CAPÍTULO                                                                     6                            La transformada ...
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Ecuaciones diferenciales ordinarias 6                                                                                     ...
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Imp t derivada

  1. 1. CAPÍTULO 6 La transformada de Laplace6.4.4 Transformada de una derivadaLa siguiente propiedad nos permite aplicar la TL a la solución de una ED.Si f .t/ es una función con derivada f 0 .t/, entonces: 1 R 1 st st st Lf f 0 .t/g D e f 0 .t/ dt D lím e f .t/ f .t/. se dt/: 0 R!1 0 0Hemos integrado por partes con: u D e st ) du D se st dtI dv D f 0 .t/ ) v D f .t/: 1 sR st st Lf f 0 .t/g D lím e lím e f .0C /: › f .R/ f .t/ C s e f .t/ dt D sF .s/ R!1 t !0C 0 !0en donde el primer límite (R ! 1 ) se anula, y hemos denotado al segundo (t ! 0C ) por f .0C /, ya quepuede ser que f no esté definida en t D 0, en cuyo caso se debe calcular su límite cuando t ! 0 por laderecha; siempre que no haya confusión escribiremos f .0/ en lugar de f .0C /.Es decir, L df .t/ D Lf f 0 .t/g D sF .s/ f .0/: (6.1) dtUtilizando la fórmula (6.1) de nuevo, vemos que, si f y sus derivadas tienen TL, se puede calcular: 0 Lf f 00 .t/g D L df .t/ D s Lf f 0 .t/g f 0 .0/ D s ŒsF .s/ f .0/ f 0.0/ D dt D s 2 F .s/ sf .0/ f 0 .0/:1. canek.azc.uam.mx: 24/ 9/ 2010 1
  2. 2. 2 Ecuaciones diferenciales ordinariasEs decir: Lf f 00.t/g D s 2 F .s/ sf .0/ f 0 .0/: (6.2)Así también: L f .3/ .t/ D L d .f 00 .t// D s Lf f 00.t/g f 00.0/ D s s 2 F .s/ sf .0/ f 0 .0/ f 00 .0/ D ˚ « dt D s 3 F .s/ s 2 f .0/ sf 0 .0/ f 00 .0/:Entonces: L f .3/ .t/ D s 3 F .s/ s 2f .0/ sf 0 .0/ f 00.0/: (6.3) ˚ «Siguiendo este razonamiento, obtenemos en general: L f .n/ .t/ D s n F .s/ s n 1 f .0/ sn 2 f 0 .0/ f .n 1/ (6.4) ˚ « .0/:Ejemplo 6.4.1 Calcular Lf cos t g, usando la fórmula de la transformada de una derivada. dH Como es bien sabido sen t D cos t, entonces: dt s Lf cos t g D L d sen t D s Lf sen t g sen 0 D : dt s2 C 1Ejemplo 6.4.2 Calcular Lf t n g, usando la fórmula de la transformada de una derivada. dt nH Como D nt n 1 , por la fórmula de la trasformación de una derivada, tenemos: dt d n L nt n 1 DL n t D s Lf t g tn ˚ « I dt t D0es decir, n nL t n 1 D s Lf t n g ) Lf t n g D L t n 1 ˚ « ˚ « : sLa misma fórmula recursiva (??) que obtuvimos en la página ??.Ejemplo 6.4.3 Determinar la TL de la función y.t/, solución del PVI y 00 C ay 0 C by D f .t/; con y.0/ D 0 & y 0 .0/ D 0:H Tenemos: Lf y 0 .t/g D sY .s/ y.0/ D sY .s/y también: Lf y 00.t/g D s 2Y .s/ sy.0/ y 0 .0/ D s 2 Y .s/:De esta manera, al aplicar TL en ambos lados de la ED resulta: Lf y 00 C ay 0 C byg D Lf f .t/g ) Lf y 00 g C aLf y 0 g C b Lf y g D Lf f .t/g ) ) s 2 Y .s/ C asY .s/ C bY .s/ D F .s/ ) .s 2 C as C b/Y .s/ D F .s/:de donde: F .s/ Y .s/ D : s2 C as C b
