1) La transformada de Laplace se utiliza para analizar ecuaciones diferenciales y calcula la integral de una función multiplicada por un exponencial complejo. 2) Existen propiedades como el teorema de traslación, linealidad, derivadas, integrales y cambio de escala que permiten manipular transformadas. 3) La transformada de Laplace se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes u variables.

1. BECA BECA BECA
transformada de Laplace
   
0
( ) . ( ) ( ) st L F t e f t d t

  
Segundo teorema de traslación
Lg(t) G(s) f (t)  0, t  a..y.. f (t)  g(t a), t  a
 ( )  ( ) ( )  ( ) as L F t L u t a g t a e L g t     
  1 1 ( ) ( ) ( ) as
t t a L e G s u t a L G s   
     
transformada inversa de Laplace
  1 ( ) ( ) f t LFs  
    1 L f (t) F(s) f (t) L F(s)    
Propiedad de transformada de derivadas
L f (t)  sL f (t) f (0)
    2 L f (t)  s L f (t)  sf (0)  f (0)
 
1
1
0
( ) ( ) (0)
n
n n n k k
k
L f t s L f t s f

 

   
Linealidad
Laf (t) bg(t)  aL f (t)bLg(t)
      1 1 1 L aF(s) bG(s) cL F(s) dL G(s)      
Propiedad de transformada de integrales
( )  ( ) ( ) ( ) ( )
t
a
g t   f u d u g t  f t
 
0
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t a
a
L f u d u L f t f u d u
s s
 
   
 
 
T de L escalón unitario
  1 ( ) ( )
as as e e
L u t a L u t a
s s
 
  
      
 
 
  
0
1 1
0
1
0 ( ) ( ) ( )
1
........ ( ) ( ) ( )
t
t
a L f u d u L f t
s
L F s L F s d u
s
 
 
    
 
 
   
 


Propiedad de cambio de escala
   
1 1
( ) ( ) ( ); 0 s s
k
L f kt l f t F s k
k k k 
  
    1 1 ( ) ( ) ( ); 0 t kt L F kt kL F s kf kt k  
   
 
0 0 0 0
1
... ( ) ... ( )
t t t t
n L f u du dudu L f t
s
 
  
 
   
   1 1
0 0 0 0
1
( ) ... ( ) ...
t t t t
n L F s L F s du dudu
s
   
  
     
“n” es la cantidad de integrales en ambas formulas
Primer teorema de traslación
 ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) at
t t a L f t F s L e f t L f t F s a         
    1 1 ( ) ( ) ( ) at at L F s a e L F s e f t     
Propiedades de la derivación de transformadas
L f (t)  F(s)
( ) ( 1)   ( )
n
n n
n
d
L t f t L f t
ds
   
  1 1 ( ) ( 1) ( )
n
n n
n
d
L F s t L F s
ds
   
   
 
FORMULARIO TRANSFORMADA DE LAPLACE

2. BECA BECA BECA
Propiedades de la integración de transformadas
  ( ) ( ) Lf t Fs 
 
( )
( )
s
f t
L L f t ds
t

 
  
   ;   1 1 1
( ) ( )
s
L F s ds L F s
t

   
  
 

La integral que aparece se llama convolución f y g se
representa por f*g; es decir:
 
0
( ) ( ) ( )
t
f  g t   f t u g u du
        1 1 1 L F(s).G(s) f g L f L g       
Propiedades de la transformada de funciones periódicas
Si “f” es una orden exponencial y es periódica con periodo
T>0 (f(x+T) = f(x)), entonces:
  0
( ) ( )
( )
1
T
st
sT
e f t d t
L f t
e

 


Método de Heaviside para transformada inversa de Laplace
Sea
()
()
()
Ps
Fs
Qs
 donde el grado de ( ) ( ) o o P s Q s  y
Q(s)  0 entonces Q(s) tiene n raíces, entonces:
  1
1
( ) ( )
( ) .
( ) ( )
k
n
a t k
k k
P s P a
L F s L e
Q s Q a


 
      

Propiedad de adicionales
1) Si f(t) y f´(t) son de orden exponencial, y si f(t) es
continua para todo t>0, entonces:
lim ( ) (0)
s
sF s f


Aplicación de la transformada de L a las ec. Diferenciales
Coef. Cte.  
1
1 ( )
0
( ) ( ) (0)
n
n n n k k
k
L y t s L f t s y

 

   
Coef. Variable. ( ) ( 1)   ( )
n
n n
n
d
L t f t L f t
ds
   
2)   () L f t y   1 L f (t)  existe entonces:
 
0
lim ( ) lim ( )
s t
sF s f t
 

La función delta de Dirac o función impulso unitario
Función delta de Dirac:  
0
(t) lim U(t) U(t )

 

  
(Llamada también función impulso unitario) propiedades:
i)  0
0
,
0 0, ( ) t t
t t  t t  
  
ii) 0  (t t )dt 1


  
El teorema de Convolución
Sean f y g funciones continuas por tramos de orden
exponencial.
L f   F(s), Lg G(s)
0
( ) ( ) ( ). ( )
t
L f t u g u du F s G s
 
   
 

iii) 0 0  (t t ) f (t)dt f (t )


  
aplicando en la transformada de Laplace , encontramos que:
 
0
1 1
( ) lim 1
s e
L t
s s






 
    
 
   
0
( ) ( ) .
t
L f t u g u du L f L g
 
   
 

  1
0
( ). ( ) ( ) ( )
t
L F s G s f t u g u du    
  0
0 ( ) st L  t t e  