Apuntes estadistica p3

____________________Introducción a los métodos estadísticos, numéricos y probabilísticos

PROCESOS ESTOCÁSTICOS

¿Para qué?
Para conocer el desarrollo futuro de procesos que se desarrollan a lo
largo del tiempo, para predecir el comportamiento de fenómenos
físicos, económicos, atmosféricos. Para conocer la evolución de los
que en estadística se conocen como sucesos raros.

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Teodoro Rodriguez

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Rodriguez,
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Rodriguez
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Date: 2002.08.25
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Procesos Estocásticos
Introducción:

Siempre que estudiamos el comportamiento de una variable aleatoria a lo largo del
tiempo, estamos ante un proceso estocástico.

En general, trabajamos con procesos estocásticos en cualquier caso en que
intentamos ajustar un modelo teórico que nos permita hacer predicciones sobre el
comportamiento futuro de un proceso.

Un ejemplo particularmente importante lo proporcionan las denominadas "Series de
Tiempo" o "Series Temporales", que registran observaciones de determinado proceso
en función del tiempo. Podemos definir, pues, un proceso estocástico como una
familia {X (t ), t ∈ T } de variables aleatorias, clasificadas mediante un parámetro t,
que varía en un conjunto T.

Cada una de las variables aleatorias X(t) puede depender explícitamente del tiempo t
o no; en este segundo caso, el proceso estocástico se denomina ESTACIONARIO.
Si el estado en que se encuentra un proceso estocástico depende sólo del estado
anterior, pero no de los anteriores a éste, estaremos ante un proceso de Markov.
Cuando t toma valores discretos, diremos que el proceso estocástico es de parámetro
discreto y cuando toma valores continuos, diremos que el proceso estocástico es de
parámetro continuo.

Proceso de Poisson

Sea un sistema en el que se observa el número de veces que ocurre el suceso A, que
se repite de forma aleatoria e independientemente del tiempo.
Denominaremos N(t) a la variable aleatoria que indica el número de veces que el
suceso A, se repite en un intervalo arbitrario de tiempo t.
-Diremos que el proceso está en un estado En en el instante t>0, si el suceso A
ha ocurrido exactamente n veces en el tiempo t .
-Denotaremos como Pn (t ) = P[N (t ) = n] a la probabilidad de que el suceso A
ocurra n veces en el tiempo t.
-Es decir, Pn(t) describe la probabilidad de que el sistema, en el estado Ej en
el momento h, evolucione hacia el estado Ej+n en el instante h+t.

114


Intentamos encontrar Pn(t) cuando t varía, bajo las siguientes condiciones:
i)Pn(t) es independiente del origen de tiempos, es decir, es igual en el
lapso (h,h+t) que en el lapso (k,k+t) ∀h,k.

ii)Hipótesis de regularidad Para todo incremento de tiempo
suficientemente pequeño ∆t, se cumple que:
P (∆t ) = λt + Q(∆t )
es decir, la probabilidad de que el suceso A ocurra en un intervalo ∆t,
pequeño, es proporcional a dicho intervalo salvo infinitésimos.

iii)P0(0)=1 La probabilidad de que el suceso A ocurra cero veces en
un intervalo de tiempo 0 , es 1.
Pn(0)=0 ∀n≠0 La probabilidad de que el suceso A ocurra n veces
en el intervalo de tiempo 0 es 0 ∀n.
Estas dos condiciones, se denominan condiciones iniciales.

Así las cosas, un sistema que se encuentra en el estado En, puede evolucionar en un
lapso de tiempo ∆t, según dos alternativas:
1-Puede permanecer en el estado En con probabilidad 1-λ∆t
2-Puede evolucionar hacia el estado En+1 con probabilidad λ∆t

Cálculo de Pn(t)
No lo detallamos por incluir el cálculo de una ecuación diferencial; admitiremos
simplemente que el resultado de resolver la misma, es:
(λt ) n − λt
Pn (t ) = e
n!
la distribución de probabilidad encontrada es una distribución de Poisson de
parámetro λt y es por ello, que el proceso estocástico que describimos, se denomina
Proceso de Poisson.

Distribución del tiempo de espera en el proceso de Poisson

En numerosos problemas resulta necesario conocer la distribución de los tiempos
transcurridos entre dos apariciones u ocurrencias sucesivas del suceso A.
Este tiempo constituye en si mismo una variable aleatoria, que denominamos
Tiempo de Espera.

-Supongamos, para centrar el caso, que el suceso A es una llamada telefónica
y que transcurre un tiempo τ hasta producirse una nueva llamada.

115


-Lo que pretendemos es obtener la función de densidad de la variable ξ=τ.
f (τ )dτ = P[τ < ξ < τ + dτ ] = P (τ ).P(dτ )
0 1
luego
(λτ )0 −λτ
f (τ )dτ = e .λdτ
0!
por lo que la función de densidad, quedará como:
f (τ ) = λe − λτ
-La variable τ , que es una variable continua, tendrá como esperanza
matemática
τ

∫
E (τ ) = λe − λτ dτ
0
que integrando por partes, ofrece el resultado:
1
E (τ ) =
λ
que denominamos tiempo medio de espera en el Proceso de Poisson.

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SIMÉON-DENIS POISSON
Se ocupó de la teoría de la probabilidad y el análisis
complejo. Aplicó las matemáticas al
electromagnetismo. La ley de Poisson relaciona las
presiones y los volúmenes en la compresión
adiabática.
Nació en 1781 en Pithiviers. Inicialmente su
formación se orientó hacia la cirugía, pero Poisson se
dio cuenta de que no poseía condiciones para esta
profesión que, por otro lado, tampoco le gustaba
demasiado. Estudió en la École Polytechnique de
París, donde uno de sus profesores, Lagrange, se da
cuenta de la enorme creatividad matemática que el
joven estudiante posee. En 1800 entra a formar parte del equipo docente de la École.

Su contribución al estudio de la teoría de probabilidades se fundamenta en los
resultados de Laplace. En 1838, desarrolló una fórmula para calcular la probabilidad
de ocurrencia de sucesos cuando ésta es muy pequeña, que tiene gran aplicación en la
práctica. A partir de esta fórmula obtuvo una distribución que lleva su nombre, y que,
como más tarde se demostraría, es un caso especial de la distribución binomial o
distribución de Bernoulli.
Poisson estudió también el área de las matemáticas puras, siendo significativo su
estudio de lo que en la actualidad se conoce como integración de contornos. Fue el
primer matemático que interpretó funciones complejas a lo largo de contornos en el
plano complejo. Con sus trabajos en esta materia contribuyó, en gran medida, al
desarrollo del análisis complejo.

