1. CH NH H P L P - T
H PL P
Tr n Th Thanh Hư ng, Tr n ð c Duy, Mai H u Nhân, 11T
THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long
Bài toán m ñ u. Có bao nhiêu cách x p 4 viên bi gi ng nhau vào 3 h p khác nhau.
L i gi i. bài toán bày chúng ta có th li t kê các trư ng h p có th x y ra như sau: G i s viên bi
x p vào h p 1, h p 2, h p 3, l n lư t là x, y, z . Các trư ng h p có th x y ra ñ i v i ( x, y, z ) là: (4;0;0),
(0;4;0), (0;0;4), (1;1;2), (1;2;1), (2;1;1), (1;3;0), (1;0;3), (0;1;3), (0;3;1), (3;0;1), (3;1;0), (0;2;2), (2;2;0),
(2; 0; 2). V y có 15 cách x p.
Nh n xét. V i bài toán này có th li t kê t t c các trư ng h p, nhưng v i nh ng bài toán tương t
như th nhưng s bi và s h p l n hơn r t nhi u thì chúng ta s g p nhi u khó khăn trong vi c li t kê. V y
có m t phương pháp nào giúp chúng ta gi i nh ng bài toán như th ñơn gi n hơn không?
Sau ñây chúng ta hãy cùng nhau tìm hi u v “T h p l p – Ch nh h p l p”, chúng s giúp chúng ta
gi i các bài toán ph c t p m t cách d dàng hơn.
1. Ch nh h p l p
a) ð nh nghĩa. Cho t p X g m n (n ∈ N * ) ph n t . M t dãy có ñ dài m (m ∈ N * ) các ph n t c a X ,
trong ñó m i ph n t có th l p l i nhi u l n, s p x p theo th t nh t ñ nh g i là m t ch nh h p l p ch p m
c a n ph n t . Ký hi u s ch nh h p l p ch p m c a n ph n t là Fnm .
b) Công th c. Fnm = n m .
Ch ng minh. Cho X = {x1 ; x2 ;......; xn } . Dãy có ñ dài m là a1a2 .......am (m ∈ N * ) .
a1 có n cách ch n , a2 cũng có n cách ch n (vì a2 cũng có th gi ng a1 ), ... am cũng có n cách ch n.
V y dãy có ñ dài m có n m cách ch n, hay Fnm = n m .
c) Các ví d
Ví d 1. Bi n ñăng kí ô tô có 6 ch s và 2 ch cái ñ u tiên trong 26 ch cái (không dùng ch O và I ).
H i s ô tô ñư c ñăng kí nhi u nh t là bao nhiêu?
L i gi i. G i X là t p h p các ch cái dùng trong b ng ñăng kí, suy ra X có 24 ph n t ( vì không dùng
2
O và I ). Vì v y ta có F24 = 242 cách ch n cho hai ch cái ñ u tiên. G i Y là t p h p các ch s dùng trong
6
b ng ñăng kí, suy ra Y có 10 ph n t . Vì v y có F10 = 106 cách ch n cho 6 ch s còn l i. Do ñó có t t c
106.242 bi n s .
Ví d 2. H i có bao nhiêu s có 10 ch s mà 3 ch s ñ u và 3 ch s cu i tương ng gi ng nhau?
L i gi i. Ta th y v i 1 cách ch n cho 3 ch s ñ u cũng ch có 1 cách ch n cho 3 ch s cu i ñ chúng
3
tương ng gi ng nhau. Ta có F10 = 103 cách ch n tùy ý cho 3 ch s ñ u. Ta ph i lo i trư ng h p s 0 ñ ng
2
3
2
ñ u, suy ra có F10 = 102 cách b lo i. Như v y ta có F10 − F10 = 103 −102 = 900 cách ch n cho 3 ch s ñ u.
Nên ta có 900 cách ch n cho 3 ch s ñ u và 3 ch s cu i tương ng gi ng nhau. Ta còn l i 4 ô tr ng, mà t
4
4 ô tr ng ñó ta l p ñư c F10 = 104 = 10000 . V y ta có 900.10000 = 9000000 s c n tìm.
Nh n xét. T ñó ta có th t ng quát bài toán lên như sau: Cho n > 2m > 2 (n, m ∈ N * ) . H i có bao nhiêu
s có n ch s mà m ch s ñ u và m ch s cu i tương ng gi ng nhau.
m
m
n
L i gi i. Chúng ta cũng lí lu n như trên. Ta có ñư c ( F10 − F10 −1 ).F10−2 m s c n tìm.
