Exposicion estadistica inferencial spss
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Exposicion estadistica inferencial spss Document Transcript

  • 1. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHIESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN COMERCIAL INTERNACIONAL PORTAFOLIO DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL DOCENTE: MSC. JORGE POZO INTEGRANTES: Gabriela Cisneros 6to B MARZO 2012- AGOSTO 2012 Tulcán – Ecuador
  • 2. TEMA: Manejo de programas informáticos aplicados a la estadísticaPROBLEMAEl desconocimiento del manejo de los programas informáticos como elSPSS, no ha permitido desarrollar de manera fácil y rápida ejerciciosestadísticos aplicados en la solución de problemas de Comercio Exterior.OBJETIVOS:General:Manejar un programa informático que permita conocer y determinar losparámetros estadísticos de la estadística inferencial para aplicarlo en lasolución de problemas de comercio exterior.Específicos:  Investigar bibliográficamente información sobre el manejo de los programas estadísticos para aplicarlos adecuadamente en la solución de problemas  Aprender el uso y aplicación correcta de los programas estadísticos.  Poner en práctica los conocimientos adquiridos sobre el manejo de programa estadístico en la resolución de problemas relacionados al ámbito del comercio exterior.JUSTIFICACIONEl presente tema se lo realiza con la finalidad de adquirir conocimientossobre el programa informático SPSS el cual es un completo programa decomputación que permite el tratamiento de información a partir de variablescuantitativas y cualitativas disponibles tanto en formato SPSS como enotros formatos compatibles con el Programa por ejemplo: ASCII, SYSTAT,LOTUS, EXCEL, etc. Las funciones incorporadas en este programa facilitanel análisis estadístico descriptivo, inferencial así como la obtención de
  • 3. gráficos a partir de los distintos cálculos efectuados, el aprendizaje delmanejo de este programa permitirá desarrollar ejercicios y dar solución aproblemas mediante el análisis de los parámetros estadísticos obtenidos conla aplicación del programa.Para este trabajo hemos obtenido información de varias fuentes como loslibros de estadística inferencial, sitios web y diversos programasestadísticos, los mismos que nos han permitido realizar cada uno de losestadísticos.MARCO TEÓRICODEFINICIÓN DE ESTADÍSTICALa estadística es un conjunto de procedimientos para reunir, clasificar,codificar, procesar, analizar y resumir información numérica adquiridasistemáticamente (Ritchey, 2002). Permite hacer inferencias a partir de unamuestra para extrapolarlas a una población.La estadística es “la ciencia formada por un conjunto de teorías y técnicascuantitativas, que tiene por objeto la organización, presentación, descripción,resumen y comparación de conjuntos de datos numéricos, obtenidos depoblaciones en su conjunto de individuos o fenómenos o bien de muestrasque representan las poblaciones estudiadas, así como el estudio de suvariación, propiedades, relaciones, comportamiento probabilístico dedichos datos y la estimación, inferencia o generalización de los resultadosobtenidos de muestras, respecto a las poblaciones que aquéllasrepresentan. La estadística en la investigación científica, dada la necesidadde manejar y tratar en ellas grandes cantidades, progresivamente crecientes,de datos”. (Bravo, 1991)“La estadística es la ciencia encargada de suministrar las diferentestécnicas y procedimientos que permiten desde organizar la recolección dedatos hasta su elaboración, análisis e interpretación. Abarca dos campos
  • 4. fundamentales la estadística descriptiva y la estadística inferencial”. (DeLeón Nocedo, 2001)Para Hopkins y Glass (1997), “la estadística es un lenguaje para comunicarinformación basada en datos cuantitativos”.Douglas Montgmery (1985), define a la estadística como “el arte de tomardecisiones acerca de un proceso o una población con base en un análisis dela información contenida en una muestra tomada de la población”.Otra definición de la estadística que lo vincula al uso científico de principiosmatemáticos, a la colección, al análisis y a la presentación de datosnuméricos. Contribuyen con la investigación científica diseñando pruebas yexperimentos; la colección, el proceso, y el análisis de datos; y lainterpretación de los resultados, aplicando conocimientos matemáticos yestadísticos. El conocimiento estadístico se aplica a la biología, economía,ingeniería, medicina, salud pública, psicología, comercialización, educación ydeportes.Muchas decisiones económicas, sociales, políticas y militares no se puedentomar objetivamente sin el empleo adecuado de la estadística.En nuestro medio profesional o en la sociedad en general se requieresolucionar un problema o verificar un supuesto, para desarrollar la ciencia, latécnica y la educaciónLa estadística inferencial es un complemento de la estadística descriptiva, laprimera permite recolectar, tabular, la información de datos y la segundarealizar un análisis más profundo del tema que se está investigando. REGRESIÓN LINEALLa regresión será lineal cuando la curva obtenida o seleccionada sea unarecta. Es la recta que mejor se ajusta a los datos. Se obtiene mediante elmétodo de mínimos cuadrados. Para ello se debe calcular primero elcoeficiente de correlación lineal que permite determinar, si efectivamente,existe relación entre las dos variables. Una vez encontrada la relación, laregresión permite definir la recta que mejor se ajusta a la nube de puntos
  • 5. (gráfico de pares ordenados).Una recta viene definida por la siguientefórmula: Y = a + bXDonde "Y" sería la variable dependiente, es decir, aquella que viene definidaa partir de la otra variable "X" (variable independiente). Para definir la recta,hay que determinar los valores de los parámetros "a" y "b":(Sanchez, 2006)FORMULA DE LA REGRESIÓN CORRELACIÓN LINEALEs la técnica define un numero adimensional (sin unidades), armandocoeficiente de correlación lineal, y según el valor que alcanza el mismo nospermite decir que existe mayor o menor variación entre dos variables X e Y(Hernándes, 2007).La correlación trata de establecer la relación o dependencia que existe entrelas dos variables que intervienen en una distribución bidimensional. Es decir,determinar si los cambios en una de las variables influyen en los cambios dela otra. En caso de que suceda, diremos que las variables estáncorrelacionadas o que hay correlación entre ellas.Tipos de correlación 1º Correlación directa.- La correlación directa se da cuando al aumentar una de las variables la otra aumenta. 2º Correlación nula.- La correlación nula se da cuando no hay dependencia de ningún tipo entre las variables.(Asurza, 2006)
  • 6. PRUEBA DE HIPÓTESISUna prueba de hipótesis consiste en contrastar dos hipótesis estadísticas.Tal contraste involucra la toma de decisión acerca de las hipótesis. Ladecisión consiste en rechazar o no una hipótesis en favor de la otra. Unahipótesis estadística se denota por “H” y son dos: Ho: hipótesis nula y la H1:hipótesis alternativa. (STAND CENTER ECUADOR, 2009) Media aritmética de valores antiguos Media aritmética de valores actuales Error de la desviación estándar Distribución Normal o Curva Normal (Campana de Gauss)La curva normal es un modelo teórico o ideal sobre cómo debe comportarsela distribución de las variables en una muestra, se obtuvo de una ecuaciónmatemática.Representa una curva de distribución de frecuencias en la que la mediana, lamoda y la media de una variable son iguales entre sí, tiene forma decampana (Ritchey, 2002). Su utilidad puede ayudarnos a entendersituaciones reales.Muchas variables relacionadas a atributos psicológicos, como la inteligenciamedida en términos de Coeficiente Intelectual (CI), se distribuyen en lapoblación tomando la forma de la curva normal, en que la mayoría de loscasos se encuentran en el centro (Moda), existiendo pocos casos en losextremos, siguiendo el ejemplo del CI, existen pocos sujetos con inteligenciamuy baja por un lado y pocos genios por el otro, esto es lo que da a la curvanormal su característica forma de campana (Ritchey, 2002).
