Este documento describe la distribución de Poisson. Explica que modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo si estos ocurren a una tasa promedio conocida de forma independiente. Luego detalla algunos usos comunes como modelar llegadas de clientes o llamadas telefónicas. Finalmente, provee ejemplos y condiciones para cuando se aplica esta distribución.

1. DISTRIBUCIÓN POISSON
POR: JUAN FERREIRA Y ANTONIO CABÁN

2. POISSON
• En la teoría de la probabilidad y en la estadística, la
distribución de Poisson es una distribución de
probabilidad discreta. Ella expresa, por ejemplo, la
probabilidad de que un correcto número de
eventos ocurran en un periodo de tiempo, si estos
ocurran con una tasa media conocida y si cada
evento es independiente del tiempo transcurrido
desde el último evento.

3. USOS
• La distribución de Poisson se utiliza en situaciones
donde los sucesos son impredecibles o de
ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe
el total de posibles resultados.
• Permite determinar la probabilidad de ocurrencia
de un suceso con resultado discreto.

4. USOS
• Es muy útil cuando la muestra o segmento n es
grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña.
• Se utiliza cuando la probabilidad del evento que
nos interesa se distribuye dentro de un segmento n
dado como por ejemplo distancia, área, volumen
o tiempo definido.

5. USOS
• La distribución fue descubierta por Siméon –Denis
Poisson (1781–1840) y publicada, conjuntamente
con su teoría de la probabilidad, en 1838.
• Es en muchos sentidos la versión de tiempo
continuo del proceso de Bernoulli.

6. ALGUNOS EJEMPLOS
• La llegada de un cliente al negocio durante una
hora.
• Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.
• Los defectos en manufactura de papel por cada
metro producido.

7. PROCESO DE LLEGADA
• Un proceso de llegada es una secuencia en
aumento de variables aleatorias, 0 < S1< S2 <<· ·
·, donde Si < Si + 1, es decir, una variable aleatoria X
tal que FX (0) = 0.
• En el proceso de Poisson, las llegadas se pueden
producir en cualquier momento, y la probabilidad
de una llegada en cualquier instante particular es
0.

8. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DEL
PROCESO POISSON
• Un proceso de Poisson es un ejemplo de un
proceso de llegada.
• Proporcionar los tiempos entre llegadas y la
descripciones más convenientes desde los tiempos
entre llegadas se definen como IID.

9. DEFINICIONES
Definición 2.1.
• Un proceso de renovación es un proceso de
llegada para los que la secuencia de los tiempos
entre llegadas es una secuencia de las variables
aleatorias IID.
Definición 2.2.
• Un proceso de Poisson es un proceso de
renovación en la que los intervalos entre llegadas
tienen una función de distribución exponencial, es
decir, para algunos λ > 0 reales, cada Xi tiene la
función densidad fx(x) = λ exp (- λ x) para x ≥ 0.

10. DEFINICIONES
• Lo que hace que el proceso de Poisson sea único
entre los procesos de renovación es la propiedad sin
memoria de la distribución exponencial.
Definición 2.3
• Variables aleatorias sin memoria : una variable
aleatoria X posee la propiedad sin memoria si Pr {X>
0} = 1, (es decir, X es una V. A. positiva) y, para cada
x ≥ 0 y t ≥ 0, Pr {X > t + x} Pr = {X> x} Pr {X> t}.

11. DEFINICIONES
Definición 2.4.
• Un proceso de conteo {N (t), t ≥ 0} tiene la
propiedad de incremento fijo si para todo t’> t >
0, N (t’) - N (t) tiene la misma función de distribución
que N (t’ - t).
Definición 2.5.
• Un proceso de conteo {N (t), t ≥ 0} tiene la
propiedad independiente de incremento si, para
cada entero k> 0, y cada k-veces 0 <t1 <t2 <· · ·
<tk, el k-veces de V. A. N (t1), N (t1, t2). . . , N (tk-1, tk)
de V.A. son estadísticamente independientes.

12. PROBABILIDAD DENSIDAD DE SN Y S1,.....
SN
• Recordemos que por un proceso de Poisson, Sn es
la suma de n IID de una V.A. , cada uno con la
función de densidad f (x) = λ exp (- λx), x ≥ 0.
• Recordamos también que la densidad de la suma
de dos V.A. independientes se pueden encontrar
por convolución de sus densidades, y por lo tanto
la densidad de S2 se puede encontrar por
convolución de f (x) con ella misma, S3 por
convolución de la densidad de S2 con f (x) , y así
sucesivamente. El resultado, para t ≥ 0, se llama la
densidad de Erlang.

13. FUNCION ERLANG
• Función densidad Erlang
• fSn (t) =
• Se utiliza la distribución Erlang para describir el
tiempo de espera hasta el suceso número k en un
proceso de Poisson.

