Algebra: Teoría de conjuntos, lógica y estructuras algebraicas

Algebra

Dra. Mar´ Teresa Alcalde Cordero
ıa
Dr. C´sar Burgueõ Moreno
e n

Depto. de Matem´tica y Estad´
a ıstica
Facultad de Ingenier´ Ciencias y Administraciń
ıa, o
Universidad de La Frontera

Segunda Ediciń
o
Marzo de 2008

Indice de materias

Pr´logo
o 5

1 L´gica y Teor´ de conjuntos
o ıa 7
1.1 Proposiciones L´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . 7
1.2 Conectivos l´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . 9
1.2.1 La equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 El conectivo ”no” . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Los conectivos ”y”, ”o” . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 El conectivo ”implica” . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Concepto de Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Teoremas l´gicos b´sicos . . . . . . . . . . . . . . .
o a . . 15
1.5 Conectivos b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . 18
1.6 Demostraciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 M´todos de demostraciń . . . . . . . . . . . . . . .
e o . . 23
1.7.1 Demostraciń directa de ”p ⇒ q” . . . . . .
o . . 24
1.7.2 Demostraciń indirecta de ”p ⇒ q” . . . . .
o . . 24
1.7.3 Demostraciń por contradicciń de ”p ⇒ q”
o o . . 24
1.8 Circuitos L´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . 28
1.8.1 Descripciń l´gica de circuitos . . . . . . . .
o o . . 28
1.9 Teor´ de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . 38
1.9.1 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.9.2 Negaciń de los cuantificadores . . . . . . .
o . . 41
1.9.3 Ejemplos y contraejemplos . . . . . . . . . . . . 44
1.9.4 Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . 44
1.9.5 Uniń e intersecciń . . . . . . . . . . . . .
o o . . 46
1.9.6 Conjunto Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.9.7 Conjuntos num´ricos . . . . . . . . . . . . .
e . . 50

1

2

1.9.8 Diferencia sim´trica . . . . . . . . . . . . . . . .
e 51
1.10 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 Sumatorias y Recurrencia 59
2.1 Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1.1 Propiedades de la sumatoria . . . . . . . . . . . 62
2.1.2 Progresiones aritm´ticas . .
e . . . . . . . . . . . 70
2.1.3 Progresiones Geom´tricas .
e . . . . . . . . . . . 72
2.1.4 Sumas de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2 Inducciń o recurrencia . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 75
2.2.1 Los n´meros naturales . . .
u . . . . . . . . . . . 75

3 Binomio de Newton 87
3.1 Factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 N´mero combinatorio . . .
u . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.1 Trińgulo de Pascal
a . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3 Desarrollo del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4 Relaciones Binarias 113
4.1 Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2 Conceptos b´sicos . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . 115
4.3 Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4 Propiedades de las relaciones binarias . . . . . . . . . . 122
4.4.1 Reflexividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4.2 Simetr´ . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . 125
4.4.3 Transitividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.4.4 Antisimetr´ . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . 130
4.5 Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.5.1 Introducciń y definiciń . . . . .
o o . . . . . . . . 140
4.5.2 Clases de Equivalencia y conjunto cuociente . . 146
4.5.3 Congruencias en Z . . . . . . . .
Z . . . . . . . . 151
4.6 Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3

5 Funciones 165
5.1 Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 165
5.2 Propiedades de una funciń . . . . . . . . . . . . . . .
o 171
5.3 Imagen rec´ ıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.4 Inyectividad, epiyectividad y biyectividad . . . . . . . . 174
5.5 Composiciń de funciones . . . . . . . . . . . . . . . .
o 175
5.6 Funciń inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 176
5.7 Funciones biyectivas sobre conjuntos finitos o permuta-
ciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.7.1 Permutaciones de In . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.8 Funciones sobre conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . 185
5.8.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.8.2 N´mero de funciones entre dos conjuntos finitos
u 188
5.9 Algunas funciones sobre conjuntos no finitos . . . . . . 189

6 Estructuras Algebraicas 197
6.1 Ley de composiciń interna . . . . . . . . . . .
o . . . . 197
6.1.1 Propiedades de una l.c.i. en un conjunto . . . . 199
6.2 Subestructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.3 Grupos, anillos y cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.4 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.5 Estructura de Z n . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z . . . . 217
6.6 Estructura de Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.7 Aritm´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . 223

7 N´ meros complejos
u 229
7.1 Construcciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 229
7.2 Estructura algebraica de (C, +, ·) . . . . . . . . . . . . 232
7.3 Valor absoluto y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.4 Forma polar o trigonom´trica de un n´mero complejo
e u . 241
7.5 Multiplicaciń de n´meros complejos . . . . . . . . .
o u . 242
7.6 Elevaciń a potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 243
7.7 Inversos multiplicativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.8 Extracciń de ra´
o ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.9 Forma exponencial de un n´mero complejo . . . . . .
u . 250

4


8 Polinomios 259
8.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
8.2 Funciń polin´mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o 265
8.2.1 Ra´ de un polinomio . . . . . . . . . . . . . .
ıces 266
8.3 Divisibilidad en el conjunto de polinomios . . . . . . . 271
8.3.1 Teorema de la descomposiciń unica . . . . . .
o ´ 275
8.4 Divisiń Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 275
8.4.1 Teorema de la Divisiń Euclidiana o Algoritmo
o
de la Divisiń . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 276
8.5 Descomposiciń en C[X] . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 278
8.6 Descomposiciń en IR[X] . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 279
8.7 Descomposiciń en Q[X] . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 281
8.8 Fracciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Bibliograf´
ıa 297

Pr´logo
o

Este libro ha sido pensado para ti que vienes llegando a la Universidad,
despu´s de haber tenido una formaciń matem´tica en la Educaciń
e o a o
Media. Esperamos que esta sea una linda experiencia para ti y que
tengas mucho ´xito en tus estudios.
e
El texto contiene gran cantidad de ejercicios resueltos, con la final-
idad de ayudarte a comprender mejor cada una de las materias del
curso. Puede que algunos ejercicios te parezcan muy sencillos, pero es
conveniente que los desarrolles y los entiendas en profundidad.
Aparentemente este curso es fćil, pero requiere de mucho estudio de
a
parte tuya. Es importante que estudies todos los d´ cada uno de los
ıas
ramos que estas siguiendo, hasta lograr una disciplina de estudio que
te permita sentirte bien contigo mismo y lograr un buen rendimiento.
Por nuestra parte estamos dispuestos a ayudarte en las dudas que te
vayan surgiendo, para ello debes acercarte a nosotros y solicitar dicha
ayuda.
El contenido del curso abarca las materias correspondiente al curso
de ´lgebra de primer semestre. Dichas materias tambiń las puedes
a e
encontrar en muchos otros libros, pero el tratamiento que hacemos
aqu´ corresponde a la forma en que te expondremos la materia. Evi-
ı
dentemente que es conveniente que consultes otros textos y hagas los
ejercicios que se proponen.
Queremos agradecer a nuestro amigo y colega Dr. Cristiń Mallol Co-
a
mandari por la ayuda prestada, siendo algunos temas y ejercicios in-
spiraciones personles de ´l.
e

5

6

Agradecemos a Dios por ayudarnos a escribir este libro el cual ha sido
un trabajo muy agradable y se lo dedicamos a nuestros hijos.

Dra. Mar´ Teresa Alcalde Cordero
ıa
Dr. C´sar Burgue˜o Moreno
e n
Depto. de Matem´tica y Estad´
a ıstica
Facultad de Ingenier´ Ciencias y Administraci´n
ıa, o
Universidad de La Frontera

Temuco, Marzo de 2008

Cap´
ıtulo 1

L´gica y Teor´ de conjuntos
o ıa

En este curso, veremos solamente algunos conceptos b´sicos y apren-
a
deremos a trabajar algebraicamente con estos conceptos.
Veremos lo justo y necesario para vuestros estudios y vida profesional.

1.1 Proposiciones L´gicas
o
Nota Trabajaremos solamente con frases a las cuales se les pueda
asignar el valor de verdadera o falsa.
Diremos que a una frase se le puede asignar un valor de verdad si se
puede decir: ”esta frase es verdadera” o ”esta frase es falsa”.

Definiciń 1.1.1 Una proposiciń es una frase a la cual se le puede
o o
asignar un valor de verdad.

Ejemplos de proposiciones

1. Temuco es m´s grande que Santiago.
a

2. Juan ama a Francisca.

3. No es una proposiciń: ¿Ama Ignacio a Francisca?
o

7

8 Alcalde - Burgueõ
n Algebra

4. Loreto canta hermoso.
5. No es una proposiciń: ¡Vamos al Lago Budi!
o

Definiciń 1.1.2 Hay frases, oraciones o secuencias de oraciones a
o
modo de historias, a las cuales no se les puede asignar un valor de
verdad. Estas son llamadas paradojas.

Ejemplos

1. Una paradoja muy famosa es aquella conocida como ”La paradoja
del mentiroso”. Esta paradoja dice:
”Yo soy mentiroso”
Si una persona te dice esta frase, t´ no sabes si esta frase es
u
verdadera o falsa.
2. Otra paradoja muy conocida es la ”paradoja del barbero”. Esta
paradoja dice as´
ı:
”En un pueblo, hab´ un barbero, el cual afeitaba a todos aque-
ıa
llos que no se afeitaban a si mismo”.
Uno se pregunta: ¿Quiń afeitaba al barbero?
e
Si el como persona no se afeitaba a si mismo, entonces por
el hecho de ser ”el barbero” del pueblo, deb´ afeitarse. Con-
ıa
tradicciń.
o
Si ´l se afeitaba a si mismo, esto no pod´ ser, pues por el hecho
e ıa
de ser el barbero, no pod´ afeitarse a si mismo. Nuevamente
ıa
llegamos a una contradicciń.
o
3. La siguiente historia, tambiń es una paradoja. Dice as´
e ı:
”Hab´ un botero, que llevaba a la gente desde una isla, al con-
ıa
tinente. Ocurre que ´ste botero preguntaba a los isleõs sobre
e n
qu´ iban a comprar al continente. Si no respond´ la verdad,
e ıan
entonces ellos eran guillotinados.
Resulta que un isleõ le dijo:
n
”Voy al continente a ser guillotinado”.
O tambiń:
e

Cap´
ıtulo 1. L´gica y Teor´ de conjuntos
o ıa 9

1.2 Conectivos l´gicos
o
Nota Una proposiciń, se puede unir con otra proposiciń, a trav´s
o o e
de los conectivos l´gicos. Los conectivos l´gicos son:
o o
La negaciń, la conjunciń (y), la disyunciń (o), la implicaciń y la
o o o o
equivalencia.

