bloque I

Bloque 1
Uso del código algebraico para expresar las reglas que
gobiernan los patrones numéricos

Desarrollo del pensamiento algebraico
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
Bloque 1
Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones
numéricos
Presentación
Este bloque de actividades tiene dos propósitos: (i) Presentarte un
acercamiento alternativo para el estudio del álgebra con la finalidad de reavi-
var los conocimientos matemáticos que adquiriste en tus estudios en el bachi-
llerato y (ii) Sujetar a tu análisis una propuesta didáctica en la que se aplican
las facilidades que ofrece un procesador algebraico para favorecer el aprendi-
zaje del álgebra como un lenguaje que permite expresar y justificar generali-
zaciones sobre el comportamiento de patrones numéricos.
Las actividades de este bloque, y los demás que conforman este libro,
están diseñadas de acuerdo con un precepto teórico desarrollado por el psicó-
logo Jerome Bruner. Este precepto teórico consiste en el establecimiento de un
formato de comunicación entre el que enseña con el que va a aprender de él,
este formato, aunque aparentemente es rígido, ofrece una flexibilidad que
permite introducir sutilmente nuevos elementos del código de comunicación,
en nuestro caso, del código algebraico. La presentación de las actividades pa-
rece repetitiva, sin embargo no lo es, siempre hay algún nuevo elemento ma-
temático al pasar de una hoja de trabajo a otra, ya sea el tipo de valores
numéricos que se emplean o algún nuevo elemento en la estructura algebraica
de las expresiones que se inducen en cada actividad. Por ejemplo, se transita
de las funciones de la forma f(x)=x+a, f(x)=ax y f(x)=ax+b, a las inversas de
esas funciones. Se transita del ámbito de las funciones lineales al de las ecua-
ciones lineales con una incógnita; del ámbito de la producción de expresiones
algebraicas para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un
patrón numérico al ámbito de la lectura de esas expresiones.
Te invitamos que analices estas actividades bajo la perspectiva del tipo
de aprendizaje matemático que los alumnos de educación básica pueden des-
arrollar si ellos las realizan. Nuestra mayor expectativa es que tu análisis se
vea enriquecido cada vez que concluyas un bloque de actividades, con lo que
estarás propiciando el desarrollo de competencias docentes que en un futuro
cercano pondrás en práctica como docente de educación básica.