  • 7. Calificaciones z o estandarizadasLa desviación estándar proporciona una unidad de medida común (estándar)que permite comparar variables con medidas observadas diferentes(Ritchey, 2002).Supóngase que se tienen dos escalas para medir autoestima, la primera secalifica con un puntaje entre 0 y 20, y la segunda tiene calificaciones entre 0y 50, si se compararan las calificaciones obtenidas por una y otra, lospuntajes crudos muy probablemente serían mayores en la segunda escala.Sin embargo, si se considera la media de cada escala y las desviacionesestándar, es posible conocer en términos de desviaciones estándar quepuntuación se encuentra por arriba de la media o por debajo de la misma, alcomparar a dos personas.Calificación o Puntuación z: Es una puntuación estandarizada. Su sentidoes poder hacer comparaciones dentro o entre sujetos, cuando han sidomedidos con diferentes escalas.La distribución de puntuaciones z tiene una media de cero y una desviaciónestándar de 1.La X de la z es 0La s de la z es 1
  • 8. Ventajas:  Miden una escala de intervalos, en términos de unidades de desviación estándar.  Permite comparar calificaciones de varias pruebas en forma directa, incluso cuando se tienen medias y desviaciones estándar diferentes:
  • 9. Para interpretar el área bajo la curva.  El área bajo la curva representa el 100%. La mitad representa el 50% de cada lado.  El área bajo la curva es igual a 1 (convertida en términos de proporción)  Para conocer el área bajo la curva se necesitan las puntuaciones zPropósito de la Estadística InferencialSu propósito principal es estimar los atributos de la población a partir de unamuestra de casos. Se pueden probar relaciones entre variables, comparargrupos con respecto a cierta característica y hacer inferencias.Al clasificar a la estadística inferencial de acuerdo al número de variablesdependientes se tiene:Estadística Inferencial UnivariadaSegún la definición clásica, requiere de:  2 tipos de variables: Puede haber una o varias variables independientes, y solo una variable dependiente.Según la definición práctica hay una variable dependiente y unaindependiente. Para la elección de las pruebas se tomará el aspecto práctico
  • 10. VARIANZAEsta medida nos permite identificar la diferencia promedio que hay entrecada uno de los valores respecto a su punto central (Media ). Estepromedio es calculado, elevando cada una de las diferencias al cuadrado(Con el fin de eliminar los signos negativos), y calculando su promedio omedia; es decir, sumado todos los cuadrados de las diferencias de cadavalor respecto a la media y dividiendo este resultado por el número deobservaciones que se tengan. Si la varianza es calculada a una población(Total de componentes de un conjunto), la ecuación sería:Donde ( ) representa la varianza, (Xi) representa cada uno de los valores, ( ) representa la media poblacional y (N) es el número de observaciones ótamaño de la población. En el caso que estemos trabajando con unamuestra la ecuación que se debe emplear es:Donde (S2) representa la varianza, (Xi) representa cada uno de los valores, ( ) representa la media de la muestra y (n) es el número de observaciones ótamaño de la muestra. Si nos fijamos en la ecuación, notaremos que se leresta uno al tamaño de la muestra; esto se hace con el objetivo de aplicaruna pequeña medida de corrección a la varianza, intentando hacerla másrepresentativa para la población. Es necesario resaltar que la varianza nosda como resultado el promedio de la desviación, pero este valor seencuentra elevado al cuadrado.
  • 11. DESVIACIÓN ESTÁNDAR O TÍPICAEsta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación delos datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nosda como resultado un valor numérico que representa el promedio dediferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviaciónestándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto suecuación sería:Para comprender el concepto de las medidas de distribución vamos asuponer que el gerente de una empresa de alimentos desea saber que tantovarían los pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos;por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos parapesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y520) gramos respectivamente.Por lo que su media es:La varianza sería:Por lo tanto la desviación estándar sería:Con lo que concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de507 gramos, con una tendencia a variar por debajo o por encima dedicho peso en 12 gramos. Esta información le permite al gerente determinar
  • 12. cuánto es el promedio de perdidas causado por el exceso de peso en losempaques y le da las bases para tomar los correctivos necesarios en elproceso de empacado. T DE STUDENTLa prueba t de Student es una prueba paramétrica de comparación de dosmuestras, es decir necesita cumplir las siguientes características:  Selección completamente aleatoria de los grupos  Homocedasticidad (homogeneidad de las varianzas de la variable dependiente en ambos grupos)  Distribución normal de la variable dependiente en los dos grupos  Nivel intervalar de la variable dependienteSu función es comparar dos grupos de puntuaciones (medias aritméticas) ydeterminar que la diferencia no se deba al azar (que las diferencia seaestadísticamente significativa).Esta prueba tiene dos modalidades, una para muestras independientes yotra para grupos relacionados.Se obtiene a partir de considerar que la muestra pequeña se obtiene a partirde una población con distribución normal, si la hipótesis anterior no secumple será necesario utilizar los métodos no paramétricos para la pruebade hipótesis. La distribución t - student o simplemente distribución t es aligual que la distribución normal una distribución continua en forma decampana simétrica.(Vargas, 1995). La prueba t para muestrasindependientes se calcula mediante la siguiente fórmula:Para calcular el error estándar de la diferencia entre medias:
  • 13. Tabla de Valores Críticos para la Prueba tDistribución NormalLa distribución normal fue estudiada por Gauss. Se trata de una variablealeatoria continua (la variable puede tomar cualquier valor real). La funciónde densidad tiene forma de campana.Dos parámetros determinan una distribución normal: la media y la desviacióntípica. Cuanto mayor sea la desviación típica mayor es la dispersión de lavariable.La distribución normal es simétrica respecto de la media.
