Apuntecalculodiferencial calculo I modulo I 220166 (2).pdf

DEPARTAMENTO DE
MATEMÁTICA
APUNTE DE CÁLCULO DIFERENCIAL-MÓDULO 1
FERNANDO FLORES B.
OSCAR VILLARROEL C.
UNIVERSIDAD DEL BIO-BIO
CONCEPCIÓN, 2022

APUNTE DE APOYO PARA
CÁLCULO DIFERENCIAL -CÁLCULO I
Módulo 1
Ing. Civil, C.Industrial,C. Química, C. Mecánica, C.
Eléctrica
Profesores: Fernando Flores Bazán, Oscar Villarroel C.
Concepción, 2022.
Departamento de Matemática–Universidad del Bío-Bío

Índice general
1 Números Reales 3
1.1 Los Números Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 El conjunto de los Números Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 El conjunto de los Números Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 El conjunto de los Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.1 Propiedades para la resolución de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Funciones de números reales 30
2.1 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Algebra de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Clases de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.3 Funciones Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Aplicaciones a la Economìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Aplicaciones al crecimiento poblacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Límite de funciones 58
3.1 Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.1 Límites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Límites al Infinito, infinito en infinito, infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.1 Límite al Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.2 Límite infinito al Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.3 Límite infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3 Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 Límites especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1

Fernando Flores-Bazán; Oscar Villarroel Carvallo
3.4.1 límites trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.2 Tipos de indeterminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4 Continuidad de Funciones 85
4.1 Continuidad de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Discontinuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.1 Discontinuidad evitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.2 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2

Capítulo 1
Números Reales
La asignatura Cálculo Diferencial, Cálculo I para la carrera de Ingeniería, necesita del conjunto de
los números reales para desarrollarse y está orientado a los estudiantes de las carreras de Ingeniería Civil
Civil Industrial, Civil Química,Civil Mecánica,Civil Elécrica quienes inicialmente tienen que entender
y comprender propiedades importantes del conjunto de los números reales, ya que sobre este conjunto
realizaremos toda nuestra teoría.
1.1. Los Números Naturales
Los números naturales se denota por N y se define por extensión como
N = {1,2,···}
cuya cardinalidad es infinita, es decir posee una cantidad infinita de elementos.
Propiedades 1.1.1.
1. Tiene como primer elemento al número 1, llamado elemento minimal.
2. Todo número natural tiene un sucesor.
3. Todo número natural (menos el 1) tiene un antecesor.
4. El conjunto N es la unión de dos subconjuntos : el de los números pares y el de los números impares.
5. Todo sucesor de un número par es impar.
6. Todo sucesor de un número impar es par.
1.2. El conjunto de los Números Enteros
El conjunto de los números enteros se denota por Z y se define por extensión como
Z = {··· ,−3,−2,−1,0,1,2,3,···},
cuya cardinalidad es infinita.
3

0 1 2 3 4
0
−1
−2
−3
−4
NEGATIVO POSITIVO
Regla de signos para la multiplicación
• (+) (−)
(+) (+)·(+) = (+) (+)·(−) = (−)
(−) (−)·(+) = (−) (−)·(−) = (+)
Regla de signo para la división
÷ (+) (−)
(+) (+)÷(+) = (+) (+)÷(−) = (−)
(−) (−)÷(+) = (−) (−)÷(−) = (+)
Propiedades 1.2.1.
1. El conjunto Z no tiene un primer elemento.
2. Todo número entero tiene un sucesor y un antecesor.
3. El conjunto Z No tienen parte decimal.
4. Un número entero es menor cuanto más a la izquierda de la recta numérica esté.
5. Cualquier número positivo es mayor que cualquier negativo.
6. Cualquier número negativo es menor que cero.
7. Entre dos negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.
Observacion 1.2.1.
1. Cuando una expresión contiene las cuatro operaciones aritméticas sin símbolos de agrupación, primero
se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparezcan, luego efectuar las sumas y
restas.
2. Si la expresión contiene símbolos de agrupación con solamente números específicos en su interior,
primero se llevan a cabo las operaciones incluidas en dichos símbolos.
1.3. El conjunto de los Números Racionales
Se denota por Q y se define como
Q =
n
r : r =
a
b
: a,b ∈ Z; b 6= 0
o
al número a se llama numerador y a b denominador, a la expresión
a
b
se llama fracción. Nuestro objeti-
vo es facilitar el estudio de nuestros alumnos, entonces recordemos las definiciones de las operaciones de
suma y multiplicación entre dos números racionales.
4

Definicion 1.3.1. En el conjunto de los números racionales se define dos operaciones
La Suma
Sean r, s ∈ Q tal que r =
a
b
, b 6= 0, s =
c
d
, d 6= 0, se define la operación multiplicación como
+ : Q×Q −→ Q
(r,s) −→ +(r,s)
, donde +(r,s) = r + s =
a
b
+
c
d
=
a· d + b · c
b · d
La Multiplicación
Sean r, s ∈ Q tal que r =
a
b
, b 6= 0, s =
c
d
, d 6= 0 se define la operación multiplicación como
• : Q×Q −→ Q
(r,s) −→ •(r,s)
, donde •(r,s) = r • s =
a
b
•
c
d
=
a• c
b • d
1. Las operaciones de suma y multiplicación sobre Q son cerradas, es decir que la suma y multiplicación
de dos números racionales es un número racional.
2. El resultado de la adición y multiplicacion entre los números racionales se llama suma y producto
respectivamente, que también resulta ser un número racional.
3. Usaremos la notación a· b = ab.
Ejemplo 1.3.1.
1. Sumar
4
5
+
6
7
2. Multiplicar
4
3
·
7
9
Resolución: Ï
1.
4
5
+
6
7
=
4·7+5·6
5·7
=
28+30
35
=
58
35
usando la definición 1.3.1
2.
4
3
·
7
9
=
4·7
3·9
=
28
27
usando la definición 1.3.1
Î
5

Propiedades 1.3.1.
En el conjunto Q, provisto de las dos operaciones de suma y multiplicación definidas anteriormente, se
cumplen las siguientes propiedades para cualesquier r =
a
b
∈ Q, b 6= 0, s =
c
d
∈ Q, d 6= 0, t =
e
f
∈ Q, f 6= 0
La suma es conmutativa.
Sean r, s ∈ Q se cumple r + s = s+ r
La suma es asociativa.
Sean r, s ∈ Q se cumple r +(s+ t) = (r + s)+ t.
El elemento 0 ∈ Q se llama neutro aditivo.
Para todo r ∈ Q, ∃! 0 ∈ Q tal que r +0 = r.
El elemento 1 ∈ Q se llama neutro multiplicativo.
Para todo r ∈ Q ∃! 1 ∈ Q tal que r ·1 = r.
El número racional s se llama inverso aditivo de r
Dado r ∈ Q, ∃s ∈ Q, tal que, r + s = 0, se acostumbra a denotar s = −r.
El número racional s se llama inverso multiplicativo de r
Dado r ∈ Q no nulo (r 6= 0) existe s ∈ Q tal r · s = 1. Se acostumbra a denotar s = r−1
. Más claramente,
como r = a
b ∈ Qà{0}, entonces r−1
=
b
a
, b 6= 0.
La multiplicación es distributiva con respecto a la adición
Sean r,s, t ∈ Q se cumple r ·(s+ t) = r · s+ r · t.
Propiedades 1.3.2.
1.
a
b
=
c
d
=⇒ ad = bc
2.
a
b
+
c
d
=
ad + cb
bd
3.
a
b
−
c
d
=
ad − bc
bd
4.
a
b
·
c
d
=
ac
bd
5.
a
b
÷
c
d
=
a/b
c/d
=
ad
bc
6.
a
b
+
c
b
=
a+ c
b
7.
a
b
−
c
b
=
a− c
b
8. −
a
b
=
−a
b
=
a
−b
Ejemplo 1.3.2. Realizar las siguientes operaciones
(a) −[6+6÷2·(−3)−{−8+6·(−5)+2}−3]−9
(b)
2−2
1+
3−1
1+3−1
(c)
3
4
÷
1
8
·
µ
1
2
+
3
4
÷
3
4
¶
6

Resolución: Ï
(a)
−[6+6÷2·(−3)−{−8+6·(−5)+2}−3]−9 = −[6+6÷2·(−3)−{−8+6·(−5)+2}
| {z }
primero
−3]
| {z }
segundo
−9
= −[6+6÷2·(−3)−{−8−30 +2}−3]−9
= −[6+6÷2·(−3)−{−36}−3]−9
= −[6+6÷2·(−3)+36 −3]−9
= −[6+3·(−3)+36−3]−9
= −[6−9+36−3]−9
= −[42−12]−9
= −[30]−9
= −30−9
= −39
(b)
2−2
1+
3−1
1+3−1
=
2−2
1+
3−1
1+3−1
=
2−2
1+
1
3
÷
4
3
=
2−2
1+
1
4
=
1
4
÷
5
4
=
1
5
Î
7

Continuación del ejercicio
Resolución: Ï
(c)
3
4
÷
1
8
·
µ
1
2
+
3
4
÷
3
4
¶
=
3
4
÷
1
8
·
µ
1
2
+
3
4
·
4
3
¶
=
3
4
÷
1
8
·
µ
1
2
+1
¶
=
3
4
÷
1
8
·
3
2
=
3
4
·8·
3
2
=
3·8
4
·
3
2
= 6·
3
2
=
6·3
2
= 9
Î
1.4. El conjunto de los Números Reales
El conjunto de los números reales; está formado por los números racionales, denotado por Q y los
números irracionales denotado por I, es decir R = Q ∪ I. Se define en R las operaciones de suma (+) y
multiplicación (·) como:
(+) : R×R → R
(x, y) 7→ (+)(x, y) = x+ y
(·) : R×R → R
(x, y) 7→ (·)(x, y) = x· y
8

Propiedades 1.4.1. [Axiomas de los Números Reales (R)]
Para la Suma
S1 ∀ a,b ∈ R, a+ b ∈ R Clausura
S2 ∀ a,b ∈ R, a+ b = b + a Conmutativa
S3 ∀ a,b, c ∈R, (a+ b)+ c = a+(b + c) Asociativa
S4 ∀ a ∈ R,∃ ! 0 ∈ R : a+0 = a Neutro Aditivo
S5 ∀ a ∈ R,∃! − a ∈ R : a+(−a) = 0 Inverso Aditivo
Para la multiplicación
M1 ∀ a,b ∈ R, a· b ∈ R Clausura
M2 ∀ a,b ∈ R, a· b = b · a Conmutativa
M3 ∀ a,b, c ∈R, (a· b)· c = a·(b · c) Asociativa
M4 ∀ a ∈ R ∃! 1 ∈ R : 1· a = a Neutro Multiplicativo
M5 ∀ a ∈ R, a 6= 0, ∃!a−1
∈ R : a· a−1
= 1 Inverso Multiplicativo
Ley Distributiva
D1 ∀ a,b, c ∈R : a·(b + c) = a· b + a· c Ley Distributiva izquierda
D2 ∀ a,b, c ∈R : (a+ b)· c = a· c + b · c Ley Distributiva derecha
Propiedades 1.4.2. [Axioma de Igualdad]
1. ∀x, y ∈ R, x = y ó x 6= y
2. ∀x ∈ R, x = x reflexiva.
3. ∀x, y ∈ R, x = y =⇒ y = x simetría.
4. ∀x, y, z ∈ R, x = y e y = z =⇒ x = z transitiva.
Definicion 1.4.1.
(a) R posee un subconjunto denotado por R+
, que satisface las siguientes propiedades:
P1: Si x ∈ R entonces sólo puede suceder una de las siguientes situaciones:
(i) x ∈ R+
(ii) x = 0 (iii) −x ∈ R+
.
P2: Si x, y ∈ R+
, entonces x+ y ∈ R+
.
P3: Si x, y ∈ R+
, entonces x· y ∈ R+
.
(b) Definimos R−
=
©
x ∈ R : − x ∈ R+
ª
(c) En R se puede definir una relación de orden, denotada por <, de la siguiente manera.
Dados x, y ∈ R decimos que x < y si y sólo si, y− x ∈ R+
.
Así para x ∈ R+
y como x = x − 0 entonces x − 0 ∈ R+
, y luego 0 < x. Por este motivo se define los
conjuntos R+
y R−
como
9

Teorema 1.4.1.
(a) Sean a, b ∈ R entonces
a· b = 0 ⇐⇒ a = 0∨ b = 0
(b) Sean a, b ∈ R entonces
a2
= b2
⇐⇒ a = b ∨ a = −b
Corolario 1.4.1.
(a) Si se tiene x+a = b se concluye que x = b−a, si representa una ecuación que depende de x la solución
sería b − a
(b) Si se tiene ax = b se concluye que x =
b
a
, si esta representa una ecuación que depende de x la solución
sería
b
a
Propiedades 1.4.3. [Principios de Sustitución]
De la Adición de los números reales
Si x = y y w = z entonces x+ w = y+ z, ∀ x, y,w, z ∈ R
De la Multiplicación de los números reales
Si x = y y w = z entonces x· w = y· z, ∀ x, y,w, z ∈ R
Teorema 1.4.2. [De Igualdad]
Para la Suma
Si x = y entonces x+ z = y+ z, ∀ x, y, z ∈ R
Para la Multiplicación
Si x = y entonces x· z = y· z, ∀ x, y, z ∈ R
Teorema 1.4.3. [De Cancelación]
Para la Suma
Sean x, y, z ∈ R; si x+ z = y+ z entonces x = y
Para la Multiplicación
Sean x, y, z ∈ R; si x· z = y· z, z 6= 0 entonces x = y
Ejemplo 1.4.4. Resolver las ecuaciones siguientes
(a) 3x+4 = 6x−8
(b) x(2x−3) = 0
(c) 5x2
−11x+6 = 0
(d) 4(x−2)−3[6−2(3−4x)]+3(7−2x) = 0
(e) 2(3−6x)−5[3−(4−2x)] = 3(2x−1)
(f) 2x−[7−2(3−4x)] = 5−2[6−(7− x)]
10

Resolución: Ï
(a)
3x+4+8 = 6x−8+8 por el teorema(1.4.2)
12+3x−3x = 6x−3x por el teorema (1.4.2)
12 = 3x por el teorema (1.4.2)
12
3
= x por el teorema (1.4.2)
4 = x por el teorema (1.4.2)
(b)
5x2
−11x+6 = 0 factorización
(5x−6)(x−1) = 0 por el teorema (1.4.1)
=⇒ (5x−6) = 0 ∧ (x−1) = 1 por el teorema (1.4.1)
=⇒ x =
6
5
∧ x = 1 por el teorema (1.4.1)
(d)
4(x−2)−3[6−2(3−4x)]+3(7−2x) = 0 multiplicación
4x−8−18+4(3−4x)+21−6x = 0 multiplicación
=⇒ 4x−16x−14+21−6x = 0 sumar
=⇒ −18x = 14−21 reducción
=⇒ −18x = −7 tricotomía
=⇒ x =
7
18
tricotomía
Î
Ejemplo 1.4.5.
(a) Demostrar para cada x ∈ R que x·0 = 0
(b) Para cada x ∈ R demostrar que (−1)· x = −x
(c) Demostrar para cada x ∈ R que −(−x) = x
(d) Demostrar para cada x ∈ R con x 6= 0 que (x−1
)−1
= x
(e) Demostrar que (−1)·(−1) = 1
(f) Demostrar para cada x, y ∈ R que (−x)·(−y) = x· y
(g) Para cada x, y ∈ R, demostrar −(x· y) = (−x)· y
11

