GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI DẠY BUỔI 2) - TIẾNG ANH 6, 7 GLOBAL SUCCESS (2...
Mathématiques et réalité - Dias 2014
1. La diversité empirique pour faire exister les
objets mathématiques
Thierry Dias
Haute Ecole pédagogique du canton de Vaud
Lausanne, Suisse
thierry.dias@hepl.ch
2. Thierry Dias – juillet 2014
Références épistémologiques principales pour cette allocution :
Petitot, J. (1987). Refaire le Timée : introduction à la philosophie
mathématiques d'Albert Lautman. Revue d'histoire des sciences,
40(1), 79-115.
Petitot, J. (1991). Idéalités mathématiques et réalité objective.
Approche transcendantale. Hommage à Jean Toussaint Dessanti,
Trans Europ-Repress, Mauvezin.
Descaves, A. (2011). L'apprentissage du sens, certes ! Mais dans
quel ses prendre le sens ? Actes du colloque de la COPIRELEM,
Tours.
Conne, F. (1999). Faire des maths, faire faire des maths, regarder
ce que ça donne, In Le Cognitif en didactique des mathématiques,
G. Lemoyne et F. Conne eds, presses universitaires de l'UdeM,
p.31-69
3. Thierry Dias – juillet 2014
1. De la réalité des objets mathématiques
2. Situation, savoir/connaissance/expérience
3. Des environnements et des choses pour
faire exister les objets mathématiques
4. Thierry Dias – juillet 2014
1. De la réalité des objets mathématiques
•un positionnement épistémologique nécessaire
•la question du sens
•réel partagé
•distinction choses/objets
5. Thierry Dias – juillet 2014
Les quatre piliers de l'épistémologie des mathématiques
(Petitot) :
-les actes constitutifs de l'activité mathématique
-le statut de la connaissance et de la légalité symbolique
-le problème de la donation et de la réalité des objets et
des structures mathématiques
-la nature de l'applicabilité des mathématiques au monde
de l'expérience
6. Thierry Dias – juillet 2014
Les objets mathématiques peuvent être
considérés comme des principes de cohérence.
Les objets mathématiques sont des corrélats
d'actes opérant sur un donné perceptif.
(Descaves, 2001)
7. Thierry Dias – juillet 2014
subsomption*
(catégorisation)
langage formel
Faits
(et divers)
empiriques
Faits
(et divers)
empiriques
CONCEPTS
schématisation*
modélisation
corrélationcorrélation
MATHEMATIQUES
pas de
dénotation
*subsomption au sens Kantien: rapporter la pluralité des données
de l'intuition à l'ensemble des concepts purs de l'entendement
choseschoses
expériences
sensibles
expériences
sensibles
*schématisation au sens (relativement) Kantien: passage par
des schèmes intermédiaires entre entendement et sensibilité
objet
mathématique
spécifique
8. Thierry Dias – juillet 2014
Sens et réalité ?
Osons un renversement de point de vue :
Ce ne sont pas les situations concrètes qui
donnent du sens (c'est à dire leur cohérence) aux
objets mathématiques, mais plutôt les
mathématiques et leurs objets qui déterminent
les formes de la réalité.
"On ne peut pas confondre le sens des objets
mathématiques avec celui de leur utilisation dans des
situations concrètes." (Descaves)
9. Thierry Dias – juillet 2014
C'est notamment la cohérence des règles
opérant sur le système symbolique qui donne
du sens aux situations et aux éventuelles
expériences qu'elles provoquent chez les
élèves.
voire la métaphore de l'iceberg proposée par Drijvers…
10. Thierry Dias – juillet 2014
• Dépasser la juxtaposition des expériences.
• Ce qui fait sens n'est pas l'expérience mais la théorie
liée aux objets de savoir mathématiques (leur
syntaxe, leur sémantique).
• Éviter de croire ou de compter sur la rencontre
fortuite des savoirs lors des expériences :
expérimenter /vs manipuler.
11. Thierry Dias – juillet 2014
Réel partagé (Lelong, 2004) : nécessité (mais non
suffisance) des expériences sociales interactives.
Une communauté d'individus (d'élèves par
exemple) qui collaborent dans leurs actes et
leurs mots en vue de catégorisations permettant
l'élaboration de concepts.
12. Thierry Dias – juillet 2014
Distinction choses/objets (Conne)
Enseigner consiste à mettre en scène des objets
de savoir que les élèves perçoivent comme des
choses avec lesquelles ils peuvent interagir.
