Volatility models and their applications in Finance (1/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-1

Volatilitat i Correlació
Gerard Albà
Xavier Noguerola
Josep Salvà

FME UPC – gener 2014

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers
1. Introducció
2. Volatilitat
2.1 Volatilitat històrica
2.2 Volatilitat implícita
2.3 Volatilitat implícita vs real
Sessió Pràctica 1:

Gregues. Gestió del risc d’una opció.
Gestió d’un Llibre de Derivats
Informació de mercat sobre volatilitat

2.4 Models de volatilitat: EWMA, GARCH.
2.5 Models de volatilitat i valoració d’opcions: Volatilitat
Local, Volatilitat Estocàstica i Jump diffusion
2.6 Trading de volatilitat
2


3. Correlació
3.1 Introducció. Covariància i correlació.
3.2 Correlació històrica i implícita
3.4 Models de correlació
3.5 Trading de correlació
3.6 Inconvenients de la correlació. Altres mesures de dependència.
3.7 Efectes de la correlació en la valoració i càlcul de gregues
3.8 Inconvenients en l’ús de paràmetres no observables. Provisions

3

1.Introducció. Aplicacions de la volatilitat i la correlació

• Volatilitat: Desviació estàndard anualitzada de les
rendibilitats d’un actiu. És una mesura de la incertesa
de les rendibilitats de l’actiu.
Aproximació històrica:

σn

2

1
=
m −1

m

∑ (r

n −i

− r)2

i =1

• Correlació: Covariància de les rendibilitats de dos
actius normalitzada. És una mesura de la dependència
(lineal) entre les rendibilitats dels dos actius.
Aproximació històrica:

1
ρ ij =
σ i ⋅σ

∑(
m

j

)(

1
rki − r i ⋅ rkj − r
m − 1 k =1

j

)
4


• Derivats:
– Valoració
– Gestió del risc
– Instruments amb subjacent la volatilitat o la correlació

• Gestió de carteres
• Anàlisi de riscos: risc de mercat i risc de crèdit
• Altres. Ex: execució ordres de mercat (trading
algorítmic)

5


• Derivats: valoració i modelització

dSt
= (rt − d t )dt + σ ⋅ dZ t
St
c = S ⋅ N (d1 ) − K ⋅ e − rT ⋅ N (d 2 )
1
S
ln  + (r + σ 2 ) ⋅ T
K
2
d1 =  
σ T

1
S
ln  + (r − σ 2 ) ⋅ T
K
2
d2 =  
σ T

6


• Derivats:Valoració i modelització. Call Worst-of:
dS t1
S t1

=

(rt − d t1 )dt

+ σ 1 ⋅ dZ t

1

dS t2
S t2

(

(

)

Cov dZ 1 , dZ 2 = ρ12

= (rt − d t2 )dt + σ 2 ⋅ dZ t 2

)

(

C w − of = S 1 e − D1T M ( y1, − d ;− ρ 1 ) + S 2 e − D21T M y 2, d − σ T ;− ρ 2 − Ke − rT M y1 − σ 1 T , y 2 − σ 2 T ; ρ

d=

S
ln 1
S
 2


σ2
 + ( D 2 − D1 +
)T

2

σ T

2
σ = σ 12 + σ 2 − 2 ρσ 1σ 2

1 2
S 
ln 1  + (r − D1 + σ 1 ) ⋅ T
K
2
 
y1 =
σ1 T

ρ1 =

σ 1 − ρσ 2
σ

y2 =

S
ln 2
 K


ρ2 =

1 2

 + (r − D 2 + σ 2 ) ⋅ T

2

σ2 T

σ 2 − ρσ 1
σ

7

)


• Derivats: gestió del risc de llibres de derivats

8



9



10



11

•

Teoria de carteres. Volatilitat i correlació
E [ R ]= W E [ R ] + W E [ R ]
P
1
1
2
2

2 2
2 2
σ 2 = w1 σ1 + w2σ 2 + 2w1w2σ1σ 2 ρ12
p

•

Són habituals altres aplicacions de la volatilitat en la gestió de carteres
orientades al control del risc.
12

Returns diaris
15.00%

• Value at Risk

10.00%

5.00%

0.00%
5-ene-98

24-jul-98

9-feb-99

28-ago-99

15-m ar-00

1-oct-00

19-abr-01

5-nov-01

-5.00%

-10.00%

-15.00%

0.5

Normal estàndar

0.4

La probabilitat que la rendibilitat es trobi en un
interval d’amplada 2 desviació estàndar al voltant del
valor mig és aproximadament 0.95