1.2.1 La equivalencia
Definiciń 1.2.1 Dos proposiciones p y q son l´gicamente equiv-
o o
alentes, denotado p ≡ q, si ellas tienen el mismo valor de verdad.
Si p y q son dos proposiciones, entonces p ≡ q, tambiń es una
e
proposiciń y su valor de verdad, puede ser determinado con la ayuda,
o
de lo que llamaremos ”tabla de verdad”.
La tabla de verdad de la equivalencia es la siguiente

p q p≡q
V V V
V F F
F V F
F F V

En esta tabla, la columna del lado derecho, contiene el valor de verdad
de ”p ≡ q”, para todas las combinaciones posibles de los valores de
verdad de p y q.

Ejemplo. Son equivalentes los pares de proposiciones siguientes:

1. a) ”Juan es m´s alto que Loreto”
a
b) ”Loreto es m´s baja que Juan”
a

2. a) ”Temuco es m´s grande que Par´
a ıs”
b) ”Par´ es m´s pequeõ que Temuco”
ıs a n

n Algebra

1.2.2 El conectivo ”no”
Definiciń 1.2.2 Si ”p” es una proposiciń, el valor de verdad de la
o o
proposiciń ”no p”, queda determinada por la siguiente tabla de verdad
o

p no p
V F
F V

Ejemplos

1. p: Ignacio ama a Francisca.
no p: Ignacio no ama a Francisca.

2. p: Julieta no ama a Romeo.
no p: Julieta ama a Romeo.

1.2.3 Los conectivos ”y”, ”o”
Definiciń 1.2.3 Si ”p” y ”q” son dos proposiciones, las proposi-
o
ciones ”p y q” y ”p o q”, estń determinadas por las siguientes tablas
a
de verdad.

p q pyq p q poq
V V V V V V
V F F V F V
F V F F V V
F F F F F F

En espaõl, es algo ambigö el uso del monos´
n u ılabo ”o”. Generalmente
es usado en sentido excluyente, pero en matem´ticas puede incluir
a
ambas proposiciones.

Ejemplos

Cap´
o ıa 11

1. ”Escuchemos el pron´stico del tiempo para saber si maãna el
o n
d´ estar´ bonito o feo”.
ıa a
Este es exactamente el ”o” que dejaremos de usar.

2. Un pap´ matem´tico, ofrece a su hijo Juan, conocedor del ”o
a a
matem´tico”: ”helados de frutilla o helados de chocolate”. Su
a
hijo Juan responde
”Quiero que me des helados de frutilla y tambiń helados de
e
chocolate”.

3. La frase ”Loreto es alta o baja” es matem´ticamente verdadera.
a

4. La frase ”Temuco es m´s grande que Niamey y Temuco es m´s
a a
pequeõ que Niamey” es falsa pues una de las dos proposiciones
n
iniciales es falsa.

Notaciones. El conectivo y se denota por ∧, y el conectivo o por ∨.

1.2.4 El conectivo ”implica”
Si p y q son dos proposiciones, entonces la proposiciń ”p implica q”,
o
denotada por p ⇒ q, est´ definida por la siguiente tabla de verdad:
a

p q p⇒q
V V V
V F F
F V V
F F V

En lenguaje de la vida diaria, esto es usual expresarlo diciendo:
”si p, entonces q”
o bien:
”p es condiciń suficiente para q”
o
o bien:

n Algebra

”q es condiciń necesaria para p”
o
Ejemplos

1. p: est´ lloviendo
a
q: se est´ mojando el campo
a
”p ⇒ q”: ”Si est´ lloviendo, entonces se est´ mojando el campo”.
a a
o bien:
”Es suficiente que est´ lloviendo, para que se est´ mojando el
e e
campo”
o bien:
”Basta que est´ lloviendo, para que se est´ mojando el campo”
e e

2. p : n es m´ltiplo de 6.
u
q : n es m´ltiplo de 2.
u
La proposiciń ”p ⇒ q”, es verdadera, pues ”basta ser m´ltiplo
o u
de 6, para ser m´ltiplo de 2”.
u
o bien:
”Si n es m´ltiplo de 6, entonces n es m´ltiplo de 2”.
u u

3. ”Si un pol´ıgono regular tiene 2n , n ≥ 2, lados, entonces puede
ser constru´ con regla y comp´s”
ıdo a
N´tese que el trińgulo equil´tero puede ser constru´ con regla
o a a ıdo
y comp´s.
a
Tambiń el pent´gono, el hex´gono, o el pol´
e a a ıgono regular de 17
lados.
Pero, basta que tenga 2n , n ≥ 2, lados, para que pueda ser cons
tru´ con regla y comp´s.
ıdo a
Es decir
(Un pol´ıgono regular tiene 2n , n ≥ 2 lados)⇒(puede ser con-
stru´ con regla y comp´s)
ıdo a

Cap´
o ıa 13

4. ”Si Juan se lee la Enciclopedia Britńica en un d´ entonces
a ıa,
Francisca andar´ en bicicleta”
ıa
p: ”Juan lee la Enciclopedia Britńica en un d´
a ıa”
q: ”Francisca andar´ en bicicleta”
ıa
”p⇒q” es una proposiciń considerada verdadera, pues ”p no es
o
verificado, luego no podemos contradecir q.

5. a = b ⇒ a + 5 = b + 5

6. Si n es divisible por 2, entonces n2 es divisible por 4.

1.3 Concepto de Teorema
Definiciń 1.3.1 Una tautolog´ es una proposiciń que siempre es
o ıa o
verdadera, independientemente de la veracidad o falsedad de las pro-
posiciones iniciales.

Ejemplo. ”p o (no p)” es una tautolog´
ıa

p no p p o (no p)
V F V
F V V

Ejemplo. ”Castro est´ en Chilo´ o el d´ est´ asoledado”.
a e ıa a
Esta proposiciń es una tautolog´ pues, es siempre verdadera, inde-
o ıa
pendiente si el d´ est´ soleado o no lo est´. Ocurre que ”Castro est´ en
ıa a a a
Chilo´” es siempre verdadera y ambas proposiciones estń conectadas
e a
por el conectivo ”o”

Definiciń 1.3.2 Una contradicciń es una proposiciń que siem-
o o o
pre es falsa, independientemente de la veracidad o falsedad de las
proposiciones iniciales.

Ejemplos

n Algebra

1. ”p y no p” es una contradicciń
o

p no p p y (no p)
V F F
F V F

2. ”El lago Llanquihue est´ en el norte de Chile y t´ tienes una
a u
calculadora en el bolsillo”
Puesto que la primera proposiciń es siempre falsa y que estń
o a
conectadas por la conjunciń ”y” entonces la proposiciń final
o o
es siempre falsa.
F y V ≡ F; F yF ≡F

Definiciń 1.3.3 Un axioma o un postulado es una proposiciń
o o
que hemos supuesto verdadera.

Ejemplo. ”Una cantidad es igual a si misma”.
Ejemplo. 50 Postulado de Euclides: ”Por un punto fuera de una recta
se puede trazar una unica recta paralela a ella”.
´

Definiciń 1.3.4 Un teorema es una proposiciń que necesita ser
o o
demostrada.

Demostrar un teorema consiste en poner en evidencia su veracidad a
partir de proposiciones conocidas o axiomas.

Definiciń 1.3.5 Diremos que una proposiciń es trivial u obvia si
o o
es fćil pensar la demostraciń.
a o

En general estas dos palabras se usan de manera abusiva. Es t´
ıpico que
la proposiciń: ”p es trivial” es usada para significar: ”Yo no puedo
o
pensar en una demostraciń de p, pero yo estoy seguro que es ver-
o
dadera”.

Cap´
o ıa 15

1.4 Teoremas l´gicos b´sicos
o a
Teorema 1.4.1 (Idempotencia)

i) p ∨ p ≡ p

ii) p ∧ p ≡ p

p p ∨ p p ∧ p)
V V V
F F F

Las tres columnas tienen el mismo valor de verdad, luego las tres
proposiciones son equivalentes.

Teorema 1.4.2 (Doble negaci´n) no(no p) ≡ p
o

Demostraci´n.
o

p no p no (no p)
V F V
F V F

La primera columna coincide con la tercera, luego ambas proposiciones
tienen el mismo valor de verdad, es decir, son equivalentes.

Teorema 1.4.3 (Conmutatividad)

i) p ∨ q ≡ q ∨ p

ii) p ∧ q ≡ q ∧ p

Teorema 1.4.4 (Asociatividad)

i) p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

ii) p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r

n Algebra

Luego podemos borrar los parńtesis.
e

Teorema 1.4.5 (Distributividad)

i) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

ii) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

Teorema 1.4.6 (Ley de Absorciń)
o

i) p ∧ (p ∨ q) ≡ p

ii) p ∨ (p ∧ q) ≡ p

Demostraciń i)
o

p q p ∨ q p ∧ (p ∨ q)
V V V V
V F V V
F V V F
F F F F

La primera columna coincide con la cuarta columna, luego ambas
proposiciones son equivalentes.
Demostraciń ii)
o

p q p ∧ q p ∨ (p ∧ q)
V V V V
V F F V
F V F F
F F F F

La primera y la cuarta columna coinciden, luego las proposiciones son
equivalentes.