HOJA DE TRABAJO 1
Patrones numéricos: Valores de entrada y salida
Un estudiante tecleó en su
calculadora una expresión al-
gebraica que produce lo si-
guiente:
Si el valor de entrada es 1 el
programa da por resultado 5;
si introduce 2, da por resulta-
do 6, y así sucesivamente.
Valor de
entrada
Valor de
salida
1 5
2 6
3 7
4 8
5 9
1. ¿Qué resultado va a dar la calculadora tecleas 6 como valor de entrada? __________
¿Si es 10 ? __________ ¿Si el valor de entrada es 0? _______________________
¿Qué operación hiciste para obtener esos resultados? __________________________
___________________________________________________________________
2. ¿Puedes construir una expresión algebraica para que tu calculadora produzca los mis-
mos resultados que la de ese estudiante? Escribe tu expresión en el cuadro de abajo.
3. Usa el programa que hiciste para encontrar los números que faltan en la tabla.
Valor de
entrada
17 35.02 89.73 107.06 299.1 307.09
Valor de
salida
511 613.03
¿Qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores asociados a 511 y 613.03?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 511 es el correcto?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 2
Valores proporcionales (1)
Valor de
entrada
Valor de
salida
1. Se tecleó en la calculadora una expresión algebraica que
produce esta tabla de valores.
7 14
8 16
9 18
15 30
18 32
2. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 5? _________________
¿ Si es 25? ___________________ ¿Si es 17? ____________________________
¿Qué operaciones aritméticas hiciste para obtener esos resultados? ________________
___________________________________________________________________
3. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga produzca la misma tabla de valores?
Escribe tu programa en el cuadro de abajo.
3. Teclea en tu calculadora el programa que hiciste para encontrar los valores que faltan
en esta tabla.
Valor de
entrada
25 37.03 59.83 117.18 136.1 200.79
Valor de
salida
551 653.38
4. ¿Qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada pa-
ra 551 y 653.38? ______________________________________________________
5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor de entrada que obtuviste para 653.38 es correc-
to? _____________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 3
Valores proporcionales (2)
1. Completa la siguiente tabla.
Valor de
entrada
Valor de
salida
2.5 7.5
3.1 9.3
4 12
5.3
6.2
47.4
73
3. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores que faltan en la tabla?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
4. ¿Puedes programar tu calculadora para encontrar los valores de salida? Escribe tu
programa en el cuadro de abajo.
5. Comprueba que tu programa permite obtener los mismos valores que se muestran en la
tabla.
6. Completa la tabla de abajo usando el programa que construiste.
9 17 18.04 47.01 50.4 63.9
89.1 92.4
6. ¿Qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada
asociados a 89.1 y 92.4? ________________________________________________
___________________________________________________________________
7. ¿Cómo puedes comprobar que el valor de entrada que obtuviste para 92.4 es correcto?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 4
Reglas de dos pasos (1)
Valor de
entrada
Valor de
salida
Un estudiante produjo la tabla de la izquierda usando un pro-
grama.
1.1 3.2
2.6 6.2
3 7
4.3 9.6
5 11
1. ¿Qué valor de salida va a dar la calculadora si el valor de entrada es 50?
_________________ ¿Si es 81? _____________ ¿Y si es 274? ______________
2. ¿Qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos valores de salida?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
3. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga produzca la misma tabla de valores?
Escribe tu programa en el cuadro de abajo.
4. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.
Valor
de en-
trada
12 16 19.05 48.02 51.45 62.7
Valor
de sali-
da
88.2 95.4
5. Ese estudiante afirma que puede usar el programa que hiciste para comprobar que 88.2
es el valor de salida correcto ¿Estás de acuerdo con él? _________________ Indica con
la mayor precisión posible cómo puedes usar tu programa para comprobar que el valor que
obtuviste para 95.4 es el correcto. ________________________________________
___________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 5
Un estudiante construyó un programa que hace lo siguiente:
Valor de
entrada
Valor de
salida
1 1
2 3
3 5
4 7
5 9
1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 6? ____________ ¿Si es
7? __________________ ¿Si es 15? ______________________________
2. ¿Qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos valores? ________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
3. Programa tu calculadora para que produzca la
misma tabla que hizo ese estudiante. Escribe
tu programa en el cuadro de la derecha.
Comprueba que tu programa produce los mismos
valores de salida que se muestran en la tabla.
4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.
Valor de
entrada
10 11 15 27 259.14
Valor de
salida
25 137
5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor de entrada que obtuviste para 137 es correcto?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 6
Patrones con valores negativos (1)
1. Completa la siguiente tabla.
-10 -9.7 -7.8 -6.2 -5.3 -4.6 -0.7 0 1.3 12.4
-9.5 -9.2 - 7.3 -5.7
2. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga el trabajo de completar la tabla?.
Escribe tu programa en el cuadro de la de-
recha.
Usa el programa que hiciste para obtener
los valores que se muestran en la tabla ante-
rior. ¿Pudiste obtener los mismos valores?
_____________ Si no es así, modifica tu
programa e intenta de nuevo.
3. Completa la siguiente tabla usando el programa que hiciste.
-20 -14.7 -13.8 -12.3 -9.6 2.5
-10.3 0
4. Usa tu programa para comprobar que los valores de entrada que obtuviste para -10.3 y
0 son correctos. ¿Obtuviste los mismos valores? ________ Si no, modifica tu progra-
ma e intenta de nuevo.

HOJA DE TRABAJO 7
Patrones con valores negativos (2)
Valor de
entrada
Valor de
salida
Encuentra los valores que faltan.
-15 -16.5
-14.5 -16
-12.4 -13.9
-10.2 -11.7
-5.8
-4.6
-0.9
0
1. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar los valores que faltan en la tabla?
Escribe un ejemplo usando uno de los valores de entrada de la tabla.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
2. ¿Puedes programar tu calculadora para reproducir los valores de la tabla?
Escribe tu programa en el cuadro de la de-
recha.
Asegúrate de que tu programa permite en-
contrar los mismos valores que se muestran
en la tabla.
3. Completa la siguiente tabla usando el programa que hiciste.
-20 -13.8 -10.83 -.05
-17.3 -11.9 -9.72 10
4. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor de entrada que obtuvis-
te para -9.72 es correcto. ________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 8
Constante de proporcionalidad fraccionaria (1)
Se construyó la siguiente tabla usando un programa: Valor de
entrada
Valor de
salida
10.5 5.25
14.42 7.21
15.3 7.65
16.7 8.35
20.1 10.05
1. ¿Qué resultado producirá la calculadora si el valor de entrada es 6? _____________
¿Si es 19.3? ___________ ¿Si es 56? ___________ ¿Si es 177? ______________
2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que cualquiera de tus compañe-
ros(as) pueda entenderte. ____________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
3. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca la misma tabla? Escríbelo en el
cuadro de abajo.
Comprueba que tu programa te permite obtener los mismos valores que se muestran en la
tabla.