0.3
0.2
0.1

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

0
-3

Freqüència en l'interval

0.6

Freqüència normalitzada
dels returns
estandaritzats

Punt m ig interval

13

• Un exemple d’insuficiència de la volatilitat i la correlació. HF:

14


• La volatilitat històrica σ n de la rendibilitat r d’una
variable de mercat S a l’instant n es pot calcular a partir
d’una mostra d’m obervacions anteriors i l’estimador
estadístic no esbiaixat:
σn

2

1 m
=
(rn −i − r ) 2
∑
m − 1 i =1

– ri és la rendibilitat composta continua de la variable S
entre l’instant ti-1.i ti . És a dir, anomenant Si al valor de S
a l’instant ti:
S
ri = ln i
S i −1
–r és la rendibilitat mitjana:

1 m
r = ∑ rn −i
m i =1
15


• Per aproximacions de la volatilitat a curt termini (per
exemple, en càlculs de mesures diàries de risc VaR) sovint es
considera r =0 i rendibilitats simples:

S i − S i −1
ri =
S i −1
• i la volatilitat es calcula llavors de

σn

2

1 m
2
= ∑ rn −i
m i =1

• Aquesta mesura és una bona aproximació si la deriva de
l’actiu per l’interval de temps entre observacions no és gran.

16


• Pel càlcul de la volatilitat s’usa un interval de temps que
correspon al càlcul de les rendibilitats, ∆t = t i − t i −1 , i un
interval de temps que correspon a la longitud de la
mostra, n ⋅ ∆t .
• Podem calcular la volatilitat per altres intervals de
temps:
– Per exemple, si ∆t = 1dia (i prenem una mostra de n dies),
podem calcular la volatilitat a 1 setmana, 1 mes o 1 any.
Una aproximació a la volatilitat per ∆t = d dies,σ d , es pot
calcular a partir de la volatilitat a un dia σ segons:

σ d = d ⋅σ

17


• Aquesta aproximació és vàlida sota la hipòtesi que les
rendibilitats contínues (log-rendibilitats) diàries són
independents i idènticament distribuïdes:
– Si ri,d és la rendibilitat contínua a d dies a l’instant
ti , ri ,d = ln( S i + d ) − ln( S i ) ,podem descomposar-la amb
rendibilitats diàries:

ri ,d = ri ,1 + ri +1,1 + K + ri + d −1,1
– i suposant les rendibilitats diàries i.i.d., la variància de la
suma ens dóna la suma de variàncies:

σ d 2 = d ⋅σ 2
– Aquesta aproximació no és vàlida per intervals grans de
temps, ja que sovint s’observa una reversió a la mitjana
dels valors de les variables de mercat que invalida la
hipòtesi.

18


• En particular, anualitzant les volatilitats per diferents intervals
obtingudes a partir de les volatilitats diàries s’obtindrien els
mateixos valors per qualsevol interval, és a dir, no existiria
una estructura temporal de volatilitats.
• Per mesurar la volatilitat històrica a d dies és millor calcular-la
a partir de la mostra d’observacions de la variable de mercat
directament.
– Per exemple, per calcular la volatilitat a d dies a partir d’una
mostra diària de la variable, usarem periodes de d dies per
calcular les log-rendibilitats.
– Això fa necessari un major nombre d’observacions en la sèrie si es
volen calcular volatilitats a terminis més llargs. El nombre
d’intervals de d dies a partir d’una sèrie de la variable es pot
augmentar usant intervals que es solapin.

19


• La volatilitat σ calculada per un interval ∆t ,sovint
s’escala a volatilitat anual (per exemple, volatilitat
diària anualitzada):
∆t escalada
σ escalada =
⋅σ
∆t
• per exemple ( ∆t expressat en parts d’any),
σ anual =

1any
⋅σ
∆t

• A la pràctica, la volatilitat s’acostuma a espressar en
percentatge.

20


• Exemple: Suposem que una acció té una rendibilitat
anual aproximada del 10%. La rendibilitat diària
esperada aproximada (suposem que la distribució és
simètrica respecte a la mitja) és d’un 10%/250=0.04%
(suposant 250 dies hàbils a l’any). Si la volatilitat
anualitzada és d’un 20%, la volatilitat diària és
20%
= 1.26%
250

• És a dir, la rendibilitat diària esperada és petita
comparada amb la volatilitat diària, i és raonable
suposar-la zero per a càlculs aproximats.

21



• La volatilitat ha estat calculada, independentment de
l’interval de temps al que es refereix, en un instant de
temps fix tn .Calculant la volatilitat històrica per
diferents instants de temps tn, tn+1, tn+2, ...obtindrem
una sèrie temporal. És a dir, la volatilitat és dinàmica
amb el temps. La mostra d’observacions correspondrà a
avançar un interval de temps ∆t cada vegada.