Teorema 1.4.7 (Leyes de Morgan)

i) no(p ∨ q) = (no p) ∧ (no q)

Cap´
o ıa 17

ii) no(p ∧ q) = (no p) ∨ (no q)

Demostraciń i)
o

p q p ∨ q no(p ∨ q) no p no q (no p) ∧ (no q)
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V

Demostraciń ii) De la misma manera que i).
o
Notaciń: no p ser´ abreviada por p
o a
Lema. Si p es una proposiciń, entonces se tiene
o

i) V ∨ p ≡ V

ii) V ∧ p ≡ p

iii) F ∨ p ≡ p

iv) F ∧ p ≡ F

Demostraciń i)
o
V p V ∨p
V V V
V F V

Las otras demostraciones son an´logas.
a

ıdo) ”p ∨ p” es una tautolog´ es
Teorema 1.4.8 (Tercero Exclu´ ıa,
decir, p ∨ p ≡ V

Demostraciń. Mediante tabla de verdad.
o

Teorema 1.4.9 La proposiciń p ≡ q tiene el mismo valor de verdad
o
que la proposiciń (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
o

n Algebra

Demostraciń.
o

p q p ≡ q p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
V V V V V V
V F F F V F
F V F V F F
F F V V V V

La tercera y la sexta columna son iguales, luego se tiene demostrado
el teorema.
o ımbolo p ⇔ q resume la proposiciń:
Notaciń. El s´ o

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

Decimos p si y s´lo si q.
o
Observaciń. El teorema anterior nos dice que es equivalente escribir
o
p ≡ q que p ⇔ q

1.5 Conectivos b´sicos
a
Nota En esta secciń veremos que a partir de los conectivos ”no” y
o
”o”, se pueden obtener los otros tres conectivos. De la misma manera,
a partir de ”no” e ”y”.

Teorema 1.5.1 (Reducciń de ”⇒” a ”no” y ”o”)
o

(p ⇒ q) ≡ (p ∨ q)

Demostraciń.
o
p q p⇒q p p∨q
V V V F V
V F F F F
F V V V V
F F V V V

Cap´
o ıa 19

La tercera y quinta columna coinciden, luego ambas proposiciones
tienen el mismo valor de verdad.
Muy Importante: Los teoremas anteriores ustedes los van a utilizar
a lo largo de sus estudios, es decir, siempre!. Necesitarń recordar los
a
enunciados.
Ejercicios.

1. Reducciń del ”⇔” a ”no”, ”o” e ”y”
o
En efecto
i) p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p)
Es decir p ⇔ q ≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p)
Otra posibilidad es:
ii) p ⇔ q ≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p)
≡ ((p ∨ q) ∧ q) ∨ ((p ∨ q) ∧ p)
≡ (p ∧ q) ∨ (q ∧ q) ∨ (p ∧ p) ∨ (q ∧ p)
≡ (p ∧ q) ∨ F ∨ F ∨ (p ∧ q)
≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)
es decir
p ⇔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)
2. Reducciń de ”y” a ”no” y ”o” En efecto
o
p∧q ≡p∧q ≡p∨q
es decir
p∧q ≡p∨q
3. Reducciń de ”⇔” a ”no” y ”o”: En efecto
o
p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡
≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p) ≡ (p ∨ q) ∨ (q ∨ p)
Nota Los conectivos ”y”, ”⇒”, ”⇔” pueden ser expresados a
partir de ”no” y ”o”, o bien a partir de ”no” e ”y”.
4. (Tarea.) Describa p ∨ q, p ⇒ q, p ⇔ q a partir de los conectivos
”no” e ”y”.

n Algebra

1.6 Demostraciones algebraicas
1. Demostremos que p ⇒ (p ∨ q) es una tautolog´ es decir es
ıa,
siempre verdadera.
Demostraciń.
o
(p ⇒ (p ∨ q)) ≡ (p ∨ (p ∨ q))
≡ ((p ∨ p) ∨ q)
≡ V ∨q
≡ V

2. Demostremos que (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q.
Demostraciń.
o
p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q ≡ (p ∧ (p ∨ q)) ∨ q
≡ (p ∨ (p ∨ q)) ∨ q
≡ (p ∨ q) ∨ (p ∨ q)
≡ V

ıproco): (p ⇒ q) ≡ (q ⇒ p).
3. Teorema (contrarec´
Demostraciń.
o
p⇒q ≡ p∨q
≡ q∨p
≡ q∨p
≡ q⇒p

Nota Esta ultima proposiciń es muy usada, es por esto que lleva el
´ o
nombre de teorema.
Observaciń. Recordemos el ejemplo:
o
p: est´ lloviendo
a
q: se est´ mojando el campo
a
Es equivalente decir:
”Si est´ lloviendo, entonces se est´ mojando el campo”
a a
y

Cap´
o ıa 21

”Si no se est´ mojando el campo, entonces no est´ lloviendo”
a a
Observe que el negar p no conduce a ninguna deducciń, pues
o
”si no est´ lloviendo”, puede ocurrir que ”se est´ mojando el campo”
a e
o bien, ”que no se est´ mojando el campo”
e
Ejercicios Resueltos

1. ((p ∨ q) ∧ q) ⇒ p
Soluciń.
o
((p ∨ q) ∧ q) ⇒p ≡ ((p ∨ q) ∧ q) ∨ p
≡ (p ∨ q) ∨ q ∨ p
≡ (p ∨ q) ∨ (p ∨ q)
≡ V

2. (p ⇒ (q ∧ q)) ⇒ p
Soluciń.
o
(p ⇒ (q ∧ q)) ⇒ p ≡ (p ⇒ F ) ⇒ p
≡ (p ∨ F ) ∨ p
≡ (p ∧ V ) ∨ p
≡ p∨p
≡ V

En palabras, si una proposiciń induce una contradicciń, en-
o o
tonces uno concluye que la proposiciń verdadera es la negaciń
o o
de la proposiciń inicial.
o
3. Ley de simplificaciń: p ∧ q ⇒ p.
o
Soluciń.
o
(p ∧ q) ⇒p ≡ p∧q∨p
≡ (p ∨ q) ∨ p
≡ (p ∨ p) ∨ q
≡ V ∨q
≡ V
Nota Si tenemos dos proposiciones verdaderas unidas por un
”y”, ¡obvio! que cada una de ellas es tambiń verdadera.
e

n Algebra

Se dice: ”en particular” cada una de ellas es verdadera.
Por Ejemplo:
”Ignacio tiene alguien que lo ama y Juan tiene alguien que lo
ama”, en particular Juan tiene alguien que lo ama.
Esto es lo que se llama un ”caso particular”.
4. Teorema de Reducciń al Absurdo.
o
p ⇒ q ≡ (p ∧ q) ⇒ p

Soluciń.
o
(p ∧ q) ⇒ p ≡ p∧q∨p
≡ (p ∨ q) ∨ p
≡ p∨q
≡ p⇒q
5. Primer Teorema de Demostraciń por casos.
o
((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q
es un tautolog´
ıa.
Soluciń.
o
((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q ≡ (p ⇒ q ∧ p ⇒ q) ∨ q
≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ∨ q
≡ (p ∧ p) ∨ q ∨ q
≡ F ∨q∨q
≡ q∨q
≡ V

6. Segundo Teorema de Reducciń al Absurdo.
o
p ⇒ q ≡ (p ∧ q) ⇒ q

Soluciń.
o
(p ∧ q) ⇒ q ≡ (p ∧ q) ∨ q
≡ (p ∨ q) ∨ q
≡ p∨q
≡ p⇒q

Cap´
o ıa 23

7. Segundo Teorema de Demostraciń por casos.
o
[(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ [(p ∨ q) ⇒ r]

Soluciń.
o
(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) ⇒ ((p ∨ q) ⇒ r) ≡
≡ p ⇒ r ∧ q ⇒ r ∨ ((p ∨ q) ⇒ r)
≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) ∨ ((p ∨ q) ∨ r)
≡ (p ∧ q) ∨ r ∨ (p ∨ q ∨ r)
≡ ((p ∨ q) ∨ r ∨ (p ∨ q ∨ r)
≡V
8. (p ⇒ q) ≡ ((p ∨ q) ⇔ q)
Soluciń.
o
((p ∨ q) ⇔ q) ≡ ((p ∨ q) ⇒ q) ∧ (q ⇒ p ∨ q))
≡ (p ∨ q ∨ q) ∧ (q ∨ p ∨ q)
≡ (p ∨ q ∨ q) ∧ V
≡ p∨q∨q
≡ (p ∧ q) ∨ q
≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ q)
≡ (p ∨ q) ∧ V
≡ p∨q
≡ (p ⇒ q)

1.7 M´todos de demostraciń
e o
Nota La mayor´ de los teoremas tienen una de las dos formas si-
ıa
guientes:

”p ⇒ q” o ”p ⇔ q”

La segunda de estas formas, realmente consiste en dos teoremas en uno
y es usualmente probado en dos partes. Se demuestra separadamente
”p ⇒ q” y ”q ⇒ p”.
El primer tipo de demostraciń que veremos es llamado:
o

n Algebra

1.7.1 Demostraciń directa de ”p ⇒ q”
o
En este caso se supone verdadero p y se trata de deducir la veracidad
de q.
No es necesario preocuparse cuando p es falso, pues en este caso la
implicaciń ”p ⇒ q” es siempre verdadera.
o
Ejemplo.
Teorema: Sea n un n´mero entero, entonces
u

n par ⇒ n2 par

Demostraciń directa: n par ⇒ n tiene la forma n = 2t, cierto t
o
n´mero entero ⇒ n2 = 4t2 = 2(2t2 ) = 2s, donde s = 2t2 es un n´mero
u u
2
entero ⇒ n es un n´mero par.
u

