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1. 22-2-2015
Distribución de bernoulli
Se caracteriza por solo hacer un experimento y por solo tener 2 resultados
posibles, los cuales pueden ser correcto, falso ó éxito, fracaso. Su función
es X-Be (0.3) que se puede interpretar como X es una variable aleatoria
que sigue una distribución de bernoulli con probabilidad de éxito de 0.3.
X= variable de éxito
P= probabilidad de éxito
1
Cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 0.5 de que
caiga en “cara”. Sea
X = 1 si la moneda cae en “cara” y X = 0 si cae en “cruz”. ¿Cuál es la
distribución de X?
Solución
Puesto que X =1 cuando cae “cara”, ésta es resultado de éxito. La
probabilidad de éxito,
P(X = 1), es igual a 0.5. Por tanto, X = Bernoulli (0.5).
2
Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea
X = 1 si el dado
Cae seis y X = 0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?
Solución
La probabilidad de éxito es p = P(X = 1) =1/6. Por lo que X = Bernoulli
(1/6).
3
Diez por ciento de los componentes fabricados mediante determinado
proceso está defectuoso.
Se selecciona un componente aleatoriamente. Sea X = 1 si el componente
está defectuoso y
X = 0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?
Solución
La probabilidad de éxito es p = P(X = 1) =0.1. Por lo que X = Bernoulli
(0.1).
𝑥~𝐵𝑒(0.3)
DISTRIBUCIONES

2. 22-2-2015
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Distribución Binomial
Son más de 2 ensayos de bernoulli y estas probabilidades se acumulan para sacar la
probabilidad de éxito y fracaso, es una variable discreta y su función es
P(x=k) =nCk 𝑝 𝑘
(1 − 𝑝) 𝑛−𝑘
N=numero de ensayos
X=numero de éxitos
Q=probabilidad de fracasos
P=probabilidad de éxito
Ejemplo:
1
Un lote contiene varios miles de componentes, de éstos 10% están defectuosos. Se
extraen
Siete componentes de la población. Sea X el número de componentes defectuosos en la
muestra.
¿Cuál es la distribución de X?
Solución
Puesto que el tamaño muestral es pequeño en comparación con la población (es decir,
menor
A 5%), su número de éxitos representa una distribución binomial. Por tanto, se modela X
con
La distribución binomial Bin (7, 0.1).
2
Un ingeniero que supervisa el control de calidad está probando la calibración de una
máquina
Que empaca helado en contenedores. En una muestra de 20 de éstos, tres no están del
todo
Llenos. Estime la probabilidad p de que la máquina no llene bien un contenedor.
Solución
La proporción muestral de contenedores no llenos es ˆp =3/20 =0.15. Se estima que la
probabilidad
p de que la máquina no llene bien un contenedor es también igual a 0.15.

3. 22-2-2015
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3
Se lanza al aire ocho veces un dado. Determine la probabilidad de que no salgan más de
dos
Números seis.
Solución
Cada lanzamiento del dado es un experimento Bernoulli con una probabilidad de éxito de
1/6.
Sea X el número de seises en los ocho lanzamientos. Entonces X = Bin (8, 1/6). Se
necesita
Determinar a P(X = 2). Con el uso de la función de masa de probabilidad,
L a ú lt im a n o ve la d e un au t o r h a ten id o u n g ra n é xit o , ha st a e l
p u n to de qu e e l 8 0 % de lo s le ct o re s ya la h an le ído . Un g ru p o
d e 4 am ig o s so n af icio n ad o s a la le ct u ra :
¿Cu á l e s la p ro ba b ilid a d d e q ue en e l g rup o h a ya le í d o la
n o ve la 2 pe rso nas?
¿Y có m o m á xim o 2 ?
¿Cu á l e s la p ro ba b ilid a d d e q ue en e l g rup o h a ya le í d o la
n o ve la 2 pe rso nas?
B (4 , 0 .2 ) p = 0. 8 q = 0 . 2
¿Y có m o m á xim o 2 ?

