1. Importante: Visita regularmente
http://www.dim.uchile.cl/~calculo.
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Semana 15 ı ´
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Ah´ encontrar´s las gu´ de ejercicios
ı a ıas
F´SICAS Y MATEMATICAS
I ´ F´SICAS Y MATEMATICAS
I ´ y problemas, adem´s de informaci´n
a o
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ıa a UNIVERSIDAD DE CHILE Ingenier´ acerca de cu´l ser´ la din´mica del curso.
ıa Matem´tica a
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Calculo Diferencial e Integral 08-2 Universidad de Chile
´ ´
Calculo Diferencial e Integral 08-2 Universidad de Chile
Problemas FE DE ERRATAS
P1. (a) Determine la funci´n e intervalo de convergencia asociada a la serie
o
∞
1. P´gina 4 : Dice ”una sucesi´n arbitraria que converge a 0”, deber´ decir
a o ıa
(−1)n x2n .
0 ”una sucesi´n arbitraria que converge a 1”
o
(b) Pruebe que arctan(x) =
∞
(−1)n 2n+1
2n+1 x en (−1, 1). x ıa Ê
2. P´gina 7 : Dice ” f (x) = loga (x), son continuas ∀¯ ∈ ∗ ” deber´ decir
a
Ê
+
0 ”f (x) = loga (x), con a > 0, a = 1, es continua ∀¯ ∈ ∗ .”
x +
(c) Deduzca una serie para calcular π.
x x a ¯ ¯ a
3. P´gina 25: Dice ”f ′ (¯) = exp′ (a ln(¯)) x = xa x = a¯a−1 ” deber´ decir ”
a ¯ x ıa
P2. Encuentre el desarrollo en serie potencias de las siguientes funciones y de- x x a ¯ ¯ a
f ′ (¯) = exp(a ln(¯)) x = xa x = a¯a−1 . ”
¯ x
termine radio e intervalo de convergencia.
1 4. P´gina 54: Dice ”
a cosec xdx = .... ” deber´ decir ”
ıa cosec xdx”.
(a) f (x) = x2 +x−2 . c.
x
(b) f (x) = (1−x)(1+2x) . du 1 un+1 du
5. P´gina 54: Dice ”
a un = + c ” deber´ decir ”
ıa un =
a a (n + 1)a a
1 un+1
+ c”.
a (n + 1)
6. P´gina 57-58: deber´ decir
a ıa
Ejemplos:
u = x → du = dx
a) xex dx
dv = ex dx → v = ex
= xex − ex dx = xex − ex + c.
1
u = ln x → du = ( x )dx
b) ln xdx
dv = dx → u =x
= x ln x − dx = x ln x − x + c.
1
u = ln x → du = x dx
c) In = xn ln xdx n+1
dv = xn dx → v = x
n+1
xn+1 ln x 1
= −( ) xn dx
n+1 n+1
xn+1 ln x xn+1
= − + c.
n+1 (n + 1)2
d ) In = xn ex dx; n ∈ Æ.
u = xn → du = nxn−1 dx
Consideramos .
dv = ex dx → v = ex
⇒ In = xn ex − n xn−1 ex dx,
12 1

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por lo tanto: In = xn ex − nIn−1 , para n ∈ Æ. Veamos, Problemas
I0 = ex dx = ex + c
o Ê
P1. Dada una funci´n continua y no nula g : [0, l0 ] → , pruebe que existe una
curva plana Γ de longitud l0 tal que su curvatura est´ dada por |g|.
a
s s s
y luego, Indicaci´n: Defina θ(s) =
o g(τ )dτ , x(s) = cos θ(τ )dτ , y(s) = sen θ(τ )dτ
0 0 0
y estudie r(s) = x(s)ˆ + y(s)ˆ
i j.
I0 = ex + c
I1 = xex − I0 P2. Sea Γ el grafo de una funci´n diferenciable f : [a, b] → . Determine una
o Ê
I2 = x2 ex − 2I1 f´rmula para la longitud de Γ. Suponiendo que f es dos veces diferenciable,
o
pruebe que la curvatura en el punto (x.f (x)) viene dada por
.
.
.
|f ′′ (x)|
In = xn ex − nIn n − 1. k(x) = .
|1 + f ′ (x)2 |3/2
7. P´gina 58: Dice ”3. Para x2 − a2 , usar x = a sec cυ o x = a cosh t.”
a ´
deber´ decir ”3. Para x2 − a2 , usar x = a sec υ ´ x = a cosh t.
ıa o
8. P´gina 105: Dice ”...que se obtiene por la notaci´n... ” deber´ decir ”...que
a o ıa
se obtiene por la rotaci´n...”
o
9. P´gina 111: Dice ”...una partici´n del intervalo [a, b]. En cada intervalo
a o
[xi−1 , x1 ], ” deber´ decir ”...una partici´n del intervalo [a, b]. En cada
ıa o
intervalo [xi−1 , xi ],”
10. P´gina 126: Agregar lo siguiente:
a
Respuesta:
2πs 2πs hs
σ(s) = a cos √ , a sin √ ,√ s ∈ [0, 2 4π 2 a2 + h2 ].