1.7.2 Demostraciń indirecta de ”p ⇒ q”
o
ıproco: q ⇒ p
Este m´todo consiste en demostar el contrarec´
e
Entonces suponemos la veracidad de q y se trata de deducir la veraci-
dad de p.
Ejemplo.
Teorema: Sea n un n´mero entero, entonces
u

n2 par ⇒ n par

Demostraciń indirecta: Por demostrar n impar ⇒ n2 impar.
o
En efecto n impar ⇒ n = 2k + 1, cierto k n´mero entero ⇒ n2 =
u
4k 2 + 4k + 1 ⇒ n2 = 2(2k 2 + 2k) + 1 = 2t + 1, donde t = 2k 2 + 2k el
cual es un n´mero entero ⇒ n2 impar.
u

1.7.3 Demostraciń por contradicciń de ”p ⇒ q”
o o
Este m´todo consiste en la reducciń al absurdo:
e o

Cap´
o ıa 25

”p y (no q)”

Suponemos la veracidad de ”p y (no q)” al mismo tiempo y buscamos
una contradicciń. Luego ”p∧q” es falso, luego p ∧ q ≡ p∨q ≡ (p ⇒ q)
o
es verdadero.
Ejemplo.
√
Proposiciń. n =
o 2 ⇒ n es un n´mero irracional.
u
Demostraciń por contradicciń: Recordemos que un n´mero
o o u
n
racional es un n´mero de la forma m , con n y m n´meros enteros
u u
y m = 0.
Un n´mero es irracional si y s´lo si no puede ser escrito como fracciń.
u o o
√ n
Supongamos que 2 = m est´ en su forma reducida
a
⇒ 2m2 = n2 ⇒ n2 par ⇒ n par ⇒ n = 2t, cierto t n´mero entero
u
⇒ 2m2 = 4t2 ⇒ m2 = 2t2 ⇒ m2 par ⇒ m par ⇒ m = 2s, cierto s
√ 2t
n´mero entero ⇒ 2 = 2s lo cual es una contradicciń, pues hab´
u o ıamos
√
supuesto que 2 estaba escrita en su forma reducida.
Llegamos a una contradicciń ¿Cu´l fue el error que cometimos?. El
√ o a
error fue suponer que 2 pod´ ser escrito como una fracciń.
ıa o
√
Conclusiń: 2 es un n´mero irracional.
o u

1. Demostremos que: ((p ∨ q) ∧ q) ⇒ p es siempre verdadera.
Soluciń.
o
((p ∨ q) ∧ q) ⇒ p ≡(1) (p ∨ q) ∧ q) ∨ p
≡(2) ((p ∨ q) ∨ q) ∨ p
≡(3) (p ∨ q) ∨ (p ∨ q)
≡(4) V

(1) r ⇒ t ≡ r ∨ t, (2) Leyes de Morgan, (3) doble negaciń y
o
asociatividad de ∨, (4) t ∨ t ≡ V .
O bien,
((p ∨ q) ∧ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (q ∧ q) ≡ (p ∧ q) ∨ F ≡ p ∧ q

n Algebra

Pero p ∧ q ⇒ p

2. Demostremos que: (p ∧ q) ∨ (p ∧ q) ≡ (p ⇔ q).
Soluciń.
o
(p ∧ q) ∨ (p ∧ q) ≡ p∧q∧p∧q
≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q)
≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q)
≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p)
≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
≡ p⇔q

3. Neguemos la proposiciń: p ⇔ q
o
Soluciń.
o
p⇔q ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)
≡ (p ∧ q) ∧ (p ∧ q)
≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q)
≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q)

4. Simplifiquemos la expresiń l´gica: (p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ∧ t.
o o
Soluciń.
o
(p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ∧ t ≡ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ q)) ∧ t
≡ ((p ∧ p) ∨ q) ∧ t
≡ (F ∨ q) ∧ t
≡ q∧t

5. Demostremos que: (p ∧ q ⇒ r) ⇔ ((r ⇒ p) ∧ (q ⇒ r)).
Soluciń. Comencemos con el primer lado de la equivalencia y
o
demostremos que es equivalente al segundo lado

(p ∧ q ⇒ r) ≡ (p ∧ q) ∨ r
≡ (p ∧ q) ∨ r
≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)
≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)
≡ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)
≡ (r ⇒ p) ∧ (q ⇒ r)

Cap´
o ıa 27

6. Demostremos que: ((p ∨ q) ⇒ (p ∧ q)) ≡ (p ⇔ q).
En palabras:
Soluciń. Comencemos por el lado izquierdo
o
((p ∨ q ⇒ (p ∧ q)) ≡ (p ∨ q) ∨ (p ∧ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q) ≡ p ⇔ q

7. La siguiente expresiń algebraica: (p ⇒ q ∧ q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)
o
escrib´mosla en funciń de los conectivos ”o” y ”no”.
a o
Soluciń.
o

((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ∨ (p ⇒ r)
≡ p⇒q∨q ⇒r∨p∨r
≡ p∨q∨q∨r∨p∨r

8. Exprese solamente con los conectivos ”o” y ”no”:

(p ⇔ q) ⇒ (p ∧ q)

Soluciń.
o

(p ⇔ q) ⇒ (p ∧ q) ≡ (p ⇔ q) ∨ (p ∧ q)
≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ∨ (p ∧ q)
≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p) ∨ (p ∧ q)
≡ p∨q∨p∨q∨p∨q
≡ p∨q∨p∨q

9. Demostremos que: (p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q).
Soluciń.
o

(p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ≡ ((p ∨ q) ∧ p) ∨ ((p ∨ q) ∧ q)
≡ (p ∧ p) ∨ (q ∧ p) ∨ (p ∧ q) ∨ (q ∧ q)
≡ F ∨ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q) ∨ F
≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)

10. Demostremos que: (((p ∧ q) ⇒ p) ∧ (p ⇒ (p ∧ q))) ⇔ (p ⇒ q).

n Algebra

Soluciń. Comencemos por el lado izquierdo
o

((p ∧ q) ⇒ p) ∧ (p ⇒ (p ∧ q)) ≡ (p ∧ q ∨ p) ∧ (p ∨ (p ∧ q))
≡ (p ∨ q ∨ p) ∧ (p ∨ p) ∧ (p ∨ q))
≡ (V ∨ q) ∧ V ∧ (p ∨ q)
≡ V ∧ V ∧ (p ∨ q) ≡ p ∨ q)
≡ (p ⇒ q)

11. Transitividad del ⇒: (p ⇒ q ∧ q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r).
Soluciń.
o
(p ⇒ q ∧ q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) ≡ (p ⇒ q ∧ q ⇒ r) ∨ (p ⇒ r)
≡ ((p ∨ q) ∧ (q ∨ r)) ∨ (p ∨ r)
≡ (p ∨ q) ∨ (q ∨ r) ∨ (p ∨ r)
≡ (p ∧ q) ∨ (q ∧ r) ∨ (p ∨ r)
≡ ((p ∧ q) ∨ p) ∨ ((q ∧ r) ∨ r)
≡ (V ∧ (p ∨ q)) ∨ ((q ∨ r) ∧ V )
≡ (p ∨ q) ∨ (q ∨ r)
≡ (q ∨ q) ∨ p ∨ r
≡ V ∨ (p ∨ r)
≡ V

12. Demostremos que (p ⇔ q ∧ q ⇔ r) ⇒ (p ⇔ r)
Soluciń.
o
(p ⇔ q ∧ q ⇔ r) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ∧ (q ⇒ r) ∧ (r ⇒ q)
≡ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ∧ ((r ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
⇒ ((p ⇒ r) ∧ (r ⇒ p))
≡ (p ⇔ r)

1.8 Circuitos L´gicos
o

1.8.1 Descripciń l´gica de circuitos
o o
A un interruptor P , le vamos a asociar la proposiciń l´gica p, de la
o o
manera siguiente:

Cap´
o ıa 29

p p
V Pasa la corriente
F NO pasa la corriente

Podemos interpretar la conjunciń como un circuito en serie y la
o
disyunciń l´gica como un circuito en paralelo, es decir tenemos:
o o

Dado un interruptor P , designamos por P otro interruptor por el cual
”pasa corriente si y s´lo si por P no pasa corriente”.
o
obviamente a P le asignamos la proposiciń p.
o
Ejercicios

1. Representemos en un circuito, la proposiciń l´gica p ∨ q ∨ r.
o o
Soluciń.
o

n Algebra

2. Representemos en un circuito, la proposiciń (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)
o
Soluciń.
o

Observaciń. Sabemos que
o

((p ∧ r) ∨ (q ∧ r)) ≡ ((p ∨ q) ∧ r)

Luego, son equivalentes los circuitos

Podemos concluir tambiń que hemos reducido el circuito.
e

Definiciń 1.8.1 Reducir un circuito, es sacar interruptores que
o
no son necesarios.

Observaciń. Nosotros sabemos que
o
p∨p≡V
esto significa que por el circuito

Cap´
o ıa 31

siempre pasa la corriente
Observaciń. Sabemos que
o

p∧p≡F

En lenguaje de circuito, significa que por el circuito

nunca pasa la corriente.