2. T h p l p
a) ð nh nghĩa. M i cách ch n ra k v t t n lo i v t khác nhau (trong ñó m i lo i v t có th ñư c ch n l i
nhi u l n) ñư c g i là t h p l p ch p k c a n . S các t l p ch p k c a n ñư c ký hi u là K nk .
b) Công th c. K nk = Cnk+k −1 .
1

2. c) Các ví d .
Ví d ñ u tiên s là m t h qu quan tr ng.
Ví d 1. Gi s có n viên bi gi ng nhau và m cái h p, ta x p bi vào các h p. G i xi v i i = 1, 2, 3..., m là
s bi h p i. Ch ng minh r ng
n
a) S cách x p khác nhau n viên bi vào m cái h p là Cm+n−1 .
n
b) Trong Cm+n−1 cách x p ñó có Cnm−1 cách x p cho t t c các h p ñ u có bi.
−1
L i gi i. a) Ta bi u di n m cái h p t
sao (*). Ch ng h n như
m + 1 g ch th ng ñ ng, còn các viên bi bi u di n b ng các ngôi
|**|*|***|*|…….|***|
Như v y ngoài cùng luôn luôn là các v ch th ng ñ ng, còn l i m −1 v ch th ng ñ ng và n viên bi ñư c
s p x p theo th t tùy ý. Như v y s cách s p x p khác nhau b ng s cách ch n n ph n t trong t p h p
n
m −1 + n ph n t (c v ch và ngôi sao) ñó chính là Cm+n−1 .
b) Trư ng h p m i h p có ít nh t 1 viên bi tương ng v i cách bi u di n m i v ch ph i bao g m gi a hai
ngôi sao. Nhưng có t t c n −1 kho ng tr ng gi a n ngôi sao. Vì v y ph i x p m −1 v ch vào n −1 kho ng
tr ng ñó. V y có t t c Cnm−1 cách x p.
−1
Nh n xét. T bài toán trên ta suy ra m t h qu thú v .
n
a) S các nghi m t nhiên c a phương trình x1 + x2 + ... + xm = n (n, m ∈ N * ) là Cm+n−1 .
b) S các nghi m nguyên dương c a phương trình x1 + x2 + ... + xm = n ( m ≤ n, n, m ∈ N * ) là Cnm−1 .
−1
ð th y ñư c ng d ng c a h qu trên ta xét ví d sau.
Ví d 2. Tìm s nghi m nguyên không âm c a phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 20 (1) th a ñi u ki n
x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 > 4 (*)
L i gi i. Ta vi t ñi u ki n ñã cho thành x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5 . Xét các ñi u ki n sau
x2 ≥ 2; x3 ≥ 5 (**), x1 ≥ 4; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5 (***).
G i p, q, r l n lư t là các s nghi m nguyên không âm c a phương trình (1) th a các ñi u ki n (*), (**),
,
,
,
(***). Ta có p = q − r . ð t x1, = x1 ; x2 = x2 − 2; x3 = x3 − 5; x4 = x4 , k t h p v i (**), phương trình (1) tr
,
,
,
thành x1, + x2 + x3 + x4 = 13 (2).
S nghi m nguyên không âm c a phương trình (1) th a ñi u ki n (**) b ng s nghi m nguyên không âm
13
13
13
13
c a phương trình (2). Theo h qu trên s nghi m ñó là K 4 = C4+13−1 = C16 . V y q = C16 .
9
9
9
13
9
Lý lu n tương t , ta có r = K 4 = C4+9−1 = C12 . Suy ra p = q − r = C16 − C12 = 560 − 220 = 340 .
V y s nghi m nguyên không âm c a phương trình (1) th a ñi u ki n (*) là 340.
Ví d 3. Tìm s cách x p 30 viên bi gi ng nhau vào 5 h p khác nhau sao cho h p 1có nh t 5 bi, bi t r ng
h p 2 và h p 3 không ch a quá 6 bi.
