1. PhÇn 2 Néi dung
I. Sai lÇm phæ biÕn cña häc sinh khi gi¶i to¸n t×m giíi h¹n.
1. C¸c vÝ dô ®iÓn h×nh
Trªn c¬ së kh¶o s¸t thùc tÕ ®èi víi häc sinh hai líp 12A2, 12A4 tr-
êng THPT Minh Khai – Quèc Oai – TP Hµ Néi vµo ®Çu n¨m häc 2008 –
2009. T«i ®· tæng hîp ®îc nh÷ng sai lÇm cã tÝnh phæ biÕn cña häc
sinh khi gi¶i to¸n t×m giíi h¹n th«ng qua c¸c vÝ dô sau:
1 + 2 + 3 + ...... + n
VÝ dô 1: T×m L = lim
n2
1 2 3 1
? Ta cã: L = lim 2
+ lim 2 + lim 2 + .... + lim = 0 + 0 + 0 + ... + 0 = 0.
n n n n
! Nhí r»ng ®Þnh lÝ vÒ c¸c phÐp to¸n giíi h¹n chØ ph¸t biÓu cho h÷u h¹n
sè h¹ng. Lêi gi¶i trªn ®· ¸p dông cho tæng v« h¹n c¸c sè h¹ng nªn dÉn
®Õn sai lÇm.
n(n + 1) 1 + 2 + 3 + ...... + n n(n + 1)
Lêi gi¶i ®óng lµ: Ta cã: 1 + 2 + 3 + ....n = ⇒ =
2 n2 2n 2
n(n + 1) 1 1  1
VËy L = lim 2
= lim  + ÷ = .
2n  2 2n  2
Chó ý GV cã thÓ ®a ra nghÞch lÝ ®Ó chØ ra r»ng c¸c phÐp to¸n
vµ quy t¾c ®¹i sè kh«ng ®ñ cho viÖc nghiªn cøu c¸c quy tr×nh v« h¹n:
NghÞch lÝ “1 = 0”.
XÐt S = 1 – 1 + 1 – 1 + ……..+ 1 – 1 + ….. .
Ta cã: S = (1 - 1) + (1 - 1) + ……..+(1 - 1)+ …. = 0 + 0 + ....+ 0 + …= 0
(1)
MÆt kh¸c
1

2. S = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + …+(-1 + 1) + … = 1 + 0 + 0+ …+ 0 +… = 1
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: 1 = 0 (!)
Ghi chó: KÝ hiÖu ? : Lêi gi¶i cã sai lÇm. ! : Ph©n tÝch vµ chØ
ra sai lÇm.
sin n
VÝ dô 2: T×m lim
n
sin n
? Ta cã d·y sè (un) víi un = lµ d·y kh«ng t¨ng kh«ng gi¶m do d·y sè un =
n
sin n
sinn kh«ng t¨ng kh«ng gi¶m. Nªn giíi h¹n lim kh«ng tån t¹i
n
! HS thêng m¾c sai lÇm lµ d·y sè kh«ng ®¬n ®iÖu th× kh«ng cã giíi h¹n.
Tuy nhiªn trong VÝ dô 1 cñng cè ®Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0 ®· cã
d·y sè ®an dÊu cã giíi h¹n. ë VÝ dô nµy GV cÇn híng dÉn HS nh sau:
sin n 1 1
Ta cã: un = ≤ v× - 1 ≤ sinn ≤ 1 vµ lim = 0
n n n
sin n
Suy ra lim un = 0 ⇒ lim n = 0
Ta ®· sö dông nguyªn lÝ “kÑp”, tuy nhiªn kh«ng cÇn ph¸t biÓu häc sinh
1
vÉn hiÓu ®îc. Khi gÆp giíi h¹n lim x sin HS sÏ kh«ng m¾c sai lÇm.
x→0 x
VÝ dô 3: T×m lim( 1 − x + x − 1)
x →1
? Ta cã: lim( 1 − x + x − 1) = lim 1 − x + lim x − 1 = 0 + 0 = 0
x →1 x →1 x →1
! HS m¾c sai lÇm lµ do cha hiÓu râ ®Þnh nghÜa giíi h¹n cña hµm sè t¹i
mét ®iÓm. Sai lÇm ë chç hµm sè f(x) cã tËp x¸c ®Þnh lµ D = {1} suy ra
kh«ng cã d·y (xn ) nµo thuéc D {1}. Nªn giíi h¹n trªn kh«ng tån t¹i. Nguyªn
2

