1. 2.1 Integrales de las formas:
2 22 2 2 2
; ;
dv dv dv
a va v v v a
Las integrales que tienen alguna de las formas presentadas arriba corresponden a los
diferenciales de las funciones trigonométricas inversas y se obtienen a partir de las
fórmulas de derivación, de manera que se expresan así:
2 2
2 2
2 2
1
1
sec
dv v
arcsen c
aa v
dv v
arctg c
a v a a
dv v
arc c
a av v a
Problemas propuestos
2 2 2
2 2
3
6 2 3 2
2 2 2 2
2 2 2
39 (3) ( )
1
( ) c
31 (1) ( )
( )
1 (1) ( )
sec(3 )
9 1 (3 ) (1)
dx dx x
arcSen
x x
s ds s ds
arcSen s
s s
bdu du b
b arctg au c
a u au u
dy dy
arc y c
y y y y
Caso especial 1
Cuando el denominador de la expresión diferencial es un polinomio, este deberá de tomar
alguna de las formas que tienen las integrales de este capítulo, factorizando para ello los
términos necesarios hasta completar el cuadrado de un binomio:
2. 2 2 22 2
2 2 2 2
2 2 2 2
(2
1 39 9 1 33 2 ( 3 2) ( ) (x )( 3 2) (x )
2 24 4 4 2
3 2
3 3 3 ( )
35 4 ( 4 4 4 5) (3) ( 2)
1
8 25 8 16 16 25 ( 4) (3) 3
dx dx dx dx dx
arcsen x
x x x x x x
dt dt dt x
arcsen c
t t t t x
ds ds ds
ar
s s s s s
2
2 2 2
4
( )
3
1 1
(2x 1) c
1 1 1 1 12 2 1 2 2 ( ) ( )
4 4 2 2 2
s
ctg c
dx dx dx
arctg
x x x x x
Caso especial 2
Cuando el integrando es una fracción cuyo numerador es una suma de términos, mientras
que el denominador es una expresión que tiene alguna de las siguientes formas:
, entonces la integral será igual a la integral de cada uno de los
términos del numerador dividida entre el denominador común.
2
2 2 2
2
2 2 2
3 2
3 2 3 9 2 ( )
39 9 9
2 1 1 2
2 ln 4 25 ( )
4 25 4 25 4 25 8 5 5
x dx xdx dx x
x arcsen c
x x x
x dx xdx dx x
x arctg c
x x x
Caso 3
Cuando el integrando es una fracción cuyo numerador es una suma de términos mientras
que el denominador es un trinomio de segundo grado afectado o no de raiz, su integral se
obtiene factorizando primeramente el denominador como se hizo en el primer caso
especial de este objetivo y enseguida haciendo un cambio de variable de manera que la
integral se exprese como la suma de dos integrales.
3. 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
3 3 3
*
5 4 ( 4 5) (3) ( 2)
3 1 2 4 2 5 1 2 4 2
5 5 4
2 2 3(3) ( 2) (3) ( 2) (3) ( 2) (3) ( 2) (3) ( 2)
3 4 3 4 3 4
*
12 3 ( 3 2) (
xdx xdx xdx
x x x x x
dx x dx dx x x
arcsen x x c
x x x x x
xdx xdx xdx
x x x x 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3
) ( )
4 2
3 2 3 6 3 2 3
3 (2 3) 2 3
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 2 4 2 4 2 4 2 4 2
2 3 2 3 2 10 10
*
10 27 ( 5) ( 2) ( 5) ( 2) ( 5
x
dx x dx dx dx x dx
ascsen x x x c
x x x x x
x dx x dx x dx dx
x x x x x 2 2 2 2
2
2 2 2 2
3
) ( 2) ( 5) ( 2)
2 10 7 7 5
ln 10 27
( 5) ( 2) ( 5) ( 2) 2 2
dx
x
x dx dx x
x x arctg c
x x
Problemas propuestos:
2.2 Integrales de las formas:
2 2 2 2
1 1
ln ; ln
2 2
dv v a dv a v
c c
v a a v a a v a a v
Problemas propuestos:
2
4 2 2 2
2
4 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2
1 2 1
ln
4 1 (2 ) (1) 8 2 1
2 2 1 5 6
ln
25 36 (5) (6 ) 60 5 6