  • 14. Distribución binomialCuando se modela una situación en la que hay n ensayos independientescon una probabilidad p de "éxito" constante en cada ensayo utilizamos unadistribución binomial.Por ejemplo, el lanzamiento de n monedas iguales y contamos como éxito elsacar cara. La probabilidad de sacar cara puede ser cualquier valor entre 0 y1.Una distribución binomial se caracteriza por dos parámetros: n (un númeronatural) y p un número entre 0 y 1.Si una variable aleatoria X sigue una distribución binomial con parámetros ny p podemos escribir:
  • 15. CHI CUADRADO (X2)La prueba de independencia Chi-cuadrado, nos permite determinar si existeuna relación entre dos variables categóricas. Es necesario resaltar que estaprueba nos indica si existe o no una relación entre las variables, pero noindica el grado o el tipo de relación; es decir, no indica el porcentaje deinfluencia de una variable sobre la otra o la variable.(Moreno, 2007)Grados de libertadSon la libertad de variaciones que puede tener una variable, suponiendo quese tuvieran 4 puntuaciones cuya media es igual a 10 al tener los valores delas tres primeras, la última estará determinada por las primeras, por ejemplo:7, 12, 15, la última puntuación necesariamente es 6. La cantidad decomparaciones independientes se determina a partir de los grados delibertad, que normalmente se calcula teniendo el tamaño de la muestramenos uno.Sin embargo los grados de libertad se obtienen de manera diferente paracada prueba, por lo que se debe estar atento a cada uno de losprocedimientos.La prueba de Chi cuadrada o Ji cuadrada (X2) pertenece a las pruebas noparamétricas de comparación de dos o más muestras independientes:  No se distribuye normalmente, se utiliza la distribución asintótica de Chi cuadrada.  Nivel nominal de la variable dependienteSe usa para comparar dos o más grupos independientes de proporcionesorganizadas en una tabla de contingencia y determinar que las diferencias
  • 16. no se deban al azar (que las diferencias sean estadísticamentesignificativas).La fórmula para calcular la X2 es la siguiente:Prueba de Chi cuadrada para una tabla de 2 X 2Para la Chi cuadrada con tablas de contingencia de dos por dos, mismasque tienen un grado de libertad, la fórmula varía además incorporando unacorrección de continuidad que mejora la aproximación a la distribuciónmuestral de X2.Las celdas se enumeran como sigue: A C B DLa fórmula a utilizar es la siguiente:
  • 17. PROGRAMA ESTADÍSTICO SPSSEl SPSS (Statistical Product and Service Solutions) es una potenteherramienta de tratamiento de datos y análisis estadístico.El SPSS es un paquete estadístico de Análisis de datos con más de 20 añosde aplicación en la investigación de las ciencias sociales y económicas.Contiene programas capaces de realizar desde un simple análisis descriptivohasta diferentes tipos de análisis multivariante de datos, como pueden ser:análisis discriminante, análisis de regresión, cluster, análisis de varianza, etc.También permite analizar series temporales, obtener tablas de frecuencias,realizar gráficos. VENTAJAS INCONVENIENTES  Permite un importantísimo ahorro de  El aprendizaje del manejo de tiempo y esfuerzo, realizando en paquetes de programas segundos un trabajo que requeriría estadísticos requiere un cierto horas e incluso días. esfuerzo.  Hace posible cálculos más exactos,  A veces, la capacidad de cálculo evitando los redondeos y del evaluador supera la capacidad aproximaciones del cálculo manual. para comprender el análisis realizado e interpretar los  Permite trabajar con grandes resultados. cantidades de datos, utilizando muestras mayores e incluyendo más  Lleva a veces a una sofisticación variables. innecesaria, al permitir el empleo de técnicas complejas para  Permite trasladar la atención desde responder a cuestiones simples. las tareas mecánicas de cálculo a las tareas conceptuales: decisiones sobre el proceso, interpretación de resultados, análisis crítico.Fuente: (Tomado de Álvarez, García, Gil, Martínez, Romero y Rodríguez, 2002)
  • 18. PASOS PARA EL PROGRAMA SPSS1.- Damos clic en la opción archivo para transferir los datos de exel.2.- Damos clic en medida y colocamos la opción escala porque vamos aemplear datos numéricos.
  • 19. 3.- Buscar el archivo donde se encuentren los datos que se van analizar.4.- Damos clic en archivo de tipo y seleccionamos el tipo de documento eneste caso Excel.
  • 20. 5.- Damos clic en abrir documento.6.- Se despliega una venta y damos clic en aceptar.
  • 21. 7.- Luego aparecen los datos importados desde Excel al programa spss. CÁLCULO DE LA VARIANZA1.- Damos clic en la pestaña analizar y escogemos las opciones estadísticosdescriptivos y descriptivos.
  • 22. 2.- Trasferimos las variables.3.- Damos clic en opciones y se despliega un cuadro y seleccionamosvarianza y damos clic en continuar y aceptar.
  • 23. 4.- Obtenemos el resultado de varianza la cual nos permitirá identificar ladiferencia promedio que hay entre cada uno de los valores respecto a supunto central. CÁLCULO DE CORRELACIÓN1.-Damos clic en la pestaña analizar y escogemos las opciones correlación ybivariados porque son dos variables.
