Aún no está completo, faltan varios detalles, pero sólo es un trabajo preliminar :)

1. Mineralogía cuántica
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
Ortiz Osio Manuel
Los minerales deben su forma a la red cristalina definida y al
arreglo ordenado de sus átomos. Debido a esto cada mineral es
diferente y por lo tanto tiene propiedades distintas. Una de las
diferencias entre ellos es la forma en la que reflejan la luz,
pero la luz visible es tan sólo una pequeña parte del espectro
completo. Para comprender el porqué del comportamiento de la
radiación en la estructura cristalina es necesario entender el
comportamiento de los átomos que componen a los minerales.

2. ÍNDICE
INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………………………………………….2
LA NATURALEZA DE LOS MINERALES…………………………………………………………………………3
INTRODUCCIÓN A LA NATURALEZA DE LOS MINERALES…………………………………………………………………….3
DEFINICIÓN FORMAL DE MINERAL………………………………………………………………………………………………....4
ENLACES QUÍMICOS……………………………………………………………………………………………………………………….5
ESTRUCTURA DE LOS MINERALES……………………………………………………………………………………………………6
LA TEORÍA DE BANDAS DE LOS SÓLIDOS………………………………………………………………………………………….7
1
.
CRISTALOGRAFÍA…………………………………………………………………………………………………….9
SIMETRÍA DE CRISTALES………………………………………………………………………………………………………………….9
ELEMENTOS DE SIMETRÍA EXTERNOS……………………………………………………………………………………………….9
LOS SIETE SISTEMAS CRISTALINOS………………………………………………………………………………………………….10
.
LAS PROPIEDADES ÓPTICAS DE LOS MINERALES……………………………………………………..…12
RADIACIÓN………………………………………………………………………………………………………………………………….12
.
EL COMPORTAMIENTO DE LA LUZ………………………………………………………………………………………………….13
DISPERSIÓN…………………………………………………………………………………………………………………………………14
PROPIEDADES ÓPTICAS DE LOS MINERALES……………………………………………………………………………………14

3. INTRODUCCIÓN
Universo: lugar donde existen infinitas posibilidades, energía pura manifestándose en
cada rincón demostrando la furia de la naturaleza celestial, gotas de sufrimiento caen
de los fanales del universo para luego cristalizar en materia, lágrimas de energía viva
que gritan con estruendoso gemido. Ahora tomamos algunas de esas gotas
solidificadas, buscamos esperando encontrar respuesta a nuestras interrogantes,
2
contemplamos que el corazón de la materia se niega a ser dominado, pero aun así
continúa nuestra lucha bestial por conocerlo todo. Minerales: semillas del todo,
cimientos de nuestra civilización.
Con el tiempo se fue descubriendo que los minerales tenían ciertas
propiedades que se podían aplicar para el beneficio propio y de la humanidad. Ya
que conocemos las propiedades ahora sigue buscar minerales que sean iguales para
seguir aprovechando la propiedad, para poder identificar minerales se usan varias
técnicas que se basan en la medición de propiedades físicas, ópticas y químicas.
Al principio el objetivo de éste trabajo era
mencionar y explicar los métodos ópticos con los
cuáles se logra el objetivo anterior; pero mientras lo
desarrollaba, por cuenta propia elaboraba una
investigación centrada en física moderna, me di
cuenta que el uso de los métodos ópticos de
identificación se basa en la mecánica cuántica y me
nació el gusto por hacer un trabajo más centrado en
ésta rama de la física. Ahora cambiaría el objetivo
por ver cómo se comportan los átomos de los
minerales con la interacción de energía y con esto
determinar de qué mineral se trata.
Procuré incluir en éste trabajo parte de los conocimientos previos necesarios
para comprender el objetivo principal, sin embargo, éstos no están completamente
desarrollados para evitar un trabajo muy denso, en ciertas líneas será necesario
confiar que los teoremas se cumplen e incluso habrá temas en los que se requerirá
conocimientos un poco más profundos de química y mecánica cuántica, también serán

4. necesarios conocimientos básicos de electricidad, aun así éste trabajo sigue siendo
entendible aunque no se posean los antecedentes necesarios. Sin más espero que ésta
pequeña investigación sea útil para usted y encuentre la información que necesite.
LA NATURALEZA DE LOS MINERALES
3
Introducción al reino de los minerales
La mineralogía es la más antigua de las ciencias de la Tierra. La palabra mineralogía
comienza a usarse en 1690 pero el concepto moderno de mineral (Cuerpo de origen
natural de química homogénea) fue establecido en el comienzo del siglo diecinueve.
Descubrimientos tecnológicos nos ayudan a profundizar en su composición y
estructura; ahora se conocen los fenómenos relacionados a los cambios que sufren los
minerales, tanto físicos como químicos. Hoy, física, química y ciencias de los materiales
están unidos a la mineralogía.
Muchos minerales poseen gran belleza, no sólo
cuándo se pulen, también en su estado natural, sin
embargo, hay otros aspectos por los cuáles un mineral es
interesante. Uno de éstos es su aplicación como mena.
Esta aplicación reside en la composición química
porque esto determina que elementos pueden ser
ganados en la fundición o por metasomatismo, los
sulfuros de cobre (Cu(SO4)-5H2O) y zinc (ZnS) son
ejemplos de minerales que tienen esta aplicación.
Las propiedades de los minerales se pueden aplicar,
por ejemplo, el grafito (C) debido a su suavidad se usa como
lubricante o en su uso como punta de lápiz, otros tienen
propiedades ópticas, piezoeléctricas y magnéticas, la
piezoelectricidad del cuarzo (SiO2) se usa en relojes y
medidores de presión y también tiene la propiedad de