14. EL PMF PARA N(T)
• El proceso de conteo de Poisson, {N (t), t> 0} se
compone de un número entero positivo de la V.
A. N (t) para cada t> 0. En esta sección, se muestra
que la PMF para esta V.A. es el conocido Poisson
PMF.
Teorema 2.3
• Para que un proceso de Poisson de tasa λ, y para
cualquier t> 0, el PMF para N (t) (es decir, el número
de llegadas (0, t]) está dada por la distribución
Poisson PMF, PN(t)(n)=

15. DEFINICIÓN ALTERNA DEL PROCESO
POISSON
Definición 2 del proceso de Poisson:
• Un proceso de conteo de Poisson {N
(t), t ≥ 0} es un proceso de recuento
que satisface PN(t)(n)= ( )
(es decir, tiene el PMF de Poisson) y
tiene las propiedades de incremento
independientes y estacionarios.

16. DEFINICIONES
• Hemos visto que las
propiedades en la Definición 2
se satisfacen a partir de la
definición 1 (IID con tiempos
entre llegadas
exponencial), por lo que la
definición 1 implica la
definición 2.

17. DEFINICIONES
• La definición siguiente de un proceso de Poisson se
basa en sus propiedades elementales. Considere el
número de llegadas en un intervalo muy pequeño
(t, t + δ). Dado que Ñ (t, t + δ) tiene la misma
distribución N(δ), utilizamos PN(t)(n)=
De aquí deducimos que:

18. DEFINICIONES

19. 3RA DEFINICIÓN DEL PROCESO DE
POISSON
• Un proceso de conteo de Poisson es un proceso de
recuento que satisfaga las ecuaciones anteriores y
tiene las propiedades de incremento fijo e
independiente.
• Hemos visto también que la definición 1 implica la
definición 3. La esencia del argumento de otra
forma es que para cualquier intervalo entre
llegadas X, FX (x + δ)-FX (x) es la probabilidad de una
llegada en un intervalo apropiado infinitesimal de
ancho δ, que por las ecuaciones anteriores es λδ +
o(δ). Al convertir esto en una ecuación diferencial
obtenemos los intervalos deseados entre llegadas
exponencial.

20. DEFINICIONES
• La definición 3 tiene un atractivo intuitivo, ya que se
basa en la idea de llegadas independientes
durante intervalos disjuntos arbitraria. Tiene el
inconveniente de que hay que hacer una
cantidad considerable de trabajo para asegurarse
de que estas condiciones sean coherentes entre
sí, y probablemente la forma más fácil es comenzar
con una definición y obtener estas propiedades.

21. LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON ES
EL LIMITE DE LA DE BERNOULLI.
• La definición 3 se puede lograr de una manera
menos abstracta, comenzando con el proceso de
Bernoulli.
• Cuando vamos a un límite adecuado de una
secuencia de estos procesos, encontramos que
esta secuencia de procesos de Bernoulli converge
en cierto sentido al proceso de Poisson.

22. TEOREMA
Teorema 2.4.
• Considere la secuencia de la contracción de los
procesos de Bernoulli con probabilidad de llegada
λ2-J y el tamaño de time-slot 2-j. A
continuación, para cada tiempo t > 0 y número fijo
de n llegadas, el recuento PMF PN3 (t) (n) se
aproxima a la PMF de Poisson (es la misma λ) es
decir, con el aumento de j.
• Este es:

23. COROLARIO
• Corolario 2.1
• Para cualquier entero finito k > 0, dejar 0 < t1 < t2 <
……< tk para cualquier conjunto en en cualquier
instante o tiempo. Entonces la funcion distribución
conjunta de Nj(t1), Nj(t2),……, Nj(tk), se aproxima a la
función de distribución conjunta de N(t1), N(t2),….
N(tk) para j → ∞.

24. APLICACIONES
• SE PUEDE UTILIZAR COMO UNA APROXIMACION DE
LA BINOMIAL BIN(n,p), SI EL NUMERO DE PRUEBAS N
ES GRANDE PERO LA PROBABILIDAD DE EXITO ES
PEQUENA:
• UNA REGLA USADA ES QUE LA APROXIMA-CION ES
BUENA SI n>= 20 y p <= 0.01.
• SE USA TAMBIEN CUANDO UN EVENTO O SUCESO
OCURRE ALEATORIAMENTE EN EL ESPACIO ON EL
TIEMPO.

