑜𝑠2
2𝑥 𝑑𝑥 =
1
4
∫ 𝑑𝑥 − (
1
2
) (
1
2
) ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2𝑑𝑥 +
∫ (
1
8
+
1
8
𝑐𝑜𝑠4𝑥) 𝑑𝑥 =
1
4
∫ 𝑑𝑥 − (
1
2
) (
1
2
) ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2𝑑𝑥 +
1
8
∫ 𝑑𝑥 +
(
1
8
)
1
4
∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 4𝑑𝑥 =
3
8
𝑥 −
1
4
𝑠𝑒𝑛2𝑥 +
1
32
𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 𝑐
𝑑𝑣 = 2𝑥 ∙ 2𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 4𝑥 ∙ 4𝑑𝑥
Cuarto caso

25. 25
2)∫ 𝑠𝑒𝑛3
𝑥 𝑐𝑜𝑠3
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (
1
2
𝑠𝑒𝑛2𝑥)
3
𝑑𝑥 = ∫
1
2
𝑠𝑒𝑛2𝑥 (
1
4
𝑠𝑒𝑛2
2𝑥) 𝑑𝑥
=
1
4
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑑𝑥 =
1
8
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑑𝑥 −
1
8
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 (−𝑠𝑒𝑛2𝑥) 2𝑑𝑥 = −
1
16
𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
1
32
𝑐𝑜𝑠2
2𝑥 + 𝑐
𝑑𝑣 = 2𝑥 ∙ 2𝑑𝑥 𝑑𝑣 = (−𝑠𝑒𝑛2𝑥)2𝑑𝑥
Quinto caso
2)∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠
𝑥
2
𝑑𝑥 =∫
1
2
[𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 −
𝑥
2
) + 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 +
𝑥
2
)] 𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑛
5𝑥
2
𝑑𝑥 +
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑛
7𝑥
2
𝑑𝑥 =
1
2
2
5
∫ 𝑠𝑒𝑛
5𝑥
2
5
2
𝑑𝑥 +
1
2
2
7
∫ 𝑠𝑒𝑛
7𝑥
2
7
2
𝑑𝑥 =
1
5
𝑐𝑜𝑠
5𝑥
2
−
1
7
𝑐𝑜𝑠
7𝑥
2
+ 𝑐
𝑑𝑣 =
5𝑥
2
5
2
𝑑𝑥 𝑑𝑣 =
7𝑥
2
7
2
𝑑𝑥
4)∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 = ∫
1
2
[𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 4𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 4𝑥)] 𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠(−3𝑥) 𝑑𝑥 +
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
(−
1
3
) ∫ 𝑐𝑜𝑠 (−3𝑥) − 3𝑑𝑥 +
1
2
1
5
∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 5𝑑𝑥 =
1
6
𝑠𝑒𝑛3𝑥 +
1
10
𝑠𝑒𝑛5𝑥 + 𝑐
𝑑𝑣 = (−3𝑥) − 3𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 5𝑥 ∙ 5 aplicando cos(-A)=cosA

26. 26
Integrales de las potencias de la tangente y cotangente
∫ 4𝑡𝑎𝑛𝑎𝑏𝑥𝑠𝑒𝑐2
𝑎𝑏𝑥𝑑𝑥 =
4
𝑎𝑏
𝑡𝑎𝑛2 𝑎𝑏𝑥
2
=
𝟒
𝟐𝒂𝒃
𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒂𝒃𝒙 + 𝒄
𝑣𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑎𝑏𝑥
∫
𝑐𝑡𝑔√ 𝑥𝑐𝑠𝑐2
√ 𝑥
√ 𝑥
𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑐𝑡𝑔√ 𝑥𝑐𝑠𝑐2
√ 𝑥 · (𝑥)−
1
2 =
−2𝑐𝑠𝑐2
√ 𝑥
2
= −𝒄𝒕𝒈 𝟐
√ 𝒙 + 𝒄
𝑣𝑑𝑣 =
1
2
(𝑥)−
1
2
∫ 𝑐𝑡𝑔𝑒2𝑥
𝑐𝑠𝑐2
𝑒2𝑥
𝑒2𝑥
=
1
2
𝑐𝑡𝑔2 𝑒2𝑥
2
=
𝟏
𝟒
𝒄𝒕𝒈 𝟐
𝒆 𝟐𝒙
+ 𝒄
𝑣𝑑𝑣 = 𝑐𝑠𝑐2
𝑒2𝑥
2
∫ 𝑡𝑎𝑛3
2𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥(𝑡𝑎𝑛2
2𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥(𝑠𝑒𝑐2
2𝑥 − 1)𝑑𝑥 =
∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥𝑠𝑒𝑐2
2𝑥𝑑𝑥-∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥𝑑𝑥 =
𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝟐𝒙
𝟒
−
𝟏
𝟐
𝐥𝐧|𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙| + 𝒄
∫ 𝑡𝑎𝑛5
3𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛3
3𝑥(𝑡𝑎𝑛2
3𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛3
3𝑥(𝑠𝑒𝑐2
3𝑥 − 1)𝑑𝑥 =
∫ 𝑡𝑎𝑛3
3𝑥𝑠𝑒𝑐2
3𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑡𝑎𝑛3
3𝑥𝑑𝑥
− ∫ 𝑡𝑎𝑛3
3𝑥𝑑𝑥 = − ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑥(𝑠𝑒𝑐2
3𝑥 − 1)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑥𝑠𝑒𝑐2
3𝑥 +
∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑥=
𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝟑𝒙
𝟏𝟐
−
𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝟑𝒙
𝟔
+ 𝐥𝐧|𝒔𝒆𝒄𝟑𝒙| + 𝒄

