Mathametics And Music

1. Paul van derder Werf
Leiden Observatory
Sayılar Ve MüzikSayılar Ve Müzik
Dr. Vural YiğitDr. Vural Yiğit
SassoneSassone

2. EVREN VE SAYILAREVREN VE SAYILAR
 Evrendeki «Güzel» olanın temelinde acabaEvrendeki «Güzel» olanın temelinde acaba
matematiksel «Sayılar ve oranlar» mı vardır?matematiksel «Sayılar ve oranlar» mı vardır?
 Ünlü matematikçi Pisagor, (M. Ö. 570-490)Ünlü matematikçi Pisagor, (M. Ö. 570-490)
Evrenin, armonik sayılarla düzenlendiğiniEvrenin, armonik sayılarla düzenlendiğini
düşünmüştür.düşünmüştür.
 «Musica Universalis-Kürelerin müziği»,«Musica Universalis-Kürelerin müziği»,
Pisagor’un, Evrendeki uyumunu açıklamakPisagor’un, Evrendeki uyumunu açıklamak
için kullandığı bir kavramdır.için kullandığı bir kavramdır.
2

3. 3
Sisam’lı Pisagor (569 – 475 BC)Sisam’lı Pisagor (569 – 475 BC)
 Pisagor’un, matemetik
ve geometride pek çok
buluşu vardır.
 Frekanslar ve müzikal
aralıklar arasındaki
ilişkiyi deneylerle
kanıtlamıştır.
 Gezegenler arasındaki
uzaklıklar, müzikteki
seslere karşılık gelir
demektedir.

4. Müzikteki Ses AralıklarıMüzikteki Ses Aralıkları
 Müzik kuramında aralık; Sesler arasındakiMüzik kuramında aralık; Sesler arasındaki
çeşitli sayısal oranlardır. Küçük üçlü,çeşitli sayısal oranlardır. Küçük üçlü,
büyük altılı, sekizli vb. gibi.büyük altılı, sekizli vb. gibi.
 Eğer iki ses aynı anda duyuluyorsa bunaEğer iki ses aynı anda duyuluyorsa buna
«Armonik aralıklar», peş peşe duyuluyorsa«Armonik aralıklar», peş peşe duyuluyorsa
«Melodik aralıklar» deriz.«Melodik aralıklar» deriz.
 Pisagor'un en büyük başarısı müziğinPisagor'un en büyük başarısı müziğin
temelde, sayılarının orantılı aralıklarınatemelde, sayılarının orantılı aralıklarına
dayandığını keşfetmesidir.dayandığını keşfetmesidir.
4

5. RAFAEL’İN ATİNA OKULU TOBLOSURAFAEL’İN ATİNA OKULU TOBLOSU
1508-1511 tarihleri arasında Rafael tarafından yapılan1508-1511 tarihleri arasında Rafael tarafından yapılan
bu muhteşem freskte tüm zamanların ünlü düşünürleribu muhteşem freskte tüm zamanların ünlü düşünürleri
birarada görülmektedir.birarada görülmektedir.
Sol alt köşede pisagor öğrencilerine müzik öğretiyor.Sol alt köşede pisagor öğrencilerine müzik öğretiyor.

6. MÜZİK DERSİMÜZİK DERSİ
• Dikkatle bakınca,Dikkatle bakınca,
Uzun saçlıUzun saçlı
öğrencininöğrencinin
elindekielindeki
«Armonik«Armonik
sakalayı»sakalayı»
gösteren tabletigösteren tableti
görüyoruz.görüyoruz.

7. MÜZİKTEKİ ORANLARMÜZİKTEKİ ORANLAR
Armonik skalaArmonik skala
 Yunancada, müzikal oranlar;Yunancada, müzikal oranlar;
Diatessaron, diapente, diapasonDiatessaron, diapente, diapason
olarak ifade ediliyordu.olarak ifade ediliyordu.
 Romen rakamları ile; 6, 8, 9, 12,Romen rakamları ile; 6, 8, 9, 12,
müzikteki oranlarıdır.müzikteki oranlarıdır.
 En üstte,Ton anlamındaki,En üstte,Ton anlamındaki,
EPOGLOWN, kelimesiEPOGLOWN, kelimesi
görünüyor.görünüyor.
 Altta, üçgen şeklinde RomenAltta, üçgen şeklinde Romen
rakamları ile 10, gizli üçgenirakamları ile 10, gizli üçgeni
gösteriyor.gösteriyor.