25. APLICACIONES
• LA VARIABLE ASOCIADA ES EL NUMERO DE
OCURRENCIAS DEL EVENTO EN UN INTERVALO DE
TIEMPO O ESPACIO CONTINUO,POR LO TANTO
TOMA VALORES DE 0 EN
ADELANTE, (0,1,2,3,…….).
• ASI POR EJ. : EL NUMERO DE LLAMADAS AL
911, CLIENTES EN UN NEGOCIO;GLOBULOS
BLANCOS EN UN MM CUBICO DE SANGRE;

26. APLICACIONES
• DEFECTOS EN PRODUCTOS; SINIESTROS EN CIERTOS
SEGUROS DE VIDA; FUEGOS; ACCIDENTES;
RECURRENCIA DE TERREMOTOS REACCIONES
ADVERSAS POR MEDICAMENTOS FALLAS EN
EQUIPOS. ETC.
• EVENTO RARO SE CONCEPTUALIZA COMO AQUEL
EN QUE LA PROBABBILIDAD DE OBSERVAR K
EVENTOS DECRECE RAPIDAMENTE A MEDIDA QUE
K AUMENTA

27. APLICACIONES
• MUCHOS HECHOS OCURREN COMO :
• NUMERO DE ACCIDENTES / DIA
• NUMERO DE VEHICULOS QUE TRANSITAN POR UN
LUGAR DETERMINADO / HORA,MINUTO,INTERVALO
• NUMERO DE DEFECTOS/ CM^2
• NUMERO DE BACTERIAS / CM^3
• NUMERO DE PAGINAS VISITADAS EN LA WEB
/SEGUNDO, MINUTO, HORA .

28. CONDICIONES
• PARA QUE UNA VARIABLE SIGA UNA DISTRIBUCION
DE POISSON SE DEBEN CUMPLIR VARIAS
CONDICIONES:
• LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO ES UN NUMERO
MUY PEQUENO Y ES UNA CONSTANTE PARA CADA
UNIDAD DE TIEMPO POR EJ 1 SEG.
• A LA PROBABILIDAD DE QUE DOS EVENTOS O MAS
OCURRAN EN UN SEGUNDO SE LE PUEDA ASIGNAR
UN CERO.

29. CONDICIONES
• EL NUMERO DE EVENTOS EN DETERMINADO
INTERVALO DE TIEMPO ES INDEPENDIENTE DEL
TIEMPO TRANSCURRIDO Y NO HAY MEMORIA SOBRE
CUALESQUIERA EVENTOS DE LO QUE OCURRIO EN
CUALQUIER OTRO INTERVALO.

30. CONDICIONES
• Las condiciones experimentales
deben ser constantes a lo largo de
todo el intervalo
• Los resultados del experimento
deben ser independientes cuando se
refieren a intervalos disjuntos.
• La tasa media de aparición del
suceso, en cualquier intervalo de
longitud uno, es constante y se
representa por LAMBDA .

31. CONDICIONES
• La probabilidad de que el suceso ocurra una sola
vez en un intervalo de amplitud h
suficientemente pequeña, debe ser
aproximadamente (LAMBDA)  h. *
• La probabilidad de dos o mas ocurrencias del
suceso, en un intervalo suficientemente
pequeño, debe ser prácticamente cero.

32. PROPIEDADES
• 1. μ = E(X) = (LAMBDA).
• 2.  (SIGMA^2) = Var(X) = 
^2 (LAMBDA).
• 3. Sean X1 =P(LAMBDA 1) y X2 = P(LAMBDA 2) v.a.
independientes, entonces X1 + X2 = P(LAMBDA1 +
LAMBDA2).

33. ECUACION DE POISSON
• Pr(X = k) = e−(lambda) (
t^[
• (lambda) ^ k/k! ]
t)
• si k = 0, 1, 2, . .

34. CARROS EN UN PEAJE
• ESTE ES UN EJEMPLO CONCRETO DE APLICACION
PARA VER COMO SE PUEDE COMPARAR , SI ES
POSIBLE, UNA SITUACION TIPICA DE LA VIDA REAL
CON EL MODELO DE DISTRIBUCION DE POISSON.
SE OBSERVO QUE A TRAVES DE UN PEAJE CRUZABAN
EN UN MOMENTO DETERMINADO 2102 CARROS
POR HORA.

35. CARROS EN UN PEAJE
• SE SELECCIONARON 11 INTERVALOS DE TIEMPO
CON UNA DURACION DE 15 SEGUNDOS CADA UNO.
• SE CONSTRUYO UNA TABLA EN EXCEL PARA
LOGRAR UNA VISON COMPLETA Y CON GRAFICAS
DE TODO EL PROCESO.
• LA PREGUNTA ES:? SERA POSIBLE QUE EL TRAFICO
DE VEHICULOS SE COMPORTE COMO UN PROCESO
DE POISSON???

36. BIBLIOGRAFIA
• DISCRETE STOCHASTIC
PROCESSES, R.G.GALLAGER,2010,CHAP2.
• MICROSOFT, EXCEL, 2010.
• http://search.conduit.com/Results. q= Poisson
distribucion . DISTRIBUCIONES MAS USUALES.
• http://dxsp.sergas.es/ApliEdatos/Epidat/Ayuda/4-
Ayuda.pdf
• http://www.matematicasypoesia.com.es
/Estadist/ManualCPE00.htm