1. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ
ØØÔ »»ÛÛÛº ѺÙ
Ð º
л
Ð
ÙÐÓº
Ingeniería Matemática Ò
ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö
Ó×
FACULTAD DE CIENCIAS
Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ
Ò
ÁÒ Ò Ö ÅÖ
Ø Ñ
ÙØ Ð
Ö
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
× Ð Ò Ñ
Ð
ÙÖ×Óº
Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð
SEMANA 1: NÚMEROS REALES
Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð
Ñ Ö Ò Ô Ö
ÓÒ¹
×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö
Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹
1. Números Reales Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹
Ò ØÙ× ÔÖÓÔ ×
ÒÓØ
ÓÒ ×º
1.1. Introducción
Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ ÒÓØ Ó ÔÓÖ R¸ × × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ
ÙÝÓ× Ð Ñ ÒØÓ× × ÐÐ Ñ Ò Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ Ò Ð
Ù Ð × Ò Ò
Ó× ÓÔ Ö
ÓÒ × ÐÐ Ñ × ×ÙÑ Ó
Ò Ý ÑÙÐØ ÔÐ
Ò Ó ÔÖÓ Ù
ØÓº Ð
ÓÒ ÙÒØÓ R
ÓÒ ×Ø × ÓÔ Ö
ÓÒ × × Ø ×
ÔÖÓÔ × ÕÙ ÐÓ
Ò Ò
Óº
Ò R Ü ×Ø Ò ÒÙÑ ÖÓ× × ÔÖÓÔ × ÕÙ Ò × Ó Ù× × ÙÖ ÒØ ÐÓ× Ó×
Ò× ÒÞ ×
Ý Ñ º ×Ø × ÔÖÓÔ × ÔÙ Ò ÖÙÔ Ö× Ò ØÖ ×
Ñ Ð × Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙÔÓ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÕÙ ÐÐ × ×Ó
× Ð Ù Ð Ý
Ð ×
Ù
ÓÒ × Ð × ÙÒ Ó ÖÙÔÓ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð × ÔÖÓÔ × Ò ØÓÖÒÓ
Ð × Ù Ð Ý Ð × Ò
Ù
ÓÒ × Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ü ×Ø ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ ÔÖÓ¹
Ô × Ú ÒÞ × ÕÙ Ñ Ö
Ð Ö Ò
ÒØÖ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ý ÐÓ×
Ö
ÓÒ Ð × ´Ð × Ö
ÓÒ ×µ¸ ×Ø × ÔÖÓÔ × × ÔÖ Ó
ÙÔ Ò Ð ×ØÖÙ
ØÙÖ
ÒØ ÖÒ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×º
×Ø × ÐØ Ñ × ÔÖÓÔ × ×
ÓÒÓ
Ò
ÓÑÓ Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓº
ÍÒ ÔÓ× Ð ×ØÙ Ö Ð × ÔÖÓÔ × R × Ö Ö ÙÒ Ð Ö Ó Ð ×Ø Ó
ØÓ × ÐÐ × ÑÓ Ó ÕÙ
Ù Ò Ó × ÒÓ× ÔÖ ÙÒØ × ÙÒ ÔÖÓÔ
×
ÖØ Ó ÒÓ¸ ×Ø Ö
ÓÒ
Ö × ¸
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÔÖÓÔ ½ ¿ ´ÔÓÖ
ÑÔÐÓµ º ×ØÓ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö Ð
ÙÖ×Ó Ñ Ø Ñ Ø
× Ò ÙÒÓ ÓÒ × ÐÓ
Ö ÕÙ Ñ ÑÓÖ Þ Ö Ò Ò Ø × ÔÖÓÔ ×º
Ò ×Ø
ÙÖ×Ó¸ ×
Ó Ö ÑÓ× ÙÒ Ú × Ò ÓÔÙ ×Ø Ð ÒØ Ö ÓÖº ×
Ö¸ ØÓ ×
Ð × ÔÖÓÔ × Ò × Ö ÙÒ
ÓÒ×
Ù Ò
ÖØÓ× ÔÓ×ØÙÐ Ó× ×
Ó×
Ð Ñ ÒØ Ð ×º ÄÓ× ÔÓ×ØÙÐ Ó× ×
Ó× Ð Ñ ÒØ Ð × × ÐÐ Ñ Ò Ü ÓÑ Ý × Ö Ò
ÐÓ× Ô Ð Ö × ÙÒ Ñ ÒØ Ð × ÒÙ ×ØÖ Ø ÓÖ º Ä × ÔÖÓÔ × R × Ö Ò
× ÐÓ ÕÙ ÐÐ × ÕÙ ÔÙ Ò × Ö Ù
׸ Ñ ÒØ ÙÒ Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ Ð
Ó¹
Ñ Ø Ñ Ø
Ó¸ Ô ÖØ Ö ÐÓ× ÁÇŠ˺
ÖÙÔ Ö ÑÓ× ÐÓ× Ü ÓÑ × Ò ØÖ × ÖÙÔÓ× ÄÓ× Ü ÓÑ ×
Ù ÖÔÓ ´ ×Ó
Ó×
Ð Ù Ð µ¸ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÓÖ Ò ´ ×Ó
Ó× Ð × Ù Ð µÝ Ð Ü ÓÑ
Ð ×ÙÔÖ ÑÓ ´ÕÙ Ñ Ö
Ð Ö Ò
ÒØÖ ÐÓ× Ö Ð × Ý ÐÓ× Ö
ÓÒ Ð ×µº
ÂÙÒØ Ò Ó ØÓ Ó× ÐÓ× Ü ÓÑ × ÕÙ × Ø ×
R¸ ×Ù Ð
Ö× ¸ Ò ÔÓ
× Ô Ð Ö ×
ÕÙ R × ÙÒ Ù ÖÔÓ ÇÖ Ò Ó ÓÑÔÐ ØÓ Ý ÖÕÙ Ñ ÒÓº
1.2. Axiomas de Cuerpo de los Reales
ÄÓ× Ü ÓÑ × R Ò ØÓÖÒÓ Ð Ù Ð Ø Ñ Ò ×ÓÒ ÐÐ Ñ Ó× Ü ÓÑ ×
Ù ÖÔÓ ÐÓ× Ö Ð ×º ÄÓ× ÖÙÔ Ö ÑÓ× Ò ÙÒ ØÓØ Ð ¸ ÐÓ×
Ù Ð × ÐÓ× Ó×
ÔÖ Ñ ÖÓ× ×ÓÒ ÐÓ× × Ù ÒØ ×
Ü ÓÑ ½º ´ ÓÒÑÙØ Ø Ú µ ܺ ½º ÓÒÑÙØ Ø Ú
µ Ù Ð ×ÕÙ Ö ÕÙ × Ò ÐÓ× Ö Ð × x, y Ó׸ ×Ù ×ÙÑ × ÙÒ Ö Ð
½

2. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ò Ô Ò ÒØ Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ × Ù× Ò ÐÓ× Ó× ×ÙÑ Ò Ó׸ ×
Ö
(∀x, y ∈ R) x + y = y + x.
µ È Ö Ð ÔÖÓ Ù
ØÓ ×
ÙÑÔÐ Ð Ñ ×Ñ ÔÖÓÔ Ð Ñ ÒØ Ð¸ ×
Ö
(∀x, y ∈ R) x · y = y · x.
Ü ÓÑ ¾º ´ ×Ó
Ø Ú µ ܺ ¾º ×Ó
Ø Ú
µ (∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + y) + z
µ (∀x, y, z ∈ R) x · (y · z) = (x · y) · z
Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ð Ü ÓÑ Ð ×Ó
Ø Ú ÆÇ Á ÕÙ x + (y + z) =
(x + z) + y º Ë Ò Ñ Ö Ó ×Ø ÐØ Ñ Ù Ð × ÙÒ ÔÖÓÔ
ÖØ ¸
Ö
× Ð
ÓÑ Ò
Ò ÔÖÓÔ ÐÓ× Ó× Ü ÓÑ × ÒØ Ö ÓÖ ×º
Ò
ØÓ¸ Ú ÑÓ× Ð × Ù ÒØ × ÖÖÓÐÐÓ
x + (y + z) = x + (z + y); Ö
× Ð Ü ÓÑ ½
= (x + z) + y; Ö
× Ð Ü ÓÑ ¾.
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸
ÓÑ Ò Ò Ó ÐÓ× Ó× Ü ÓÑ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ ×
ÓÒ
ÐÙÝ ÕÙ ÐÓ×
ÓÔ Ö Ò Ó× ÙÒ ØÖ ÔÐ ×ÙÑ ¸ × ÔÙ Ò Ö ÓÖ Ò Ö
Ù ÐÕÙ Ö ÓÖÑ
ÕÙ × × ¸ × Ò
Ñ Ö Ð Ö ×ÙÐØ Óº × ÔÓÖ ×Ø Ö Þ Ò¸ ÕÙ Ò Ò Ö Ð¸
Ù Ò Ó Ý Ú Ö Ó× ×ÙÑ Ò Ó׸ ÒÓ × Ù× Ò ÐÓ× Ô Ö ÒØ × ×¸ ÒÓ × Ö ÕÙ ×
×ØÖ
Ø Ñ ÒØ Ò
× Ö Óº
Ö
Ó× ½º½ ÑÓ×ØÖ Ö Ð × × Ù ÒØ × Ù Ð ×¸ Ù× Ò Ó ×ÓÐÓ ÐÓ× Ü Ó¹
Ñ × ½ Ý ¾º
½º (a+b)+c = (a+c)+b = (b+a)+c = (b+c)+a = (c+a)+b = (c+b)+aº
ÕÙ × Ò ×
Ö ØÓ ØÓ Ó× ÐÓ× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ× ÔÓ× Ð × ÐÓ× Ö Ð × a¸
b Ý cº
¾º (x + y) + (z + w) = (x + w) + (z + y) = (w + y) + (x + z).
Ð Ø Ö
Ö Ü ÓÑ ¸ ÕÙ × Ù ¸
ÓÑÔÐ Ø Ð × ÔÖÓÔ × Ñ Ò ÔÙÐ
Ò
Ð Ö
Ð ×ÙÑ Ý Ð ÔÖÓ Ù
ØÓº
Ü ÓÑ ¿º ´ ×ØÖ ÙØ Ú µ ܺ ¿º ×ØÖ ÙØ Ú
µ (∀x, y, z ∈ R) x(y + z) = xy + xz
µ (∀x, y, z ∈ R) (x + y)z = xz + yz
¾

3. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ò ×Ø Ø Ö
Ö Ü ÓÑ ¸ Ð ÔÖÓÔ ´ µ × ÙÒ
ÓÒ×
Ù Ò¹
Ð ´ µ Ñ × ÐÓ× Ü ÓÑ × ÔÖ Ú Ó× ´Ñ × ÔÖ
× Ñ ÒØ ¸ Ð
ÓÒÑÙØ Ø ¹
Ú Ð ÔÖÓ Ù
ØÓµº ×
Ö¸ ×Ø Ü ÓÑ × Ö ÙÒ ÒØ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÒÓ
Ö × Ö Ü ÓÑ º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× Ñ × ÔÖÓÔ × Ü ÓÑ ×¸
ÔÙ Ò Ó× ÙØ Ð Þ Ö Ð Ö Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ó Ð ÓØÖ ¸ Ò Ð × ÑÓ×ØÖ
ÓÒ ×º
ÄÓ× Ü ÓÑ × Ý ÒØÖ Ò Ð Ü ×Ø Ò
ÖØÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ×Ô
Ð ×
Ò Ê. ÍÒ
ÓÒ×
Ù Ò
Ö
Ø ÐÐÓ× × ÕÙ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ×
Ö Ð × ÒÓ × Ú
Óº Ë Ò Ñ Ö Ó¸
ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ× Ñ × Ð ÒØ ¸
ÓÒ ×ØÓ×
Ü ÓÑ × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ØÓ Ú ÔÓ Ö Ø Ò Ö ÑÙÝ ÔÓ
Ó×
Ð Ñ ÒØÓ׺
Ü ÓÑ º ´ Ü ×Ø Ò
Ð Ñ ÒØÓ× Ò ÙØÖÓ×µ ܺ º РѺ Ò ÙØÖÓ
×ÙÑ
Ò R Ü ×Ø Ò
ÖØÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒÓØ Ó× ÔÓÖ Ð Ð ØÖ e ÕÙ ÒÓ
Ø Ò Ð
Ö ×ÙÐØ Ó Ð ÓÔ Ö
Ò ×ÙÑ º ×
Ö
(∀x ∈ R) x + e = x.
ÌÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× e ÕÙ
ÙÑÔÐ Ò ×Ø ÔÖÓÔ × ÐÐ Ñ Ò Ò ÙØÖÓ×
Ô Ö Ð ×ÙÑ º
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ×Ø Ü ÓÑ ÒÓ× Ö ÒØ Þ Ð Ü ×Ø Ò
Ð Ñ ÒØÓ× Ò ÙØÖÓ×
Ô Ö Ð ×ÙÑ º Ë Ò Ñ Ö Ó ÒÓ
Ù ÒØÓ× Ý ´ Ò Ö Ð
ÕÙ Ý
ÙÒ
ÒØ Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÙÒÓµº
Ë Ö Ú × ÑÓ× ÒÙ ×ØÖÓ× ÒØ ÙÓ×
ÓÒÓ
Ñ ÒØÓ× R¸ Ö
ÓÖ Ö ÑÓ× ÕÙ Ý
× ÐÓ ÙÒ Ò ÙØÖÓº ×Ø ÐØ Ñ ÖÑ
Ò ÔÙ ÑÓ×ØÖ Ö× Ù× Ò Ó ÐÓ× Ü Ó¹
Ñ ×¸ Ý Ð ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× ÙÒ Ø ÓÖ Ñ ´ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ Ð
ÙÖ×Óµº
Ì ÓÖ Ñ ½º½º Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ×ÙÑ × Ò
Óº
Ç × ÖÚ
Ò ÍÒ Ú Þ ÑÓ×ØÖ Ó Ð Ø ÓÖ Ñ ¸ ÔÓ Ö ÑÓ× ÔÓÒ ÖÐ ÙÒ ÒÓѹ
Ö ×Ô
Ð Ð Ò
Ó Ò ÙØÖÓ Ø ÚÓº ÄÓ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ×
ÖÓ Ý ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ×
0º Î ÑÓ× Ð ÑÓ×ØÖ
Ò Ð Ø ÓÖ Ñ
ÑÓ×ØÖ
Òº Í× Ò Ó Ð Ü ÓÑ ÒØ Ö ÓÖ¸ × ÑÓ× ÕÙ Ü ×Ø Ò Ð Ñ Ò¹
ØÓ× Ò ÙØÖÓ׺ ÑÓ× ÕÙ ÑÓ× Ò
ÓÒØÖ Ó ÙÒÓ Ý ÐÓ ÐÐ Ñ ÑÓ× e1 º ×Ø
Ö Ð × Ø ×
Ð ÔÖÓÔ
(∀x ∈ R) x + e1 = x. ´½º½µ
È Ò× ÑÓ× ÕÙ ÔÓÖ Ð Ò ÓØÖÓ
Ñ ÒÓ ÑÓ× Ò
ÓÒØÖ Ó ÙÒ Ò ÙØÖÓ e2 ¸ Ô ÖÓ
ÒÓ × ÑÓ× × × Ó ÒÓ Ð Ñ ×ÑÓ ÒØ Ö ÓÖº ×Ø Ò ÙØÖÓ × Ø ×
Ð ÔÖÓÔ
(∀x ∈ R) x + e2 = x. ´½º¾µ
È Ö ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ð Ò ÙØÖÓ × Ò
Ó¸ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ò
× Ö Ñ ÒØ
e1 = e2 ¸ Ý × × Ö ÑÓ× ÕÙ
Ú Þ ÕÙ Ò
ÓÒØÖ ÑÓ× ÙÒ Ò ÙØÖÓ¸ ×Ø × Ö
× ÑÔÖ Ð Ñ ×ÑÓº
¿

4. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Í× Ò Ó e2 Ò Ð Ù Ð ´½º½µ Ý e1 Ò Ð Ù Ð ´½º¾µ Ó Ø Ò ÑÓ× ÕÙ
e2 + e1 = e2
e1 + e2 = e1 .
Ð Ñ Ö Ö ×Ø Ó× ÜÔÖ × ÓÒ × Ú ÑÓ× ÕÙ ÐÓ Ò
Ó ÕÙ ÐØ Ô Ö
ÓÒ
ÐÙ Ö Ð
Ù Ð ¸ × Ù× Ö Ð Ü ÓÑ Ð
ÓÒÑÙØ Ø Ú ¸ ÕÙ
ÕÙ Ð Ö ×ÙÐØ Ó
ÙÒ ×ÙÑ × Ò Ô Ò ÒØ Ð ÓÖ Ò ÐÓ× ×ÙÑ Ò Ó׺ × × Ó Ø Ò Ð
Ö ×ÙÐØ Óº
Ò ÙÒ Ð Ò ¸ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ × Ö ×ÙÑ Ò
e1 = e1 + e2 = e2 + e1 = e2 .
ÓÒØ ÒÙ
Ò ÒÙÒ
ÑÓ× Ð Ü ÓÑ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ÔÖÓ Ù
ØÓº
Ü ÓÑ º ´ Ü ×Ø Ò
Ð Ñ ÒØÓ× Ò ÙØÖÓ×µ ܺ º РѺ Ò ÙØÖÓ
ÔÖÓ
Ò R Ü ×Ø Ò
ÖØÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒÓØ Ó× ÔÓÖ Ð Ð ØÖ e ÕÙ ¸ ÔÓÖ ÙÒ Ð Ó
×ÓÒ Ö ÒØ × ¼ Ý ÔÓÖ ÓØÖÓ ÒÓ
Ø Ò Ò Ð ÓÔ Ö
Ò ÔÖÓ Ù
ØÓº ×
Ö
(∀x ∈ R) x · e = x.
ÌÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× e ÕÙ
ÙÑÔÐ Ò ×Ø ÔÖÓÔ × ÐÐ Ñ Ò Ò ÙØÖÓ×
Ô Ö Ð ÔÖÓ Ù
ØÓº
ÆÙ Ú Ñ ÒØ ¸ ×Ø Ü ÓÑ × ÐÓ ÒÓ× Ö ÒØ Þ Ð Ü ×Ø Ò
Ð Ñ ÒØÓ×
Ò ÙØÖÓ× Ô Ö Ð ÔÖÓ Ù
ØÓº
Ò ×Ø
×Ó ÒÙ Ú Ñ ÒØ × ÔÙ ÔÖÓ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ ÕÙ
ÕÙ ÐÓ× Ò ÙØÖÓ×
×ÓÒ Ò
Ó׸ ×
Ö
Ì ÓÖ Ñ ½º¾º Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ù
ØÓ × Ò
Óº
Ç × ÖÚ
Ò
Ä ÑÓ×ØÖ
Ò ×Ø Ø ÓÖ Ñ × Ò ÐÓ Ð
×Ó Ð ×ÙÑ Ý ÔÓÖ
ÐÓ Ø ÒØÓ × ÔÖÓÔÓÒ
ÓÑÓ Ö
Óº
Ð Ò
Ó Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ù
ØÓ ÐÓ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× ÙÒÓ Ý ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ×
1.
Ð Ü ÓÑ
Ñ × ÕÙ 1 = 0.
Ü ÓÑ º ´ Ü ×Ø Ò
Ð Ñ ÒØÓ× ÒÚ Ö×Ó×µ ܺ º Ð Ñ׺ ÒÚ Ö×Ó×

5. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
µ È Ö
x ∈ R¸ Ü ×Ø Ò Ö Ð × ×Ó
Ó× x¸ ÕÙ × ÐÐ Ñ Ò ÓÔÙ ×¹
ØÓ× Ó ÒÚ Ö×Ó× Ø ÚÓ× x¸ ÕÙ × Ø ×
Ò
x + ÓÔÙ ×ØÓ(x) = 0.
µ Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ô Ö
x∈R
ÓÒ x = 0¸ Ü ×Ø Ò ÒÚ Ö×Ó× ÑÙÐØ ¹
ÔÐ
Ø ÚÓ× Ó Ö
ÔÖÓ
Ó× x¸ ÕÙ × Ø ×
Ò
x·Ö
ÔÖÓ
Ó(x) = 1.
Ì ÓÖ Ñ ½º¿º
½º ∀x ∈ R, ×Ù Ð Ñ ÒØÓ ÓÔÙ ×ØÓ × Ò
Óº
¾º ∀x ∈ R, x = 0¸ ×Ù Ð Ñ ÒØÓ Ö
ÔÖÓ
Ó × Ò
Óº
ÑÓ×ØÖ
Òº Ë Ò p1 Ý p2 ÓÔÙ ×ØÓ× Ð Ñ ×ÑÓ Ö Ð Ö ØÖ Ö Ó x. ÐÐÓ×
× Ø ×
Ò Ð ×
Ù
ÓÒ ×
x + p1 = 0 ´½º¿µ
x + p2 = 0. ´½º µ
ÄÓ ÕÙ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ×
Ⱥ ºÉ p1 = p2 .
Ò
ØÓ¸ Ù× Ò Ó Ð ×
Ù
ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ × Ý ÐÓ× Ü ÓÑ ×¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ
p1 = p1 + 0, ÕÙ ÑÓ× Ù× Ó Ð Ü ÓÑ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ¸
= p1 + (x + p2 ), ÕÙ ÑÓ× Ù× Ó Ð
Ù
Ò ´½º µ,
= (p1 + x) + p2 , ÕÙ ÑÓ× Ù× Ó Ð Ü ÓÑ Ð ×Ó
Ø Ú ,
= (x + p1 ) + p2 , ÕÙ ÑÓ× Ù× Ó Ð Ü ÓÑ Ð ÓÒÑÙØ Ø Ú ¸
= 0 + p2 , ÑÓ× Ù× Ó Ð
Ù
Ò ´½º¿µ,
= p2 + 0, ÑÓ× Ù× Ó Ð Ü ÓÑ Ð ÓÒÑÙØ Ø Ú ¸
= p2 , ÑÓ× Ù× Ó ÒÙ Ú Ñ Ð Ü ÓÑ Ð ºÆº

6. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ç × ÖÚ
Ò
Ä ÑÓ×ØÖ
Ò Ð ÙÒ
Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓ × Ò ÐÓ
Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × ÔÖÓÔÙ ×Ø
ÓÑÓ Ö
Óº
ÄÓ× ÒÚ Ö×Ó× Ø ÚÓ× Ý ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓ× x × ÒÓØ Ò × ÑÔÐ Ñ ÒØ
−1
ÔÓÖ −x Ý x ¸ Ö ×Ô
Ø Ú Ñ ÒØ º
ÓÒ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÒÙÒ
Ó× ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸
ÕÙ R
ÓÒ Ð ×
ÓÔ Ö
ÓÒ × + Ý · ÓÖÑ ÙÒ Ù ÖÔÓº
Ë ÒÓØ
ÓÒ Ò× Ñ ÒØ
ÓÑÓ (R, +, ·) × ÙÒ Ù ÖÔÓº
1.3. Propiedades en R relacionadas con la igualdad
ÓÒØ ÒÙ
Ò ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× ÓØÖ × ÔÖÓÔ × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×º
ÅÙ
× ÐÐ × ×ÓÒ
ÓÒÓ
× Ð
ÓÐ Óº ÆÓ× ÒØ Ö × Ö Ö Ú × ÖÐ × ÔÓÖ ÙÒ
Ó Ð Ó Ø ÚÓº ÈÓÖ ÙÒ Ð Ó × Ù ÒÓ Ö
ÓÖ ÖÐ × ´Ý»Ó ÔÖ Ò ÖÐ ×µ¸ Ý ÔÓÖ
ÓØÖÓ ÕÙ Ö ÑÓ× Ú Ö ÔÓÖ ÕÙ ×ÓÒ
ÖØ × Ý
ÓÑÓ × Ù
Ò ÐÐ × Ô ÖØ Ö
ÐÓ× Ü ÓÑ ×
Ù ÖÔÓ ÒØ Ö ÓÖ ×º
ÓÑ Ò
ÑÓ× ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ Ñ × Ñ Ð Ñ Ø
×Ø
Ô ØÙÐÓ¸ ÕÙ ÐÐ
ÕÙ ØÓ Ó Ð ÑÙÒ Ó
ÓÒÓ
¸ Ð ÙÒÓ× Ô Ò× Ò ÕÙ × ÙÒ Ü ÓÑ Ô ÖÓ Ò Ö ¹
Ð × ÙÒ ÔÖÓÔ ÕÙ × Ù
ÐÓ× Ü ÓÑ ×º
Ë ØÖ Ø Ð Ø Ð Ð
ÖÓº
ÈÖÓÔ ½º
∀a ∈ R ×
ÙÑÔÐ a · 0 = 0.
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð Ø Ð Ð ÙÒÓ¸ ÕÙ
a·1 = a. Ç × ¸Ð Ø Ð ÙÒÓ × ÙÒ
Ü ÓÑ ´úÖ
Ù Ö
Ù Ð µº È ÖÓ Ð Ø Ð Ð
ÖÓ Ë ÍÆ ÈÊÇÈÁ º
ÑÓ×ØÖ
Òº Ë a ∈ R ÙÒ Ö Ð
Ù ÐÕÙ Ö º ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ a·0 =
0.
Ç × ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð Ö Ð a·0 × Ð Ò ÙØÖÓ Ø ÚÓ Ò R.
È Ö
ÓÒ
ÐÙ Ö ×ØÓ¸ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð Ö Ð a·0 × Ø ×
Ð ÔÖÓÔ
∀x ∈ R, x+a·0=x ´½º µ
ÓÑ Ò
ÑÓ× ÔÓÖ ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð ÔÖÓÔ ´½º µ ×
ÖØ Ô Ö Ð Ö Ð a ´ Ò
ÐÙ Ö xµ¸ Ó × ÕÙ
a + a · 0 = a.
Ò
ØÓ¸ ÒÓØ ÑÓ× ÕÙ
a+a·0 = a·1+a·0
= a · (1 + 0)
= a·1
= a.

7. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ç × ÖÚ
Ò ÒØ ×
ÓÒØ ÒÙ Ö¸ Ö
ÓÒÓÞ
Ù Ð × Ù ÖÓÒ ÐÓ× Ü ÓÑ ×
Ù× Ó× Ò
ÙÒ Ð × Ù Ð × ÒØ Ö ÓÖ ×º
×Ø ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÔ ¸ ÒÓ× Ò× × ÑÔÐ
Ö Ð Ø ÖÑ ÒÓ a·0
Ù Ò Ó
Ô Ö
×ÙÑ Ó
ÓÒ a. ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ò Ò Ö Ð × ÔÙ × ÑÔÐ
Ö
Ù Ò Ó ×Ø ×ÙÑ Ó
ÓÒ
Ù ÐÕÙ Ö
Ó× º
Î ÑÓ× ÓÖ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ ´½º µ Ò Ò Ö Ðº Ä
Ð Ú ×
Ö Ô Ö
Ö
Ð ×ÙÑ a+a·0 ÕÙ Ý
ÓÒÓ
ÑÓ×
x+a·0 = x + [0 + a · 0]
= x + [(a + (−a)) + a · 0]
= x + [((−a) + a) + a · 0]
= x + [(−a) + (a + a · 0)] , ÕÙ Ô Ö
Ð ×ÙÑ
ÓÒÓ
= x + [(−a) + a]
= x + [a + (−a)]
= x+0=x
ÓÒ×
Ù Ò
ÍÒ
ÓÒ×
Ù Ò
ÑÔÓÖØ ÒØ ×Ø ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÔ
× ÕÙ
ÆÇ ÁËÌ Ä ÁÆÎ ÊËÇ ÅÍÄÌÁÈÄÁ ÌÁÎÇ Ä ÊǺ
Ò
ØÓ¸ × Ü ×Ø Ö Ö
ÙÑÔÐ Ö 0 · 0−1 = 1 Ý Ø Ñ Ò Ð ÔÖÓÔ
0· 0−1 = 0¸ ÓÒ × Ó Ø Ò Ö 0 = 1, ÐÓ ÕÙ
ÓÒØÖ
Ð Ü ÓÑ Ð
Ò ÙØÖÓ ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓº
Ë Ð Ñ Ò Ö ÑÓ× Ð Ö ×ØÖ
Ò 0=1 ÐÓ× Ü ÓÑ ×¸ ÒØÓÒ
× Ò ×
×Ó 0
Ø Ò Ö Ö
ÔÖÓ
Ó¸ Ô ÖÓ ÐÓ× Ö Ð × × Ö Ò ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ ØÖ Ú Ð Ö Ù
Ó × ÐÓ Ð
ÖÓ¸ Ý ÕÙ
∀a, a = a · 1 = a · 0 = 0.
1.4. Otras Propiedades en R
ÈÖÓÔ ¾º Ò R¸ Ð ×
Ù
ÓÒ ×
µ a+x =b
µ a · x = b (a = 0)
Ì Ò Ò ×ÓÐÙ
Ò¸ Ý
×ÓÐÙ
Ò × Ò
º
À Ö ÑÓ× × ÐÓ Ð ÑÓ×ØÖ
Ò Ð Ô ÖØ ´ µº ÓÑÓ Ö
Ó ÑÓ×¹
ØÖ Ö ÕÙ Ð ×ÓÐÙ
Ò Ò
Ð Ô ÖØ ´ µ × x = b · a−1 .
ÑÓ×ØÖ
Òº Î ÑÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ Ð Ü ×Ø Ò
Ð ×ÓÐÙ
Òº ÓÑ ÒÞ Ö ¹
ÑÓ× ÔÓÖ
Ö ÙÒ
Ð
ÙÐÓ ÓÖÑ Ð¸ ÕÙ
ÓÒ× ×Ø Ò ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö Ð
Ù
Ò
ÓÖ Ò Ð Ò ÙÒ Ñ × Ú ÒØ º Î ÑÓ×

8. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
a+x b
ÓÑÓ a∈R ÒØÓÒ
× Ü ×Ø (−a) ∈ R
(−a) + (a + x) (−a) + b ×Ó
Ò Ó
[(−a) + a] + x (−a) + b Ô ÖÓ (−a) + a = 0 ÔÓÖ Ò
Ò Ð Ñ ÒØÓ ÒÚ Ö×Ó
0+x (−a) + b Ô ÖÓ 0 + x = x ÔÓÖ Ò
Ò Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ
x (−a) + b.
Ð ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø
Ð
ÙÐÓ ÓÖÑ Ð¸ × ÕÙ ÑÓ× ØÖ Ò× ÓÖÑ Ó ÙÒ Ù Ð¹
ÕÙ ÒÓ × ÑÓ× × ×
ÖØ Ó ÒÓº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÒÓ× ÒØÖ ÙÒ Ù Ò
Ò ØÓ ×ÓÐÙ
Òº
Ä Ú Ö Ö ÑÓ×ØÖ
Ò
ÓÑ ÒÞ ÕÙ ¸
Ò Ó Ë α = (−a) + b¸
Ú ÑÓ× ÕÙ ×Ø Ö Ð × Ø ×
Ð
Ù
Òº
Ò
ØÓ
a + α = a + [(−a) + b] = [a + (−a)] + b = 0 + b = b.
×ØÓ
ÓÒ
ÐÙÝ Ð ÑÓ×ØÖ
Ò Ð Ü ×Ø Ò
Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ×ÓÐÙ
Ò
Ð
Ù
Òº
ÓÖ Ú ÑÓ× ÕÙ ×Ø ×ÓÐÙ
Ò × Ò
º È Ö ÐÐÓ¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ÑÓ×
Ò
ÓÒØÖ Ó ÐÓ× Ö Ð × x1 Ý x2 ¸ ÐÓ× ÕÙ ×ÓÒ ×ÓÐÙ
ÓÒ × a + x = b. Ä
ÙÒ
ÕÙ Ö ÑÓ×ØÖ ¸ ×
ÓÒ × ÐÓ ×Ø Ô Ø × ×¸ ×
ÓÒ
ÐÙÝ ÕÙ
x1 = x2 .
Î ÑÓ×
a + x1 = b Ý Ñ × a + x2 = b ÒØÓÒ
׸ a + x1 = a + x2
ÒØÓÒ
׸ (−a) + [a + x1 ] = (−a) + [a + x2 ]
ÒØÓÒ
׸ [(−a) + a] + x1 = [(−a) + a] + x2
ÒØÓÒ
׸ 0 + x1 = 0 + x2
ÒØÓÒ
׸ x1 = x2 .
ÓÒ ×ØÓ ×
ÓÒ
ÐÙÝ Ð ÑÓ×ØÖ
Ò Ð ÙÒ
×ÓÐÙ
ÓÒ ×º
1.5. Definiciones importantes
Ä ÙÒ
ÕÙ ÒÓ× Ð ÈÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ ÑÓØ Ú Ð × × Ù ÒØ × Ò ¹
ÓÒ ×
Ò
Ò ½º½ ´ Ö Ò
Ý
ÙÓ
ÒØ µº
ÄÐ Ñ Ö ÑÓ× Ö Ò
ÒØÖ a Ý b Ð Ö Ð x = b + (−a) Ý × ÒÓØ
ÔÓÖ x = b − a. ÓÒ ×ØÓ¸ Ð ÔÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ × Ö ×ÙÑ Ò
a + x = b × Ý × ÐÓ × x = b − a.

9. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð
Ù
Ò ´ µ x = b · a × ÒÓÑ Ò
ÙÓ
ÒØ −1
b ÔÓÖ a Ý × ÒÓØ ÔÓÖ Ð Ö
Ò x = a ¸ Ó Ò ÔÓÖ Ð
ÙÓ
ÒØ
b
x = b : a.
ÄÙ Ó × a = 0 × Ø Ò ÕÙ
b
a · x = b × Ý × ÐÓ × x = .
a
Ç × ÖÚ
Ò Ð ÙÒ
×ÓÐÙ
ÓÒ × ×Ø ×
Ù
ÓÒ × × Ù
Ò
Ú Ö × Ú Ö ÒØ × Ø Ð × Ò ÔÖÓ
×Ó× Ð Ö
Ó×
½º Ä Ý
Ò
Ð
Ò Ô Ö Ð ×ÙÑ
a+b=a+c ÒØÓÒ
× b = c.
Ò
ØÓ¸ ÔÙ
Ö× ÕÙ b Ý c ×ÓÒ Ð × ×ÓÐÙ
ÓÒ × Ð Ñ ×Ñ
Ù
Ò a + x = a + c. ÓÑÓ Ð ×ÓÐÙ
Ò ×Ø
Ù
Ò × Ò
¸
ÒØÓÒ
× b = c.
¾º Ä Ý
Ò
Ð
Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ù
ØÓ
Ù Ò Ó a = 0¸
a·b=a·c ÒØÓÒ
× b = c.
Ò
ØÓ¸ Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ð
×Ó ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÙ
Ö× ÕÙ b Ý c ×ÓÒ
Ð × ×ÓÐÙ
ÓÒ × Ð Ñ ×Ñ
Ù
Ò a · x = a · c.
¿º Ê ×ÓÐÙ
Ò Ð
Ù
Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð
a · x + b = 0, ÓÒ a = 0.
ÓÑ Ò Ò Ó Ð × Ó× Ô ÖØ × Ð ÔÖÓÔÓ×
Ò ÒØ Ö ÓÖ¸ × Ó Ø Ò ÕÙ ¸
ÔÖ Ñ ÖÓ ´Ù× Ò Ó Ð Ô ÖØ Ð ×ÙÑ µ
a · x = −b
Ý ÔÓÖ ÓØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ù
ØÓ
b
x=− .
a
ÈÖÓÔ ¿ ´Ê Ð ÐÓ× ÒÚ Ö×Ó×µº µ −(−a) = a ∀a ∈ R
µ (a−1 )−1 = a ∀a ∈ R∗ ; R∗ = R {0}
ÑÓ×ØÖ
Òº Ò Ð ÔÖ Ñ Ö
×Ó ÔÖÓ Ö× ÕÙ Ð ÓÔÙ ×ØÓ (−a)
× a.
Ê
ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ð ÓÔÙ ×ØÓ (−a) × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ p ÕÙ
ÙÑÔÐ Ð Ö Ð
Ò
(−a) + p = 0.

10. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
ÈÙ × Ò ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ a ×
Ó Ò Ñ ÖÓ¸ ×
Ö
Ⱥ ºÉ (−a) + a = 0.
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ú Þ ÕÙ × ÐÓ Ö
ÓÑÔÖ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ò Ú Ð¸ Ý
ÐÓ Ö ÑÓ× ÒØ
Ö ÕÙ × ÐÓ ÕÙ Ý ÕÙ ÔÖÓ Ö¸ Ð ÑÓ×ØÖ
Ò Ñ ×Ñ
× × Ò
ÐÐ º
Ò
ØÓ × Ø Ò ÕÙ
(−a) + a = a + (−a) = 0.
Ä ÑÓ×ØÖ
Ò Ð
×Ó ´ µ × Ò ÐÓ Ý
ÖÐ
ÓÑÓ Ö
Óº
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÕÙ ¸ × Ó Ø Ò Ð Ö Ð
ÓÒØ Ö ÐÓ× × ÒÓ× º × −(−(−(−(−a)))) =
−a¸ Ø
º
ÈÖÓÔ ´Ê Ð × ÐÓ× × ÒÓ×µº µ a · (−b) = −(a · b) = −ab
µ (−a) · (−b) = a · b
µ −(a + b) = (−a) + (−b) = −a − b
Úµ (a · b)−1 = a−1 · b−1
Úµ a − (b + c) = a − b − c
Ú µ a − (b − c) = a − b + c
ÑÓ×ØÖ
Òº ÓÑ Ò
ÑÓ× ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ ´ µº Ë ÔÖÓ Ö × ÐÓ Ð
ÔÖ Ñ Ö Ù Ð ¸ Ý ÕÙ Ð × ÙÒ × ÙÒ ÒÓØ
Ò Ð × ÙÒ Ó Ø ÖÑ ÒÓº
×Ø Ù Ð ÔÖ Ø Ò ÕÙ Ä ÇÈÍ ËÌÇ (a · b) × Ð Ö Ð a · (−b).
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÐÓ × Ù ÒØ
Ⱥ ºÉº (a · b) + [a(−b)] = 0.
Î ÑÓ× × ×ØÓ ÐØ ÑÓ × Ó ÒÓ
ÖØÓ
(a · b) + [a(−b)] = a · [b + (−b)]
= a·0
= 0.
×ØÓ
ÓÒ
ÐÙÝ Ð ÑÓ×ØÖ
Ò ´ µº
½¼

11. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ç × ÖÚ
Ò ÒØ ×
ÓÒØ ÒÙ Ö¸ Ö
ÓÒÓÞ
Ù Ð × Ù ÖÓÒ ÐÓ× Ü ÓÑ ×
Ù× Ó× Ò
ÙÒ Ð × ¿ Ù Ð × ÒØ Ö ÓÖ ×º
È Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð ÔÖÓÔ ´ µ Ù× ÑÓ× Ð ÔÖÓÔ ´ µ Ó× Ú
× Ò ÓÖÑ
×Ù
× Ú º Ò
ØÓ
(−a) · (−b) = − [(−a) · b]
= − [b · (−a)]
= − [−(b · a)]
= ab.
È Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð ÔÖÓÔ ´ µ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð ÓÔÙ ×ØÓ (a + b)
× Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð (−a) + (−b).
×
Ö¸ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ
Ⱥ ºÉº (a + b) + [(−a) + (−b)] = 0.
×ØÓ
Ø Ú Ñ ÒØ ×
ÖØÓ Ý ÕÙ
(a + b) + [(−a) + (−b)] = [(a + b) + (−a)] + (−b)
= [(b + a) + (−a)] + (−b)
= [b + (a + (−a))] + (−b)
= [b + 0] + (−b)
= b + (−b) = 0.
Ä ÔÖÓÔ ´ Úµ × Ò ÐÓ Ð ´ µ¸
Ñ Ò Ó Ð ÓÔ Ö
Ò ×ÙÑ ÔÓÖ
ÔÖÓ Ù
ØÓº
Ö×
ÓÑÓ Ö
Óº
È Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð × ÐØ Ñ × Ó× ÔÖÓÔ ×¸ Ò
ÓÑ Ò Ö× Ð ÔÖÓÔ ¹
× Ý ÑÓ×ØÖ ×º À ÑÓ× Ð ÔÖÓÔ ´Úµº Ä ÔÖÓÔ ´Ú µ
Ö×
ÓÑÓ Ö
Óº
Ä ÑÓ×ØÖ
Ò × Ö Ð Þ ØÓÑ Ò Ó Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ý
ÓÒ
ÐÙÝ Ò Ó ÕÙ ×
Ù Ð Ð Ð Ó Ö
Óº
Î ÑÓ×
a − (b + c) = a + [−(b + c)]
= a + [(−b) + (−c)]
= a + (−b) + (−c)
= (a − b) − c.
½½

12. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
ÈÖÓÔ º
x · y = 0 ⇒ (x = 0) ∨ (y = 0)
ÑÓ×ØÖ
Òº Ä ÔÖÓÔ
ÕÙ
Ú Þ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ù
ØÓ Ó×
Ö Ð × ×
ÖÓ¸ ÒØÓÒ
× Ð ÙÒÓ ÐÓ×
ØÓÖ × × Ö
ÖÓº
È Ö ÑÓ×ØÖ ÖÐ × ØÓÑ Ð Ù Ð x · y = 0
ÓÑÓ ÙÒ ØÓ Ý × Ö ÞÓÒ
×Ø
ÓÒ
ÐÙ Ö ÕÙ ×
ÖØÓ ÕÙ x = 0 Ó Ò y = 0. ´ × ×
ÓÑÓ ×
ÑÙ ×ØÖ Ò Ò Ö Ð ÙÒ ÑÔÐ
Òµº
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × ÑÓ× ÕÙ x · y = 0.
Ⱥ ºÉº x=0 Ó Ò y = 0.
Ð Ö Ñ ÒØ x ÔÙ Ó ÒÓ × Ö
ÖÓº Ë ÐÓ Ù Ö ¸ ÒØÓÒ
× Ð ÑÓ×ØÖ
Ò
×Ø Ö
ÓÒ
ÐÙ º
ËÓÐÓ ÒÓ× ÐØ Ö Ú Ö ÕÙ Ô × × x = 0. Ò ×Ø
×Ó Ð Ù Ð
x·y =0
× Ú
ÓÑÓ ÙÒ
Ù
Ò¸ Ò Ð
Ù Ð × ÔÙ ×Ô Ö y Ú Ò Ó ÔÓÖ x
´ÑÙÐØ ÔÐ
Ò Ó ÔÓÖ x−1 µº
À
Ò Ó ×ØÓ ×
ÓÒ
ÐÙÝ ÕÙ y = 0.
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ó Ò x = 0, Ó Ò x = 0, Ô ÖÓ Ò ×Ø
×Ó y = 0.
ÓÒ
ÐÙ× Ò Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ö Ð × × Ö
ÖÓº
1.5.1. Propiedades adicionales
ac a
½º = ∀a, b, c, ∈ R¸
ÓÒ b, c = 0
bc b
a c ad ± bc
¾º ± = ∀a, b, c, d ∈ R¸
ÓÒ b, d = 0
b d bd
a c ac
¿º · = ∀a, b, c, d ∈ R¸
ÓÒ b, d = 0
b d bd
a c ad
º : = ∀a, b, c, d ∈ R¸
ÓÒ b, c, d = 0
b d bc
º (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
½¾

13. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
3 3 2 2 3
º (a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b
º (a + b)(a − b) = a2 − b2
º (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3
º (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
Ç × ÖÚ
Ò Ò ×Ø × ÔÖÓÔ × × Ò Ù× Ó Ð × ÒÓØ
ÓÒ × × Ù ÒØ ×
ab = a · b 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, Ø
.
2 2 3
a·a= a , a ·a= a , a · a = a4 ,
3
Ø
.
Ñ ×¸ Ð × Ñ ÓÐÓ ± Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÕÙ Ð ÔÖÓÔ ×
ÖØ × × Ö ¹
ÑÔÐ Þ Ò ØÓ × Ð × Ô Ö
ÓÒ × ± ÔÓÖ +¸ Ó × × Ö ÑÔÐ Þ Ò ØÓ × ÔÓÖ
−.
ÑÓ×ØÖ
Òº
½º
ac
= ac(bc)−1
bc
= ac(b−1 c−1 )
= ac(c−1 b−1 )
= a(cc−1 )b−1
= a · 1 · b−1
= ab−1
a
=
b
¾º
a c
± = ab−1 ± cd−1
b d
= ab−1 dd−1 ± cbb−1 d−1
= ad(bd)−1 ± bc(bd)−1
= (ad ± bc)(bd)−1
ad ± bc
=
bd
¿º
a c
· = ab−1 cd−1
b d
= ac(bd)−1
ac
=
bd
½¿

14. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
º
a c
: = ab−1 : cd−1
b d
= ab−1 · (cd−1 )−1
= ab−1 · (c−1 d)
= ad(bc)−1
ad
=
bc
º
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
= a2 + ab + ba + b2
= a2 + 2ab + b2
º
(a + b)3 = (a + b)2 (a + b)
= (a2 + 2ab + b2 )(a + b)
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
Ê Ü Ò ÒØ ×
ÓÒØ ÒÙ Ö¸ Ö
ÓÒÓÞ
Ù Ð × Ù ÖÓÒ ÐÓ× Ü ÓÑ × Ý ÔÖÓ¹
Ô × Ù× Ó× Ò
ÙÒ Ð × Ù Ð × ÒØ Ö ÓÖ ×º Ä ÑÓ×ØÖ
Ò
Ð × ÔÖÓÔ × Ö ×Ø ÒØ ×
Ö×
ÓÑÓ Ö
Óº
1.5.2. Otros Cuerpos
ÓÒ× Ö Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ó× Ð Ñ ÒØÓ× × Ù ÒØ
A = {♥, △} .
Ò ×Ø
ÓÒ ÙÒØÓ × Ò Ò Ó× ÓÔ Ö
ÓÒ × ◦, ∗ Ñ ÒØ Ð ×Ø Ð ×× Ù Ò¹
Ø ×
◦ ♥ △ ∗ ♥ △
♥ ♥ △ ♥ ♥ ♥
△ △ ♥ △ ♥ △
ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ×Ø
ÓÒ ÙÒØÓ
ÓÒ Ð × ÓÔ Ö
ÓÒ × ×
Ö Ø ×¸ Ó × (A, ◦, ∗)¸
× Ø ×
ØÓ Ó× ÐÓ× Ü ÓÑ ×
Ù ÖÔÓº ÈÓ ÑÓ× ÒØ
Ö ◦
ÓÒ Ð ×ÙÑ ¸
∗
ÓÒ Ð ÑÙÐØ ÔÐ
Ò¸ ♥
ÓÒ 0 Ý △
ÓÒ ½º
Í× Ò Ó ×Ø ÒØ
Ò¸ Ó
ÙÖÖ ÕÙ 1 + 1 = 0¸ 1 + 1 + 1 = 1¸ Ø
º
Î ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× Ü ÓÑ ×
Ù ÖÔÓ ×ÓÒ ÒØ Ö × ÒØ ×¸ Ô ÖÓ ÒÓ Ò Ò
ÓÑÔÐ ¹
Ø Ñ ÒØ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ R ÕÙ ×Ô Ö ÑÓ׺ ×Ø
ÓÒ ÙÒØÓ A Ó× Ð Ñ ÒØÓ×
× Ø ×
ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× Ü ÓÑ × ÕÙ R.
½

15. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 08-1
Ù ×
Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö
Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ
ÓÒ ×
½º Ü ×Ø Ò Ó× Ò Ñ ÖÓ× ×Ø ÒØÓ× x, y ∈ Ê Ø Ð × ÕÙ x+y = x Ý y+x = y º
¾º È Ö
Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ò Ñ ÖÓ× x, y ∈ Ê × Ø Ò ÕÙ x + y = y + xº
¿º È Ö
Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ò Ñ ÖÓ× x, y ∈ Ê × Ø Ò ÕÙ x + y = xº
º È Ö
Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ò Ñ ÖÓ× x, y ∈ Ê × Ø Ò ÕÙ x · y = y · xº
º (∀x, y, z ∈ Ê) (x + y) + z = (x + z) + (y + z)º
º Ò ÙÒ × Ö ×ÙÑ × Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ ×Ø × ×
Ö Ð Þ Ò × ×ÙÑ ÑÔÓÖØ Ò
º
º (∀x, y, z ∈ Ê) (x + y) + z = x + (y + z)º
º (∀x, y, z ∈ Ê) (x − y) · z = x · (−z) + y · (−z)º
º (∀x, y, z ∈ Ê) (x + y) · z = y · z + x · z º
½¼º (∀x, y, z ∈ Ê) (x + y) · z = (x + z) · (y + z)º
½½º Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ ×ÙÑ Ó
Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ
ÓÑÓ Ö ×ÙÐØ Ó
×Ø ÐØ ÑÓº
½¾º Ó a ∈ Ê {0}¸ Ð
Ù
Ò a−x =a ÒÓ Ø Ò ×ÓÐÙ
Ò Ò Êº
½¿º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x ∈ Ê × Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ×ÙÑ ¸ ÒØÓÒ
× ×Ù ÒÚ Ö×Ó
Ø ÚÓ Ø Ñ Ò ÐÓ ×º
½ º Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ò ÐÓ× Ö Ð × Ô Ö Ð ×ÙÑ × Ò
Óº Ë Ð ÒÓØ
¼º
½ º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x ∈ Ê × Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ×ÙÑ ¸ ÒØÓÒ
× ×Ù ÒÚ Ö×Ó
ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓ Ø Ñ Ò ÐÓ ×º
½ º Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð¸ ×Ø ÒØÓ ¼¸ ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ
Ó
ÓÒ
Ù ÐÕÙ Ö
ÓØÖÓ
ÓÑÓ Ö ×ÙÐØ Ó ×Ø ÐØ ÑÓº
½

16. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
½ º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x × Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ
Ò¸ ÒØÓÒ
× ×Ù
ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ Ø Ñ Ò ÐÓ ×º
½ º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x × Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ
Ò¸ ÒØÓÒ
× ×Ù
ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓ Ø Ñ Ò ÐÓ ×º
½ º Ó a∈Ê Ð
Ù
Ò a·x=a × ÑÔÖ Ø Ò ×ÓÐÙ
Ò Ò Êº
¾¼º Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ò ÐÓ× Ö Ð × Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ
Ò × Ò
Óº Ë
Ð ÒÓØ ½º
¾½º Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð
Ù ÐÕÙ Ö x¸ Ü ×Ø ÓØÖÓ ÕÙ Ð ×ÙÑ ÖÐÓ
ÓÒ x
Ö ×ÙÐØ ¼º
¾¾º Ó x∈Ê Ð
Ù
Ò x+y = 0 Ø Ò Ñ × ÙÒ ×ÓÐÙ
Ò y ∈ ʺ
¾¿º Ð ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ
Ù ÐÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x × Ò
Óº Ë ÒÓØ −xº
¾ º Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x ∈ Ê ÕÙ × ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ Ñ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ
Ö Ðº
¾ º Ü ×Ø Ò x1 , x2 , x3 ∈ Ê ØÓ Ó× ×Ø ÒØÓ× ÒØÖ × ¸ Ø Ð × ÕÙ x1 × Ð
ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ x2 Ý x2 × Ð ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ x3 º
¾ º Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð
Ù ÐÕÙ Ö x
ÓÒ x = 0¸ Ü ×Ø ÓØÖÓ ÕÙ Ð
ÑÙÐØ ÔÐ
ÖÐÓ ÔÓÖ x Ö ×ÙÐØ ½º
¾ º Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x∈Ê ÕÙ × ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓ Ñ × ÙÒ
Ò Ñ ÖÓ Ö Ðº
¾ º Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓ
Ù ÐÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x¸ ×Ø ÒØÓ ¼¸
−1
× Ò
Óº Ë ÒÓØ x º
¾ º Ó x∈Ê Ð
Ù
Ò x·y =1 × ÑÔÖ Ø Ò ÙÒ ×ÓÐÙ
Ò y ∈ ʺ
¿¼º ÆÓ Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x∈Ê Ø Ð ÕÙ x · x = x + x = 0º
¿½º Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ
Ó ÔÓÖ
Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ö ×ÙÐØ Ò
Ð Ñ ×ÑÓº
¿¾º Ð ¼ ÒÓ ÔÓ× ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓº
¿¿º Ð ¼ ÔÓ× ÙÒ ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓ¸ Ô ÖÓ ÒÓ × Ò
Óº
¿ º Ð ¼ ÒÓ ÔÓ× ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓº
¿ º Ð ½ ÔÓ× ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓº
¿ º Ü ×Ø Ò x1 , x2 , x3 ∈ Ê ØÓ Ó× ×Ø ÒØÓ× ÒØÖ × ¸ Ø Ð × ÕÙ x1 × Ð
ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓ x2 Ý x2 × Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓ x3 º
¿ º Ó× a, b ∈ ʸ Ð × ×ÓÐÙ
ÓÒ × Ð
Ù
Ò a+x = b × ÑÔÖ
Ô ÖØ Ò
Ò Ê {0}º
½

17. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
¿ º Ó× a, b ∈ ʸ Ð
Ù
Ò a+x = b Ø Ò ÙÒ Ò
×ÓÐÙ
Ò Ò Êº
¿ º Ó× a, b ∈ Ê
ÓÒ a = 0¸ Ð
Ù
Ò a·x = b Ø Ò ÙÒ Ò
×ÓÐÙ
Ò Ò Êº
¼º Ó× a, b ∈ ʸ Ð
Ù
Ò a · x = b ÔÙ Ø Ò Ö Ñ × ÙÒ ×ÓÐÙ
Ò
Ò Êº
½º Ë a, b, c ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ a + b = a + c¸ ÒØÓÒ
× Ò
× Ö Ñ ÒØ
b = cº
¾º Ë a, b, c ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ a · b = a · c¸ ÒØÓÒ
× Ò
× Ö Ñ ÒØ b = cº
¿º Ó× a, b ∈ Ê
ÓÒ a = 0¸ × Ø Ò ÕÙ ¼ × × ÑÔÖ ×ÓÐÙ
Ò Ð
Ù
Ò a · x + b = 0º
º Ó× a, b ∈ Ê
ÓÒ a = 0¸ Ð ×ÓÐÙ
Ò Ð
Ù
Ò a·x+b=0 ×
b
x = −aº
º Ë x, y ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x + y = 0¸ ÒØÓÒ
× Ò
× Ö Ñ ÒØ x=0
y = 0º
º Ë x, y ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x · y = 0¸ ÒØÓÒ
× Ò
× Ö Ñ ÒØ x=0
y = 0º
º Ë x, y ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x + y = 1¸ ÒØÓÒ
× Ò
× Ö Ñ ÒØ x=0
y = 0º
½

18. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 08-1
Ù Ö
Ó×
½º ÑÙ ×ØÖ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ ÔÖÓÔÙ ×Ø ×
Ò Ð ØÙØÓÖ
´ µ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ Ù
ØÓ × Ò
Óº
´ µ Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð × Ò
Óº
´
µ Ä
Ù
Ò ax = b¸
ÓÒ a = 0¸ Ø Ò ÙÒ Ò
×ÓÐÙ
Ò Ò Êº ×Ø
ÔÓÖ x = ba−1 º
´ µ Ó a ∈ Ê {0}¸ (a−1 )−1 = aº
¾º ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × Ù Ð × × Ú Ö Ö Ò Ð × ×Ø Ñ ÐÓ×
Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×º ÁÒ ÕÙ Ð Ö Þ Ò ×Ù Ú Ö
¸ Ö ×Ô
ØÓ ÐÓ× Ü ÓÑ ×
Ý ÔÖÓÔ × Ú ×ØÓ׺
´ µ 2 + (3 + 5) = (2 + 5) + 3º
´ µ 0 + 5 = 5º
´
µ (x + y) + z = z + (y + x)º
´ µ (x + 2) · y = y · x + 2 · y º
´ µ (4−1 · 4) − 1 = 0º
¿º Ò Ð
Ù ÖÔÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×× Ò 2 = 1+1¸ 3 = 2+1¸ 4 = 3+1¸
5= 4+1 Ý 6 = 5 + 1º Í× Ò Ó × ÐÓ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ý
Ð
Ó ÕÙ 2 = 0¸ ÔÖÙ Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ
ÓÒ ×¸ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓ Ó×
ÐÓ× Ô ×Ó× Ý Ñ Ò
ÓÒ Ò Ó Ð Ü ÓÑ Ó Ò
Ò ÕÙ ÙØ Ð Þ Ò
ÙÒÓ×
ÐÐÓ×
´ µ 3 + 2 = 5º
´ µ 3 · 2 = 6º
´
µ 4 · 2−1 = 2º
´ µ 5 − 3 = 2º
´ µ (4 · 3) · 2−1 − 2 = 4º
½

19. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
º × Ð × × Ù ÒØ × ×
Ù Ò
× Ù Ð ×¸ Ø ÖÑ Ò ÐÓ× Ü ÓÑ × Ý
Ð × ÔÖÓÔ × ÕÙ Ð ×
Ò
ÓÖÖ
Ø ×
´ µ Ó× a, b ∈ ʸ
(ab) + (a(−b)) = a · (b + (−b))
=a·0
=0
´ µ Ó× x, y ∈ ʸ
(1 − x)y + yx = (1 · y + (−x)y) + yx
= (y + −(xy)) + yx
= y + (−xy + yx)
= y + (−xy + xy)
=y+0
=y
´
µ Ó× a, b ∈ ʸ
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
= a(a + b) + b(a + b)
= a2 + ab + ba + b2
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
´ µ Ó a ∈ ʸ
a+0·a=a·1+a·0
= a(1 + 0)
=a·1
=a
´ µ Ó× a, b, c, d ∈ ʸ
ÓÒ b, d = 0¸
a c
+ = ab−1 + cd−1
b d
= (ab−1 ) · 1 + (c · 1)d−1
= (ab−1 )(dd−1 ) + (c(bb−1 ))d−1
= (ab−1 )(d−1 d) + cb(b−1 d−1 )
= ad(b−1 d−1 ) + cb(b−1 d−1 )
= ad(bd)−1 + bc(bd)−1
= (ad + bc)(bd)−1
ad + bc
=
bd
½

20. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
º ÑÙ ×ØÖ Ð × × Ù ÒØ × Ù Ð × Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ Ò
Ò Ó
Ð Ö ¹
Ñ ÒØ ÐÓ× Ü ÓÑ × Ó ÔÖÓÔ × Ù× Ó×
´ µ a + a = 2 · aº
´ µ a − (b − c) = a + (−b) + c
´
µ (a + b)(a − b) = a2 − b2
´ µ (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3
´ µ (a − b)(a3 + a2 b + ab2 + b3 ) = a4 − b4
´µ (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
´ µ b b
(x + 2 )2 + c − ( 2 )2 = x2 + bx + c
º Ê ×Ù ÐÚ Ð × × Ù ÒØ ×
Ù
ÓÒ × ´x × Ð Ò
Ò Ø µº
µ 2x + 3 = 0º
µ 3x + a = 2(x + a) ´ ×Ù Ö ×ÙÐØ Ó Ò Ø ÖÑ ÒÓ× aµº
µ (x + 1) = (x + 2)(x − 4)º
2
µ (x + a)(x − a) = x2 − ax ´ ×Ù Ö ×ÙÐØ Ó Ò Ø ÖÑ ÒÓ× aµº
µ x(−x + 2) − 3(x − 6) = −x(x − 1) − (−(x + 2) − 7)º
µ (2x − 7)2 − x(3 − x) = 3(x + 1)2 + 2(1 − x)2 º
µ ax = 0¸ Ô Ö a = 0º
2
µ (x − 2) = 0º
µ (x + 2)(x − 3) = 0º
º Ë C ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÕÙ × Ø ×
ÐÓ× × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ ¹
× ´ Ü ÓÑ ×µ
´ ½µ 2 ∈ Cº
´ ¾µ Ë x ∈ C¸ ÒØÓÒ
× 3x + 1 ∈ C º
´ ¿µ Ë x, y ∈ C ¸ ÒØÓÒ
× x + y ∈ Cº
´ µ 3 ∈ Cº
/
ÑÙ ×ØÖ ÒØÓÒ
× Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × Ò
Ò Ó ÕÙ Ü ÓÑ ×¸
Ý × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ó ÐÓ× Ö
Ò Ñ Ò
ÓÒ Ó׸ ÙØ Ð Þ
´ µ 9 ∈ Cº
´ µ 1 ∈ Cº
/
´
µ Ë 5 ∈ C¸ ÒØÓÒ
× 22 ∈ C º
´ µ Ë x, y ∈ C ¸ ÒØÓÒ
× 3x + 1 + 3y ∈ C º
´ µ Ë x ∈ C¸ ÒØÓÒ
× −x ∈ C º
/
¾¼

21. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 08-1
Ù ÈÖÓ Ð Ñ ×
Ä ÔÖ × ÒØ Ù Ð Ô ÖÑ Ø Ö Ø Ò Ö ÙÒ ×Ø ÒØ ÔÖ
× Ð Ø ÔÓ
ÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ × Ö
Ô Þ Ö ×ÓÐÚ Ö Ò ÙÒ Ú ÐÙ
Ò Ý Ð Ø ÑÔÓ
ÔÖÓÑ Ó ÕÙ Ö ÑÓÖ Ö Ò Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ Ò ØÓØ Ð Ö ÔÓ Ö Ö ×Óй
Ú ÖÐ Ò ¿ ÓÖ ×º Ä Ö
ÓÑ Ò ÑÓ× ÕÙ ØÖ Ò ÐÐ ÙÒ ÓÖ ÒØ ×
Ð
Ð × ØÖ Ó Ö Ó¸ ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ ×Ù× Ù × Ò Ð
Ð × ØÖ Ó
Ö Ó Ý ÕÙ ÐÙ Ó ÕÙ ÙÒ ÓÖ ×
Ö Ö
ÓÒ Ø ÐÐ × Ð × ×ÓÐÙ
ÓÒ ×º
Ƚº Í× Ò Ó Ü
ÐÙ× Ú Ñ ÒØ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÐÓ× Ö Ð × Ý Ñ Ò
ÓÒ Ò ÓÐÓ×
Ð Ö Ñ ÒØ
Ú Þ ÕÙ ÐÓ× Ù× ¸ ÑÙ ×ØÖ Ð × ÔÖÓÔ ×× Ù ÒØ ×º
Ë Ó
ÙÔ Ð ÙÒ ÓØÖ ÔÖÓÔ ÒØÓÒ
× Ö ÑÓ×ØÖ ÖÐ Ò
Ò Ó
ÐÓ× Ü ÓÑ × ÕÙ Ù× Ò ÐÐÓº
µ ´¾¼ Ñ Òºµ ∀x, y ∈ Ê, x, y = 0, (x + y)(x−1 y −1 ) = x−1 + y −1
µ ´¾¼ Ñ Òºµ ∀x, y ∈ Ê, x, y = 0, (xy)−1 = y −1 x−1
µ ´¾¼ Ñ Òºµ Í× Ò Ó ´ µ¸ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ ∀a, b, c, d ∈ Ê, b, d = 0, ab−1 +
−1 −1
cd = (ad + cb)(bd)
µ ´¾¼ Ñ Òºµ ∀a ∈ Ê, a2 = 0 ⇒ a = 0
Ⱦº Í× Ò Ó × ÐÓ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ý Ð × ÙÒ
×
ÐÓ× ÒÚ Ö×Ó׸ ÑÙ ×ØÖ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × ´× Ò
× Ø Ð ÙÒ
ÔÖÓÔ ÜØÖ ¸ ÑÓ×ØÖ ÖÐ µ
´ µ ´½ Ñ Òºµ È Ö ØÓ Ó x, y ∈ ʸ (−x) + (−y) × ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ
x + yº
´ µ ´¾ Ñ Òºµ Ë a, b, c, d ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ × Ú Ö
Ð Ö Ð
Ò
(ad) + (−(cb)) = 0 ÒØÓÒ
×
[(a + b)d] + [−((c + d)b)] = 0.
´
µ ´½ Ñ Òºµ È Ö a = 0¸ −(a−1 ) = (−a)−1 º
È¿º ´¾¼ Ñ Òº µ Í× Ò Ó ÔÖÓÔ × Ð Ñ ÒØ Ð × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ ¹
ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó x, y, z, w ∈ ʸ w = 0¸ z = 0 ÐÓ × Ù ÒØ ×
Ú Ö ÖÓ
(xw + yz)2 = (x2 + y 2 )(w2 + z 2 ) ⇒ ∃λ ∈ Ê ØºÕº x = λw, y = λz.
¾½

22. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
È Ö ÐÐÓ ÒÓØ Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö ÕÙ Ð Ù Ð Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ô Ö¹
Ñ Ø Ù
Ö ÕÙ x z + y w2 = 2xwyz º
2 2 2
ÄÙ Ó¸ Ú ÕÙ ×ØÓ ÐØ ÑÓ
ÑÔÐ
ÕÙ xz = ywº Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ù Ð ÒØ Ö ÓÖ ÙÞ
Ð
ÓÒ
ÐÙ× Òº
È º Ë C ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÕÙ × Ø ×
ÐÓ× × Ù ÒØ × ÔÖÓ¹
Ô × ´ Ü ÓÑ ×µ
´ ½µ 3 ∈ Cº
´ ¾µ Ë x ∈ C¸ ÒØÓÒ
× 3x + 1 ∈ C º
´ ¿µ Ë x, y ∈ C ¸ ÒØÓÒ
× x + y ∈ Cº
´ µ 7 ∈ Cº
/
ÑÙ ×ØÖ ÒØÓÒ
× Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × Ò
Ò Ó ÕÙ Ü ÓÑ ×¸
Ý × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ó ÐÓ× Ö
Ò Ñ
ÓÒ Ó׸ ÙØ Ð Þ
´ µ ´ Ñ Òºµ 1 ∈ Cº
/
´ µ ´ Ñ Òºµ Ë x, y ∈ C ¸ ÒØÓÒ
× 3x + 2y + 4 ∈ C
´
µ ´ Ñ Òºµ Ë x, y ∈ C ¸ ÒØÓÒ
× 4 − x − y ∈ Cº
/
´ µ ´ Ñ ÒºµË 3y + z + 4 ∈ C ¸
/ ÒØÓÒ
× (y ∈ C ∨
/ z
2 ∈ C)º
/
´ µ ´ Ñ Òº µÆÓ Ü ×Ø x∈C Ø Ð ÕÙ 3(2x − 1) = 39º
¾¾

23. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ
ØØÔ »»ÛÛÛº ѺÙ
Ð º
л
Ð
ÙÐÓº
Ingeniería Matemática Ò
ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö
Ó×
FACULTAD DE CIENCIAS
Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ
Ò
ÁÒ Ò Ö ÅÖ
Ø Ñ
ÙØ Ð
Ö
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
× Ð Ò Ñ
Ð
ÙÖ×Óº
Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð
SEMANA 2: AXIOMAS DE ORDEN
Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð
Ñ Ö Ò Ô Ö
ÓÒ¹
×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö
1.6. Axiomas de Orden de los Reales Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹
Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹
È Ö ÒØÖÓ Ù
Ö Ð ÓÖ Ò Ò ÐÓ× Ö Ð × Ý ÔÓ Ö ØÖ Ö
ÓÒ ×¹ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ ×
ÒÓØ
ÓÒ ×º
٠Р׸ Ü ×Ø Ò Ú Ö× × ÓÖÑ × Ô Ö
ÓÑ ÒÞ Öº Ò ×Ø ÔÙÒØ ÑÓ×
×
Ó ÓÐ Ú Ö× Ò ÕÙ
ÓÑ ÒÞ ÔÓÖ Ð Ò
Ò Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ö Ð ×
×ØÖ
Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ× Ý Ò × ÐÐÓ× × Ó Ø Ò Ò Ð × Ò
ÓÒ × Ð ×
× Ù Ð × Ý ØÓ × Ð × ÔÖÓÔ ×º
Ò R Ü ×Ø ÙÒ ×Ù
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÐ Ñ Ó
ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ð × ´ ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ µ
ÔÓ× Ø ÚÓ× (R∗ )¸
+ Ð
Ù Ð × Ø ×
ÐÓ× × Ù ÒØ × Ü ÓÑ × Ó Ö Ð ×º
Ü ÓÑ º´ Ð ØÖ
ÓØÓÑ µ ܺ º ÌÖ
ÓØÓÑ
∀x ∈ R¸ ÙÒ Ý ×ÓÐÓ ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔÓ×
ÓÒ × × Ú Ö Ö
µ x ∈ R∗
+
µ (−x) ∈ R∗
+
µ x=0
Ç × ÖÚ
Ò
ÙÑÔÐ Ö× ´ µ ×
ÕÙ x × ÙÒ Ö Ð ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ
ÔÓ× Ø ÚÓ Ý × ×
ÙÑÔÐ ´ µ Ö ÑÓ× ÕÙ x × ÙÒ Ö Ð ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓº
Ü ÓÑ º ´ Ð Ù×ÙÖ µ ܺ º Ð Ù×ÙÖ ÐÓ×
(∀x, y ∈ R∗ )
+ ×
ÙÑÔÐ ÕÙ Ö Ð × ÔÓ× Ø ÚÓ×
(x + y) ∈ R∗
+
x · y ∈ R∗
+
×
Ö¸ R∗
+ ×
ÖÖ Ó Ô Ö Ð ×ÙÑ Ý Ð ÔÖÓ Ù
ØÓº
1.7. Relaciones de orden
ÓÖ ÕÙ
ÓÒÓ
ÑÓ× Ð
ÓÒ ÙÒØÓ R∗ ¸ ×Ø ÑÓ×
+ Ò
ÓÒ
ÓÒ × Ò
ÓÖÔÓÖ Ö
Ð × Ò
ÓÒ × ÐÓ× × Ñ ÓÐÓ× <, >, ≤, ≥º
Ê Ð
ÓÒ × ÓÖ Ò Ë Ò x, y ∈ R × Ò Ð Ö Ð
ÓÒ × <¸ >¸ ≤¸ ≥¸
ÔÓÖ
½º x < y ⇐⇒ (y − x) ∈ R∗
+
¾º x > y ⇐⇒ y < x ⇐⇒ (x − y) ∈ R∗
+
¿º x ≤ y ⇐⇒ (x < y) ∨ (x = y)
º x ≥ y ⇐⇒ (x > y) ∨ (x = y)
¾¿

24. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
1.8. Propiedades de la desigualdad
ÈÖÓÔ ½ x > 0 ⇐⇒ x ∈ R∗
+
ÑÓ×ØÖ
Òº x > 0
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ü
Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ò
Ò (x−0) ∈
R∗ ¸
+ ÐÓ ÕÙ × ÒØ
Ñ ÒØ Ð ÜÔÖ ×
∗
Ò x ∈ R+ º
ÓÒ ×ØÓ ÕÙ ÑÓ×ØÖ Ð ÕÙ Ú Ð Ò
Ð × ÔÖÓÔÓ×
ÓÒ ×º
ÈÖÓÔ ¾ x × Ò Ø ÚÓ ⇐⇒ x < 0.
ÑÓ×ØÖ
Òº x < 0
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ü
Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ò
Ò (0−x) ∈
R∗ ¸
ÓÒ ÐÓ
Ù
+ Ð× Ø Ò ÕÙ −x ∈ R∗ ¸
ÓÒ ÐÓ
Ù
+ Ð× Ø Ò ÕÙ x ×Ò Ø ÚÓº
ÈÖÓÔ ¿ ´ØÖ
ÓØÓÑ µ È Ö
Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö ÒÙÑ ÖÓ× Ö Ð × x y¸
ÙÒ Ý × ÐÓ ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔÓ×
ÓÒ × × Ú Ö Ö
µ x<y
µ x>y
µ x=y
ÑÓ×ØÖ
Òº Ë Ò Ð Ü ÓÑ ½ Ð ØÖ
ÓØÓÑ ¸
ÓÑÓ (y − x) ∈
R ÒØÓÒ
× ÙÒ Ý × ÐÓ ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔÓ×
ÓÒ × × Ú Ö Ö
∗
µ(y − x) ∈ R+ ¸ µ −(y − x) ∈ R∗ , Ó
+ Ò µ (y − x) = 0º
Ë Ò Ñ Ö Ó µ × Ò
x < y º µ × Ò
(x − y) ∈ R∗ ¸ Ó × ¸
+ x > yº
Ò ÐÑ ÒØ µ × Ò
x = yº ÓÒ ÐÓ
Ù Ð × Ø Ò Ð ÑÓ×ØÖ
Òº
ÈÖÓÔ x<y Ý a ∈ R =⇒ x + a < y + a.
ÑÓ×ØÖ
Òº Î ÑÓ× ÕÙ (y + a) − (x + a) ∈ R∗
+ ×
Ö ÕÙ (y + a) −
(x + a) > 0
(y + a) − (x + a) = y + a + ((−x) + (−a))
= y + (−x) + a + (−a)
= y − x,
Ô ÖÓ ÔÓÖ Ô Ø × × × ÑÓ× ÕÙ x < y ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ
ÕÙ y − x > 0, ÐÙ Ó
(y + a) − (x + a) > 0 ÓÒ x + a < y + aº
Ç × ÖÚ
Ò ÓÒ ×Ø ÐØ Ñ ÔÖÓÔ ÔÓ ÑÓ× ×ÙÑ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ
Ñ Ó× Ð Ó× Ð × Ù Ð Ý ×Ø ÒÓ
Ñ º
ÈÖÓÔ
µ x < y ∧ a > 0 ⇒ ax < ay
¾

25. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö× Ð
µ x < y ∧ a < 0 ⇒ ax > ay
ÑÓ×ØÖ
Òº µ ÈÓÖ Ô Ø × × (y − x) ∈ R+ Ý a ∈ R∗ ¸
∗
+ ÔÓÖ ÐÓ× Ü Ó¹
Ñ × Ý ¿ Ø Ò Ö ÑÓ× ÕÙ a(y − x) = ay − ax ∈ R∗ ¸
+ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
ax < ay º
µ ax − ay = a(x − y) = (−a)(y − x) ∈ R∗ =⇒ ax > ay º
+
Ç × ÖÚ
Ò ÓÒ Ð ÔÖÓÔ ¸ ÔÓ ÑÓ× ÑÙÐØ ÔÐ
Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ñ¹
Ó× Ð Ó× Ð × Ù Ð Ý × ×Ø Ð ÐÑ ÒØÓ × ÔÓ× Ø ÚÓ Ð × Ù Ð
ÒÓ
Ñ ¸ Ô ÖÓ × Ð Ð Ñ ÒØÓ × Ò Ø ÚÓ Ð × Ù Ð ×
Ñ Ö º
ÈÖÓÔ ∀x ∈ R ⇒ x2 ≥ 0º
ÑÓ×ØÖ
Òº ÈÓÖ Ð Ü ÓÑ ½ ØÖ
ÓØÓÑ × ÑÓ×
x ∈ R =⇒ x ∈ R∗ ∨ x = 0 ∨ (−x) ∈ R∗
+ +
=⇒ x · x ∈ R∗ ∨ x2 = 0 ∨ (−x)(−x) ∈ R∗
+ +
=⇒ x2 ∈ R+ ∨ x2 = 0 ∨ x2 ∈ R∗
∗
+
=⇒ x2 > 0 ∨ x2 = 0
=⇒ x2 ≥ 0.
ÓÑ ÒØ Ö Ó 1 = 1 · 1 = 12 ≥ 0¸ Ô ÖÓ 1 = 0¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ 1 > 0ÐÙ Óº ÓÒ
∈ R∗ º
×ØÓ1 +
ÈÖÓÔ Ë x<y Ý u < v =⇒ x + u < y + v º
ÑÓ×ØÖ
Òº ÈÓÖ Ð Ò
Ò <Ø Ò ÑÓ× Ó×
Ó× ×
x < y ⇒ (y − x) ∈ R∗ Ý u < v ⇒ (v − u) ∈ R∗ º
+ +
∗ ∗
ÓÑÓ R+ ×
ÖÖ Ó Ô Ö Ð ×ÙÑ Ø Ò Ö ÑÓ× (y − x) + (v − u) ∈ R+ ¸
∗
ÓÒ × ÖÖÓÐÐ Ò Ó ÐÓ× Ô Ö ÒØ × × Ó Ø Ò Ö ÑÓ× (y + v) − (x + u) ∈ R+ º
ÄÙ Ó ÒÙ Ú Ñ ÒØ ÔÓÖ Ð Ò
Ò <¸ ÐÓ ÐØ ÑÓ ÕÙ Ú Ð x+ u < y + v.
Ç × ÖÚ
Ò ×Ø ÐØ Ñ ÔÖÓÔ ÒÓ×
ÕÙ ÔÓ ÑÓ× ×ÙÑ Ö Ð ×
× Ù Ð ×º
ÈÖÓÔ Ë 0<x<yÝ0<u<v ÒØÓÒ
× ÔÓ ÑÓ× ÑÙÐØ ÔÐ
Ö Ð ×
× Ù Ð ×¸ ×
Ö xu < yv º
ÑÓ×ØÖ
Òº ÈÓÖ Ð Ò
Ò <Ý ÔÓÖ Ð
ÖÖ ÙÖ R∗ Ô
+ Ö +Ý ·¸
Ó Ø Ò Ö ÑÓ×
0 < x < y =⇒ (y − x) ∈ R∗
+
=⇒ v(y − x) + (v − u)x ∈ R∗ ,
0 < u < v =⇒ (v − u) ∈ R∗
+
+
× ÖÖÓÐÐ Ò Ó Ð ÐØ Ñ ÜÔÖ × Ò Ó Ø Ò Ö ÑÓ× vy − ux ∈ R∗ ¸
+
ÓÒ ÐÓ
Ù Ð
ÔÓÖ Ð Ò
Ò <× Ø Ò Ö xu < yv.
¾