5. producir chispas al recibir un golpe; las propiedades ópticas de la calcita (CaCO3)
pueden aplicarse a polarizar la luz; la magnetita(Fe2+(Fe3+)2O4) y la pirrotita (Fe(1-x)S
(x = 0 -0.2)) minerales que tienen la propiedad natural de atraer el hierro.
Una tercera aplicación de los minerales es que se asocian a rocas, estas
asociaciones revelan información acerca de procesos geológicos. Petrología, el estudio
de los agregados minerales, está inevitablemente unido a mineralogía. Después viene
el estudio de cómo las estructuras minerales y sus composiciones cambian con la
presión y temperatura, ésta es la evidencia experimental de las teorías de la evolución
de la corteza terrestre y, de la estructura y composición del interior de la Tierra. 4
El reconocimiento de la importancia de la disposición estructural de los átomos
y su relación fundamental a la composición de minerales se inició en la segunda mitad
del siglo diecinueve pero los científicos carecían de un método para determinarla. En
1912 Max von Laue fue el primero en demostrar que un cristal puede ser usado como
un enrejado tridimensional para difractar un haz de rayos X. De los ángulos formados
por la difracción de los rayos-x podemos determinar las distancias entre los planos de
átomos que conforman un cristal y estudiando la intensidad de los rayos difractados
podemos hacer deducciones acerca de las posiciones de los átomos de los diferentes
elementos de dichos planos.
Definición formal de mineral
Un mineral es un cuerpo sólido homogéneo, formado por procesos naturales, que tiene
un arreglo atómico definido que tiene limitado el rango de su composición química lo
cuál le da sus características y propiedades físicas. 1
Una definición más formal es:
Un mineral es un sólido inorgánico originado por procesos geológicos, con un arreglo
atómico ordenado y una composición química definida y homogénea la cuál puede
variar dentro de ciertos límites.
1
M. H. Battey; Mineralogy for students; Tercera edición; Longman; Inglaterra; 1997; p 2.

6. Ésta definición excluye todos los líquidos, gases, materiales elaborados por el hombre,
sustancias amorfas y cualquier otro que no sea creado por procesos geológicos,
excepto el mercurio y el hielo que son considerados minerales.
Existen más de 4000 especies de minerales, número que se incrementa poco a
poco debido a nuevos hallazgos.
Minerales que tienen una estructura en común se les llama isomorfos o
isoestructurales, por ejemplo la serie del granate y el grupo del olivino.
5
Minerales con la misma composición química
pero con diferentes estructuras cristalinas se
llaman polimorfos, un claro ejemplo son el
diamante y el grafito. El diamante es usado para
el corte de piezas e incluso de rocas debido a su
gran dureza.
Enlaces químicos
La interacción entre los orbitales exteriores de electrones y la transferencia total o
parcial de electrones del control del núcleo de un átomo a otro produce fuerzas que
unen a los átomos. Éstas fuerzas pueden ser de carácter electroestático o pueden surgir
por la reducción de energía total de los electrones del último orbital, resultado de
compartirlos, en consecuencia incrementa la estabilidad del sistema. Existen 4 tipos
principales de enlaces:
o Enlace electroestático
Es el más débil de los enlaces químicos. Éste tipo de enlace también es conocido
como enlace de Van der Waals, se trata de una fuerza atractiva sin dirección.
Un par de electrones puede actuar como un dipolo negativo y esos electrones
pueden atraer el dipolo positivo de otro átomo. El par de electrones es
compartido a los dos átomos formando un enlace electroestático. Los minerales
con éste enlace son blandos y presentan crucero en la dirección del enlace. Por

7. ejemplo la moscovita (KAl2(Si3Al)O10(OH)2) en su plano de crucero, es usada
como absorbente y lubricante.
o Enlace iónico
El modelo iónico para enlaces está basado en atracción electroestática entre
iones de carga opuesta (aniones y cationes). Los minerales con éste tipo de
enlace son duros, malos conductores de electricidad y tienen altos puntos de
fusión y ebullición. Por ejemplo la Halita (NaCl) que es usada como
anticongelante y para la industria de la alimentación.
o Enlace covalente 6
El enlace covalente es formado cuando dos átomos comparten un par de
electrones. Los minerales con éste enlace son aislantes térmicos y eléctricos y
presentan varios puntos de fusión. Por ejemplo el topacio (Al2SiO4(OH, F)2)
que su principal uso es como piedra preciosa.
o Enlace metálico
Los metales son conductores de electricidad, y eso implica que los electrones
deben ser libres de fluir a través de la estructura cristalina bajo la influencia de
una pequeña diferencia de potencial. Los minerales con éste enlace son
dúctiles y maleables, buenos conductores de cualquier tipo de energía y son
opacos a la luz. Por ejemplo el oro (Au) que es usado cono metal precioso y para
la industria debido a su alta maleabilidad.
Estructura de los minerales
Un cristal ideal esta compuesto de átomos acomodados en una red cristalina, definido
por los vectores fundamentales ⃗, ⃗, ⃗, tal que el arreglo atómico es el mismo visto en
el punto ⃗ como desde otro punto cualquiera ⃗:
⃗= ⃗+ ⃗+ ⃗+
′ ⃗
donde , , y son enteros arbitrarios.
El conjunto de puntos ⃗, para todos los valores de ,
′
,y definen una red cristalina, es decir una red se puede

8. definir como un arreglo periódico regular de puntos en el espacio definidos por ⃗.
′
Una estructura cristalina se forma cuando una base de átomos ó moléculas es
ubicada idénticamente en cada punto de la red, con lo que:
= +
La celda unitaria es una región de la red definida por medio de
los tres vectores de translación ⃗, ⃗, ⃗ por lo que queda definido por un
paralelogramo, que al ser repetido indefinidamente en sus tres 7
dimensiones a través de sus vectores forman una red Ésta celda unitaria
es desde la cuál comienza la acreción de material para formar el cristal.
o Empaque cerrado
Una de las estructuras fundamentales implica el empaquetamiento cerrado en
esferas. Si comenzamos con un conjunto de átomos del mismo tipo y tamaño y
los empaquetamos en hojas de un átomo de espesor y minimizamos el espacio
entre los átomos, el resultado es una hoja que contiene átomos rodeados por
seis átomos vecinos en el plano. Ahora si deseamos llenar el espacio en tres
dimensiones debemos apilar éstas capas. Para hacerlo más eficiente los átomos
de arriba deben de ser posicionados sobre los agujeros de la capa inferior. Si
continuamos apilando obtendremos una secuencia con simetría hexagonal
viendo las capas de manera perpendicular, éste arreglo
posee alta simetría y la simetría del conjunto es cúbica.
Ésta forma es conocida como empaquetamiento
cerrado cúbico. Así mismo podemos hacer
empaquetamientos con distinto número de átomos
rodeando a uno sólo.
o Coordinación de poliedros
Muchos de los principales silicatos formadores de rocas
tienen estructuras las cuales son difíciles o
inapropiadas para tratarlas en términos de un empaque cerrado. Estas
estructuras son más fáciles de visualizar en términos de marcos basados en los
enlaces.
Estructura del diamante: Cada átomo tiene 4 vecinos más cercanos y 12 de segundos
vecinos.

