1. Solución a los ejercicios del tema Límites de sucesiones
Ejercicio 1
Calcula los siguientes límites:
a  lim  7  n   
n 
 1
b  lim  7    7
n 
 n
c  lim  7  n 2   
n 
 1
d  lim  6  3   6
n 
 n 
e  lim 7 n  
n 
3 
f  lim   n   3
n  n
 
n
1
g lim    0
n  3
 
h lim 3n  
n 
i  lim  5n 3  n 2  100    
n   
2
j  lim  2n3   0
n 
k  lim  23  10  n   23
n 
l  lim  8n 2  7 n 3  500   500
n 
Ejercicio 2
Estudia hacia qué tenderán las siguientes sucesiones cuando la n es muy grande:
n n 1
a  an  lim  lim 4  0
n5 n  n 5 n  n
n2  1 n2  1
b an  5 lim 5  0
n n  n
c an  n  n 5
7
lim n 7  n 5  
n 
8 3 2
n  4n  5n n8  4n 3  5n 2
d an  lim  
1000  n 2 n  1000  n 2
e an   2 n lim  2 n  
n

2. Ejercicio 3
Calcula:
2n 2  5n  7 2
a lim 
n  3n 2 3
5n 4  2n 3  n 2  n  1
b lim  
n  3n 3  2 n 2  n  3
3n 2  1
c lim 3  0
n  4 n  2
2
d lim
 n  1  lim n 2  2n  1  1
n  2n 2 n  2n 2 2
2 2
 n  1   n  1  n  1  n  1  n  1   n  1  2n  2 4
e lim  lim  lim 
n  5n  3 n  5n  3 n  5n  3 5
2 2
f lim
 n  1   n  1  lim
n 2  2n  1  n 2  2n  1
 lim
2n 2  2
 
n  5n  3 n  5n  3 n  5n  3
n  10
g lim 1
n  n
Ejercicio 4
1
La sucesión an  tiene por límite 0, y la sucesión bn  2 n  1 tiende a  . Estudia
4n
si la sucesión cn  an  bn es convergente:
2n  1 1
lim  an  bn   lim 
n  n  4 n 2
Ejercicio 5
Calcula el límite de las siguientes sucesiones aplicando propiedades:
 2 lim 2 2
a lim  3    lim 3  n  3   3  0  3
n 
 n  n  lim n 
n 
1 1 1
lim lim
b  lim 2  lim 2
n n n
2 n n
 20  1
n  n 

3. Ejercicio 6
Estos límites presentan una indeterminación; averíguala y resuélvela:
n  1  n
 1  lim n1 1 lim
a lim  1    e

n  n7 
e n n 7
 e1  e
n 
 n7 IND 1
2n
2n n 2 2
b  lim   lim
  lim   2
n 
n 2  3n  2 IND
n 
 n 2 3n 2 n 1  3  2 1
  
n2 n2 n2 n n2
c  lim n  1  n  lim
 n 1  n  n 1  n   lim  n  1  n 

n 
IND (  )
n 
 n 1  n  n  n 1  n
1 1
 lim   0
n  n 1  n 
d  lim  n 2  n   (En este límite lo difícil es no hacerlo de forma intuitiva. Debemos
n 
averiguar cuál es la indeterminación y, luego, resolverla. Como el problema está en la
resta, al sacar factor común, desaparece la indeterminación)
lim  n 2  n  
 lim n  n  1      
n  n 
IND 
n 9n 2 2 2
2   2 1 9  2
n  9n  2 2
n  1 3  4
e lim  lim n
 n
n n  lim
n  3n  3 
3n 3 n  3 3 3
IND  3
 n n n
n2  n 4   n 3 1  n 2
lim  n  2  lim  n  2 
n4 1  1 lim
f lim    e

n  n 3 
e n  n 3 n 3 
e n n  3
 e
n  n  3
  IND 1 
g  lim n 2  n  n  lim
 n2  n  n  n2  n  n 