22



23


• Intervals de confiança per la volatilitat
• Per algunes aplicacions, sobretot en càlculs de mesures
de risc VaR, les rendibilitats contínues (log-rendibilitats)
dels actius es suposen amb distribució normal. En
aquest cas, es poden trobar intervals de confiança per
les volatilitats estimades. L’interval de confiança es pot
calcular de:

(m − 1)
(m − 1) 
Pr ob  s ⋅
≤σ ≤ s⋅
 = 1−α
χ 2 ( m −1;α / 2 )
χ 2 ( m −1;1−α / 2 ) 


– σ és la volatilitat exacta de la distribució de rendibilitats
– s és la volatilitat estimada a partir de la mostra d’m
observacions
– 1- α és el nivell de significació o confiança
– χ 2és la distribucó chi-quadrat
24


• Exemple: Suposem que la volatilitat diària anualitzada
estimada a partir d’una mostra de 21 preus de tancament
d’una acció (m=20 intervals) és del 27.43% (s=0.2743)
Determinem l’interval de confiança al 95% (α =0.05) per la
volatilitat real.


(20 − 1)
(20 − 1) 
Pr ob 0.2743 ⋅
≤ σ ≤ 0.2743 ⋅
 = 0.95
2
2
χ ( 20−1;0.05 / 2 )
χ ( 20−1;1−0.05 / 2) 


Pr ob[0.2086 ≤ σ ≤ 0.4006] = 0.95
• És a dir, la volatilitat real està amb una probabilitat del 95%
entre 20.86% i 40.06%, a partir d’un valor estimat del
27.43% amb 20 observacions. Suposant la hipòtesi de
normalitat per la rendibilitat de l’acció.

25


• La volatilitat implícita es calcula a partir de cotitzacions
reals de mercat d’instruments pels quals es disposa
d’una fórmula o mètode de valoració que usa la
volatilitat de l’actiu com a paràmetre pel càlcul.
– Per exemple, per opcions vainilla, podem usar la fórmula
de Black-Scholes i la cotització real de l’opció en un mercat
per deduïr-ne la volatilitat aplicada.

• La volatilitat implícita s’usa com una predicció de la
volatilitat per al termini corresponent al venciment de
l’opció.

26



27


• Volatilitat implícita de Black-Scholes
• La fórmula de Black-Scholes pel preu d’una opció call europea
amb strike K i temps a venciment T sobre un actiu (que no
paga dividends) amb preu S i volatilitat σ és:

c = S ⋅ N (d1 ) − K ⋅ e − rT ⋅ N (d 2 )
1
S
ln  + ( r + σ 2 ) ⋅ T
2
K
d1 =  
σ T

1
S
ln  + (r − σ 2 ) ⋅ T
2
K
d2 =  
σ T

r és el tipus d’interès lliure de risc pel termini T

• Si el preu c és observat del mercat, així com els paràmetres
S, K, r i T, podem resoldre l’equació per deduïr-ne la volatilitat
implícita.
28



29


• Opcions amb strikes diferents i venciments sobre el mateix
subjacent atrauen diferents preus en el mercat, i per tant,
diferents volatilitats. Podem obtenir així una superfície de
valors de la volatilitat per diferents valors dels paràmetres
strike i venciment.
• Si usem el model de valoració de Black-Scholes, que suposa
una distribució lognormal pel preu de l’actiu subjacent,
s’observa que la volatilitat implícita per opcions amb mateix
subjacent i venciment però diferents strikes és diferent (skew
o smile de volatilitat),
– Per exemple, sovint els actius tenen rendibilitats extremes amb
més freqüència de la donada per una distribució normal (fat tails),
de manera que, opcions out-the-money(OTM) poden tenir més
probabilitat d’esdevenir in-the-money(ITM) que la donada per la
hipòtesi de Black-Scholes. Aquest biaix en la valoració de BlackScholes és corregida pel mercat aplicant volatilitats diferents a
opcions amb strikes allunyats del at-the-money(ATM).
30

•

Superfície volatilitats implícites de BBVA. Opcions amb strikes diferents i
venciments atrauen diferents preus en el mercat, i per tant, diferents
volatilitats. Podem obtenir així una superfície de valors de la volatilitat per
diferents valors dels paràmetres strike i venciment.