8. Notaların OranlarıNotaların Oranları
 Pisagor bir telin, uzyıp kısalmasıyla çıkan seslerinPisagor bir telin, uzyıp kısalmasıyla çıkan seslerin
değiştiğini fark etmişti. Bu amaçla gitarın tek tellideğiştiğini fark etmişti. Bu amaçla gitarın tek telli
haline(Lir) benzeyen bir aleti kullanmıştır.haline(Lir) benzeyen bir aleti kullanmıştır.
 Pisagor, bu alet yardımıyla (2:1), (3:2), (4:3), (9:8)Pisagor, bu alet yardımıyla (2:1), (3:2), (4:3), (9:8)
oranlarını müzikte temel aralık olarak kabuloranlarını müzikte temel aralık olarak kabul
etmiştir.etmiştir.
 Buna göre; Do sesini veren bir telin, 15/16’ sı «si»Buna göre; Do sesini veren bir telin, 15/16’ sı «si»
sesini, 5/6’sı «la» sesini, 3/4'ü «sol» sesini, 2/3’üsesini, 5/6’sı «la» sesini, 3/4'ü «sol» sesini, 2/3’ü
«fa» sesini, 5/8 i «mi» sesini, 9/16 sı ise «re» sesini«fa» sesini, 5/8 i «mi» sesini, 9/16 sı ise «re» sesini
vermektedir.vermektedir.
8

9. Pisagor’a Göre Temel AralıklarPisagor’a Göre Temel Aralıklar
2:1→ oktav2:1→ oktav
(sekizli)(sekizli)
3:2→ Tam beşli3:2→ Tam beşli
4:3→Tam4:3→Tam
dörtlüdörtlü
9:8→ Tam ses9:8→ Tam ses
(büyük ikili)(büyük ikili)
9

10. 10
Pisagor’un AkortlarıPisagor’un Akortları
Nota AdıNota Adı AralıkAralık
CC 1/11/1 BirinciBirinci
DD 9/89/8 İkinciİkinci
EE 81/6481/64
ÜçüncüÜçüncü
FF 4/34/3 DördüncüDördüncü
NotaAdıNotaAdı AralıkAralık
GG 3/23/2 BeşinciBeşinci
AA 27/1627/16 AltıncıAltıncı
BB 243/128243/128 YedinciYedinci
CC 2/12/1 OktavOktav
Tam aralıklar 9/8 ‘e eşittir
Yarım aralıklar 256/243’e eşittir
Üçüncü aralık oldukça geniştir 81/64 ≠ 5/4!

11. 11
Bunları Klavyede GörelimBunları Klavyede Görelim
C D E F G A B C

12. Geometrici ÖklidGeometrici Öklid
 Geometri derslerinden bildiğimiz Öklid deGeometri derslerinden bildiğimiz Öklid de
müzikteki sayılarla uğraşmıştır.müzikteki sayılarla uğraşmıştır.
 Öclid (M.Ö. 300)'in müzik çalışmalarıÖclid (M.Ö. 300)'in müzik çalışmaları
temel olarak Pisagor'a dayanır, ancak ikitemel olarak Pisagor'a dayanır, ancak iki
önemli konuda birbirlerinden ayrılırlar;önemli konuda birbirlerinden ayrılırlar;
 Kurulan majör dizideki Majör 3 'lü ve Maj.Kurulan majör dizideki Majör 3 'lü ve Maj.
6'lı aralıklarda, Örneğin Do dizisinde6'lı aralıklarda, Örneğin Do dizisinde
Euclid 'in Maj. 3'lüsü 4/5=64/80 iken,Euclid 'in Maj. 3'lüsü 4/5=64/80 iken,
Pisagor için bu oran 64/81=8/9 dur.Pisagor için bu oran 64/81=8/9 dur.
12

13. Çok SeslilikÇok Seslilik
 Antik devirde dört sesin bir aradaAntik devirde dört sesin bir arada
duyulması prensibi «Tetrakord" olarakduyulması prensibi «Tetrakord" olarak
adlandırılmakta ve müzik teorisininadlandırılmakta ve müzik teorisinin
temel kuralı olarak sayılmaktadır.temel kuralı olarak sayılmaktadır.
 Böylelikle tetrakord, 6,8,9 ve 12 sayılarıBöylelikle tetrakord, 6,8,9 ve 12 sayıları
ile elde edilmiştir.ile elde edilmiştir.
 İleride değineceğimiz gibi bu sayılar bizeİleride değineceğimiz gibi bu sayılar bize
"altın oran" konusunda da oldukça ilginç"altın oran" konusunda da oldukça ilginç
örtüşmeler sunmaktadır.örtüşmeler sunmaktadır.
13

