Prácticas de DERIVE

Jaime Martínez Verdú

1. Justificar la convergencia de la siguiente sucesión y calcular su límite.

1 1 1 1
xn    
n(n  1) n(n  2) n(n  3) n( n  n)

CONVERGENCIA

Para resolver este ejercicio nos ayudaremos del siguiente resultado

Una sucesión monótona es convergente si y sólo si está acotada.

Primero demostraremos que la sucesión an está acotada, es decir, está acotada tanto superiormente como inferiormente. Con el paso
siguiente, lo que se pretende es localizar dos sucesiones que “encierren” a la que estamos analizando de tal modo que an quede acotada por
ambas:

1 1 1 1 n 
an     
n(n  1) n(n  1) n(n  1) n(n  1) n(n  1)  n n
  mn   an   M n (1)
1 1 1 1 n  n( n  n) n(n  1)
an     
n( n  n) n( n  n) n( n  n) n( n  n) n( n  n) 

n 2 
lim mn  lim  (Usando DERIVE )
n   n   n( n  n) 2 
 ( 2)
 1 (Usando DERIVE ) 
n
lim M n  lim
n   n   n( n  1) 

2
Usando (1) y (2) se tiene que lim mn  an  lim M n   an  1
n   n   2

Examen de Prácticas de Fundamentos de Matemáticas Ejercicio 1 1


Usando DERIVE se ha confeccionado una gráfica donde se puede observar que la sucesión an estará situada dentro de la región de color
morado y, por ser monótona y acotada (tal y como se puede observar en la gráfica), podemos afirmar que es convergente. Los puntos superiores
hacen referencia a Mn mientras que los inferiores representan la sucesión mn.

Como la sucesión está acotada y es monótona creciente, se puede afirmar que es una sucesión convergente.



LÍMITE

x(n) := SUM(1/SQRT(n·(n + k)), k, 1, n)
LIM(x(n), n, +inf)

Lo primero que se ha intentado es utilizar DERIVE para calcular dicho límite pero el programa es incapaz de hallarlo ya que aparece una
advertencia que nos avisa de falta de memoria. Para evitarlo, se ha empleado el CRITERIO DE STOLZ donde se tiene que

a  an
cuando bn  n   y bn  es estrictame nte creciente
an
lim  lim n 1 
n 1  bn
n   b n   b
n

1 1 1 1 
an     
n 1 n2 n3 nn
bn  n 

bn  es estrictame nte creciente porque bn  bn 1 n   puesto que n  n  1  n  n  1 y además se sabe que
lim bn  lim n   , por lo que podemos usar el CRITERIO DE STOLZ .
n   n  

El código de DERIVE empleado ha sido el siguiente:

a(n) := SUM(1/SQRT(n + k), k, 1, n)
b(n) := SQRT(n)
LIM((a(n+1)-a(n))/(b(n+1)-b(n)), n, +inf)

Se obtiene que el límite es 2( 2  1)  0,828 .



2. Deducir la suma de la siguiente serie para cualquier valor p  N, p  2.


1
 np
n 1
n

Usando DERIVE ser puede deducir la suma de dicha serie. Para obtener la solución a este problema hemos realizados los siguientes
pasos:

Primeramente, haremos clic con el botón izquierdo sobre el menú Definir. Una vez hecho esto, aparecerá una submenú donde podremos
elegir la opción Definir dominio de una variable… Después de seleccionar la variable p, elegiremos como dominio los números enteros y en un
intervalo cerrado-abierto que se caracterizará por:

Inferior: 2
Superior: +inf

De este modo, habremos incluido a la variable p dentro de un rango de valores tal y como advierte una línea que aparece justo después de
aceptar en la etiqueta de Dominio de una variable. La línea que muestra DERIVE es la siguiente:

p :  Real [2, +  )

Finalmente introducimos la siguiente expresión y hacemos clic en el botón para obtener la suma.

SUM(1/(n·p^n), n, 1, +inf)

Se obtiene como resultado que la suma de dicha serie es:


1 p
 np
n 1
n
 ln(
p 1
)



3. Encontrar los valores de p para los que la siguiente serie es de términos positivos y estudiar, para dichos valores, el carácter de la misma.


n n n
 p  1 2 p  1  np  1
n 1

BÚSQUEDA DE VALORES DE p

Obviamente, para que la serie sea coherente y tenga sentido, los valores de p deben ser de la siguiente forma

1
p n*
n

y por ello ya hemos descartado un rango de valores importante.

También sabemos que para que una serie sea considerada de términos positivos, es necesario que todas sus sumas parciales sean mayores
que cero. Por lo tanto, si al menos una de sus sumas parciales es negativa, se puede afirmar que la serie no se puede clasificar dentro de las series
de términos positivos. Por ello, fijémonos en un término cualquiera, como por ejemplo, la primera de las sumas de Sn.

1
S1  , necesariamente, para que la serie sea de términos positivos, p – 1 > 0, por lo que se tiene que p debe ser mayor que la unidad.
p 1

Llegados a este punto, vamos a demostrar que para cualquier valor de p mayor a la unidad, la serie es de términos positivos. Para ello,
utilizaremos el principio de inducción matemática.