31



32


• El mercat ha mantingut la fórmula de Black-Scholes com
estàndar de valoració, però per adequar-se a la realitat
s’ajusta la volatilitat.
• La volatilitat implícita
– recull en un sol paràmetre perspectives de mercat dels operadors
i la seva manera de donar preu a una opció emprant la fórmula de
Black-Scholes.
– és una manera de cotitzar el preu de l’opció, i realment no implica
res sobre el procès seguit pel subjacent (per exemple, en general
no permet fer un càlcul de la delta que resulti millor en fer la
cobertura).
– és un número incorrecte que s’usa en una fórmula incorrecta per
obtenir el preu correcte (el de mercat).
– és diferent per subjacents de renda variable, divisa, tipus
d’interès o commodities.L’smile (i, més generalment, l’estructura
temporal d’aquest smile) adopta diferents formes típiques en cada
cas, variant també amb el temps.
33


• Els cons de volatilitat són una representació de l’estructura
temporal de la volatilitat, on es compara el valor actual de la
volatilitat implícita (ATM) amb la distribució històrica de
volatilitats implícites (ATM).
• Per construir el con:
– fixat un de temps a venciment t, calculem les freqüències en que
s’ha produït cada nivell de volatilitat implícita (d’opcions de
venciment t) durant els darrers anys, i dibuixem a la gràfica els
límits inferior i superior d’un interval de confiança del 95% per
exemple.
– fem el càlcul per tots els venciments t. Les gràfiques dels límits
inferiors i superiors pels diversos venciments dibuixa una figura
de con, ja que la volatilitat implícita tendeix a variar més quan
estem prop del venciment. La tercera gràfica dibuixada, amb els
valors actuals de volatilitat implícita per diferents venciments,
sovint s’usa juntament amb el con per decidir operar (volatilitat
cara o barata a cada venciment, per comparació històrica).
34


• Exemple: Con de volatilitat, Estructura temporal de
volatilitat implícita ATM i Smile de volatilitat per un
índex de renda variable. En el cas de subjacents
d’índexos de renda variable, l’smile acostuma a ser molt
pla entre strikes ATM i calls OTM, mentre que en el
sentit contrari (vers OTM puts) sovint és molt més
pronunciat el pendent.

35



36


•

Con de volatilitat de l’índex S&P500, a gener del 2011. La volatilitat
implícita es troba al mig del rang històric dels darrers 10 anys. La
volatilitat històrica (realitzada) per terminis curts es troba per sota de
la implícita corresponent. La volatilitat implícita a llarg termini està
per damunt dels nivells màxims de volatilitat històrica.

37


• Exemple: Valoració d’una opció digital
– Una opció call digital D(K,T) paga 1 si el preu de l’actiu
subjacent a venciment T, ST, és més gran que l’strike K, i
0 altrament.
– Es pot valorar com a límit d’un call spread quan l’spread
entre els strikes tendeix a 0:

D(K , T ) = −

∂C (K , T )
∂K

C(K,T) és el preu d’una call europea amb strike K i venciment T.

38


– El preu de l’opció digital és molt sensible a l’skew:

D(K , T ) = −

∂
∂C
∂C
∂σ
C BS (K , T , σ BS (K , T )) = − BS − BS ⋅ BS
∂K
∂K
∂σ BS ∂K

– Exemple: Suposem tipus d’interès i dividends iguals a
zero, volatilitat ATM igual a 25%, skew de volatilitat d’un
3% per cada 10% de variació en l’strike. Valorem una
digital ATM a 1 any.

D(1,1) = −

∂C BS ∂C BS ∂σ BS
1
 σ
−
⋅
= N−  +
e
∂K
∂σ BS ∂K
2π
 2

−

d12
2

 σ
× 0 .3 ≈ N  −  + 0 .4 × 0 .3
 2

– Si ignorem l’skew, tenim un error del 12% en la valoració!
39


• Exemple: Valoració d’una opció cliquet
– Una opció call cliquet té payout: max ST2 − ST1 ;0 


 ST

1


– A l’instant futur T1 esdevé una opció call ATM amb preu
donat per Black-Scholes i volatilitat implícita futura entre
T1 i T2 donada per additivitat B-S:
2
2
2
σ 0,T2 ⋅ T2 = σ 0,T1 ⋅ T1 + σ T1 ,T2 ⋅ (T2 − T1 )

σ T1 ,T2 =
– Exemple:

(σ

2
0,T2

)

2
⋅ T2 − σ 0,T1 ⋅ T1 / (T2 − T1 )

σ T = 40% σ T 2 = 30% σ T T = 14.14%
1

1 2

!