Resolución: Ï
(a) Sea x cualquier real
x·0 = x·0+0 neutro aditivo
= x·0+(x+(−x)) inverso aditivo
= (x·0+ x)+(−x) asociatividad
= (x·0+ x·1)+(−x) neutro multiplicativo
= x(0+1)+(−x) distributiva
= x·1+(−x) neutro aditivo
= x+(−x) neutro multiplicativo
= 0 inverso aditivo
(b) Sea x cualquier real
(−1)· x = x·(−1) conmutativa
= x·(−1)+0 neutro aditivo
= x·(−1)+ x+(−x) inverso aditivo
= x·(−1)+ x ·1+(−x) neutro multiplicativo
= (x·(−1)+ x ·1)+(−x) asociativa
= x·((−1)+1)+(−x) distributiva
= x·(0)+(−x) inverso aditivo
= 0+(−x) item (a)
= (−x) neutro aditivo
(c) Sabemos que para cada x ∈ R existe −x ∈ R tal que
x+(−x) = 0 (1.1)
Como −x ∈ R entonces existe −(−x) ∈ R tal que
−(−x)+(−x) = 0 (1.2)
De (1.1) y (1.2) se obtiene
−(−x)+

(−x) = x+

(−x) cancelativa para la adición
−(−x) = x
(d) Sabemos que para cada x ∈ R existe x−1
∈ R tal que
x· x−1
= 1 (1.3)
Como x−1
∈ R entonces existe (x−1
)−1
∈ R tal que
(x−1
)−1
· x−1
= 1 (1.4)
Î
12

Continuación del ejercicio
Resolución: Ï
(d) De (1.3) y (1.4) se obtiene
(x−1
)−1
·

x−1
= x·

(x−1
) cancelativa para la multiplicación
(x−1
)−1
= x
(e) Para x = −1 en el item (b)
(−1)·(−1) = −(−1) por el item (b), para x = −1
= 1 item (c)
(f) Sean x, y números reales
(−x)·(−y) = ((−1)· x)·((−1)· y) por el item (b)
= [((−1)· x)·(−1)]· y asociativa
= [(−1)·((−1)· x)]· y conmutativa
= [((−1)·(−1))· x]· y asociativa
= (1· x)· y item (d)
= x· y neutro multiplicativo
(g) Sean x, y números reales
−(x· y) = (−1)·(x· y) por la parte (b)
= ((−1)· x)· y asociativa
= (−x)· y por la parte (b)
Î
Definicion 1.4.2. [Operaciones de resta y división]
(a) Sustracción.
Para todo a, b ∈ R se define la operación resta como a − b = a +(−b) donde a es el minuendo y b es
el sustraendo
(b) División.
Para todo a, b ∈ R, b 6= 0 se define la operación división como
a
b
= a · b−1
donde a es el dividendo y
b es el divisor
13

1.5. Intervalos
Definicion 1.5.1. Sean a,b ∈ R con a b, se define los intervalos siguientes :
Intervalo Nombre Como conjunto Gráficamente
[a,b] cerrado {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
a b
]a,b[ abierto {x ∈ R : a x b}
a b
bc bc
[a,b[ semiabierto o
semicerrado
{x ∈ R : a ≤ x b}
a b
bc
]a,b] semicerrado o
semiabierto
{x ∈ R : a x ≤ b}
a b
bc
]−∞,b] cerrado {x ∈ R : x ≤ b}
b
]−∞,b[ abierto {x ∈ R : x b}
b
bc
[a,∞[ cerrado {x ∈ R : a ≤ x}
a
]a,∞[ abierto {x ∈ R : a x}
a
bc
]−∞,∞[ abierto {x ∈ R : −∞ x +∞}
−∞ ∞
Definicion 1.5.2.
(a) Sea x ∈ R, se dice que x es positivo si x 0, por tanto se define el conjunto de los números reales
positivos, denotado por R+
, como
R+
= {x ∈ R : x 0}
(b) Sea x ∈ R, se dice que x es negativo si x 0, por tanto se define el conjunto de los números reales
negativos, denotado por R−
, como
R−
= {x ∈ R : x 0}
14

Definicion 1.5.3. [Relación de Orden]
(a) Se define en R una relación de orden, menor que denotado por del modo siguiente:
∀ x, y ∈ R : x y sí y solo si y− x ∈ R; se lee x es menor que y´´
(b) Se define en R una relación de orden, mayor que denotado por, del modo siguiente:
∀ x, y ∈ R : x y sí y solo si x− y ∈ R+
; se lee x es mayor que y´´
Propiedades 1.5.1. [Axioma de Orden]
1. Ley de Tricotomía
Para cualquier x, y ∈ R, uno y sólo una de las expresiones siguientes se cumple
(a) x y (b) x = y (c) x y
2. Ley de Transitividad
Si x y, y z entonces x z.
3. Ley de Monotonía
Si x y entonces ∀z ∈ R, x+ z y+ z.
Si x y y z 0 entonces xz yz.
Si x y y z 0 entonces xz zy.
Comentario 1.5.1.
1. Dados x, y ∈ R el número real x+(−y) se denotará simplemente por x− y.
2. El conjunto R dotado con las operaciones de suma y multiplicación en conjunto con los axiomas de
los números reales, constituye R una estructura algebraica llamada cuerpo conmutativo o campo.
3. El conjunto de los números reales como campo más el axioma del supremo y los axiomas de orden
constituyen un campo ordenado completo
Comentario 1.5.2.
(a) Una desigualdad es una proposición donde aparece la relación menor que (), mayor que (), menor
o igual que (≤) , mayor igual que (≥)
(b) R = R+
∪R−
∪{0}.
(c) El conjunto R+
y R−
es un subconjunto de R
15

Teorema 1.5.1.
(a) Sean x, y ∈ R entonces
x ≤ y ⇐⇒ x y ∨ x = y
(b) Sean x, y ∈ R entonces
x ≥ y ⇐⇒ x y∨ x = y
Propiedades 1.5.2. Para a,b ∈ R se cumple
a b ⇐⇒ a− b 0
a b ⇐⇒ a− b 0
a 0 ⇐⇒ −a 0
a 0 ⇐⇒ −a 0
Observacion 1.5.1.
(a) Si a− b 0 si y sólo si a− b ∈ R+
. (b) Si a− b 0 si y sólo si a− b ∈ R−
.
Teorema 1.5.2.
1. Si a b y c d entonces a+ c b + d
2. Sean a, b ∈ R entonces a b ⇐⇒ − a −b.
3. Sea a ∈ R, entonces a 6= 0 ⇐⇒ a2
0
1.6. Inecuaciones
1.6.1. Propiedades para la resolución de inecuaciones
Teorema 1.6.1. Sean a,b ∈ R se cumple
(i) Si a 0 y b 0 entonces a+ b 0 y a· b 0.
(ii) Si a 0 y b 0 entonces a+ b 0 y a· b 0
(iii) Si a 0 y b 0 ó si a 0 y b 0 entonces a· b 0.
(iv) a· b 0 ⇐⇒ (a 0∧ b 0)∨(a 0∧ b 0)
(v) a· b 0 ⇐⇒ (a 0∧ b 0)∨(a 0∧ b 0)
(vi) Si a 6= 0 entonces a−1
tiene el mismo signo que a.
(vii) Si a y b tienen el mismo signo, entonces a b ⇐⇒
1
a

1
b
16

Definicion 1.6.1.
(a) Si b ∈ R y a ∈ R+
entonces
p
a = b ⇐⇒ a ≥ 0∧(b ≥ 0∧ a = b2
).
(b) Se llama valor absoluto en R a la función
|·| : R → R
x 7→ |x| =
(
x , x ≥ 0
−x , x 0
Propiedades 1.6.1.
1. Si a ≥ 0 y b ≥ 0 =⇒ (a2
b2
⇐⇒ a b).
2. Si a ≥ 0 y b ≥ 0 =⇒ (a2
b2
⇐⇒ a b).
3. Sea b ≥ 0. Si a2
b ⇐⇒ (a
p
b∨ a −
p
b).
4. Sea b ≥ 0. Si a2
≥ b ⇐⇒ (a ≥
p
b∨ a ≤ −
p
b.
5. Sea b 0. Si a2
≤ b ⇐⇒ −
p
b ≤ a ≤
p
b.
6. Sea b 0. Si a2
b ⇐⇒ −
p
b a
p
b.
7. Sea a ≥ 0 y b ≥ 0 =⇒ (
p
a
p
b ⇐⇒ 0 ≤ a ≤ b).
8. Sea a ≥ 0 y b 0 =⇒ (
p
a
p
b ⇐⇒ 0 ≤ a b).
Propiedades 1.6.2.
1.
p
a b ⇐⇒ a ≥ 0∧(b 0∧ a b2
)
2.
p
a ≤ b ⇐⇒ a ≥ 0∧(b 0∧ a ≤ b2
)
3.
p
a b ⇐⇒ a ≥ 0∧[b 0∨(b ≥ 0∧ a b2
)]
4.
p
a ≥ b ⇐⇒ a ≥ 0∧[b 0∨(b ≥ 0∧ a ≥ b2
)]
Lema 1.6.1.
(a) Sean x, y ∈ R entonces 0 ≤
p
x ≤
p
y ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ y
(b) Sean x, y ∈ R entonces 0 ≤
p
x
p
y ⇐⇒ 0 ≤ x y
Teorema 1.6.2.
1. Si n ∈ N par
n
p
x ≤ n
p
y ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ y n
p
x n
p
y ⇐⇒ 0 ≤ x y
2. Si n ∈ N impar
n
p
x ≤ n
p
y ⇐⇒ x ≤ y
n
p
x n
p
y ⇐⇒ x y
n
p
x ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 0
n
p
x 0 ⇐⇒ x 0
Teorema 1.6.3. Para todo x, y, z ∈ R
1. |x| ≥ 0
2. |x| = 0 ⇐⇒ x = 0
3. |− x| = |x|
4. |x· y| = |x|·|y|
5. |x|2
= x2
6. |x2
| = x2
7.
p
x2 = |x|
8. |x+ y| ≤ |x|+|y|
17

Proposición 1.6.1. Para x,b ∈ R se tiene
1. |x| = |b| ⇐⇒ (x = b ∨ x = −b).
2. Si b ≥ 0 entonces |x| = b ⇐⇒ x = b ∨ x = −b
3. Si b ≥ 0 entonces
|x| ≤ b ⇐⇒ −b ≤ x ≤ b
|x| b ⇐⇒ −b x b
4. |x| ≥ b ⇐⇒ x ≤ −b ∨ x ≥ b
5. |x| b ⇐⇒ x −b ∨ x b
6. ||x|−|b|| ≤ |x− b|
7. |x| ≥ |b| ⇐⇒ (x+ b)(x− b) ≥ 0
8. |x| ≤ |b| ⇐⇒ (x+ b)(x− b) ≤ 0
Definicion 1.6.2.
(a) Sea A ⊂ R, decimos que el conjunto A es acotado superiormente si ∃ M ∈ R tal que x ≤ M ∀ x ∈ A; al
número M se llama cota superior para el conjunto A.
(b) Sea A ⊂ R, decimos que el conjunto A es acotado inferiormente si ∃ m ∈ R tal que x ≥ m, ∀ x ∈ A; al
número m se llama cota inferior para el conjunto A.
(c) Sea A ⊂ R si A es acotado superior e inferiormente, decimos que A es un conjunto acotado.
(d) Si A posee cota superior, entonces el conjunto A se dice que está acotado superiormente
(e) Si A posee cota inferior, entonces el conjunto A se dice que está acotado inferiormente
Propiedades 1.6.3. [Axioma del Supremo] Todo subconjunto no vacío (A 6= ;, A ⊂ R) de los números
reales, acotado superiormente, tiene una menor cota superior llamada también Supremo de A
Propiedades 1.6.4. [Axioma del Ínfimo] Todo subconjunto no vacío (A 6= ;, A ⊂ R) de los números reales,
acotado inferiormente, tiene una mayor cota inferior llamada también Ínfimo de A
Propiedades 1.6.5.
(a) Dado x ∈ R{0} entonces x−1
y x poseen el mismo signo.
(b) x· y 0 si y sólo si, (x 0∧ y 0)∨(x 0∧ y 0).
(c) x· y 0 si y sólo si, (x 0∧ y 0)∨(x 0∧ y 0).
Definicion 1.6.3.
(a) Sea A ⊂ R si sup(A) ∈ A entonces al supremo del conjunto A también se llama Máximo de A
(b) Sea A ⊂ R si ı́nf(A) ∈ A entonces al ínfimo del conjunto A también se llama Mínimo de A
Propiedades 1.6.6. Si x 0 entonces existe un n ∈ N tal que 0
1
n
x
Teorema 1.6.4. Sea ; 6= A ⊂ R y acotado superiormente, entonces
sup(A) = s si y sólo si
½
x ≤ s , ∀ x ∈ A
∀ ǫ 0 , ∃x0 ∈ A tal que s−ǫ x0 ≤ s
18

Teorema 1.6.5. Sea ; 6= A ⊂ R y acotado inferiormente, entonces
ı́nf(A) = i si y sólo si
½
x ≥ i , ∀ x ∈ A
∀ ǫ 0 , ∃x0 ∈ A tal que i ≤ x0 i +ǫ
19

1.7. Aplicaciones
En circuitos en serie,la resistencia total es la suma de las resistencias componentes, es decir,
R =
n
X
i=1
Ri. Suponga que un circuito en serie está compuesto por dos resistencias R1, R2. Si la
resistencia total debe ser de 1375Ω (ohmios) y si R1 debe ser 25Ω más que R2. Determine los
valores de R1, R2.
Ejercicio 1
Resolución: Ï
E
R1
.
C
R2
L
R1 : resistencia número uno.
R2 : resistencia número dos.
R = R1 + R2 = 1375 : resistencia total.
R1 = R2 +25 : la resistencia uno debe ser 25 Ω más que la resistencia dos
½
R1 + R2 = 1375
R1 = R2 +25
Resolviedo el sistema de ecuaciones se obtiene
R2 + R2 +25 = 1375 =⇒ 2R2 = 1350
=⇒ R2 = 675Ω, R1 = 700Ω
Î
Una bomba trabajando sola, llena un tanque en 7 horas. Una segunda bomba lo haría en 8 horas.
Determina el tiempo de llenado si trabajan ambas al mismo tiempo.
Ejercicio 2
20

Resolución: Ï
llenado en 7 horas
Bomba 1
llenado en 8 horas
Bomba 2
7 horas: Tiempo de llenado por la bomba 1.
8 horas: Tiempo de llenado por la bomba 2.
V1 =
v
7
: velocidad de llenado por la bomba 1, siendo.
v: volumen del tanque.
V2 =
v
8
: velocidad de llenado por la bomba 2, siendo v volumen del tanque.
V1 +V2 = V velocidad de llenado por la bomba 1 más la velocidad de llenado por la bomba 2 deberá
ser igual a la velocidad de llenar el tanque por ambas bombas
v
7
+
v
8
=
v
t
=⇒ v·
µ
1
7
+
1
8
¶
=
v
t
=⇒
1
7
+
1
8
=
1
t
=⇒
15
56
=
1
t
=⇒ t =
56
15
= 3,73 horas
Î
Cuatro estudiantes deciden vivir solos en un departamento repartiendo en partes iguales el valor del
arriendo. Encuentran que si aumentan en dos el número de estudiantes, el valor de la cuota se reduce
en $ 5000. Determina el costo mensual del arriendo.
Ejercicio 3
21

Resolución: Ï
x : valor del pago de los 4 estudiantes, por el arriendo del dpto, debido a que los valores son iguales
por que la repartición se dá en partes iguales.
T : el valor total del arriendo por el departamento.
x−5000 : valor del pago de los 6 estudiantes (dos agregados), por el arriendo del dpto.
Según las condiciones del problema se tiene que:
4x = T
6(x−5000) = T
Igualando ambas ecuaciones se obtiene:
4x = 6x−6·5000 =⇒ 2x = 30000 =⇒ x = 15000
Así el costo del arriendo mensual es 4·15000 = 60000 Î
En una prueba de matemática, el 12% de los estudiantes no resolvió el problema, el 32% lo resolvió
con algunos errores y los 14 restantes obtuvieron la solución correcta. Determina el total de alumnos
que había en la sala.
Ejercicio 4
Resolución: Ï
T: el total de estudiantes que rinden la prueba de matemática.
12%· T: el 12% no resolvió el problema.
32%· T: el 32% resolvió el problema con algunos errores.
14: restantes obtuvieron la solución correcta.
12T
100
+
32T
100
+14 = T =⇒
44T
100
+14 = T =⇒ T −
44T
100
= 14
=⇒
56T
100
= 14 =⇒ T =
14·100
56
=⇒ T = 25
Î
Un tren debió detenerse 16 minutos en un lugar no programado. Para recuperar este tiempo, debió
desplazarse en un tramo de 80 km. a 10
km
h
más rápido que lo normal. Determina la velocidad del
tren.
Ejercicio 5
22