1. Simplifiquemos el siguiente circuito

Soluciń. Vamos resolvińdolo por partes, ¿te parece?
o e

i. Tomando la parte superior del circuito

n Algebra

en lenguaje algebraico tenemos

p ∨ (p ∧ q) ≡ p (ley de absorci´n)
o
ii. Tomando la parte inferior del circuito

en lenguaje algebraico tenemos

p ∨ (p ∧ q) ≡ (p ∨ p) ∧ (p ∨ q) ≡ V ∧ (p ∨ q) ≡ p ∨ q

Luego, el circuito queda

Cap´
o ıa 33

En forma de proposiciones l´gicas tenemos
o
p ∨ (p ∨ q) ≡ (p ∨ p) ∨ q ≡ p ∨ q
Luego, su simplificaciń m´xima es
o a

2. Reduzcamos el circuito

Soluciń. Comencemos por escribir su expresiń algebraica:
o o
(p ∧ q) ∨ r ∨ (p ∧ r) ∨ (r ∧ q) ≡ (p ∧ q) ∨ r ∨ (r ∧ (p ∨ q))
≡ (p ∧ q) ∨ r ∨ (r ∧ (p ∧ q))
≡ ((p ∧ q) ∨ r) ∨ (r ∨ (p ∧ q))
≡ V

Es decir, por este circuito siempre pasa corriente.
Luego, la reducciń queda
o

n Algebra

es decir, un cable sin interruptores. Es lo m´ximo en simplifi-
a
caciń.
o

3. Reduzcamos el circuito

Soluciń. Usando la ley de absorciń, lo reducimos al siguiente
o o
circuito:

Luego, lo reducimos a

Cap´
o ıa 35

Algebraicamente, tenemos

p ∨ ((r ∨ p) ∧ q) ≡ (p ∨ r ∨ p) ∧ (p ∨ q)
≡ (p ∨ r) ∧ (p ∨ q)
≡ p ∨ (r ∧ q)

Su reducci´n m´xima es:
o a

4. Estudiemos el siguiente circuito. Es decir, veamos si lo podemos
reducir, o si pasa siempre corriente, o nunca, o si depende de
alg´n interruptor.
u

n Algebra

Soluciń. El lado izquierdo del circuito es:
o

(p ∧ r) ∨ [[(q ∧ r) ∨ (r ∧ q)] ∧ p] ≡(1) (p ∧ r) ∨ [(r ∧ (q ∨ q)) ∧ p]
≡(2) (p ∧ r) ∨ ((r ∧ V ) ∧ p)
≡ (p ∧ r) ∨ (r ∧ p)
≡(3) p ∧ (r ∨ r)
≡(4) p∧V
≡(2) p

Luego, el circuito queda

Luego, por el circuito NUNCA pasa corriente.

(1) Distribuciń mirada de derecha a izquierda, digamos “fac-
o
torizaciń”.
o
(2) : r ∧ V ≡ r
(3) Factorizaciń de p
o
(4) : r ∨ r ≡ V

5. Reduzcamos el circuito siguiente:

Cap´
o ıa 37

Soluciń. Comencemos por expresarlo algebraicamente
o

(p ∧ ((q ∨ r) ∨ (q ∧ r))) ∨ p ∨ t ≡ (p ∧ ((q ∨ r) ∨ (q ∨ r))) ∨ p ∨ t
≡ (p ∧ V ) ∨ p ∨ t
≡ p∨p∨t
≡ V ∨t
≡ V

Entonces, por este circuito SIEMPRE pasa corriente, es decir,
es equivalente a un circuito sin interruptor.

6. Estudiemos el circuito

Soluciń. Comencemos por escribir su expresiń algebraica
o o

((p ∧ q) ∨ ((p ∧ q) ∨ q))∧p ≡ (((p ∧ q) ∨ q) ∨ (p ∧ q)) ∧ p
≡ (q ∨ (p ∧ q)) ∧ p
≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ p ∧ q)
≡ (p ∧ q) ∨ F ≡ p ∧ q

Luego, el circuito queda reducido a

n Algebra

1.9 Teor´ de conjuntos
ıa
En esta secciń veremos s´lo algunas definiciones sobre conjuntos. El
o o
resto ser´ obtenido como consecuencia de lo estudiado en la secciń
a o
anterior.
Un conjunto es una colecciń de objetos los cuales serń llamados
o a
elementos.
Si a es un elemento de un conjunto A, decimos ”a pertenece a A” y
escribiremos a ∈ A. En caso contrario diremos que ”a no pertenece a
A ” y escribiremos ”a ∈ A”.
/

Definiciń 1.9.1 Diremos que dos conjuntos son iguales si tienen
o
los mismos elementos.

Ejemplo. {1, 1, 2, 2, 2} = {2, 1}

Definiciń 1.9.2 El conjunto al cual pertenecen todos los elementos
o
que estamos considerando ser´ llamado conjunto universal o con-
a
junto universo y lo denotaremos por U .

Nota Es absurdo pensar en un conjunto universal unico. Es una
´
paradoja pensar en ”el conjunto que contiene a todos los conjuntos”
Ejemplo. Si estamos trabajando solamente con n´meros naturales,
u
entonces, en este caso U = IN
Observaciń. Consideremos las oraciones:
o
√
(i) 2 = n; (ii) x = y + z; (iii) x = y 2 + z 2 ; (iv) x2 = −1
Estas oraciones al ser consideradas dentro de un conjunto, adquieren
un valor de verdad que puede ser verdadero o falso. Estas oraciones
serń llamadas predicados.
a
Por ejemplo si pensamos que U = IN, el predicado (iii) a veces es
verdadero y a veces es falso. (13 = 22 + 32 , 5 = 12 + 22 ), sin embargo
el 3 no puede ser escrito como suma de dos cuadrados.
El predicado (iv) es falso para todo n´mero real. Sin embargo es ver-
u
dadero si x ∈ C y x = i o x = −i

Cap´
o ıa 39

Definiciń 1.9.3 Un predicado es una oraciń que contiene una o
o o
m´s variables, las cuales se transforman en proposiciones cuando son
a
reemplazadas por objetos del conjunto A considerado.

Nota Cuando un conjunto tiene una cantidad infinita o una gran
cantidad de elementos es descrito con el uso de un predicado.
Ejemplo. A = {x ∈ IR; x = y 2 + z 2 }; B = {n ∈ Z −1 ≤ n < 50};
Z;
C = {a ∈ Z; a2 > 1}
Nota Ser´ conveniente dar una notaciń para aquel conjunto que no
a o
tiene elementos.

Definiciń 1.9.4 Llamaremos conjunto vac´ denotado ∅, al con-
o ıo,
junto que no tiene elementos.

Ejemplo. Este conjunto puede ser descrito de diferentes maneras, por
ejemplo:
√
1. {n ∈ N ; n + 2 = 0} = ∅; 3. {r ∈ Q; r = 2} = ∅
2. {n ∈ Z 2n = 1} = ∅;
Z; 4. {x ∈ IR; x2 = −1} = ∅

Definiciń 1.9.5 Dado un conjunto A se define el cardinal de A
o
como el n´mero de elementos de A. Lo denotaremos por |A| o bien
u
por #A.

1.9.1 Cuantificadores
Observaciń. Sea U = Z Consideremos los siguientes predicados:
o Z.

(i) x = y + z; (ii) x = y 2 + z 2

Cada vez que nos damos x ∈ Z existe y, z ∈ Z tal que x = y + z.
Z, Z
Sin embargo no es verdadero que ”cada vez que nos damos x ∈ Z Z”,
2 2
”exista y, z ∈ Z tal que x = y + z ”. Por ejemplo, para x = 6, no
Z
existe y, z ∈ Z tal que 6 = y 2 + z 2 , es decir el 6 no se puede escribir
Z
como suma de dos cuadrados.

n Algebra

Nota Queremos medir, cuantificar, la cantidad de elementos de un
conjunto que hacen verdadero o falso un predicado.
Vamos a considerar tres casos: (1) Todo elemento, (2) Existe un ele-
mento o (3) Existe un unico elemento. El segundo caso, es en el sentido
´
de ”existe al menos un elemento”
Nota Cuando nos interese la cantidad exacta de elementos que sa-
tisfacen un predicado, hablaremos del ”cardinal del conjunto.”

Definiciń 1.9.6 Se definen los siguientes cuantificadores:
o

1. Para todo, denotado por ∀, una A hacia arriba, primera letra
de la palabra ”any” del ingl´s que significa para cada o para todo.
e

2. Existe, denotado por ∃, una E hacia la izquierda, primera letra
de la palabra inglesa ”exists” . There exists= existe

3. Existe un unico, denotado por ∃!
´

Ejemplo.

1. ∀n ∈ IN, n ≥ 0. Proposicion verdadera.

2. ∀n ∈ IN, n > 0. Proposicion falsa pues el 0 no la satisface.

3. ∃n ∈ IN, n > 0. Proposiciń verdadera.
o

4. ∃n ∈ IN, n > 7. Proposiciń verdadera.
o

5. ∃!n ∈ Z n + 5 = 8. Proposiciń verdadera.
Z, o

Ejercicio
Sea U = {personas}. Comparemos las siguientes proposiciones:

1. p : ∀y, ∃x; x ama a y.

2. q : ∃y, ∀x ; x ama a y.

3. r : ∀y, ∃x; y ama a x.

Cap´
o ıa 41

4. s : ∃y, ∀x; y ama a x.

En lenguaje de la vida diaria, tenemos

1. p: Toda persona es por alguien amada.

2. q: Existe una persona que es por todos amada.

3. r: Toda persona tiene a alguien a quien ama.

4. s: Existe una persona que nos ama a todos

1.9.2 Negaciń de los cuantificadores
o
La negaciń de la proposiciń: ∀x; p(x) es ∃x; p(x).
o o
La negaciń de la proposiciń: ∃x; p(x) es ∀x; p(x)
o o
La negaciń de la proposiciń: ∃!x; p(x) es
o o

(∀x; p(x)) ∨ (∃x, y; p(x) ∧ p(y) ∧ x = y)

Ejemplo. Veamos la negaciń de las proposiciones anteriores:
o

1. p : ∃y, ∀x; x no ama a y.

2. q : ∀y, ∃x; x no ama a y.

3. r : ∃y, ∀x; y no ama a x.

4. s : ∀y, ∃x; y no ama a x.