9. El número total de átomos en una celda unitaria es
de:
La teoría de bandas de los sólidos
Los electrones no giran en órbitas perfectas alrededor del
núcleo de los átomos, en realidad lo hacen dentro de una zona,
los electrones lucen como una nube alrededor del núcleo. A 8
dichas zonas se les denomina niveles de energía y tienen
limitado el número de electrones que puede orbitar en él,
electrones en un nivel superior tienen más energía que los que
se encuentran en uno inferior.
En casi todos los minerales, los átomos están tan próximos entre sí, que los
electrones de valencia constituyen un sistema único de electrones comunes a todo el
cristal. Este sistema de electrones cumple el principio de exclusión, puesto que los
estados de energía de las capas externas de los átomos están todos alterados de alguna
manera por sus interacciones mutuas 2. En lugar de cada nivel de energía de
características bien definidas de un átomo individual, todo el cristal posee una banda
de energía compuesta de una miríada de niveles muy próximos unos a otros. Al existir
en el cristal tantos niveles como átomos, la banda no se puede distinguir de un
desarrollo continuo de energías permitidas. La presencia de bandas de energía, los
saltos que pueden existir entre ellas, y el grado de en que pueden estar llenos por
electrones, no sólo determinan el comportamiento del mineral, sino también tienen
una influencia importante en otras de sus propiedades.
Las bandas de energía del mineral corresponden a los niveles de energía de un
átomo, de modo que un electrón en un mineral puede poseer aquellas energías que
caen dentro de estas bandas. En un mineral, las bandas se pueden traslapar, en cuyo
caso sus electrones tienen una distribución continua de energías permitidas. En otros
casos las bandas no se pueden traslapar y los intervalos entre ellas representan
energías que no pueden poseer los electrones. Estos intervalos reciben el nombre de
2
El principio de exclusión es un tema que se sale de los objetivos del trabajo: no puede haber dos
fermiones con números cuánticos idénticos en el mismo sistema cuántico ligado. Basta en confiar que
se cumple la teoría.

10. bandas prohibidas. El comportamiento eléctrico de un cristal depende de la
estructura de sus bandas de energía y de cómo estén ocupadas normalmente por
electrones.
Por ejemplo para el diamante, hay una banda de energía totalmente ocupada
por electrones, separada por un salto de 6 3 de la banda vacía que está por encima
de ella. Esto quiere decir que hay que suministrar 6 de energía adicional a un
electrón en un cristal de diamante para que pueda tener energía cinética, ya que no
puede tener una energía comprendida en una banda prohibida. Un aumento de
9
energía de esta magnitud no puede suministrarse fácilmente a un electrón en un
cristal por medio de un campo eléctrico. Un electrón que se mueve en un cristal choca
con una imperfección de la red cristalina después de un recorrido medio de alrededor
de ~10 , de modo que en el choque pierde mucha de la energía obtenida del
campo eléctrico. Es necesaria una intensidad de campo eléctrico de 6 × 10 para
que un electrón gane 6 en un recorrido de 10 . Esta cantidad es más de 10
veces mayor que la requerida para producir corriente en el sodio.
El diamante es, por lo tanto, un mal conductor de la electricidad.
El silicio tiene una estructura cristalina parecida a la del
diamante y, como en el diamante, un espacio separa la parte
superior de una banda de energía llena de la banda vacía
siguiente. Sin embargo, la banda prohibida en el silicio tiene una
amplitud de sólo 1.1 . A temperaturas bajas, el silicio es un
conductor un poco mejor que el diamante, pero a temperatura
ambiente, una pequeña proporción de sus electrones poseen la
energía cinética de origen térmico necesaria para saltar sobre la banda prohibida y
entrar en la banda de energía superior. Estos electrones son suficientes para permitir
que circule algo de corriente cuando se aplica un campo eléctrico.
Cristalografía
3
= 1.60217646 × 10 Es la energía cinética que adquiere un electrón cuando
es acelerado por una diferencia de potencial de 1 Volt. Se obtiene al multiplicar la carga del electrón
por la unidad de potencial eléctrico V.

11. Simetría de cristales
La cristalografía puede ser vista como el conjunto de reglas que nos permiten
describir (y usar) la simetría de la estructura del cristal. Estas reglas aplican para
cualquier cristal, sea mineral, metal o proteína.
Cuándo los cristales crecen, los iones y las moléculas que lo componen son 10
siempre unidas en un patrón geométrico regular limitado por caras planas. Algunas
de las caras son más grandes que otras, porque el material es sumado a diferentes tasas
y en diferentes direcciones.
Los elementos de simetría externa
1. Eje de rotación. Si se pudiera hacer pasar un eje que
atravesara un objeto y se rotara alrededor de éste, le da
al observador exactamente la misma forma como si le
hubiera dado una rotación completa, el objeto tiene un
eje un eje de rotación de simetría. En cristales los ejes
pueden ser binarios, ternarios, cuaternarios o senarios
según el número de veces que al rotar se vea la misma
forma.
2. Plano de simetría (plano espejo). Si se pudiera hacer pasar un plano con la
característica que un lado del plano fuera exactamente equivalente al otro, en
relación de espejo, entonces éste es un plano de simetría.
3. Centro de simetría. Cuando cada lado del objeto puede se unido por una línea
imaginaria atravesando el centro del objeto a otra cara exactamente similar a
la misma distancia del centro que la del otro lado, el objeto tiene un centro de
simetría.
4. Eje de rotación inverso o eje de inversión. Éste elemento es un poco más
complicado que los demás, éste presenta una rotación seguida de una inversión
a través del centro, llevando al punto a una nueva posición, el proceso al ser