14. Leonardo Fibonacci (1175-1240)Leonardo Fibonacci (1175-1240)
 Müzik ve sayı ilişkisinde önemli yere sahipMüzik ve sayı ilişkisinde önemli yere sahip
İtalyan matematikçidir.İtalyan matematikçidir.
 Ünlü “tavşan çiftliği” problemine göre:Ünlü “tavşan çiftliği” problemine göre:
çiftlikte bir çift tavşan vardır ve bir ayçiftlikte bir çift tavşan vardır ve bir ay
geçtikten sonra bu çift bir tavşan doğurur.geçtikten sonra bu çift bir tavşan doğurur.
 Bu deneyin sonunda şu seri bulunur: 1, 1, 2,Bu deneyin sonunda şu seri bulunur: 1, 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…
 Biz bu seriyi «Fibonacci dizisi» olarakBiz bu seriyi «Fibonacci dizisi» olarak
biliyoruz.biliyoruz.
14

15. Altın OranAltın Oran Dizideki; iki ardışık sayının toplamı, bize birDizideki; iki ardışık sayının toplamı, bize bir
sonraki sayıyı, (3+5=8)sonraki sayıyı, (3+5=8)
 İki ardışık sayının birbirine oranı, hep aynıİki ardışık sayının birbirine oranı, hep aynı
sayıyı verir. (8/5=1.6)sayıyı verir. (8/5=1.6)
 Buna «Altın Oran» DiyoruzBuna «Altın Oran» Diyoruz
 Altın Oran, Fi (Altın Oran, Fi (фф)) irrasyonel bir sayıdır veirrasyonel bir sayıdır ve
ondalık sistemde değeri;ondalık sistemde değeri; «1,61803» ve«1,61803» veyaya tersitersi
olan 1/1,61803 = «0, 61803398..» dır.olan 1/1,61803 = «0, 61803398..» dır.
 Mimaride ve müzikte çeşitli dönemlerde «enMimaride ve müzikte çeşitli dönemlerde «en
15

16. Doğadaki Altın OranDoğadaki Altın Oran
 Gözümüzde canlanması açısından «A4»Gözümüzde canlanması açısından «A4»
kağıdının büyük kenarının, küçük kenarınakağıdının büyük kenarının, küçük kenarına
oranı örnek olarak verilebilir.oranı örnek olarak verilebilir.
 Doğada, biyolojik bir gerçek olarak var olanDoğada, biyolojik bir gerçek olarak var olan
altın oran, özellikle sarmallarda kendinialtın oran, özellikle sarmallarda kendini
gösterir.gösterir.
 Salyangoz ve deniz kabukları, kulak veSalyangoz ve deniz kabukları, kulak ve
kemik yapımız, papatya ve ayçiçeği gibikemik yapımız, papatya ve ayçiçeği gibi
çiçek tohumlarında görülen sarmal yapılarçiçek tohumlarında görülen sarmal yapılar
buna örnektir.buna örnektir. 16

17. 17

18. Pisagor Ve Altın OranPisagor Ve Altın Oran
 Altın oran, matematik ve sanatta, birAltın oran, matematik ve sanatta, bir
bütünün parçaları arasında, güzel olarakbütünün parçaları arasında, güzel olarak
gözlemlenen, sayısal bir oran bağıntısıdır.gözlemlenen, sayısal bir oran bağıntısıdır.
 İkiye bölünmüş bir doğru parçasında,İkiye bölünmüş bir doğru parçasında,
«Bütünün büyük parçaya oranının, büyük«Bütünün büyük parçaya oranının, büyük
parçanın küçük parçaya oranına eşitliği»parçanın küçük parçaya oranına eşitliği»
altın orandır.altın orandır.
 Pisagor’un tellerini hatırlayacak olursak,Pisagor’un tellerini hatırlayacak olursak,
12/9=8/6 eşitliği de bize altın oranı12/9=8/6 eşitliği de bize altın oranı
vermektedir.vermektedir. 18

19. Piyanoda Altın OranPiyanoda Altın Oran
 Piyano tuşları, FibonacciPiyano tuşları, Fibonacci
sayıları ve müzik arasındakisayıları ve müzik arasındaki
bağlantının büyüleyici görselbağlantının büyüleyici görsel
açıklamasına olanak sağlar.açıklamasına olanak sağlar.
 Klavyede bir oktav, 5 siyahKlavyede bir oktav, 5 siyah
ve 8 beyaz tuş olacak şekildeve 8 beyaz tuş olacak şekilde
bölünür, toplamda 13 tuşbölünür, toplamda 13 tuş
vardır.vardır.
 Beş siyah tuş biri ikili, biriBeş siyah tuş biri ikili, biri
üçlü olmak üzere iki grubaüçlü olmak üzere iki gruba
ayrılır. 2, 3, 5, 8 ve 13 birerayrılır. 2, 3, 5, 8 ve 13 birer
Fibonacci Sayısıdır.Fibonacci Sayısıdır.
19