HOJA DE TRABAJO 9
Valor de
entrada
Valor de
salida
Se produjo esta tabla usando un programa en la calculadora:
6 9
8 12
14 21
15 22.5
18 27
1. ¿Qué resultado me va a dar la calculadora el valor de entrada es 10?
______________ ¿Si es 13.4? __________________ ¿Si es 15.6? ____________
2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que cualquiera de tus compañe-
ros(as) pueda entenderte _____________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
3. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca los mismos valores que se mues-
tran n la tabla? Escribe tu programa en el cuadro de abajo.
4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.
Valor de
entrada
20 35 44 72
Valor de
salida
33 57 75 123
5. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor que encontraste para 57
es el correcto. _________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 10
4 4.04 ¿Puedes encontrar los valores que faltan?
6 6.06
9 9.09
10 10.1
12 12.12
15.5
17.8
19.2
20.4
50.2
1. Explica cómo encontraste el valor asociado a 15.5 de manera que cualquiera de tus
compañeros(as) pueda entenderte. ______________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
2. ¿Puedes programar tu calculadora para
obtener los valores de la tabla? Escribe
tu programa en el cuadro de la derecha.
Comprueba que tu programa produce los mismos números que aparecen en la tabla. Si no,
modifícalo e intenta de nuevo.
1 3.1 9 32
2.222 4.343 12.12 38.784
4. Explica cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 38.784 es el correcto.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 11
Lectura de expresiones algebraicas (1)
1. Se va a usar el programa
2+2×b para completar esta
tabla. Encuentra los valores
que faltan sin usar la calcu-
ladora.
Número de
entrada
Número de
salida
3
9
11.5
12
15
18
Teclea ese programa en tu calculadora y comprueba si tus respuestas son correctas. Si
tus respuestas no fueron correcta corrígelas de acuerdo con lo que obtuviste en la calcu-
ladora y explica a qué se debió tu error.
2. Observa el programa 3+5×a. Sin usar la calculadora, completa la siguiente tabla de
acuerdo con los valores que ese programa produciría.
Valor de
entrada
2 4 5 8 12 20
Valor de
salida
53 78
3. Teclea el programa en tu calculadora y úsalo para comprobar tus respuestas. ¿Tus res-
puestas coincidieron con los resultados que te da la calculadora? ________________
Si no fue así, ¿a qué crees que se deba que sean distintos tus resultados y los de la
calculadora?_______________________________________________________
________________________________________________________________
4. Teclea en tu calculadora el programa (3+5)×a y completa la siguiente tabla.
Valor de
entrada
2 4 5 8 12 20
Valor de
salida
53 78
5. Compara los resultados que obtuviste con los de la tabla del inciso (2). ¿A qué crees
que se deban las diferencias? Explícalo con un ejemplo _______________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 12
Lectura de expresiones algebraicas (2)
La siguiente tabla se produjo con un programa en la
calculadora: 7 23
9 29
10 32
12 38
16 50
1. Un estudiante dice que el programa 2+3×b le permite producir los valores de esa tabla.
¿Estás de acuerdo con él? ___________ Escribe un ejemplo que tu justifique tu res-
puesta ________________________________________________________
2. Una estudiante dice que el programa 2+b+b×2 también produce los valores de esa ta-
bla. ¿Estás de acuerdo con ella? ________________ Escribe un ejemplo que justifi-
que tu respuesta. __________________________________________________
3. Otra estudiante dice que el programa 5×a+2−2×a también produce los valores de esa
tabla. ¿Estás de acuerdo con ella? ___________ Escribe dos ejemplos que justifiquen
tu respuesta. ___________________________________________________
4. ¿Puedes encontrar otro programa que permita obtener los valores de esa tabla? Escri-
be todos los programas que encuentres. _____________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