Resolución: Ï
80km.
A B
v: velocidad inicial del tren.
v1 = v+
10km
h
velocidad del tren sin detenerse.
t−16′
= t−
4
15
tiempo en recorrer los 80 km en horas.
v1 = v+10 =
80
t−16′
=⇒ v+10 =
80
80
v
−
4
15
=⇒ v+10 =
20
20
v
−
1
15
=⇒ v+10 =
300v
300− v
=⇒ v2
+10v−3000 = 0
=⇒ (v−50)(v+60) = 0 =⇒ v−50 = 0∨ v+60 = 0
=⇒ v = 50∨ v = −60
De donde elejimos v = 50 ya que la velocidad es positiva para nuestro problema. Î
Sea d = v +
v2
20
la distancia de frenado expresada en metros de un automóvil que se desplaza a
una velocidad v en
metros
segundo
. Determine las velocidades que permitan una distancia de frenado de
menos de 75 metros.
Ejercicio 6
23

Resolución: Ï
Interpretación:
distancia de frenado de menos de 75 metros:= d 75
v+
v2
20
75
v2
+20v 75·20
(v+50)(v−30) 0 =⇒ v ∈]−50, 30[
Las velocidades estan dentro del intervalo ]−50, 30[ Î
(a) Se sabe que en una empresa se obtienen ganancias cuando los costos son menores que
los ingresos.
Según el enunciado anterior obtenga una desigualdad para que la empresa tenga ganancias, sa-
biendo que los costos y los ingresos están dados por C = 27−2x, I = 10x − x2
respectivamente,
donde x representa precio por unidad del producto.
(b) Utilizando la parte (a) determine para qué precios por unidad (x) la empresa tendrá ganancias.
Ejercicio 7
Resolución: Ï
(a) Según el enunciado
C = 27−2x representa los costos I = 10x− x2
representa los ingresos
Entonces para que la empresa tenga ganancias se debe considerar
C I
27−2x 10x− x2
(b) Hay que resolver la inecuación anterior
27−2x 10x− x2
x2
−2x−10x+27 0
x2
−12x+27 0
(x−9)(x−3) 0
(+)
(-)
(+)
3 9
bc bc
eligiendo la región achurada para la los valores de x, concluimos que el precio por unidad es
mayor que 3 y menor que 9
Î
En la asignatura de Álgebra el promedio de notas (PN) se obtendrá de 4 ponderaciones: dos
certámenes con un 40% (C1, C2) cada uno, trabajos prácticos (TP) con un 10% y test T un 10%.
Ejercicio 8
24

Resolución: Ï
(a) Certamen 1:= C1
Certamen 2:= C2
Trabajos Prácticos:= TP
Test:= T
Ecuación matematica
PN = 0,4·C1+0,4·C2+0,1· TP +0,1· T
(b)
PN = 0,4·C1+0,4·C2+0,1· TP +0,1· T ≥ 60
0,4·50+0,4·60+0,1·70+0,1T ≥ 60
20+24+7+0,1T ≥ 60 =⇒ 0,1T ≥ 60−51 = 9
=⇒ T ≥ 90
el puntaje mínimo para aprobar la asignatura es de 90 puntos
Î
El Producto Bruto Interno (PBI) de un país será proyectado en t2
+ 3t + 60 miles de millones de
dólares, donde t se mide en años a partir del año en curso.
(a) Determínese la expresión como una inecuación en que el PBI del país sea igual o exceda a 70 mil
millones de dólares.
(b) Utilizando la expresión encontrada por (a), encuentre el instante t.
Ejercicio 9
Resolución: Ï
(a) Inecuación matemática
t2
+3t+60 ≥ 70
(b) Resolviendo la inecuación tenemos
t2
+3t+60 ≥ 70 =⇒ t2
+3t−10 ≥ 0 =⇒ (t+5)(t−2) ≥ 0
=⇒ t ∈]−∞,−5]∪[2,+∞[
Para que el PBI del país sea igual o exceda a 70 mil millones de dólares debe transcurrir como
mínimo 2 años
Î
25

1.8. Ejercicios Propuestos
1. Use los axiomas de cuerpo y orden para demostrar las siguientes propiedades
(a) Demostrar para cada x ∈ R que x·0 = 0
(b) Para cada x ∈ R demostrar que (−1)· x = −x
(c) Para cualquier x, y ∈ R, demostrar que x2
+
y2
≥ 2xy.
(d) Si b a 0 y c 0. Demostrar que
a+ c
b + c

a
b
(e) (xy)−1
= x−1
y−1
, x, y 6= 0
(f) Si 0 ≤ b ≤ a. Demostrar que a2
≤ b2
(g) Demostrar que si a b entonces a
a+ b
2
b
(h) Para a, b, c ∈ R, demostrar que a2
+ b2
+
c2
≥ ab + ac + bc
(i) Demostrar que si a2
+ b2
= 1, c2
+ d2
= 1
entonces ac + bd ≤ 1 para a,b, c,d ∈ R
(j) Si a, b, c ∈ R+
, demostrar que
bc
a
+
ac
b
+
ab
c
≥ a+ b + c
2. Despeje en cada uno de los ejercicios siguientes la variable indicada. Escriba la solución de la forma
más conveniente para realizar cálculos.
(a) La corriente inducida a través de un generador está dada por la expresión I =
E − e
R
.Despeje la
variable e.
(b) De la expresión P =
m
d − L
−
m
d + L
. Despeje la variable m
3. Clasificar como verdadera (V) o falsa (F), las siguientes afirmaciones. Justifique cada una de sus re-
spuestas.
26

Expresión V F Contraejemplo si es
(F)
demostración si es
(V)
∀ x, y, z ∈ R, x = y ⇐⇒ x+ z = y+ z
Si x es número real entonces −x es negativo
Si x2
y 0, x 6= 0 entonces y 0
Si x ∈ R entonces x2
0
Si x 1 entonces x es negativo
x 4, y 5 =⇒ xy 20
Si 0 a 1 entonces a2
a
Si x ≤ −6 entonces x−2 ≤ −8
Si x ≤ y, y z entonces x z
Si x 0 entonces x+
1
x
≥ 2
4. La temperatura en escala Fahrenheit y Celsius están relacionadas por la fórmula C =
µ
5
9
¶
(F − 32).
¿A qué temperatura Fahrenheit corresponderá a una temperatura en escala Celsius que se encuentra
40◦
≤ C ≤ 50◦
?
5. La cantidad C del agua que sale por un orificio en el fondo de un depósito es directamente proporcional
a la raíz cuadrada de la altura h de la superficie libre del líquido. El caudal es de 85 litros/minuto
cuando la altura es de 2.56 m.
(a) Encuentre una fórmula de C dependiendo
de h.
(b) Calcule C cuando h = 4,62 m.
(c) Encuentre h cuando C = 62 litros/minuto.
6. (a) Encontrar el menor número m tal que para todo x ∈ [−2,2] se cumple que 1−4x− x2
≤ m.
(b) Encontrar el mayor número M tal que para todo x ∈ R se cumple que M ≤ 9x2
−48x−36
7. Determine los valores de x ∈ R, para los cuales se cumple
(a) |x−4| = 9
(b) |x−1||x+2| = 3
(c) |3x−5| = |7x−2|
(d)
p
2x+5 3
(e)
p
7−|x−7| ≥ 4 −
3x
(f)
p
x−
p
2x+3 1
(g)
¯
¯
¯
¯
x−1
x+1
¯
¯
¯
¯ =
x−1
x+1
(i)
¯
¯
¯
¯
x2
x−2
¯
¯
¯
¯ =
|x2
−16|
x−4
(j)
p
x−2 = 5
(k)
p
x+4+
p
x−5 =
9
27

8. Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones
(a) 8(2− x) ≤ −3
(b) x2
− x−12 ≥ 0
(c) x2
≤ 8x
(d)
5
x
3
(e)
x−2
x−3
0
(f)
2
x+1
≥
1
x−2
(g)
(x−2)2
4− x
≤ 1
(h) 1 3−
x
2
≤ 8
(i)
x−3
4
−1
x
2
(j) 5− x2
8
(k)
1
x
+
1
1− x
0
(l) x+
1
x
≥ 2, x 0
(ll)
x2
−1
x2 −6x−10
≤ 1
(m)
2
x−2

x+2
x−2
1
(n)
x2
−5x+6
x2 −7x+12

x+4
x+3
(ñ)











x+3 2x−1
x
2
+
3
4
2x+
1
3
5x−1
x
4
+2
9. Determine los valores de x ∈ R, para los cuales se cumple
(a) |2x2
−3| ≤ 5x
(b)
¯
¯
¯
¯
x+1
x
¯
¯
¯
¯ 2
(c)
¯
¯
¯
¯
2−5x
3
¯
¯
¯
¯ ≤ 5
(d) 2 |x−3| 5
(e) |x−3| 8
(f) |x−1|+|x−2| 1
(g) |x−1|+|x+1| 2
10. En 1984, al perforar el pozo más profundo del mundo, los soviéticos encontraron que la temperatura
a x kilómetro de profundidad de la tierra estaba dada por T = 30+25(x −3), 3 ≤ x ≤ 15, donde T e
la temperatura dada en grados centígrados (Celsius) ¿a qué profundidad estará si la temperatura está
200◦
≤ T ≤ 300◦
el coeficiente de inteligencia IQ está dado por la fórmula IQ =
100EM
EC
, donde EM
es la edad mental y EC es la edad cronológica. Si 80 ≤ IQ ≤ 140 para un grupo de niños de 12 años
de edad, encuentre el rango de la edad mental.
11. Para los conjuntos dados a continuación, encuentre si es posible: cota superior, cota inferior, supremo,
ínfimo, máximo y mínimo;además diga si es acotado. Justifique su respuesta por cada afirmación que
Ud. de.
(a) ]−∞,5[
(b) ]4,20]
(c) ]−12,+∞[
(d) ]−2,6[∪[10,50]
(e) ]−∞,−1]∪]4,+∞[
(f) [−3,6[∪{9}
12. Para los conjuntos dados a continuación, diga si son acotados, si tienen supremo e ínfimo. Justifique
su respuesta por cada afirmación.
(a) A =
½
x ∈ R : x =
1
n
, n ∈ N
¾
(b) A =
½
x ∈ R : x =
5+4n
5−4n
: n ∈ N
¾
(c) A =
©
x ∈ R : x2
−4x−12 0
ª
(d) A =
©
x ∈ R : − x2
+2x−2 0
ª
(e) A =
©
y ∈ R : y = x2
−4x−12, x ∈ R
ª
13. Sea J =
½
x ∈ R : −2 x+
1
2x
≤ 2
¾
. Determinar si J es un intervalo de R; hallar, si existen sus súpre-
mo, ínfimo, máximo, mínimo.
14. Determinar, si existen súpremos y ínfimos :
28

a) A =
n n
n+1
, n ∈ N
o
; b) B =
½
(−1)n
+
1
n
n ∈ N
¾
; c) C =
½
1+ x
x2 +1
, x ≥ 0
¾
;
29

Capítulo 2
Funciones de números reales
2.1. Funciones
Definicion 2.1.1. Dados dos conjuntos A y B no vacíos, y f ⊂ A × B se llama función de A en B
(f : A → B) si y sólo si para cada elemento x ∈ A existe un único elemento y ∈ B tal que f (x) = y, es
decir:
∀ x ∈ A, ∃ ! y ∈ B : y = f (x)
Observacion 2.1.1.
1. A la segunda componente se denota por f (x).
2. De ahora en adelante si (x, y) ∈ f quiere decir y = f (x) , es decir y = f (x) ⇔ (x, y) ∈ f y se lee f de x
donde y es el valor de la función f en x
3. La y es la imagen de x vía la función f .
4. La x es la preimagen de y vía la función f .
5. A x se llama variable independiente.
6. La función f es representada en el plano cartesiano
7. Al conjunto A se llama conjunto de partida y al conjunto B conjunto de llegada.
8. A la expresión y = f (x) se llama ecuación de definición de f ó regla de correspondencia
Ejemplo 2.1.1. Diga cual de las siguientes diagramas son funciones. Justifique
(i)
1
2
3
6
7
8
R
A B
(ii)
1
2
3
1
2
3
4
R
A B
(iii)
1
2
3
4
3
5
R
A B
30

Resolución: Ï
(i) No es función, por que la preimagen 2 tiene dos imágenes.
(ii) Si es función, por que cada preimagen tiene una única imagen.
(iii) No es función por que la preimagen 4 no tiene su imagen.
Î
Definicion 2.1.2.
1. Sea f : Dom(f ) ⊂ A → B función se define dominio de f al conjunto
Dom(f ) = {x ∈ A : ∃! y ∈ B ∧ f (x) = y}
2. Sea f : A → B función se define codominio de f al conjunto
Cod(f ) = {y ∈ B}
3. Sea f : A → B función se define recorrido de f al conjunto
Rec(f ) = {y ∈ B : ∃ x ∈ Dom(f )∧ f (x) = y}
4. Sea f : A → B función se define gráfica de f al conjunto
Gra(f ) = {(x, y) ∈ A ×B : x ∈ Dom(f ) ∧ y ∈ Rec(f )}
Observacion 2.1.2.
1. Para la función f : A → B se tiene en general Dom(f ) ⊂ A y Cod(f ) = B.
2. Pero en nuestra asignatura asumiremos que Dom(f ) = A, salvo si existen algunas restricciones
obtenidas por la regla de correspondencia de f .
3. Si Dom(f ) = A se llama a f aplicación.
4. Siempre se cumple que Rec(f )⊂ B
5. Para identificar si una gráfica representa a una función, se debe cumplir que toda recta vertical cortaría
a la gráfica en a lo más en un punto.
2.1.1. Algebra de funciones
Evaluación de una función Consideremos una función f : Dom(f ) ⊆ R → R cuya regla de correspon-
dencia es y = f (x), supongamos que x toma valores específicos, por ejemplo: x = x0 entonces el valor de
31

y0 = f (x0) se ha obtenido al reemplazar en la función x por x0, y así se dice que ha sido evaluada, es decir
que en x = x0 el valor de la función es f (x0).
Ejemplo 2.1.2.
Sea f (x) = 2x3
+ x2
+ x+2 el valor de f en x = 2 es f (2) = 2(2)3
+(2)2
+2+2 = 24
Si f (x) = x2
+ x+1 entonces f (z) = z2
+ z +1
Si f (x) = x2
+ x+1 entonces f (
p
y) = y+
p
y+1
32

Definicion 2.1.3. Sean f : Dom(f ) ⊆ R → R, g : Dom(g) ⊆ R → R, funciones definidas en sus dominios y
k ∈ R.
Diremos que dos funciones son iguales sí y sólo si
Dom(f ) = Dom(g) ∧ f (x) = g(x), ∀ x ∈ Dom(f )
Se define la función
(kf )(x) = kf (x), x ∈ Dom(f )
(f + g)(x) = f (x)+ g(x), ∀ x ∈ Dom(f )∩Dom(g) = Dom(f + g)
(f − g)(x) = f (x)− g(x), ∀ x ∈ Dom(f )∩Dom(g) = Dom(f − g)
(f · g)(x) = f (x)· g(x), ∀ x ∈ Dom(f )∩Dom(g) = Dom(f · g)
Sean f : Dom(f ) ⊆ R → R, g : Dom(g) ⊆ R → R funciones definidas en sus dominios. Se define la
función
µ
f
g
¶
(x) =
f (x)
g(x)
, ∀ x ∈ Dom
µ
f
g
¶
donde
Dom
µ
f
g
¶
= Dom(f )∩Dom(g)−{x ∈ Dom(g) : g(x) = 0}
Sean f : A → B, g : B → C y que Rec(f )∩Dom(g) 6= ;. Se define la función compuesta g◦ f por
(g◦ f )(x) = g(f (x)), ∀ x ∈ Dom(g◦ f )
donde
Dom(g◦ f ) = {x ∈ R : x ∈ Dom(f ) ∧ f (x) ∈ Dom(g)}
33