 Se cumple que la serie es positiva para n = 1, o sea

1
S1   0 porque p > 1
p 1



 Supongamos que la serie es cierta para un valor entero arbitrario k (pero fijado k>=1). Para demostrar lo que pretendemos, debe
cumplirse que

1 2 2 3 3 3 k k k
Sk      0
p 1 p 1 2 p 1 p 1 2 p 1 3p 1 p  1 2 p  1 kp  1
1 2 2 3 3 3 k k k k 1 k 1 k 1 k 1
¿ S k 1         0?
p 1 p 1 2 p 1 p 1 2 p 1 3p 1 p  1 2 p  1 kp  1 p  1 2 p  1 kp  1 (k  1) p  1
 1 2 2 3 3 3 k k k  k 1 k 1 k 1 k 1
Sk  
 p  1  p  1 2 p  1  p  1 2 p  1 3 p  1    p  1 2 p  1 kp  1   p  1 2 p  1 kp  1 (k  1) p  1 

 
S k  0
 k  1k 1  k  1  k  1  0  k  1k 1  0
k 1 k 1 k 1 k 1  k  1k 1 
 Sk    0   k 1  0   k 1
p  1 2 p  1 kp  1 (k  1) p  1  (i  1) p  1  (i  1) p  1  0  (i  1) p  1  0 p  1

 i 0
 i 0

Como la serie tiene todos sus términos positivos (demostrado mediante inducción matemática) para valores de p mayores que la unidad,
ya tenemos información suficiente para analizar su carácter y afirmar que para p > 1 la serie es de términos positivos.



ANÁLISIS DEL CARÁCTER DE LA SERIE

Para analizar si la serie es convergente o divergente, usaremos el criterio del cociente o de D’alembert, de modo que necesitaremos
emplear DERIVE para resolver el siguiente límite

n 1 n 1 n 1 n 1


n n n yn 1 p  1 2 p  1 np  1 (n  1) p  1 e
 p  1 2 p  1 np  1       
n 1
CRITERIO DEL COCIENTE
lim
n   yn
 lim
n   n n n
 (Usando DERIVE )
p

p  1 2 p  1 np  1

Según este criterio, la serie será convergente siempre y cuando dicho límite sea inferior a la unidad. Por lo tanto, para los valores de p
siguientes se tiene

1  p  e LA SERIE DIVERGE
p  e LA SERIE CONVERGE
p  e EL CRITERIO NO DA INFORMACIÓ N

Para el caso cuando p = e se va a emplear el CRITERIO DE COMPARACIÓN POR PASO A LÍMITE con la serie ARMÓNICA
GENERALIZADA:

n n n
 

p  1 2 p  1 np  1
CRITERIO DE COMPARACIÓ
N
n n n 1 y
Comparamos  p  1 2 p  1 np  1
n 1
con n
n 1
           lim n  lim

POR PASO AL LÍMITE
n   x n   1
  (Usando DERIVE )
n
n

Por lo tanto, como La serie ARMÓNICA GENERALIZADA diverge y el límite obtenido es infinito, podemos afirmar que para p = e la
serie que estamos analizando es divergente.

1  p  e LA SERIE DIVERGE y p  e LA SERIE CONVERGE



4. Calcular el radio y el intervalo de convergencia, así como la suma de dicho intervalo, de la siguiente serie de potencias. Estudiar también
el carácter de la serie en los extremos del intervalo de convergencia.


 1 n2  n  3 
  2 n  1
 n
n 1 

2n! 
( x  1) n


RADIO DE CONVERGENCIA.

Sean las siguientes series de potencias de las cuales vamos a calcular sus respectivos radios de convergencia:

1
 
2 (n  1)  1 1
n 1
 Usando DERIVE 
1 a
  a ( x  1)
n 1
n
n

n 1 2 n  1
n
( x  1) n RADIO       lim n 1
  DE CONVERGENC
IA
n   a
 lim
n   1 2
n
2 n
n  1
1 1
  2
 1
2
(n  1) 2  (n  1)  3

n2  n  3

2(n  1)!
 0 Usando DERIVE 
bn
  bn ( x  1)   2n! ( x  1)n RADIO       nlim b1
n 1
n

n 1
  DE CONVERGENC
IA
 
 lim
n   n2  n  3
n
2n!
1 1
    
 0

Por lo tanto, se sabe que el radio de convergencia de la serie total es el mínimo de los dos obtenidos, o sea, el radio de convergencia de la
serie inicial es 2 y por lo tanto, al tratarse de una serie de potencias centrada en el punto x = -1, se conoce también su intervalo de convergencia.



INTERVALO DE CONVERGENCIA

El intervalo de convergencia donde la serie de potencias inicial es absolutamente convergente es el siguiente:

x  x   , x    x   1  2,1  2  x   3,1

Fuera de este intervalo de valores, es conocido que la serie es divergente.

SUMA DE LA SERIE
Es conocido que

1 
n2  n  3 
 1 n2  n  3 
SI l1   ( x  1) n y l2   ( x  1) n finitos    n 2 n  1  ( x  1) n  l1  l2
n 1 2 n  1
n
n 1 2n! n 1  2n!  

Utilizando el programa DERIVE se ha conseguido obtener el valor de la primera suma directamente, mientras que el de la segunda se ha
obtenido después de realizar varias transformaciones. Se han obtenido los siguientes valores:

1 x
 2 ln( )  x 1
1
l1   n ( x  1) n   2 ( A)
n 1 2 n  1 x 1

n2  n  3 ( x 2  4 x  6 ) e x 1  3
l2   ( x  1) n  ( B)
n 1 2n! 2

SUMA_TOTAL := SUMA_SERIE_1 + SUMA_SERIE_2

1 x
 2 ln( )  x 1

1 n  n  3
2
( x 2  4 x  6)e x 1  3
  2 n  1 
 n
2n! 
( x  1) n  l1  l2   2
x 1

n 1   2



PASOS EN DERIVE PARA OBTENER EL RESULTADO (A).

elegir la opción Definir dominio de una variable… Después de seleccionar la variable x, elegiremos como dominio los números reales y en un
intervalo abierto-abierto que se caracterizará por:

Inferior: -3
Superior: 1

De este modo, habremos incluido a la variable x dentro de un rango de valores tal y como advierte una línea que aparece justo después de

x :  Real (-3, 1)

Finalmente introducimos ambas expresiones y hacemos clic en el botón para obtener la suma.

k(n):= (x + 1)^n/(2^n·(n + 1))
SUMA_SERIE_1 := SUM (k(n), n, 1, +inf)


1 x
 2 ln( )  x 1
1
 2n n  1( x  1)n  
n 1
2
x 1



PASOS EN DERIVE PARA OBTENER EL RESULTADO (B).