20. Kemandaki Altın OranKemandaki Altın Oran
 Antonio Stradivarius (1644-1737)Antonio Stradivarius (1644-1737)
en ünlü keman yapımcısıdır.en ünlü keman yapımcısıdır.
 Yaptığı kemanların ölçüleri, altınYaptığı kemanların ölçüleri, altın
oranla uyumludur.oranla uyumludur.
 AB / BC ve AC / CD =AB / BC ve AC / CD = φϕφϕ**
 AD / AC =AD / AC = φφ
 AC / AB =AC / AB =φφ
 CD / BC =CD / BC =φφ
 Günümüzde yapılan kemanlarGünümüzde yapılan kemanlar
hala bu oranlara sahiptir.hala bu oranlara sahiptir.
 **ффϕϕ Fi sayısıFi sayısı
20

21. Müzikte Altın OranMüzikte Altın Oran
 Wolfgang Amadeus Mozart (1756-1791)’ınWolfgang Amadeus Mozart (1756-1791)’ın
altın oranı bildiğine inanılır.altın oranı bildiğine inanılır.
 Mozart’ın «C Major Sonat No.1» adlıMozart’ın «C Major Sonat No.1» adlı
eserindeki, 38/62=0,613 değerleri yaklaşıkeserindeki, 38/62=0,613 değerleri yaklaşık
olarak Altın Oranı vermektedir.olarak Altın Oranı vermektedir.
 Beethoven’in «5 senfonisi» matematiktekiBeethoven’in «5 senfonisi» matematikteki
altın oranla oluşturulmuş şaheserlerdir.altın oranla oluşturulmuş şaheserlerdir.
21

22. 22
Altın Oran pek çok müzikAltın Oran pek çok müzik
kompozisyonda bulunur,kompozisyonda bulunur,
çünkü zamanınçünkü zamanın
bölünmesiyle ilgili birbölünmesiyle ilgili bir
“do al” yoldur.ğ“do al” yoldur.ğ

23. Müzikte Altın OranMüzikte Altın Oran
 Hendel’in(1685-1759) “Hallelujah”adlıHendel’in(1685-1759) “Hallelujah”adlı
eserinde altın oran vardır. Soloeserinde altın oran vardır. Solo
trompetlerin girişi "Kings of kings",trompetlerin girişi "Kings of kings",
57. ve 58. ölçülerde başlamaktadır.57. ve 58. ölçülerde başlamaktadır.
 Claude Debussy (1862-1918) de yapıtlarında,Claude Debussy (1862-1918) de yapıtlarında,
altın oranı bilinçli olarak uygulamıştı.altın oranı bilinçli olarak uygulamıştı.
 «La Mer-Deniz» adlı bestesi buna tam bir«La Mer-Deniz» adlı bestesi buna tam bir
örnek oluşturur.örnek oluşturur.
23

24. Diğer BestecilerDiğer Besteciler
 Béla Bartók (1881-1945), FibonnacciBéla Bartók (1881-1945), Fibonnacci
sayılarını kullanarak, besteleri için dizelersayılarını kullanarak, besteleri için dizeler
oluşturmuştur.oluşturmuştur.
 Alman klasik müzik bestecisi Bach’ın (1685-Alman klasik müzik bestecisi Bach’ın (1685-
1750) da eserlerinde altın oran kullanmıştır.1750) da eserlerinde altın oran kullanmıştır.
 Fransız besteci ve piyanist Erik SatieFransız besteci ve piyanist Erik Satie
(1866-1925) “Sonneries de la Rose Croix” da(1866-1925) “Sonneries de la Rose Croix” da
dahil olmak üzere parçalarının çoğundadahil olmak üzere parçalarının çoğunda
altın oran vardır.altın oran vardır.
24

25. Müziğin MatematiğiMüziğin Matematiği
 J. S. Sebastian Bach’ın eserlerindeki ölçüJ. S. Sebastian Bach’ın eserlerindeki ölçü
ve formlarındaki orantılı yapılarınve formlarındaki orantılı yapıların
uyumu dolayısıyla, bestecinin büyükuyumu dolayısıyla, bestecinin büyük
olasılıkla Altın Oranla tasarladığıolasılıkla Altın Oranla tasarladığı
anlaşılmıştır..anlaşılmıştır..
 Kısacası;Kısacası;
““Müzik, gizli bir aritmetik alıştırmasıdır. ”Müzik, gizli bir aritmetik alıştırmasıdır. ”
LeibnizLeibniz
25