  • 24. 2.- Una vez Trasferidos los datos, damos clic en opciones y escogemosmedidas y desviación típica, la r de Pearson y aceptar.3.- Obtenemos el resultado de la r de Pearson.
  • 25. 4.- Seleccionamos la opción gráficos y escogemos cuadro de diálogodispersión de puntos.5.- Hacemos clic en dispersión de puntos.
  • 26. 6.- Trasferimos los datos y aceptamos.7.- Obtenemos la gráfica de Pearson.
  • 27. CÁLCULO DE LA REGRESIÓN1.- Damos clic en analizar escogemos regresión y lineales.2.- Trasferimos la variables dependiente e independiente y aceptamos.
  • 28. 3.- Obtenemos la ecuación. CÁLCULO CHI CUADRADO1.- Damos clic en analizar y acogemos pruebas no paramétrica y cuadro dediálogo y chi cuadrado.
  • 29. 2.- Trasferimos las variables, seleccionamos opciones y escogemosdescriptivos, continuar y aceptar.3.- Obtenemos el resultado de chi cuadrado.
  • 30. CÁLCULO T STUDENT1.- Damos clic en analizar opción comparar medias y prueba de T para unamuestra.2.- Trasferimos los los datos y aceptamos.
  • 31. 3.- Obtenemos el resultado de la t de student. PRUEBA DE HIPOTESISDamos clic en la pestaña analizar, conservar medidas y seleccionamosprueba T para una muestra
  • 32. CONCLUSIONES  Dentro de esta investigación se trata la aplicación de las herramientas de la estadística inferencial, como la correlación y relación lineal, prueba de hipótesis, t-student y chi-cuadrado dentro de un sistema informático (estadístico) denominado SPSS el cual permite el desarrollo de cálculos de manera eficaz y correcta ahorrando tiempo.  Mediante correcta aplicación de este programa estadístico obtenemos mayor conocimiento en base a los resultados que obtengamos atraves de la aplicación de cada instrumento estadístico podemos emitir criterios acertados acerca de si es conveniente tomar una decisión.  Atraves de la buena resolución del problema que nos planteamos podemos poner en práctica todo lo aprendido dentro de la materia de estadística inferencial y sobre todo que podemos aplicarlo relacionándolo con las diferentes materias de comercio exterior.RECOMENDACIONES  La correcta aplicación de datos estadísticos dentro del sistema informático SPSS permite obtener un resultado acertado dentro de la resolución de problemas que también pueden ser resueltos a mano con la utilización de correlación y regresión lineal así coma también de prueba de hipótesis , T-Student y prueba de Chi-Cuadrado; pero el sistema informático SPSS realiza el cálculo de los problemas con mayor rapidez y exactitud esto siempre y cuando se introduzca de manera correcta los datos que permiten realizar el cálculo.  Como estudiantes debemos estar al tanto de lo que nos ofrece la tecnología ya que nos permite conocer programas que facilitan la resolución de problemas como lo es el spss dentro de la estadística, convirtiéndose en una herramienta de gran ayuda para ser más eficientes en nuestras tareas en las cuales necesitemos de la resolver cálculos extensos y difíciles.
  • 33.  La investigación es una gran ayuda para poder facilitar los problemas que se nos presentan por lo que como estudiante debemos estar al tanto de lo que se descubre a diario ya que así podremos desenvolvernos de mejor manera en clases como en las labores que se nos asignen, un ejemplo de ello es la utilización de el spss que es un sistema informático que nos facilita la compresión de muchas herramientas estadística ayudándonos a una correcta toma de decisiones.CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES DíasActividad Mar, Mié, Jue, Vie, Sáb, Dom, Lun, Mar, Mié, Jue, Responsable 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12Clase 1 Claudia Ch. Gabriela C. Marisol I. Amanda O. María P. Jéssica T.Iniciar Claudia Ch.con los Gabriela C.ejercicios Marisol I. Amanda O. María P. Jéssica T.Clase 2 Claudia Ch. Gabriela C. Marisol I. Amanda O. María P. Jéssica T. Claudia Ch. Gabriela C. Marisol I. Amanda O. María P. Jéssica T.
  • 34. BIBLIOGRAFÍAFreund, J., & Simon, G. (2007). Estadistica Elemental. Mexico: PEARSON.Larson, H. (2005). Probabilidades e Inferencia Estadistica. Mexico: GrupoNoriega Editorial.Luna, F. (2010). DEFINICIONESABC. Recuperado el 5 de julio de 2012, deDEFINICIONESABC: www.definiciones.comNolberto, V., & Ponce, M. (2008). ESTADISTICA INFERENCIAL APLICADA.Lima: Elena Soto Loaysa.Vargas, A. (2000). Estadistica Descriptiva E Inferencial. Ciencia y Tecnica.Wackerly, Mendenhall, & Schaffer. (2007). Estadistica Matematica conAplicaciones. Mexico: Cengage Learning.Asurza, H. (2006). Estadistica inferencial. Lima: Publicaciones Adventure Work.Hernándes, A. (2007). Análisis de series Temporales Económicas. Madreid: ESIC.Moreno, J. (2007). Manual de la estadistica. Madrid: ESSIC.Sanchez, M. (2006). Estadistica Inferencial. España: Publicaciones Adventure Works .STAND CENTER ECUADOR. (Diciembre de 2009). www.stadcenterecuador.com. Recuperado el 4 de Julio de 2012, de http://www.stadcenterecuador.com/contenidos/estadistica- inferencial.html?start=2Tucker, T. (2007). Estadistica Básica en Administración, Conceptos y Aplicaciones. Mexico.Vargas, A. (1995). Estadistica descriptiva e inferencial. Cuenca: COMPOBELL.