3. nh©n sai lÇm nµy cã thÓ lµ do c¶ hai phÝa GV vµ HS ®Òu kh«ng chó
träng ®Õn lÝ thuyÕt: GV cha chó ý träng t©m – HS thêng kh«ng häc kÜ
®Þnh nghÜa tríc khi lµm bµi tËp:
2 x 2 + 3x − 2
VÝ dô 4: T×m lim
x →−2 − x 2 − x + 2
3 2
2− − 2
2 x 2 + 3x − 2 x x = −2
? Ta cã: xlim2 2 = lim
→− − x − x + 2 x →−2 1 2
−1 + + 2
x x
! Lêi gi¶i trªn m¾c sai lÇm ë chè nhÇm lÉn x → + ∞ vµ x → -2. PhÇn
nhiÒu HS ®Æc biÖt lµ HS cã häc lùc yÕu vµ trung b×nh m¾c thãi quen
kh«ng xem xÐt kÜ bµi tríc khi lµm, khi thÊy d¹ng “h¬i gièng” lµ ®· véi ¸p
dông
Lêi gi¶i ®óng lµ:
2 x 2 + 3x − 2 ( x + 2)(2 x − 1) 2 x − 1
Ta cã: = = víi x ≠ -2
− x 2 − x + 2 −( x + 2)( x − 1) − x + 1
2 x 2 − 3x − 2 2x −1 5
Nªn lim = = xlim2
→− − x + 1
=− .
x →−2 − x + x + 2
2
3
VÝ dô 5: T×m xlim ( − x + 3 x − 2)
3 2
→+∞
Ta cã: lim ( − x 3 + 3 x 2 − 2) =
? x →+∞
3 2 3 2
lim x 3 (−1 + 2
− 3 ) = lim x 3 . lim (−1 + 2 − 3 ) = −∞
x →+∞ x x x →+∞ x →+∞ x x
Tuy ¸p dông ®óng quy t¾c vµ cho ra kÕt qu¶ ®óng nhng xlim x = +∞
3
!
→+∞
3 2
nªn kh«ng cã phÐp to¸n xlim x . xlim ( −1 + − ) . HS ®· ¸p dông sai ®Þnh
3
→+∞ →+∞ x 2 x3
lÝ !
Lêi gi¶i ®óng lµ:
3

4. 3 2
Do xlim x = +∞ vµ xlim (−1 + 2 − 3 ) = −1 . Nªn xlim (− x + 3x − 2) =- ∞ .
3 3 2
→+∞ →+∞
→+∞ x x
2 x − x2 + 1
VÝ dô 6: T×m L= lim
x →−∞ x +1
1
2 − 1+
2x − x + 1 2
x2 = 1
? Ta cã: lim = lim
x →−∞ x +1 x →−∞ 1
1+
x
2x − x2 + 1
! Lêi gi¶i trªn ®· chia c¶ tö vµ mÉu cña ph©n thøc cho x ®Ó
x +1
∞ x2 + 1 1
khö d¹ng v« ®Þnh , nhng sai lÇm khi viÕt = 1 + 2 , chØ viÕt
∞ x x
®îc khi x > 0 hay khi xÐt giíi h¹n x → + ∞
Lêi gi¶i ®óng lµ: Do x < 0 th× x = − x . Nªn:
1
 1   1  2 + 1+ 2
2 x − x 2 1 + 2 ÷ 2 x − x 1 + 2 ÷ x =3
2 x − x2 + 1  x   x  = xlim 1
.
lim = lim = lim →−∞
1+
x →−∞ x +1 x →−∞ x +1 x →−∞ x +1 x
VÝ dô 7: T×m xlim x − x + 1
→−∞
2
( )
?
→−∞
(
Ta cã: xlim x − x 2 + 1 = xlim
→−∞
) ( x − x 2 + 1)( x + x 2 + 1)
x + x2 + 1
= lim
x →−∞
−1
x + x2 + 1
=0.
! Lêi gi¶i trªn còng m¾c sai lÇm nh VÝ dô 6 ë trªn
Lêi gi¶i ®óng lµ:
(
x →−∞
) 
x →−∞ 

1 
x ÷ x →−∞ 



1 
lim x − x 2 + 1 = lim  x − x 1 + 2 ÷ = lim x 1 + 1 + 2 ÷ = −∞
x ÷
 1 
( Do xlim x = −∞; xlim  1 + 1 + 2 ÷ = 2 )
→−∞ 
→−∞
 x ÷
−2 x + 1
VÝ dô 8: T×m lim −
x →1 x −1
4

