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Solucion de ejercicios de limites 2
1. Solución a los ejercicios del tema Límites de sucesiones
Ejercicio 1
Calcula los siguientes límites:
a lim 7 n
n
1
b lim 7 7
n
n
c lim 7 n 2
n
1
d lim 6 3 6
n
n
e lim 7 n
n
3
f lim n 3
n n
n
1
g lim 0
n 3
h lim 3n
n
i lim 5n 3 n 2 100
n
2
j lim 2n3 0
n
k lim 23 10 n 23
n
l lim 8n 2 7 n 3 500 500
n
Ejercicio 2
Estudia hacia qué tenderán las siguientes sucesiones cuando la n es muy grande:
n n 1
a an lim lim 4 0
n5 n n 5 n n
n2 1 n2 1
b an 5 lim 5 0
n n n
c an n n 5
7
lim n 7 n 5
n
8 3 2
n 4n 5n n8 4n 3 5n 2
d an lim
1000 n 2 n 1000 n 2
e an 2 n lim 2 n
n
2. Ejercicio 3
Calcula:
2n 2 5n 7 2
a lim
n 3n 2 3
5n 4 2n 3 n 2 n 1
b lim
n 3n 3 2 n 2 n 3
3n 2 1
c lim 3 0
n 4 n 2
2
d lim
n 1 lim n 2 2n 1 1
n 2n 2 n 2n 2 2
2 2
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 2n 2 4
e lim lim lim
n 5n 3 n 5n 3 n 5n 3 5
2 2
f lim
n 1 n 1 lim
n 2 2n 1 n 2 2n 1
lim
2n 2 2
n 5n 3 n 5n 3 n 5n 3
n 10
g lim 1
n n
Ejercicio 4
1
La sucesión an tiene por límite 0, y la sucesión bn 2 n 1 tiende a . Estudia
4n
si la sucesión cn an bn es convergente:
2n 1 1
lim an bn lim
n n 4 n 2
Ejercicio 5
Calcula el límite de las siguientes sucesiones aplicando propiedades:
2 lim 2 2
a lim 3 lim 3 n 3 3 0 3
n
n n lim n
n
1 1 1
lim lim
b lim 2 lim 2
n n n
2 n n
20 1
n n
3. Ejercicio 6
Estos límites presentan una indeterminación; averíguala y resuélvela:
n 1 n
1 lim n1 1 lim
a lim 1 e
n n7
e n n 7
e1 e
n
n7 IND 1
2n
2n n 2 2
b lim lim
lim 2
n
n 2 3n 2 IND
n
n 2 3n 2 n 1 3 2 1
n2 n2 n2 n n2
c lim n 1 n lim
n 1 n n 1 n lim n 1 n
n
IND ( )
n
n 1 n n n 1 n
1 1
lim 0
n n 1 n
d lim n 2 n (En este límite lo difícil es no hacerlo de forma intuitiva. Debemos
n
averiguar cuál es la indeterminación y, luego, resolverla. Como el problema está en la
resta, al sacar factor común, desaparece la indeterminación)
lim n 2 n
lim n n 1
n n
IND
n 9n 2 2 2
2 2 1 9 2
n 9n 2 2
n 1 3 4
e lim lim n
n
n n lim
n 3n 3
3n 3 n 3 3 3
IND 3
n n n
n2 n 4 n 3 1 n 2
lim n 2 lim n 2
n4 1 1 lim
f lim e
n n 3
e n n 3 n 3
e n n 3
e
n n 3
IND 1
g lim n 2 n n lim
n2 n n n2 n n
n
n n n
IND
n 2
lim
n n n n n n lim n n n lim
2 2
2 2
n
n
n n n 2
n n n n 2 n
n 2 n n ÎND
4. n
n 1 1 1
lim lim
n
n2 n n n 1 1 1 2
1 1
n 2 n2 n n
n 1 6 n 1
n 1 5 n 4 n 1 5 n 2 6 lim
5n 4 3 lim 1 lim 1
n 3 5n 2
h lim e
n 3 5 n 2
e n 3 5 n 2 5 n 2
e
n 5n 2
IND 1
2 n 2 2 n 2 2
lim
5 n 2
lim
5n2 5
1
e n
e n
e 5
e2
Ejercicio 7
Calcula los siguientes límites:
n 3
1 1 n 1 3
a lim 1 lim 1 1
n
n n
n n
n 3
1 1
lim 1 lim 1 e 13 e
n
n n n
2 n 2 2
1 1 n 1 n
b lim 1 lim 1 lim 1
n
n n
n
n
n
n n lim 2
1 lim 2 1
lim 1 e n e 2
n n
e2
Ejercicio 8
Calcula los siguientes límites:
a lim x 2 5 x 3 1 5 3 1
x 1
b lim x 7 8 x 2 3x (porque el término de mayor grado es positivo)
x
(Sigue )
5. (Continuación)
c lim x 2 3x3 1 (porque el término de mayor grado es negativo)
x
3x 4 3x 2 x 2 3x2 0
d lim lim 2
x 0 lim 0
x0 x3 x2 0 x x 1 x0 x 1 0 1
IND
0
x3 1 x 1 x 2 x 1 x2 x 1 3
e lim 2 lim
x 1 lim
x 1 x 1
0
IND
x 1 x 1 x 1 x 1 2
0
x 2 25 x 5 x 5 lim x 5 2
f lim lim
x 5
x 5 x2 5x 0 x x 5 x 5 x
ÎND
0
x 5 x 5 1 1
g lim lim
x 5 lim
x 5 2
x 5
IND
0 x 5 x 5
0
x 5 x 5
2 5
h lim
x3 2
lim
x32 x3 2 lim x 34
x 1
x 1 x 1 0
IND x 1 x3 2 x 1
x 1 x32
0
x 1 1 1 1
lim lim
x 1
x 1 x3 2 x 1 x3 2 4 2 4
x
4x 1
i lim 2
x
2x
6. Ejercicio 9
Calcula los siguientes límites:
x 1 4
a lim 2 No hay indeterminación
x 3 x 1 2
x 1 1
1
x 1 x 1 0 1
b lim lim x x lim
x x 1 x 1
x x 1 1 0
IND 1
x x x
c
x2 1 x 1 x 1 lim x 1 2
lim
x 1 x 1
lim
x 1
0 x 1 x 1
IND
0
d lim
x
lim
x 1 1 x
lim
x 1 1 x
x 0
x0 1 1 x
IND
0
1 1 x 1 1 x
0
x0
1 1 x
x 1 1 x
lim lim 1 1 x 2
x 0 x x0
x2 x 1
1
x2 x x 2
x 1 0 1
e lim lim
x lim
x x
x x 1
IND
x
f lim
x6 3
lim
x6 3 x6 3 lim x69
x 3
x 3 x 3 0
IND x 3 x6 3 x 3
x 3 x6 3
0
x3 1 1 1
lim lim
x 3
x 3 x6 3 x 3 x6 3 9 3 6