Además, Poisson es célebre por sus estudios en el campo de la física matemática,
donde formuló una ley, conocida como relación o ley de Poisson, sobre la teoría del
calor y la elasticidad.
En 1812, Poisson y George Green extendieron la teoría matemática de la
gravitación a la electricidad y al magnetismo, y finalizaron también una ecuación
diferencial de Laplace, convirtiendo así la electrostática en una ciencia moderna.
Además, por el consejo de Laplace, Poisson utilizó los resultados que había obtenido
para demostrar la fórmula de la fuerza en la superficie de un conductor cargado. De
esta forma, consiguió solucionar el problema de la distribución de la carga en dos
conductores esféricos separados por una distancia conocida. Fue el primer científico
que resolvió esta cuestión. Más tarde, los estudios de Coulomb darían la misma
solución que había obtenido Poisson.

117

En 1824, Poisson publica una memoria en la que describe la teoría de "los dos
fluidos" de la electricidad con objeto de dar una explicación al magnetismo,
formulando el potencial magnético en cualquier punto como la suma de las integrales
del volumen y la superficie de contribuciones magnéticas.

Poisson muere en 1840, siendo miembro de la Academia de Ciencias de París.

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CADENAS DE MARKOV

¿Para qué?

Para conocer el desarrollo de procesos y procedimientos que tienen
lugar siguiendo una programación probabilística.

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Cadenas de Markov
Situación característica

Supongamos que durante los cinco días laborables de la semana, una persona reparte
su tiempo libre entre dos ocupaciones; bien sale a pescar, bien trabaja en el jardín.
Nunca pasea dos días seguidos pero si un día trabaja en el jardín, es igualmente
probable que realice cualquiera de las dos ocupaciones al día siguiente.

-Como observamos, se trata de una situación en la que el resultado de la
prueba, la ocupación del tiempo libre de un determinado día, depende
exclusivamente de la tarea del día anterior.

Definiciones

Proceso estocástico. Es aquel que consiste en la iteración finita de un
experimento, que tiene como resultado un número finito de sucesos con
probabilidades dadas.

Espacio de estados. Es el conjunto de resultados o sucesos posibles de cada
uno de los experimentos asociados a un proceso estocástico.

Cadena finita de Markov

Es un experimento estocástico como el del ejemplo o situación característica, en el
que se verifica que el resultado de determinada prueba o experimento, depende como
mucho de la prueba anterior, pero en ningún caso de las anteriores a ésta.

Para cada cadena de Markov tendremos:

a) Un espacio de estados
b) Para cada dos estados ai y aj , la denominada probabilidad de
transición del estado i al estado j, que denotaremos como pij y que
designa la probabilidad de que el estado j suceda al i.
c) La matriz de transición del proceso, donde se ordenan todas las
probabilidades de transición

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 p11 . . p1n 
 . . . . 
P = . 
 . . . . 
 
 pn1 . . pnn 
n

∑P j =1
ij = 1; ∀i

pij ≥ 0; ∀ij
Así pues, la matriz de transición es una matriz estocástica.
d) El vector formado por las probabilidades del estado inicial del
sistema, denominado “vector de probabilidad inicial”.
P ( 0 ) = ( P1( 0) , P2( 0 ) ,......Pn( 0 ) )

∑P i
i
(0)
=1

Pi ≥ 0, ∀i
Así pues, el vector de probabilidad inicial, es un vector estocástico.

En el ejemplo característico del principio de la lección, los elementos
correspondientes a la cadena de Markov, son los siguientes:

-Espacio de estados: E=J,P, donde J=Trabajar en el jardín, P=Ir a pescar.
-Probabilidades de transición:
p11=0= Probabilidad de ir a pescar si el día anterior se pescó
p12=1= Probabilidad de trabajar el jardín si el día anterior se pescó
p21=1/2=Probabilidad de ir a pescar si el día anterior se trabajó el
jardín
p22=1/2=Probabilidad de trabajar el jardín si el día anterior ya se
trabajó.
-Estas pij quedan ordenadas en la siguiente matriz de transición :
 0 1 
P= 
1 / 2 1 / 2
-El vector de probabilidad inicial, quedará como:
p ( 0 ) = (1 / 2,1 / 2)

121


Probabilidad de transición en k pasos

La probabilidad de que un proceso pase del estado i al estado j en k pasos, se
denomina probabilidad de transición en k pasos. La representamos por p ik, j .
-Las probabilidades de transición en k pasos, pueden ser ordenadas en la
denominada matriz de transición en k pasos.
 p11 p12 . p1kn 
k k

 
. . . . 
P (k ) = 
 . . . . 
 k k 
 p n1 p n 2 . p nn 
k
 

Teorema:
Si P es la matriz de transición de una cadena de Markov, entonces, la matriz de
transición en k pasos, es la k-ésima potencia de P.
P (k ) = P k

Probabilidades totales
La probabilidad de que el proceso se encuentre en el estado ai después de realizar k
experimentos, recibe el nombre de probabilidad total o absoluta. Denotamos dicha
probabilidad como Pi (k ) .
-A cada prueba k, le corresponde un vector estocástico, formado por todas las
probabilidades totales de esa prueba.
P ( k ) = ( P1( k ) , P2( k ) ,......, Pn( k ) )
que recibe el nombre de "Distribución de probabilidades del paso k".

Teorema:
Sea una cadena de Markov con matriz de transición P. Dado el vector de
probabilidad inicial
P ( 0 ) = ( p1( 0 ) ,..... p n0 ) )
(

tenemos que
p (1) = p ( 0) .P
p ( 2 ) = p (1) .P = p ( 0 ) .P ²
...............................
p ( k ) = p ( k −1) .P = p ( 0 ) .P k

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Cadenas de Markov regulares

Consideremos las siguientes cadenas de Markov por sus matrices de transición:

1 / 2 1 / 2 1 / 3 2 / 3
A=  B=
 1 0   0 1 

ambas corresponden a procesos de Markov de dos estados. teniendo en cuenta el
significado de pij ∀ i,j , podemos representar los siguientes "Diagramas de
transición"

A) B)

1/2 2/3
1/2 a1 a2 0 1/3 b1 b2 1
1 0

En el diagrama A, es posible recorrer, aunque con probabilidades diferentes, un
"ciclo" entre los dos estados, a1 y a2 . En el diagrama B, por el contrario, si la
transición se efectúa de b1 a b2, el proceso queda bloqueado, repitiendo
indefinidamente éste último estado, ya que la probabilidad de transición del mismo al
anterior, es cero.
b2 en este caso, se denomina "estado absorbente".

Si analizamos un proceso de Markov de tres estados, tendremos:
 0 3 / 4 1/ 4 0 1 0 
C= 1 / 5 
0 4 / 5 D = 0 0 1 
 
3 / 4 1 / 4
 0  1 0 0
 
Matrices a las que corresponden los diagramas siguientes:

c) ¾ d) 1
0 a1 a2 0 0 b1 b2 0
1/5 0

¼ ¾ ¼ 4/5 1 0 0 1

0 a3 0 b3

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En el caso c) es posible pasar de un estado a otro sin estados absorbentes; en el caso
d) también, pero en este caso, los estados se repiten periódicamente con período 3.
Las cadenas y procesos de Markov de tipos C y A, se denominan “Cadenas de
Markov regulares” y reciben el mismo nombre que sus matrices asociadas.