5. −2 x + 1 3 3
? lim
Ta cã: x→1 = =−
−
x −1 −2 2
!
HS nhÇm lÉn gi÷a 1- vµ - 1
Lêi gi¶i ®óng lµ:
Ta cã: lim(−2 x + 1) = −2.1 + 1 = −1 ; lim( x − 1) = 0 vµ x- 1 > 0 ⇔ x > 1
x →1 −
x →1 −
−2 x + 1
Nªn lim =- ∞ (tö lu«n ©m, mÉu d¬ng).
x →1− x −1
x+2
VÝ dô 9: T×m lim +
x →−3 x + 4x + 3
2
Ta cã: xlim ( x + 2) = −1 ; xlim ( x + 4 x + 3) = 0 vµ
2
? + +
→−3 →−3
x+2
víi x > -3 ta chän x = 0 th× x2 +4x +3 > 0. Suy ra lim =- ∞
x →−3+ x2 + 4x + 3
!
Sai lÇm ë ®©y lµ xÐt sai dÊu cña mÉu x 2 + 4x + 3. Nguyªn nh©n HS
quen nhÈm dÊu (theo ph¬ng ph¸p kho¶ng) chØ ®Ó ý ®Õn nghiÖm x = -
3 mµ kh«ng chó ý ®Õn nghiÖm x = - 1. §Ó kh¾c phôc sai lÇm nµy GV
cÇn yªu cÇu HS nªn xÐt dÊu cÈn thËn.
Lêi gi¶i ®óng lµ:
Ta cã : xlim ( x + 2) = −1 < 0; xlim ( x + 4 x + 3) = 0 vµ
2
+ +
→−3 →−3
x2 + 4x +3 < 0 ⇔ -3 < x < - 1 suy ra x ∈ K =(-3 ;- 1) th× x2 +4x +3 < 0.
x+2
VËy lim+ = + ∞.
x →−3 x + 4x + 3
2
2. Tæng hîp nh÷ng sai lÇm vµ biÖn ph¸p kh¾c phôc
Nh ®· ph©n tÝch nh÷ng sai lÇm vµ nguyªn nh©n cña nh÷ng sai
lÇm cña häc sinh, tæng hîp l¹i ta nhËn ®îc nh÷ng sai lÇm cã tÝnh phæ
biÕn cña häc sinh lµ:
5

6. - VËn dông sai ®Þnh nghÜa, ¸p dông sai ®Þnh lÝ vµ quy t¾c
vÒ giíi h¹n
- KÜ n¨ng biÕn ®æi ®¹i sè cßn m¾c sai lÇm c¬ b¶n
Nh÷ng sai lÇm trªn cã nguyªn nh©n c¬ b¶n lµ HS cha hiÓu râ
®Þnh nghÜa, cha n¾m v÷ng c¸c ®Þnh lÝ, c¸c quy t¾c, mµ chØ ¸p dông
nã mét c¸ch m¸y mãc vµ thiÕu tÝnh cÈn thËn. Mét sè em tr×nh bµy lêi
gi¶i cha khoa häc vµ cßn m¾c lçi kÝ hiÖu.
Trªn c¬ së ph©n tÝch trªn, cã thÓ ®a ra mét sè biÖn ph¸p kh¾c
phôc nh:
- ChuÈn bÞ kÜ bµi gi¶ng, kiÓm tra kiÕn thøc vµ kÜ n¨ng
cña häc sinh th«ng qua nh÷ng bµi tËp c¬ b¶n mµ dÔ m¾c sai lÇm.
- KÞp thêi uèn n¾n nh÷ng sai lÇm mµ häc sinh gÆp ph¶i.
- Nghiªn cøu kÜ ph¬ng ph¸p d¹y häc c¸c t×nh huèng ®iÓn
h×nh: d¹y ®Þnh nghÜa, kh¸i niÖm, ®Þnh lÝ, quy t¾c vµ ¸p dông phï hîp
cho tõng néi dung, tõng ®èi tîng häc sinh.
6