Cambiaremos la forma de la serie:


n2  n  3 5 
n2  n  3 1 
1 
2 
3  1   

 2n! ( x  1) n  ( x  1)   ( x  1) n  5( x  1)  
n  2 ( n  2)!
( x  1) n  
n  2 ( n  1)!
( x  1) n   ( x  1) n   5( x  1)   cn   bn   an 
n 1 2 n2 2n! 2 n  2 n!  2 n2 n2 n2 

elegir la opción Definir dominio de una variable… Después de seleccionar la variable x, elegiremos como dominio los números reales y en un
intervalo abierto-abierto que se caracterizará por:

Inferior: -3
Superior: 1

De este modo, habremos incluido a la variable x dentro de un rango de valores tal y como advierte una línea que aparece justo después de

x :  Real (-3, 1)

Introducimos la siguiente expresión y hacemos clic en el botón para obtener la suma.

a(n):= 3*(x + 1)^n/n! SUMA _ 1 :  an
SUMA_1 := SUM(a(n), n, 2, +inf) n 1



3
 n! ( x  1)
n 1
n
 3(e x 1  ( x  2))



Introducimos la siguiente expresión y hacemos clic en el botón para obtener la suma.

b(n):= 2*(x + 1)^n/(n - 1)! SUMA _ 2 :  bn
SUMA_2 := SUM(b(n), n, 2, +inf) n 1



n
 n! ( x  1)
n 1
n
 2(1  x)(e x 1  1)


Introducimos la siguiente expresión y hacemos clic en el botón para obtener la suma. SUMA _ 3 : ( x  1)   d n
n 1

d(n):= (x + 1)^n/(n - 2)!
SUMA_3 := SUM(d(n), n, 2, +inf)



1
 (n  2)! ( x  1)
n2
n
 ( x  1) 2 e x 1

Por lo tanto, se tiene que

SUMA_SERIE_2 := 1/2*( 5*(x + 1) + SUMA_1 + SUMA_2 + SUMA_3)

n2  n  3 1  1
 
( x 2  4 x  6)e x 1  3
   

 2n!
n 1
( x  1) n  5( x  1)   cn   bn   an   5( x  1)  3(e x 1  ( x  2))  2(1  x)(e x 1  1)  ( x  1) 2 e x 1 
2 n2 n2 n2  2 2



EXTREMOS DEL INTERVALO DE CONVERGENCIA

 Primero trataremos el caso cuando x = -3 donde tenemos la siguiente serie

 1 n2  n  3  
 1 n2  n  3 
  2 n  1
 n
n 1 

2n! 
(3  1) n    n 2 n  1 
2n! 
(2) n (1)
 n 1  

Si demostramos que las dos siguientes series en las que se puede subdividir la serie definida en la expresión (1) son convergentes, quedará
demostrado que (1) también lo es


1 
n2  n  3
¿ Ambas series  2 n  1(2)
n 1
n
n
y 
n 1 2n!
(2) n son convergentes ?

Empezaremos por la primera de ambas

 1

1 
(1) n d n  Es decreciente y converge a cero
 2n n  1(2)   n  1   n  1
n

n 1 n 1 c  (1) n a cot ada entre  1
 n Está y 1

Aplicando el CRITERIO DE LEIBINZ podemos afirmar que esta serie es convergente ya que es de la forma


cn Es decreciente y converge a cero
c d n n 
n 1 d n Está a cot ada

Y según el CRITERIO DE LEIBINZ


1
 2 n  1(2)
n 1
n
n
ES UNA SERIE CONVERGENT E Y SU SUMA (Usando DERIVE ) VALE ln( 2)  1



Para analizar el carácter de la serie restante necesitaremos emplear el CRITERIO DE D’ALEMBERT O DEL COCIENTE ya que si el
siguiente límite es inferior a la unidad podemos afirmar que dicha serie es convergente:

(n  1) 2  (n  1)  3
(2) n 1

n2  n  3 y 2(n  1)!
 2n! (2)n CRITERIO DEL      nlim yn 1
n 1
    COCIENTE

 
 lim
n   n2  n  3
 0 (Usando DERIVE )
n
(2) n

2n!

Como el resultado obtenido al calcular el límite es inferior a 1, por el CRITERIO DE D’ALEMBERT


n2  n  3
 2n! (2)n
n 1
ES UNA SERIE CONVERGENT E

Por lo tanto, podemos afirmar que la serie expresada en (1) es convergente.

 A continuación trataremos el caso cuando x = 1 donde tenemos la siguiente serie


 1 n2  n  3  
 1 n2  n  3  n
  2 n  1
 n
n 1 

2n! 
(1  1) n    n
n 1  2 n  1

2n! 
(2) (2)
 

Si demostramos que una de las dos siguientes series de términos positivos diverge y la otra converge, entonces la serie (1) será divergente


1 
n2  n  3 n
¿ Cuál las series  2n n  12n
n 1
y  2n! 2
n 1
es convergente y cuál divergente?



Empezaremos por la primera de ambas

 
1 1
 2 n  12
n 1
n
n

n 1 n  1

Aplicando el CRITERIO DE COMPARACIÓN POR PASO AL LÍMITE podremos deducir que

 
1 1
 n 1
n 1
y nn 1
tienen el mismo carácter.