Propiedades 2.1.1. Considere las funciones f , g, h, I definidas en sus dominios respectivos, se cumplen
las afirmaciones siguientes:
1. (f + g)◦ h = (f ◦ h)+(g◦ h)
2. ∃!I : f ◦ I = I ◦ f = f , ∀ f
3. I
1
n ◦ In
= In
◦ I
1
n = I, n ∈ Z+
, n impar
4. (f ◦ g)◦ h = f ◦(g◦ h).
5. (f · g)◦ h = (f ◦ h)·(g◦ h)
6. In
◦ Im
= Inm
, n,m ∈ Z+
.
7. In
= I ◦ I ◦···◦ I
| {z }
n veces
8. f ◦ g 6= g◦ f
Observacion 2.1.3.
1. Sea f (x) =











f1(x) , x ∈ A1 = Dom(f1)
f2(x) , x ∈ A2 = Dom(f2)
.
.
. ,
.
.
.
fn(x) , x ∈ An = Dom(fn)
donde Ai ∩ A j = ;, ∀ i, j = 1,2,···n entonces se tiene
Dom(f ) =
n
[
i=1
Dom(fi(x)) y Rec(f )=
n
[
i=1
Rec(fi)
2. Sean f (x) =
n
[
i=1
fi(x) donde Dom(f ) =
n
[
i=1
Dom(fi) y g(x) =
m
[
i=1
gi(x) donde Dom(g) =
m
[
i=1
Dom(gi)
entonces f ◦ g = (f1 ◦ g1)∪(f1 ◦ g2)···∪(f1 ◦ gm)∪···
34

2.1.2. Clases de Funciones
Definicion 2.1.4.
1. Sea f : A → B se dice que es sobreyectiva o epiyectiva o suryectiva sí y sólo si
∀ y ∈ B existe al menos un elemento x ∈ A tal que y = f (x)
Equivalentemente
f es sobreyectiva sí y sólo si Rec(f ) = Cod(f )
2. Sea f : A → B se dice que es inyectiva univalente sí y sólo si
∀ y ∈ Rec(f ) ∃!x ∈ A tal que y = f (x)
Equivalentemente f es inyectiva sí y sólo si
∀ x1, x2 ∈ Dom(f ) : f (x1) = f (x2) entonces x1 = x2
3. Sea f : A → B se dice que es biyectiva sí y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva.
4. Si f es biyectiva se dice que f tiene inversa, y se denota por f −1
Ejemplo 2.1.3. Dada las relaciones siguientes
(i)
1
2
3
a
b
c
f
A B
(ii)
1
2
3
a
b
c
f
A B
(iii)
1
2
3
a
b
c
d
f
A B
(iv)
1
2
3
4
a
b
f
A B
(a) Diga cuáles de las relaciones representan funciones y cuáles no. Justifique su respuesta en cada caso.
(b) Si Usted determina cuáles relaciones representan funciones entonces determine dominio, codominio y
recorrido.
(c) De las funciones determinadas, identifique cuales son sobreyectivas, inyectivas y biyectivas, justifican-
do su respuesta.
(d) En el caso que sea biyectiva encuentre la función inversa.
35

Resolución: Ï
(a) (i) Note que A = {1,2,3} y B = {a,b, c}. Luego para que f sea función debemos probar que:
∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B : y = f (x).
En efecto para
x = 1 ∈ A,∃! y = c ∈
B : c = f (1)
x = 2 ∈ A,∃! y = a ∈
B : a = f (2)
x = 3 ∈ A,∃! y = b ∈
B : b = f (3)
Esto afirma que f es función.
(ii) Note que A = {1,2,3} y B = {a,b, c}. Comprobaremos que f no es función.
En efecto para la preimagen 2 existen dos imágenes a y c distintos, es decir f (2) = a 6= c =
f (2), lo que contradice la definición de función. Por lo tanto f no es función.
(iii) Note que A = {1,2,3} y B = {a,b, c,d}. Comprobaremos que f es función. En efecto para
x = 1 ∈ A,∃! y = a ∈
B : a = f (1)
x = 2 ∈ A,∃! y = c ∈
B : c = f (2)
x = 3 ∈ A,∃! y = d ∈
B : d = f (3)
(iv) Note que A = {1,2,3} y B = {a,b}. Comprobaremos que f es función. En efecto para
x = 1 ∈ A,∃! y = a ∈
B : a = f (1)
x = 2 ∈ A,∃! y = b ∈
B : b = f (2)
x = 3 ∈ A,∃! y = a ∈
B : a = f (3)
x = 4 ∈ A,∃! y = b ∈
B : b = f (4)
(b) (i) Dom(f ) = {1,2,3} Cod(f ) = {a,b, c} Rec(f )= {a,b, c}
(iii) Dom(f ) = {1,2,3} Cod(f ) = {a,b, c,d} Rec(f )= {a, c,d}
(iv) Dom(f ) = {1,2,3,4} Cod(f ) = {a,b} Rec(f )= {a,b}
Î
36

Resolución: Ï
(c) Sea f : A → B función
(i) * SOBREYECTIVA: Cod(f ) = {a,b, c}= Rec(f ). Por lo tanto f es sobreyectiva.
* INYECTIVA:
a ∈ Rec(f ),∃! 2 ∈
A : a = f (2)
b ∈ Rec(f ),∃! 3 ∈
A : b = f (3)
c ∈ Rec(f ),∃! 1 ∈
A : c = f (1)
Por lo tanto f es inyectiva.
* BIYECTIVA: Como f es sobreyectiva e inyectiva entonces f es biyectiva.
(iii) * SOBREYECTIVA: Cod(f ) = {a,b, c,d}6= Rec(f ). Por lo tanto f no es sobreyectiva.
* INYECTIVA:
a ∈ Rec(f ),∃! 1 ∈
A : a = f (1)
c ∈ Rec(f ),∃! 2 ∈
A : c = f (2)
d ∈ Rec(f ),∃! 3 ∈
A : d = f (3)
Por lo tanto f es inyectiva.
* BIYECTIVA: Como f no es sobreyectiva entonces f no es biyectiva.
(iv) * SOBREYECTIVA: Cod(f ) = {a,b} = Rec(f ). Por lo tanto f es sobreyectiva.
* INYECTIVA:
Para a ∈ Rec(f ) existen 1,3 ∈ A tal que f (1) = f (3) = a, esto implica que f no es
inyectiva.
* BIYECTIVA: Como f no es inyectiva entonces f no es biyectiva.
(d) La función de (i) es biyectiva por tanto tiene inversa
f = {(c,1); (a,2); (b,3)}
Î
Definicion 2.1.5.
1. Una función f −1
se dice que es inversa de f si
a) Rec(f −1
) = Dom(f ) y Rec(f )= Dom(f −1
)
b) ∀ x ∈ Dom(f −1
) se cumple que (f ◦ f −1
)(x) = x y ∀ x ∈ Dom(f ) se cumple (f −1
◦ f )(x) = x
2. Sea f : Dom(f ) ⊆ R → R se define la función inversa de f por f −1
(x) = {(f (x), x) : x ∈ Dom(f )}
3. Si f es inversible entonces f −1
es inversible y se define (f −1
)−1
= {(x, f (x) : x ∈ Dom(f )} y se denota
(f −1
)−1
= f por tanto Dom(f −1
) = Rec(f ), Rec(f −1
) = Dom(f )
Ejemplo 2.1.4. Verifique que f (x) = x−4, −1 ≤ x ≤ 1 y g(x) = x+4, −5 ≤ x ≤ −3 son funciones inversas
37

Observacion 2.1.4.
1. Si una función f es inversible, se denotará su inversa por f −1
.
2. f −1
es inversa de f si y sólo si f ◦ f −1
y f −1
◦ f son funciones identidades.
3. El gráfico de f −1
es simétrico al gráfico de f en relación a la recta y = x.
4. Para saber si una gráfica no representa a una función inyectiva basta trazar una recta paralela al eje x
y ver si lo corta a la gráfica en más de un punto.
Observacion 2.1.5. [Método para determinar la inversa de una función]
1. Reconocer la ecuación y = f (x) que define a f .
2. Luego de la ecuación y = f (x) despejar x en función de y para obtener x = f −1
(y) y luego permutar x
por y.
Ejemplo 2.1.5. Sea f : Dom(f ) ⊂ R → R Encuentre la inversa de y = f (x) = ax+ b
Identificamos y = f (x) = ax + b de aquí despejar x en función de y es decir x = f −1
(y) =
1
a
y −
b
a
.
Finalmente permutamos x por y, es decir y = f −1
(x) =
1
a
x−
b
a
Definicion 2.1.6.
1. Se dice que f es creciente si
∀ x1, x2 ∈ Dom(f ) con x1 x2 =⇒ f (x1) f (x2)
2. Se dice que f es decreciente si
∀ x1, x2 ∈ Dom(f ), con x1 x2 =⇒ f (x1) f (x2)
3. f es monótona si f es creciente o decreciente.
Teorema 2.1.1. 1. Si una función f es creciente entonces f es inyectiva.
2. Si f es decreciente entonces f es inyectiva.
Ejemplo 2.1.6. Decida que gráfico representa a funciones creciente y decreciente
(a)
38

Definicion 2.1.7.
1. Sea f función se dice que es par si
x ∈ Dom(f ) =⇒ −x ∈ Dom(f )∧ f (−x) = f (x)
2. Sea f función se dice que es impar si
x ∈ Dom(f ) =⇒ −x ∈ Dom(f )∧ f (−x) = −f (x)
3. Sea f función es periódica si
∃T 6= 0 : x ∈ Dom(f ) =⇒ x+ T ∈ Dom(f )∧ f (x+ T) = f (x)
Ejercicios Resueltos
Ejemplo 2.1.7. Dada las siguientes funciones
1. f (x) = 4
2. f (x) = 2x
3. f (x) = x2
4. f (x) = x2n
, n ∈ Z
5. f (x) = 4x3
6. f (x) =
2
x
7. f (x) = 2+ x
Diga si las funiciones on pares, impares o ninguna de ellas. Justifique
Resolución: Ï
1. f (x) = 4 =⇒ f (−x) = 4 = f (x) por tanto f es par.
2. f (x) = 2x =⇒ f (−x) = −2x = −f (x) por tanto f es impar.
3. f (x) = x2
=⇒ f (−x) = (−x)2
= x2
= f (x) por tanto f es par
4. f (x) = x2n
=⇒ f (−x) = (−x)2n
= x2n
= f (x) por tanto es par.
5. f (x) = 4x3
=⇒ f (−x) = 4(−x)3
= −4x3
= −f (x) por tanto f es impar.
6. f (x) =
2
x
=⇒ f (−x) =
2
−x
= −
2
x
= −f (x) por tanto f es impar.
7. f (x) = 2+ x =⇒ f (−x) = 2− x 6= −f (x) y f (−x) 6= −f (x) por tanto f no es par ni impar.
Î
Ejemplo 2.1.8. Dada las siguientes funciones diga si es, acotada, acotada superiormente, o acotada inferi-
ormente, o no es acotada
1. f (x) = −3
2. f (x) =
x2
x2 +1
, x ∈ R
3. f (x) = x, x ∈ R
4. f (x) = x, x ∈
[0,+∞[
5. f (x) = x, x ∈
[−2,2]
6. f (x) =
1
x
, x 0
39

Resolución: Ï
1. f (x) = −3 =⇒ ∃M = 4 tal que |f (x) = −4| ≤ 4 (M = 4 no es único). Por ende f es acotada
inferiormente y superioremente.
2. Suponga que ∃M 0 tal que |f (x) = x| ≤ M, ∀ x ∈ R, en efecto
elijo x = M +2 ∈ R entonces |f (M +2) = M +2| ≤ M que no es cierto, por tanto f no es acotada
para x ∈ R (No es acotada inferiormente ni superiormente ¡Pruébelo!)
Î
2.1.3. Funciones Especiales
Función constante
Sea f : Dom(f ) = R → Cod(f ) la regla de correspondencia es
f (x) = c, donde Dom(f ) = R y Rec(f ) = {c}
Por ejemplo la gráfica de la función f (x) = c = 3
2 es
3
2
f (x) = 3
2
x
y
Función Identidad
Sea f : Dom(f ) = R → Cod(f ) cuya regla de correspondencia es
y = f (x) = x, donde Dom(f ) = R = Rec(f ) = R
Su gráfica es
40

x
y
y = x
Función Lineal
Sea f : Dom(f ) = R → Cod(f ) cuya regla de correspondencia es
f (x) = ax+ b, donde Dom(f ) = R, R = Rec(f )
Por ejemplo para la función f (x) = x−1 su gráfica es
x
y
Función Raiz cuadrada
Sea f : Dom(f ) ⊂ R → Cod(f ) cuya regla de correspondencia es
f (x) =
p
x, donde Dom(f ) = R+
, Rec(f ) = [0,+∞[
Su gráfica es
x
y
41

Función Valor absoluto
f (x) = |x| =
½
x , x ≥ 0
−x , x 0
donde Dom(f ) = R, Rec(f ) = [0,+∞[
Su gráfica es
x
y
Función Cuadrática
Sea f : Dom(f ) ⊂ R → Cod(f ), se trata de una parábola con regla de correspondencia
f (x) = ax2
+ bx+ c = a
µ
x+
b
2a
¶2
+
4ac − b2
4a
, a,b, c ∈R, a 6= 0 con vértice V
µ
−
b
2a
,
4ac − b2
4a
¶
Dom(f ) = R, Rec(f ) =
·
4ac − b2
4a
,+∞
·
, a 0, Rec(f ) =
¸
−∞,
4ac − b2
4a
¸
, a 0
Por ejemplo la gráfica de f (x) = (x−1)2
−1 es
x
y
Función Cúbica
f (x) = x3
, donde Dom(f ) = R, Rec(f ) = R
42

Por ejemplo la gráfica de f (x) = x3
es
x
y
Función Polinomial
f (x) = Pn(x) = anxn
+ an−1xn−1
+···+ a1x+ a0
donde,
a0,a1,··· ,an, x ∈ R, an 6= 0 y Dom(f ) = R, Rec(f ) = R
La gráfica de f (x) = x3
+2x2
+ x+1 es
x
y
Función Racional
f (x) =
Pn(x)
Qm(x)
=
anxn
+ an−1xn−1
+···+ a1x+ a0
bmxm + bm−1xm−1 +···+ b1x+ b0
43

donde,
a0,a1,··· ,an, b0,b1,··· ,bm, x ∈ R, an, bm 6= 0
y
Dom(f ) = {x ∈ R : Qm(x) 6= 0}, Rec(f ) : depende de Dom(f)
La gráfica de f (x) =
0,5
x
es
x
y
Función Escalón Unitario
Sea f : Dom(f ) ⊂ R → Cod(f ) cuya regla de correspondencia para cada a ∈ R fijo es
cuya gráfica es
a
1
x
y
Función Signo
f (x) = ua(x) =