  • 35. ANEXOSPROBLEMA EJEMPLO DE LA FORMA NORMALLa almacenera TCI estudia la relación entre ingreso importaciones (X) y deegreso de exportaciones (Y) mensuales Una muestra aleatoria de susexportaciones y importaciones reveló los siguientes datos en dólares:X 350 400 450 500 950 850 700 900 600Y 100 110 130 160 350 350 250 320 130DesarrolloComo primer paso empezamos realizando la tabla de las dos variables INGRESOS AHORROSN X Y XY X 2 Y 2 (xi-x) 2 (yi-y) 21 350 100 35000 122500 10000 80275,89 12345,432 400 110 44000 160000 12100 54442,89 10223,233 450 130 58500 202500 16900 33609,89 6578,834 500 160 80000 250000 25600 17776,89 2612,235 950 350 332500 902500 122500 100279,89 19290,436 850 350 297500 722500 122500 46945,89 19290,437 700 250 175000 490000 62500 4444,89 1512,438 900 320 288000 810000 102400 71112,89 11857,039 600 130 78000 360000 16900 1110,89 6578,83∑ 5700 1900 1388500 4020000 491400 410000 90288,89X=Y=
  • 36. -73.89Ecuación lineal de las dos variables.Diagrama de dispersión en el plano cartesiano 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 200 400 600 800 1000
  • 37. Ingreso que corresponde a un ahorro semanal de 90 dólares.Si el ahorro es de 200 dólares que gasto puede realizar el obrero en dichasemana.Si el ingreso es de 350 dólares cual es el salario.PASOS DE UNA PRUEBA DE HIPOTESISPrimer paso formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativaHipótesis nulaHo = β=0La hipótesis alternativaHa= β<0; β>0Segundo paso determinar si la prueba es unilateral o bilateralBilateralTercer paso Asumir el nivel se significación de la prueba95% 1,96Cuarto paso determinar la distribución maestral que se usara en laprueba
  • 38. Como n es menor que 30 utilizaremos la T de studentQuinto paso elaborar el esquema de la prueba -1.96 +1.96Sexto paso calcular el estadístico de la prueba
  • 39. Problema Del Contexto De Comercio Exterior Aplicado En ElPrograma Spss StadisticsLa almacenera TCI estudia la relación entre ingreso importaciones (X) y deegreso de exportaciones (Y) mensuales Una muestra aleatoria de susexportaciones e importaciones reveló los siguientes datos en dólares: 100 27 3.650 84 700 51 50 20 185 1.600 1.350 22 900 43 50 25 80 10 2.700 98 525 56 1.500 439 60 12 40 18 60 11,7 60 33 1.556 71 1.280 68 90 0 100 25 1.168 652 50 24 80 48 120 25 1.332 63 1.400 235 1.350 22 3.680 158 100 55 150 31 1.943 20 50 12 80 10 5.522 97 80 163 150 117 2.700 94 50 37 70 20 770 69 4.680 266 80 48 308 296 700 15 9.516 2.660 80 23 789 30 4.218 116 9.516 2.702 5.672 97 8.316 2.190 60 24 1.586 71 100 109 3.261 219 150 132 40 14 1.593 107 40 12 180 65 50 146 100 13 650 25 240 225 4.000 27 40 55 3.650 70
  • 40. Frecuencias Estadísticos mas de 100 menos de 100N Válidos 67 67 Perdidos 0 0 Media 126.0319 80.1217 Mediana 50.0000 48.0000 a Moda 50.00 25.00 Des . típ. 215.95320 107.27079 Varianza 46635.785 11507.022 Mínimo 1.17 .00 Máximo 900.00 652.00Percentiles 25 3.6800 20.0000 50 50.0000 48.0000 75 100.0000 98.0000a. Existen varias modas. Se mostrará el menor de los valores.Tabla de frecuencia Mas de 100 Frecuencia Porcentaje Porcentaje válido Porcentaje acumuladoVálidos 1.17 1 1.5 1.5 1.5 1.28 1 1.5 1.5 3.0 1.33 1 1.5 1.5 4.5 1.35 2 3.0 3.0 7.5 1.40 1 1.5 1.5 9.0 1.50 1 1.5 1.5 10.4 1.56 1 1.5 1.5 11.9 1.59 1 1.5 1.5 13.4 1.59 1 1.5 1.5 14.9 1.94 1 1.5 1.5 16.4 2.70 2 3.0 3.0 19.4 3.26 1 1.5 1.5 20.9 3.65 2 3.0 3.0 23.9 3.68 1 1.5 1.5 25.4 4.00 1 1.5 1.5 26.9 4.22 1 1.5 1.5 28.4 4.68 1 1.5 1.5 29.9
  • 41. 5.52 1 1.5 1.5 31.3 5.67 1 1.5 1.5 32.8 8.32 1 1.5 1.5 34.3 9.52 2 3.0 3.0 37.3 40.00 4 6.0 6.0 43.3 50.00 6 9.0 9.0 52.2 60.00 4 6.0 6.0 58.2 70.00 1 1.5 1.5 59.7 80.00 6 9.0 9.0 68.7 90.00 1 1.5 1.5 70.1 100.00 5 7.5 7.5 77.6 120.00 1 1.5 1.5 79.1 150.00 3 4.5 4.5 83.6 180.00 1 1.5 1.5 85.1 185.00 1 1.5 1.5 86.6 240.00 1 1.5 1.5 88.1 308.00 1 1.5 1.5 89.6 525.00 1 1.5 1.5 91.0 650.00 1 1.5 1.5 92.5 700.00 2 3.0 3.0 95.5 770.00 1 1.5 1.5 97.0 789.00 1 1.5 1.5 98.5 900.00 1 1.5 1.5 100.0 Total 67 100.0 100.0 menos de 100 Frecuencia Porcentaje Porcentaje válido Porcentaje acumuladoVálidos .00 1 1.5 1.5 1.5 1.60 1 1.5 1.5 3.0 2.19 1 1.5 1.5 4.5 2.66 1 1.5 1.5 6.0 2.70 1 1.5 1.5 7.5 10.00 2 3.0 3.0 10.4 12.00 3 4.5 4.5 14.9 13.00 1 1.5 1.5 16.4 14.00 1 1.5 1.5 17.9 15.00 1 1.5 1.5 19.4 18.00 1 1.5 1.5 20.9 20.00 3 4.5 4.5 25.4
  • 42. 22.00 2 3.0 3.0 28.423.00 1 1.5 1.5 29.924.00 2 3.0 3.0 32.825.00 4 6.0 6.0 38.827.00 2 3.0 3.0 41.830.00 1 1.5 1.5 43.331.00 1 1.5 1.5 44.833.00 1 1.5 1.5 46.337.00 1 1.5 1.5 47.843.00 1 1.5 1.5 49.348.00 2 3.0 3.0 52.251.00 1 1.5 1.5 53.755.00 2 3.0 3.0 56.756.00 1 1.5 1.5 58.263.00 1 1.5 1.5 59.765.00 1 1.5 1.5 61.268.00 1 1.5 1.5 62.769.00 1 1.5 1.5 64.270.00 1 1.5 1.5 65.771.00 2 3.0 3.0 68.784.00 1 1.5 1.5 70.194.00 1 1.5 1.5 71.697.00 2 3.0 3.0 74.698.00 1 1.5 1.5 76.1100.00 1 1.5 1.5 77.6107.00 1 1.5 1.5 79.1109.00 1 1.5 1.5 80.6116.00 1 1.5 1.5 82.1117.00 1 1.5 1.5 83.6132.00 1 1.5 1.5 85.1146.00 1 1.5 1.5 86.6158.00 1 1.5 1.5 88.1163.00 1 1.5 1.5 89.6219.00 1 1.5 1.5 91.0225.00 1 1.5 1.5 92.5235.00 1 1.5 1.5 94.0266.00 1 1.5 1.5 95.5296.00 1 1.5 1.5 97.0439.00 1 1.5 1.5 98.5652.00 1 1.5 1.5 100.0Total 67 100.0 100.0