HOJA DE TRABAJO 13
1. Una estudiante hizo un programa que proce la siguiente ta-
bla: Valor de
entrada
Valor de
salida
7 20
7.5 21.5
8.2 23.6
9 26
9.6 27.8
2. Si el valor de entrada es 10, ¿qué valor de salida dará la calculadora? _____________
Si el valor de entrada es 12, ¿qué valor de salida dará la calculadora? _____________
3. La calculadora dio 17.5 como valor de salida. ¿Cuál es el valor de entrada? _________
Explica con detalle qué hiciste para encontrar el valor asociado a 17.5. ______
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
que produzca la tabla del inciso (1)? Es-
cribe tu programa en el recuadro.
Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.
Valor de
entrada
3 5.1 9.4 22
Valor de
salida
17 15.2 32.6 80

HOJA DE TRABAJO 14
Valor de
entrada
Valor de
salida
1. Una estudiante hizo un programa que produce lo si-
guiente:
10 2.5
15 3.75
20 5
25 6.25
30 7.5
2. Si el valor de entrada es 56, ¿qué valor de salida arrojará la calculadora? ________
3. Si la calculadora da 87 como valor de salida. ¿Cuál es el valor de entrada? _________
4. Explica con detalle qué hiciste para encontrar el valor asociado a 87 ____________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Valor de
entrada
3 5.1 9.4 22
Valor de
salida
1 1.65 2.7 8.75

HOJA DE TRABAJO 15
1. Un estudiante hizo un programa que produce la siguiente
tabla:
2 5
3 7.5
4 10
5 12.5
2. Si el valor de entrada es 6, ¿qué valor de salida va a dar la calculadora? __________
3. ¿Si el valor de entrada es 7? _______________ ¿Si es 55? __________________
4. La calculadora dio 35 como valor de salida. ¿Cuál es el valor de entrada? __________
5. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 35?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
que haga produzca la tabla del inciso (1)?
Escribe tu programa en el recuadro.
7.
Valor de
entrada
3 5.1 9.4 12.2
Valor de
salida
8.5 15.5 23.5 35

HOJA DE TRABAJO 16
0.15 0.015 1. Esta tabla se hizo utilizando un programa.
0.27 0.027
0.3 0.03
1.5 0.15
2.03 0.203
2. Si el valor de entrada es 10 ¿qué valor de salida dará la calculadora? ____________
3. La calculadora dio 37 como valor de salida, ¿cuál es el valor de entrada? __________
4. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 37? _______
________________________________________________________________
________________________________________________________________
4. ¿Cómo puedes comprobar que el valor que asociado a 37 es el correcto? Explícalo con
detalle. ______________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
3 5.1 9.4 12.2
0.4 0.63 1.18 35

Actividades que se sugieren para el futuro docente
1. Con base en la experiencia que has vivido al realizar las actividades de este blo-
que explica el papel que desempeñan las tablas de valores en este acercamiento
didáctico. ¿Puede sustituirse ese papel con otro tipo de recurso? Discute amplia-
mente tu respuesta con tus compañeros(as) y tu profesor.
2. Con base en la experiencia que has vivido al realizar las actividades de este blo-
que explica el papel que desempeña el uso de un procesador algebraico en este
acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse ese papel con otro tipo de recurso?
Discute ampliamente tu respuesta con tus compañeros(as) y tu profesor.
3. En la presentación de este bloque de actividades se afirma que a través de ellas
se transita del ámbito de las funciones lineales al de las ecuaciones lineales con
una incógnita. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sus-
tento para esa afirmación. Discute tu respuesta con tus compañeros(as) y tu pro-
fesor.
“se transita de las funciones de la forma f(x)=x+a, f(x)=ax y f(x)=ax+b, a las in-
versas de esas funciones”. Identifica en qué parte de las actividades se puede en-
contrar sustento para esa afirmación. Discute tu respuesta con tus compañeros(as)
y tu profesor.
“se transita del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para expresar
la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico, al ámbito de la
lectura de esas expresiones”. Identifica en qué parte de las actividades se puede
encontrar sustento para esa afirmación. Discute tu respuesta con tus compañe-
ros(as) y tu profesor.
6. En la presentación de este bloque de actividades se mencionan las funciones de la
forma f(x)=x+a, f(x)=ax y f(x)=ax+b. Indaga en fuentes bibliográficas o en Inter-
net cuáles son las definiciones de los siguientes conceptos:
(i) Dominio de una función.
(ii) Contradominio de una función.
(iii) Imagen de una función.
(iv) Regla de correspondencia de una función.
Ejemplifica esos conceptos con extractos de las actividades que has realizado en
este bloque.

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