4π 2 a2 + h2 4π 2 a2 + h2 4π 2 a2 + h2
a Ê
11. P´gina 128: Dice ”...donde s : [0, L(Γ)] → ] representa la funci´n de o
longitud de arco. ” deber´ decir ”donde s : [a, b] → [0, L(Γ)] representa la
ıa
funci´n de longitud de arco.”
o
12. P´gina 131: deber´ decir
a ıa
ˆ h ˆ h
T (t) = (aθ(t) + k)/ a2 + ( )2 , N (t) = −ρ(t),
ˆ
2π 2π
ˆ h ˆ h dB h
B(t) = (ak − θ(t))/ a2 + ( )2 , (t) = ρ(t),
ˆ
2π 2π dt 2π h
a2 + ( 2π )2
h 2 h 2
τ (t) = (h/2π)/(a2 + ( ) ), k(t) = a/(a2 + ( ) ).
2π 2π
b b b
13. P´gina 137: Dice ” (i)
a f = l´
ım f ” deber´ decir ”(i)
ıa f =
−∞ x→∞ x ∞
b
l´
ım f ”.
x−→−∞ x
2 11

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´ Universidad de Chile
+∞
Problemas 14. P´gina 141: Dice ”...directamente que la integral
a
senx
dx es tambi´n
e
x2 1
P1. Una part´ ıcula se mueve describiendo una trayectoria Γ sobre el manto del +∞
|senx|
cono x2 +y 2 = z 2 , de forma tal que su altura z y el angulo θ en coordenadas
´ convergente.” deber´ decir ”...directamente que la integral
ıa dx
1 x2
ındricas cumplen la relaci´n z = e−θ , con θ ∈ [0, ∞[.
cil´ o es tambi´n convergente.”
e
(a) Encuentre una parametrizaci´n de Γ. Dibuje la curva.
o 15. P´gina 142: Dice ”
a
(b) Calcule el largo de Γ.
f (x) = (f (x) + |f |)(x) − |f |(x)
(c) Encuentre la parametrizaci´n natural de Γ.
o x x x
Ê
P2. Sea Γ la curva parametrizada por r : [0, π] → 2 con r(t) = (sin(t), ln(tan(t/2)).
⇒
a
f=
a
(f + |f |) −
a
|f |.
˙
Calcule r(t) y muestre que r(t) es regular salvo en t = π .
2
” deber´ decir ”
ıa
P3. Dados a, b, c > 0 tales que c2 = a2 + b2 , sea Γ la curva parametrizada por
Ê
r : [0, 2πc] → 3 con f (x) = (f (x) + |f |(x)) − |f |(x)
x x x
s s s ⇒ f= (f + |f |) − |f |.
r(s) = (a cos( ), a sin( ), b( )) a a a
c c c
Muestre que s es la longitud de arco sobre Γ. ”
16. P´gina 143: Agregar lo siguiente:
a
Ejemplo 7.5
∞ ∞
sin x
Consideremos f (x) = x , entonces f (x)dx converge, pero no as´
ı |f (x)|dx.
1 1
x k
17. P´gina 172: Dice ”
a 0 k≥1 kak tk−1 dt = k≥1 ak k x = ... ” deber´
k ıa
x k−1 xk
decir ” 0 k≥1 kak t dt = k≥1 ak k k = ... ”
10 3

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Ejercicios Ejercicios
x
1. Encuentre el recorrido de las funciones f (x) = ln (2 + exp(x)) y f (x) =
1. Sea f una funci´n tal que f (x) = (x−t)2 f (t)dt. Muestre que f ′′ (x) = 2f (x).
o
sin (x2 − 1)/(x2 + 1) . 0
2. Demuestre que la ecuaci´n x sin(x) = 2 posee infinitas soluciones. Haga un
o
programa para estimar una soluci´n positiva de esta ecuaci´n, con al menos
o o
6 decimales de precisi´n.
o
3. Demostrar que la ecuaci´n exp(x) cos(x) + 1 = 0 tiene infinitas ra´ reales.
o ıces
Indicaci´n: Considere intervalos de la forma [kπ, (k + 1)π] para aplicar el
o
teorema del valor intermedio.
4. Si h(x) = x3 − x2 + x demuestre que ∃x0 ∈ Ê tal que h(x0 ) = 10. Justifique.
n
5. Sea p(x) = k=0 ck xk un polinomio de grado n, tal que c0 cn < 0. Demostrar
Ê
que existe x0 ∈ tal que f (x0 ) = 0.
Problemas
P1. Sea f : [a, b] → Ê una funci´n continua en [a, b].
o
(a) Pruebe que existen x, x ∈ [a, b] tales que
f (x1 )+f (x2 )
f (x) ≤ 2 ≤ f (x) ∀x1 , x2 ∈ [a, b].
