1. Importante: Visita regularmente
http://www.dim.uchile.cl/∼docencia/algebra lineal.
ı ´
Ingenier´a Matematica Ah´ encontrar´s las gu´ de ejercicios y problemas, adem´s
ı a ıas a
FACULTAD DE CIENCIAS
F´SICAS Y MATEMATICAS
I ´ de informaci´n acerca de cu´l ser´ la din´mica del curso.
o a a a
UNIVERSIDAD DE CHILE
´
Algebra Lineal 08-2
SEMANA 1: MATRICES
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
Usa estas notas al
margen para con-
sultar de manera
m´s r´pida el ma-
a a
1. Matrices terial. Haz tam-
bi´n tus propias
e
1.1. ´
Definiciones basicas anotaciones.
Definici´n 1.1 (Matriz). Una matriz A, de m filas y n columnas con
o matriz
coeficientes en el cuerpo Ã
(en este apunte ser´
a à Ê
o ) es una tabla de
´
doble entrada:
 
a11 ··· a1n
 .
.
A= . . ,
. 
. aij ∈ Ã, ∀i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
am1 · · · ... amn
Notamos tambi´n la matriz como A = (aij ) y denominamos Mmn ( ) al
e à Mmn ( ) Ã
conjunto de todas las matrices de m filas y n columnas con coeficientes en
el cuerpo . Ã
Definici´n 1.2 (Igualdad de matrices). Dadas dos matrices A ∈ Mmn ( ), B ∈
o Ã
´
Ã
Mm′ n′ ( ), diremos que son iguales si y s´lo si:
o A=B
(m = m′ ) ∧ (n = n′ ) ∧ (∀i ∈ {1, ..., m}, j ∈ {1, ..., n}, aij = bij )
Un caso especial de matrices son aquellas de n × 1. Estas matrices se lla-
a ıÃ
mar´n posteriormente vectores de n . As´ nuestros vectores ser´n matri-
a vector de Ãn
ces de una sola columna.
ı
Ã
Construimos una estructura algebraica sobre Mmn ( ) a partir de las ope-
Ã
raciones definidas en el cuerpo . Se define la suma de dos matrices como A+B
sigue:
Ã
∀A, B ∈ Mmn ( ), A + B = (aij + bij )
Ê
Por ejemplo, en ( , +, ·):
1 2 3 0 −1 2 1 1 5
+ = .
0 −1 −2 3 1 2 3 0 0
Es f´cil verificar que
a
Ã
Proposici´n 1.1. (Mmn ( ), +) tiene estructura de grupo Abeliano.
o
´
Demostracion. La suma es asociativa y conmutativa, como herencia de
las mismas propiedades en el cuerpo . Ã
El neutro aditivo es 0 ∈ Mmn ( ) Ã
 
0 ... 0
. .
0 =  . . . . .  ∈ Mmn ( ).
. . Ã
0 ... 0
1

2. El inverso aditivo de A = (aij ) es −A = (−aij ). Por ejemplo, en M23 ( ): −A
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
i 0 0 −i 0 0
+ =
1 −i 0 −1 i 0
i−i 0+0 0+0 0 0 0
= = = 0.
1−1 −i + i 0+0 0 0 0
Luego
i 0 0 −i 0 0
− = .
1 −i 0 −1 i 0
Definici´n 1.3 (Producto de matrices). Dadas A = (aij ) ∈ Mmr ( ), B =
o Ã
Ã
(bij ) ∈ Mrn ( ) se define el producto C = AB como aquella matriz A·B
Ã
C ∈ Mmn ( ) tal que
r
cij = aik bkj , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
k=1
Claramente C ∈ Mmn ( ). Ã
´
Ejemplos:
Ê
1. En ( , +, ·),
 
1 2 −1 0
A=
1
1
−1 0
2 1
Ê
∈ M23 ( ), B = 0 2 −1 0 ∈ M34 ( ) Ê
1 0 −1 0
 
ı
1 2 −1 0
⇒C = A·B =
1
1
−1 0 
2 1
0 2 −1 0 =
1 0
2 6
0 0
−4 1
Ê
∈ M24 ( ).
1 0 −1 1
2. En ( , +, ·),
A = (−i, i, 0) ∈ M13 ( )
 
i
B = 1 ∈ M31 ( )
0
⇒ C = AB = −i · i + i · 1 + 0 · 0· = 1 + i ∈ M11 ( ).
Observaci´n: La multiplicaci´n de matrices no es conmutativa.
o o
Por ejemplo en M22 ( ) : Ê
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
= , = .
0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0
2

3. Dos propiedades importantes de la multiplicaci´n son las siguientes:
o
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Proposici´n 1.2.
o
Ã
1. Asociatividad: Si A ∈ Mmn ( ), B ∈ Mnq ( ), C ∈ Mqs ( ), en- Ã Ã
tonces:
A(BC) = (AB)C ∈ Mms ( ). Ã
2. Distributividad con respecto a la suma: Dadas A ∈ Mmn ( ), B, C ∈ Ã
Ã
Mns ( ), entonces
A(B + C) = AB + AC ∈ Mms ( ). Ã
De igual manera se tiene la distributividad por el otro lado.
´
Demostracion. Demostremos la distributibidad, quedando la asociativi-
dad de ejercicio. Denominando E = A(B + C), se tiene: ◭ Ejercicio
n
eij = aik (bkj + ckj ) ∀i ∈ {1, ..., m}, j ∈ {1, ..., s}.
k=1
Como la multiplicaci´n distribuye con respecto a la suma en
o Ã:
n
´
eij = (aik bkj + aik ckj )
k=1
n n
= aik bkj + aik ckj .
k=1 k=1
De la definici´n de multiplicaci´n matricial, se obtiene E = AB + AC.
o o
Un caso particular muy importante es el de las matrices cuadradas, es matriz cuadrada ı
Ã
decir con igual n´ mero de filas y columnas. (Mnn ( ), ·) admite un neutro
u
multiplicativo, denominado matriz identidad: I
 
1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
I = ..  = (δij ), con δij = 0 si i = j
 .  1 si i = j.
0 0 ··· 1
En efecto, dada A ∈ Mnn ( ) : Ã
 
  1 0 ··· 0
a11 ... a1n
. 0 1 ··· 0
AI =  .
.
. .
.
 .. 
 . 
an1 ... ann
0 0 ··· 1
n
=( aik δkj ) = (aij δjj ) = (aij ) = A.
k=1
Conclu´
ımos entonces que
3