En lenguaje de la vida diaria tenemos:

1. p: Existe una persona que no es por nadie amada.

2. q: Toda persona tiene alguien que no la ama.

3. r: Existe una persona que no ama a nadie.

n Algebra

4. s: Toda persona tiene a alguien a quien no ama.

Ejercicio
Neguemos las proposiciones siguientes:

1. p: ∃n, m, t ∈ IN tal que n = m2 + t2 .

2. q: ∀n ∈ Z ∃m, t ∈ Z tal que n = m + t.
Z, Z

3. r: ∃n ∈ IN, ∀m ∈ IN tal que n ≤ m.

4. s: ∀n ∈ IN, ∃m ∈ IN tal que n = m + 1

5. t: ∀n ∈ IN, ∃m ∈ IN tal que n + 1 = m

6. u: ∃!n ∈ Z tal que 3 + n = 5
Z

7. v: ∃!x ∈ IR tal que x2 = 4

Sus negaciones son las siguientes:

1. p: ∀n, m, t ∈ IN, n = m2 + t2 .

2. q: ∃n ∈ Z ∀m, t ∈ Z tal que n = m + t
Z, Z

3. r: ∀n ∈ IN, ∃m ∈ IN tal que n > m

4. s: ∃n ∈ IN, ∀m ∈ IN tal que n = m + 1

5. t: ∃n ∈ IN, ∀m ∈ IN tal que n + 1 = m

6. u:(∀n ∈ Z 3+n = 5)∨(∃n, m ∈ Z 3+n = 5, 3+m = 5∧n = m)
Z; Z;

7. v:(∀x ∈ IR; x2 = 4) ∨ (∃x, y ∈ IR; x2 = 4, y 2 = 4 ∧ x = y)

En lenguaje cotidiano las proposiciones son:

1. p: Existen tres n´meros naturales tales que uno de ellos es la
u
suma de los cuadrados de los otros dos.

Cap´
o ıa 43

2. q: Todo n´mero entero puede ser escrito como suma de otros dos
u
n´meros enteros.
u

3. r: Existe un n´mero natural que es menor o igual a todo n´mero
u u
natural.

4. s: Todo n´mero natural es el sucesor de otro n´mero natural.
u u

5. t: Todo n´mero natural tiene un sucesor.
u

6. u: Existe un unico n´mero entero que satisface la ecuaciń 3 +
´ u o
n = 5.

7. v: Existe un unico n´mero real cuyo cuadrado es 4.
´ u

En lenguaje cotidiano la negaciń de las proposiciones es:
o

1. p: Cada vez que tengo tres n´meros naturales, uno de ellos no
u
es la suma de los cuadrados de los otros dos.

2. q: Existe un n´mero entero que no puede ser escrito como suma
u
de dos enteros.

3. r: Para todo n´mero natural, existe un n´mero natural menor
u u
que ´l.
e

4. s: Existe un n´mero natural que no es sucesor de ningń n´mero
u u u
natural.

5. t: Existe un n´mero natural que no tiene sucesor.
u

6. u: Al sumarle tres a cualquier n´mero entero se obtiene siempre
u
un n´mero diferente de cinco o bien existen dos n´meros enteros
u u
diferentes tal que al sumar tres a cada uno de ellos, se obtiene
cinco como resultado.

7. v: El cuadrado de todo n´mero real es diferente de cuatro o bien
u
existen dos n´meros reales distintos cuyo cuadrado es cuatro.
u

n Algebra

1.9.3 Ejemplos y contraejemplos
Nota Para demostrar la proposiciń ∀x; p(x), es necesario dar un ar-
o
gumento que demuestre la veracidad de p(x), cualquiera sea el valor
de x.
Si uno da varios ejemplos, incluso podr´ ser infinitos ejemplos, esto
ıan
NO es una demostraciń de la proposiciń. Es decir puede haber un
o o
n´mero infinito de valores que satisfagan una proposiciń y sin em-
u o
bargo ser esta falsa.
Ejemplo. Sea p: ∀n ∈ IN; n2 ≥ 7. Vemos que hay infinitos n´meros
u
que la satisfacen, sin embargo es una proposiciń falsa ya que hay
o
n´meros naturales (por ejemplo el 2) cuyo cuadrado no es mayor o
u
igual 7.
Observaciń. Pensemos en la proposiciń siguiente: p: Todos los
o o
´rboles conservan sus hojas durante el invierno. ¿C´mo explicar que
a o
esta proposiciń es falsa? ¿Buscar toda una explicaciń biol´gica para
o o o
explicar la falsedad de esta proposiciń? Hay una solucń ¡trivial ! Du-
o o
rante el invierno llevar a esa persona que afirma ”p” y ponerla delante
de un ´lamo o ciruelo o cualquier ´rbol que halla perdido sus hojas.
a a
Esto basta para explicar la falsedad de ”p”. Diremos que el ´lamo o
a
el ciruelo son contraejemplos. La idea es trivial, pero a veces es dif´
ıcil
encontrar un contraejemplo.

Definiciń 1.9.7 Un contraejemplo de la proposiciń ∀x; p(x) es
o o
un valor de x que no cumple p(x)

Ejemplo. Demostremos que es falsa la proposiciń:
o

∀x ∈ IR; x2 − 2x + 5 ≤ 0

Basta considerar el contraejemplo x = 0, pues 02 − 2 · 0 + 5 > 0

1.9.4 Operaciones entre conjuntos
Definiciń 1.9.8 Si S y T son conjuntos, diremos que S es un sub-
o
conjunto de T y escribiremos S ⊂ T o S ⊆ T si todo elemento que

Cap´
o ıa 45

pertenece a S, pertenece tambiń a T , es decir
e

x∈S ⇒x∈T

Ejemplo. Sea S = {n´meros pares}, T = Z Tenemos S ⊂ Z
u Z. Z

Proposiciń 1.9.1 Si S ⊂ T y T ⊂ S entonces S = T
o

Demostraciń. x ∈ S ⇒ x ∈ T y x ∈ T ⇒ x ∈ S. Luego x ∈ S ⇔
o
x ∈ T . Luego S = T

Proposiciń 1.9.2 El conjunto vac´ es subconjunto de todo con-
o ıo
junto. Es decir
∅ ⊂ S, ∀S conjunto

Demostraciń. En efecto, supongamos que existe un x ∈ ∅. Esta
o
proposiciń es falsa luego la implicaciń es verdadera, es decir, x ∈ S,
o o
cualquiera sea S

Proposiciń 1.9.3 El conjunto vac´ es unico.
o ıo ´

Demostraciń. Supongamos que existen ∅ y ∅′ dos conjuntos vac´
o ıos.
Tenemos: ∅ ⊂ ∅ y ∅ ⊂ ∅ y por la proposiciń anterior tenemos ∅ = ∅′ .
′ ′
o

Definiciń 1.9.9 Sea U el conjunto universal que estamos considerando.
o
Si A es un subconjunto de U , su complemento, denotado A, se define
por

A = {x ∈ U ; x ∈ A}
/

Ejemplo. Sea U = IN.

1. Sea A = {n ∈ IN; n es par}. Entonces A = {n ∈ IN; n es impar}.
2. Sea B = {n ∈ IN; n = 3m, m ∈ IN}. Entonces

B = {n ∈ IN; n = 3m + 1 o n = 3m + 2, m ∈ IN}

n Algebra

Observaciń. Se tiene que:
o
x∈A⇔x∈A
x ∈ A ⇔ no(x ∈ A) ⇔ x ∈ A

Proposiciń 1.9.4 Sean A y B conjuntos, entonces
o

1. A = A
2. A ⊂ B ⇒ B ⊂ A

Demostraciń 1. x ∈ A ⇔ x ∈ A ⇔ x ∈ A ⇔ x ∈ A
o
Demostraciń 2. x ∈ B ⇒ x ∈ B ⇒ x ∈ A ⇔ x ∈ A.
o

1.9.5 Uniń e intersecciń
o o
En U , consideremos A y B dos conjuntos. La uniń e intersecciń
o o
denotadas A ∪ B y A ∩ B respectivamente, estń definidas por:
a

A ∪ B = {x ∈ U ; x ∈ A ∨ x ∈ B}; A ∩ B = {x ∈ U ; x ∈ A ∧ x ∈ B}

Ejemplo. Sea A = {a, b, c, d}, B = {a, d, e, f }. Entonces

A ∪ B = {a, b, c, d, e, f }; A ∩ B = {a, d}

Proposiciń 1.9.5 Sean A, B conjuntos. Entonces
o
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Demostraciń. Es sencilla y se deja como ejercicio.
o
Nota Para el caso de tres conjuntos se tiene:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Nota Todas las propiedades de las proposiciones de l´gica se pueden
o
utilizar en la teor´ de conjuntos. A modo de ejercicio, veamos algunas
ıa
de ellas.

