1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
LOGO Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerza
Armada
Puerto Cabello-Edo Carabobo
PROCESO DE NACIMIENTO Y
MUERTE(MODELOS POISSON)
bachiller:
Mota Diana
Graterol Wilmary
Medina Yrina

2. Proceso De Poisson
También llamados procesos totalmente aleatorio,
modelan de forma adecuada la llegada de usuarios
a sistemas reales.
P(llegada de usuario en t)≠función de llegadas anteriores
Probabilidad de llegada en un intervalo directamente
proporcional a la longitud de este.
Probabilidad de mas de una llegada en un intervalo lo
suficientemente pequeño es despreciable.

3. Proceso De Poisson
La llegada en un intervalo es independiente de llegadas
pasadas o futuras .
Probabilidad de siguiente estado solo depende del estado
actual y no de la historia

4. Proceso De Poisson
Se pueden modelar muchos fenómenos como un proceso de
Poisson.
El número de sucesos en un intervalo de tiempo dado es una
variable aleatoria de distribución de Poisson donde es la
media de números de sucesos en este intervalo.
La cantidad de clientes que entran a una tienda.
El numero de coches que pasan por una autopista.

5. Proceso De Poisson
La llegada de personas a una fila de espera.
El número de llamadas que llegan a una central telefónica.
Partículas emitidas por un material radiactivo.

6. Proceso De Poisson
La función de masa de la distribución de Poisson es:
Donde:
k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la
función nos da la probabilidad de que el evento suceda
precisamente k veces).

7. Proceso De Poisson
λ es un parámetro positivo que representa el número de
veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un
intervalo dado.
Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4
veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de
que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos,
usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4
= 40.
e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

8. Proceso De Poisson
La distribución de Poisson se aplica a varios fenómenos
discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que
ocurren 0, 1, 2, 3,... veces durante un periodo definido de
tiempo o en un área determinada) cuando la probabilidad de
ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el
espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden ser
modelados por la distribución de Poisson incluyen:
El número de errores de ortografía que uno comete al escribir
una unica página.
número de llamadas telefónicas en una central telefónica por
minuto.

9. Proceso De Poisson
El número de animales muertos encontrados por unidad de
longitud de ruta.
El número de autos que pasan a través de un cierto punto en
una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante
un periodo definido de tiempo.

10. PROCESO DE NACIMIENTO
Y MUERTE
La distribución exponencial juega un papel fundamental
en la teoría de las colas ,Esta teoría es ahora una
herramienta de valor en negocios debido a que un gran
número de problemas pueden caracterizarse, como
problemas de congestión llegada-salida. Esta representa
la distribución de los tiempos entre llegadas y de servicio,
ya que esta suposición permite representar un sistema de
colas como una cadena de Markov de tiempo continuo.

11. PROCESO DE NACIMIENTO
Y MUERTE
 En esta sección consideraremos dos procesos
especiales. En el primer proceso, los clientes llegan y
nunca parten y en el segundo proceso los clientes se
retiran de un abasto inicial. En ambos casos los
procesos de llegada y retiro ocurren de manera
aleatoria. Las dos situaciones se denominan proceso
de nacimiento puro y proceso de muerte pura.

12. 15.3.1 MODELO DE NACIMIENTO PURO
Considere la situación de emitir actas de
nacimiento para bebes recién nacidos. Estas
actas se guardan normalmente en una oficina
central de Registro Civil. Hay razones para creer
que el nacimiento de bebes y, por ello, la emisión
de las actas correspondientes es un proceso
completamente aleatorio que se puede describir
por medio de una distribución de Poisson.
n − λt
(λ t ) e
pn (t ) = n = 0,1,2,3….(nacimiento puro)
n! Donde λ es la tasa de llegadas por unidad de
tiempo, con el número esperado de llegadas
durante t igual a λ t.

13. M PLO
EJE

14. Ejemplo 15.3-1
 Suponga que los nacimientos en un país están
separados en el tiempo, de acuerdo con una distribución
exponencial, presentándose un nacimiento cada 7
minutos en promedio.
 Como el tiempo promedio entre arribos (entre
nacimientos) es de 7 minutos, la tasa de nacimiento en
el país se calcula como:
24 x 60
λ= = 205.7 nacimientos / dia
7

15.  El numero de nacimientos en el país por año
esta dado por
 λt = 205.7 x 365 = 75080 nacimientos/año
 La probabilidad de ningún nacimiento en
cualquier día es
0 − 205.7 x1
(205.7 x1) e
po = ≈0
0!