4. Ã
Corolario 1.1. (Mnn ( ), +, ·) es un anillo con unidad (existe neutro para
Ã
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·). (Mnn ( ), +, ·) es
anillo con unidad
Ã
Dado que (Mnn ( , ·) tiene un elemento neutro I, ¿Tienen sus elementos
inverso?
o Ã
Definici´n 1.4 (Matriz invertible). A ∈ Mnn ( ) es invertible si y invertible
Ã
s´lo si existe B ∈ Mnn ( ) tal que:
o
AB = BA = I. (1.1)
Proposici´n 1.3. De existir una matriz B que satisfaga (1.1), esta es
o
unica. Por ende la notaremos B = A−1 .
´ A−1
´ Ã
Demostracion. Sean B1 , B2 ∈ Mnn ( ) que satisfacen (1.1). Luego
B1 = B1 I = B1 (AB2 ).
Usando la asociatividad de · tenemos,
´
B1 = (B1 A)B2 ,
pero como B1 A = I, se concluye que
B1 = B2 .
Cabe se˜ alar que para que A sea invertible se requiere que exista una matriz
n
ı
B que sea a la vez inversa por izquierda y por derecha. Probaremos m´s a
adelante que es suficiente que A tenga inversa por un solo lado.
Ejemplos:
No todas las matrices cuadradas tienen inverso multiplicativo. En
Ê
M22 ( ), la matriz
1 2
2 4
no tiene inverso. En efecto, si existiese
el inverso,
x1 x2
digamos , deber´ verificarse:
ıa
x3 x4
1 2 x1 x2 1 0
=
2 4 x3 x4 0 1
x1 + 2x3 x2 + 2x4 1 0
⇔ =
2x1 + 4x3 2x2 + 4x4 0 1
4

5. ⇔ x1 + 2x3 = 1
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
x2 + 2x4 = 0
2x1 + 4x3 = 0
2x2 + 4x4 = 1
De la primera ecuaci´n multiplicada por 2, obtenemos: 2(x1 + 2x3 ) =
o
2. Pero de la tercera ecuaci´n, 2x1 + 4x3 = 0. De esta contradicci´n
o o
conclu´
ımos que el sistema no tiene soluci´n.
o
En otros casos s´ existe inverso, por ejemplo, en M22 ( ),
ı Ê
−1
0 1 0 1
=
1 0 1 0
En efecto:
0 1 0 1 1 0
=
1 0 1 0 0 1
O bien, en M22 ( ),
−1
´
i 0 −i 0
= ,
0 −i 0 i
lo que se verifica r´pidamente.
a
ı
1.2. Matrices Particulares
Definici´n 1.5. Diremos que A ∈ Mnn ( ) es:
o Ã
1. Diagonal si y s´lo si aij = 0
o ∀i = j: diagonal
 
a11 0
 a22 
A=
 .. .

.
0 ann
En este caso la matriz es notada A = diag(a11 , a22 , . . . , ann ). diag(a11 , a22 , . . . , ann )
2. Triangular superior si y s´lo si aij = 0 si i > j:
o triangular superior
 
a11 a12 ··· a1n
 0 a22 ··· a2n 
A= .
 . .. . .
. 
. . .
0 ··· 0 ann
3. Triangular inferior si y s´lo si aij = 0 si i < j:
o triangular inferior
5

6.  
a11 0 ··· 0
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
 a21 a22 0 ··· 0 
A=
 . .. .
.
. . 0 
an1 an2 ··· ··· ann
Ejemplos:
   
0 0 0 1 0 0
A = 0 2 0  , I =  0 1 0  son matrices diagonales
0 0 3 0 0 1
   
1 2 3 0 0 0
son matrices triangulares, superior e inferior
A = 0 0 1, B = 1 2 0
respectivamente.
0 0 2 2 −1 3
◭ Ejercicio
´
Ejercicio 1.1: Una propiedad que queda propuesta es que si A es
diagonal con aii = 0, para i = 1, . . . , n entonces es invertible, y su
inversa tambi´n es diagonal con (A−1 )ii = a1 .
e ii
ı
Notaci´n:
o
Ã
Dada una matriz A ∈ Mmn ( ) notaremos su i-´sima fila como:
e Ai•
Ai• = (ai1 ai2 . . . ain )
y su j-´sima columna:
e A•j
a 
1j
 a2j 
A•j = .
 .


.
amj
Podemos escribir entonces la matriz: A = (A•1 , A•2 , ..., A•n ), denominada
notaci´n por columnas. O bien:
o
 
A1•
 A2• 
A =  . ,
 .  correspondiente a la notaci´n por filas.
o
.
Am•
◭ Ejercicio
6

7. Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
Ejercicio 1.2: Con respecto a esta notaci´n, es un buen ejercicio es-
o
tudiar c´mo el producto de matrices afecta las columnas y filas de las
o
matrices a multiplicar. M´s precisamente: Sean A ∈ Mmn ( ), B ∈
a Ã
Ã
Mnp ( ) y describamos B por sus columnas B = (B•1 , B•2 , ..., B•p ),
demostrar que entonces
AB = (A(B•1 ), ..., A(B•p )) ,
es decir la primera columna de AB es la matriz A por la primera
columna de B, etc.
¿Qu´ hay de las filas de AB?
e
Definici´n 1.6 (Matriz ponderada). Dada una constante λ ∈
o Ã, defi-
nimos la matriz A ponderada por λ: λA
λA = (λaij ).
´
Ejemplo:
En M23 ( ): Ê
1 −1 0 3 −3 0
3· =
2 2 1 6 6 3
Veamos ahora que sucede al multiplicar por la derecha o izquierda una
matriz por otra diagonal:
ı
2 0 1 1 2 2 2 4
DA = =
0 3 2 0 1 6 0 3
constatamos que la primera fila aparece multiplicada por d11 = 2 y la
segunda por d22 = 3.
 