  • 43. Gráfico Notas Resultados creados 12-jul-2012 04:03:51 ComentariosEntrada Datos C:UsersUSERDocumentsestadistica ojos aja sav Conjunto de datos activo Conjunto_de_datos1 Filtro <ninguno> Peso <ninguno> Segmentar archivo <ninguno> Núm. de filas del archivo de trabajo 67 Sintaxis GRAPH /SCATTERPLOT(BIVAR)=import WITH export /MISSING=LISTWISE.Recursos Tiempo de procesador 0:00:01.046 Tiempo transcurrido 0:00:01.073
  • 44. Correlaciones Notas Resultados creados 12-jul-2012 04:04:46 ComentariosEntrada Datos C:UsersUSERDocumentsestadistica ojos aja.sav Conjunto de datos activo Conjunto_de_datos1 Filtro <ninguno> Peso <ninguno> Segmentar archivo <ninguno> Núm. de filas del archivo de 67 trabajoManipulación de los valores Definición de valores Los valores perdidos definidos por elperdidos perdidos usuario serán tratados como perdidos. Casos utilizados Los estadísticos para cada par de variables se basan en todos los casos que tengan datos válidos para dicho par. Sintaxis CORRELATIONS /VARIABLES=export import /PRINT=TWOTAIL NOSIG /STATISTICS DESCRIPTIVES /MISSING=PAIRWISE.Recursos Tiempo de procesador 0:00:00.047 Tiempo transcurrido 0:00:00.121 Estadísticos descriptivos Media Desviación típica Nmenos de 100 80.1217 107.27079 67mas de 100 126.0319 215.95320 67 Correlaciones menos de 100 mas de 100menos de 100 Correlación de Pearson 1 -.120 Sig. (bilateral) .333
  • 45. N 67 67mas de 100 Correlación de Pearson -.120 1 Sig. (bilateral) .333 N 67 67Regresión Notas Resultados creados 12-jul-2012 04:05:26 ComentariosEntrada Datos C:UsersUSERDocumentsestadistica ojos aja.sav Conjunto de datos activo Conjunto_de_datos1 Filtro <ninguno> Peso <ninguno> Segmentar archivo <ninguno> Núm. de filas del archivo de 67 trabajoTratamiento de los datos Definición de perdidos Los valores perdidos definidos por elperdidos usuario se tratarán como perdidos. Casos utilizados Los estadísticos se basan en los casos sin valores perdidos para ninguna variable de las utilizadas. Sintaxis REGRESSION /DESCRIPTIVES MEAN STDDEV CORR SIG N /MISSING LISTWISE /STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA CHANGE ZPP /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10) /NOORIGIN /DEPENDENT expota /METHOD=ENTER importa.Recursos Tiempo de procesador 0:00:00.062 Tiempo transcurrido 0:00:00.074 Memoria necesaria 1356 bytes Memoria adicional requerida 0 bytes para los diagramas de residuos
  • 46. Estadísticos descriptivos Media Desviación típica Nmenos de 100 80.1217 107.27079 67mas de 100 126.0319 215.95320 67 Correlaciones menos de 100 mas de 100Correlación de Pearson menos de 100 1.000 -.120 mas de 100 -.120 1.000Sig. (unilateral) menos de 100 . .167 mas de 100 .167 .N menos de 100 67 67 mas de 100 67 67 Variables introducidas/eliminadasModelo Variables introducidas Variables eliminadas Método a1 mas de 100 . Introducira. Todas las variables solicitadas introducidas.b. Variable dependiente: menos de 100 Resumen del modeloModelo R R cuadrado R cuadrado corregida Error típ. de la estimación a1 .120 .014 .000 107.31146a. Variables productoras: (Constante), mas de 100 Resumen del modeloModelo Estadísticos de cambio Cambio en R Cambio en F gl1 gl2 Sig. Cambio en F cuadrado1 .014 .950 1 65 .333
  • 47. b ANOVAModelo Suma de gl Media cuadrática F Sig. cuadrados a1 Regresión 10939.720 1 10939.720 .950 .333 Residual 748523.701 65 11515.749 Total 759463.421 66a. Variables productoras: (Constante), mas de 100b. Variable dependiente: menos de 100 CoeficientesModelo Coeficientes no estandarizados Coeficientes tipificados B Error típ. Beta t Sig.1 (Constante) 87.635 15.209 5.762 .000 mas de 100 -.060 .061 -.120 -.975 .333a. Variable dependiente: menos de 100 CoeficientesModelo Correlaciones Orden cero Parcial Semiparcial1 mas de 100 -.120 -.120 -.120a. Variable dependiente: menos de 100Estimación curvilínea Notas Resultados creados 12-jul-2012 04:06:06 ComentariosEntrada Datos C:UsersUSERDocumentsestadistica ojos aja.sav Conjunto de datos activo Conjunto_de_datos1 Filtro <ninguno> Peso <ninguno> Segmentar archivo <ninguno> Núm. de filas del archivo de 67 trabajoTratamiento de los datos Definición de perdidos Los valores perdidos definidos por elperdidos usuario se tratarán como perdidos. Casos utilizados Los casos con un valor perdido en