12. repetido regresa al punto a su posición original. Se nombran al igual que los
ejes de simetría pero aclarando que se trata de un eje de inversión.
Los siete sistemas cristalinos
Estos cuatro elementos de simetría pueden ser usados para agrupar todos los cristales
en siete sistemas cristalinos, su clasificación depende de los elementos de simetría que 11
tenga el cristal, éstos son los sistemas cúbico (el de mayor simetría), tetragonal,
hexagonal, trigonal, ortorrómbico, monoclínico y triclínico (el de menor simetría).
Sistema cúbico: oro (Au) usado en medicina y como metal precioso.
Tetragonal: calcopirita (CuFeS2) usada como mena de cobre.
Ortorrómbico: celestina (SrSO4) se usa en la preparación de nitrato de estroncio
(fuegos artificiales) y en la industria de la energía nuclear.
Monoclínico: ortoclasa (KAlSi3O8) se usa en la industria de la porcelana y como
aislante eléctrico.
Triclínico: wollastonita (CaSiO3 - Ca3[Si3O9]) importante mineral industrial,
sustituto de asbestos y aditivo de pinturas.
Hexagonal: berilo (Be3Al2Si6O18) se usa como mena del berilio.
Trigonal: calcita (CaCO3) usado como agregado pétreo.
Elementos de simetría Símbolos de Sistema cristalino Elemento de simetría
de las clases de Hermann-Mauguin característico del
simetría sistema cristalino
3A4 4A3 6A2 9M C 4/m32/m Cúbico 4 ejes ternarios
3A4 4A3 6A2 432
3A2 4A3 6M 43m
3A2 4A3 3M C 2/m3
3A2 4A3 23
1A4 4A2 5M C 4/m2/m2/m Tetragonal 1 eje cuaternario o un eje
1A4 4A2 422 de inversión cuaternario
1A4 4M 4mm (4)
1A4 2A2 2M 42m
1A4 1M C 4/m
1A4 4

13. 1 eje de inversión 4
cuaternario
3A2 3M C 2/m2/m2/m Ortorrómbico 3 ejes binarios o
3A2 222 1 eje binario y
1A2 2M Mm2 2 de inversión binarios
(2) = m
1A2 1M C 2/m Monoclínico 1 eje binario o
1A2 2 1 eje de inversión binario
1M m = (2) o ambos
C 1 Triclínico 1 eje unario de
Sin simetría 1 rotoinversión o eje
unario
1A6 6A2 7M C 6/m2/m2/m Hexagonal 1 eje senario o 1 eje de 12
1A6 6A2 622 inversión senario
1A6 6M 6mm
1A3 3A2 4M 6m2
1A6 1M C 6/m
1A6 6
1A3 1M 6
1A3 3A2 3M C 32/m Trigonal 1 eje ternario
1A3 3A2 32
1A3 3M 3m
1A3 C 3
1A3 3
Índices de Miller
A
Las propiedades Ópticas de los minerales
Radiación
La radiación puede ser definida como aquello que
no tiene características de un cuerpo y por lo tanto

14. no se comporta como tal, la cual puede transmitirse a través del espacio4. Están
descritas por las ecuaciones que se derivan de las de James Clerk Maxwell en 1865, 5
como una perturbación electromagnética generada en pulsos, con un vector de
energía eléctrica en ángulos rectos a la dirección del movimiento, y asociado un
vector de energía magnética también en ángulos rectos a la dirección de propagación
y al mismo tiempo normal al vector eléctrico.
Cuándo la radiación electromagnética se encuentra con materia interactúa
con ella. La interacción de la radiación electromagnética con materia puede provocar
diferentes patrones que están relacionados con la materia misma. Los espectros 13
formados por la radiación tienen diferentes longitudes de onda.
La velocidad de la onda es la distancia recorrida por unidad de tiempo (la
velocidad es constante, sin importar el marco de referencia que se elija, es una
propiedad intrínseca de la luz)
=
La frecuencia, es el número de oscilaciones completas hechas por una partícula por
unidad de tiempo.6
1
=
La frecuencia es la propiedad fundamental de una perturbación electromagnética
que permanece sin cambios durante la interacción con la materia se le relaciona con
una .
=
En el vacío donde la velocidad de toda la radiación electromagnética es la misma, la
frecuencia y longitud de onda varían juntas. Esto se cumple para la transmisión en
cualquier otro medio uniforme.
4
En ciertas ocasiones la radiación puede comportarse como cuerpos con masa.
5
Philos. Trans R. Soc. 155: 459-512. Véase también Phemister, T.C. 1954, Am. Miner. 39: 172.
6
No hay partículas como tal en la radiación electromagnética, se usa la analogía de las ondas
causadas por una perturbación en el agua.

15. =
La frecuencia de la luz tendrá siempre una velocidad y longitud de onda apropiada al
tiempo de transmisión, y es lo que asociamos al color, básicamente depende de la
frecuencia. Durante el paso de la luz por una sustancia ciertas frecuencias son más
absorbidas que otras.
14
El comportamiento de la luz
Aplicando éstos conceptos a la parte visible del espectro
electromagnético, con longitudes de onda que van desde los 390
nm a 770 nm, el primer punto a notar es que la velocidad de la
radiación es reducida cuando se transmite a través de la materia (la
velocidad de la luz en el vacío es de 3x105 km/s pero para
propósitos prácticos se usa también como velocidad en el aire) esto
se debe a la densidad del medio que atraviesa la cuál depende del
empaquetamiento del cristal (para nuestro caso) la longitud de
onda de la luz resulta ser mayor al espacio entre los planos de
átomos del cristal, esto lo veremos con más detalle en los temas de propiedades ópticas
y difracciones.
La reacción subyacente para éste frenado es que el vector eléctrico de la
radiación distorsiona, o polariza, las nubes electrónicas de los átomos en su camino,
imponiéndoles vibraciones que variarán en amplitud, dependiendo de la estructura
electrónica y las combinaciones químicas de los átomos. Ésta interacción reduce la
velocidad de propagación de la luz y la medida de éste retardo temporal es el índice
refractivo de la sustancia atravesada. Al mismo tiempo, la energía de la luz es
absorbida a mayor o menor grado, tal que la intensidad se reduce. Ésta es la absorción
de luz de la sustancia, y dicha absorción propicia que la sustancia sea más opaca.
Dispersión