2 0 0
¯ 1 1 2  2 1 6
AD = 0 1 0 =
2 0 1 4 0 3
0 0 3
Aqu´ la primera columna de A aparece multiplicada por 2, la segunda
ı,
por 1, la tercera por 3.
En general:
  a   λ1 a11 ··· λ1 a1p 
λ1 0 11 ··· a1p
.  =  λ2 a21 ··· λ2 a2p 
 ..
.  .
 . .   . . 
. .  . . 
. .
0 λn an1 ··· anp
λn an1 ··· λn anp
7

8.     
b11 ··· b1n λ1 0 λ1 b11 λ2 b12 ··· λn b1n
 . .  .. = . . . 
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
.
. .
. . .
. .
. .
.
bp1 ··· bpn 0 λn λ1 bp1 λ2 bp2 ··· λn bpn
De forma m´s compacta,
a
Proposici´n 1.4. Si D = diag(λ1 , . . . , λn ) ∈ Mnn ( ), A ∈ Mnp ( ), B ∈
o à Ã
Ã
Mmn ( ), se tiene que
 
λ1 A1•
 . 
DA =  .  , . (1.2)
λn An•
BD = (λ1 B•1 , ..., λn B•n ). (1.3)
´
Demostracion. Probaremos (1.2), mientras que (1.3) queda propuesta
como ejercicio. ◭ Ejercicio
 
´
λ1 0
.. λi si i = j
Sea D= .  = (dij ); con dij =
0 si i = j
0 λn
luego,
n
(DA)ij = dik akj = dii aij = λi aij ,
ı
k=1
y por lo tanto  
λ1 a11 ... λ1 a1p
 . 
AD =  .
. .
λn an1 ··· λn anp
Otra propiedad, que utilizaremos m´s adelante, es la siguiente:
a
Proposici´n 1.5. El producto de matrices triangulares inferiores (superio-
o
res) es triangular inferior (superior).
´
Demostracion. Verifiquemos el caso triangular superior. Sean
   
a11 ··· ··· a1n b11 ··· ··· b1n
 0 a22 ··· a2n   0 b22 ··· b2n 
T1 =  .
 . .. .  
.  , T2 =  .. .. . .
. 
. . . . . .
0 ··· 0 ann 0 ··· 0 bnn
8

9. n
Luego C = T1 · T2 = (cij ), donde: cij = aik bkj . Como T1 y T2 son
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j=1
triangulares superiores: (aiℓ = 0) ∧ (biℓ = 0) ∀ℓ < i. Supongamos j < i,
luego
i−1 n
cij = aik bkj + aik bkj .
k=1 k=i
En el primer t´rmino k < i ⇒ aik = 0. En el segundo t´rmino j < i ≤ k ⇒
e e
bkj = 0, luego ∀j < i cij = 0. Es decir, la matriz C es tambi´n triangular
e
superior.
Notemos adem´s que (T1 T2 )ii = aii bii es decir los elementos diagonales
a
del producto de dos triangulares superiores es el producto de los elementos
diagonales correspondientes.
1.3. Potencias, traspuestas e inversas
Definimos por recurrencia las potencias de una matriz cuadrada, como si-
gue:
Definici´n 1.7 (Potencias de una matriz). Dada A ∈ Mnn ( )
o à An
´
A0 = I, An = AAn−1 , n ≥ 1.
Ejemplo:
Por ejemplo; dada A ∈ M33 ( ): Ê
 
0 1 2
A = 2 0 0,
ı
1 1 2
se tendr´
a
    
0 1 2 0 1 2 4 2 4
A2 = AA =  2 0 02 0 0 = 0 2 4
1 1 2 1 1 2 4 3 6
    
0 1 2 4 2 4 8 8 16
A3 = AA2 =  2 0 00 2 4 =  8 4 8 .
1 1 2 4 3 6 12 10 20
Definici´n 1.8 (Traspuesta). Dada una matriz A = (aij ) ∈ Mmn ( ),
o Ã
se define la traspuesta de A como aquella matriz de n×m que denotaremos At , traspuesta
por At tal que (At )ij = aji .
Esto corresponde a intercambiar el rol de las filas y columnas. M´s clara-
a
mente, la primera fila de At es la primera columna de A y as´ sucesiva-
ı
mente.
9

10. Ejemplo:
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   
1 0 1
1 2 0 0
t 2 1 1
A = 0 1 0 1, A = .
0 0 0
1 1 0 1
0 1 1
 
1
 −1 
 
A = (1, −1, 0, 0, 1), At =  0  .
 
0
1
   
1 2 1 1 2 1
A =  2 0 1  , At =  2 0 1  .
1 1 4 1 1 4
En el ultimo caso vemos que A = At .
´
Definici´n 1.9 (Matriz sim´trica). Diremos que una matriz A ∈ Mnn ( )
o e Ã
es sim´trica si y s´lo si
e o sim´trica
e
A = At
´
Es f´cil verificar que A es sim´trica si y s´lo si:
a e o
aij = aji ∀i, j = 1, .., n
Algunas propiedades de la trasposici´n de matrices son las siguientes:
o
Proposici´n 1.6.
o
ı
1. (At )t = A, ∀A ∈ Mmn ( ). Ã
2. (AB)t = B t At . (AB)t = B t At
Ã
3. Si D ∈ Mnn ( ) es diagonal, entonces Dt = D.
Demostracion. Probaremos 2: Sea C = AB, C t = (AB)t . En la posici´n
´ o
n
(i, j) de la matriz C t aparece el t´rmino cji de la matriz C: cji =
e ajk bki
k=1
t t
Consideremos Z = B A . El t´rmino (i, j) de la matriz Z esta dado por:
e
n n n
t t
zij = (B )ik (A )kj = bki ajk = ajk bki = (AB)ji = (C t )ij ,
k=1 k=1 k=1
luego Z = C , y por lo tanto (AB) = B At .
t t t
Algunas propiedades elementales de matrices invertibles son las siguientes
Proposici´n 1.7.
o
Ã
Sean A, B ∈ Mnn ( ) invertibles entonces:
1. La inversa de A es invertible y (A−1 )−1 = A. (A−1 )−1 = A
10