L i gi i. Trư c h t ta tìm s cách x p 30 viên bi gi ng nhau vào 5 h p khác nhau sao cho h p 1 có ít nh t
5 bi. Nh n xét r ng ta c n l y 5 bi ñ x p trư c vào h p 1, do ñó s bi còn l i là 25. Suy ra s cách x p trong
trư ng h p này b ng s cách x p 25 bi vào 5 h p mà không có ñi u ki n gì thêm. S cách x p ñó là
25
K 525 = C525 25−1 = C29 = 23751 . Tương t ta có:
+
- S cách x p 30 viên bi gi ng nhau vào 5 h p khác nhau sao cho h p 1 ch a ít nh t 5 bi, h p ch a ít nh t
18
18
18
7 bi là K 5 = C5+18−1 = C22 .
- S cách x p 30 viên bi gi ng nhau vào 5 h p khác nhau sao cho h p 1 ch a ít nh t 5 bi, h p 3 ch a ít
18
18
18
nh t 7 bi là K 5 = C5+18−1 = C22 .
2

3. - S cách x p 30 viên bi gi ng nhau vào 5 h p khác nhau sao cho h p 1 ch a ít nh t 5 bi, m i h p 2 và 3
11
11
11
ch a ít nh t 7 bi là K 5 = C5+11−1 = C15 .
S d ng công th c A ∪ B = A + B − A ∩ B ta suy ra s cách x p 30 viên bi gi ng nhau vào 5 h p khác
nhau sao cho h p 1 ch a ít nh t 5 bi, ñ ng th i h p 2 hay h p 3 ch a ít nh t 7 bi là
18
18
11
18
18
11
K 5 + K 5 − K 5 = C22 + C22 − C15 = 13265 (2)
Theo yêu c u c a bài toán, khi x p 30 viên bi vào 5 h p thì h p 1 ph i có ít nh t 5 bi còn m i h p 2 và 3
ph i có không quá 6 bi. Do ñó s cách x p này s b ng hi u c a hai cách x p (1) và (2), t c là b ng:
23751−13265 = 10486 .
3. Bài t p
Bài 1. Tìm s nghi m nguyên không âm c a phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 40 trong m i trư ng h p
sau
a) x1 ≥ 3, x2 ≤ 4 ,
b) x1 > 3, x2 < 4 ,
c) 2 ≤ x1 ≤ 8, x2 ≤ 4, x3 > 3, x4 < 6 .
Bài 2. [ð thi ñ i h c năm 2007 ] Có bao nhiêu b ba s nguyên không âm ( x1 , x2 , x3 ) th a ñi u ki n
x1 + x2 + x3 ≤ 15 , v i x1 > 2 , x2 < 4 .
Bài 3. M i khóa g m 5 vòng s ghi 0, 1, 2, …..,9. M i dãy 5 ch s cho m t cách ñ m khóa. Có bao
nhiêu khóa có cách m khác nhau.
Bài 4. Có bao nhiêu cách phát 100 ph n thư ng gi ng nhau cho 60 h c sinh. M i h c sinh có ít nh t 1
ph n thư ng.
Bài 5. Có bao nhiêu s có 6 ch s mà
a) Ch s ñ u và ch s cu i gi ng nhau.
b) Ch s ñ u và ch s cu i gi ng nhau
c) Hai ch s ñ u và hai ch s cu i gi ng nhau
Bài 6. Có bao nhiêu cách x p kn v t khác nhau thành k nhóm, m i nhóm có n v t?
Bài 7. Ngư i ta làm m t bó hoa t 18 hoa. Cho bi t không có bó hoa nào dư i 3 hoa. H i có bao nhiêu
cách làm m t bó hoa?
Bài 8. Trong t có n ñôi găng tay. L y t ñó ra m t cách ng u nhiên 2r chi c găng tay (2r < n) . Tìm
xem có bao nhiêu kh năng trong s t t l y ra
a) Không l p thành m t ñôi nào c .
b) Có ñúng 1 ñôi.
c) Có ñúng 2 ñôi
Tài li u tham kh o
[1] Nguy n Vũ Thanh, “Chuyên ñ b i dư ng chuyên toán c p 2-3 S H c”, Nhà xu t b n tr , 2001
[2] Ngô Th Phi t, “250 bài toán Gi i Tích T H p”, Nhà xu t b n ð ng Nai,1994
[3] TS.Tr n Văn Hoài, “[pdf] T h p và phép ñ m”, 2007–2008
[4] TS. Nguy n Vi t ð ng, “[pdf] T p h p, ánh x , phép ñ m”
Và các tài li u trên: www.diendantoanhoc.net
www.onthi.com.vn
http://en.wikipedia.org/wiki/Combinations
“It’s at first you don’t success try. Try again.”
3