16. Cuando la luz del sol pasa a través de un prisma (o cualquier
pieza de vidrio con dos superficies no paralelas) ésta es “rota” y
separada en los colores del espectro visible. Esto pasa porque el
índice refractivo de el vidrio difiere para diferentes longitudes
de onda de la luz, vibraciones de corta longitud de onda
(digamos 440 nm que da la sensación de violeta a el ojo) son
más fuertemente refractadas que longitudes de onda largas
(por ejemplo 760 nm que da la sensación de rojo). La separación 15
de las diferentes longitudes de onda es llamada dispersión.
Es la variación de cualquier propiedad óptica con la (longitud de onda),
aunque empleado sólo es la variación del índice de refracción con la . Los átomos de
los minerales pueden comportarse como dipolos, caracterizados por su momento
dipolar, en presencia de un campo eléctrico. La suma de todos los momentos dipolares
en la unidad de volumen es la polarización.
Para un cristal transparente que absorbe muy pocas en
el visible o cerca del visible, el índice de refracción disminuye
de manera no lineal al aumentar la longitud de onda y la curva
resultante se denomina curva de dispersión. Se dispersión
normal cuándo el índice de refracción disminuye al aumentar
la longitud de onda y cuándo el índice de refracción aumenta
con la longitud de onda se denomina dispersión anómala, la
cuál es una consecuencia de la presencia directa de bandas de
absorción en el espectro visible.
Éstas curvas de dispersión suelen tener una pendiente más pronunciada en
materiales con alto índice de refracción en comparación con los que lo tienen bajo y
en sólidos que contienen elementos de transición (Fe, Ti) en comparación con los que
carecen de ellos.
La capacidad de dispersión de un cristal puede expresarse por su coeficiente
de dispersión que se define como:
=

17. Y por su poder dispersivo definido como:
−
=
−1
Ésta última expresión muestra la capacidad de un cristal transparente de separar la
luz blanca en sus diferentes componentes.
Los subíndices corresponden a las líneas de Fraunhofer, asociadas con
particulares:
16
Línea de Fraunhofer ( )
A 759.4
B 687
C 656.3
D 589.3
E 526.9
F 486.1
G 430.8
Índice refractivo
El índice refractivo de la sustancia es definido como la relación de la velocidad de la
luz en el aire con la velocidad de la luz en la sustancia.
=
Sustancias isotrópicas y anisotrópicas

18. Líquidos y gases no tienen una estructura atómica regular, consisten de átomos o
moléculas en arreglo aleatorio. A causa de esto, todas las direcciones a través de ellos
son estadísticamente iguales, y acorde con ello poseen sólo un valor de índice
refractivo el cuál es el mismo en cualquier dirección por el que viaje la luz.
Sustancias que cristalizan en el sistema cúbico también tienen un valor de
índice refractivo. Éstas tienen un arreglo atómico regular y la simetría del arreglo es
muy alta, la luz al atravesarla es retardada al mismo grado. Sustancias que tienen sólo
un valor de índice refractivo es descrita como ópticamente isotrópico.
17
Cristales con sistemas de menor simetría, afecta la luz de manera diferente de
acorde a la dirección en la que atraviesa el arreglo atómico. Ellos tienen un rango de
valores de índice refractivo son llamados ópticamente anisotrópicos.
Refracción por sustancias isotrópicas
Cuándo un rayo de luz pasa de un medio isotrópico
a otro de mayor densidad, atravesándolos en
dirección normal a la superficie entre ellos, su
velocidad disminuye, pero su dirección no cambia.
Cuándo el rayo de luz atraviesa la interfaz
de manera oblicua, la pérdida de velocidad de los
rayos provoca que se refracte, es decir, que el
ángulo en el que incide el rayo es “distorsionado”
en el segundo medio.
Reflexión por sustancias isotrópicas
Cuándo la luz pasa a través de un medio y golpea la interfaz con otro medio de
densidad óptica diferente, una proporción de la luz entra al segundo medio, y es

19. refractada de la manera antes descrita; pero parte de la luz se reflejará en la interfaz
regresando al primer medio.
Relación entre el índice refractivo con la
densidad y peso atómico
Gladstone y Dale, en 1863, dieron una relación empírica entre el índice refractivo y
densidad de sustancias en solución,
18
−1
= ,
donde es el índice refractivo, es la densidad y es llamada la refractividad
específica. Ellos también demostraron que la refractividad específica de una solución
es dada por la adición de las refractividades específicas de sus componentes:
−1 −1 −1
+ = ( + )
donde , son el peso de los componentes. Por otra parte, el cambio de estado
líquido a sólido apenas afecta la refractividad específica de una sustancia.
Por lo tanto si las refractividades específicas de los componentes de una mezcla
o un compuesto pueden ser determinadas y su densidad puede ser medida, el índice
refractivo de una mezcla o compuesto puede ser calculado mediante una
aproximación.
Una fórmula más compleja de relación entre índice refractivo y densidad fue
hecha por Lorentz y Lorenz en 1880:
−1 1
= .
+2
Sustancias anisotrópicas

20. Sustancias cristalinas con menor simetría que la
cúbica son isotrópicas a la luz. En esas sustancias el
índice refractivo para la luz es diferente para
diferentes direcciones de la vibración e el rayo de
luz, y las sustancias presentan una doble refracción
de luz o birrefringencia. En la calcita, luz que entra
normal a la interfaz es rota en dos rayos, uno de
ellos es refractado y el otro no. El rayo refractado
es llamado rayo extraordinario o rayo-E, y el rayo 19
no refractado, el cuál obedece la regla para
sustancias isotrópicas, es el rayo ordinario o Rayo-
O.
Después de la refracción en una sustancia anisotrópica, la dirección de
propagación de la energía de la luz –la dirección del rayo- ya no puede ser la misma
que la normal al frente de onda de las ondas de avance que componen el haz de luz.
Lo más importante es el hecho de que la velocidad de la onda normal no
depende de su dirección o la dirección del rayo, depende de la dirección de vibración
de la luz. Las ondas viajan en diferentes direcciones, en los cristales tienen la misma
velocidad si las direcciones de vibración son cristalográficamente las mismas.
La razón de la importancia de la dirección de vibraciones se vuelve más claro
si pensamos en desplazamiento eléctrico de la luz interactuando con las nubes
cargadas de los átomos.
Con más generalidad, la birrefringencia se puede definir considerando una
permitividad dieléctrica y un índice de refracción tensoriales. Consideremos una
onda plana que se propaga en un medio anisotrópico, con un tensor de permitividad ,
con un índice de refracción tensorial definido por ∙ = . Si la onda tiene un
campo eléctrico vectorial de la forma:
( ∙ )
=
donde es el vector de posición y es el tiempo, el vector de ondas y la frecuencia
angular deben satisfacer las ecuaciones de Maxwell en el medio, que conducen a la
ecuación:

21. 1
−∇ × ∇ × = ∙
donde es la velocidad de la luz en el vacío. Sustituyendo el campo eléctrico en esta
ecuación llegamos a:
| | −( ∙ ) = ( ∙ )
Es frecuente emplear el nombre vector de desplazamiento dieléctrico para el 20
producto matricial = ( ∙ ). Así pues la birrefringencia trata sobre las relaciones
lineales generales entre estos dos vectores en medios anisotrópicos.
Para encontrar los valores permitidos de , se puede despejar de la última
ecuación. Una manera es escribir esta última en coordenadas cartesianas, con los ejes
cartesianos en la dirección de los autovectores de , así que:
0 0
= 0 0
0 0
De este modo, la ecuación se transforma en:
− − + + + =0
+ − − + + =0
+ + − − + =0
donde , , , , and son las componentes cartesianas de y
respectivamente. Se trata de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales en ,
y que sólo puede tener solución no trivial si el determinante asociado es cero:

22. ⎡ − − + ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
det ⎢ − − + ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ − − + ⎥
⎣ ⎦
=0
Desarrollando el determinante y reagrupando se puede obtener: 21
+ + +
− + +
+ + + + + =0
En un material uniaxial material dos de los índices de refracción coinciden; por
ejemplo: nx=ny=no and nz=ne. En este caso la ecuación anterior se simplifica:
+ + − + + − =0
Define una superficie en el espacio de vectores — la superficie de vectores de
ondas. El primero define una esfera y el segundo un elipsoide de revolución. Por tanto,
para cada dirección del vector de ondas existen dos vectores de onda posibles. Los
valores de k sobre la esfera corresponden a los rayos ordinarios, mientras que los
valores del elipsoide corresponden a los rayos extraordinarios.
Para un material biaxial la ecuación no se puede simplificar de este modo, y las
dos superficies de vectores de ondas son más complicadas.
Ley de Snell

23. Existe una relación entre las velocidades de los haces incidentes, reflejados y
refractados con los ángulos de los mismos, a dicha relación se le conoce como ley de
Snell.
En la trayectoria reflejada el tiempo total de trayectoria será:
1
= + = + = ( + )
Pero:
22
cos = ; =
cos
cos = ; =
cos
Sustituyendo:
1 1
= + = ( sec + sec )
cos cos
Diferenciando:
1
= ( sec tan + sec tan )
Para que sea mínimo: =0
1
( sec tan + sec tan ) = 0 ∴ sec tan
=− sec tan … . (1)
Como se tienen dos incógnitas, es necesario establecer otra ecuación.
La suma de las abscisas de los dos puntos es constante, cualquiera que sea la
trayectoria reflejada, así:
+ =
tan = ; = tan y tan = ; = tan
Sustituyendo:

24. tan + tan =
Diferenciando:
sec + sec =0
Por lo tanto: sec =− sec … . (2)
Dividiendo (1) entre (2), miembro a miembro.
sec tan sec tan tan tan
=− ; = 23
sec − sec sec sec
Por lo tanto: sin = sin 1ra. LEY DE SNELL ó Ley de la Reflexión
En la trayectoria refractada:
= + = + Pero: cos = y =
Sustituyendo:
sec sec
= + = +
cos cos
Diferenciando:
sec tan sec tan
= +
Para hacerlo mínimo = 0 y despejando:
sec tan sec tan
=− … . (3)
De la segunda ecuación:
+ =
tan = ; = tan ; tan + tan =
Diferenciando:

25. sec + sec =0
De donde:
sec =− sec … . (4)
Dividiendo (3) entre (4):
sec tan − sec tan
=
sec − sec
24
tan tan cos sin cos sin
= ; =
sec sec cos cos
Por lo tanto: = 2da. KEY DE SNELL ó Ley de Refracción
Polarización de la luz
Cuándo la luz pasa a través de un cristal anisotrópico éste se polariza, el rayo-E vibra
solamente en un plano y el rayo-O en otro para el cuál forma ángulos rectos con el del
rayo-E.
Luz radiando de una fuente en el aire puede ser representada como un
movimiento oscilatorio o vibratorio en todas direcciones normales a su dirección de
viaje. Hay tres maneras en las que un haz de luz puede hacerse vibrar solamente en un
plano, puede ser convertida en luz plani-polarizada o luz polarizada. Estos métodos de
producción de luz polarizada disminuyen el flujo total de luz eliminando parte del haz
original usando reflexión, refracción y absorción.
Propiedades ópticas de los minerales
Todos los entes del universo interactúan entre sí, incluso la radiación. Vemos las cosas
porque la luz choca en ellas y es captada por nuestros ojos, los minerales tienen

26. distintas reacciones según la radiación que choque con ellos o los atraviese y según su
composición.
LUSTRE
El lustre o brillo es una propiedad física que describe la manera en que la luz
interactúa con la superficie de una roca, cristal o mineral y se refleja en ella. Depende
de varios factores, como son el índice de refracción del mineral, perfección en el
pulido de las caras del cristal y la absorción que el mineral tiene para cada color. Es
una propiedad compleja que describe el aspecto que presenta la superficie de un 25
mineral cuando se refleja la luz, por lo tanto depende de la intensidad de la reflexión.
El brillo no tiene relación alguna con el color del mineral. Los términos que se utilizan
para referirse al brillo tratan de ser descriptivos, pero se requiere un poco de
entrenamiento para su correcta utilización. En principio podemos dividir el brillo en
dos tipos: metálico, cuando su superficie brilla como los metales, reflejando totalmente
la luz. Si no es así, se dice que el brillo es no metálico. Depende del pulido superficial,
de la propiedad de absorción del material y de los índices refractivos.
DIAFANIDAD.
Llamada en algunas ocasiones transparencia, se refiere a la interacción de la luz con el
cristal. Describe si se trata de un cristal transparente, semitransparente, traslúcido,
semitraslúcido u opaco.
COLOR.
El color es la respuesta del ojo al rango visible (desde 350 hasta 700 ) del
espectro electromagnético.
Cuando la luz visible interacciona con un cristal o mineral puede ser
transmitida, reflejada, refractada, dispersada o absorbida. Si ninguna componente
(longitud de onda) de la luz sufre absorción por el mineral, éste la transmite y como
consecuencia el mineral es incoloro. Cuando determinadas componentes de luz
blanca son absorbidas por el mineral, éste es coloreado y su color resulta de la
combinación de las longitudes de onda de luz blanca que no han sido absorbidas.
Una de las causas principales del color de los minerales es la absorción
selectiva. Dicha absorción implica una transición electrónica de un electrón desde el
estado fundamental del estado excitado (de energía más elevada). Cuando la energía