Punto fijo de una matriz de transición regular

Consideremos una matriz regular cualquiera:
p p12 
P =  11
 p21 p22 

buscamos un vector de probabilidad v, tal que verifique vP=v.
Obviamente, v tendrá unas componentes tales que (x, 1-x) ya que la suma de las
mismas debe ser 1, de manera que por la condición expuesta, debe verificarse que:

p p12 
( x,1 − x)  11 = ( x,1 − x)
 p21 p22 

Realizando el producto del primer miembro e igualando elementos, tendremos:
xp11 + (1 − x) p21 = x
xp12 + (1 − x) p22 = 1 − x
Solucionando el sistema, obtenemos el denominado vector fijo de probabilidad
asociado a la matriz P.

Distribución estacionaria

Teorema:
Si P es una matriz de transición regular, las potencias sucesivas de P se aproximan a
una matriz que tiene todas las filas iguales y que coinciden con las componentes del
vector fijo de P.
-Si consideramos el vector de probabilidad inicial P ( 0 ) = ( p1( 0 ) ,..... p n0 ) ) ,
(

sabemos que la distribución absoluta correspondiente al al paso k viene dada
por la relación p(k)=p(0).Pk.

Por este teorema, p(k) acabará aproximándose a v con lo que podremos
afirmar:

Teorema:
Consideremos una cadena de Markov regular; la probabilidad de que después de un
número grande de ensayos, suceda el suceso ai, es aproximadamente igual a la
componente i-ésima del vector fijo de la matriz de transición del proceso.

124


Por lo tanto, las probabilidades absolutas de que ocurra un determinado estado, son
independientes de las condiciones iniciales del sistema.
-La distribución de probabilidad que define el vector fijo, se denomina
Distribución de probabilidad estacionaria de la cadena de Markov.

Cadenas absorbentes

Consideremos la cadena de Markov que tiene como matriz de transición la siguiente:
 2 / 3 0 1/ 3 
 
P= 0 1 0 
 0 2 / 5 3 / 5
 

Su diagrama de transición será:

2/3 a1 a2 1

1/3 2/5

a3
3/5

-Los estados a1 y a3, pueden sucederse a si mismos, y además, es posible
alcanzar al menos uno de los restantes desde ellos. Sin embargo, si el proceso
está en el estado a2,permanecerá indefinidamente en dicho estado, ya que las
probabilidades de transición a cualquier otro, son nulas. Los estados 1 y 3 se
denominan transitorios, mientras que el estado 2, se denomina absorbente.

-Una cadena de Markov que consta solamente de estados transitorios y
absorbentes, se denomina cadena de Markov absorbente.

-Si una cadena de Markov contiene algún estado absorbente, la fila
correspondiente de la matriz de transición, constará de un 1 en la diagonal,
siendo 0 el resto de los elementos de la misma. Será por lo tanto una matriz
no regular.

125

Para estudiar las cadenas de Markov absorbentes, es necesario reordenar la matriz de
transición de forma canónica, de manera que los estados absorbentes aparezcan en
primer lugar.
Generalizando, si la matriz (cadena) contiene p estados transitorios y q estados
absorbentes, la matriz reordenada, presentará el aspecto siguiente:

 I O
Q P 
 
Donde:
I= Matriz unidad de dimensión q
O=Matriz nula de dimensión qxp
Q=Matriz pxq que contiene las probabilidades de paso de estados
transitorios a absorbentes
P=Matriz pxp que contiene la probabilidad de paso de estados
transitorios a transitorios

Se denomina matriz fundamental de la cadena o proceso de Markov al resultado de la
operación:
F = ( I − P) −1
es decir, la matriz inversa de la obtenida al restar de una matriz unidad de
dimensiones nxn, la matriz P de probabilidades de paso de estados transitorios a
transitorios.

Teorema:
Consideremos las matrices P,Q,F ya definidas, se verifica:
1) Si la cadena comienza en ai, transitorio, la probabilidad de que llegue a aj,
absorbente, viene dada por el elemento ij de la matriz FQ.
2) La suma de elementos de la fila i de F, nos proporciona la media del número de
veces que la cadena se mueve por estados transitorios antes de caer en uno
absorbente, cuando empieza por el estado ai.
3) El elemento ij de F representa la media del número de veces que la cadena está en
aj (transitorio), sabiendo que empezó en ai, antes de caer en un estado absorbente.

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Cadenas de Markov. Problemas
1. Escogemos 5 estudiantes al azar en una clase de formada por 15 hombres y
17 mujeres y anotamos su sexo. (Sin reemplazamiento).
Calcúlese:
a) Probabilidad de la serie HHMMM
b) Probabilidad de elegir una mujer en la tercera elección

2. Un determinado robot está programado de forma que si realiza el
procedimiento A, el día siguiente efectúa el B, pero si realiza el B, entonces a
continuación realiza el C. Si realizó el C, 4 de cada 10 días, de forma
aleatoria, continúa con el proceso A y 6 de cada 10, con el proceso B.
a) Escríbase la matriz de transición de este proceso
b) Dibújese su diagrama de transición.

3. Sean los siguientes procesos estocásticos:
a) Elegir 5 estudiantes al azar de una clase con 15 hombres y 17 mujeres
b) Disparar 5 veces sobre una diana con probabilidad de acertar igual a 0,3
Estúdiese si se trata de procesos de Markov y en caso afirmativo, escríbase la
matriz de transición

4. Lanzamos un dado normal y tras cada tirada anotamos el número más alto
obtenido en dicha tirada y todas las anteriores. ¿Se tratará de un proceso de
Markov?

5. En el ejercicio del robot, determínese la probabilidad de que si el robot
comenzó la semana con el proceso A, la termine con el mismo proceso.
Cuéntese la semana como laboral, es decir, de lunes a viernes.

6. El neón publicitario de una joyería, denominada DIAMT, tiene la siguiente
secuencia de encendido:
a) Las letras se iluminan hacia la derecha con probabilidad 2/3 y hacia la
izquierda con probabilidad 1/3.
b) Cuando se ilumina un extremo, en el paso siguiente se ilumina la letra
contigua.
Calcúlese la probabilidad de que se ilumine la letra I, tres pasos después de
iluminarse la letra T.

7. Un conductor profesional intenta minimizar el tiempo que pasa en atascos de
tráfico, mediante un sistema de tránsito por los puntos conflictivos, A, B y C.
La probabilidad de que pase un día por el mismo punto que el anterior, es 1/2,

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las probabilidades de que pase por cualquiera de los otros dos, son idénticas
entre si.
Escríbase la matriz de transición del proceso, y dibújese el diagrama de
transición.

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ANDREI ANDREYEVICH MARKOV

Nació en Ryazan (Rusia) el 14 de junio de 1856 y murió el 20 de julio de 1922 en
Petrogrado (hoy San Petersburgo). En 1906 definió por primera vez las cadenas de
Markov en un artículo sobre la ley de los grandes números. Las cadenas de Markov
nacen de la teoría de probabilidad.