27. 27
∫ 𝑐𝑡𝑔6
𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑡𝑔4
𝑥(𝑐𝑡𝑔2
𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑡𝑔𝑥4
𝑥(𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − 1)𝑑𝑥 =
∫ 𝑐𝑡𝑔4
𝑥 𝑐𝑠𝑐2
𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑡𝑔2
𝑥(𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − 1)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑐𝑡𝑔2
𝑥𝑐𝑠𝑐2
𝑥𝑑𝑥 +
∫ 𝑐𝑡𝑔2
𝑥𝑑𝑥 =
−𝒄𝒕𝒈 𝟓
𝟓
+
𝒄𝒕𝒈 𝟑
𝟑
− 𝒄𝒕𝒈𝒙 − 𝒙 + 𝒄
∫(𝑡𝑎𝑛𝑥 + 3) 𝟐
= ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝟐
+ 2𝑡𝑎𝑛𝑥3 + 9 = 𝒕𝒂𝒏𝒙 − 𝒙 + 𝟔𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙| +
𝟗𝒙 + 𝒄

28. 28
Sustitución trigonometrica
1.-  
 2
49 xx
dx
8.-
10.-
  

 dx
x
x
6
2
3
2
16  
  

c
ctg
dctg
sen
d
x
x
5
5
16
1
csc
16
1
4
cos16 24
62
4
6
3
2



   





 dd
sen
dctg
xx
dx
csc
3
1cos
cos
1
3
1
sec
3
1
)2(3 22
cctg  |csc|ln
3
1

dxdxtg
x
tg
x
x
x
x
sen










2
2
2
2
sec
2
3
2
3
3
2
cos
3
49
49
3
cos
49
2
c
x
x


 |
2
349
|ln
3
1 2


 722
xx
dx
 

csend
xx
dx

7
1
cos
7
1
)7( 222
77
7
)7(
sec7
cos
77
cos
)7(
2
222
222






xtg
xx
tg
x
x
x
xx
sen





c
x
x



7
7
1 2
c
x
x








 

5
22
4
18
1
22
22
22
4
4cos4
4
4
cos
4
4
x
x
tg
x
x
xsen
x
sen










29. 29
Integración por partes
1.- dx
x
xcoc
2
  dxdx
x
sen
x
xsendx
x
sen
x
xsen
2
1
2
)2)(2(
2
2
2
2
2
2
4.-  xdxln   dx
x
xxx
1
ln
6.-  
xdxx ln2


 dxx
x
x
x
dx
xx
x 2ln1ln
1.-  xdxx cos2
 xsenxdxsenxx 22
  xdxxxsenxx coscos22
c
xx
xsen 
2
cos4
2
2
2
2
2
cos
x
senv
dx
x
dv
xu
dxdu




c
xx
x

1ln
1
2
ln
1






xv
dxxdv
xu
dx
x
du
cxxx ln
xv
dxdv
xu
dx
x
du




ln
1
senxv
xdxdv
xu
xdxdu




cos
2
2
xv
senxdxdv
xu
dxdu
cos



csenxxxsenxx  2cos22

30. 30
4.-  dxex x22
 dxxeex xx 222
2
1






  dxexeex xxx 2222
2
1
2
1
2
1
1.-  arctgxdx 

  dx
x
x
xarctgx 2
1
2
2
1
5.- dxxArcSenx2




 dxxxarcsenx
x
dx
x
x
x
arcsenx
x
4)1(
221
2
2
2
1
432
22
4
2
2
6.-  xdxSenxSen3
x
x
ev
dxedv
xu
xdxdu
2
2
2
2
1
2




x
x
ev
dxedv
xu
dxdu
2
2
2
1




cexeex xxx
 2222
4
1
2
1
2
1
  cxarcsenx
x
 2
1
42
2
1
2
1
2
2
41
2
2
2
2
x
v
xdxdv
arcsenxu
dx
x
du