27. necesaria para que el electrón transite, la absorbida, se encuentre dentro del rango de
la luz visible, es eliminada de la luz incidente y como consecuencia la que observa el
ojo humano es la combinación de las longitudes de onda transmitidas por el mineral.
MINERAL COLOR CROMÓFORO
Granate almandino rojo Fe2+
Esmeralda (berilo) verde Cr3+ o V3+ en coordinación octaédrica
Crisoberilo amarillo Fe3+ en coordinación octaédrica
Circón varios U4+
Apatito verde, amarillo tierras raras (neodimio, praseodimio) 26
Corundo (rubí) rojo Cr3+ en coordinación octaédrica
Sinhalita parda Fe2+
Olivino verde Fe2+ en coordinación octaédrica
Espinela sintética azul Co2+
El pleocroísmo es el cambio de color al girar el
cristal. Es una propiedad que sólo la presentan los
cristales anisótropos coloreados, pero no tienen
porqué presentarla todos. Se debe a una desigual
absorción de la luz (absorción selectiva) por los
cristales coloreados en diferentes orientaciones,
por lo que si es grande puede observarse a simple
vista, aunque se aprecia mejor con un polarizador. Un ejemplo es la cordierita
(Al3Mg2AlSi5O18) la cuál es considerada una piedra preciosa poco conocida.
El color de la raya es el color del polvo fino de un mineral. Este color es más preciso y
constante que el color del mineral que puede sufrir cambios debido a alteraciones en
su superficie.
Difracción de rayos X
En 1912 Friedrich, Knipping y von Laue demostraron que los rayos X fueron
difractados en su camino a través de un cristal. También W.L Bragg demostró cómo los
rayos difractados pueden ser tratados como reflexiones de planos de átomos en la

28. estructura cristalina. Él también demostró cómo el patrón de difracción puede ser
usado para determinar el arreglo de átomos en esos planos así como su estructura.
Los rayos X son ondas electromagnéticas que tienen longitud de onda de 0.002
a 10 nm. Las longitudes de onda corta son conocidas como rayos X; éstos son los más
penetrantes (después de los rayos gamma) y por ésta razón ellos pueden pasar a través
de sólidos sin dañarlos físicamente.
Un cristal está formado por una distribución regular de átomos, cada uno de los
cuales es capaz de dispersar cualquier onda electromagnética que incida sobre él. La 27
dispersión ocurre en forma directa. Un átomo en un campo eléctrico constante se
polariza, ya que sus electrones cargados negativamente y sus núcleos con carga
positiva experimentan fuerzas en sentidos opuestos. Estas fuerzas son pequeñas,
comparadas con las que mantienen unido al átomo y en consecuencia, el resultado es
una distribución de carga irregular equivalente a un dipolo eléctrico.
Un haz monocromático de rayos X que llegue a un cristal se dispersará en todas
direcciones dentro de él, pero, debido a la distribución regular de los átomos, en
ciertas direcciones las ondas dispersadas interferirán constructivamente, mientras que
en otras interferirán destructivamente.
En los cristales podemos definir familias de planos paralelos que son
compuestos por grupos de átomos. Un haz de rayos X de longitud de onda incide
formando un ángulo con la superficie de un cristal que contiene una familia de
planos paralelos separados entre sí por una distancia . El haz llega al átomo en el
primer plano y al átomo en el siguiente. Cada uno de ellos dispersa parte del haz de
en todas las direcciones del espacio. La interferencia constructiva tendrá lugar
solamente entre aquellos rayos dispersos que sean paralelos y cuyos recorridos
difieran exactamente en , 2 , 3 , . La diferencia de recorrido debe ser , siendo
un número entero. Los únicos rayos dispersados por y en los que se cumple esto
son los marcados por y . La primera condición en y es que el ángulo común de
dispersión sea igual al ángulo de incidencia del haz original. La segunda condición
es que
2 sin = = 1, 2, 3, …
Ya que el rayo debe recorrer la distancia 2 sin más que el rayo . El número
es el orden del haz dispersado.

29. Un haz colimado de rayos X incide sobre un cristal bajo un ángulo y se coloca
un detector, de modo que registre los rayos cuyo ángulo de dispersión sea también .
Cualquier rayo X que llegue al detector obedecerá a la primer condición de Bragg. Si
varía , el detector registrará los picos de intensidad correspondientes a los órdenes
predichos. Si se conoce el espaciamiento entre planos adyacentes en el cristal, la
longitud de onda de los rayos X se puede calcular.
¿Cómo podemos determinar el valor de ? Es un problema muy sencillo
en el caso de cristales isotrópicos como los del sistema cúbico, halita por ejemplo. El
28
peso molecular de la halita es 58.5, lo cual significa que hay 58.5 de halita en
1 ( ). Puesto que hay = 6.02 × 10 moléculas en 1 de
cualquier sustancia ( es el número de Avogadro), la masa de cada molécula de
halita, es decir, de cada par de átomos + , está dada por
1
= 58.5 ×
é
6.02 × 10
= 9.72 × 10
é
La halita tiene una densidad de 2.16 × 10 , y así, teniendo en cuenta que
hay dos átomos en cada molécula de , el número de átomos en 1 de halita es
1
=2 × 2.16 × 10 ×
é 9.72 × 10
é
á
Si es la distancia entre átomos adyacentes en un cristal, hay en
á
cualquiera de los tres ejes del cristal y en todo el cristal. De aquí
=
Y
= = (4.45 × 10 )
= 2.82 × 10