Pour différents sujets, une même chose ne
réfèrera pas forcément au même objet.
13. Thierry Dias – juillet 2014
conclusion du positionnement épistémologique :
La réalité peut être associée à la notion de
véracité (Granger, 1999) : les objets, les choses,
les actes et les pensées sont, ou, pour le moins,
peuvent devenir.
14. Thierry Dias – juillet 2014
2. Situation : savoir / connaissance / expérience
La situation est une modélisation théorique d'un
niveau de réalité qui tient compte des différents
types d'interactions qu'il faut distinguer selon les
statuts des sujets et des objets qui interagissent.
15. Thierry Dias – juillet 2014
Finalité didactique : réussir la rencontre entre les objets
et les sujets
L'environnement créé pour les échanges de signes et de
connaissances et pour les expériences sur les choses ne
garantit pas la rencontre des objets mathématiques.
C'est la consistance des situations (la richesse de leurs
milieux) qui permet ou non le processus de
conceptualisation.
16. Thierry Dias – juillet 2014
savoirssavoirs
connaissancesconnaissances
situation
expériences
environnement d'apprentissageenvironnement d'apprentissage
faits et phénomènes
divers empirique
objetsobjets
choseschoses
signes
représentations
point de vue enseignantpoint de vue enseignant
point de vue apprenantpoint de vue apprenant
17. Thierry Dias – juillet 2014
3. Des expériences pour faire exister les
objets mathématiques
ou comment rendre opérationnels les
principes épistémologiques…
18. Thierry Dias – juillet 2014
Différents contextes de mise en œuvre des
situations expérimentales :
- les élèves ayant des besoins spécifiques
- les enseignants en formation initiale
- les enseignants en formation continue
19. Thierry Dias – juillet 2014
• nous proposons aux élèves des milieux matériels
spécifiques et adaptés susceptibles de provoquer
des expériences et des créations personnelles et/ou
collectives,
• nous ajoutons dans ces environnements des
contraintes spécifiques (parfois au cours de la résolution),
• nous observons et interagissons avec les
propositions faites par les élèves.
20. Thierry Dias – juillet 2014
Le choix de l'espace et de la géométrie
Pour devenir géométrique, l'a priori de l'espace sensible
(l'espace représentatif) doit être idéalisé. Or, bien
qu'empiriquement contraint, ce procès d'idéalisation est
empiriquement (et expérimentalement) indécidable. Il
relève d'une faculté formelle et a priori d'abstraction
intellectuelle qui est autonome relativement à l'espace
sensible.
(Petitot, 1987).
21. Thierry Dias – juillet 2014
le choix d'un travail dans l'espace :
-pour échapper à l'emprise du formalisme
numérique,
-pour aider au passage du local au global
(facilitation des processus de généralisation),
-pas de formalisme préalable prégnant.
22. Thierry Dias – juillet 2014
exemple 1 :
Construire en grand
originalité de la situation : ses variables de grandeur
(dimension 3, longueur et aire)
choses : baguettes, connecteurs, ficelle
objets : plan, angles, symétries, limite
tâche expérimentale : construire, observer, anticiper,
comprendre
des fuzzy
constructions
des fuzzy
constructions
23. Thierry Dias – juillet 2014
L'expérimentation consiste à intervenir,
anticiper, transformer, vérifier dans une
chronologie d'actes qui appartient à chaque
sujet mais qui s'interpellent constamment.
24. Thierry Dias – juillet 2014
montrer, désigner, expérimenter les choses qui peuvent
être les modélisations des objets mathématiques idéaux
Construire en grand: varier les registres de
représentation
25. Thierry Dias – juillet 2014
La variation et la mise en lien des registres
de représentations des objets
géométriques est susceptible de révéler les
connaissances et les aptitudes des
apprentis mathématiciens (élèves et/ou
enseignants).
26. Thierry Dias – juillet 2014
l’enjeu spatial et corporel dans la construction
des connaissances géométriques
à la rencontre des objets géométriques via la
catégorisation et la mise en réseau des connaissances
réel
partagé
réel
partagé
27. Thierry Dias – juillet 2014
Construire en grand: pour faire des expériences
différentes, pour exprimer et changer son point de vue.