n 
 n  n  n
IND 
n  2
 lim
 n  n  n  n  n  n   lim n  n  n  lim
2 2
2 2
n


n 
 n  n  n 2
n n n n  2 n 
n 2  n  n ÎND 


4. n
n 1 1 1
 lim  lim  
n 
n2 n n n  1 1 1 2
  1 1
n 2 n2 n n
n 1 6 n 1
 n 1  5 n  4   n 1  5 n  2 6  lim
 5n  4  3 lim   1 lim    1
n 3 5n  2
h lim    e

n  3  5 n  2 
e n  3  5 n  2 5 n  2 
e 
n  5n  2
  
IND 1
2 n  2 2 n  2 2
lim
5 n 2
lim
5n2 5
1
e n
e n
 e  5
e2
Ejercicio 7
Calcula los siguientes límites:
n 3
 1  1  n  1 3 
a lim 1    lim 1    1    
n 
 n n 
 n   n  
 
n 3
 1  1
 lim 1    lim 1    e 13  e
n 
 n  n  n 
2 n 2 2
 1  1  n   1  n 
b lim  1    lim  1     lim  1    
n 
 n n 
 n  
 
n 
 n  
 
n n lim  2
  1  lim  2 1
  lim  1     e n  e 2 
 n  n  
  e2
Ejercicio 8
Calcula los siguientes límites:
a  lim  x 2  5 x  3  1  5  3  1
x 1
b lim  x 7  8 x 2  3x    (porque el término de mayor grado es positivo)
x 
(Sigue  )

5. (Continuación)
c lim  x 2  3x3  1   (porque el término de mayor grado es negativo)
x 
3x 4 3x 2  x 2 3x2 0
d  lim  lim 2
 x 0  lim   0
x0 x3  x2 0 x  x  1 x0  x  1 0  1
IND
0
x3  1  x  1  x 2  x  1 x2  x  1 3
e lim 2  lim
 x 1  lim 
x 1 x  1
0
IND
 x  1 x  1 x 1 x 1 2
0
x 2  25  x  5 x  5   lim x  5  2
f  lim  lim
 x 5
x 5 x2  5x 0 x  x  5 x 5 x
ÎND
0
x 5 x 5 1 1
g lim  lim
 x 5  lim 
x 5 2
x 5
IND
0 x 5 x 5
0
x 5 x  5

2 5 
h  lim
x3 2
 lim
 x32   x3  2   lim x 34

 x 1
x 1 x 1 0
IND  x  1  x3  2  x 1
 x  1  x32 
0
x 1 1 1 1
 lim  lim  
x 1
 x  1  x3 2  x 1 x3  2 4 2 4
x
 4x 1  
i lim   2  
x 
 2x 

6. Ejercicio 9
Calcula los siguientes límites:
x 1 4
a  lim   2 No hay indeterminación
x 3 x 1 2
x 1 1
 1
x 1 x 1 0  1
b lim  lim x x  lim
 x x 1 x 1 
x  x  1 1 0

IND  1
 x x x
c
x2 1  x  1 x  1  lim x  1  2
lim
x 1 x  1
 lim
 x 1  
0 x 1 x 1
IND
0
d lim
x
 lim
x 1 1 x
 lim

x 1 1 x

  
 x 0
x0 1  1  x
IND
0 
1 1 x 1 1 x
0
x0

1  1  x  
x 1  1 x 
 lim  lim 1  1 x  2 
x 0 x x0
x2  x 1
1
x2  x x 2
x  1 0  1
e lim  lim
 x   lim
x  x 
x x  1
IND
 x
f  lim
x6 3
 lim
 x6 3  x6 3   lim x69

 x 3
x 3 x 3 0
IND  x  3  x6 3  x 3
 x  3  x6 3 
0
x3 1 1 1
 lim  lim  
x 3
 x  3  x6 3  x 3 x6 3 9 3 6