(b) Demuestre que dados x1 , x2 ∈ [a, b] cualesquiera existe β ∈ [a, b] tal
que
f (x1 ) + f (x2 )
f (β) =
2
P2. Definimos la funci´n en
o Ê
ex − e−x
tanh x = .
ex + e−x
(a) Verifique que tanh es continua en todo Ê, que tanh(0) = 0 y que
satisface −1 < tanh(x) < 1, ∀x ∈ . Ê
(b) Pruebe que si n → ∞ entonces tanh(n) → 1 y que tanh(−n) → −1.
(c) Usando el Teorema del Valor Intermedio demuestre que ∀y ∈ (−1, 1),
Ê
∃x ∈ tal que tanh(x) = y.
Indicaci´n: analice separadamente los casos y > 0, y = 0, y < 0.
o
(d) Demuestre que la ecuaci´n tanh(x) = cos(x) tiene infinitas soluciones
o
en .Ê
P3. Sea f : [a, b] → [a, b] una funci´n continua. Demuestre que existe x ∈ [a.b]
o
tal que f (x) = x (un tal punto se llama punto fijo para la funci´n f (·)).
o
Indicaci´n: Considere g(x) = f (x) − x.
o
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Ejercicios Problemas
1. Usando sumas de Riemann calcular los siguientes l´
ımites P1. Sean f, g : Ê → Ê que cumplen lo siguiente:
n n
(a) l´
ım n 1 √ 1 a) g(x) = xf (x) + 1 y l´ f (x) =
ım b) g(a + b) = g(a)g(b).
2. (c) l´
ım . x→0
n→∞ i=1 n +k
2
n→∞ n i=1 1+4k/n
1.
1
n √
(b) l´
ım √ k + n. (d) Calcular l´ n2
ım 1
+ 1
+ ··· + 1
.
n→∞ n n i=1 (n+1)3 (n+2)3 (n+n)3
n→∞ Demuestre que g ′ (x) = g(x).
Problemas
P2. Sea f : Ê
→ Ê
derivable tal que f ′ = af (x) ∀x ∈ Ê, con a constante.
Demostrar que f (x) = f (0)eax .
Indicaci´n: Considere g(x) = e−ax f (x).
o
P1. (a) Demuestre que:
1 1 1 1
2 1 1
P3. Sean fi funciones de Ê → Ê (derivables), donde i = 1, . . . , n. Sea Gn =
+ ≤ e−x dx ≤ 1+ f1 (f2 (· · · (fn (x)) · · · )). Demuestre que:
2 e1/4 e 0 2 e(1/4)
n
1
Indicaci´n: Considere la partici´n P = {0, 2 , 1}.
o o G′ (x) =
n fi′ (fi+1 (fi+2 (. . . (fn (x)) . . .)))
i=1
b
1
(b) Demuestre que x dx = ln(b) − ln(a), donde 0 < a < b.
a P4. Sea g : →Ê Ê dos veces derivable con g ′ (x) = 0 en todo Ê y fÊ: → Ê
Indicaci´n: Considere la partici´n xi = aq i , i = 0, 1, . . . , n.
o o definida por f (x) = cos(kg(x)). Muestre que
g ′′
f ′′ − f ′ + (kg ′ )2 f = 0.
g′
P5. Sea f derivable en x0 , calcular
f (x0 + αh) − f (x0 + βh)
l´
ım
h→0 h
donde α, β ∈ Ê.
P6. Sea f : Ê → Ê una funci´n tal que
o
|f (x) − f (y)| ≤ a(x − y)2 ∀x, y ∈ Ê
con a ≥ 0. Pruebe que f ′ : Ê → Ê existe y f ′(x) = 0 para todo x ∈ Ê.
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Problemas Ejercicios
′
P1. Sean f, g, h funciones tales que f (x) = g(x)+h(x)g (x). Usando la definici´n
o 1. Establezca f´rmulas de recurrencia para la expresi´n In , dada por
o o
de primitiva muestre que
In = xn sinh(2x).
f (x)eh(x) dx = eh(x) g(x) + c.
1
Ê Ê Ê Ê
P2. Sea f : → + derivable y g : → continua tales que f ′ (x)+g(x)f (x) =
2. Calcule la siguiente primitiva √
x2 − 1
.
0. Usando la definici´n de primitiva muestre que
o
1
3. √ .
g(x)dx = − ln f (x) + c x2 + 1
g(x)g ′ (x)
4. Calcule .
P3. Sea f : Ê → Ê+ derivable y tal que f (x)dx = f (x). 1 + g(x)2
f ′ (x) f ′ (x)
a) Muestre que f (x) = 1 y deduzca que f (x) dx = x + c. Problemas
x+c
b) Concluya que f (x) = e . x
P1. (a) Calcule dx.
(1 + x2 )(1 + x)
sin(x)
(b) Calcular .
1 + sin(x) + cos(x)
x
(c) Calcular arcsen .
1+x
7