7. II. gîi ý ph¬ng ph¸p d¹y häc mét sè t×nh huèng vÒ giíi h¹n
D¹y bµi 1 Giíi h¹n cña d·y sè
T×nh huèng 1: D¹y häc ®Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0
§a ra t×nh huèng thùc tÕ. Mét mòi tªn xuÊt ph¸t tõ B b¾n tíi ®Ých
A theo mét ®êng th¼ng. §Æt ®o¹n AB t¬ng øng víi 1 ®¬n vÞ, ta chia
®o¹n AB theo n phÇn th× khi mòi tªn tiÕn tíi A kho¶ng c¸ch tõ mòi tªn
A B
1 1 1
0 1
n 3 2
1 1 1 1
®Õn A cã thÓ cho t¬ng øng lµ: 1, ; ; ;..... ;..... .
2 3 4 n
1
Mòi tªn cµng gÇn A th× cµng nhá tøc lµ n cµng lín vµ ngîc l¹i
n
1
V× ≠ 0, víi mäi n ∈ N * . Nªn khi mòi tªn tíi A th× kho¶ng c¸ch tõ mòi tªn
n
1
®Õn A b»ng 0 tøc lµ ph¶i tiÕn tíi 0 khi ®ã n tiÕn tíi v« cùc (+ ∞ )
n
Xem H§ 1 (SGK - tr112). Yªu cÇu HS lµm theo H§ 1.
1
Ta cã d·y sè (un) = dÇn tíi 0 khi n dÇn tíi d¬ng v« cùc. Ta viÕt
n
1 1 1
lim = 0 . T¬ng tù víi d·y vn = - ta còng cã lim (− ) = 0
n →+∞ n n n →+∞ n
Ta cã ®Þnh nghÜa sau:
§Þnh nghÜa 1 (SGK): Ta nãi d·y sè (un) cã giíi h¹n lµ 0 khi n dÇn tíi d¬ng
v« cùc, nÕu un cã thÓ nhá h¬n mét sè d¬ng bÐ tuú ý, kÓ tõ sè h¹ng
nµo ®ã trë ®i.
7

8. KÝ hiÖu : nlim un = 0 hay un → 0 khi n → + ∞ . Ta viÕt lim un = 0.
→+∞
Nh vËy, (un) cã giíi h¹n lµ 0 khi n → +∞ nÕu un cã thÓ gÇn 0 bao nhiªu
còng ®îc, miÔn lµ n ®ñ lín.
Qua H§ 1 vµ VÝ dô 1, gi¸o viªn cÇn lu ý cho HS r»ng d·y (un) cã
thÓ lµ d·y kh«ng ®¬n ®iÖu vµ cã thÓ dÇn tíi 0 tõ bªn tr¸i, hay tõ bªn
ph¶i, hoÆc tõ c¶ hai phÝa.
T×nh huèng 2: D¹y häc c¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n h÷u h¹n cña d·y sè:
C¸c giíi h¹n ®Æc biÖt vµ c¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n ®îc thõa nhËn,
kh«ng chøng minh. Do ®ã, GV kh«ng nªn mÊt thêi gian cho HS chÐp l¹i
®Þnh lÝ mµ nªn dµnh thêi gian thÝch ®¸ng cho viÖc nhÊn m¹nh c¸c giíi
h¹n ®Æc biÖt, tr×nh bµy c¸c vÝ dô vµ c¸c bµi tËp ¸p dông.
GV nªn cho thªm vÝ dô sau tríc khi cho HS nghiªn cøu VÝ dô 3, VÝ
dô 4
VÝ dô: T×m c¸c giíi h¹n
 n 2 − 2n + 3   2 3 2 3
a) lim  2 ÷ = lim  1 − + 2 ÷ = lim 1 – lim + lim 2 = 1 – 0 – 0 =
 n   n n  n n
1
1  1   1  1
b) lim 2 + = 2 do  2 + 2 ÷ ≥ 0, ∀ n vµ lim  2 + 2 ÷ = lim 2 + lim 2 = 2.
n2  n   n  n
T×nh huèng 3: D¹y §Þnh lÝ 2 (quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc)
GV cÇn gióp HS vËn dông ®óng quy t¾c, v× cã häc sinh sÏ tr×nh
bµy v¾n t¾t nh sau:
3 2 1  2 1
lim ( −n + 2n − 1) =lim n  −1 + 2 − ÷=lim n .lim  − 1 + 2 − ÷ = +∞.(− 1) = −∞
3 3
 n n  n n
MÆc dï kÕt qu¶ ®óng song l¹i kh«ng ®óng ®Þnh lÝ 1 v× ®Þnh lÝ
1 chØ ¸p dông cho c¸c giíi h¹n h÷u h¹n. §Æc biÖt kh«ng cã phÐp to¸n víi
8

9. v« cùc. §©y lµ mét trong nh÷ng sai lÇm phæ biÕn cña häc sinh. GV cÇn
lu ý, theo SGK tríc cã viÕt nlim (−1) n = ∞ . Nhng víi SGK míi giíi h¹n nµy
n
→+∞
kh«ng tån t¹i.
9