Markov nunca intentó aplicarlos a las ciencias sino que las
aplicó en textos literarios, los dos estados posibles o el
espacio muestral eran vocal o consonante. Hizo un estudio
de la alternancia de vocales y consonantes en el libro del
gran poeta ruso Pushkin titulado "Eugene Onegin".

Se graduó en la Universidad de San Petersburgo en 1878.
Se inició en la docencia en esa misma universidad desde
1880 a 1905. Se retiró casi a los 50 años con el fin de dar
paso a matemáticos más jóvenes. Después de 1900 aplicó el método de fracciones
continuadas, del que fue pionero su profesor Pafnuty Chebyshev, a la teoría de
Probabilidad.

Se interesó enormemente en Probabilidad, en Teoría de Números, Fracciones
Continuas, Teoría de la aproximación, Series de Convergencia, Secuencia de
variables mutuamente dependientes y límites de integrales. Fue un participante activo
en el movimiento liberal ruso antes de la primera guerra mundial, criticó
públicamente a las autoridades estatales y fue miembro de la Academia de Ciencias
de su país.

Tuvo un hijo que nació el 9 de septiembre 1903, y quien fue también un reconocido
matemático.

En 1923 Norbert Wiener fue el primero en tratar rigurosamente los Procesos de
Markov Continuos. Y en 1930 Andrei Kolmogorov enuncia teorías importantes en
los Procesos de Markov.

129


SERIES DE TIEMPO

¿Para qué?
Para saber distinguir en la evolución temporal de un fenómeno, los
factores que realmente influyen en el proceso de aquellos que afectan
al mismo por cuestiones circunstanciales; se trata de un tema esencial
en economía y salud.

130


Series de tiempo
Descripción

Una serie temporal o cronológica es una serie de observaciones de un fenómeno que
varía con respecto al tiempo.
Existen varios fines que justifican el estudio de las series temporales
-Predecir el futuro basándose en datos pasados
-Conocimiento y control del proceso que produce la serie
-Tener una descripción de las características más destacables de la
correspondiente serie, etc...

Las magnitudes que se suelen estudiar en series temporales, se pueden dividir en dos
grandes grupos
-Magnitudes "stock" o nivel, aquellas que toman un valor determinado en un
momento concreto.
-Magnitudes "flujo", aquellas que representan el valor acumulado de una
variable desde la observación anterior hasta la observación actual.

Análisis de series temporales. Componentes.

Para proceder a su estudio, consideraremos una serie de tiempo como resultante de
las siguientes componentes:
1. Tendencia: Entendemos como tal el movimiento suave o regular de la
serie, observada durante un período de tiempo suficientemente largo.
Mediante la tendencia, se mide la variación media de la
variable por unidad de tiempo.
2. Variaciones estacionales: Entendemos como tales los movimientos
periódicos que se presentan con cierta regularidad, durante un período de
observación de duración igual o inferior a 1 año.
3. Variaciones cíclicas: Son aquellos movimientos recurrentes, ya sean
ascendentes o descendentes, que a diferencia de los estacionales, se
extienden a períodos de tiempo superiores a 1 año.
4. Variaciones residuales: Son aquellos movimientos que no muestran un
carácter periódico reconocible; los consideramos aleatorios o producidos
por causas no previsibles y suponemos que son independientes entre sí,
siendo su media 0.

131


Modelos para el análisis de series de tiempo

Están definidos por la forma de integrar las cuatro componentes definidas
anteriormente.
Esquema aditivo: Parte de la hipótesis de que el valor de la serie de tiempo,
está compuesto por la adición de las cuatro componentes
Y=T+E+C+R
Esquema multiplicativo: Considera que el valor de la serie de tiempo, está
compuesto por la multiplicación de las cuatro componentes.
Y=T·E·C·R

El modelo aditivo debe usarse cuando la composición de
tendencia y movimiento estacional, conduce a una variación
de amplitud constante.
El modelo multiplicativo se empleará cuando dicha
composición conduzca a una variación creciente en el tiempo.

Identificación de la tendencia

El método multiplicativo es el más utilizado en el análisis descriptivo de series
temporales y podemos afirmar que es el que mejores resultados da; de todas formas,
para lograr la descomposición de la serie en 4 componentes, tendremos en primer
lugar que aislar la tendencia en los valores observados. Para ello, trataremos de
representarla mediante una curva suficientemente suave, lo que conseguiremos
mediante:
-Mínimos cuadrados
-Tanteo (mano alzada)
-Método de las medias móviles

Tendencia Mínimo-cuadrática
Determinamos la tendencia general de los datos, ajustando a los mismos una
curva de mínimos cuadrados.

Tendencia Lineal
Elegimos representar la tendencia mediante una recta, de ecuación y=a+bt

132

Siguiendo el procedimiento de mínimos cuadrados, los coeficientes a y b se
calculan resolviendo el sistema ofrecido por las siguientes ecuaciones:
∑ Y = Ta + b∑ t
∑ tY = a∑ t + b∑ t ²
Donde:
T = Ordinal del último dato en el tiempo
∑t =Sumatorio de los ordinales de los datos de tiempo
∑tY = Sumatorio de los productos tY, siendo Y los valores de la
variable que controlamos
∑t² = Sumatorio de los cuadrados de los ordinales de los datos de
tiempo.

Tendencia cuadrática
Pretendemos representar la tendencia mediante una función cuadrática del
tipo:
Y=a+bt+ct²
En este caso, la identificación de los parámetros se llevará a cabo resolviendo
el sistema ofrecido por las siguientes ecuaciones.

∑ Y = Ta + b∑ t + c∑ t ²
∑ tY = a∑ t + b∑ t ² + c∑ t ³
∑ t ²Y = a∑ t ² + b∑ t ³ + c∑ t 4

Para facilitar los cálculos, se toma como origen el punto medio de los
períodos abarcados, de modo que se anulen las sumas de t elevadas a
exponentes impares.
Con ello, las ecuaciones anteriores, quedarán reducidas a:
∑ Y = Ta + c∑ t ' 2

∑ t ' Y = b∑ t '²
∑ t '²Y = a∑ t '² + c∑ t ' 4

siendo t’= t-Pm.
Despejando, tendremos:

a=
∑ Y − c∑ t '² ; b=
∑ t'Y ; c=
T ∑ t '²Y − ∑ t '²∑ Y
T ∑ t '² T ∑ t ' − (∑ t '²)²
4

133


Tendencia exponencial
En el caso de optar por ajuste exponencial, del tipo Y=abt, se reduce el problema al
caso lineal mediante la utilización de logaritmos, ya que:
LnY=Lna+t·Lnb

Ajuste logístico de tendencia
Para ajuste de series que reflejan la evolución de ciertas poblaciones e índices
bursátiles, suele emplearse la función logística, que responde a la ecuación:
1
f ( x) =
k + ab − x
En este caso, el valor de la serie en el momento t+1 depende de los datos
observados en el instante t mediante una función del tipo
p(t+1)=kp(t)-kp²(t)

Método de las medias móviles
Se trata de un método para suavizar series temporales mediante cálculo reiterado de
los valores medios, tras lo cual se aplica un método gráfico.
Se intenta restar importancia a cada observación particular, promediándola con las
inmediatamente inferiores y superiores; para cada instante t, tenemos un valor yt que
vendrá dado por la correspondiente media de componentes predeterminados.
tiempo variable media
t1 y1 ...................
t2 y2 ( y1 + y 2 + y 3 )
3
t3 y3 ( y 2 + y3 + y 4 )
3
t4 y4 ( y3 + y 4 + y5 )
3
t5 y5 ( y 4 + y5 + y6 )
3
t6 y6 ..................