1 ( 1) 6
ln
2 5 ( 1) ( 6) 2 6 ( 1) 6
(3 1) 3 3 1 1
ln 1 ln
1 1 ( ) (1) 2 2 1
xdx xdx x
c
x x x
xdx xdx x
c
x x x
dx dx x
c
x x x x
x dx xdx dx x
x c
x x x x
4. 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
* ln ( 1) 2 5
2 5 ( 1) (2)
(2 1) (2 1) 1 (2 1) 1 2 1 1 1
*
2 2 2 22 4 10 2( 2 5) ( 1) (2) ( 1) (2) ( 1) (2) ( 1) (2)
1 2 1
(
2 ( 1) (2) ( 1) (2)
dx dx
x x x c
x x x
y dy y dy y dy y dy dy dy
y y y y y y y y
y dy dy
y
y y
2
2 2
2 2 2 2
2 5) ln ( 1) ( 2 5)
(2 1) 2 2 1
* 3 5 ln 3 3 5
3 33 5 3 5 ( 3 ) ( 5)
y y y y c
x dx xdx dx
x x x c
x x x
2.3 Integrales de las formas:
2 2 2 2
;
dv dv
v a v a
Las integrales de estas expresiones están dadas por :
2 2
2 2
ln
dv
v v a c
v a
Problemas propuestos:
2.4 Integrales de las siguientes formas:
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
ln
2 2
v a v
a v dv a v arcsen c
a
v a
v a dv v a v v a c
Problemas propuestos:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
5 3
5 3 ( 5) ( 3 ) 5 3
2 2 3 5
1 1
3 2 ( 2 3) (2) ( 1) 3 2 2
2 2
3 9
6 6 9 9 (x 3) (3) 6 ln ( 3) 6
2 2
x x
x dx x x arcsen c
x x
x x dx x x dx x dx x x arcsen c
x
x xdx x x dx dx x x x x x c
2.5 Integral de las potencias del seno y/o coseno
Primer caso:
5. Cuando la integral tienen la forma o bien pueden integrarse
inmediatamente usando .
Problemas propuestos:
2
2
3 4
2
cos
2
1
( )cos( ) ( )
2
3 3
cos 2 2 cos 2
4 32
1 1
( 2 3 cos3 ) 2 3 cos3 cos2 3
2 6
sen
senx xdx c
sen a bx a bx dx sen a bx c
b
xsen xdx x c
sen x sen x x dx sen xdx sen x xdx x sen x c
Segundo caso:
Cuando la integral tiene la forma o bien con n impar (Nótese que la
función trigonométrica no está multiplicado por su diferencial). En este caso, deberá
descomponerse en factores de la siguiente manera: o y
enseguida hacer las sustituciones y las operaciones necesarias.
Problemas propuestos:
3 2 2 2
3
3 2 2 2
3
2 3 2 2
* (1 cos ) cos
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2cos cos
2 3 2
* cos 5 cos 5 cos5 1 5 cos5 cos5 5 cos5
1 1
5 5
5 15
* cos cos co
x x x x x x x x
sen dx sen sen dx sen dx sen dx sen dx
x x
c
xdx x xdx sen x xdx xdx sen x xdx
sen x sen x c
sen x xdx sen x x 2 2 2 4
3 5
s (1 ) cos cos cos
3 5
xdx sen x sen x xdx sen x xdx sen x xdx
sen x sen x
c
Tercer caso
Cuando la integral tiene la forma o bien , con npar . (Note que de nueva
cuenta la función trigonométrica no está multiplicada por su diferencial). En este caso
6. 2 2 2 2
4 4 4 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
cos ( ) ( cos2x)dx cos2 2
2 2 2 4 4 2 2 8 8 8 16
1 1 1 1 1 1 1 1 1
cos ( 2 ) ( ) ( cos4 ) ( cos4 cos 4 )
2 16 16 2 2 16 4 2 4
1 1 1 1 1
( cos4 (
16 4 2 4 2
x x
sen dx senx dx sen xdx dx xdx x sen x c
sen x xdx sen x dx sen x dx x dx x x dx
x
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
cos8x)) ( cos4 cos8x) cos4 cos8 )
2 16 4 2 8 8 64 32 128 128
3 1 1
4 8
128 128 1024
dx x dx x x dx
x
sen x sen x c
deben usarse las siguientes identidades trigonométricas o
según sea el caso y enseguida realizar las operaciones necesarias.