Como el siguiente límite resulta tener el valor 1, según este criterio se tiene que ambas series tienen el mismo carácter, o sea, ambas son
divergentes.
1
  lim n  1  1 (Usando DERIVE )
n   1
n
 
1 1
 2n n  1
n 1
2n ES UNA SERIE DIVERGENTE porque 
n 1 n
ES DIVERGENTE ( SERIE ARMÓNICA GENERALIZA DA)

Para analizar el carácter de la serie restante necesitaremos emplear el CRITERIO DE D’ALEMBERT O DEL COCIENTE ya que si el
límite es inferior a 1, entonces la serie tiene carácter convergente:

(n  1) 2  (n  1)  3 n 1
2
n 2  n  3 n CRITERIO DEL COCIENTE y 2(n  1)!
lim 2           lim n 1
  lim  0 (Usando DERIVE )
n   2n! n   y
n
n   n2  n  3 n
2
2n!

Como el resultado obtenido es un valor menor a la unidad se sabe que por el CRITERIO DEL COCIENTE




n2  n  3 n
 2n! 2
n 1
ES UNA SERIE CONVERGENT E

Por lo tanto podemos afirmar que la serie expresada en (2) es divergente.

 1 n2  n  3 
En definitiva podemos decir que la serie   2 n  1
 n
n 1 

2n! 
( x  1) n


ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE EN EL INTERVALO  3,1
ES DIVERGENTE EN EL INTERVALO  ,3U 1,

CONVERGENTE






DIVERGENTE DIVERGENTE

-3 0 1



5. Dada la función
f ( x, y) : 3x 2 y  7 xy  4 x( y 3  3 y 2  1)

Se pide:

a) Hallar los extremos relativos de f y clasificarlos.

Como la función es continua y derivable (está formada por suma y producto de funciones continuas e infinitamente derivables por tratarse
de polinomios), se puede afirmar que los extremos relativos estarán entre los puntos críticos de la función.

Búsqueda de los PUNTOS CRÍTICOS:

Para hallar cuales son los puntos críticos asociados a f, hemos implementado una función que calculará automáticamente cuales son los
puntos críticos. La función y sus características son las siguientes:



Una vez definida en DERIVE esta función, deberemos introducir y definir la función f para, posteriormente, usarla como
argumento de BUSCA_PUNTOS_CRITICOS() y averiguar cuales son sus puntos críticos. EL código de programa ha sido el siguiente:

BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R_2(ff) := SOLVE(DIF(ff, x, 1) = 0 AND DIF(ff, y, 1) = 0, [x, y])
Mifuncion(x, y) := 3·x^2·y - 7·x·y + 4·x·(y^3 + 3·y^2 + 1)
BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R_2(Mifuncion(x, y))

Y se obtiene como resultado la siguiente lista de puntos críticos (se han aproximado los valores):

x = -1.420017573 y = 0.3922419785 x = 2.890519658 y = -1.927741029
x = 4.169497914 y = -0.2645009485 x=0 y = 0.2844323505 - 0.4464296022·î
x=0 y = 0.2844323505 + 0.4464296022·î x=0 y = -3.568864701

A continuación evaluaremos cada punto usando una serie de funciones elaboradas tal y como se muestra en los siguientes esquemas



Usando estas funciones únicamente tenemos que despejar los valores adecuados como argumentos para analizar y clasificar los distintos
extremos.



EVALUA_PUNTO_EN_R_2(Mifuncion(x, y), -1.420017573, 0.3922419785)  SE TRATA DE UN PUNTO DE SILLA
EVALUA_PUNTO_EN_R_2(Mifuncion(x, y), 2.890519658, -1.927741029)  SE TRATA DE UN MÁXIMO RELATIVO
EVALUA_PUNTO_EN_R_2(Mifuncion(x, y), 4.169497914, -0.2645009485)  SE TRATA DE UN PUNTO DE SILLA
EVALUA_PUNTO_EN_R_2(Mifuncion(x, y), 0, 0.2844323505 - 0.4464296022·î)  NO SE PUEDE EVALUAR
EVALUA_PUNTO_EN_R_2(Mifuncion(x, y), 0, 0.2844323505 + 0.4464296022·î)  NO SE PUEDE EVALUAR
EVALUA_PUNTO_EN_R_2(Mifuncion(x, y), 0, -3.568864701)  SE TRATA DE UN PUNTO DE SILLA

Nota:

Puesto que estamos trabajando con una función cuyo dominio se extiende solamente dentro de los números reales, no tiene sentido
evaluar puntos críticos que están dentro del campo de los números complejos. Esta es la razón por la cual se ha advertido mediante la frase “NO
SE PUEDE EVALUAR” durante la clasificación de puntos anterior.



Si se considera el recinto
R : {( x, y)   : y  x  3, y   x  3, y  x 2  9}

b) Hallar, justificando previamente la existencia, los extremos absolutos de f en R.

Primero dibujamos el recinto donde se restringen los extremos absolutos:

y=x+3 y = -x + 3 y = x2 - 9

A continuación, comprobaremos si algún punto crítico de los anteriores pertenece a dicho recinto

x = -1.420017573 y = 0.3922419785 x = 2.890519658 y = -1.927741029
x = 4.169497914 y = -0.2645009485 x=0 y = -3.568864701

Para realizar estas comprobaciones nos hemos ayudado de DERIVE. Para ello, cada vez que analicemos si un punto pertenece a dicho
recinto realizaremos los siguientes pasos:



Primero introduciremos la expresión de la recta y  x+3. Posteriormente, haremos clic sobre la opción Simplificar que aparece en la barra
de menús. Podremos comprobar que emerge un submenú donde elegiremos la opción Sustituir variable. A continuación, aparecerá una etiqueta
donde podremos dar valores a las variables que se han declarado y damos sobre el
botón simplificar. Si una vez definidos los valores de x e y DERIVE devuelve true,
eso significa que el punto está por debajo de la recta y podemos continuar
evaluando.