Variaciones estacionales. Desestacionalización

Admitiendo que el cálculo de medias móviles anula tanto la acción de las
fluctuaciones estacionales como las aleatorias, y teniendo en cuenta que usamos el
modelo multiplicativo, la media móvil será una estimación del producto T·C.
Teniendo en cuenta que Y=T·E·C·R, el cociente Y/TC, será una estimación de de E·R

134

Para eliminar de la estimación de E·R las variaciones residuales (R) ,
calculamos la media de los porcentajes estacionales para cada período de
tiempo (trimestres, por ejemplo) multiplicando por el correspondiente factor
de proporcionalidad.
-Así, el índice estacional es el cociente entre el valor observado y la media
móvil correspondiente a ese dato.
-La desestacionalización, consiste en dividir cada valor de la serie original,
por el correspondiente valor del índice estacional.

Componentes cíclicas y residuales

Una vez calculada la tendencia y los índices estacionales, estamos en condiciones de
aislar los componentes cíclicos. Teniendo en cuenta que asumimos el modelo
multiplicativo, tendremos que:
Y T ·E ·C ·R
= = C ·R
T ·E T ·E
Las componentes residuales pueden eliminarse haciendo las medias móviles, por lo
general de tamaño 3, para los valores obtenidos del producto C·R. Tendremos así una
estimación de C de forma que realizando el cociente C·R/C, tendremos aislada la
componente R.

Predicción

Al utilizar una serie para hacer predicciones, debemos asumir que el comportamiento
de la serie en el pasado, determinará en cierto modo su futuro.
Generalmente, para estimar comportamientos futuros se usa el método de mínimos
cuadrados en cualquiera de sus variedades habituales, corrigiendo el valor de la
predicción mediante desestacionalización.

Autocorrelación

Acontece en ocasiones, que los valores que toma una variable en el tiempo no son
independientes entre si, sino que un valor determinado depende de los valores
anteriores. Esta correlación entre una serie temporal y ella misma desfasada en el
tiempo, recibe el nombre de autocorrelación.

Para calcular valores, obramos igual que cuando manejamos dos variables o dos
series, la primera es la serie en si y la segunda, ella misma desfasada en el tiempo, la
denominada serie Yt-1.

135

Números índices

En ciertas ocasiones, para medir variaciones relativas, interesa comparar todos los
valores de la serie de tiempo con datos correspondientes a un período que
denominamos “de referencia” .
-El período de referencia se denomina “Período Base” y a su índice se le hace
corresponder el valor 100.
-A los períodos restantes, se les hacen corresponder ciertas cantidades, el
cálculo de las cuales depende de que sean una o varias variables las que se
tengan en consideración y los diversos criterios para establecer
ponderaciones.

*Respecto a su forma de cálculo, dependiendo de si se hacen
para una o varias variables, se clasifican en simples y
compuestos.

136


Series de tiempo. Problemas
1. Enuncia ejemplos de procesos que evolucionen en diferentes períodos
temporales.

2. La venta de unidades de determinado artículo, por trimestres, durante dos
años consecutivos, fueron las siguientes:

Trim 1 2 3 4 5 6 7 8
Uds. 195 232 168 229 165 215 155 217

a) Represéntese la serie
b) Determínese la tendencia ajustando una recta por el método de mínimos
cuadrados.
c) Basándose en la recta anterior, calcúlense los índices de variación
estacional para los cuatro trimestres.
3. Los depósitos a 31 de diciembre en la banca privada, en miles de millones de
pesetas fueron los siguientes entre los años 1996 y 2001:

Año 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Depósitos 1323 1459 1644 1838 2084 2263

Ajústense una recta, una parábola y una exponencial. Estímense los pasivos
financieros para 2002 y compárense con los de 2001. Obviamente, los pasivos
financieros, son precisamente tales depósitos.

4. Las ventas en millones de pesetas de un concesionario de automóviles,
durante los últimos 10 años, fueron las siguientes:

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
156 168 145 132 126 153 175 189 201 220 ?

Calcula la tendencia por el método de las medias móviles de tamaño 3 y 4 y
posteriormente, en ambos casos, estima las ventas para el año 2002.

137

5. Los siguientes datos representan la cantidad de bacterias (en cientos de miles)
contenidos en una cápsula de cultivo, según los días transcurridos:

Días 2 11 14 17 20 23 27 29 37
Bact. 3 4 10 15 23 38 50 530 900

Calcula el número de bacterias a los 50 días de cultivo.

6. Las temperaturas medias en grados centígrados, recogidas en el observatorio
de un centro educativo, a lo largo de tres años, fueron las siguientes:

Meses 1999 2000 2001
ene 5 5 4
feb 10 12 13
marz 16 14 14
abr 18 18 17
may 18 19 19
jun 23 22 21
jul 27 26 26
ago 28 26 28
sep 20 19 18
oct 13 12 11
nov 9 9 9
dec 6 8 7

Calcúlense los índices de variación estacional y estímese la temperatura en
septiembre de 2002.

7. La depreciación de la moneda en determinado país durante el período
1985/95 fue de un 5% anual. Actualiza la siguiente serie de valores,
poniéndola en moneda de 1985 :

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
300 900 1200 2000 2500 2600 3000 3600 4000 4600 5100

138


GEORGE BOOLE
Boole redujo la Lógica a la sencillez del Álgebra. También
trabajó en ecuaciones diferenciales, el cálculo de
diferencias finitas y métodos generales en probabilidad.

Estudió intensamente los trabajos de Laplace y Lagrange,
tomando notas que llegaron a convertirse más tarde en la
base de sus primeros papeles matemáticos. Recibió
estímulos importantes de Duncan Gregory (Cambridge) y
del editor "Cambridge Mathematical Formal".

La estimulación de Duncan Gregory fue insuficiente para
hacerle estudiar oficialmente en Cambridge, y se dedicó al
estudio autodidacta del Álgebra. Publicó una aplicación de los métodos algebraicos a
la resolución de ecuaciones diferenciales en el Transaction of the Royal Society,
recibiendo por ello la medalla de la sociedad.

Boole fue nominado para una cátedra de matemática en Queens College de Cork en
1849. Enseñó allí durante el resto de su vida, ganándose una magnífica reputación
como profesor.

En el 1854 publicó "Una investigación de las leyes del pensamiento", en las que
están basadas las teorías matemáticas de Lógica y Probabilidad. Boole agudizó la
analogía entre los símbolos algebraicos y aquellos que representan formas lógicas.
Comenzaba así el Álgebra de la Lógica llamada Álgebra Booleana que es la base,
hoy en día, de la construcción de computadores y circuitos eléctricos

El sistema de lógica de Boole es una de las muchas pruebas de genio y paciencia
combinados. El proceso simbólico del álgebra, inventado como herramienta de
cálculo numérico, es idóneo para expresar cada acto del pensamiento.