Cap´
o ıa 47

1. Idempotencia de ” ∪ ” y ” ∩ ”, es decir A ∪ A = A y A ∩ A = A.
Soluciń. x ∈ A ∪ A ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ A) ⇔ x ∈ A
o
x ∈ A ∩ A ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ A) ⇔ x ∈ A

2. Leyes de Morgan

(a) A ∩ B = A ∪ B
(b) A ∪ B = A ∩ B

Soluciń. x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ⇔
o
x∈A∨x∈B ⇔ x∈A∨x∈B ⇔ x∈A∪B
La segunda afirmaciń se demuestra de manera an´loga a la
o a
anterior.
Nota De esta manera se demuestran todas las propiedades
b´sicas de teor´ de conjunto.
a ıa

3. Usando las propiedades b´sicas, demostremos que
a

((A ∩ B) ∪ ((A ∩ B) ∪ B)) ∩ A = A ∩ B

Soluciń.
o
((A ∩ B) ∪ ((A ∩ B) ∪ B)) ∩ A) =
(A ∩ B ∩ A) ∪ (((A ∩ B) ∪ B) ∩ A) =
(A ∩ B) ∪ (((A ∩ B ∩ A) ∪ (B ∩ A)) =
(A ∩ B) ∪ (∅ ∪ (B ∩ A)) =
(A ∩ B) ∪ (A ∩ B) =
A∩B

4. En U simplifiquemos la expresiń: (A∩B)∪C ∪(A∩C)∪(C ∩B)
o
Soluciń.
o
(A ∩ B) ∪ C ∪ (A ∩ C) ∪ (C ∩ B) =
(A ∩ B) ∪ C ∪ (C ∩ (A ∪ B)) =
(A ∩ B) ∪ C ∪ (C ∩ (A ∩ B)) =
(A ∩ B) ∪ C ∪ (C ∪ (A ∩ B)) =
U

n Algebra

5. Demostremos que: (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
Soluciń.
o
(A ∪ B) ∩ (A ∪ B) = ((A ∪ B) ∩ A) ∪ ((A ∪ B) ∩ B)
= (A ∩ A) ∪ (B ∩ A) ∪ (A ∩ B) ∪ (B ∩ B)
= ∅ ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∪ ∅
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)

6. Demostremos que: A − (B ∪ C) = (A − B) − C
Soluciń. A − (B ∪ C) = A ∩ (B ∪ C) = A ∩ (B ∩ C) =
o
= (A ∩ B) ∩ C = (A − B) − C

7. Demostremos que: (A ∪ B) ∩ C) ∪ B = B ∩ C
Soluciń.
o

(A ∪ B) ∩ C) ∪ B = (A ∪ B) ∩ C) ∩ B
= ((A ∪ B) ∩ C) ∩ B
= ((A ∪ B) ∩ B) ∩ C
= B∩C

N´tese que en la ultima igualdad utilizamos la ley de absorciń.
o ´ o

8. Demostremos que: ((A − B) ∪ B) − A) ∩ (A ∪ B) = A
Soluciń. Comencemos por simplificar la primera expresiń.
o o
Tenemos:
(A − B) ∪ B = (A ∩ B) ∪ B = (A ∪ B) ∪ B = A ∪ (B ∪ B) =
A ∪ U = U.
Reemplacemos esta simplificaciń en la expresiń inicial. Ten-
o o
emos:
(U − A) ∩ (A ∪ B) = (U ∩ A) ∩ (A ∪ B) = A ∩ (A ∪ B) = A

1.9.6 Conjunto Potencia
Observaciń. Sea A = {a, b, c}. El conjunto formado por todos los
o
subconjuntos de A, denotado P (A), es el siguiente:

Cap´
o ıa 49

P (A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}

Ser´ llamado ”conjunto potencia de A”.
a

Definiciń 1.9.10 Sea A un conjunto cualquiera. Llamaremos con-
o
junto potencia de A, denotado P (A), al conjunto formado por todos
los subconjuntos de A.

Teorema 1.9.6 Sea A un conjunto finito, entonces

|P (A)| = 2|A|

Demostraciń. Sea A un conjunto y consideremos el conjunto B =
o
A ∪ {b} con b ∈ A. Comencemos por estudiar P (B). Tenemos la
/
situaciń siguiente: T ⊂ B y T ⊂ A ⇒ b ∈ T .
o
Luego T = S ∪ {b}, con S ⊂ A.
De donde

P (B) = {S; S ⊂ A} ∪ {S ∪ {b}; S ⊂ A}

Ambos conjuntos tienen el cardinal de P (A). Luego

|P (B)| = 2 · |P (A)|

Es decir cada vez que agregamos un elemento, se duplica el cardinal
de la potencia del conjunto anterior. Luego tenemos que si A posee n
elementos entonces |P (A)| = 2n .

Proposiciń 1.9.7 Si A ∩ B = ∅, entonces P (A) ∩ P (B) = {∅}.
o

Demostraciń. La proposiciń a demostrar es equivalente a de-
o o
mostrar:
P (A) ∩ P (B) = {∅} =⇒ A ∩ B = ∅

Sea P (A) ∩ P (B) = {∅}, entonces existe X = ∅, X ∈ P (A) ∩ P (B).
Luego X ⊂ A y X ⊂ B. Es decir X ⊂ A ∩ B. De donde A ∩ B = ∅

n Algebra

Observaciń. La definiciń de igualdad de conjuntos dice que ”dos
o o
conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos”. Ahora de-
mostraremos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos sub-
conjuntos. Es decir, si coinciden sus conjuntos potencia. Tenemos la
proposiciń siguiente:
o

Proposiciń 1.9.8 P (A) = P (B) ⇔ A = B
o

Demostraciń. A = B ⇒ P (A) = P (B) ¡Obvio!
o
Sea P (A) = P (B). Por demostrar A = B.
x ∈ A ⇒ {x} ⊂ A ⇒ {x} ∈ P (A) = P (B) ⇒ {x} ∈ P (B) ⇒
{x} ⊂ B ⇒ x ∈ B. Luego hemos demostrado que A ⊂ B. En forma
an´loga se demuestra que B ⊂ A.
a

Proposiciń 1.9.9 A ⊂ B ⇔ P (A ∪ B) ⊂ P (B)
o

Demostraciń. (i) Por demostrar: A ⊂ B ⇒ P (A ∪ B) ⊂ P (B).
o
X ∈ P (A ∪ B) ⇒ X ⊂ A ∪ B. Pero A ∪ B = B. Luego X ⊂ B. De
donde X ∈ P (B)
(ii) Por demostrar: P (A ∪ B) ⊂ P (B) ⇒ A ⊂ B.
x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B ⇒ {x} ⊂ A ∪ B ⇒ {x} ∈ P (A ∪ B) ⊆ P (B) ⇒
{x} ∈ P (B) ⇒ {x} ⊂ B ⇒ x ∈ B

1.9.7 Conjuntos num´ricos
e
1. IN = {0, 1, 2, ..., n, ...}. El conjunto de los n´meros naturales.
u

2. Z = {..., −n, ..., −2, −1, 0, 1, 2, ...n, ...}. El conjunto de los n´-
Z u
meros enteros.

3. Q = { p ; p, q ∈ Z q = 0} = {decimales peri´dicos}. El conjunto
q
Z, o
de los n´meros racionales.
u

4. IR = {n´meros reales}
u

Cap´
o ıa 51

5. IR+ = {x ∈ IR; x > 0}. El conjunto de los reales positivos.
6. IR− = {x ∈ IR; x < 0}. El conjunto de los reales negativos.
7. IR∗ = IR − {0}
8. I = IR − Q. El conjunto de los n´meros irracionales.
u

Se tiene:
IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR
Z

1.9.8 Diferencia sim´trica
e
Sean A y B dos conjuntos. Llamaremos diferencia sim´trica entre
e
A y B, denotado A △ B, al conjunto siguiente
A △ B = (A − B) ∪ (B − A)

Ejercicio. Demostremos que: A △ B = A △ C =⇒ B = C
Demostraci´n. Por demostrar
o
(A − B) ∪ (B − A) = (A − C) ∪ (C − A) =⇒ B = C
Consideremos las proposiciones siguientes:
p : x ∈ A; q : x ∈ B; r:x∈C
Entonces nosotros queremos demostrar la siguiente proposici´n:
o
(p ∧ q) ∨ (q ∧ p) ≡ (p ∧ r) ∨ (r ∧ p) ⇒ (q ⇔ r)
Hemos visto que:
(a ∧ b) ∨ (a ∧ b) ≡ (a ⇔ b)
Luego
(p ∧ q) ∨ (q ∧ p) ≡ (p ∧ r) ∨ (r ∧ p)
Es equivalente a
(p ⇔ q) ≡ (p ⇔ r)
Luego q ⇔ r. De donde q ⇔ r

n Algebra

1.10 Ejercicios Propuestos
1. (a) Traduzca a lenguaje ordinario las proposiciones siguientes:
i. (∀n ∈ IN)(∃m ∈ IN), m > n
ii. (∃m ∈ IN)(∀n ∈ IN), m > n
iii. (∀x, y ∈ Q)(∃z ∈ Q), x < z < y
iv. (n ∈ IN y m ∈ IN) ⇒ (n + m ∈ IN y n − m ∈ IN)
v. (∀n ∈ IN) n > 3 ⇒ n > 6
vi. (∀r ∈ Q)(∃m, n ∈ IN), r = m
n
vii. (∀x ∈ X)(∃A ∈ P (X)), x ∈ A
viii. (∀A ∈ P (X))(∃x ∈ X), x ∈ A
(b) Diga si ellas son verdaderas o falsas. Explique o pruebe si
corresponde.

2. Traduzca a lenguaje formal las proposiciones siguientes:

(a) La suma y el producto de dos n´meros racionales son
u
n´meros racionales.
u
(b) Todo n´mero real positivo posee una ra´ cuadrada.
u ız
(c) El cuadrado de todo n´mero real es positivo.
u
(d) Todo n´mero racional multiplicado por 1 es igual a ´l
u e
mismo.
(e) Un n´mero divisible por 10 es divisible por 5.
u
(f) Todo n´mero par es divisible por 4.
u
(g) El cuadrado de un n´mero par es divisible por 4.
u
(h) El producto de dos n´meros es positivo si y s´lo si ellos
u o
tienen el mismo signo.
(i) Un trińgulo es equil´tero si y s´lo si sus ńgulos son
a a o a
iguales.
(j) Un cuadril´tero es un cuadrado si y s´lo si todos sus ńgulos
a o a
son iguales.
(k) 2 y 3 son las unicas ra´ de la ecuaciń x2 − 6x + 5 = 0.
´ ıces o

Cap´
o ıa 53

(l) Para todos los n´meros reales x e y se tiene ya sea x es
u
menor o igual a y, o bien y es menor o igual a x.
(m) Existen dos conjuntos A y B tales que ni A est´ inclu´
a ıdo
en B, ni B est´ inclu´ en A.
a ıdo
¿Cu´les de estas proposiciones son ciertas?
a

3. Pruebe sirvińdose de las tablas de verdad las tautolog´ sigu-
e ıas
ientes:

(a) (p ⇒ q) ⇔ (¯ ⇒ p)
q ¯
(b) (p ∧ q) ⇔ (¯ ∨ q )
p ¯
(c) (p ∧ q) ⇔ (¯ ∨ q )
p ¯
(d) (p ⇒ q) ⇔ (¯ ∨ q)
p
(e) ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r).