−1 , x 0
0 , x = 0
1 , x 0
donde Dom(f ) = R, Rec(f ) = {−1,0,1}
44

cuya gráfica es
−1
•
1
0
x
y
Función Máximo Entero
f (x) = ‚ x ƒ = n, n ≤ x n+1, n ∈ Z donde Dom(f ) = R, Rec(f ) = Z
cuya gráfica es
1
2
3
•
1 2 3 4
x
y
Función seccionada por tramos
Sea f : Dom(f ) ⊂ R → Cod(f ) definida f (x) =











f1(x) , x ∈ Dom(f1) = A1
f2(x) , x ∈ Dom(f2) = A2
.
.
. ,
.
.
.
fn(x) , x ∈ Dom(fn) = An
Tales que
n

i=1
Ai = ;, Dom(f ) =
n
[
i=1
Dom(fi), Rec(f )=
n
[
i=1
Rec(fi)
45

La gráfica de f (x) =









y = x2
−1 , x ∈ [−1,5, 1
2[
y = −
x
2
−
1
2
, x ∈ [1
2,3[
y =
p
x−3−2 , x ∈ [3, 9
2 ]
x
y
Función Exponencial
Definicion 2.1.8. 1. Sea f = expb : R → R+
función definida por
y = f (x) = expb(x) = bx
se llama función exponencial de base b de x, donde b 0, b 6= 1
2. El dominio de la función y = expb(x) es todo el conjunto de los números reales (R) y el recorrido es
todo el conjunto de los números reales positivos (R+
)
Observacion 2.1.6. Si b 1 se cumple lo siguiente
Si x = 0 entonces expb(0) = b0
= 1
Si x 0 entonces expb(x) = bx
1
Si x 0 entonces 0 expb(x) = bx
1
La función es estrictamente creciente
En adelante escribiremos bx
en lugar de expb(x)
Ejemplo 2.1.9. [Cuando b 1]
Grafique las siguientes funciones
y = 3x
y = 3
x
2 y = (1,5)3x
y = (0,5)3x
46

Resolución: Ï
1
2
3
4
1 2 3
−1
−2
y = 3x
y = 3
x
2
Note que las funciones son crecientes
1
2
3
1 2 3
−1
−2
y = (0,5)3x
y = (1,5)3x
Note que las funciones son crecientes
Î
Observacion 2.1.7. Si 0 b 1 se cumple lo siguiente
Si x = 0 entonces expb(0) = b0
= 1
Si x 0 entonces 0 bx
1
Si x 0 entonces bx
1
La función es estrictamente decreciente
Ejemplo 2.1.10. Grafique las siguientes funciones
y = (1
3 )x
y = 3
x
2 y = (1,5)3x
y = (0,5)3x
Resolución: Ï
1
2
3
4
1 2 3
−1
−2
y = (1
3 )x
y = (1
3 )
x
2
1
2
3
4
1 2 3
−1
−2
y = 0,5(1
3)x
y = 1,5(1
3)x
Î
47

Propiedades 2.1.2. Sea y = f (x) = bx
, b 0 entonces si b = e se define la función exponencial natural,
donde e = 2,71···
1
2
3
4
1 2
−1
−2
y = ex
Note que la función es creciente
Función Logaritmo
Definicion 2.1.9. 1. Sea f = logb : R+
→ función definida por y = f (x) = logb(x) si y sólo si by
= x, se
llama función logaritmo de base b de x, donde x, b 0, b 6= 1
2. El dominio de la función y = logb(x) es todo el conjunto de los números reales positivos(R+
) y el
recorrido es todo el conjunto de los números reales (R)
Observacion 2.1.8.
1. Note que la función logaritmo es la inversa de la función exponencial, por lo tanto el dominio y
recorrido se invierten. De la misma manera con las observaciones cuando b 1 y 0 b 1.
2. Si b = e se tiene loge(x) = ln(x) se define el logaritmo natural de x.
Ejemplo 2.1.11. Graficar las siguientes funciones
y = log(x) y = log
³ x
2
´
y = (1,5)log(x) y = (0,5)log(x)
48

Resolución: Ï
0.4
0.8
1.2
−0.4
−0.8
1 2 3 4 5 6 7 8
y = log(x)
y = log( x
2 ) 0.4
0.8
1.2
−0.4
−0.8
1 2 3 4 5 6 7 8
y = (1,5)log(x)
y = (0,5)log(x)
Î
Propiedades 2.1.3. 1. Para todo x, y, b ∈ R+
con b 6= 1 se cumple
logb(x· y) = logb(x)+logb(y)
2. Para todo x, b ∈ R+
con b 6= 1 y para n ∈ R se cumple
logb(x)n
= n·logb(x)
3. Para todo x, y, b ∈ R+
logb
µ
x
y
¶
= logb(x)−logb(y)
4. Para todo x, a, b ∈ R+
loga(x) =
logb(x)
logb(a)
49

Observacion 2.1.9. Conocida la gráfica de y = f (x) y considere h 0, k 0, a partir de ella se puede
trasladar horizontalmente, verticalmente y realizar reflexiones.
1. y = f (x− h): significa que la y = f (x) se traslada horizontalmente h unidades a la derecha.
2. y = f (x+ h): significa que la y = f (x) se traslada horizontalmente h unidades a la izquierda.
3. y = f (x)+ k: significa que la y = f (x) se traslada verticalmente k unidades hacia arriba.
4. y = f (x)− k: significa que la y = f (x) se traslada verticalmente k unidades hacia abajo.
5. y = −f (x): esto es la y = f (x) se refleja respecto al eje x.
6. y = f (−x): esto es la y = f (x) se refleja respecto al eje y.
Ejemplo 2.1.12. Grafique las funciones siguientes
(a) (i) y = f (x) =
p
2 (ii) y = f (x) = 0 (iii) y = f (x) = −4
(b) (i) y = f (x) = 3x (ii) y = f (x) = 0,3x (iii) y = f (x) = −5x (iv) y = f (x) = −0,1x
(c) (i) y = f (x) = 2x+1 (ii) y = f (x) = x−3 (iii) y = f (x) = −3x+2 (iv) y = f (x) =
−0,5x−1
Resolución: Ï
(a) (i)
p
2 f (x) =
p
2
x
y
(ii)
0 f (x) = 0
x
y
(iii) −1 f (x) = −1
x
y
(b) (i)
0
f (x) = 3x
x
y
(ii)
0
f (x) = 0,3x
x
y
(iii)
0
f (x) = −2x
x
y
(iv)
0
f (x) = −0,15x
x
y
(c) (i)
0
f (x) = 2x+1
x
y
(ii)
0
f (x) = x−3
x
y
(iii)
0
f (x) = −3x+2
x
y
(iv)
0
f (x) = −0,5x−1
x
y
Î
50

Ejemplo 2.1.13. Grafique las funciones siguientes
(a) (i) f (x) =
p
x−1 (ii) f (x) =
p
x+2 (iii) f (x) =
p
x−2+1
(iv) f (x) =
p
−x−1
(b) (i) f (x) = −
p
x+1 (ii) f (x) = −
p
x−1 (iii) f (x) =
−
p
−x+2+1
(iv) f (x) =
p
−x−1 −
1
(c) (i) f (x) = |x+1| (ii) f (x) = |x−3| (iii) f (x) = −|x+2|+1 (iv) f (x) = −|x−2|−2
(d) (i) f (x) = (x−2)2
(ii) f (x) = (x−1)2
+2 (iii) f (x) = −(x+2)2
+
1
(iv) f (x) = −(x−2)2
−
1
Resolución: Ï
(a) (i)
1
1 2 3
p
2
f (x) =
p
x−1
x
y
(ii)
1
1
−1
−2
f (x) =
p
x+2
x
y
(iii)
1
2
3
1 2 3 4
f (x) =
p
x−2+1
x
y
(iv)
1
−1
−2
−3
−4
f (x) =
p
−x−1
x
y
(b) (i)
1
−1
−2
1 2
−1
f (x) = −
p
x+1
x
y
(ii)
−1 1 2 3
f (x) = −
p
x−1
x
y
(iii)
1
−1 1 2
−1
−2
−1
f (x) = −
p
−x+2+1
x
y
(iv)
1
−1
−1
−2
−3
f (x) =
p
−x−1−1
x
y
(c) (i)
1
−1 1
−1
−2
f (x) = |x+1|
x
y
(ii)
1
2
3
1 2 3 4
f (x) = |x−3|+1
x
y
(iii)
1
−1
−2
−3
−4
−1
f (x) = −
p
−x+2+1
x
y
(iv)
−1
−2
−3
1 2 3
−1
f (x) = −|x−2|−2
x
y
(d) (i)
1
1 2 3
−1
f (x) = (x−2)2
x
y
(ii)
1
2
3
4
1 2
f (x) = (x−1)2 +2
x
y
(iii)
1
−1
−2
−3
−1
f (x) = −(x+2)2 +1
x
y
(iv)
−1
−2
1 2 3
f (x) = −(x−2)2 −1
x
y
Î
1. Diga que gráficas representan funciones (para identificar cual de las gráficas siguientes representan
funciones debe considerar que la variable independiente es x y la dependiente y). Justifique su re-
51

spuesta.
1
−1 1 2
−1
x
y
1
−1 1
−1
x
y
1
−1 1
−1
x
y
1
−1 1 2
−1
−2
x
y
2. Dada f : I ⊂ R → R función
(a) f (x) = −x2
−2x+3
(b) f (x) =
p
4− x2
(c) f (x) =
1− x
x+2
(d) f (x) = |x2
−9|
(e) f (x) =
r
x+2
x−1
(f) f (x) =
7
x2 −5
(g) f (x) =
p
−2x2 +5x−3
(h) f (x) =
x+1
p
x+2
(i) f (x) =
½
2x+1 ; x ≥ 1
x2
−2 ; x 0
Determine el dominio y recorrido.
3. Sean las funciones f : Dom(f ) −→ R, g : Dom(g) −→ R están definidas en su dominio.
(a) Si f (x+4) = x2
+3x, hallar f (a+1)
(b) Hallar f (x) si f (2x−1) = 4x2
−4x+5
(c) Sean las funciones f (x) =
x+5
2
y g(x) =
p
x dos funciones. Hallar g ◦ f y f ◦ g, definiendo sus
dominios respectivos, si es que existen.
(d) Dadas las funciones f (x) = |x2
−1| y g(x) =
p
4− x2. Determine el dominio de g◦ f y g(f (x))
(e) Dada la función f (x) =
3x−1
2
, hallar si existe la función inversa f −1
.
4. Diga si las funciones siguientes son pares o impares. Justifique su respuesta.
(a) f (x) = −x3
+ x
(b) f (x) = |x|+4x2
(c) f (x) =
−x
|x|
5. Sea f : [1;4] −→ [a,b] definida por f (x) = x2
−2x+3. Verificar que la función es inyectiva y encontrar
los valores de a y b para que sea biyectiva.
6. (a) Hallar la inversa f −1
si existe para la función f (x) = x2
+4x−1; x ∈]−4,−3[.
(b) Encontrar f y f −1
si se sabe que g(x) =
1
4x+1
y (f ◦ g)(x) = 2x+3.
52

7. Calcule
f (x+ h)− f (x)
h
con h 6= 0 en cada una de las siguientes funciones:
(a) f (x) =
p
3x+1 (b) f (x) = x2
(c) f (x) =
1
x+2
(d) f (x) = 5x−3
8. Determine la función que exprese la situación planteada:
(a) El área del rectángulo de base x y perímetro 2a. Hallar el dominio y recorrido de la función
obtenida.
(b) En un triángulo de 10cm de base y 6cm de altura está inscrito un rectángulo cuya base está
sobre uno de los lados. Exprese el área del rectángulo en términos de su base.
2.3. Aplicaciones a la Economìa
La conducción de una empresa, debe mantener un registro constante de los costos de operaciones,
de los ingresos resultantes de la venta de productos y servicios para ello la empresa necesita tomar
medidas sobre la función lineal de costos totales, la función de ingresos y la función ganancia. En la
producción de una empresa de cualquier bien, se tiene dos tipos de costos:
Definicion 2.3.1.
a) Costos fijos, se le considera sin importar la cantidad producida del artículo, es decir no depende del
nivel de producción; por ejemplo las rentas, interés sobre préstamo y salarios de administración.
b) Costos variables, depende del nivel de producción, es decir de la cantidad de artículos producidos;
por ejemplo costos de materiales y de la mano de obra.
c) costo total está dado por
COSTO TOTAL = COSTOS VARIABLES + COSTOS FIJOS
Propiedades 2.3.1.
a) Cuando el costo variable por unidad del artículo es constante, los costos variables son propor-
cionales a la cantidad de artículos producidos.
b) Si m representa el costo por unidad, entonces los costos totales de producir x unidades de artículos es
US$ mx y si los costos fijos son de US $b, entonces el costo total es
COSTO TOTAL= yc = C(x) = mx+ b
53

Observacion 2.3.1.
a) la pendiente m representa el costo variable por unidad
b) La función C(x) = mx + b representa la ecuación de una recta, de pendiente m que intersecta con el
eje y en b.
c) El costo fijo para C(x) se calcula reemplazando el valor x = 0 en C(x) = C(0) obteniendo costo fijo
igual a b.
Definicion 2.3.2.
a) En economía el Costo marginal, es la razón de cambio del costo, es importante en la administración
al tomar decisiones en áreas como control de costos, fijación de precios y planeación de la producción,
generalmente se representa por m.
b) El costo total se representa por C(x) = mx+b la pendiente m representa el costo marginal, también se
define como la razón de cambio promedio.
c) Si C(x) es el costo total de fabricar x artículos, entonces el costo promedio por artículo está dado por
C(x) =
C(x)
x
d) Supóngase que una empresa tiene costos fijos por b dólares y costo de producción de m dólares por
unidad y un precio de venta de k dólares por unidad entoces la función de ingreso I(x) está dado
yI = I(x) = kx
donde x es el número de unidades de un producto fabricado o vendido.
e) Recordar que
PRECIO VENTA O INGRESO = PRECIO COSTO + GANANCIA .
Sea C(x) = mx+ b la función costo y I(x) es la función de ingreso, entonces la función de ganancia
o de utilidades esta dado por
G(x) = I(x)−C(x) = (k − m)x− b
donde x representa la cantidad de unidades del artículo producidos y vendidos.
Ejemplo 2.3.1. El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de US$0,5 y los costos fijos por
día son US$300
(a) Dé la ecuación del costo lineal y dibujar su gráfica
(b) Determine el costo de procesar 1.000 kilos de granos de café por un día.
54

Resolución: Ï
(a) Función lineal
C(x) = yc representa el costo de procesar x kilos de granos de café por día, entonces el modelo
C(x) = yc = mx+ b se utiliza para el calculo donde m = 0,5 es el costo variable por unidad y
b = 300 es el costo fijo, por lo tanto C(x) = yc = 0,5x+300.
Gráfico
100
200
300
400
−100
100 200
−100 x Kilos
y Dólares
Note que la gráfica está en el primer cuadrante ya que x ≥ 0 y por lo tanto yc ≥ 0
(b) Al reemplazar x = 1000 en la ecuación lineal se obtiene C(x) = 0,5(1000)+300 = 800 por lo
tanto el costo de procesar 1000 kilos de granos de café al día será de $800
Î
Ejemplo 2.3.2. Una empresa fabricante de filtros para agua, tiene costos fijos por $20000, costos de
producción de $20 por unidad y un precio de venta unitario de $30. Determinar las funciones de costos,
ingresos y ganancias para la empresa.
Resolución: Ï
Sea x el número de unidades producidas y vendidas.
La función de costo es: C(x) = 20x+20000
La función ingreso es: I(x) = 30x
La función ganancia es: G(x) = I(x)−C(x) = 30x−(20x+20000) = 10x−20000
Î
2.4. Aplicaciones al crecimiento poblacional
Si una cantidad Q(t) obedece una ley de la forma
Q(t) = Q0ekt
, k 0se dice que experimenta crecimiento exponencial
Del mismo si Q(t) obedece una ley de la forma
55