Posteriormente, introduciremos la expresión de la recta y  - x+3.
Nuevamente, haremos clic sobre la opción Simplificar que aparece en la barra de
menús. Podremos comprobar que emerge un submenú donde elegiremos la opción
Sustituir variable. A continuación, aparecerá una etiqueta donde podremos dar
valores a las variables que se han declarado y damos sobre el botón simplificar. Si
una vez definidos los valores de x e y DERIVE devuelve true, eso significa que el
punto está por encima de la recta y podemos continuar evaluando.

Finalmente, introduciremos la expresión de la parábola y  - x2 - 9. Nuevamente, haremos clic sobre la opción Simplificar que aparece en
la barra de menús. Podremos comprobar que emerge un submenú donde elegiremos la opción Sustituir variable. A continuación aparecerá una
etiqueta donde podremos dar valores a las variables que se han declarado y damos sobre el botón simplificar. Si una vez definidos los valores de
x e y DERIVE devuelve true, eso significa que el punto está por encima de la recta y podemos continuar evaluando.

Obviamente si en alguno de los pasos el programa da como contestación un false, eso significa que al menos no cumple una de las
condiciones y, por lo tanto, no está en el recinto.

PUNTOS QUE PERTENECEN PUNTOS QUE NO PERTENECEN

x = -1.420017573 y = 0.3922419785 x = 4.169497914 y = -0.2645009485
x=0 y = -3.568864701 x = 2.890519658 y = -1.927741029

Por lo que se llega a la conclusión de que tanto x = -1.420017573 y = 0.3922419785 como x = 0 y = -3.568864701 son candidatos a ser
extremos absolutos condicionados por la región R.



Para acabar la búsqueda de candidatos, necesitamos averiguar cuales son los extremos de la función f(x,y) al proyectar cada una de las
rectas y la parábola sobre dicha función. Es decir, crearemos una nueva función a partir de la cuál se buscarán sus extremos para cada caso.

A continuación, vamos a comentar el método de búsqueda de los extremos de cada una de las funciones. Buscaremos cuales son sus
puntos críticos ya que los extremos estarán clasificados como puntos críticos por tratarse f(x) de una función continua y derivable. Se ha
implementado esta función con la finalidad de facilitar el proceso de búsqueda. La función se declara a continuación.

BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R(ff) := SOLVE(DIF(ff, x, 1) = 0 , x, real)

Nombre
de la función ~
f
( x)
x



Caso y = x + 3  Primeramente definiremos una nueva función al sustituir el valor de y en la función f(x, y).

~
f ( x) : f ( x, x  3)  x(4 x3  51x 2  182 x  199 )

MIFUNCION_1 := SUBST(Mifuncion(x, y), y, x + 3)

El código de programa empleado para hallar sus puntos críticos ha sido el siguiente:

BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R(MIFUNCION_1)

Apareciendo las siguientes soluciones x = -2.546343733 x = -6.232441862 x = -0.783714403

x = -2.546343733  y = 0.453656267
x = -6.232441862  y = -3.232441861 Usando DERIVE y sustituyendo variables se obtienen las componentes en el eje y
x = -0.783714403  y = 2.216285597



Caso y = - x + 3  Primeramente definiremos una nueva función al sustituir el valor de y en la función f(x, y).

~
~
f ( x) : f ( x, x  3)   x(4 x 3  45 x 2  164 x  199 )

MIFUNCION_2 := SUBST(Mifuncion(x, y), y, -x + 3)



Apareciendo las siguientes soluciones x = 0.912103814 x = 4.485082688 x = 3.040313497

x = 0.912103814  y = 2.087896185
x = 4.485082688  y = -1.485082687 Usando DERIVE sustituyendo variables se obtienen las componentes en el eje y
x = 3.040313497  y = -0.040313497



Caso y = - x2 - 9  Primeramente definiremos una nueva función al sustituir el valor de y en la función f(x, y).
~
~
~
f ( x) : f ( x, x 2  93)  x(4 x6  96 x 4  3x3  749 x 2  27 x  1877 )

MIFUNCION_3 := SUBST(Mifuncion(x, y), y, x^2 - 9)



Apareciendo las siguientes soluciones x = -3.089153559 x = -1.014513277 x = -2.581492392 x = 1.045704352 x = 2.654983451 x = 2.984471424

x = -3.089153559  y = 0.5428697110
x = -1.014513277  y = -7.970762810
x = -2.581492392  y = -2.335897030 Usando DERIVE sustituyendo variables se obtienen las componentes en el eje y
x = 1.045704352  y = -7.906502408
x = 2.654983451  y = -1.951062874
x = 2.984471424  y = -0.092930319



Una vez obtenidos todos los posibles candidatos a extremos absolutos, calcularemos sus imágenes y evaluaremos cuál es la mayor y cuál
la menor:

x = -1.420017573 y = 0.392241978  Mifuncion(-1.420017573, 0.3922419785)  -2.372808905
x=0 y = -3.568864701  Mifuncion (0, -3.568864701) 0
x = -2.546343733 y = 0.453656267  Mifuncion (-2.546343733, 0.4536562670)  -0.514404645
x = -6.232441862 y = -3.232441861  Mifuncion (-6.232441862, -3.232441861)  -482.0810488
x = -0.783714403 y = 2.216285597  Mifuncion (-0.783714403, 2.216285597)  -67.21381177
x = 0.912103814 y = 2.087896185  Mifuncion (0.912103814, 2.087896185)  76.44956599
x = 4.485082688 y = -1.485082687  Mifuncion (4.485082688, -1.485082687)  34.88427869
x = 3.040313497 y = -0.040313497  Mifuncion (3.040313497, -0.040313497)  11.95979534
x = -3.089153559 y = 0.542869711  Mifuncion(-3.089153559, 0.5428697110)  2.022376924
x = -1.014513277 y = -7.970762810  Mifuncion(-1.014513277, -7.970762810)  1196.290122
x = -2.581492392 y = -2.335897030  Mifuncion(-2.581492392, -2.335897030)  -136.6540513
x = 1.045704352 y = -7.906502408  Mifuncion(1.045704352, -7.906502408)  -1246.829379
x = 2.654983451 y = -1.951062874  Mifuncion(2.654983451, -1.951062874)  48.02613335
x = 2.984471424 y = -0.092930319  Mifuncion(2.984471424, -0.092930319)  11.69581795