11. 2. El producto AB es invertible y (AB)−1 = B −1 A−1 . (AB)−1 = B −1 A−1
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3. ∀n ≥ 0, (An )−1 = (A−1 )n . (An )−1 = (A−1 )n
4. At es invertible y (At )−1 = (A−1 )t . (At )−1 = (A−1 )t
´
Demostracion. Veamos:
La propiedad 1 se prueba directamente de la definici´n y de la unicidad de
o
la inversa (Proposici´n 1.3).
o
Para 2 se tiene que,
AB(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AIA−1 = AA−1 = I.
De manera an´loga se prueba (B −1 A−1 )AB = I Como la inversa es unica
a ´
(AB)−1 = B −1 A−1 .
Para 3, procederemos por inducci´n. Se verifica para n ∈ {0, 1}. Suponga-
o
mos cierto el resultado para n ≥ 1 y veamos:
(An+1 )−1 = (An · A)−1 = A−1 (An )−1 ,
por hip´tesis de inducci´n
o o
´
(An+1 )−1 = A−1 (A−1 )n = (A−1 )n+1 .
Para probar 4, notemos que AA−1 = I, as´ trasponiendo nos d´ (AA−1 )t =
ı a
I t , lo que implica a su vez (A−1 )t At = I.
Igualmente se obtiene que At (A−1 )t = I. Finalmente, por unicidad de la
inversa: (At )−1 = (A−1 )t .
◭ Ejercicio
ı
Ejercicio 1.3: En general el problema de saber si una matriz es in-
vertible o no es un problema dif´ ıcil. Tendremos que esperar a saber
resolver ecuaciones lineales para obtener un algoritmo eficiente que nos
permitir´ decidir si una matriz en particular es invertible y obtener su
a
inversa.
Por el momento nos contentaremos con el siguiente resultado, propuesto
como ejercicio.
Sea A = (aij ) una matriz de permutaci´n, es decir una matriz de
o
n × n con solo 0 y 1 tal que tiene un y s´lo un 1, por cada fila y
o
columna. permutaci´n
o
Se tiene que A es invertible y su inversa es A−1 = At .
11

12. ´
Ingenier´a Matematica
ı
FACULTAD DE CIENCIAS
Semana 1
F´SICAS Y MATEMATICAS
I ´
UNIVERSIDAD DE CHILE
´
Algebra Lineal 08-2
Ejercicios
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
1. Demuestre la asociatividad de la multiplicaci´n de matrices. Es decir, si
o Proposici´n 1.2
o
à Ã
A ∈ Mmn ( ), B ∈ Mnq ( ), C ∈ Mqs ( ), entonces: Ã
A(BC) = (AB)C ∈ Mms ( ). Ã
2. Pruebe que si A es diagonal (A = diag(a11 , . . . , ann ) ∈ Mnn ( )), en-Ã Ejercicio 1.1
tonces
A es invertible ⇔ aii = 0, para i ∈ {1, . . . , n}.
Demuestre adem´s que, en caso de ser invertible, su inversa es diagonal
a
con (A−1 )ii = a1 .
ii
à Ã
3. Sean A ∈ Mmn ( ), B ∈ Mnp ( ) y describamos B por sus columnas Ejercicio 1.2
B = (B•1 , B•2 , ..., B•n ), demuestre que entonces
AB = (A(B•1 ), ..., A(B•n )) .
4. Sea A = (aij ) una matriz de permutaci´n, es decir una matriz de
o Ejercicio 1.3
Ã
Mnn ( ) con s´lo 0’s y 1’s tal que tiene un y s´lo un 1, por cada fila y
o o
columna. Pruebe que A es invertible y su inversa es A−1 = At .
´
Ã
5. Se dice que P ∈ Mnn ( ) es una matriz de proyecci´n si P = P 2 .
o
(a) Pruebe que si P es matriz de proyecci´n, entonces In − P es matriz
o
de proyecci´n, donde In es la matriz identidad en Mnn ( ).
o Ã
(b) Pruebe que P es matriz de proyecci´n si y s´lo si P 2 (In − P ) = 0
o o
y P (In − P )2 = 0.
Ã
(c) Encuentre P ∈ M22 ( ) tal que P = P 2 y P 2 (I2 − P ) = 0.
ı
Indicaci´n: Considere matrices con coeficientes en {0, 1}.
o
Problemas
 
d1

P1. Sea D =  ..
.

Ê
 ∈ Mnn ( ) diagonal, con d1 , . . . , dn distintos
dn
y A, B, M, S ∈ Mnn ( ). Ê
(a) Pruebe que si M D = DM , entonces M es diagonal.
(b) Sea S invertible, tal que S −1 AS y S −1 BS son diagonales. Pruebe
que AB = BA. Indicaci´n: Recuerde que el producto de matrices
o
diagonales conmuta.
(c) Sea S invertible tal que S −1 AS = D. Suponiendo que AB = BA,
verifique que S −1 AS y S −1 BS conmutan y concluya que S −1 BS
es diagonal.
P2. (a) Demuestre que si A, B y (A + B −1 ) son matrices invertibles, en-
tonces (A−1 + B) tambi´n es invertible y su inversa es A(A +
e
B −1 )−1 B −1 .
12

13. (b) Sea la matriz de n y n columnas triangular superior a coeficientes
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
reales siguiente:
 
1 1 0 0 ... ... 0
0 1 1 0 . . . . . . 0
 
. .. .. .. .. .
.. . . . . .
.

. .. .. .. .. .
. . . . . . .
C = . .
.. .. 
. . 1 1 0
 
. 
. . . . . . . . . . 1 1
. 0 
.
. ... ... ...
. 0 0 1
Sea N = C −I, donde I es la matriz identidad de n×n. Demuestre
que N n = 0.
(c) Demuestre que para las matrices C y N definidas en (b), se tiene
que C es invertible y su inversa es:
C −1 = I − N + N 2 − N 3 + · · · + (−1)n−1 N n−1 .
Ê
P3. (a) Sea A = (aij ) ∈ Mnn ( ) una matriz cualquiera. Se define la traza
´
de A, denotada por tr(A), como la suma de los elementos de la
diagonal principal, es decir,
n
tr(A) = aii .
i=1
Por otra parte, se define la funci´n f : Mnn ( ) →
o Ê Ê, donde
t
f (A) = tr(AA ).
ı
Pruebe que:
(1) Dadas A, B ∈ Mnn ( ), Ê
tr(AB) = tr(BA).
Ê
(2) f (A) ≥ 0, ∀A ∈ Mnn ( ), adem´s muestre que
a
f (A) = 0 ⇔ A = 0,
donde 0 es la matriz nula de Mnn ( ). Ê
(3) f (A) = tr(At A).
Ê
(b) Sea M ∈ Mmn ( ) una matriz tal que la matriz (M t M ) ∈ Mnn ( ) Ê
es invertible. Definamos la matriz P ∈ Mmm ( ) como Ê
P = Im − M (M t M )−1 M t ,
donde IM es la matriz identidad de orden m.
Pruebe que:
(1) P 2 = P . Muestre adem´s que P M = 0, donde 0 ∈ Mmn ( )
a Ê
es la matriz nula.
(2) La matriz (M t M ) es sim´trica y muestre que la matriz P es
e
tambi´n sim´trica.
e e
13