Q(t) = Q0e−kt
, k 0se dice que experimenta decrecimiento exponencial
Observacion 2.4.1. Existen cantidades importantes en los Negocios y en la Economía, así como también
en Ciencias Sociales, Biología y Física que pueden modelarse en términos del crecimiento o decrecimiento
exponencial. Como por ejemplo
a) Si el interés se capitaliza continuamente el valor bruto (B(t) = Pert
) crece exponencialmente.
b) Ante la ausencia de amenazas ambientales, la problación crece exponencialmente.
c) Las sustancias radiactivas decrecen exponencialmente.
d) La cantidad de droga en el torrente sanguíneo de una persona decrece exponencialmente.
e) Las ventas de ciertos artículos cuando se interrumpe la publicidad.
Q(t) = Q0ekt
Figura 2.1: Crecimiento exponencial
Q(t) = Q0e−kt
Note que la función es decreciente
Figura 2.2: Decrecimiento exponencial
Ejemplo 2.4.1. Los biólogos han determinado que en condiciones ideales, el número de bacterias en un
cultivo crece exponencialmente. suponga que al comienzo se encuantran 2,000 bacterias en cierto cultivo
y 20 minutos más tarde hay 6,000. ¿ Cuántas bacterias habrá al cabo de 1 hora?
56

Resolución: Ï
Sea Q(t): el número de bacterias presentes después de t minutos.
Sea Q0 = 2,000 el número de bacterias al comienzo.
Luego como crece exponencialmente utilizamos la ecuación Q(t) = 2000ekt
.
Cuando t = 20 minutos se deduce que Q(20) = 2,000e20k
de donde e20k
= 3
Luego para hallar el número de bacterias presentes en 1 hora=60 minutos, calculamos
Q(60) = 2,000e60k
= 2,000(e20k
)3
= 2,00033
= 54,000
Habrá 54,000 bacterias al cabo de una hora. Î
Ejemplo 2.4.2. Una máquina industrial se deprecia de manera que su valor después de t años está dado
por una función de la forma Q(t) = Q0e−0,04t
. Si después de 20 años la máquina vale US$8,986,58.¿
Cuál es el valor original?
Resolución: Ï
Basta calcular el valor Q0 que indica el valor inicial de la máquina.
Q(20) = 8,986,58 = Q0e−0,8
=⇒ Q0 = 8,986,58e0,8
≈ US$20,000
Î
Ejemplo 2.4.3. La población de cierta ciudad en desarrollo está en millones de habitantes por
P(t) = e0,02t
donde t es el tiempo medido en años desde 1970. ¿Cuándo alcanzará la población los 25 millones ,
suponiendo que esta fórmula mantiene su validez?
Resolución: Ï
Haciendo P(t) = 25 obtenemos 15e0,02t
= 25 =⇒ e0,02t
=
25
15
≈ 1,667, luego para obtener el
valor de t debemos aplicar logaritmos naturales.
ln(e0,02t
) = ln(1,667) =⇒ t =
0,5108
0,02
≈ 25,5
Así la población tarda 25.5 años en alcanzar los 25 millones , esto ocurrirá a mediados de 1995.
Î
57

Capítulo 3
Límite de funciones
Comentario 3.0.1. Considere la función f (x) = x + 1. Veamos los valores de la función cuando x toma
distintos valores cercanos a 1.
x 0 0.5 0.9 0.999 1 1.001 1.1 1.5 2
f (x) 1 1.5 1.9 1.999 2 2.001 2.1 2.5 3
1
2
3
4
−1
1 2 3
−1
b
x
y
De la tabla se deduce que
si x −→ 1−
entonces f (x) = x+1 −→ 2 y si x −→ 1+
entonces f (x) = x+1 −→ 2
De esta situación se puede concluir lo siguiente . lı́m
x→1
f (x) = lı́m
x→1
x+1 = 2
58

3.1. Límites
Definicion 3.1.1. Dada f : Dom(f ) ∈ R → R función, y x0 ∈ R ( este elemento no necesariamente está en
el Dom(f )); se define a L como el límite de f en x0 ( lı́m
x→x0
f (x) = L) si y sólo si para cada ǫ 0 dado es
posible encontrar un δ 0 que depende de x0 y ǫ, tal que siempre que x ∈ Dom(f ) y con la propiedad de
que si 0 |x− x0| δ entonces |f (x)− L| ǫ
Simbólicamente
lı́m
x→x0
f (x) = L ⇐⇒ ∀ ǫ 0, ∃ δ(x0,ǫ) 0 : si x ∈ Dom(f ) y 0 |x− x0| δ → |f (x)− L| ǫ
lı́m
x→x0
f (x) = L nos quiere decir que cuando el argumento x se aproxima al valor x0, la función f (x)
se aproxima al valor L
Ejemplo 3.1.1. Utilizando la definición del límite demostrar
lı́m
x→4
3x = 12
59

Resolución: Ï Según la definición del límite se tiene
lı́m
x→4
3x = 12
⇐⇒ (∀ ǫ 0,∃δ(ǫ) 0) : |x−4| δ =⇒ |3x−12| ǫ
(3.1)
Hallaremos un δ que dependa de ǫ a partir de |f (x)− L| = |3x−12|
En efecto:
|3x−12| = |3(x−4)| = 3|x−4| ǫ (3.2)
Por hipótesis |x−4| δ (está acotado por δ)
A partir de (2), la idea es explicitar una expresión similar a |x − 4| e
δ de tal modo que
identifiquemos e
δ = δ
3|x−4| ǫ siempre que |x−4|
ǫ
3
= δ
Para concluir
∀ ǫ 0, ∃δ =
ǫ
3
0 : |x−4| δ =⇒ |3x−12| ǫ
Hemos demostrado que lı́m
x→4
3x = 12
4
8
12
16
−4
2 4
−2 δ δ
Î
Ejemplo 3.1.2. Utilizando la definición del límite demostrar
lı́m
x→2
(x2
+2x−1) = 7
60

Resolución: Ï Según la definición del límite se tiene
lı́m
x→2
(x2
+2x−1) = 7
⇐⇒ (∀ ǫ 0,∃δ(ǫ) 0) : |x−2| δ =⇒ |(x2
+2x−1)−7| ǫ
(3.3)
Hallaremos un δ que dependa de ǫ a partir de |f (x)− L| = |(x2
+2x−1)−7|
En efecto:
|(x2
+2x−1)−7| = |x2
+2x−8| = |x+4||x−2| (3.4)
Por hipótesis |x−2| δ (está acotado por δ)
Falta acotar |x+4|, es decir encontrar k 0 tal que |x+4| k, esto se logra eligiendo δ1 =
1
2
(supuesto δ1)
Así
|x−2|
1
2
=⇒ −
1
2
x−2
1
2
sumamos 6
=⇒
11
2
x+4
13
2
=⇒ |x+4|
13
2
(3.5)
Luego utilizo (5) en (4)
|(x2
+2x−1)−7| = |x2
+2x−8| = |x+4||x−2|

13
2
|x−2| ǫ (3.6)
A partir de (4), la idea es explicitar una expresión similar a |x − 2| e
δ de tal modo que
identifiquemos e
δ = δ2 esto porque ya hemos supuesto un δ1.
En efecto
13
2
|x−2| ǫ siempre que |x−2|
2ǫ
13
= δ2
Para concluir
∀ ǫ 0, ∃δ = mı́n{δ1, δ2} = mı́n{
1
2
,
2ǫ
13
} 0 : |x−2| δ =⇒ |(x2
+2x−1)−7| ǫ
Hemos demostrado que lı́m
x→2
(x2
+2x−1) = 7
Î
61

Teorema 3.1.1. [Algebra de Límites]
Si lı́m
x→x0
f (x) = L1, lı́m
x→x0
g(x) = L2 y si x0 ∈ Dom(f )∩ Dom(g) entonces
a) lı́m
x→x0
(f + g)(x) existe y se cumple
lı́m
x→x0
(f + g)(x) = lı́m
x→x0
f (x)+ lı́m
x→x0
g(x) = L1 + L2
b) lı́m
x→x0
(f − g)(x) existe y se cumple
lı́m
x→x0
(f − g)(x) = lı́m
x→x0
f (x)− lı́m
x→x0
g(x) = L1 − L2
c) lı́m
x→x0
(f · g)(x) existe y se cumple
lı́m
x→x0
(f · g)(x) = ( lı́m
x→x0
f (x))( lı́m
x→x0
g(x)) = L1 · L2
d) Si L2 6= 0 se tiene
lı́m
x→x0
f (x)
g(x)
=
lı́m
x→x0
f (x)
lı́m
x→x0
g(x)
=
L1
L2
Observacion 3.1.1.
Si lı́m
x→x0
f (x) = L1 y c ∈ R entonces
a) lı́m
x→x0
|f (x)| existe y se cumple
lı́m
x→x0
|f (x)| = |L1|
b) lı́m
x→x0
(c) existe y se cumple
lı́m
x→x0
(c) = c, c ∈ R
c) lı́m
x→x0
c · f (x) existe y se cumple
lı́m
x→x0
c · f (x) = c · lı́m
x→x0
f (x)
62

Corolario 3.1.1.
a) Si f (x) = a0 + a1x+ a2x2
+...+ anxn
es una función polinómica y x0 ∈ R entonces
lı́m
x→x0
f (x) = lı́m
x→x0
(a0 + a1x+ a2x2
+...+ anxn
)
= lı́m
x→x0
a0 + lı́m
x→x0
a1x+ lı́m
x→x0
a2x2
+...+ lı́m
x→x0
anxn
= a0 + a1x0 + a2x2
0 +...+ anxn
0
= f (x0)
b) Si r(x) =
p(x)
q(x)
es una función racional, donde p(x), q(x) son polinomios. Entonces,
lı́m
x→x0
r(x) = lı́m
x→x0
p(x)
q(x)
=
p(x0)
q(x0)
= r(x0) siempre que q(x) 6= 0.
c) Si existe lı́m
x→x0
fi(x) = Li, i = 1,2··· ,n entonces lı́m
x→x0
n
Y
i=1
fi(x) =
n
Y
i=1
Li
d) Sean f (x) y g(x) tal que lı́m
x→x0
f (x) = L, L 6= 0 y lı́m
x→x0
g(x) = 0 entonces lı́m
x→x0
f (x)
g(x)
no existe.
e) Si existe lı́m
x→x0
f (x) = L entonces lı́m
x→x0
n
p
f (x) = n
q
lı́m
x→x0
f (x) =
n
p
L donde L ≥ 0 y n ∈ Z+
ó L ≥ 0 y
n ∈ Z+
es impar
Teorema 3.1.2. [Límite de una función compuesta]
Si lı́m
x→x0
f (x) = L y si se cumple que: lı́m
t→t0
g(t) = x0, t0 punto de acumulación de Dom(f ◦ g) y si existe
C 0 tal que 0 |t− t0| C implica g(t) 6= x0, entonces
lı́m
x→x0
f (x) = L = lı́m
t→t0
f (g(t))
Ejemplo 3.1.3. Calcule los siguientes límites
a) lı́m
x→2
(3x2
+8x−1)
b) lı́m
x→1
2x2
+1
3x3 +8x2 +1
c) lı́m
x→1
x2
−1
x−1
d) lı́m
x→3
x2
−9
x2 − x−6
e) lı́m
x→1
x−1
x3 −1
f) lı́m
x→0
p
1+ x−1
x
63

Resolución: Ï
a) lı́m
x→2
(3x2
+8x−1) = 3(2)2
+8(2)−1 = 27
b) lı́m
x→1
2x2
+1
3x3 +8x2 +1
=
2(1)2
+1
3(1)3 +8(1)2 +1
=
3
12
=
1
4
c) lı́m
x→1
x2
−1
x−1
= lı́m
x→1

(x−1)(x+1)

x−1
= lı́m
x→1
(x+1) = 2
d) lı́m
x→3
x2
−9
x2 − x−6
= lı́m
x→3

(x−3)(x+3)
(x+2)

(x−3)
= lı́m
x→3
(x+3)
(x+2)
=
6
5
e) lı́m
x→1
x−1
x3 −1
= lı́m
x→1
x−1
(x−1)(x2 + x+1)
= lı́m
x→1
1
x2 + x+1
=
1
3
f) lı́m
x→0
p
1+ x−1
x
= lı́m
x→0
p
1+ x−1
x
·
p
1+ x +1
p
1+ x +1
= lı́m
x→0
1
p
1+ x +1
=
1
2
Î
Ejemplo 3.1.4. Calcule los límites siguientes
(a) lı́m
x→ −1
p
x2 +3−2
x+1
(b) lı́m
x→1
x2
+4x−5
x2 −1
64

Resolución: Ï
(a)
lı́m
x→ −1
p
x2 +3−2
x+1
= lı́m
x→ −1
Ãp
x2 +3+2
x+1
!Ãp
x2 +3−2
p
x2 +3+2
!
= lı́m
x→−1
µ
(x2
+3)−4
(x+1)
p
x2 +3+2
¶
= lı́m
x→−1
x2
−1
(x+1)(
p
x2 +3+2)
= lı́m
x→−1
(x+1)(x−1)
(x+1)(
p
x2 +3+2)
= lı́m
x→−1

(x+1)(x−1)

(x+1)(
p
x2 +3+2)
=
lı́m
x→−1
(x−1)
lı́m
x→−1
(
p
x2 +3+2)
=
−1−1
p
1+3+2
=
−2
4
=⇒ lı́m
x→ −1
p
x2 +3−2
x+1
=
−1
2
(b)
lı́m
x→1
x2
+4x−5
x2 −1
= lı́m
x→1
(x−1)(x+5)
(x−1)(x+1)
= lı́m
x→1

(x−1)(x+5)

(x−1)(x+1)
=
lı́m
x→1
(x+5)
lı́m
x→1
(x+1)
=
1+5
1+1
=⇒ lı́m
x→1
x2
+4x−5
x2 −1
= 3
Î
Ejemplo 3.1.5. Encuentre el límite siguiente:
lı́m
x→1
3
p
7x+1−2
x−1
65

Resolución: Ï
Primera forma
Note que
(7x+1)−8 =
³
3
p
7x+1
´3
−23
=
h
3
p
7x+1−2
i·³
3
p
7x+1
´2
+2
3
p
7x+1+4
¸
⇐⇒
h
3
p
7x+1−2
i
=
(7x+1)−8
h¡ 3
p
7x+1
¢2
+2
3
p
7x+1+4
i (3.7)
Usando (3.7) en el límite se tiene
lı́m
x→1
3
p
7x+1−2
x−1
= lı́m
x→1
(7x+1)−8
(x−1)
³¡ 3
p
7x+1
¢2
+2
3
p
7x+1+4
´
= lı́m
x→1
7

(x−1)

(x−1)
³¡ 3
p
7x+1
¢2
+2
3
p
7x+1+4
´
=
lı́m
x→1
(7)
lı́m
x→1
µ³
3
p
7x+1
´2
+2
3
p
7x+1+4
¶
=
7
12
Segunda forma
Haciendo y =
3
p
7x+1 =⇒ y3
= 7x+1, si x → 1 =⇒ y → 2.
Por tanto lı́m
x→1
3
p
7x+1−2
x−1
= lı́m
y→2
y−2
y3−1
7 −1
lı́m
y→2
7(y−2)
y3 −8
= lı́m
y→2
7

(y−2)

(y−2)(y2 +2y+4)
= lı́m
y→2
7
y2 +2y+4
=⇒ lı́m
x→1
3
p
7x+1−2
x−1
=
7
12
Î
Teorema 3.1.3. [Unicidad del Límite]
El límite de una función f , si existe, es único, es decir, si
lı́m
x→x0
f (x) = L1 y lı́m
x→x0
f (x) = L2 entonces L1 = L2
Teorema 3.1.4. [Sandwich]
Sean f , g,h tres funciones, si existe x ∈ I {x0} tal que se cumplan
a) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ I {x0}, b) lı́m
x→x0
f (x) = L = lı́m
x→x0
h(x),
entonces lı́m
x→x0
g(x) = L
66