Problemas propuestos:
2
4 2 2
1 1 1 1 1 1
cos 2 ( cos4 ) cos4 4
2 2 2 2 2 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( cos2 ) ( cos2 cos 2 ) cos2 ( cos4 )
2 2 4 2 4 4 2 4 2 2
1 1 1 1 3 1 1
cos2 cos4 2 4
4 2 8 8 8 4 32
(c
xdx x dx dx xdx x sen x c
sen xdx x dx x x dx dx xdx x dx
dx xdx dx xdx x sen x sen x c
2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
os )dx ( cos2 ) ( cos2 ) cos2 cos2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
cos2 2
2
x sen x x dx x dx dx x dx xdx
xdx sen x c
Cuarto caso:
Cuando la integral tiene la forma se usa la identidad
Problemas propuestos:
Quinto caso:
Cuando se tenga el producto del seno y coseno de diferentes argumentos, es decir de
diferentes variables, se aplicará, según corresponda, alguna de las siguientes identidades:
7. Problemas propuestos:
1 1 1 1 1
cos2 [ ( ) (3 )]dx ( ) 3 cos( ) cos3
2 2 2 2 6
1 5 7 1 5 1 7 1 5 1 7
3 cos [ ( ) ( ) ( )dx ( ) cos cos
2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 7 2
1 1
cos cos4 [cos( 3 ) cos(5 )]
2
senx xdx sen x sen x sen x dx sen xdx x x c
x
sen x dx sen x sen x dx sen x sen x dx x x c
x xdx x x
1 1 1
cos( 3 ) cos5 ( 3 ) 5
2 2 6 10
x dx xdx sen x sen x c
2.6 Integral de la tangente y/o cotangente de una variable, cuando la función
trigonométrica está elevada a la n potencia.
Primer caso:
Cuando la integral tiene la forma o bien , se integra aplicando .
Problemas propuestos:
2
2 3
3 2
4 3 5
sec 3 1
sec 3 (tan3x)
tan 3 6tan 3
6
3tan sec tan
2 2 5 2
x
dx x dx c
x x
x x x
dx c
Segundo caso:
Cuando la integral tiene la forma o bien , con , se siguen los
siguientes pasos para su integración:
Problemas propuestos:
8. 3 2 2 2
2
5 3 2 3 2 3 2 2
3 2 2
tan 2 tan 2 tan 2 (sec 2 1)tan 2 sec 2 tan 2 2
1 1
tan 2 ln sec2
4 2
tan 3 tan 3 tan 3 tan 3 (sec 3 1)dx tan 3 sec 3 tan 3 tan3
tan 3 sec 3 (sec 3 1)tan3 ta
xdx x xdx x x x xdx tan xdx
x x c
xdx x xdx x x x xdx x xdx
x xdx x xdx 3 2 2
4 2
2 2 2 2
2
n 3 sec 3 sec 3 tan3 tan3
1 1 1
tan 3 tan 3 ln cos3
12 6 3
(tan 3) (tan 6tan 9) tan 6 tan 9 (sec 1) 6 tan 9
sec 8 6 tan tan 8 6ln sec
x xdx x xdx xdx
x x x c
x dx x x xdx xdx dx x dx xdx dx
xdx dx x x x x c