10. D¹y bµi 2 Giíi h¹n cña hµm sè
GV nªn ®Æt vÊn ®Ò vµo bµi häc theo SGV lµ:
GV cã thÓ khai th¸c h×nh vÏ ngay díi bµi häc ®Ó ®Æt vÊn ®Ò vµo
bµi, b»ng c¸ch lµm râ môc tiªu tæng qu¸t mµ bµi häc nh»m tíi, ®ã lµ
nghiªn cøu mèi qua hÖ gi÷a sù biÕn thiªn cña ®èi sè vµ biÕn thiªn cña
c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng cña hµm sè. Cô thÓ, nghiªn cøu xem nÕu biÕn sè x
lÊy nh÷ng gi¸ trÞ lËp thµnh mét d·y sè dÇn tíi a (hay + ∞ , - ∞ ) th× d·y sè
t¬ng øng cña hµm sè y = f(x) thay ®æi ra sao.
T×nh huèng 4: §Þnh nghÜa Giíi h¹n h÷u h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm
GV cÇn dµnh thêi gian cho HS lµm H§ 1 tríc khi ®Þnh nghÜa
GV cÇn cho HS ®äc kÜ, ph¸t biÓu chÝnh x¸c ®Þnh nghÜa, cÇn lu
ý häc sinh r»ng K cã thÓ cã c¸c d¹ng nh SGK ®· nªu vµ gi¶ thiÕt “ hµm
sè x¸c ®Þnh trªn kho¶ng K” kh«ng cã nghÜa K lµ tËp x¸c ®Þnh cña nã
mµ K cã thÓ chØ lµ mét tËp con cña tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè. T¬ng tù,
nÕu nãi “ hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn K {x0}” th× ph¶i hiÓu r»ng nã cã
thÓ x¸c ®Þnh t¹i x0 hoÆc kh«ng x¸c ®Þnh t¹i ®iÓm nµy. §Æc biÖt chó ý
K{x0} ≠ ∅ , ®Ó sau nµy HS khái m¾c sai lÇm cho giíi h¹n sau tån t¹i:
lim( x − 1 + 1 − x ) = 0 ? Giíi h¹n nµy kh«ng tån t¹i v× tËp x¸c ®Þnh cña hµm
x →1
sè lµ D = {1} nªn kh«ng cã d·y sè (xn) nµo v× khi ®ã K{1} = ∅ .
T×nh huèng 5: D¹y ®Þnh nghÜa giíi h¹n mét bªn
§Ó HS hiÓu râ h¬n vµ dÔ nhí §Þnh nghÜa 2. Khi ph©n tÝch
®Þnh nghÜa GV nªn biÓu diÔn kh¸i niÖm “bªn tr¸i, bªn ph¶i” khi x → x0
trªn trôc sè
x xo- x xo+
xo
Bªn tr¸i x o Bªn ph¶i x o
10

11.  x2 − 2x − 2 x < 3
Thay VÝ dô 4 b»ng VÝ dô nµy: Cho hµm sè f ( x) = 
 −2 x + 10 x ≥ 3
T×m x→3 f ( x),
lim −
lim f ( x) vµ lim f ( x) (nÕu cã)
x → 3+ x→3
GV nªn chuÈn bÞ b¶ng phô sau:
XÐt hµm sè
 x2 − 2 x − 2 x < 3
f ( x) = 
 −2 x + 10 x ≥ 3
Ta cã: x→3 f ( x) = x →3 ( x − 2 x − 2) = 1
lim −
lim 2 −
lim f ( x) = lim (−2 x + 10) = 4
x → 3+ +
x→3
V× x→3 f ( x) ≠ xlim f ( x)
lim −
→3 +
Nªn x→3 f ( x) kh«ng tån t¹i.
lim
T×nh huèng 6: D¹y giíi h¹n v« cùc + ∞ vµ - ∞ .
GV cÇn lu ý cho HS r»ng: §èi víi giíi h¹n lim f ( x) , ta xÐt nã khi
x →+∞
f(x) cã tËp x¸c ®Þnh chøa kho¶ng (a; + ∞ ). Khi ®ã viÖc t×m giíi h¹n nh
t×m giíi h¹n cña d·y sè. §èi víi giíi h¹n xlim f ( x) , ta xÐt nã khi f(x) cã tËp
→−∞
x¸c ®Þnh chøa kho¶ng (- ∞ ; a). ViÖc t×m giíi h¹n nµy kh¸c víi viÖc t×m
giíi h¹n cña d·y sè.
Khi d¹y néi dung nµy GV cÇn lu ý mét sè sai lÇm thêng gÆp sau
x+3
a) lim = 0 (kh«ng chó ý ®Õn tËp x¸c ®Þnh)
x →−∞ 2x + 1
2x − 3
b) xlim = 2 (kh«ng chó ý lµ khi x → - ∞ th× x < 0)
→−∞
x2 + x − 1
T×nh huèng 7: D¹y quy t¾c vÒ giíi h¹n v« cùc
GV cÇn lu ý, cã nhiÒu ®Þnh lÝ thÓ hiÖn mèi liªn hÖ gi÷a giíi h¹n
h÷u h¹n L vµ giíi h¹n ±∞ , hoÆc gi÷a c¸c giíi h¹n ±∞ . Tuy nhiªn SGK
11