139


PROGRAMACIÓN LINEAL

¿Para qué?

Para culminar el proceso de toma de decisiones
tomando la mejor de las soluciones posibles, para minimizar
costes sin afectar a la producción, para sacar el máximo
rendimiento a tus ahorros con el mínimo riesgo, para sacar el
mayor rendimiento a tus tierras con el menor coste de
mantenimiento.

140


Programación Lineal
Breve recordatorio acerca de métodos gráficos de resolución de inecuaciones y
sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.

Una inecuación lineal de dos variables, del tipo ax+by+c<0 (≤, ≥, >) , donde a y b
son distintos de 0 y tanto a y b como c son números reales, se resuelve de la siguiente
forma:
-Despejamos y en función de x y sustituimos el signo de desigualdad que
presente la inecuación por uno de igualdad, con o que tendremos la ecuación
de una recta de la forma y=mx+n.
-Dicha recta, divide al plano en dos semiplanos.
-Los puntos que se encuentran sobre la recta, verifican la ecuación y=mx+n,
los que se encuentran por encima de ella, verifican la inecuación y>mx+n y
los que se encuentran por debajo, verifican la inecuación y<mx+n.
-De manera que todas las soluciones de una inecuación lineal con dos
variables, se encuentran en uno de los dos semiplanos, de los que la recta
y=mx+n es la frontera.
-Si la desigualdad no es estricta, entonces la recta frontera formará
parte del semiplano solución.
-Es interesante y necesario observar que el semiplano solución es un
conjunto CONVEXO, es decir, tal que si contiene a dos puntos A y B,
también contiene a todos los puntos del segmento que une dichos puntos.
-Un sistema de ecuaciones tendrá como solución la región intersección de
los semiplanos solución de las ecuaciones que lo componen.

Programación lineal

La programación lineal consiste en optimizar, ya sea llevando al máximo o al
mínimo, una función lineal que denominamos función objetivo sujeta a un conjunto
de restricciones expresadas mediante un conjunto de inecuaciones.
Enunciamos:

Un problema de programación lineal de dos variables, consiste en:

1. Optimizar una función lineal de dos variables
B = ax + by
denominada función objetivo
2. Sometida a un conjunto de restricciones dado por un sistema de
ecuaciones

141

a1 x + b1 y ≤ c1
a 2 x + b2 y ≤ c 2
.......................
.......................
a n x + bny ≤ c n
3. Para resolver el problema gráficamente, seguimos los siguientes
pasos:
-Agrupamos los datos en una tabla
-Definimos la función objetivo
-Representamos el conjunto solución de las restricciones lo que
resultará en una región convexa que denominaremos “Región
factible”, cada uno de cuyos puntos, será una “Solución
factible”, ya que satisfarán todas las restricciones.
4. Representamos la función objetivo para B=0 y a continuación,
trazando rectas paralelas a la misma, determinamos aquella de mayor
ordenada al origen, que corte a la región factible en algún punto.
Dicho punto de corte nos da la solución óptima.
5. Esta última fase puede obviarse, ya que puede demostrarse que la
solución ha de encontrarse necesariamente en uno de los vértices de la
región factible; por lo tanto, basta con ensayar la función objetivo en
los vértices de la región factible y elegir aquel de ellos que ofrezca el
máximo valor.

Casos especiales:
- La intersección de la función objetivo (recta) y la región factible,
resulta ser todo un segmento en lugar de un punto. Tendremos en
este caso, infinitas soluciones óptimas.
- La región factible resulta vacía. En este caso, no existirá solución
óptima.
- La región factible es “no limitada” de forma que no resulta posible
encontrar un valor que maximice la función objetivo. En este caso,
será posible encontrar un valor que la minimice. Puede
demostrarse igualmente que si una región factible no es acotada y
existe un valor que la maximice o minimice la función objetivo,
éste se encuentra en un vértice de la región.

142

El problema Dual

Un problema de programación lineal y su dual, se caracterizan como:

Problema Original Problema Dual
Maximizar..B = px + qy Minimizar...C = rx + sy
Con..las..restricciones Con...las..restricciones
x, y ≥ 0 x, y ≥ 0
ax + by ≤ r ax + cy ≥ p
cx + dy ≤ s bx + dy ≥ q

Observamos que:
-Un problema con función objetivo maximizar, se convierte en otro con
función objetivo minimizar.
-Los coeficientes de la función objetivo y los términos independientes de las
restricciones, se intercambian entre sí.
-Los sistemas de inecuaciones invierten los signos de desigualdad.
-Las matrices de los sistemas de inecuaciones son traspuestas.

Se puede probar que:
Si un problema de programación lineal tiene solución óptima, entonces su problema
dual también la tiene y ambas soluciones coinciden.

El problema general de programación lineal

El problema general de programación lineal, viene dado como sigue:

Maximizar la función objetivo
F(x1,x2,x3,......xn)=c1x1+c2x2+......+cnxn
de manera que verifique el sistema de restricciones:
a11x1+a12x2+.........+a1nxn≤ b1
.............................................
am1x1+am2x2+.........+amnxn≤ b1
donde x1,x2,......,xn,b1,b2,..........bm≥0
-La idea de la resolución gráfica está descartada de antemano por ser
necesaria una representación en un espacio m-dimensional. Esta limitación, llevó en
los años 40 a G.Danzig a idear un método, que mediante operaciones aritméticas
elementales, conduce a una solución del problema de programación lineal,
independientemente del número de variables que contenga. Su justificación teórica es

143

excesiva para el nivel de este texto y no la mostraremos. Diremos que se conoce
como Método Simplex y lo revisaremos mediante un ejemplo.

Problema-Tipo
Sea la función a maximizar B=40x+60y y sean las restricciones:
x≥0
y≥0
2x+y ≤ 180
x+2y ≤ 160
x+y ≤ 100

Solución:
- Comenzamos por expresar las restricciones como ecuaciones; para
compensar las desigualdades, deberemos añadir a cada inecuación una
cantidad no negativa
2x+y+r=180
x+2y+s=160
x+y+t =100
- Las variables originales x e y se denominan variables estructurales,
mientras que las añadidas, r, s y t se denominan variables de holgura.
- Re-escribimos la función objetivo como -40x-60y+B=0, y la añadimos
al sistema formado por las ecuaciones de restricción.
- Obtenemos así el siguiente sistema:
 2x + y + r = 180
 x + 2y +s = 160


 x+ y + t = 100
− 40 x − 60 y
 +B =0
que puede resumirse en una matriz 4x6 que denominamos Tabla Simplex

x y r s t B
r 2 1 1 0 0 0 180
s 1 2 0 1 0 0 160
t 1 1 0 0 1 0 100
B − 40 − 60 0 0 0 1 0