28. Thierry Dias – juillet 2014
exemple 2 :
paver l'espace avec uniquement les solides
platoniciens
originalité de la situation : son ancrage culturel et
esthétique
choses : enveloppes, boites
objets : plan, angles, symétries, limite
tâche expérimentale : explorer, mettre en relation
30. Thierry Dias – juillet 2014
thierry.dias@hepl.ch
http://perso.orange.fr/dias.thierry
thierry.dias@hepl.ch
http://perso.orange.fr/dias.thierry
Notas del editor
Sens : émergence, reconnaissance et mise en relation
aussi bien au niveau des représentations que des traitements qui opèrent sur elles.
Les règles permettent le dépassement de la juxtaposition des expériences naissance et compréhension des invariants.
Nous inscrivons nos recherches dans l'idée d'un processus dynamique; d'une dialectique reliant le sensible au théorique (Dias, 2009). La réalité peut s'envisager comme un univers de significations possible, qu'elle soit objective ou seulement de pensée. Ainsi, la notion de réel perçu nous paraît limitative et nous lui préférons celle de réel partagé (Lelong, 2004) dont le point de départ n'est pas forcément sensible. A minima, la seule volonté de faire, l'intention de réalisation de quelque chose est déjà une manifestation de réalité. Ce réel est dit partagé car il est à replacer dans le cadre spécifique d'une communauté d'individus (d'élèves par exemple si on s'en tient au contexte scolaire) qui collaborent dans leurs actes et leurs mots en vue de catégorisations permettant l'élaboration de concepts (Descaves, 1992).
Les mathématiques que font les élèves ne sont pas celles qui sont prescrites par les enseignants, leur rapport aux choses dépendent de leurs connaissances préalables, de leur expériences passées et des invariants qu'ils sont susceptibles de reconnaître dans la situation. Pour que les choses qu'ils expérimentent soient liées aux objets mathématiques qui les modélisent, il faut un processus (schéma de Petitot/Descaves).
L'action (agir qui transforme) est une chose à proprement parler.
Conne : la situation du côté du savoir (vs/ connaissance du côté de l'expérience)
Le divers empirique dont nous parlons doit se comprendre comme un ensemble d'éléments symboliques d'abord mis à disposition des élèves, mais également progressivement enrichi par les actions et les expressions langagières qui les accompagnent. Phénomènes et faits sont le substrat de cette diversité empirique qui ne se limite donc pas aux objets réels puisqu'il s'étend aux expériences de pensée toujours envisageables dans de tels contextes d'apprentissage.
Nous nous accordons à dire que l'existence des objets mathématiques relève pour partie des interprétations que les sujets en font : les élèvent agissent sur des signes, sur du matériel et éventuellement en parlent. Le professeur qui sait des choses sur ces actes ou ces mots décide (ou non) de qualifier de mathématique ces actes et ces mots, et ainsi participe au processus d'exhibition des savoirs.
Les règles permettent le dépassement de la juxtaposition des expériences naissance et compréhension des invariants.
Les tâches que nous mettons à disposition des élèves relèvent selon nous de la terminologie de situations puisque ce sont des environnements matériels et symboliques adaptés suscitant des relations et des interactions entre les protagonistes. On peut raisonnablement parler de situations d'apprentissages car elles sont reproductibles et permettent à moyen terme l'acquisition ou pour le moins l'utilisation de connaissances. Du fait de leur problématisation, les tâches comportent à la fois un certain nombre de contraintes (par exemple des questions) mais également des ressources permettant leur résolution. Le rôle de l'enseignant accompagnateur relève le plus souvent d'un étayage discret et adapté (Dias & Tièche, 2012) aux difficultés des élèves, et doit garantir essentiellement l'absence de décrochage définitif dans la résolution des problèmes rencontrés.
Nous pouvons résumer cela en trois temps :
nous proposons aux élèves des milieux matériels (sémiotiques) spécifiques et adaptés nous paraissant susceptibles de provoquer des expériences et des créations personnelles et/ou collectives,
nous ajoutons parfois dans ces environnements des contraintes spécifiques au cours de la résolution,
nous observons et interagissons avec les propositions faites par les élèves.
Nous ne faisons pas référence exclusivement à la terminologie de situation telle qu'elle est utilisée par Brousseau (1998) dans la théorie des situations didactiques, car nous n'emportons pas systématiquement l'ensemble des quatre phases chronologiques que sont l'action, la formulation, la validation et l'institutionnalisation. Nous limitons également l'étude environnementale de nos situations au domaine de la classe du fait de la complexité accrue à la fois des rôles institutionnels dans le cadre de l'enseignement spécialisé mais également des parcours personnels des élèves tant la mixité des handicaps est aujourd'hui de mise dans les classes.