14. ´
Ingenier´a Matematica
ı
FACULTAD DE CIENCIAS
F´SICAS Y MATEMATICAS
I ´
UNIVERSIDAD DE CHILE
´
Algebra Lineal 08-2
SEMANA 2: MATRICES
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
1.4. Matrices elementales
Como veremos la resoluci´n de sistemas de ecuaciones via eliminaci´n de
o o
variables corresponde a premultiplicar (multiplicar por la izquierda) una
cierta matriz por matrices elementales que estudiaremos a continuaci´n.o
Hay dos tipos de matrices elementales: elemental de permutaci´n y de
o matrices elementales
suma.
Definici´n 1.10 (Matriz elemental de permutaci´n). Una matriz ele-
o o
mental de permutaci´n tiene la siguiente estructura:
o Ipq
 
1 0
 .. 
 . 0 
 1 
 
 0 ··· ··· ··· 1  fila p
 
 .
. .
. 
 . 1 . 
 
Ipq =  1 

 .
. .
. 
´
 . 1 . 
 
 1 ··· ··· ··· 0  fila q
 
 1 
 .. 
 0 . 
0 1
La matriz Ipq se construye a partir de la identidad, permutando el orden
ı
de las filas p y q.
Ejemplo:
Ê
En M44 ( ):
   
1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 1 0 0
I24 = , I13 = .
0 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1
Notemos que toda matriz elemental de permutaci´n es una matriz de per-
o
mutaci´n, pero no al rev´s. ¿Puedes dar un ejemplo?.
o e ◭ Ejercicio
Veamos ahora lo que sucede al multiplicar una matriz A, por la derecha
o izquierda, por una matriz elemental de permutaci´n Ipq : En el ejemplo
o
anterior, sea A = (aij ) ∈ M43 ( ) Ê
      
a11 a12 a13 1 0 0 0 a11 a12 a13 a11 a12 a13
 a21 a22 a23   0 0 0 1   a21 a22 a23   a41 a42 a43 
I24  =  = .
a31 a32 a33 0 0 1 0 a31 a32 a33 a31 a32 a33
a41 a42 a43 0 1 0 0 a41 a42 a43 a21 a22 a23
14

15. El resultado consiste en permutar las filas 2 y 4 de A. An´logamente, sea
a
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
Ê
B ∈ M34 ( ):
 1 0 0 0
  
b11 b12 b13 b14 b b14 b13 b12
 b21 0 0 0 1   11
b22 b23 b24    = b21 b24 b23 b22  .
0 0 1 0
b31 b32 b33 b34 b31 b34 b33 b32
0 1 0 0
la matriz resultante es B con las columnas 2 y 4 permutadas. En general,
Propiedad 1.1.
à Ã
Dadas Ipq ∈ Mnn ( ), A ∈ Mns ( ) y B ∈ Mqn ( ): Ã
1. Ipq A corresponde a la matriz A con las filas p y q permutadas. Ipq A
2. BIpq corresponde a las matriz B con las columnas p y q permutadas. BIpq
´
Demostracion. Recordemos que, por ser una matriz de permutaci´n (Ejer-
o
a −1
cicio 1.3), Ipq es invertible y adem´s Ipq = Ipq . En efecto, el multiplicar
por la izquierda Ipq por si misma, corresponde a intercambiar sus filas p y
q, con lo cual se obtiene la identidad.
´
Ê
Tomemos ahora la matriz A ∈ M44 ( ) y sea:
 
1 0 0 0
0 1 0 0
E2,4 (λ) =  
0 0 1 0
0 λ 0 1
ı
Esta matriz se construye a partir de la identidad colocando el valor λ en la
posici´n (4,2) (notar que s´lo la fila 4 es diferente de la identidad).
o o
Al multiplicar por la izquierda A por E2,4 (λ):
    
a11 a12 a13 1 0 0 0 a11 a12 a13
 a21 a22 a23   0 1 0 0   a21 a22 a23 
E2,4 (λ)  =  =
a31 a32 a33 0 0 1 0 a31 a32 a33
a41 a42 a43 0 λ 0 1 a41 a42 a43
 
a11 a12 a13
 a21 a22 a23 
= 
a31 a32 a33
λa21 + a41 λa22 + a42 λa23 + a43
La matriz, E2,4 (λ)A es exactamente la matriz A, excepto por la fila 4, la
cual se obtiene de sumar la fila 4 de A m´s la fila 2 de A ponderada por λ.
a
En general,
15

16. Definici´n 1.11 (Matriz elemental). Definimos la matriz elemental Ep,q (λ) ∈
o
Ã
Mnn ( ) como:
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
Ep,q (λ)
col. p col. q
 
↓ ↓
1 
 .. 
 . 0 
 
 1 
 
 .. 


Ep,q (λ) =  .
. 


λ∈
.
Ã
 .
. 1  p<q
 
0 ··· λ ··· 1 
. . 
. . 
. . 1 
. . .. 
.. .
. . 
0 ··· 0 ··· ··· ··· ··· 0 1
Propiedad 1.2. Dada una matriz A ∈ Mns ( ); se tiene:Ã Ep,q (λ) · A
 
1 0  
 ..  a11 ··· ··· a1s
.
´
 0  . . 
  .
. . 
. 
 1 
 ···   ap1 ··· ··· aps 
  
 .
.  .
. . 
. 
C = Ep,q (λ)·A =  . 1  . . 
 
 0 λ ··· 1   aq1 ··· ··· aqs 
  
 1  . . 
  .
. . 
.
 .. 
.
ı
an1 ··· ··· ans
1
 
a11 ··· a1s
 .
. .
. 
 . . 
 
 ap−11 ··· ap−1s 
 
 .
. .
. 
= . .  .
 