144


-Se puede observar que separamos mediante líneas discontinuas los
coeficientes dados por la función objetivo y la columna de términos
independientes.
Sabemos que una solución factible del problema, es x=0, y=0; para estos
valores, en el sistema de ecuaciones, obtenemos r=180, s=160, t=100 y
además B=0.
Esta solución obtenida de forma trivial, recibe el nombre de solución factible
básica, denominándose variables no básicas aquellas que resultan tener valor
cero en esta solución.
-El método simplex, consiste en intentar sustituir una variable básica por otra
no básica, de forma que la nueva solución factible, mejore la función
objetivo, aumentándola en cada caso, o al menos no disminuyéndola.
-El proceso se realiza siguiendo el esquema siguiente:

PIVOTE
x y r s t B
r 2 1 1 0 0 0 180
Variable Saliente s 1 2 0 1 0 0 160
t 1 1 0 0 1 0 100
B − 40 − 60 0 0 0 1 0

Variable entrante Indicadores

Cocientes:
180:1=180
160:2=80 Menor cociente
100:1=100

- De entre los números enmarcados en la última fila, denominados
indicadores, elegimos el de mayor valor absoluto (-60)
- La variable correspondiente en la "sobrefila" superior, será la variable
entrante (y)
- A continuación, dividimos los términos independientes de la columna
a la derecha de la línea punteada, por los correspondientes de la columna de la
variable entrante que sean positivos. El elemento que ofrezca el menor
cociente indicará el elemento pivote y nos dará (por coordenadas) la variable
saliente.
- Operamos las filas de la matriz, hasta conseguir que nos quede un 1 en
el elemento pivote y se hagan ceros los restantes elementos de la columna de
la variable entrante.

145

- Sustituimos, además, la variable saliente por la variable entrante

- En nuestro ejemplo, tendremos:

x y r s t B
r 3/ 2 0 1 − 1/ 2 0 0 100
y 1/ 2 1 0 1/ 2 0 0 80
t 1/ 2 0 0 − 1/ 2 1 0 20
B − 10 0 0 30 0 1 4800

- Si todos los indicadores fuesen no negativos ya tendríamos la solución
óptima, que se encontraría en el elemento que ocupase la última fila y última
columna. Si existen indicadores negativos, debemos recomenzar el proceso,
teniendo en cuenta para nuestro cómputo, exclusivamente dichos indicadores
negativos.

- En el paso anterior, ya contamos con una solución aproximada,
que se lee de izquierda a derecha, y que sería:
x=0; y=80; r=100; s=0; t=20; B=4800

- Repitiendo el proceso, tendremos:
x y r s t B
r 3 / 2 0 1 − 1/ 2 0 0 100
y 1/ 2 1 0 1/ 2 0 0 80 PIVOTE
t 1/ 2 0 0 − 1/ 2 1 0 20
B − 10 0 0 30 0 1 4800

Variable entrante Variable saliente

Cocientes:
100:3/2= 150
80:1/2= 160
20:1/2= 40 Menor cociente

- A continuación, sustituimos la variable t por x y procedemos a dejar a
cero todos los elementos de la columna de la variable x, salvo el elemento
(x,x), que debe quedar en 1. En nuestro caso ejemplo.:

146

x y r s t B
r 0 0 1 1 −3 0 40
y 0 1 0 1 −1 0 60
x 1 0 0 −1 2 0 40
B 0 0 0 20 20 1 5200

- Al no tener ningún indicador negativo en el recuadro inferior,
consideramos terminado el proceso, siendo los valores óptimos alcanzados,
los siguientes:
x=40; y=60; r=40; s=0; t=0; B=5200.

147


Programación lineal. Problemas
1. Un campesino planta trigo y cebada en varios campos. Para sembrar y recolectar
una hectárea de trigo, necesita una hora de ayuda del trabajador A y dos del
trabajador B. Para sembrar y recolectar una hectárea de cebada, necesita una hora
y media del trabajador A y una hora del trabajador B. Adicionalmente, cada
hectárea requiere que el campesino le dedique una hora personalmente.
El campesino dispone de 8 horas diarias para supervisar todos los campor. Tanto
el trabajador A como el B, trabajan un máximo de 9 horas diarias. El trabajador
A cobra 800 ptas la hora y el trabajador B 600.
La Ha. de trigo, le proporciona un ingreso de 5200 ptas diarias y la de trigo 3800.
El alquiler, seguro y cuidado de los campos, le supone 400 ptas por Ha.
¿Cuántas Has. de cada clase debe sembrar el campesino para obtener el mayor
beneficio posible. ¿Cuánto será dicho beneficio? ¿Cuánto gana el campesino por
su hora de supervisión?

2. Maximizar la función z=2x1+x2 , con las restricciones:
a) x1 + 2 x 2 ≤ 8
b) x1 + x 2 ≤ 5
c) 2 x1 + x 2 ≤ 9
d) x1 , x 2 ≥ 0

3. Maximizar la función z=2x1-x2 , con las restricciones
a) 2 x1 + 3 x 2 ≤ 12
b) 2x1 = 3 x 2
c) x1 , x 2 ≥ 0

4. Maximizar la función z=700 x1+900 x2 con las restricciones:
a) 2 x1 + x 2 ≤ 22
b) x1 + 2 x 2 ≤ 26
c) x1 ≤ 12
d) x 2 ≤ 12
e) x1 , x 2 ≥ 0

148


PROGRAMACIÓN LINEAL CON EXCEL

¿Para qué?
Para resolver con extrema facilidad problemas simples y
complejos de programación lineal, de forma completamente
automatizada y fiable.

149


Programación Lineal con Excel
La hoja de cálculo Excel, incluida en el paquete Office de Microsoft, posee en su
menú Herramientas el comando Solver, que permite resolver problemas de
programación lineal en forma sencilla.
La explicación de su forma de utilización resulta también sencilla si se sigue el orden
lógico de desarrollo del modelo matemático del problema, lo que haremos a
continuación con un ejemplo numérico:

En una fábrica se producen tres productos distintos, A, B y C, empleándose para ello
dos tipos de materia prima, MP1 y MP2. El producto A consume 0,4 m² de MP1 y
0,3 m² de MP2; el producto B, 0,2 m² de MP1 y 0,2 m² de MP2; y el producto C, 1
m² de MP1 y 0,6 m² de MP2.

La fabricación de cada unidad del producto A requiere la utilización de 4 horas-
hombre de mano de obra; la del producto B, de 2 h-h; y la del producto C, de 6 h-h.
Para la producción del próximo mes se dispone de 200 m² de MP1, 120 m² de MP2 y
1000 h-h de mano de obra. Además, en ese mes se deben cumplimentar pedidos de
clientes de 50 unidades del producto A, 250 unidades del producto B y 40 unidades
del producto C; el Departamento de Ventas estima, además, que se pueden vender
todas las unidades excedentes que se fabriquen.

La venta de cada unidad del producto A produce un beneficio de 30 euros; la del
producto B, un beneficio de 12 euros; y la del producto C, un beneficio de 38 euros.