  xdxxxxsen 3coscos3cos3
    dxxxxxsen 4cos)2cos(
2
1
3cos3
cxsenxsenxxsen  4
8
3
2
4
3
cos3
xv
senxdxdv
xsenu
xdxdu
cos
3
3cos3




xv
dxdv
arctgxu
dx
x
du




 2
1
1
cxxarctgx  |1|ln
2
1 2

31. 31
Integración por sustitución algebraica
2.-   xdxx 9       c
mm
dmmmmdmmm
3
18
5
29229
35
242
3.-  

dx
x
x
1  



 ds
s
s
ssds
s
s
)
1
(22
1 22
css  arctan2)(2
4.-  1x
e
dx
    



 cp
p
dp
dp
pp
p
p
dp
p
p
arctan2
1
2
1
2
2
22
2
7.- 

 x
dx
9
  cp
p
dpp
p
dppp


 36
3
4
94
)9(4 3
2
2
cex
 1arctan2
1
2
|1|ln
1
1
2
2
2





p
p
dx
px
ep
ep
x
x
mdmdx
mx
mx
xm
2
9
9
9
2
2




    cxx 
35
969
5
2
  cx  93639
3
4 3
dpppdx
px
xp
xp
xp
)9(4
)9(
9
9
9
2
22
2
2





cxx  arctan22
sdsdx
sx
xs
2
2




32. 32
Integración por fracciones parciales
CASO 1
1.-  
 42
x
dx
5.-  


dz
zzz
z
2
63
23
2
 

dz
zzz
z
)2(
63
2
2
)2()1()1)(2(´63
12)1)(2(
63
)1)(2(
2
2








zczzbzzzaz
z
c
z
b
z
a
zzz
z
zzz
si z=-2 si z=1 si z=0
  
   221
)2)(2(
22
1
2222
1
















xbxa
xx
x
b
x
a
x
b
x
a
xx
   





cxxdx
x
b
dx
x
a
xx
dx
|2|ln
4
1
|2|ln
4
1
22)2)(2(
c
x
x



 |
2
2
|ln
4
1
   






12)1)(2(
63 2
z
dz
c
z
dz
b
z
dz
adz
zzz
z
czzz
czzza


|1|ln3|2|ln3||ln3
|1|ln3|2|ln3||ln
c
z
zz


 |
)1)(2(
|ln3
3
618


b
b
3
39


c
c
3
26


a
a

33. 33
CASO 2.-
    








dx
x
c
dx
x
b
dx
x
a
dx
xx
xx
dx
xxx
xx
22
2
2
2
)1(1)1(
18
12
18
)()1()1(18
)1(1)1(
18
22
22
2
xcxbxxaxx
x
c
x
b
x
a
xx
xx







Si x=0 si x=-1 si x=1
6
6


c
c
4.-  


du
uu
u
23
4
2
8
 



2)2(
8
22
4
u
c
u
b
u
a
du
uu
u
22
)2()2(8 cuubuauau 
Si x=-2 si x=0 si x=1
c
x
x 


1
6
||ln
c
x
cxbxa 




|
1
)1(
|ln|1|ln||ln
1
a1
0
62410
2410



b
b
cba
2
84
42
82
2
82
2
23
3
34
423






u
u
uu
u
au
uuu   















du
u
c
du
u
b
du
u
a
du
du
uu
u
udu
uu
u
2
2
2
84
2
2
8
2
23
2
23
4
2
48


c
c
2
21234


a
a
4
28


b
b
cu
u
a
uu
u
 |2|ln2||ln22
2
2

34. 34
Integración por fracciones parciales
1.-
   

dx
xx
x
41 22
2
Si x=0 si x= i si x2= -4
6.- 


 dx
x
xxx
22
23
)1(
222
)()1)((222 223
dcxxbaxxxx 
Si x= 0 x= i si= 1















   
 
22222
22
)2(411
2
2
41
x
dx
d
x
xdx
c
x
dx
b
x
xdxa
dx
x
dx
dx
x
bax
c
x
arctg
d
x
c
arctgxbx
a

22
|4|ln
21
1
||ln
2
22
)1)(()4)((
41)4)(1(
222
2222
2








xdcxxbaxx
x
dcx
x
bax
xx
x
3
4
0
364
)3(24
2
14)1(44






d
c
dci
dci
ix
x
0
03
3
1
0
3310





a
a
b
a
baii
db  40
c
x
arctgxarctgxx 
23
4
|4|ln
3
1
||ln 22
   
 












22222
222
)1()1(11
2
2
)1(1
x
dx
ddx
x
x
c
x
dx
b
x
xdxa
x
dcx
dx
x
bax
2
2


b
db
0
1
222




d
c
dcii
dciii
1
01)4(227


a
a
c
x
arctgxx 


1
1
2
1
2|1|ln
2
1
2
2
c
x
arctgxx 


)1(2
1
2|1|ln
2
1
2
2