 λap1 + aq1 · · · λaps + aqs  ← q
 
 . . 
 .
. .
. 
an1 ··· ans
o, en notaci´n por filas:
o
Ci• = Ai• ∀i = q
Cq• = λAp• + Aq•
Se tiene entonces que el efecto, sobre A, de la premultiplicaci´n por Ep,q (λ)
o
es una matriz que s´lo difiere de A en la fila q: Esta es la suma de la fila p
o
ponderada por λ y la fila q.
Es importante observar que la matriz Ep,q (λ) es triangular inferior, que
tiene unos en la diagonal y adem´s:a
16

17. Proposici´n 1.8. Ep,q (λ) es invertible. Su inversa es la siguiente:
o (Ep,q (λ))−1 =
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Ep,q (−λ)
 
1
 .. 
 . 0 
 
 1 
 .. 
 . 
 
−1  .
. 
(Ep,q (λ)) =  . 1 
 
 0 · · · −λ · · · 1 
. . 
. . 
. . 1 
. . .. 
. . .
. . 
0 ··· 0 ··· ··· ··· ··· 0 1
↑ ↑
p q
´
Demostracion. En efecto, sea C = Ep,q (−λ)Ep,q (λ). Se tendr´ que C es
a
la matriz cuya fila q es la suma de la fila p de Ep,q (λ), ponderada por −λ
y la fila q de Ep,q (λ). Es decir:
´
Cq• = −λ(0 . . . 0 1 0 . . . 0) + (0 . . . λ 0 . . . 0 β 0 . . . 0)
↑ ↑ ↑
p p q
= (0 . . . 0 − λ 0 . . . 0) + (0 . . . λ 0 . . . 0 1 0 . . . 0).
↑ ↑ ↑
ı
p p q
Luego: Cq• = (0..,0..,1..,0..,0) adem´s ∀i = q Ci• es la i-´sima fila de la
a e
identidad. Es decir C = I, la matriz identidad
1.5. Sistemas lineales y escalonamiento de matrices
Las matrices elementales son de gran utilidad en la resoluci´n de sistemas
o
de ecuaciones lineales.
Ejemplo:
Consideremos, a modo de ejemplo, el sistema de ecuaciones
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2 (1)
−2x1 + 3x2 − x3 = −1 (2)
x1 + x3 + x4 = 1 (3)
Para resolverlo, utilizamos la eliminaci´n de variables, pero en forma
o
ordenada, desde la primera variable de la izquierda y desde arriba hacia
abajo:
17

18. 1. Eliminamos la variable x1 en las ecuaciones (2) y (3): para ello
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
multiplicamos la primera por dos y la sumamos a la segunda ob-
teniendo:
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2
7x2 + x3 + 2x4 = 3
x1 + x3 + x4 = 1
Luego, multiplicamos la primera por −1 y la sumamos a la tercera:
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2
7x2 + x3 + 2x4 = 3
−2x2 = −1
2. Continuamos ahora con x2 , pero a partir de la segunda ecuaci´n.o
2
Multiplicando la segunda por 7 y sum´ndola a la tercera se obtiene:
a
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2
7x2 + x3 + 2x4 = 3
´
2 4 1
x3 + x4 = −
7 7 7
Ya no es posible eliminar m´s variables. Ahora, desde la ultima
a ´
hasta la primera ecuaci´n despejamos en funci´n de x4 :
o o
4 1 1
x3 = − x4 − = −2x4 −
2 2 2
ı
1 1 1 1
x2 = (−x3 − 2x4 + 3) = (2x4 + − 2x4 + 3) =
7 7 2 2
1 1 3
x1 = −2x2 − x3 − x4 + 2 = −2 + 2x4 + − x4 + 2 = x4 +
2 2 2
Obteni´ndose la soluci´n:
e o
3
x1 = + x4
2
1
x2 =
2
1
x3 = − − 2x4
2
x4 = x4
As´ para cualquier valor real de x4 , obtenemos una soluci´n del
ı, o
sistema. Existen entonces, infinitas soluciones, dependiendo de la
variable x4 . La variable x4 se denomina independiente o libres.
Veamos ahora, en general, qu´ es un sistema de ecuaciones,
e
18

19. Definici´n 1.12 (Sistema de ecuaciones). Un sistema de m ecuaciones-
o
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
y n inc´gnitas consiste en el siguiente conjunto de ecuaciones en las va-
o sistema de ecuaciones
Ã
riables x1 , ..., xn ∈ :
a11 x1 + · · · + a1n xn = b1
.
. .
. .
.
. . .
am1 x1 + · · · + amn xn = bm
en donde los coeficientes, aij , y el lado derecho, bj , son elementos del cuerpo
Ã.
Definiendo la matriz:
 
a11 ··· a1n
A=  .
.
.
. 
.
. ∈ Mmn ( )Ã
am1 ··· amn
la m-tupla (lado derecho) y la n tupla de inc´gnitas
o
   
b1 x1
b= . Ã
 .  ∈ m, x =  .  ∈ . Ãn
´
. .
bm xn
Podemos escribir el sistema matricialmente: Ax = b
Ax = b,
Realizar el procedimiento de eliminaci´n de variables descrito en el ejem-
o
plo precedente, con el fin de resolver el sistema, es equivalente a producir
ı
ceros en la matriz aumentada con la columna lado derecho, (A|b) ∈ matriz aumentada,
Ã
Mm(n+1) ( ). En el ejemplo anterior: (A|b)
 
1 2 1 1 2
(A|b) = −2 3 −1 0 −1 
1 0 1 1 1
Eliminar x1 de la segunda ecuaci´n es equivalente a producir un cero en
o
la posici´n (2,1) de (A|b). Para ello se multiplica la primera fila por 2 y se
o
suma a la segunda fila. Para eliminar x1 de la tercera ecuaci´n se multiplica
o
la primera fila por −1 y se suma a la tercera
   
1 2 1 1 2 1 2 1 1 2
(A|b) →  0 7 1 2 3  →  0 7 1 2 3 
1 0 1 1 1 0 −2 0 0 −1
Eliminar x2 en la tercera ecuaci´n a partir de la segunda es equivalente a
o
multiplicar la segunda fila por 2 y sumarla a la tercera:
7
 
1 2 1 1 2
→  0 7 1 2 3  = (A|˜ ˜ b)
2 4 1
0 0 7 7 −7
19

20. As´ el sistema inicial es equivalente al sistema Ax = ˜
ı, ˜ b.
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
Conviene se˜ alar que en el procedimiento anterior la operaci´n de base ha
n o
sido:
Sumar a una fila q, la fila p ponderada por un n´ mero λ ∈
u Ã
De la definici´n de matrices elementales sabemos que esto es equivalente
o
a premultiplicar por la izquierda por la matriz Ep,q (λ). Veamos esto en el
mismo ejemplo.
Ejemplo:
1. Producir un cero en la posici´n
o (2,1) de (A|b):
  
1 0 0 1 2 1 1 2
E1,2 (2)(A|b) =  2 1 0 −2 3 −1 0 −1 
0 0 1 1 0 1 1 1
.
 