26. Müzik Ve Pi SayısıMüzik Ve Pi Sayısı
 Sayılar ve sayı dizilerinin matematiksel ilişkileriSayılar ve sayı dizilerinin matematiksel ilişkileri
gizemli melodilere dönüşebilir. Bunun bir örneğigizemli melodilere dönüşebilir. Bunun bir örneği
de «Pi» sayısıdır.de «Pi» sayısıdır.
 Pi sayısı, bir dairenin çevresinin, çapınaPi sayısı, bir dairenin çevresinin, çapına
bölünmesiyle elde edilir vebölünmesiyle elde edilir ve ((ππ)) simgesiylesimgesiyle
gösterilir.gösterilir.
 Yaklaşık değeri; 3,14159265358979….Yaklaşık değeri; 3,14159265358979….
 İsveçli besteci Daniel Cummerow, «Pi»İsveçli besteci Daniel Cummerow, «Pi»
sayısından yola çıkarak, «Pi Melodisi» adlı birsayısından yola çıkarak, «Pi Melodisi» adlı bir
müzik oluşturmuştur.müzik oluşturmuştur. 26

27. ππ MelodisiMelodisi Cummerow notaları; 1 = do, 2 = re, 3 = mi, 4 =Cummerow notaları; 1 = do, 2 = re, 3 = mi, 4 =
fa, 5 = sol, 6 = la, 7 = si, 8 = do* la minörfa, 5 = sol, 6 = la, 7 = si, 8 = do* la minör
dizilişine göre yerleştirerek, bir melodiyedizilişine göre yerleştirerek, bir melodiye
dönüştürmüştür.dönüştürmüştür.
 Müzik, Pi sayısındaki notaların karşılığıMüzik, Pi sayısındaki notaların karşılığı
olarak, 3,14159265358979…. Şeklinde devamolarak, 3,14159265358979…. Şeklinde devam
eder.eder.
 Herhangi bir müzik aletinde (Örn.Piyano)Herhangi bir müzik aletinde (Örn.Piyano)
ππ serisindeki sayılarla çalındığında güzel birserisindeki sayılarla çalındığında güzel bir
beste oluşur.beste oluşur. 27

28. Dinlemek İçin TıklayınDinlemek İçin Tıklayın
 Pi melodisiPi melodisi
 https://www.youtube.com/watch?https://www.youtube.com/watch?
v=u1fcXROw8U0v=u1fcXROw8U0
 Hallelujah-HendelHallelujah-Hendel
 https://www.youtube.com/watch?https://www.youtube.com/watch?
v=KnQGs24U1e8v=KnQGs24U1e8
 LaMer-DebussyLaMer-Debussy
 https://www.youtube.com/watch?https://www.youtube.com/watch?
v=5XVHLO9k3HIv=5XVHLO9k3HI 28

29. Doğadaki Pi SayısıDoğadaki Pi Sayısı
 Akarsular ovalarda kıvrıla kıvrıla akar.Akarsular ovalarda kıvrıla kıvrıla akar.
Bundan dolayı nehirlerin uzunlukları iki türlüBundan dolayı nehirlerin uzunlukları iki türlü
ölçülür.ölçülür.
 Bunlardan biri kuş uçuşu uzaklık, diğeri iseBunlardan biri kuş uçuşu uzaklık, diğeri ise
suyun gerçekten aktığı eğri, mendreslerdir.suyun gerçekten aktığı eğri, mendreslerdir.
 Alman Hans Henrick Stolum, bu eğriyi kuşAlman Hans Henrick Stolum, bu eğriyi kuş
uçuşu uzaklığa oranlamıştır.uçuşu uzaklığa oranlamıştır.
 Sonuçta, Amazon’dan Thames’e kadar pek çokSonuçta, Amazon’dan Thames’e kadar pek çok
akarsu için bulduğu sonuç; 3,14 olmuştur.akarsu için bulduğu sonuç; 3,14 olmuştur.
29

30.  Bir gülün güzelliğindeki sır, onun içindeBir gülün güzelliğindeki sır, onun içinde
sakladığı matematik sanatının tasakladığı matematik sanatının ta
kendisidir.kendisidir.
FİBONACCİFİBONACCİ
SAYILAR, MÜZİĞİN DİLİDİR.SAYILAR, MÜZİĞİN DİLİDİR.
NOTALAR İSE SİMGELERİNOTALAR İSE SİMGELERİ
30