30. La longitud de onda de los rayos X usados en la cristalografía son menores a la
distancia entre los puntos del enrejado y casi iguala las distancias entre los átomos de
los cristales, los enlaces.
La cámara de polvo
29
La más simple (Debye-Scherrer), consta de una delgada placa de vidrio y una cámara
que produce los rayos X, la primera es rotada en el centro de la segunda en el haz de
rayos X. El espécimen es irradiado con rayos X monocromáticos por un periodo que
como mínimo es de media hora.
Cuando la grabación es revisada muestra lo siguiente:
Consideramos una familia de planos con espaciado que refleja rayos X con la
longitud de onda usado cuando el ángulo de incidencia es . El rayo reflejado por un
fragmento de cristal a éste ángulo reflejará un rayo a un ángulo de 2 con respecto
del rayo no desviado. El vidrio contiene fragmentos de cristal con todas las
orientaciones, los rayos X serán reflejados por familias de planos en todas las posibles
direcciones en ángulos de 2 con respecto del haz no reflejado.
= ( )
4
Un difractómetro de polvo mide las líneas con un detector electrónico
El detector es montado en un goniómetro que es rotado en ángulos de 2 por un
pequeño motor. Mientras el detector rota los rayos X difractados por los planos del
cristal son contados electrónicamente. Hay paquetes de cómputo que con todos los
datos obtenidos hace una carta con la cuál se pueden medir los espaciados y

31. determinar los centros de los picos. Cada modelo de la difracción es como la huella
digital del mineral, no hay dos minerales absolutamente idénticos.
Difracción de partículas
Una manifestación ondulatoria que no tiene analogía con el comportamiento
newtoniano de las partículas es la difracción. Davisson, Germer y Thomson
demostraron que los electrones se difractan al ser dispersados en cristales cuyos
30
átomos tienen un espaciamiento adecuado (hipótesis de Broglie).
La hipótesis de Broglie sugería la interpretación de que las ondas de
electrones las difractaba el blanco, en forma similar a como los rayos X son difractados
por planos de átomos en un cristal.
La energía de un electrón aumenta cuando penetra en un cristal, en una
cantidad igual a la función de trabajo de la superficie. Una complicación es que
debido a interferencias entre las ondas difractadas por las diferentes familias de
planos paralelos, que restringen la aparición de máximos para ciertas combinaciones
de la energía del electrón y del ángulo de incidencia.
La difracción de neutrones es usada para distinguir entre átomos de número
atómico similar, como Si y Al. La difracción de electrones también es usada para
estudiar el ordenamiento magnético en minerales.
Con los electrones es posible un patrón similar a las demás difracciones sin
necesidad de rotar el cristal en la dirección del haz. Otras diferencias entre las
difracción de electrones y rayos X es que son dispersados por las nubes de electrones
de los átomos en los planos del cristal, los electrones son dispersados cerca de cien
veces más que los rayos X. Esto permite el estudio de difracción débil.
Análisis de microsondas de electrones
Análisis de microsondas de electrones (EMPA), también llamado microanálisis de
sonda de electrones, es una técnica analítica que se utiliza para establecer la

32. composición de pequeñas áreas en muestras. EMPA es una de las varias técnicas de
rayos de partículas. Un haz de electrones acelerados es enfocado sobre la superficie de
una muestra utilizando una serie de lentes electromagnéticas, y estos electrones
energéticos producen rayos X característicos dentro de un volumen pequeño
(típicamente de 1 a 9 micras cúbicas) de la muestra. La característica de los rayos X
son detectados en longitudes de onda particulares, y sus intensidades se miden para
determinar las concentraciones. Todos los elementos (excepto H, He, y Li) se puede
detectar debido a que cada elemento tiene un conjunto específico de rayos X que
emite. Esta técnica tiene una alta resolución espacial y sensibilidad, y los análisis 31
individuales son razonablemente cortos, requiriendo sólo un minuto o dos en la
mayoría de los casos. Además, la microsonda de electrones puede funcionar como un
microscopio electrónico de barrido (SEM) y obtener imágenes altamente ampliadas.
Nuestra microsonda electrónica está equipada con una espectrometría de
energía dispersiva (EDS), el cual se utiliza principalmente para la identificación
cualitativa de los elementos. Podemos obtener un espectro de rayos X de energías 0 a
10 y lo mostrará en la pantalla de la computadora. Los picos se mostrarán en el
espectro, correspondiente a las energías de los elementos presentes en una muestra.
Éste método funciona gracias a la base de la teoría de bandas. Cuando un
electrón salta a un nivel de energía más bajo, algo le debe suceder a su exceso de
energía, no puede retener toda la energía que tenía en el nivel superior. Como
resultado, se emite el exceso de energía en forma de un fotón.
Los electrones se organizan en los niveles de energía que se pueden rellenar.
Los niveles están etiquetados K, L, M, N, y así sucesivamente, a partir de la más
interna. La capa K es el nivel más bajo de energía, y sus electrones están ligados más
estrechamente. La "separación" de los niveles de energía es diferente para cada
elemento. Además, cuando un electrón salta de, por ejemplo, la capa L de la capa K
en un elemento específico, se emite un fotón con la misma energía, la cual es igual a la
diferencia entre las dos carcasas. Debido a que la longitud de onda de un fotón es
inversamente proporcional a su energía, tal transición siempre dará un fotón con la
misma longitud de onda.
Puesto que el "espacio" de los niveles de energía difiere para cada elemento, las
transiciones que los electrones pueden someterse son diferentes para cada elemento.
Un elemento tiene un conjunto único de transiciones permitidas que producen fotones

33. con energías características y longitudes de onda. Cuando tales transiciones implican
capas internas de electrones, el fotón emitido cae en el rango de rayos X del espectro
electromagnético. Esto constituye la base del análisis de microsonda de electrones:
rayos X característicos se identifican usando sus energías únicas o longitudes de onda
para determinar la composición de la muestra. Un haz de electrones de alta energía
que bombardean la muestra permite a tales transiciones de electrones.
Los rayos X característicos que se producen cuando los electrones "caen" de un
nivel de energía superior a uno inferior, poseen longitudes de onda y energías
específicas de los elementos de los que los emiten. Dado que los niveles interiores 32
están normalmente llenos, un electrón debe ser retirado con el fin de crear una
vacante. Cuando una muestra es bombardeada por un haz de electrones, un haz de
electrones puede golpear a un electrón, el átomo se deja con una carga positiva. El
átomo sigue ionizado por un período corto, alrededor de 1 × 10 , antes de que
uno de los electrones capa externa salte hacia abajo para llenar esta vacante. Puesto
que un electrón que cae en la posición vacante debe perder algo de su energía, un
rayo X característico se emite.