16.  Suponga que nos interesa la probabilidad de
emitir 45 actas de nacimiento al final de un
periodo de 3 horas, si se pudieron emitir 35
actas en las primeras 2 horas.
 Observamos que debido a que los nacimientos
ocurren según un proceso de Poisson, la
probabilidad requeridas reduce a tener 45-35=10
nacimientos en una hora ( =3-2). Dado
λ=60/7=8.57 nacimientos/hora, obtenemos

17. RESULTADO
(8.57 x1)10 e −8.57 x1
p10 (19) = = 0.11172
10!

18. 15.3.2 MODELO DE MUERTE
PURA
 Considere la situación de almacenar N unidades
de artículo al inicio de la semana, para satisfacer
la demanda de los clientes durante la semana.
Si suponemos que la demanda se presenta a
una tasa de µ unidades por día y que el proceso
de demanda es completamente aleatorio, la
probabilidad asociada de tener n artículos en el
almacén después de un tiempo t, la da la
siguiente distribución truncada de Poisson:

19. − µt
( µt ) e
N −n
pn (t ) = n= 1,2 ……N
( N − n)!
N
p 0 (t ) = 1 − ∑ p n (t ) MUERTE PURA
n=1

20. EJEMPLO 15.3-2
 Al inicio de la semana, se almacenan 15 unidades de un
artículo de inventario para utilizarse durante la semana.
Solo se hacen retiros del almacenamiento durante los
primeros 6 días (la empresa esta cerrada los domingos)
y sigue una distribución de Poisson con la media de 3
unidades/día. Cuando el nivel de existencia llega a 5
unidades, se coloca un nuevo pedido de 15 unidades
para ser entregado al principio de la semana entrante.
Debido a la naturaleza del artículo, se desechan todas
las unidades que sobran al final de la semana

21.  Podemos analizar esta situación en varias
formas. Primero, reconocemos que la tasa de
calculo es µ = 3 unidades por día. Supóngase
que nos interesa determinar la probabilidad de
tener 5 unidades (el nivel de nuevo pedido) al
día t; es decir,

(3t )15−5 e −3t
 p5 (t ) = , t= 1,2,…,6
(15 − 5)!

22.  Como ejemplo ilustrativo de los cálculos, tenemos los siguientes resultados utilizando el
programa TORA µt=3,6,9…., y 18
 t (días) 1 2 3 4 5 6

µt 3 6 9 12 15 18
p5(t) 0.0008 0.0413 0.1186 0.1048 0.0486 0.015
Obsérvese que p5(t) representa la probabilidad de hacer un nuevo pedido el
día t. Esta probabilidad llega a su nivel máximo en t=3 y después disminuye
conforme transcurre la semana. Si nos interesa la probabilidad de hacer un
nuevo pedido para el día t, debemos determinar la probabilidad de tener
cinco unidades o menos el día t; esto es,
Pn<=5 (t) = p0(t)+p1(t)+…..+p5(t)

23. Usando TORA nuevamente obtenemos
t (días) 1 2 3 4 5 6
µt 3 6 9 12 15 18
pn<=5(t) 0.0011 0.0839 0.4126 0.7576 0.9301 0.9847

24.  Podemos advertir en la tabla que la probabilidad de hacer el pedido
para el día t aumente monótonamente con t.
 Otra información, que es importante al analizar la situación, es
determinar el número promedio de unidades de inventario que se
desecharan el fin de semana.
15
 = E{n t = 6 } ∑ np (6)
n =0
n
 Esto se hace calculando el número esperado de unidades para el
día 6; es decir,
 La tabla que sigue presenta un resumen de las operaciones dado
µt=18

25.  Esto se hace calculando el número esperado de unidades para el día 6; es decir,
 La tabla que sigue presenta un resumen de las operaciones dado µt=18
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
pn(6) 0.792 0.0655 0.0509 0.0368 0.0245 0.015 0.0083 0.0042 0.0018 0.0007 0.0002 0.0001

 Y pn(6) ~= 0 para n = 12,13,14 y 15. Por lo tanto, al calcular el promedio, obtenemos
 = 0.5537 unidad
 Esto indica que, en promedio, se desechará menos de una unidad al
término de cada semana.


26. tarea
 Pedidos de cerveza
 La cantidad de vasos de cerveza ordenada por
hora en la cantina de Dick sigue una distribución
de poisson, con un promedio de 30 cervezas
pedidas por hora

27.  1.- estime la probabilidad de que se pidan
exactamente 60 cervezas entre 10 y 12 de la
noche
 2.-encuntre la media y la desviación estándar de
la cantidad de cervezas pedidas entre las 9 pm y
la 1 am
 3.-determine la probabilidad de que el tiempo
entre dos pedidos consecutivos esta entre 1 y 3
minutos.
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