Aplique estas tautolog´ para probar
ıas

(a) Si n2 es par entonces n es par.
(b) Sean A y B subconjuntos de un conjunto X. Pruebe que
¯
A ⊂ B ssi A ∪ B = X
(c) Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces A ⊂ C.

4. Sirvińdose de las reglas
e
((∃x)p(x)) ⇔ (∀x)(p(x))
((∀x)p(x)) ⇔ (∃x)(p(x))
Encuentre las negaciones de las proposiciones siguientes:

(a) Toda parte de un conjunto finito es finito
(b) El cuadrado de un n´mero par es divisible por 4
u
(c) Todo n´mero primo es impar
u
(d) Existe un hombre que no es mortal
(e) Para todo entero x existe un entero mayor que ´l
e

n Algebra

5. Dibuje los circuitos correspondientes a las expresiones simb´licas
o
siguientes:

(a) (P ∧ Q) ∨ P
(b) (P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q)
(c) (P ∧ Q) ∨ R ∨ (P ∧ Q ∧ R)

6. ¿ Qu´ tipo de circuito le corresponde a una tautolog´ ?, d´ un
e ıa e
ejemplo.

7. Sea A = {a, {a}, {a, {a}}}. Diga cu´les de las siguientes afirma-
a
ciones son verdaderas:
(a) a ⊆ A (b) a ∈ A (c) {a} ∈ A (d) {a} ⊆ A
(e) {{a}} ⊆ A (f) {{a}, a} ⊆ A (g) {{a}, a} ∈ A

8. Sea A = {a, ∅, {b}, {a}, {∅}, {a, ∅}}. Encuentre P (A).

9. ¿Puede dar un ejemplo en que P (A) = ∅?

10. Diga si es v´lido el siguiente argumento, utilizando diagrama de
a
Venn.
Todos los productos baratos son baratijas
Todas las baratijas se agotan
Todos los productos baratos se agotan.

11. Use un diagrama de Venn para obtener una conclusiń v´lida
o a
para el siguiente argumento.
Algunos comerciales de televisiń son inefectivos
o
Todos los comerciales de televisiń son cuidadosamente diseãdos
o n

Cap´
o ıa 55

12. Un hotel recibe 60 visitantes, de los cuales 37 permanecen al
menos una semana, 43 gastan al menos $ 30 diarios, 32 estń a
completamente satisfechos del servicio; 30 permanecieron al
menos una semana y gastaron al menos $ 30 diarios; 26 per-
manecieron al menos una semana y quedaron completamente
satisfechos; 27 gastaron al menos $ 30 diarios y quedaron com-
pletamente satisfechos y 24 permanecieron al menos una semana,
gastaron al menos $ 30 diarios y quedaron completamente satis-
fechos.

a) ¿Cuńtos visitantes permanecieron al menos una semana, gas-
a
taron al menos $ 30 diarios pero no quedaron completamente
satisfechos?
b) ¿Cuńtos visitantes quedaron completamente satisfechos pero
a
permanecieron menos de una semana y gastaron menos de $ 30
diarios?
c) ¿Cuńtos visitantes permanecieron menos de una semana, gas-
a
taron menos de $ 30 diarios y no quedaron completamente sa-
tisfechos?
13. Sean A, B subconjuntos de un conjunto X: Pruebe, usando un
diagrama de Venn que (A∩B c )∪(Ac ∩B) = A∪B ⇐⇒ A∩B = φ

14. Demuestre que
(a) A ∩ B = ∅ ⇒ P (A) ∩ P (B) = {∅}
(b) Ac B c = BA
15. Demuestre que
(a) A ∪ B = ∅ ⇒ A = ∅ ∧ B = ∅
(b) A ∩ (A ∪ B) = A
16. ¿Para cu´les S ∈ {IN, Z Q, IR, C} son verdaderas las siguientes
a Z,
afirmaciones?
(a) {x ∈ S/x2 = 5} = ∅

n Algebra

(b) {x ∈ S/ | x − 1 |≤ 1 } = {1}
2
(c) {x ∈ IR | x2 = −1} = ∅

17. D´ un ejemplo de tres conjuntos A, B y C tales que ellos cum-
e
plan A ∩ B = ∅, B ∩ C = ∅, A ∩ C = ∅ pero A ∩ B ∩ C = ∅

18. Determine las posibles relaciones de inclusi´n entre A y B:
o
a) A = {0, 1, 2, 6}, B = { divisores de 30 }
b) A = X − (Y − T ), B = T
c) A = E − S, B = {x ∈ S; x ∈ E − S}
d) A = P (E − S) , B = P (E) − P (S)

19. Demuestre que

(a) (A ∪ (B ∩ C) ∪ (B ∩ C) ∪ C) = (A ∪ C) ∩ B
(b) A ∪ ((A − B) ∩ B) ∪ (A ∪ B) = A
(c) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) = A
(d) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C)
(e) A − (B − C) = (A − B) ∪ (A ∩ C)
(f) (A − B) − C = A − (B ∪ C)

20. Escriba como expresi´n l´gica las expresiones conjuntistas si-
o o
guiente:

(a) (A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C)
(b) A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A

21. Demuestre que:

(A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B)

22. Demuestre que:

(a) (A ∩ B) − C = (A − C) ∩ (B − C)

Cap´
o ıa 57

(b) (A − C) − (A − B) = A ∪ (B − C)
(c) A ∪ (B − C) = (A ∪ B) − (C − A)

23. Demuestre las identidades:

(a) X − (Y − X) = X
(b) X − (X − Y ) = X ∩ Y
(c) X − (Y ∪ Z) = (X − Y ) ∩ (X − Z)
(d) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪ B)
(e) P (A) ∪ P (B) = P (A ∪ B) ⇔ A ⊂ B o B⊂A

24. Resuelva en P (E) las ecuaciones:

a)X − A = ∅ b)X − (A ∩ X) = ∅
c)A − (X − A) = X d)A ∪ X = B
e)A ∩ X = B

Cap´
ıtulo 2

Sumatorias y Recurrencia

2.1 Sumatorias
Motivaci´n. Queremos encontrar el valor de sumas tales como:
o

13 + 23 + 33 + · + 5.0003

o bien
1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1)

Problema. Comencemos por algo sencillo. Busquemos el valor de la
suma de 1 a 50.
Gauss (1.777-1.855) a temprana edad, tuvo el chispazo genial siguiente:

1 + 2 + 3 + · · · + 48 + 49 + 50
50 + 49 + 48 + · · · + 3 + 2 + 1
Si sumamos hacia abajo tenemos 50 veces 51. Luego

2(1 + 2 + 3 · · · + 48 + 49 + 50) = 50 · 51

De donde
50 · 51
1 + 2 + 3 + · · · + 50 =
2

59

n Algebra

Problema. Ahora nos interesa la siguiente suma:

1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) + n

Donde n es un n´mero natural cualquiera. Hacemos el mismo c´lculo:
u a

1 + 2 + · · · + (n − 1) + n
n + (n − 1) + · · · + 2 + 1

Si sumamos en forma vertical tenemos n veces (n + 1). Pero hemos
sumado dos veces la suma pedida. Luego:

2(1 + 2 + · · · + (n − 1) + n) = (n + 1)n

De donde:
n(n + 1)
1 + 2 + · · · + (n − 1) + n =
2
Nota. Por un m´todo un poco m´s sofisticado, se puede encontrar
e a
el valor de la suma de los cuadrados, de los cubos y otros. Los dos
primeros los buscaremos al final de esta secciń.
o
Estos resultados son:
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + 32 + · · · + n2 =
6
(n(n + 1))2
13 + 23 + 33 + · · · + n3 =
4
Problema. Ahora trataremos de calcular sumas con n t´rminos que
e
tengan formas tales como:

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ···

1 · 3 + 3 · 5 + 5 · 7 + ···
1 · 11 + 2 · 12 + 3 · 13 + · · ·
1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + ···
Para esto ser´ necesario hacer uso del concepto y propiedades de
a
”sumatoria”

Cap´
ıtulo 2. Sumatorias y Recurrencia 61

Definiciń 2.1.1 Sumatoria es la suma de n terminos que estń
o a
constru´
ıdos con una cierta regla.

Observaciń. Ahora vamos a introducir una notaciń que es muy
o o
util. Comencemos por verlo en ejemplos.
´
n
12 + 22 + 32 + · · · + n2 = i2
i=1
n
13 + 23 + 33 + · · · + n3 = i3
i=1
n
Notaciń. a0 + a1 + a2 + · · · + an =
o ai
i=0

De la misma manera puede ser denotado como sigue:

n n
ak o bien al etc.
k=1 l=1

Ejercicio. Escribamos en forma de sumatoria, la suma de los n
primeros t´rminos de cada una de las expresiones siguientes:
e

1. 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ···
2. 1 · 11 + 2 · 12 + 3 · 13 + · · ·
3. 1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + ···
4. 1 · 3 + 2 · 5 + 3 · 7 + ···
5. 1 · 3 + 3 · 5 + 5 · 7 + ···
6. 9 + 11 + 13 + 15 + · · ·

Soluciń.
o

1. El t´rmino general es de la forma: k(k+1). Luego la suma pedida
e
tiene la forma n
k(k + 1)
k=1

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