12. kh«ng tr×nh bµy hÕt tÊt c¶ c¸c ®Þnh lÝ nµy, mµ chØ giíi thiÖu mét sè
quy t¾c cÇn thiÕt nhÊt cho viÖc d¹y häc gi¶i tÝch líp 12. Thùc chÊt ®ã
lµ c¸c ®Þnh lÝ, nhng ®Ó tr¸nh ph¸t biÓu rêm rµ, chóng ®îc tr×nh bµy díi
d¹ng c¸c quy t¾c. C¸c quy t¾c nµy còng chØ ®îc tr×nh bµy víi mét tr-
êng hîp ®¹i diÖn x → x0. Kh«ng nªn yªu cÇu HS chÐp l¹i c¸c b¶ng quy
t¾c nµy, mµ tËp trung vµo viÖc sö dông c¸c kÕt qu¶ trong b¶ng ®Ó
gi¶i quyÕt c¸c vÝ dô vµ gi¶i c¸c bµi to¸n cã liªn quan. §Æc biÖt chó ý
vÒ quy t¾c t×m giíi h¹n cña th¬ng hai hµm sè khi x → x0, gi¶ thiÕt chÝnh
x¸c ph¶i lµ g(x) > 0 (hay g(x)<0) víi mäi x thuéc l©n cËn nµo ®ã cña
®iÓm x0 . Cßn nãi “dÊu cña g(x) xÐt trªn mét kho¶ng K nµo ®ã ®ang
tÝnh giíi h¹n, víi x ≠ x0 ” lµ kh«ng chÝnh x¸c. Nhng v× lÝ do s ph¹m, SGK
kh«ng tr×nh bµy chÆt chÏ gi¶ thiÕt nµy. GV kh«ng nªn ®i s©u vµo
nh÷ng khÝa c¹nh phøc t¹p cña nã mµ chØ cÇn gi¶i thÝch th«ng qua vÝ
dô cô thÓ.
0 ∞
T×nh huèng 8: D¹y quy t¾c khö d¹ng v« ®Þnh ; ; ∞ − ∞;0.∞
0 ∞
GV cÇn cho HS luyÖn gi¶i nh÷ng bµi tËp ®¬n gi¶n ®Ó HS n¾m
®îc quy t¾c khö th«ng qua ®ã. Lu ý d¹ng 0. ∞ cã thÓ ®a vÒ mét trong
0 ∞
hai d¹ng ;
0 ∞
T×nh huèng 9: D¹y quy t¾c thªm bít khi t×m giíi h¹n
Th«ng qua hai vÝ dô sau häc sinh kh¸, giái cã thÓ cã ®îc quy t¾c
0
thªm bít ®èi víi giíi h¹n d¹ng v« ®Þnh . Chó ý nÕu t¸ch ®îc ph¶i ®¶m
0
0
b¶o hai giíi h¹n ®ã còng cã d¹ng v« ®Þnh .
0
x +1− 3 x + 7
VÝ dô 1: T×m lim
x →1 x −1
x +1− 3 x + 7 x −1+ 2 − 3 x + 7  2− 3 x+7 
lim = lim = lim 1 + ÷
x →1 x −1 x →1 x −1 x →1  x −1 ÷
 
12

13. 2− 3 x+7 8 − ( x + 7)
Do lim = lim
x →1 x −1 x →1 ( x − 1)(4 + 2 3 x + 7 + ( 3 x + 7) 2 )
1− x −1 −1
= lim = lim =
x →1 ( x − 1)(4 + 2 x + 7 + ( x + 7) )
3 3 2 x →1 (4 + 2 x + 7 + ( x + 7) )
3 3 2
12
x +1− 3 x + 7 1 11
Nªn lim =1 – = .
x →1 x−2 12 12
2 x + 1 − 3 1 + 3x
VÝ dô 2: T×m lim
x→0 x2
2 x + 1 − 3 1 + 3x
Ta cã lim
x→0 x2
2 x + 1 − ( x + 1) + ( x + 1) − 3 1 + 3 x  2 x + 1 − ( x + 1) ( x + 1) − 3 1 + 3 x 
= lim = lim  + ÷
x→0 x2 x →0  x2 x2 ÷
 