  3. 3. Ecuaciones diferenciales ordinarias 6 3Como se puede apreciar, mediante la aplicación de la TL y algo de álgebra, tenemos casi resuelto el PVI.Salvo por un paso: hay que aplicar la transformación inversa para obtener así la solución 1 F .s/ y.t/ D L : s 2 C as C bEn casos particulares las constantes a, b serán conocidas; la función f .t/ estará dada (y aún puede ser 0), lomismo que las condiciones iniciales, que no siempre ambas serán cero.Ejemplo 6.4.4 Resolver el PVI y 00 C 2y 0 C 4y D 0, con y.0/ D 1 & y 0 .0/ D 2.H Aplicando (6.1) y (6.2) resulta: Lf y 0g D s Lf y.t/g y.0/ D sY .s/ 1 & Lf y 00.t/g D s 2 Y sy.0/ y 0 .0/ D s 2 Y .s/ s C 2Ide donde: y 00 C 2y 0 C 4y D 0 L > .s 2 Y s C 2/ C 2.sY 1/ C 4Y D 0 ) .s 2 C 2s C 4/Y s D 0: y.0/ D 1 & y 0 .0/ D 2Observe que la TL transforma un PVI en una ecuación algebraica, donde Y es una función de s, aún desco-nocida. Despejamos Y de la ecuación previa: s s .s 2 C 2s C 4/Y D s ) Y .s/ D D : s2 C 2s C 4 .s C 1/2 C 3Para la última igualdad hemos usado s 2 C 2s C 4 D s 2 C 2s C 1 C 3 D .s C 1/2 C 3. Por lo tanto: 1 s .s C 1/ 1 1 1 sC1 1 1 y.t/ D L DL DL L D .s C 1/2 C 3 .s C 1/2 C 3 p ˚ « .s C 1/2 C 3 .s C 1/2 C 3 t 1 n s o t 1 1 3 De L e p L p D s2 C 3 3 s 2 C . 3/2 t p 1 t p De cos 3t p e sen 3t: 3Ejemplo 6.4.5 Resolver el PVI y 00 C 9y D 0; con y.0/ D 2 & y 0 .0/ D 3.H Tenemos ahora: Lf y 00.t/g D s 2Y .s/ sy.0/ y 0.0/ D s 2 Y C 2s 3Iy la ED después de aplicar la TL queda: 2s C 3 s 2Y C 2s 3 C 9Y D 0 ) .s 2 C 9/Y D 2s C 3 ) Y .s/ D ) s2 C 9 2s C 3 n s o 3 1 1 1 ) y.t/ D L D 2L CL D 2 cos 3t C sen 3t: s2 C 9 s2 C 9 s2 C 9Como se puede apreciar en los ejemplos anteriores, la TL nos ofrece otro método para encontrar la solución aED lineales, siempre y cuando sea factible el cálculo de la transformada inversa de la función Y .s/ obtenida.Para este último paso se requieren conocer las propiedades de la TL y de la transformada inversa paracompletar el proceso.
  4. 4. 4 Ecuaciones diferenciales ordinariasEjercicios 6.4.4 Transformada de una derivada. Soluciones en la página 5Resolver los siguientes PVI: dx 1. C x D 0; con x.0/ D 1. dt d 2y 2. C 4y D 0; con y.0/ D 2 & y 0 .0/ D 1. dt 2 d 2x dx 3. C3 C 2x D 0, con x.0/ D 1 & x 0 .0/ D 2. dt 2 dt d 2z dz 4. C2 C 5z D 0, con z.0/ D 4 & z 0 .0/ D 3. dt 2 dt d 3x 5. C x D 0, con x.0/ D 1, x 0 .0/ D 3 & x 00 .0/ D 8. dt 3 d 3y d 2y 6. D 0, con y.0/ D 2; y 0 .0/ D 0 & y 00 .0/ D 1. dt 3 dt 2
  5. 5. Ecuaciones diferenciales ordinarias 6 5Ejercicios 6.4.4 Transformada de una derivada. Página 4 " p ! p !# 1. x.t / D e t. 1 3 11 3 5. x.t / D 2e t e 2t cos t p sen t . 1 2 3 2 2. y.t / D 2 cos 2t sen 2t . 2 2t . 6. y.t / D 1 t C et . 3. x.t / D e t 1 t 4. z.t / D 4e cos 2t e sen 2t . 2

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