Para matemáticas aplicadas a la ing.

1. REVISIÓN 6 – 86256.94 PÁGINA 1 DE 2
TRANSFORMADA DE LAPLACE L
Definiciones integrales
Transformada de Laplace Transformada inversa de Laplace
   
   
0
lim
b
st
b
F s f t e f t dt


 

L
s es en realidad una variable compleja pero se trata
como constante durante la integración
   
   
σ
σ
π
1 1
lim
2
iR
st
R iR
f t F s e F s ds
i


 
 

L
σ es un número real elegido de tal forma que todos los polos de
 
F s queden a la izquierda de la recta vertical que pasa por σ
Tabla de transformadas
 
f t  
 
f t
L
1 1
1
s
2
n
t
n es un entero positivo 1
!
n
n
s 
3 t
π
3
4s
4
1
t
π
s
5 at
e
1
s a

6
n at
t e
n es un entero positivo   1
!
n
n
s a


7 senkt 2 2
k
s k

8 coskt 2 2
s
s k

9 senhkt 2 2
k
s k

10 coshkt 2 2
s
s k

11 sen
at
e kt
 2 2
k
s a k
 
12 cos
at
e kt
 
 2 2
s a
s a k

 
13 sen
t kt
 
2
2 2
2ks
s k

14 cos
t kt
 
2 2
2
2 2
s k
s k


15 sen cos
kt kt kt

 
3
2
2 2
2k
s k

16 sen cos
kt kt kt

 
2
2
2 2
2ks
s k

 
f t  
 
f t
L
17 senh sen
kt kt

3
4 4
2k
s k

18 cosh cos
kt kt

2
4 4
2k s
s k

19 1 coskt

 
2
2 2
k
s s k

20 sen
kt kt

 
3
2 2 2
k
s s k

21
 
2 2
sen sen
a bt b at
ab a b

   
2 2 2 2
1
s a s b
 
22 2 2
cos cos
bt at
a b

   
2 2 2 2
s
s a s b
 
23 lnt
γ ln s
s


γ es la constante de Euler
( γ 0.5772156
  )
24 2
ln t
 
γ
π
2
ln
6
s
s s


25  
γ lnt
 
ln s
s
26  
π
γ
2
2
ln
6
t
 
2
ln s
s
27
at bt
e e
t
 

ln
s b
s a

 
 

 
28
π 3
4
at bt
e e
t
 

s b s a
  
29
π
2
/4
3
4
a t
a
e
t

a s
e
30  
erf t  
2
/4
1
2
1 erf
s
e
s
s
 

 
31
sent
t
1
arctan
s

2. REVISIÓN 6 – 86256.94 PÁGINA 2 DE 2
Teoremas y propiedades diversas
1 Linearidad      
       
1 1 2 2 1 1 2 2
n n n n
c f t c f t c f t c F s c F s c F t
      
L  
donde 1
c , 2
c , … n
c son constantes
2 Primer teorema de traslación
 
   
     
 
   
   
1 1
at
s s a
s s a
at at
e f t f t F s F s a
F s a e F s e f t
 
 
 
   
  
L L
L L
3 Segundo teorema de traslación
donde la función escalón unitario es
 
0, 0
1,
t a
t a
t a
 

  


U
   
   
   
as as
f t a t a e f t e F s
 
   
L L
U
 
   
       
1 1
as
t t a
e F s F s t a f t a t a
 

 
    
L L U U
4 Función multiplicada por n
t
(derivada de transformada)
 
     
1
n
n
n
n
d
t f t F s
ds
 
L
5 Función dividida entre t
(integral de transformada)
 
 
s
f t
F s ds
t

 

 
  
L
6 Transformada de derivada
   
0
df
sF s f
dt
 
 
 
 
L
     
2
2
2
0 0
d f
s F s sf f
dt
 

  
 
 
L
       
   
 
2 1
1 2
0 0 0 0
n
n n
n n n
n
d f
s F s s f s f sf f
dt
 
 
 

     
 
 
L 
7 Transformada de integral
 
 
0
t F s
f t dt
s
 

 
 

L
8 Teorema de convolución
donde la integral de convolución es
   
τ τ τ
0
*
t
f g f g t d
 

   
   
     
*
f g f t g t F s G s
 
L L L
   
 
1
*
F s G s f g


L
9 Transformada de una función periódica
con periodo T tal que    
f t T f t
 
 
   
0
1
1
T
st
sT
f t e f t dt
e



 
L
10 Transformada de una función periódica
con periodo T tal que    
g t T g t
  
 
   
0
1
1
T
st
sT
g t e g t dt
e



 
L
 
δ
o bien
0 0
0
0 0
1
,
2
0,
a
t a t t a
t t a
t t a t t a

   

  
    

 
 
δ 0
0
2
sa sa
st
a
e e
t t e
sa

 
 
L
11 Función delta de Dirac
 
δ
0
0
0
,
0,
t t
t t
t t
 

  


 
 
δ 0
0
st
t t e
 
L
12 Derivada de la función delta
(función doble impulso)
 
δ 0
0
st
d
t t se
dt

 
 
 
 
L
13 Teorema del valor inicial    
0
lim lim
t s
f t sF s
 
  
 
14 Teorema del valor final    
0
lim lim
t s
f t sF s
 
  
 