4. 22-2-2015
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Distribución de poisson
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que se expresa a
partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un
determinado número de eventos durante cierto período de tiempo.
Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con
probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".
1
Unas partículas están suspendidas en un medio líquido con concentración de seis
partículas
Por mL. Se agita por completo un volumen grande de la suspensión, y después se extrae
3 mL.
¿Cuál es la probabilidad de que sólo se retiren 15 partículas?
Solución
Sea X el número de partículas extraídas. El número promedio de partículas en un
volumen
De 3 mL es 18. Entonces X =Poisson (18). La probabilidad de que se extraigan sólo 15
partículas.
2
Una prueba de resistencia de soldadura consiste en poner carga en uniones soldadas
hasta que se dé una ruptura. Para cierto tipo de soldadura, 80% de las rupturas ocurre en
la propia soldadura.
Mientras que otro 20% se da en las vigas. Se prueba cierto número de soldaduras. Sea
X el número de pruebas, incluyendo la primera prueba que da como resultado la ruptura
de la viga. ¿Cuál es la distribución de X?
Solución
Cada prueba es un ensayo de Bernoulli, con un éxito definido como la ruptura de una
viga.
Por consiguiente, la probabilidad de éxito es p=0.2. El número de ensayos incluyendo al
Primer éxito tiene una distribución geométrica con parámetro p=0.2. Por consecuencia,
X =Geom (0.2).

5. 22-2-2015
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3
La abuela hornea galletas de chispas de chocolates en grupos de 100. Ella agrega 300
chispas en la masa. Cuando las galletas están hechas, le ofrece una. ¿Cuál es la
probabilidad de que su galleta no tenga chispas de chocolate?
Solución
Éste es otro caso de partículas en suspensión. Sea X el número de chispas en su galleta.
La
Media del número de chispas es tres en cada galleta, de forma que X = Poisson (3). De
ahí que
P(X = 0) =e =330/0! = 0.0498.
Distribución exponencial
La distribución exponencial tiene una gran utilidad práctica ya que podemos considerarla
como un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre
dos hechos que sigan un proceso de Poisson. De hecho la distribución exponencial puede
derivarse de un proceso experimental de Poisson con las mismas características que las
que enunciábamos al estudiar la distribución de Poisson, pero tomando como variable
aleatoria, en este caso, el tiempo que tarda en producirse un hecho.
Obviamente, entonces, la variable aleatoria será continua. Por otro lado existe una
parámetro de intensidad del proceso ۷, esta relación es a =۷
La distribución exponencial es una distribución continua que algunas veces se utiliza
para
Modelar el tiempo que transcurre antes de que ocurra un evento.
1
Una masa radiactiva emite partículas de acuerdo con un proceso de Poisson a una media
de razón de 15 partículas por minuto. En algún punto inicia un reloj. ¿Cuál es la
probabilidad de que transcurran cinco segundos antes de la siguiente emisión? ¿Cuál es
la media del tiempo de espera hasta que se emite la siguiente partícula?
Solución
El tiempo se medirá en segundos. T denota el tiempo en segundos que transcurre antes
de que se emita la siguiente partícula. La media de la razón de las emisiones es de 0.25
por segundo, por lo que el parámetro de razón es λ _ 0.25 y T _ Exp (0.25). La
probabilidad de que transcurran más de cinco segundos antes de la siguiente emisión es
igual a 0.2865.

6. 22-2-2015
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2
Se toma una muestra aleatoria de tamaño 5 de una distribución Exp(λ). Los valores son
7.71,
1.32, 7.46, 6.53 y 0.44. Encuentre un estimador con corrección de sesgo de λ.
Solución
La media muestral esX =
=4.6920. El tamaño muestral es n = 5. El estimador con corrección de sesgo de λ es 5/
[6(4.6920)] = 0.178.
3
El número de visitas a un sitio web sigue un proceso de Poisson con una razón de tres
por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurra más de un minuto sin recibir una
visita? Si transcurren dos minutos sin una visita, ¿cuál es la probabilidad que se dé una
visita en el siguiente minuto?
Solución
Sea T el tiempo de espera en minutos hasta la siguiente visita. Entonces T _ Exp (3). La
probabilidad de que transcurra un minuto sin ninguna visita es P (T = 1) = e=3(1) =
0.0498. Debido a la propiedad de falta de memoria, la probabilidad de que pase un minuto
adicional sin ninguna visita, dado que han transcurrido dos minutos sin una visita, es
también igual a 0.0498. Por tanto, la probabilidad de que ocurra una visita en el siguiente
minuto es igual a 1 =0.0498 = 0.9502.