40



• Exemple: Con de volatilitat, Estructura Temporal de
volatilitat i Smile de volatilitat pel tipus de canvi
EUR/USD

41



42



43



44


•

L’smile de volatilitat d’opcions de divisa sovint es resumeix amb
les cotitzacions de dues estratègies: el 25-delta risk reversal
(compra d’una call 25-delta OTM i venda d’una put 25-delta OTM)
i el 25-delta strangle (compra d’una call 25-delta OTM i compra
d’una put 25-delta OTM). Aquestes dues estratègies es cotitzen
amb preus pel conjunt de l’estructura.

•

El risk reversal es cotitza com la diferència entre les volatilitats
implícites de les opcions que el componen. Si és positiu, vol dir
que la call OTM és més cara que la put OTM (per exemple, una
cotització del risk reversal del 2% indica que la volatilitat de la
call és un 2% més cara que la put).

•

L’strangle es cotitza com la mitjana de les volatilitats implícites de
les opcions que el componen menys la volatilitat de l’opció ATM.
Si és positiu, vol dir que les opcions OTM són més cares que les
ATM.

•

Les cotitzacions dels risk reversal i els strangles donen una idea
del pendent i la curvatura de l’smile al voltant de l’ATM.
45


• Superfície de volatilitats ATMF per derivats OTC de tipus
d’interès EUR

46


• Càlcul de la volatilitat implícita
• Una manera eficient de calcular la volatilitat implícita d’una
opció és el mètode de Newton-Raphson aplicat a la funció
f( )=c( )- c m , on c m és la cotització de mercat de l’opció i c( )
σ
σ
σ
és la fórmula de Black-Scholes. Per tant, calculem iterats de la
successió:

σ i +1

c(σ i ) − c m
=σi −
∂c / ∂σ i

∂c / ∂σ i és la vega de l’opció avaluada en σ i .
• fins que es verifiqui:

cm − c(σ i +1 ) ≤ ε

ε és la tolerància en determinar σ .
Llavors, σ i +1 és l’aproximació de la volatilitat implícita.
47


• Un valor inicial σ 0 pel càlcul iteratiu que garanteix
convergència per opcions europees es pot obtenir de la
següent fórmula:

2

σ 0 =  ln( S / K ) + r ⋅ T ⋅ 
T


1/ 2

• En el mètode de Newton-Raphson és necessari conèixer la
vega de l’opció, la derivada parcial de la fórmula de valoració
respecte la volatilitat. Per algunes opcions exòtiques i
americanes no es disposa d’una expressió analítica de la vega.
Per aquests casos, és útil usar el mètode de la bisecció per
determinar la volatilitat implícita.

48


• La volatilitat implícita és la valoració (el preu) que fa el mercat
de la volatilitat (per exemple de l’spot de l’EURUSD) per un
periode futur, per exemple un mes.
• La volatilitat real a un mes és la volatilitat de l’spot durant el
proper mes.
• Ambdues mesures són valors futurs pel mateix periode de
temps (un mes). Però així com la volatilitat implícita és una
predicció, coneguda a l’inici del periode, la volatilitat real en
canvi es coneix al final del periode (històrica) i és el que
realment ha succeït.
• Les dades històriques mostren que ambdos valors no
coincideixen. Per tant, si es té certa capacitat de predicció
sobre si la volatilitat implícita és cara o barata respecte la
volatilitat real, aleshores existeix una oportunitat de trading.
49


• Per analitzar la volatilitat implícita vs la real:
– Comparar la volatilitat implícita amb mínims i màxims
històrics (cons de volatilitat)
– Estimar la volatilitat futura a partir de la històrica (models
GARCH, etc)
– Comparar diferencial entre implícita i històrica respecte
valors històrics.

50


• Una estratègia de trading amb opcions per treure profit d’una
volatilitat implícita cara (o barata) respecte la real esperada
pot ser vendre (o comprar respectivament) un straddle amb la
delta coberta.
• Mantenim la delta coberta, de manera que la posició no és
sensible al valor de l’spot. Operem segons la gamma de la
posició, que és la que ens dóna la sensibilitat a la volatilitat
real que es dóna.
• La rendibilitat és positiva si l’spot és menys (o més,
respectivament) volàtil que la volatilitat implícita.
• El resultat no és directament proporcional a la diferència entre
volatilitat real i implícita, ja que la gamma varia segons l’spot
i amb el pas del temps.

51

Volatility models and their applications in Finance (1/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-1

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Destacado

Destacado (14)

Similar a Volatility models and their applications in Finance (1/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-1

Similar a Volatility models and their applications in Finance (1/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-1 (6)

Más de Gerard Alba

Más de Gerard Alba (20)

Volatility models and their applications in Finance (1/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-1