1 2 1 1 2
= 0 7 1 2 3
´
1 0 1 1 1
2. Producir un cero en la posici´n (3,1):
o
  
1 0 0 1 2 1 1 2
E1,3 (−1)E1,2 (2)(A|b) =  0 1 0   0 7 1 2 3
−1 0 1
ı
1 0 1 1 1
.
 
1 2 1 1 1
= 0 7 1 2 3
0 −2 0 0 −1
3. Producir un cero en la posici´n (3,2) desde la posici´n (2,2):
o o
  
1 0 0 1 2 1 1 2
2
E2,3 ( 7 )E1,3 (−1)E1,2 (2)(A|b) =  0 1 0   0 7 1 2 3 
0 2 1
7 0 −2 0 0 −1
.
 
1 2 1 1 2
= 0 7 1 2 3
2 4
0 0 7 7 −1
7
Se concluye entonces que la operaci´n de eliminaci´n de variable puede
o o
realizarse mediante la pre-multiplicaci´n de (A|b) por matrices elementales.
o
20

21. Hay casos en que tambi´n es necesario utilizar matrices de permutaci´n de
e o
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filas. Por ejemplo, si se tiene:
 
1 1 1 1
0 0 1 1
(A|b) =  
0 1 0 1
0 2 0 1
Vemos que, como a22 = 0, no es posible “producir” ceros en la segunda
columna, a partir de a22 . Luego intercambiamos el orden de las filas (cla-
ramente esto no cambia el sistema de ecuaciones asociado). Por ejemplo,
colocamos la cuarta fila en la segunda posici´n y la segunda en la cuarta.
o
Esto es equivalente a premultiplicar por I24 :
    
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 10 0 1 1 0 2 0 1
I24 (A|b) =   = ,
0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 0 0 2 0 1 0 0 1 1
lo cual nos permite seguir produciendo ceros. Consideremos ahora A ∈
Ã
Mmn ( ), definimos la matriz escalonada asociada a la matriz A, como ˜
matriz escalonada, A
˜ Ã
A ∈ Mmn ( ), tal que:
´
a ˜11 a12 · · · a1i2 · · · · · · · · ·
˜ ˜ ··· a1n 
˜
 a2i2 · · · · · · · · ·
˜ ··· a2n 
˜
 .. . 
 . . 
 . 
˜=
A  
asis
˜ ··· asn  .
˜
 
 
 
0 0
donde los elementos a11 = 0, a2i2 = 0, ..., ˜ sis = 0, se denominan pivotes.
˜ ˜ a ı pivotes
Notar que hemos supuesto que la primera columna no tiene ceros. De no
ser as´ quiere decir que la primera variable no juega ningun rol, y por lo
ı,
tanto si el sistema tiene soluci´n esta variable queda de inmediato libre.
o
Supondremos en lo que sigue que la primera columna no es cero.
Observaci´n: No hay una unica manera de escalonar una matriz. En
o ´
efecto en el ultimo ejemplo podr´
´ ıamos haber permutado las filas 2 y 3
en vez de las 2 y 4.
Hay dos cosas que son importantes de resaltar a este respecto:
1. Desde el punto de vista de sistemas de ecuaciones no hay diferen-
cia entre un escalonamiento u otro: todos dan el mismo conjunto
soluci´n (probablemente descrito de distinta manera).
o
2. Es preferible por otras razones (te´ricas, como son el c´lculo del
o a
determinante y la determinaci´n de matrices definidas positivas)
o
tratar de no utilizar permutaciones .
21

22. ˜
La matriz A se obtiene mediante la premultiplicaci´n de A por matrices
o
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elementales:
˜
A = ( Ej )A,
j
donde Ej es una matriz elemental de suma o de permutaci´n de filas.
o
Adem´s, recordemos que las matrices elementales son invertibles. Esta pro-
a
piedad es crucial para probar que el sistema original, Ax = b, y el obtenido
despu´s del escalonamiento, Ax = ˜ son equivalentes (tienen id´ntico con-
e ˜ b, e
junto de soluciones). En efecto:
Proposici´n 1.9. Dada una matriz C, invertible entonces:
o
a ∈ K n es soluci´n de Ax = b ⇔ a es soluci´n de (CA)x = Cb.
o o
´
Demostracion. La demostraci´n es simple:
o
⇒) Si Aa = b, entonces C(Aa) = Cb y por ende (CA)a = Cb.
⇐) Supongamos (CA)a = Cb. Como C es invertible se tiene C −1 (CA)a =
C −1 (Cb), lo cual implica que Aa = b.
´
Como las matrices elementales son invertibles y el producto de matrices
invertibles tambi´n lo es, y por lo tanto podemos usar la Proposici´n 1.9
e o
con C = j Ej , para concluir que los sistemas Ax = b y Ax = ˜ son
˜ b
equivalentes.
ı
22

23. ´
Ingenier´a Matematica
ı
FACULTAD DE CIENCIAS
Gu´a
ı
F´SICAS Y MATEMATICAS
´
I
UNIVERSIDAD DE CHILE Semana 2
´
Algebra Lineal 08-2
Ejercicios
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
1. Encuentre un ejemplo de una matriz que sea de permutaci´n, pero no
o Pag. 12
sea matriz elemental de permutaci´n.
o
à Ã
2. Dadas Ipq ∈ Mnn ( ) y B ∈ Mqn ( ), pruebe que BIpq corresponde a Propiedad 1.1
las matriz B con las columnas p y q permutadas.
Indicaci´n: Puede usar la parte 1 de la Proposici´n 1.1.
o o
3. Escriba los siguientes sistemas de ecuaciones en las variables xi , de forma
matricial Ax = b, especificando claramente A, b y x con sus dimensiones:


 2x1 + 4x2 − x3 + x5 = 0

x1 − 16x2 + x3 + 3x4 + 6x5 = 2
(a) 1


 3 x2 − 10x3 + x4 − 6x5 = 2x3
3
x1 − x3 − x4 + 4 x5 = 1


 x4 + x1 = −3

4x1 − 7x2 + πx3 − 12x4 = 1
(b)