  • 48. cualquier variable no se utilizan en el análisis. Sintaxis CURVEFIT /VARIABLES=export WITH import /CONSTANT /MODEL=LINEAR /PLOT FIT.Recursos Tiempo de procesador 0:00:00.936 Tiempo transcurrido 0:00:01.074Usar Desde Primera observación Hasta Última observaciónPronóstico Desde Primera observación de acuerdo con el período de uso Hasta Última observaciónAjustes para las series Cantidad de resultados PRINT = DEFAULTtemporales (TSET) Guarda de nuevas variables NEWVAR = NONE Número máximo de retardos MXAUTO = 16 en los gráficos de auto correlaciones o auto correlaciones parciales Número máximo de retardos MXCROSS = 7 por gráficos de correlaciones cruzadas Número máximo de variables MXNEWVAR = 60 nuevas generadas por cada procedimiento Número máximo de casos MXPREDICT = 1000 nuevos generados por cada procedimiento Tratamiento de los valores MISSING = EXCLUDE perdidos definidos por el usuario Valor del porcentaje para los CIN = 95 intervalos de confianza Tolerancia para la entrada de TOLER = ,0001 variables en las ecuaciones de regresión Máximo cambio iterativo en CNVERGE = ,001 los parámetros Método para el cálculo de los ACFSE = IND errores típicos de las auto
  • 49. correlaciones Longitud del período Sin especificar estacional Variable cuyos valores Sin especificar etiquetan las observaciones en los gráficos Las ecuaciones incluyen CONSTANTE Descripción del modelo Nombre del modelo MOD_1Variable dependiente 1 menos de 100Ecuación 1 Lineal Variable independiente mas de 100 Constante Incluidos Variable cuyos valores etiquetan Sin especificar las observaciones en los gráficos Resumen del procesamiento de los casos NTotal de casos 67Casos excluidos 0Casos pronosticados 0Casos creados nuevos 0a. Los casos con un valor perdido en cualquier variable se excluyen del análisis. Resumen del procesamiento de las variables Variables Dependiente Independiente menos de 100 mas de 100 Número de valores positivos 66 67 Número de ceros 1 0 Número de valores negativos 0 0Número de valores perdidos Perdidos definidos por el 0 0 usuario Perdidos del sistema 0 0
  • 50. Resumen del modelo y estimaciones de los parámetrosVariable dependiente :menos de 100Ecuación Resumen del modelo Estimaciones de los parámetros R cuadrado F gl1 gl2 Sig. Constante b1Lineal .014 .950 1 65 .333 87.635 -.060La variable independiente es mas de 100 .Pruebas no paramétricas Notas Resultados creados 12-jul-2012 04:10:29 ComentariosEntrada Datos C:UsersUSERDocumentsestadistica ojos aja. sav Conjunto de datos activo Conjunto_de_datos1 Filtro <ninguno> Peso <ninguno> Segmentar archivo <ninguno> Núm. de filas del archivo de 67 trabajo
  • 51. Manipulación de los valores Definición de los perdidos Los valores perdidos definidos por elperdidos usuario será tratados como perdidos. Casos utilizados Los estadísticos para cada prueba se basan en todos los casos con datos válidos para las variables usadas en dicha prueba. Sintaxis NPAR TESTS /CHISQUARE=export import /EXPECTED=EQUAL /STATISTICS DESCRIPTIVES QUARTILES /MISSING ANALYSIS.Recursos Tiempo de procesador 0:00:00.078 Tiempo transcurrido 0:00:00.097 Número de casos permitidos 157286a. Basado en la disponibilidad de memoria en el espacio de trabajo. Estadísticos descriptivos N Media Desviación típica Mínimo Máximomenos de 100 67 80.1217 107.27079 .00 652.00mas de 100 67 126.0319 215.95320 1.17 900.00 Estadísticos descriptivos Percentiles 25 50 (Mediana) 75menos de 100 20.0000 48.0000 98.0000mas de 100 3.6800 50.0000 100.0000
  • 52. Prueba de chi-cuadradoFrecuencias menos de 100 N observado N esperado Residual.00 1 1.3 -.31.60 1 1.3 -.32.19 1 1.3 -.32.66 1 1.3 -.32.70 1 1.3 -.310.00 2 1.3 .712.00 3 1.3 1.713.00 1 1.3 -.314.00 1 1.3 -.315.00 1 1.3 -.318.00 1 1.3 -.320.00 3 1.3 1.722.00 2 1.3 .723.00 1 1.3 -.324.00 2 1.3 .725.00 4 1.3 2.727.00 2 1.3 .730.00 1 1.3 -.331.00 1 1.3 -.333.00 1 1.3 -.337.00 1 1.3 -.343.00 1 1.3 -.348.00 2 1.3 .751.00 1 1.3 -.355.00 2 1.3 .756.00 1 1.3 -.363.00 1 1.3 -.365.00 1 1.3 -.368.00 1 1.3 -.369.00 1 1.3 -.370.00 1 1.3 -.371.00 2 1.3 .784.00 1 1.3 -.394.00 1 1.3 -.397.00 2 1.3 .7
  • 53. 98.00 1 1.3 -.3100.00 1 1.3 -.3107.00 1 1.3 -.3109.00 1 1.3 -.3116.00 1 1.3 -.3117.00 1 1.3 -.3132.00 1 1.3 -.3146.00 1 1.3 -.3158.00 1 1.3 -.3163.00 1 1.3 -.3219.00 1 1.3 -.3225.00 1 1.3 -.3235.00 1 1.3 -.3266.00 1 1.3 -.3296.00 1 1.3 -.3439.00 1 1.3 -.3652.00 1 1.3 -.3Total 67 mas de 100 N observado N esperado Residual1.17 1 1.7 -.71.28 1 1.7 -.71.33 1 1.7 -.71.35 2 1.7 .31.40 1 1.7 -.71.50 1 1.7 -.71.56 1 1.7 -.71.59 1 1.7 -.71.59 1 1.7 -.71.94 1 1.7 -.72.70 2 1.7 .33.26 1 1.7 -.73.65 2 1.7 .33.68 1 1.7 -.74.00 1 1.7 -.74.22 1 1.7 -.74.68 1 1.7 -.75.52 1 1.7 -.75.67 1 1.7 -.7
  • 54. 8.32 1 1.7 -.79.52 2 1.7 .340.00 4 1.7 2.350.00 6 1.7 4.360.00 4 1.7 2.370.00 1 1.7 -.780.00 6 1.7 4.390.00 1 1.7 -.7100.00 5 1.7 3.3120.00 1 1.7 -.7150.00 3 1.7 1.3180.00 1 1.7 -.7185.00 1 1.7 -.7240.00 1 1.7 -.7308.00 1 1.7 -.7525.00 1 1.7 -.7650.00 1 1.7 -.7700.00 2 1.7 .3770.00 1 1.7 -.7789.00 1 1.7 -.7900.00 1 1.7 -.7Total 67 Estadísticos de contraste menos de 100 mas de 100 a bChi-cuadrado 16.045 44.642gl 51 39Sig. asintót. 1.000 .247a. 52 casillas (100,0%) tienen frecuencias esperadas menores que 5. La frecuencia de casilla esperadamínima es 1,3.b. 40 casillas (100,0%) tienen frecuencias esperadas menores que 5. La frecuencia de casilla esperadamínima es 1,7.