3.1.1. Límites Laterales
Definicion 3.1.2.
a) Sea f :]x0,+∞[→ R si existe el límite de la función f (x) cuando x se aproxima hacia x0 por la derecha
denotada por L se dice que L es el límite lateral derecho de x0 simbólicamente
L = lı́m
x→x+
0
f (x) = lı́m
x→x+
0
xx0
f (x) ⇐⇒ si dado ǫ 0,∃δx0,ǫ 0 tal que 0 x− x0 δ =⇒ |f (x)− L| ǫ
b) Sea f :]−∞, x0[→ R si existe el límite de la función f (x) cuando x se aproxima hacia x0 por la izquierda
denotada por L se dice que L es el límite lateral izquierdo de x0 simbólicamente
L = lı́m
x→x−
0
f (x) = lı́m
x→x−
0
xx0
f (x) ⇐⇒ si dado ǫ 0,∃δx0,ǫ 0 tal que 0 x0 − x δ =⇒ |f (x)− L| ǫ
Teorema 3.1.5.
a) Si f está definida en I {x0} y si L ∈ R, entonces
lı́m
x→x0
f (x) = L ⇐⇒ lı́m
x→x+
0
xx0
f (x) = L = lı́m
x→x−
0
xx0
f (x)
b) Si para algún C 0 se tiene que: |f (x)| ≤ C función acotada ∀x ∈ Iδ(x0) {x0} y que lı́m
x→x0
h(x) = 0
entonces lı́m
x→x0
h(x)f (x) = 0.
67

Ejemplo 3.1.6. Consideremos la función parte entera
f (x) = ‚ x ƒ = n, n ≤ x n+1, n ∈ Z donde Dom(f ) = R, Rec(f ) = Z
cuya gráfica es
1
2
3
•
1 2 3 4
Calcule
a) lı́m
x→0+
f (x) b) lı́m
x→0−
f (x) c) lı́m
x→1+
f (x) d) lı́m
x→1−
f (x) e) lı́m
x→−1+
f (x) f) lı́m
x→−1−
f (x)
Resolución: Ï Según el gráfico tenemos
a) lı́m
x→0+
f (x) = 0
b) lı́m
x→0−
f (x) = −1.
c) lı́m
x→1+
f (x) = 1
d) lı́m
x→1−
f (x) = 0.
e) lı́m
x→−1+
f (x) = −1
f) lı́m
x→−1−
f (x) = −2.
Î
Ejemplo 3.1.7.
a) Realice un bosquejo para cada función.
b) Determine los siguientes límites laterales para cada función
(a) f (x) =
x
|x|
, lı́m
x→0+
f (x) = 0, lı́m
x→0−
f (x)
(b) f (x) =
½
x, x ≥ 0
−1, x 0.
, lı́m
x→0+
f (x) = 0, lı́m
x→0−
f (x)
68

Resolución: Ï
a)
• •
b) (a) f (x) =
x
|x|
=





x
x
= 1 , x 0
x
−x
= −1 , x 0
lı́m
x→0+
f (x) = lı́m
x→0+
x0
f (x) = lı́m
x→0+
1 = 1
lı́m
x→0−
f (x) = lı́m
x→0−
x0
f (x) = lı́m
x→0−
(−1) = −1
(b) lı́m
x→0+
f (x) = lı́m
x→0+
x0
f (x) = lı́m
x→0+
0 = 0
lı́m
x→0−
f (x) = lı́m
x→0−
x0
f (x) = lı́m
x→0−
(−1) = −1
Î
a) lı́m
x→0
x2
−2|x|
x
b) lı́m
x→1
|2x−1|− x
|x−1|
69

Resolución: Ï
a)
x2
−2|x|
x
=









x2
−2x
x
, x ≤ 0
x2
+2x
x
, x 0
lı́m
x→0−
x2
−2|x|
x
= lı́m
x→0−
x2
+2x
x
= lı́m
x→0−
x(x+2)

x
= lı́m
x→0−
x+2 = 2.
lı́m
x→0+
x2
−2|x|
x
= lı́m
x→0+
x2
−2x
x
= lı́m
x→0+
x(x−2)

x
= lı́m
x→0−
x−2 = −2.
Como
lı́m
x→0−
x2
−2|x|
x
6= lı́m
x→0+
x2
−2|x|
x
se tiene que
lı́m
x→0
x2
−2|x|
x
no existe
b) Usando la definición del valor absoluto se tiene que:
|2x−1| =
(
2x−1, si, x ≥ 1
2
1−2x, si x 1
2
|x−1| =
(
x−1, si x ≥ 1
1− x, si x 1.
Luego,
lı́m
x→1−
|2x−1|− x
|x−1|
= lı́m
x→1−
2x−1− x
1− x
= lı́m
x→1−
x−1
1− x
= −1.
lı́m
x→1+
|2x−1|− x
|x−1|
= lı́m
x→1+
2x−1− x
x−1
= lı́m
x→1+
x−1
x−1
= 1.
Como
lı́m
x→1−
|2x−1|
|x−1|
6= lı́m
x→1+
|2x−1|
|x−1|
se tiene que
lı́m
x→1
|2x−1|
|x−1|
no existe
Î
70

3.2. Límites al Infinito, infinito en infinito, infinito
Comentario 3.2.1. Para tratar los límites infinito y al infinito, se debe considerar el conjunto de los
números reales ampliado es decir R = R∪{+∞,−∞} donde los símbolos +∞ representa un número muy
pero muy grande positivamente y,−∞ representa un número muy pero muy grande negativamente, estos
símbolos no son números. Se cumplen las siguientes reglas donde c ∈ R es constante
c +(±∞) = ±∞
(±∞)+(±∞) = ±∞
Si c 0 entonces c(±∞) = ±∞
Si c 0 entonces c(±∞) = ∓∞
(±∞)(±∞) = +∞
(±∞)(∓∞) = −∞
∞−∞ no está definido.
0·∞ no esta definido.
3.2.1. Límite al Infinito
Definicion 3.2.1. [Límites al infinito]
a) Sea f :]a,+∞[→ R, se dice que
lı́m
x→+∞
f (x) = L sí y sólo si para cada ǫ 0 existe un N 0 tal que N x =⇒ |f (x)− L| ǫ
x → +∞
L
x
y
b) Sea f :]−∞,b[→ R, se dice que
lı́m
x→−∞
f (x) = L sí y sólo si para cada ǫ 0 existe un N 0 tal que x −N =⇒ |f (x)− L| ǫ
x → −∞
L
x
y
71

3.2.2. Límite infinito al Infinito
Definicion 3.2.2. [Límites infinito al infinito]
a) Sea f :]−∞,+∞[→ R, se dice que
lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ sí y sólo si para cada M 0 existe un N 0 tal que x N =⇒ f (x) M 0
x → +∞
x
y
b) Sea f :]−∞,+∞[→ R, se dice que
lı́m
x→−∞
f (x) = +∞ si y sólo si para cada M 0 existe un N 0 tal que x −N =⇒ f (x) M 0
x → −∞
x
y
c) Sea f :]−∞,+∞[→ R, se dice que
lı́m
x→+∞
f (x) = −∞ y sólo si para cada M 0 existe un N 0 tal que x N =⇒ f (x) −M
x → +∞
x
y
d) Sea f :]−∞,+∞[→ R, se dice que
lı́m
x→−∞
f (x) = −∞ si y sólo si para cada M 0 existe un N 0 tal que x −N =⇒ f (x) −M
x → −∞
x
y
72

3.2.3. Límite infinito
Definicion 3.2.3. [Límites infinito]
a) Sea f : Dom(f ) ⊂ R → R se dice que
lı́m
x→x+
0
f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀ M 0 existe un δ(M) 0 tal que x ∈ dom(f ) : 0 x− x0 δ =⇒ f (x) M 0
x0 x+
0 ←− x
x
y
b) Sea f : Dom(f ) ⊂ R → R se dice que
lı́m
x→x−
0
f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀ M 0 existe un δ(M) 0 tal que x ∈ dom(f ) : 0 x0 − x δ =⇒ f (x) M 0
x0
x → x−
0
x
y
c) f : Dom(f ) ⊂ R → R se dice que
lı́m
x→x0
f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀ M 0, ∃ δ 0 tal que 0 |x− x0| δ entonces f (x) M, ∀ x ∈ dom(f )
x0 x → x0
x
y
d) f : Dom(f ) ⊂ R → R se dice que
lı́m
x→x+
0
f (x) = −∞ ⇐⇒ ∀ M 0 existe un δ tal que 0 x0 − x δ =⇒ f (x) −M
x0 x+
0 ←− x
x
y
73

Definicion 3.2.4. [Límites infinito]
(e) f : Dom(f ) ⊂ R → R se dice que
lı́m
x→x−
0
f (x) = −∞ ⇐⇒ ∀ M 0 existe un δ tal que 0 x0 − x δ =⇒ f (x) −M
x0
x → x−
0
x
y
(f) f : Dom(f ) ⊂ R → R se dice que
lı́m
x→x0
f (x) = −∞ ⇐⇒ ∀ M 0, ∃ δ 0 tal que 0 |x− x0| δ entonces f (x) −M, ∀ x ∈ dom(f ).
x0 x → x0
x
y
a) lı́m
x→+∞
5
b) lı́m
x→−∞
5
c) lı́m
x→+∞
x
d) lı́m
x→−∞
x
e) lı́m
x→+∞
3x2
f) lı́m
x→−∞
3x2
g) lı́m
x→+∞
x3
h) lı́m
x→−∞
x3
i) lı́m
x→+∞
1
x
j) lı́m
x→−∞
1
x
Resolución: Ï
a) lı́m
x→+∞
5 = 5
b) lı́m
x→−∞
5 = 5.
c) lı́m
x→+∞
x = +∞
d) lı́m
x→−∞
x = −∞.
e) lı́m
x→+∞
3x2
= 3·+∞
f) lı́m
x→−∞
3x2
= 3 ·
+∞.
g) lı́m
x→+∞
x3
= +∞
h) lı́m
x→−∞
x3
= −∞.
i) lı́m
x→+∞
1
x
= 0+
j) lı́m
x→−∞
1
x
= 0−
Î
74

Teorema 3.2.1. Sean lı́m
x→a
f (x) = 0 y lı́m
x→a
g(x) = c con c 6= 0 y a ∈ R (a puede que no este en el dominio de
f el dominio de g entonces se cumple las afirmaciones siguientes para todo x próximo a a
a) si c 0 y f (x) → 0+
(si f (x) −→ 0 para f (x) 0) entonces lı́m
x→a
g(x)
f (x)
= +∞
b) si c 0 y f (x) → 0−
x→a
g(x)
f (x)
= −∞.
c) si c 0 y f (x) → 0+
x→a
g(x)
f (x)
= −∞.
d) si c 0 y f (x) → 0−
x→a
g(x)
f (x)
= +∞.
x→a
f (x) = c y lı́m
x→a
g(x) = +∞; se cumple las afirmaciones siguientes
a) lı́m
x→a
(f (x)+ g(x)) = +∞
b) lı́m
x→a
(f (x)· g(x)) = +∞, c 0
c) lı́m
x→a
(f (x)· g(x)) = −∞, c 0
d) lı́m
x→a
f (x)
g(x)
= 0
x→a
f (x) = c y lı́m
x→a
g(x) = −∞; se cumple las afirmaciones siguientes
a) lı́m
x→a
(f (x)+ g(x)) = −∞
b) lı́m
x→a
(f (x)· g(x)) = −∞, c 0
c) lı́m
x→a
(f (x)· g(x)) = +∞, c 0
d) lı́m
x→a
f (x)
g(x)
= 0
x→a
f (x) = +∞ y lı́m
x→a
g(x) = +∞ entonces
a) lı́m
x→a
(f (x)+ g(x)) = +∞+∞ = +∞ b) lı́m
x→a
(f (x)· g(x)) = (+∞)·(+∞) = +∞
x→a
f (x) = −∞ y lı́m
x→a
g(x) = −∞ entonces
a) lı́m
x→a
(f (x)+ g(x)) = −∞−∞ = −∞ b) lı́m
x→a
(f (x)· g(x)) = (−∞)·(−∞) = +∞
75

Observacion 3.2.1.
a) lı́m
x→∞
1
x
= 0
b) lı́m
x→∞
1
xn
= 0, n 0
c) lı́m
x→∞
xn
= ∞, n 0
d) lı́m
x→∞
f (x)
g(x)
= ∞ si el grad(f ) grad(g).
e) lı́m
x→∞
f (x)
g(x)
= 0 si el grad(f ) grad(g)
f) lı́m
x→∞
f (x)
g(x)
=
a
b
si el grad(f ) = grad(g), donde
a y b son los coeficientes de las variables de
mayor potencia de f (x) y g(x)
g) lı́m
x→0+
1
xn
= +∞
h) lı́m
x→0−
1
xn
= +∞, si n es par.
i) lı́m
x→0−
1
xn
= −∞, si n es impar.
Ejemplo 3.2.2. Calcule loss límites siguientes
a) lı́m
x→+1+
x
x−1
b) lı́m
x→+1+
x
x2 −1
c) lı́m
x→+2+
−3
x−2
Resolución: Ï
a) Identificando de h(x) =
x
x−1
las funciones f (x) = x, g(x) = x−1, entonces
lı́m
x→+1+
x = 1, lı́m
x→+1+
x−1 = 0+
Utilizando un teorema anterior concluimos que lı́m
x→+1+
x
x−1
= +∞
b) Identificando de h(x) =
x
x2 −1
=
x
x+1
·
1
x−1
las funciones f (x) =
x
x+1
, g(x) =
1
x−1
, en-
tonces
lı́m
x→+1+
x
x+1
=
1
2
, lı́m
x→+1+
1
x−1
= +∞
Utilizando un teorema anterior concluimos que lı́m
x→+1+
x
x2 −1
= +∞
c) Tarea
Î
Ejemplo 3.2.3. Calcule loss límites siguientes
a) lı́m
x→+∞
4x3
−2x2
+ x−1
5x3 −2x+3
b) lı́m
x→+∞
x4
−5x−1
x5 −2x2 +1
c) lı́m
x→+∞
p
1+ x2
x
d) lı́m
x→+∞
(2x5
−3x2
+2x−1)
e) lı́m
x→+∞
x3
+2x−1
x2 +3x−1
f) lı́m
x→+∞
(x−
p
1+ x2)
76

Resolución: Ï
a)
lı́m
x→+∞
4x3
−2x2
+ x−1
5x3 −2x+3
= lı́m
x→+∞
x3
µ
4−
2
x
+
1
x2
−
1
x3
¶
x3
µ
5−
2
x2
+
3
x3
¶ = lı́m
x→+∞
µ
4−
2
x
+
1
x2
−
1
x3
¶
µ
5−
2
x2
+
3
x3
¶
=
lı́m
x→+∞
4− lı́m
x→+∞
2
x
+ lı́m
x→+∞
1
x2
− lı́m
x→+∞
1
x3
lı́m
x→+∞
5− lı́m
x→+∞
2
x2
+ lı́m
x→+∞
3
x3
=⇒ lı́m
x→+∞
4x3
−2x2
+ x−1
5x3 −2x+3
=
4
5
.
b)
lı́m
x→+∞
x4
−5x−1
x5 −2x2 +1
= lı́m
x→+∞
x4
µ
1−
5
x3
−
1
x4
¶
x5
µ
1−
2
x3
+
1
x5
¶ = lı́m
x→+∞
1
x
· lı́m
x→+∞
µ
1−
5
x3
−
1
x4
¶
µ
1−
2
x3
+
1
x5
¶
= 0·1 = 0
c)
lı́m
x→+∞
p
1+ x2
x
= lı́m
x→+∞
s
x2
µ
1
x2
+1
¶
x
= lı́m
x→+∞

|x|
sµ
1
x2
+1
¶

x
(x 0)
= lı́m
x→+∞
s
1
x2
+1 =
s
lı́m
x→+∞
µ
1
x2
+1
¶
=⇒ lı́mx→+∞
p
1+ x2
x
= 1
d) Note que h(x) = 2x5
−3x2
+2x−1 = (2x5
)·
³
1−
3
2x
+
1
x2
−
1
2x3
´
y que
lı́m
x
→ +∞2x5
= +∞, lı́m
x
→ +∞
³
1−
3
2x
+
1
x2
−
1
2x3
´
= 1
Entonces
lı́m
x→+∞
(2x5
−3x2
+2x−1) = lı́m
x→+∞
2x5
³
1−
3
2x
+
1
x2
−
1
2x3
´
= lı́m
x→+∞
(2x5
−3x2
+2x−1)
= (+∞)·(1) = +∞.
Î
77