B»ng c¸ch nh©n liªn hîp ta ®îc:
2 x + 1 − ( x + 1) −1 1
lim 2
= lim =−
x→0 x x→0 2 x + 1 + ( x + 1) 2
x + 1 − 3 1 + 3x x+3
lim = lim =1
( )
2 2
x→0 x x→0
( x + 1) 2 + ( x + 1) 3 1 + 3 x + 3
1 + 3x
2 x + 1 − 3 1 + 3x − 1 + 1 = 1
VËy lim = .
x→0 x2 2 2
Chó ý: Ngoµi viÖc thªm bít h»ng sè ta cã thÓ thªm bít ®èi sè x.
Tuy nhiªn khi thªm bít vµ biÕn ®æi ta ph¶i ®¶m b¶o ®óng quy t¾c vµ
®Þnh lÝ.
Th«ng qua ho¹t ®éng t×nh huèng nµy häc sinh ®îc rÌn luyÖn kÜ
n¨ng gi¶i to¸n, rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t duy: ph©n tÝch, tæng hîp, quy l¹
vÒ quen, gãp phÇn ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh.
III. KÕt qu¶ ®èi chøng
1. Sè liÖu kh¶o s¸t
§èi tîng kh¶o s¸t lµ: 45 häc sinh líp 12A2, 40 häc sinh líp 12A4 ban
tù nhiªn trêng THPT Minh Khai vµo ®Çu k× 1 n¨m häc 2008 – 2009.
§Ò kiÓm tra 1 (thêi gian 45 phót):
Bµi 1 (3 ®iÓm). T×m giíi h¹n cña c¸c d·y sè sau:
13

14. 2n 2 + 3n − 2 1 + 2 + 3 + ...... + n
a) lim b) lim
−n2 − n + 2 n2
Bµi 2 (3 ®iÓm). T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
2 x2 + 3x − 2 2 x − x2 + 1
a) xlim2 2
→− − x − x + 2
b) lim
x →−∞ x +1
Bµi 3 (4 ®iÓm). T×m c¸c tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ mçi hµm sè sau:
−2 x + 1 x+2
a) y = b) y =
x −1 x + 4x + 3
2
KÕt qu¶ ®îc thèng kª b»ng b¶ng sau (B¶ng 1)
§iÓm
Líp SÜ sè
Díi 5 ®iÓm Tõ 5 ®Õn díi 7 Trªn 7 ®iÓm
Líp 12A2 45 16 21 8
Líp 12A4 40 15 20 5
Trung b×nh 42,5 15,5 ≈ 20,5 ≈ (48,2%) 6,5 ≈ (15,3%)
(36,5%)
14

15. 2. KÕt qu¶ thùc nghiÖm
§èi tîng líp 11A1 Ban c¬ b¶n. Thêi gian kiÓm tra sau khi thùc hiÖn
®Ò tµi
§Ò kiÓm tra 2 (Thêi gian 45 phót)
Bµi 1 (2 ®iÓm). T×m giíi h¹n cña c¸c d·y sè sau:
2n 2 + 3n − 2 1 + 3 + 5 + ...... + 2n − 1
a) lim b) lim
3n + 2
2
n2
Bµi 2 (6 ®iÓm). T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
2 x2 + 3x − 2
a) xlim2 2
→− − x − x + 2 →−∞
(
b) xlim x + x + 1
2
)
−2 x + 1 x+2
c) lim d) lim
x →1− x −1 x →−3+ x + 4x + 3
2
Bµi 3 (2 ®iÓm). XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè sau t¹i ®iÓm x0 = 1
 4( x − 1)
 x >1
f ( x) =  x 2 + 2 x − 3