 −11 = x3
 1
3 (x1 − x3 ) + x4 − x5 = 20

 x1 − (β − 1)x2 + x3 − αx4 = 2
Ê
´
(c) −7αx2 + πx3 = α + β , con α, β ∈ .
 β
3 x1 − x2 + x4 = β
3

 2x1 = 1


−4x2 = 2
(d)
 9x3 = 0
 3

2 x4 = −1
ı
4. Escriba expl´
ıcitamente las siguientes multiplicaciones de matrices:
Ê
(a) I12 E13 (1, −1), en M44 ( ). (d) E23 (0, 3i)−1 E12 (−1, i)E34 ( 1 , −3),
2
(b) I34 E23 (i, 2)I34 , en M44 ( ). en M44 ( ).
Ê
(c) E12 (2, 1)E13 (1, −1), en M33 ( ).
Problemas
   
1 ··· 1 1
Ê .
P1. Sea J ∈ Mnn ( ) tal que J =  .
.
..
.
.  y e =  . .
.
. .
.
1 ··· 1 1
(a) Pruebe que Je = ne y J 2 = nJ.
1
(b) Sea α = n. Calcule β tal que (I − αJ)−1 = I + βJ.
1
(c) Sea α = n, verifique que (I − αJ)e = 0.
P2. (a) (1) Sean A, B matrices de n × m con coeficientes reales. Pruebe
que
Ê Ê
A = B ⇔ ∀x ∈ Mm1 ( ), ∀y ∈ Mn1 ( ) xt Ay = xt By.
23

24. Indicaci´n: Calcule et Aei donde ej = (Im )j• y ei = (In )i• . Im
o j
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
y In son las identidades de tama˜ os m y n respectivamente.
n
(2) Sean A, B matrices de n×n sim´tricas con coeficientes reales.
e
Pruebe que
Ê
A = B ⇔ ∀x ∈ Mn1 ( ) xt Ax = xt Bx.
(b) Demuestre que si una matriz cuadrada A verifica Ak = I, para
alg´ n natural k ≥ 1, entonces A es invertible y determine su
u
inversa.
x y
(c) Encuentre todas las matrices de la forma A = que cum-
0 y
Ê
plen A2 = I (x, y, z ∈ ).
P3. Considere el siguiente sistema lineal:
−x1 + x3 + 2x4 = 1,
x1 − x2 + x3 − 2x4 = −1 ,
−x1 − 2x2 + x3 + 3x4 = 2,
−x1 − 4x2 + 2x3 + 4x4 = 5.
´
(a) Escriba el sistema de forma matricial Ax = b. Especifique clara-
mente A, b y x, junto con sus dimensiones.
(b) Resuelva es sistema lineal escalonando la matriz aumentada (A|b).
P4. Considere el siguiente sistema lineal:
x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 1,
ı
−x1 + x2 + x4 = 1,
3x2 + 3x3 = 0,
2x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = −2 .
(a) Escriba el sistema de forma matricial Ax = b. Especifique clara-
mente A, b y x, junto con sus dimensiones.
(b) Resuelva es sistema lineal escalonando la matriz aumentada (A|b).
24

25. ´
Ingenier´a Matematica
ı
FACULTAD DE CIENCIAS
F´SICAS Y MATEMATICAS
I ´
UNIVERSIDAD DE CHILE
´
Algebra Lineal 08-2
SEMANA 3: MATRICES
Departamento de Ingenier´a Matematica - Universidad de Chile
1.6. ´
Solucion general de sistemas lineales
Dado el sistema Ax = b, A ∈ Mmn ( ), b ∈ Ã Ãm, x ∈ Ãn, al escalonarlo
(escalonando (A|b)) obtenemos:
 ˜1 
a11 · · ·
˜ a1i2 · · · · · ·
˜ ··· a1n
˜ b
 .
. . 
. 
 0 · · · 0 a2i2˜ . . 

 . . .
. .
. .. .
. . 
. 
 . . . . . . 

(A|˜ =  0 · · · 0
˜ b)
0 · · · asis
˜ ··· asn
˜ ˜s  .
b 

 0 ··· 0 0 ··· 0 ··· 0 ˜s+1 
b
 
 . . . . 
 . . .
. .
. . 
.
0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 ˜m
b
donde los elementos a11 , a2i2 , . . . , asis son no nulos. Claramente, si existe
˜ ˜ ˜
un ´ındice j ≥ s + 1 tal que ˜j = 0, el sistema no tiene soluci´n, ya que se
b o
tendr´ una ecuaci´n incompatible: 0 = b
ıa o ˜j = 0.
´
Luego, el sistema tiene soluci´n si y solo si ˜k = 0 ∀k ≥ s + 1. En efecto, si
o b
˜k = 0, ∀k ≥ s + 1, se obtiene la(s) soluci´n(es) despejando desde la s-´sima
b o e
ecuaci´n hasta la primera en funci´n de las variables independientes. En este
o o
caso diremos que el sistema es compatible. Cada una de las diferencias en sistema compatible
el n´ mero de columnas que son cero bajo las filas sucesivas, las llamaremos
u
pelda˜ os o escalones . As´ el pelda˜ o que se produce entre la fila k y k+1
n ı n pelda˜os
n
es ik+1 − ik . Notar que el ultimo pelda˜ o es: n + 1 − is , es decir los pelda˜ os
´ n n escalones
ı
se miden en la matriz aumentada. La importancia de estos pelda˜ os es la n
siguiente:
Proposici´n 1.10. Si existe soluci´n para el sistema Ax = b y en la ma-
o o
˜
triz A hay alg´n pelda˜o de largo mayor o igual a dos, entonces existe m´s
u n a
de una soluci´n.
o
´
Demostracion. En efecto. Como por cada fila no nula de la matriz es-
calonada podemos despejar a lo m´s una variable, tendremos entonces que
a
dejar libres tantas variables como n´ mero de pelda˜ os, menos uno.
u n
Un corolario directo del resultado anterior es
Corolario 1.2. Si el sistema Ax = b es tal que n > m (n´mero de inc´gni-
u o
tas mayor que el n´mero de ecuaciones), entonces tiene infinitas soluciones,
u
si es compatible.
´
Demostracion. En efecto, como n > m siempre existe en la matriz es-
˜ un pelda˜ o de largo superior o igual a dos. De no ser as´ se
calonada, A, n ı
25