3.3. Asíntotas
Definicion 3.3.1.
a) La recta x = a es asíntota vertical de f si
lı́m
x→x+
0
f (x) = ±∞ o lı́m
x→x−
0
f (x) = ±∞
b) La recta y = mx+ b es asíntota oblicua derecha de f si
lı́m
x→+∞
f (x)
x
= m y lı́m
x→+∞
f (x)− mx = b
c) La recta y = mx+ b es una asíntota oblicua izquierda de f si
lı́m
x→−∞
f (x)
x
= m y lı́m
x→−∞
f (x)− mx = b
En cualquiera de los dos últimos casos, si m = 0 se tendrá una asíntota horizontal y = b.
Ejemplo 3.3.1. Dada la función f (x) =
1−2x2
3+5x
. Encuentre las asíntotas horizontales, verticales y oblícuas,
si es que existen. Grafique la función aproximadamente usando esos límites.
78

Resolución: Ï
Cálculo de asíntota vertical
lı́m
x→− 3
5
+
1−2x2
3+5x
= +∞
lı́m
x→− 3
5
−
1−2x2
3+5x
= −∞
Entoces x = −3
5 es asíntota vertical.
Cálculo de asíntota oblicua y horizontal
lı́m
x→+∞
1−2x2
3x+5x2
= −
2
5
= m
lı́m
x→+∞
1−2x2
3+5x
+
2
5
x =
5−10x2
+6x+10x2
15+25x
= lı́m
x→+∞
5−6x
15+25x
=
6
25
Luego la recta y = −
2
5
x−
6
25
es asíntota oblicua. No hay asíntota horizontal.
1
−1
1
−1
−2
Î
3.4. Límites especiales
En esta sección discutiremos el valor de ciertos limites especiales. Se dicen especiales ya que son
expresiones indeterminadas pero poseen un limite finito.
3.4.1. límites trigonométricos
Para calcular los límites trigonométricos se debe considerar que lı́m
x→0
sen(x)
x
= 1
79

a) lı́m
x→
1−cos(x)
x
b) lı́m
x→
xsen
µ
1
x
¶
Resolución: Ï
a)
1−cos(x)
x
=
1−cos(x)
x
·
µ
1+cos(x)
1+cos(x)
¶
=
1−cos2
(x)
x(1+cos(x))
=
xsen2
(x)
x2(1+cos(x))
=
sen2
(x)
x2
·
x
1+cos(x)
=
µ
sen(x)
x
¶2
·
x
1+cos(x)
Luego por propiedades de limite y usando el limite especial anterior se sigue que
lı́m
x→0
1−cos(x)
x
= lı́m
x→0
½µ
sen(x)
x
¶2
·
x
1+cos(x)
¾
=
µ
lı́m
x→0
sen(x)
x
¶2
· lı́m
x→0
x
lı́m
x→0
(1+cos(x))
=
12
·0
2
= 0
b) lı́m
x→0
xsen
µ
1
x
¶
= 0, en efecto
¯
¯
¯
¯sen
µ
1
x
¶¯
¯
¯
¯ ≤ 1 =⇒ 0 ≤
¯
¯
¯
¯xsen
µ
1
x
¶¯
¯
¯
¯ ≤ x
=⇒ 0 = lı́m
x→0
0 ≤ lı́m
x→0
¯
¯
¯
¯xsen
µ
1
x
¶¯
¯
¯
¯ ≤ lı́m
x→0
x = 0
Por lo tanto lı́m
x→0
¯
¯
¯
¯xsen
µ
1
x
¶¯
¯
¯
¯ = 0 =⇒ lı́m
x→0
xsen
µ
1
x
¶
= 0
Î
3.4.2. Tipos de indeterminación
Comentario 3.4.1. En muchas ocaciones cuando calculamos límites aparecen los símbolos
a) ∞−∞ b) 0·∞ c)
0
0
d)
∞
∞
e) 00
f) ∞0
g) 1∞
conocido como símbolos de indeterminación. Cuando aparece uno de estos símbolos en el cálculo de
un límite, no puede decir nada sobre este límite, puede que exista o no, dependiendo de la expresión que
se esta calculando.
, parte del cálculo de estos límites serán abordados utilizando L’Hospital.
80

Observacion 3.4.1.
a) Sean f , g : R−{1} → R definida por f (x) = 1+
1
(x−1)2
, g(x) =
1
(x−1)2
Note que lı́m
x→1
f (x) = lı́m
x→1
g(x) = +∞ pero lı́m
x→1
[f (x)− g(x)] = 1
b) Sean f : R−{1} → R definida por f (x) = sen
µ
1
(x−1)
¶
+
1
(x−1)2
, g(x) =
1
(x−1)2
entonces lı́m
x→1
f (x) = lı́m
x→1
x→1
[f (x)− g(x)] no existe.
c) Sean f , g :]0,+∞[→ R definida por f (x) =
1
x
, g(x) = ln(x) entonces
lı́m
x→+∞
f (x) = 0 y lı́m
x→+∞
x→+∞
f (x)· g(x) = 0
d) Sean f , g : R − {0} → R definida por f (x) =
1
x2
, g(x) = x2
sen
µ
1
x2
¶
entonces lı́m
x→0
f (x) = +∞ y
lı́m
x→+∞
g(x) = 0 pero lı́m
x→0
f (x)g(x) no existe
e) lı́m
x→+∞
µ
x+
1
x
¶x
= e lı́m
x→0
µ
ax
−1
x
¶
= ln(a)
a) Calcule los límites siguientes
1) lı́m
x→−3
x2
− x+12
x+3
2) lı́m
x→0
(x−5)2
−25
x
3) lı́m
x→1
x3
−1
x2 −1
4) lı́m
x→9
9− x
3−
p
x
5) lı́m
x→1
x2
+ x−2
x2 −3x+2
6) lı́m
x→0
p
2− x −
p
2
x
7) lı́m
x→2
x4
−16
x−2
8) lı́m
x→1
µ
1
x−1
−
2
x2 −1
¶
9) lı́m
x→0
(3+ x)−1
−3−1
x
10) lı́m
x→−2
x3
+4x2
+4x
(x+2)(x−3)
11) lı́m
x→4
x−2−
p
x
x−4
12) lı́m
x→1
3
p
x2 −2 3
p
x+1
(x−1)2
13) lı́m
x→0
p
x+1−1
3
p
x+1−1
14) lı́m
x→0
3
p
x+27−3
4
p
x+16−2
15) lı́m
x→1
p
x−1
x−1
16) lı́m
x→0
p
x+3−
p
3
x
17) lı́m
x→4
p
2x+1−1
p
x−2−
p
2
18) lı́m
x→a
xn
− an
x− a
19) lı́m
x→0
(1+3x)
2
x
20) lı́m
x→0
(1− x)
3
x
21) lı́m
x→2
µ
1
5x−1
−
1
4x+1
¶µp
x−1
x2 −4
¶
b) Dé el valor del límite , si existe, a partir de la gráfica dada. Si no existe explique por qué.
1) lı́m
x→3
f (x) 2) lı́m
x→1
f (x) 3) lı́m
x→−3
f (x) 4) lı́m
x→2
f (x)
81

1
2
−1
−2
1 2 3 4
−1
−2
−3
b
bc b
c) (a) Dada f (x) =



x2
+1 , x 2
2 , x = 2
−x2
+9 , x 2
. Calcule lı́m
x→2−
f (x) y lı́m
x→2+
f (x); ¿existe lı́m
x→2
f (x)?.Justifique
su respuesta.
(b) Dada f (x) =



|x|
x
, x 6= 0
1 , x = 0
. Calcule lı́m
x→0−
f (x) y lı́m
x→0+
f (x) ¿existe lı́m
x→0
f (x)?.Justifique su
respuesta.
(c) Dada f (x) =
½
x2
, x 1
3x , x ≥ 1
. Calcule lı́m
x→1−
f (x) y lı́m
x→1+
f (x) ¿existe lı́m
x→1
f (x).Justifique su
respuesta.
(d) Dada f (x) =



3− x2
, x ≤ 1
x+1 , 1 x ≤ 3
x2
−4 , x 3
. Calcule lı́m
x→1−
f (x), lı́m
x→1+
f (x), lı́m
x→3−
f (x), lı́m
x→3+
f (x);
¿existe lı́m
x→3
f (x), lı́m
x→1
f (x)? Justifique su respuesta.
d) Considere la función a tramos definida por f (x) =



x2
, x ≤ −2
ax+ b , −2 x 2
2x−5 , x ≥ 2
. Determine los
valores de a y b para que lı́mx→−2 f (x) y lı́mx→2 f (x) existan.
e) Calcule los siguientes límites al infinito
(a) lı́m
x→+∞
8x3
+7x+1
4x3 +2x
(b) lı́m
x→+∞
5x5
+12x2
+3x−1
x4 +2x
(c) lı́m
x→+∞
−2x4
+7x3
−1
2x6 −−5x2 + x−9
(d) lı́m
x→+∞
µ
3
x3
+5
¶
(e) lı́m
x→+∞
x3
+1
x4 +5x3 + x+2
(f) lı́m
x→−∞
2x+3
3x+2
(g) lı́m
x→+∞
x+1
p
x2 −5
(h) lı́m
x→−∞
x+1
p
x2 −5
(i) lı́m
x→+∞
(x5
+ 3x3
+
1)
(j) lı́m
x→−∞
(x6
+x3
+1)
(k) lı́m
x→−∞
3
r
x
x2 +3
(l) lı́m
x→+∞
(x −
p
x2 +1)
(ll) lı́m
x→+∞
3
p
x3 ++2x−1
p
x2 + x+1
(m) lı́m
x→+∞
(
p
x+1 −
p
x+3)
(n) lı́m
x→+∞
p
x−1
p
x2 −1
(ñ) lı́m
x→−∞
x3
+ x+1
3
p
x9 +1
f) Calcule los siguientes límites infinito
(a) lı́m
x→1
1
(x−1)2
(b) lı́m
x→1
3x−2
(x−1)2
(c) lı́m
x→2
2x−5
(x−2)2
(d) lı́m
x→2+
x2
+3x
x2 −4
(e) lı́m
x→1+
x3
−1
x2 −2x+1
(f) lı́m
x→3+
x2
+3x
x2 −6x+9
(g) lı́m
x→1−
2x+3
x2 −1
(h) lı́m
x→0+
ln(x)
x
(i) lı́m
x→1+
x−1
p
x−1
(j) lı́m
x→0+
p
x−
1
p
x
(k) lı́m
x→ 2
3
+
x2
4−9x2
(hl) lı́m
x→0
ln(|x|)
82

g) Considere
lı́m
x→+∞
µ
1+
1
x
¶x
= e
lı́m
x→0
(1+ x)
1
x = e
lı́m
x→0
µ
ax
−1
x
¶
=
ln(a)
lı́m
x→0
sen(x)
x
= 1
Calcule los siguientes límites: exponencial, logaritmo y trigonométrico.
(a) lı́m
x→+∞
µ
1+
2
x
¶x
(b) lı́m
x→+∞
³ x
1+ x
´x
(c) lı́m
x→+∞
µ
1−
1
x
¶x
(d) lı́m
x→+∞
µ
1+
1
3x
¶3x−2
(e) lı́m
x→+∞
³
1+
c
x
´x
, c ∈
R
(f) lı́m
x→+∞
µ
1+
2
x+ c
¶x
, c ∈
R
(g) lı́m
x→+∞
µ
x+2
x−1
¶x+c
, c ∈
R
(h) lı́m
x→+∞
µ
ax
− cx
x
¶x
, a, c
0, a, c 6= 1
(i) lı́m
x→0
tan(x)
x
(j) lı́m
x→0
sen(2x)
sen(3x)
(k) lı́m
x→0+
p
1−cos(2x)
x
(l) lı́m
x→0−
p
1−cos(2x)
x
h) Sean f , g : R−{2} −→ R funciones,definida por f (x) = 1+
1
(x−2)2
, g(x) =
1
(x−2)2
pruebe que
lı́m
x→2
f (x) = lı́m
x→2
g(x) = +∞ y que lı́m
x→+2
[f (x)− g(x)] = 1
i) Sean f , g : R−{2} −→ R funciones,definida por f (x) = sen
µ
1
(x−2)
¶
+
1
(x−2)2
, g(x) =
1
(x−2)2
pruebe que lı́m
x→2
f (x) = lı́m
x→2
x→+2
[f (x)− g(x)] no existe.
j) Sean f , g :]0,+∞[−→ R funciones,definidas por f (x) =
1
x
, g(x) = ln(x). Pruebe que lı́m
x→+∞
f (x) =
0 y lı́m
x→+∞
x→+∞
(f (x)· g(x)) = 0
k) Sean f , g : R − {0} −→ R funciones,definidas por f (x) =
1
x2
, g(x) = x2
sen
µ
1
x
¶
. Pruebe que
lı́m
x→0
f (x) = +∞ y lı́m
x→0
g(x) = 0 pero lı́m
x→0
(f (x)· g(x)) no existe.
l) Calule las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas, si existen, para las funciones siguientes.
(a) f (x) =
x
x2 −1 (b) f (x) =
x2
x2 −1
m) Pruebe que f (x) no es continua en el punto indicado
(a) f (x) =





x2
−1
x−1
; x 6= 1
1 ; x = 1
, x = 1 (b) f (x) =



1 ; x ≥ c
0 ; x c
, x = c
n) Sea f (x) = 3x−5, g(x) =
x
2
−
2
3
. Calcule
(a) lı́m
x→2
(f ◦ g)(x) (b) lı́m
x→2
(g◦ f )(x) (c) lı́m
x→− 3
2
(f ◦ g◦ f )(x) (d) lı́m
x→0
xsen
µ
1
g(x)
¶
ñ) Calcule los límites en las asíntotas verticales y horizontales para las funciones cuya representación
gráfica aparecen abajo
83

(a)
1
2
1 2 3
−1
x
y
f (x) =
1
3
p
(x−1)2
(b)
1
−1
−2
1 2 3
−1
x
y
f (x) =
−1
3
p
(x−2)2
(c)
1
2
−1
1 2 3
−1
−2
−3
x
y
f (x) =
x2
x2 −1
(d)
1
2
−1
−2
1 2 3
−1
−2
−3
x
y
f (x) =
x
x2 −1
84

Capítulo 4
Continuidad de Funciones
La idea de continuidad en matemática ocurre cuando no hay interrupción, que no haya separación de
un punto a otro.
En el capítulo anterior se estudió el comportamiento de una función y = f (x) para valores de x próximo
a un punto x0 ∈ R mediante el límite, pudiendo existir el límite aún cuando f no esté definida en x0,
es decir lı́m
x→x0
f (x) exista y f (x0) no esté definido.
4.1. Continuidad de funciones reales
Definicion 4.1.1.
a) Sea f : Dom(f ) ⊂ R → R función, se dice que f es continua en x0 ∈ Dom(f ) si lı́m
x→x0
f (x) = f (x0)
simbólicamente
lı́m
x→x0
f (x) = f (x0) ⇐⇒ ∀ ǫ 0, ∃ δ 0 tal que 0 |x− x0| δ =⇒ |f (x)− f (x0)| ǫ
b) Sea f : Dom(f ) ⊂ R → R función, se dice que f es continua por la derecha en x0 si lı́m
x→x+
0
f (x) = f (x0)
simbólicamente
lı́m
x→x+
0
f (x) = f (x0) ⇐⇒ ∀ ǫ 0, ∃ δ 0 tal que 0 x− x0 δ =⇒ |f (x)− f (x0)| ǫ
c) Sea f : Dom(f ) ⊂ R → R función, se dice que f es continua por la izquierda en x0 si lı́m
x→x−
0
f (x) =
f (x0) simbólicamente
lı́m
x→x−
0
f (x) = f (x0) ⇐⇒ ∀ ǫ 0, ∃ δ 0 tal que 0 x0 − x δ =⇒ |f (x)− f (x0)| ǫ
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