 x x ≤1
KÕt qu¶ ®îc thèng kª b»ng b¶ng sau (B¶ng 2)
§iÓm
Líp SÜ sè
Díi 5 ®iÓm Tõ 5 ®Õn díi 7 Trªn 7 ®iÓm
Líp 11A1 49 5 24 20
Tæng 49 5 ≈ (10,2%) 24 ≈ (49%) 20 ≈ (40,8%)
3. §èi chiÕu kÕt qu¶ thùc nghiÖm víi sè liÖu kh¶o s¸t
KÕt qu¶ ®¹t ®îc lµ:
VÒ ®iÓm sè kiÓm tra: Viíi hai ®Ò cã néi dung kiÕn thøc vµ yªu cÇu
vÒ kÜ n¨ng t¬ng ®¬ng, ®Ò 2 cßn cã phÇn khã h¬n. Ta thÊy râ lµ tØ lÖ
phÇn tr¨m ®¹t ®iÓm trªn trung b×nh cña líp thùc nghiÖm tréi h¬n h¼n,
®Æc biÖt lµ ®iÓm kh¸, giái.
NhËn xÐt chung: VÒ kiÕn thøc vµ kÜ n¨ng gi¶i to¸n cña líp 11A1
tréi h¬n h¼n, nh÷ng sai lÇm phæ biÕn ®· ®îc kh¾c phôc, c¸ch tr×nh
bµy khoa häc, tÝnh to¸n chÝnh x¸c h¬n. §iÒu ®ã chøng tá, c¸c t×nh
15

16. huèng d¹y häc trong ®Ò tµi ®îc ¸p dông cã hiÖu qu¶ râ rÖt. H¬n n÷a
trong giê häc, häc sinh tá ra tù gi¸c, tÝch cùc h¬n chñ ®éng n¾m b¾t
néi dung kiÕn thøc, ¸p dông c¸c ®Þnh lÝ, c¸c quy t¾c linh ho¹t vµ s¸ng
t¹o h¬n.
16

17. PhÇn 3 kÕt luËn vµ kiÕn nghÞ
I. KÕt luËn
1. Ph¸t hiÖn ®îc nh÷ng sai lÇm cã tÝnh phæ biÕn cña häc sinh khi
gi¶i to¸n t×m giíi h¹n th«ng qua nh÷ng bµi to¸n cô thÓ, qua ®ã ph©n tÝch kÜ
nguyªn nh©n sai lÇm vÒ mÆt lÝ luËn vµ kÜ n¨ng tÝnh to¸n ®Ó häc sinh
kh¾c phôc. Gi¸o viªn cã thÓ t×m trong ®ã nh÷ng ®iÒu cã Ých, nh»m gióp
HS cña m×nh c¶i tiÕn ph¬ng ph¸p häc to¸n.
2. §Ò xuÊt ph¬ng ph¸p d¹y häc mét sè t×nh huèng vÒ giíi h¹n theo
tinh thÇn ®æi míi néi dung ch¬ng tr×nh SGK vµ ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y
häc. Nh÷ng t×nh huèng ®ã ®îc ¸p dông cã hiÖu qu¶ cao trong c¸c giê d¹y
®· t¹o ®îc niÒm tù tin vµ kh¬i dËy tÝnh chñ ®éng, tÝch cùc, s¸ng t¹o cña
HS.
3. §Ò tµi cã thÓ ¸p dông cho mäi ®èi tîng häc sinh líp 11.
4. §Ò tµi ®· rót ra ®îc kinh nghiÖm cho nhiÒu gi¸o viªn d¹y to¸n,
®Æc biÖt lµ nh÷ng gi¸o viªn míi d¹y theo ch¬ng tr×nh líp 11 míi.
II. KiÕn nghÞ
1. Ban gi¸m hiÖu nhµ trêng cÇn quan t©m h¬n n÷a ®Õn ho¹t ®éng
viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm cña gi¸o viªn nh©n viªn. V× mçi s¸ng kiÕn kinh
nghiÖm lµ kÕt qu¶ t©m ®¾c cña ngêi viÕt qua mét n¨m vµ cã thÓ nhiÒu
n¨m gi¶ng d¹y hay c«ng t¸c. Mçi s¸ng kiÕm kinh nghiÖm cã hiÖu qu¶, cã
tÝnh s¸ng t¹o nã gióp cho kh«ng chØ ngêi viÕt mµ c¶ ®ång nghiÖp ®îc
n©ng cao vÒ mÆt thùc tiÔn vµ lÝ luËn.
2. C¸c tæ chuyªn m«n cÇn cã kÕ ho¹ch cô thÓ vµ thêng xuyªn tæ
chøc ho¹t ®éng chuyªn ®Ò, thao gi¶ng ®Ó trao ®æi kinh nghiÖm
chuyªn m«n vµ nghiÖp vô s ph¹m. CÇn cã buæi tæng kÕt kinh nghiÖm
sau mçi häc k×, mçi n¨m häc.
17

18. Hµ Néi, Ngµy 20/ 5/ 2009
Ngêi viÕt: NguyÔn Trung Kiªn
18