  • 55. Prueba T Notas Resultados creados 12-jul-2012 04:26:46 ComentariosEntrada Datos C:UsersUSERDocumentsestadistica ojos aja. sav Conjunto de datos activo Conjunto_de_datos1 Filtro <ninguno> Peso <ninguno> Segmentar archivo <ninguno> Núm. de filas del archivo de 25 trabajoTratamiento de los valores Definición de los perdidos Los valores perdidos definidos por elperdidos usuario serán tratados como perdidos. Casos utilizados Los estadísticos de cada análisis de una lista se basan en los casos que no tienen datos perdidos ni quedan fuera de rango en cualquiera de las variables de la lista. Sintaxis T-TEST GROUPS=importa(2) /MISSING=LISTWISE /VARIABLES=expota /CRITERIA=CI(.95).Recursos Tiempo de procesador 0:00:00.031 Tiempo transcurrido 0:00:00.020 Estadísticos de grupo mas de N Media Desviación típ. Error típ. de la 100 mediamenos de 100 >= 2,00 20 64.3981 84.64776 18.92782 < 2,00 5 165.6000 272.89247 122.04122 Prueba de muestras independientes Prueba de Levene para la Prueba T para la igualdad de igualdad de varianzas medias F Sig. t gl
  • 56. menos de Se han asumido 9.646 .005 -1.473 23100 varianzas iguales No se han asumido -.819 4.194 varianzas iguales Prueba de muestras independientes Prueba T para la igualdad de medias Sig. (bilateral) Diferencia de Error típ. de la medias diferenciamenos de 100 Se han asumido varianzas .154 -101.20190 68.68492 iguales No se han asumido .457 -101.20190 123.50029 varianzas iguales Prueba de muestras independientes Prueba T para la igualdad de medias 95% Intervalo de confianza para la diferencia Inferior Superiormenos de 100 Se han asumido varianzas iguales -243.28747 40.88367 No se han asumido varianzas -437.92105 235.51725 iguales
  • 57. PARCIAL TOTALM MAYOR MENTE PARTE MATRIZ PARA TRABAJOS Y PRODUCTOS FINALES EN SU APLICA POCO NADA ENTE NO NIVEL.- FECHA.- Asignatura.- 1 2 3 4 5 1 Utiliza el método científico en la planificación de la investigación y/o trabajos 2 Utiliza el método científico en la ejecución de la investigación y/o trabajos 3 Utiliza el método científico en el informe de la investigación y/o trabajos 4 Identifica las causas del problema 5 Identifica los efectos del problema 6 Expresa claramente los antecedentes del problema (planteamiento) 7 Formula el problema identificando claramente las variables 8 Analiza la factibilidad económica del proyecto y/o trabajo 9 Analiza la factibilidad tecnológica del proyecto y/o trabajo10 Analiza la factibilidad bibliográfica del proyecto y/o trabajo11 Plantea soluciones al problema de investigación12 Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Tic´s. en la redacción del informe13 Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Sintaxis14 Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Ortografía15 Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Redacción (citas)16 Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Estadística17 Análisis de resultados18 Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: matemática19 Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Protocolos de redacción20 Conclusiones y Recomendaciones21 Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Bibliografía22 Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación oral con facilidad.23 Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación oral con claridad24 Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación oral con coherencia. Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación digital precisa y25 pertinente Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación escrita precisa y26 pertinente27 Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación escrita (ABSTRACT)28 Las investigaciones y/o trabajos son temas de actualidad29 Las investigaciones y/o trabajos ayudan a la solución de problemas contemporáneos30 Utiliza información actualizada para los trabajos y/o investigación31 Trabajo en equipo: Es colaborador (a)32 Trabajo en equipo: Es creativo (a)33 Trabajo en equipo: Es propositivo (a)34 Trabajo en equipo: Acepta propuestas35 Trabajo en equipo: Es puntual36 Trabajo en equipo: Plantea estrategias de trabajo37 Trabajo en equipo: Es operativo (a) TOTAL 0 0 0 0 0 SUMAN TOTAL 0,00 NOTA FINAL 0,00 Nombre.- PROTOCOLO DE REDACCION. TAMAÑO DE PAPEL A4 PESO 75 GMS ESPACIO INTERLINEAL 1,5 FIRMA ESTUDIANTE TAMAÑO LETRA 12 TIPO DE LETRA ARIAL COLOR LETRA NEGRO MARGENES superior 2,5 izquierdo 4 inferior y derecho 2,5 NÚMERO DE PÁGINA INFERIOR CENTRO FIRMA DOCENTE ROMANOS PÁGINAS PRELIMINARES MINÚSCULA CUERPO DEL INFORME arábigos -2- TÍTULO DEL CAPÍTULO SIN NÚMERO