Nuestra misión es decidir cuántas unidades de cada producto deben fabricarse
durante el próximo mes, para que se obtenga el máximo beneficio.

Los datos detallados se pueden agrupar en el siguiente cuadro:

PRODUC PEDIDOS MP1 MP2 M.OBRA BENEFICI
TO O
A 50 0.4 0.3 4 30
B 250 0.2 0.2 2 12
C 40 1.0 0.6 6 38
Totales 200 120 1000 MAX.

150

1.- IDENTIFICACION DE LAS VARIABLES DE DECISION

Las variables de decisión, cuyos valores se deben determinar, son las cantidades de
unidades a fabricar de cada producto durante el próximo mes, que se llamarán:

X1 : la producción de A

X2: la producción de B

X3 : la producción de C
.2.- FORMULACION DE LA FUNCION OBJETIVO

Los valores de X1 , X2 y X3 deben ser tales que produzcan el máximo beneficio total
, que se expresará como:

z = 30(eur / ud .)· X 1 + 12(eur / ud .)· X 2 + 38(eur / ud )· X 3

Ecuación que es por supuesto homogénea dimensionalmente, con todos los términos
en euros.

3.- DEFINICION DE LAS RESTRICCIONES

Las cantidades totales que se consumirán de cada una de las materias primas, no
pueden ser mayores que las cantidades disponibles, es decir:
r1 : MP1 : 0,4(m² / ud )· X 1 (ud ) + 0,2(m² / u )· X 2 (ud ) + 1(m² / ud )· X 3 ≤ 200m²
r 2 : MP2 : 0,3(m² / ud )· X 1 (ud ) + 0,2(m² / u )· X 2 (ud ) + 0.6(m² / ud )· X 3 ≤ 120m²
r 3 : MO : 4(hh / ud )· X 1 (ud ) + 2(hh / ud )· X 2 (ud ) + 6(hh / ud )· X 3 (ud ) ≤ 1000(hh)

Las tres desigualdades son homogéneas, en m² las dos primeras y en hh la última.

Por otra parte, las cantidades de unidades a fabricar no pueden ser menores que las
cantidades de pedidos pendientes, de modo que se imponen también las restricciones
siguientes:

r4: Pedidos de A: X1≥ 50 (u)
r5: Pedidos de B: X2≥250 (u)
r6: Pedidos de C: X3 ≥40 (u)

151

4.- CONDICION DE NO NEGATIVIDAD

Por último, debe tenerse en cuenta que sólo tienen sentido en el problema real los
valores positivos de las variables de decisión, es decir, que deben ser:

X1 ≥0
X2 ≥0
X3 ≥0

5.- MODELO MATEMATICO

En resumen, se ha obtenido el siguiente modelo matemático del problema:

Función objetivo: Maximizar z = 30 X + 12 X + 38 X
Sujeto a las restricciones:
r1: MP1 0,4 X1 + 0,2 X2 + 1 X3 ≤ 200
r2: MP2 0,3 X1 + 0,2 X2 + 0,6 X3 ≤ 120
r3: M. O. 4 X1 + 2 X2 + 6 X3 ≤1000
r4: Pedidos de A X1 ≥ 50
r5: Pedidos de B X2≥250
r6: Pedidos de C X3≥ 40
Condiciones de no negatividad: X1 ≥ 0 X2≥ 0 X3 ≥ 0

FORMULACION DEL PROBLEMA EN EXCEL

La formulación del problema en Excel se puede realizar en la siguiente forma:
1) Abrir una hoja de cálculo y emplazar las variables de decisión, así como la
función objetivo y las restricciones, en una columna ( por ejemplo la A , previamente
ensanchada) , siguiendo el orden del modelo matemático.

152

Las condiciones de no negatividad se ingresarán más adelante. Queda, entonces:

A B C
1 Variables de decisión:
2 X1 : Producción de A
3 X2 : Producción de B
4 X3 : Producción de C
5 Función objetivo
6 z
7 Restricciones:
8 r1 : MP1
9 r2 : MP2
10 r3 : M. O.
11 r4 : Pedidos de A
12 r5 : Pedidos de B
13 r6 : Pedidos de C

2) Asignar valores arbitrarios a las variables (que pueden ser ceros) ingresándolos en
la columna B , frente a cada una de ellas . Las celdas ocupadas por estos valores, que
variarán luego, se denominan "Celdas cambiantes".

3) Registrar en la columna B, frente a z, anteponiéndole el signo igual, la fórmula de
la función objetivo , pero colocando en lugar de las variables de decisión los nombres
de las celdas cambiantes que ocupan cada una de ellas, e indicando el producto de
cada coeficiente por su variable . Es decir, en lugar de = 30 X1 + 12 X2 + 38 X3 se
coloca:
= 30*B2 + 12*B3 + 38*B4

4) Registrar en la columna B, ensanchada previamente si es necesario, frente a cada
restricción, su respectiva fórmula, siempre anteponiéndole el signo igual y en función
de los nombres de las celdas cambiantes.

153


Hasta aquí, la hoja ha tomado la siguiente forma :

A B C
1 Variables de decisión
2 X1 : Producción de A 0
3 X2 : Producción de B 0
4 X3 : Producción de C 0
5 Función objetivo
6 z = 30*B2 + 12*B3 + 38*B4
7 Restricciones
8 r1 : MP1 = 0,4*B2 + 0,2*B3 + 1*B4
9 r2 : MP2 = 0,3*B2 + 0,2*B3 + 0,6*B4
10 r3 : M. O. = 4*B2 + 2*B3 + 6*B4
11 r4 : Pedidos de A = B2
12 r5 : Pedidos de B = B3
13 r6 : Pedidos de C = B4

5) Hacer clic en el Menú Herramientas y en el comando Solver incluido en dicho
menú.

6) En el cuadro de diálogo "Parámetros de Solver" que aparecerá, registrar:

- en "Celda objetivo”, el nombre de aquélla donde se anotó la fórmula de z ,
en este caso $B$6 (los signos $ identifican celdas absolutas).
- en "Valor de la celda objetivo”, aquél que se busca: Máximo, Mínimo, o
un valor determinado. En este caso, se hace clic en el círculo de Máximo.
(Ver el cuadro más abajo).
- en "Cambiando las celdas”, los nombres de las celdas cambiantes: $B$2;
$B$3; $B$4. O bien: $B$2: $B$4 (que Excel interpreta como "desde $B$2
hasta $B$4)

El cuadro de diálogo "Parámetros de Solver" queda, hasta aquí, de esta forma:

154


Parámetros de Solver

Celda objetivo: $B$6 Resolver
Valor de la celda objetivo: Cerrar
Máximo Mínimo O Valor de. 0
Cambiando las celdas:
$B$2: $B$4 Estimar
Sujetas a las siguientes restricciones Opciones
1) Agregar
2) Restablecer todo
3) Cambiar
4) Eliminar ---- Ayuda
7) Para anotar las restricciones, hacer clic en "Agregar”. Aparece el cuadro de
diálogo
"Agregar restricción"

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Apuntes estadistica p3

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