Como el valor máximo es 1196.290122, se tiene que el punto (-1.014513277, -7.970762810) es el máximo absoluto.
Como el valor mínimo es -1246.829379, se tiene que el punto (1.045704352, -7.906502408) es el mínimo absoluto.



c) Calcular el volumen comprendido entre las gráficas de f y el plano z = 0 sobre el recinto R.

V ( K )  1d ( x, y, z )   ( f ( x, y)  0)d ( x, y)   (3x 2 y  7 xy  4 x( y 3  3 y 2  1))d ( x, y )
K R R


 R1  ( x, y )   : 3  x  0, x 2  9  y  x  3

R : R1UR2 


 R2  ( x, y )   : 0  x  3, x 2  9  y   x  3
 

 (3x y  7 xy  4 x( y 3  3 y 2  1))d ( x, y )   (3x y  7 xy  4 x( y 3  3 y 2  1))d ( x, y )   (3x 2 y  7 xy  4 x( y 3  3 y 2  1))d ( x, y ) 
2 2

R R1 R2

0 x 3 3  x 3
POR    DE    
 EL TEOREMA  FUBINI
  
3 x 2 9
(3x 2 y  7 xy  4 x( y 3  3 y 2  1))dydx  
0 x 2 9
(3x 2 y  7 xy  4 x( y 3  3 y 2  1))dydx

INT(INT(3·x^2·y - 7·x·y + 4·x·(y^3 + 3·y^2 + 1), y, x^2-9,3+x), x, -3, 0)  507663/280
INT(INT(3·x^2·y - 7·x·y + 4·x·(y^3 + 3·y^2 + 1), y, x^2 - 9, 3 - x), x, 0, 3)  - 640827/280

507663 64082 16407
 
280 280 4

Hemos decidido transformar el recinto R de esa manera ya que la función f(x, y) al pasar de un subrecinto a otro cambia de signo (tal y
como muestra la gráfica) por lo que tendremos que sumar los valores absolutos de ambas integrales.


TEMA DE SUCESIONES:

Criterio del Cociente  SUCESIONES_COCIENTE(aa) := LIM(ABS(SUBST(aa, n, n + 1)/SUBST(aa, n, n)), n, +inf)
Criterio de Stolz (∞/∞ y 0/0)  SUCESIONES_STOLZ_1(aa,bb) := LIM((SUBST(aa,n,n+1)-SUBST(aa,n,n))/(SUBST(bb,n,n+1)-SUBST(bb,n,n)),n, +inf)
Criterio de Stolz (∞0)  SUCESIONES_STOLZ_2(aa,bb) := LIM((SUBST(aa, n, n + 1)/SUBST(aa, n, n))^(1/(SUBST(bb, n, n + 1) - SUBST(bb, n, n))), n, +inf)
Criterio de Euler (1∞)  SUCESIONES_EULER_1(aa,bb) := EXP(LIM(SUBST (bb,n,n)*(SUBST (aa,n,n)-1), n, +inf))
Criterio de Euler (00 y ∞0)  SUCESIONES_EULER_2(aa,bb) := EXP(LIM(SUBST (bb,n,n)*LN(SUBST (aa,n,n)), n, +inf))

TEMA DE SERIES:

SERIE_DE_RAZON_R(penkito):=(SUBST(penkito,n,1)-LIM(penkito,n,+inf))/(1-SUBST(penkito,n,1))

Criterio de d’Alembert  COCIENTE(aa):=LIM(SUBST(aa,n,n+1)/SUBST(aa,n,n),n,+inf)
Criterio de Cauchy  RAIZ(aa):=LIM(SUBST(aa,n,n)^(1/n),n,+inf)
Criterio de Logarítmico  LOGARITMICO(aa):=LIM(LN(1/aa)/LN(n),n,+inf)
Criterio de Raabe  RAABE(aa):= LIM(n*(1- COCIENTE(aa)),n,+inf)
Criterio de Condensación de Cauchy  CRITERIO_DE_CONDENSACION(penkito):=SUBST(penkito,n,2^n)
Criterio de Comparación paso a límite  CRITERIO_DE_PASO_AL_LIMITE(aa,bb):=LIM(aa/bb,n,+inf)

DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_1(ff) := DIF(ff, x, 1)*(xx-x) + DIF(ff, y, 1)*(yy-y)

DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_2(ff) := DIF(ff, x, 2)*(xx-x)^2 + DIF(DIF(ff, y, 1), x, 1)*(xx-x)*(yy-y) + DIF(DIF(ff, x, 1), y,
1)*(yy-y)*(xx-x) + DIF(ff, y, 2)*(yy-y)^2

DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_3(ff) := DIF(ff, x, 3)*(xx-x)^3 + DIF(DIF(ff, x, 1), y, 2)*(xx-x)*(yy-y)^2 + DIF(DIF(ff, x, 2), y,
1)*((xx-x)^2)*(yy-y) + DIF(DIF(DIF(ff, x, 1), y, 1), x, 1)*((xx-x)^2)*(yy-y) + DIF(DIF(DIF(ff, y, 1), x, 1), y, 1)*((yy-
y)^2)*(xx-x) + DIF(DIF(ff, y, 2), x, 1)*((yy-y)^2)*(xx-x) +DIF(DIF(ff, y, 1), x, 2)*(yy-y)*(x-x)^2 + DIF(ff, y, 3)*(xx-x)^3

DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_4(ff) := DIF(ff, x, 4)*(xx-x)^4 + DIF(DIF(ff, y, 1), x, 3)*((xx-x)^3)*(yy-y) + DIF(DIF(DIF(ff, x, 1),
y, 1), x, 2)*((xx-x)^3)*(yy-y) + DIF(DIF(ff, y, 2), x, 2)*(xx-x)^2*(yy-y)^2 + DIF(DIF(DIF(ff, x, 2), y, 1), x, 1)*((xx-x)^3)*(yy-
y) + DIF(DIF(DIF(DIF(ff, x, 1), y ,1), x, 1), y, 1)*(xx-x)^2*(yy-y)^2 + DIF(DIF(ff, y, 3), x, 1)*(xx-x)*(yy-y)^3 +
DIF(DIF(DIF(ff, y, 1), x, 2), y, 1)*((xx-x)^2)*(yy-y)^2 + DIF(DIF(DIF(ff, x, 1), y, 2), x, 1)*((yy-y)^2)*(xx-x)^2 + DIF(DIF(ff,
x, 3), y, 1)*(yy-y)*(xx-x)^3 + DIF(DIF(DIF(DIF(ff, y, 1), x ,1), y, 1), x, 1)*((yy-y)^2)*(xx-x)^2 + DIF(DIF(DIF(ff, y, 2), x, 1),
y, 1)*(yy-y)^3*(xx-x) + DIF(DIF(DIF(ff, y, 1), x, 1), y, 2)*((yy-y)^3)*(xx-x) + DIF(DIF(ff, x, 2), y, 2)*((yy-y)^2)*(xx-x)^2 +
DIF(DIF(ff, x, 1), y, 3)*((yy-y)^3)*(xx-x) + DIF(ff, y, 4)*(yy-y)^4

POLINOMIO_TAYLOR_1(ff, x0, y0) := SUBST(SUBST(ff, y, y0), x, x0) + SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_1(ff), y, y0), x, x0)

POLINOMIO_TAYLOR_2(ff, x0, y0) := SUBST(SUBST(ff, y, y0), x, x0) + SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_1(ff), y, y0), x, x0) +
(1/2)*SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_2(ff), y, y0), x, x0)

(1/2)*SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_2(ff), y, y0), x, x0) + (1/6)*SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_3(ff), y, y0), x,
x0)

(1/2)*SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_2(ff), y, y0), x, x0) + (1/6)*SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_3(ff), y, y0), x,
x0) + (1/24)*SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_3(ff), y, y0), x, x0)

El definitivo polinomio de Taylor

POLINOMIO_TAYLOR(ff, y0, x0, orden) := IF(orden = 1, SUBST(SUBST(ff, y, y0), x, x0) +
SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_1(ff), y, y0), x, x0), IF(orden = 2, SUBST(SUBST(ff, y, y0), x, x0) +
SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_1(ff), y, y0), x, x0) + (1/2)·SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_2(ff), y, y0), x, x0),
IF(orden = 3, SUBST(SUBST(ff, y, y0), x, x0) + SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_1(ff), y, y0), x, x0) +
(1/2)·SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_2(ff), y, y0), x, x0) + (1/6)·SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_3(ff), y, y0), x,
x0), IF(orden = 4, SUBST(SUBST(ff, y, y0), x, x0) + SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_1(ff), y, y0), x, x0) +
(1/2)·SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_2(ff), y, y0), x, x0) + (1/6)·SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_3(ff), y, y0), x,
x0) + (1/24)·SUBST(SUBST(DERIVADA_PARCIAL_DE_ORDEN_3(ff), y, y0), x, x0), "No hemos diseñado el algoritmo para un polinomio de
taylor de orden mayor que 4"))))

Búsqueda de extremos relativos para funciones en R

BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R(ff) := SOLVE(DIF(ff, x, 1) = 0 , x, real)

EVALUA_PUNTO_EN_R(ff, x0):= IF(SUBST(DIF(ff, x, 2), x, x0)<0, "El punto es un máximo relativo",IF(SUBST(DIF(ff, x, 2), x, x0)>0, "El punto es un mínimo relativo", "Se trata de un
punto de inflexión"))

Búsqueda de extremos relativos para funciones en R2

BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R_2(ff) := SOLVE(DIF(ff, x, 1) = 0 AND DIF(ff, y, 1) = 0, [x, y])

MATRIZ_HESSIANA_EN_R2(ff):=[DIF(ff, x, 2),DIF(DIF(ff, y, 1), x, 1);DIF(DIF(ff, x, 1), y, 1),DIF(ff, y, 2)]
MATRIZ_HESSIANA_EN_R_2(ff, x0, y0) := SUBST(SUBST(MATRIZ_HESSIANA_EN_R2(ff), x, x0), y, y0)

EVALUA_PUNTO_EN_R_2(ff, x0, y0) := IF(DET(MATRIZ_HESSIANA_EN_R_2(ff, x0, y0)) < 0, "Es un punto de ensilladura", IF(DET(MATRIZ_HESSIANA_EN_R_2 (ff, x0, y0)) = 0,
"Es necesario usar el método de las regiones", IF(SUBST(SUBST(DIF(ff, x, 2), x, x0), y, y0) > 0, "Se trata de un mínimo relativo", IF(SUBST(SUBST(DIF(ff, x, 2), x, x0), y, y0) < 0, "Es un
máximo relativo", "No tenemos suficiente información"))))

Método de las regiones:

REGIONES(ff, x0, y0):=FACTOR(ff-SUBST(SUBST(ff, x, x0), y, y0),x,y)

Búsqueda de extremos relativos para funciones en R3

BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R_3(ff) := SOLVE(DIF(ff, x, 1) = 0 AND DIF(ff, y, 1) = 0 AND DIF(ff, z, 1) = 0, [x, y,z])

MATRIZ_HESSIANA_EN_R3(ff):=[DIF(ff, x, 2),DIF(DIF(ff, y, 1), x, 1),DIF(DIF(ff, z, 1), x, 1);DIF(DIF(ff, x, 1), y, 1),DIF(ff, y, 2),DIF(DIF(ff, z, 1), y, 1);DIF(DIF(ff, x, 1), z, 1),DIF(DIF(ff,
y, 1), z, 1),DIF(ff, z, 2)]
MATRIZ_HESSIANA_EN_R_3(ff, x0, y0, z0) :=SUBST( SUBST(SUBST(MATRIZ_HESSIANA_EN_R3(ff), x, x0), y, y0), z, z0)

EVALUA_PUNTO_EN_R_3(ff, x0, y0, z0) := IF(DET(MATRIZ_HESSIANA_EN_R3(ff, x0, y0, z0)) < 0, "Es un punto de ensilladura", IF(DET(MATRIZ_HESSIANA_EN_R3 (ff, x0, y0,
z0)) = 0, "Es necesario usar el método de las regiones", IF(SUBST(SUBST(SUBST(DIF(ff, x, 2), x, x0), y, y0), z, z0) > 0, "Se trata de un mínimo relativo", IF(SUBST(SUBST(SUBST(DIF(ff,
x, 2), x, x0), y, y0), z, z0) < 0, "Es un máximo relativo", "No tenemos suficiente información"))))

Búsqueda de extremos absolutos para funciones en R

BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R(ff) := SOLVE(DIF(ff, x, 1) = 0, x, Real)·IF(DIF(ff, x, 1) = 0, " Los puntos críticos son los siguientes:", "La función no tiene puntos críticos")

EVALUA_SI_CUMPLE_LA_RESTRICCION_EN_R(restriccion, x0):=IF(SUBST(restriccion, x, x0), "Este punto es un posible candidato a ser un extremo condicionado por la restricción",
"Este punto no cumple la restricción y por lo tanto no es candidato a ser extremo absoluto")

BUSCA_CANDIDATOS_A_EXTREMOS_ABSOLUTOS_1_EN_R(ff, restriccion):=SOLVE(DIF(ff + y*restriccion, x, 1) = 0 AND retriccion=0,[x, y])”El valor que importa es x”

BUSCA_CANDIDATOS_A_EXTREMOS_ABSOLUTOS_2_EN_R(restriccion):=SOLVE(DIF(restriccion, x, 1) = 0 AND retriccion=0,[x])

Búsqueda de extremos absolutos para funciones en R2

BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R_2(ff) := SOLVE(DIF(ff, x, 1) = 0 AND DIF(ff, y, 1) = 0, [x, y]) IF(DIF(ff, x, 1) = 0 AND DIF(ff, y, 1) = 0, " Los puntos críticos son los siguientes:", "La
función no tiene puntos críticos")

EVALUA_SI_CUMPLE_LA_RESTRICCION_R2(restriccion, x0, y0):=IF(SUBST(SUBST(restriccion, x, x0),y, y0), "Este punto es un posible candidato a ser un extremo condicionado por la
restricción", "Este punto no cumple la restricción y por lo tanto no es candidato a ser extremo absoluto")

BUSCA_CANDIDATOS_A_EXTREMOS_ABSOLUTOS_1_R2(ff, restriccion):=SOLVE(DIF(ff + z*restriccion, x, 1) = 0 AND DIF(ff + z*restriccion, y, 1) = 0 AND retriccion=0,[x, y, z])
”El valor que importa es (x, y)”

BUSCA_CANDIDATOS_A_EXTREMOS_ABSOLUTOS_2_R2(restriccion):=SOLVE(DIF(restriccion, x, 1) = 0 AND DIF(restriccion, y, 1) = 0 AND retriccion=0,[x, y])

Búsqueda de extremos absolutos para funciones en R3
BUSCA_PUNTOS_CRITICOS_R_3(ff) := SOLVE(DIF(ff, x, 1) = 0 AND DIF(ff, y, 1) = 0 AND DIF(ff, z, 1) = 0, [x, y,z]) IF(DIF(ff, x, 1) = 0 AND DIF(ff, y, 1) = 0 AND DIF(ff, z, 1) = 0, "
Los puntos críticos son los siguientes:", "La función no tiene puntos críticos")

EVALUA_SI_CUMPLE_LA_RESTRICCION_EN_R3(restriccion, x0, y0, z0):=IF(SUBST(SUBST(SUBST(restriccion, x, x0),y, y0), z, z0), "Este punto es un posible candidato a ser un
extremo condicionado por la restricción", "Este punto no cumple la restricción y por lo tanto no es candidato a ser extremo absoluto")

BUSCA_CANDIDATOS_A_EXTREMOS_ABSOLUTOS_1_R3(ff, restriccion):=SOLVE(DIF(ff + t*restriccion, x, 1) = 0 AND DIF(ff + t*restriccion, y, 1) = 0 AND DIF(ff + t*restriccion, z,
1) = 0 AND retriccion=0,[x, y, z, t]) ”El valor que importa es (x, y, z)”

BUSCA_CANDIDATOS_A_EXTREMOS_ABSOLUTOS_2_R3(restriccion):=SOLVE(DIF(restriccion, x, 1) = 0 AND DIF(restriccion, y, 1) = 0 AND DIF(restriccion, z, 1) = 0 AND
retriccion=0,[x, y])

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